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Álgebra Linear - UFPE - 2020.1 Lista de exerćıcios 1 Notação.: Uma letra em negrito significará um vetor de Rn, o qual será representado por uma coluna. Por exemplo: x = x1 x2 ... xn , 0 = 0 0 ... 0 . 1. Calcule os seguintes produtos de matrizes: (a) [ −1 0 3 −10 ] · 2 5 −7 1 (b) [ 2 0 1 ] · 0 −1 02 3 2 0 1 0 · 100 −1 2. Para cada matriz abaixo, faça operações elementares nas suas linhas para reduzi-la a uma matriz escalonada (Não é necessário reduzi-la à forma escada). Calcule seu posto. (a) A1 = 1 1 −22 2 −3 3 −1 2 (b) A2 = 1 1 −22 2 −3 3 3 1 (c) A3 = 2 1 3 0−4 −1 −7 2 4 3 5 5 (d) A4 = 2 0 −1 4 1−2 0 2 −2 0 0 0 1 2 2 (e) A5 = 1 3 0 2 0 1 0 −1 −1 0 −1 1 0 1 0 4 0 2 4 3 3 1 3 0 2 −2 1 0 1 3. Sendo A1, A2, A3 e A5 as matrizes do exerćıcio anterior, encontre o conjunto solução de cada sistema linear a seguir e encontre também o conjunto solução do sistema homogêneo associado. (a) A1 · x = 02 12 (b) A2 · x = 01 7 (c) A3 · x = 10 −1 , (d) A5 · x = 1 1 7 1 4. Quais condições os números b1, b2, b3, b4 devem satisfazer para que o sistema linear, represen- tado matricialmente por 2 −4 4 1 −1 3 3 −7 5 0 2 5 · x1x2 x3 = b1 b2 b3 b4 , (1) possua pelo menos uma solução? Sendo satisfeitas estas condições, encontre o conjunto solução deste sistema. 5. Para qual(ais) valor(es) de a e b os planos descritos pelas equações x+ y + 2z = 1, 2x+ 3y − z = 1, x+ ay + z = b se interceptam em mais de um ponto? 6. Considere o seguinte sistema linear nas variáveis x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7: 3x1 + x3 + 4x4 − 2x5 = b1 6x1 + 4x3 + 8x4 − 5x5 + x6 + 2x7 = b2 + 5x4 + 4x5 + x7 = b3 −3x1 − x3 + 16x4 + 18x5 + 3x7 = b4 6x3 − 10x4 − 11x5 + 3x6 − 2x7 = b5 (2) Quais condições as constantes b1, b2, b3, b4, b5 devem satisfazer para que este sistema possua pelo menos uma solução? Sendo satisfeitas estas condições, encontre o conjunto solução deste sistema. 7. Quais condições as constantes λ1 e λ2 devem satisfazer a fim de que o seguinte sistema linear possua uma única solução (não é necessário calculá-la)? 1 0 −12 3 λ1 −1 λ2 2 x1x2 x3 = √ 2√ 3√ 5 (3) 2 8. Sem calcular determinantes, decida quais matrizes abaixo possuem inversa (lembre que uma matriz n × n A possui inversa se, e somente se, tiver posto igual a n). Para as que forem inverśıveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan. (a) 1 2 34 5 6 2 1 0 (b) 4 2 34 5 6 7 8 8 (c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 3 2 1 9. Calcule o determinante das seguintes matrizes (faça operações elementares nas linhas ou colunas para simplificar o cálculo): (a) 2 5 −3 −2 −2 −3 2 −5 1 3 −2 2 −1 −6 4 3 (b) 1 2 2 3 1 0 −2 0 3 −1 1 −2 4 −3 0 2 3
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