Eletrodinâmica Clássica e suas Aplicações

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DESCRIÇÃO
A construção dos conceitos fundamentais das leis de indução eletromagnética, em que variações de fluxos de campos
elétricos e/ou magnéticos geram fenômenos físicos, e suas aplicações físicas e tecnológicas como a força eletromotriz,
a corrente de deslocamento de Maxwell, as Ondas eletromagnéticas e os circuitos elétricos com correntes não
uniformes. A moderna teoria eletrodinâmica clássica é apresentada e analisada de forma completa por meio das quatro
Equações de Maxwell em representação integral.
PROPÓSITO
Compreender a teoria eletrodinâmica clássica como sendo a teoria dos campos elétricos e magnéticos puros ou em
interação com a matéria e de suas fontes. Vamos abordar as leis de indução eletromagnéticas, em que variações
temporais de fluxos de campos elétricos e/ou magnéticos geram fenômenos físicos, como a indução eletromagnética, a
força eletromotriz, a corrente de deslocamento de Maxwell, as Ondas eletromagnéticas e os circuitos elétricos com
correntes não-uniformes, para citar alguns dos mais evidentes. Todos os fenômenos eletromagnéticos são descritos
pelas quatro equações de Maxwell, que completam as leis fundamentais do eletromagnetismo. As consequências
fenomenológicas dessas leis e suas equações fundamentais, dentro dos limites de escalas e energias da teoria, são o
nosso contato com o Universo e nossa vida tecnologia moderna.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, revise seus estudos nos princípios da Álgebra Vetorial e do Cálculo Diferencial
e Integral. Também será útil ter em mãos uma calculadora científica.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, a Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
MÓDULO 2
Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas Eletromagnéticas
MÓDULO 3
Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC
INTRODUÇÃO
ELETRODINÂMICA
Das quatro interações fundamentais da natureza (interação Nuclear Forte, Nuclear Fraca, Gravitacional e
Eletromagnética), a interação eletromagnética é, sem dúvida, a que mais nos afeta como civilização moderna, em uma
abordagem prática.
Certamente, todas as quatro interações fundamentais são essenciais para a compreensão dos fenômenos do Universo
como os conhecemos hoje e para a compreensão da vida. Entretanto, seria impensável vivermos atualmente sem os
recursos modernos que a compreensão da eletrodinâmica clássica nos propiciou.
A geração de energia elétrica, os motores elétricos, a eletricidade e a eletrônica, os meios de comunicações e
telecomunicações, a informática e a computação, nossa observação da natureza e do universo, nossas sociedades
conectadas por meio da troca de dados e informações, além da Química e da Biologia, tudo isso gira em torno da
Eletrodinâmica Clássica, quando consideramos seus limites efetivos de escala e energias para esses fenômenos.
Na imagem de abertura do Tema, vemos antenas de comunicação com satélites artificiais que estão em órbita do
planeta, como um símbolo de nossa tecnologia baseada na eletrodinâmica clássica.
 
 SAIBA MAIS
Assista ao vídeo do YouTube intitulado: Como o pouso na lua foi filmado?, do canal Dobra Espacial, que aborda as
tecnologias eletromagnéticas de comunicação envolvidas em um dos maiores passos tecnológicos da humanidade, a
chegada à Lua.
Abordaremos, aqui, a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de indução eletromagnéticas: a Lei de
Faraday-Lenz e a Lei de Ampère-Maxwell. Vamos verificar que fluxos de campos elétricos e magnéticos variáveis
geram fenômenos físicos. Estudaremos esses fenômenos, como se processam e como são aplicados
tecnologicamente. Por fim, analisaremos elementos fundamentais das ondas eletromagnéticas e a estrutura básica dos
modernos circuitos elétricos e eletrônicos.
 
Bons estudos!
MÓDULO 1
 Aplicar a Lei de Faraday-Lenz, Força Eletromotriz e a Indução Eletromagnética
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA
A indução eletromagnética é o fenômeno que foi observado e estudado, primeira e separadamente, por Michael
Faraday e Joseph Henry, no início de 1830, resultando na Lei de Faraday-Lenz. Essencialmente é a capacidade de
sistemas condutivos gerarem tensões elétricas (f.e.m.) e, como consequência, correntes elétricas em circulação (em
circuitos) quando o Fluxo de Campo Magnético variar no tempo.
 EXEMPLO
Tomemos um circuito de enrolamento condutivo: uma Bobina ou um Solenoide. Façamos um imã natural alinhar-se ao
eixo dessa Bobina. Ao variarmos continuamente a distância do imã ao centro da bobina, uma corrente elétrica induzida
circulará na bobina, enquanto o imã estiver em movimento.
A razão é que o número de linhas de Campo Magnético que atravessam a área da bobina, que é o Fluxo de Campo
Magnético, ao variar no tempo, induz uma diferença de potencial gerada na bobina e, portanto, uma Corrente Elétrica
de Indução, como na figura a seguir:
 Legenda: Indução de Faraday-Lenz por campos magnéticos de imãs.
A corrente elétrica induzida terá orientação contrária (oposta) à modificação do fluxo de campo magnético que a
provoca, que é a variação temporal do fluxo magnético. Ou seja, se o número de linhas de campo magnético que
atravessam a bobina crescer, o que significa fluxo magnético crescente, que ocorre quando o imã se aproxima da
bobina, a corrente elétrica induzida na bobina será no sentido contrário a esse crescimento, gerando um campo
magnético autoinduzido no sentido contrário ao crescimento do fluxo do campo na bobina, de acordo com a regra da
mão direita (ver figura a seguir).
Se o número de linhas de campo magnético decrescer, o que significa fluxo magnético decrescente, a corrente induzida
na bobina será no sentido contrário a esse decrescimento, gerando um campo magnético autoinduzido no sentido
contrário a esse decrescimento do fluxo de campo na bobina, de acordo com a regra da mão direita (ver figura a
seguir).
 Legenda: Corrente induzida e o campo magnético autoinduzido na bobina.
Assim, ao aproximarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá uma orientação de forma a gerar um campo
magnético autoinduzido para anular esse crescimento do fluxo magnético.
Da mesma maneira, ao afastarmos o imã da bobina, a corrente induzida terá orientação de forma a gerar um campo
autoinduzido para anular esse decrescimento do fluxo magnético. Aparentemente, a natureza busca equilibrar o fluxo
de campo magnético variável, gerando tensões induzidas (f.e.m.), que formam correntes elétricas, para equilibrar essas
variações de fluxo. Esse é o fenômeno da indução eletromagnética de Faraday-Lenz.
Observando a figura anterior, temos:
BOBINAS À ESQUERDA
Mostram as linhas de campo magnético atravessando sua área e a corrente elétrica induzida com a orientação oposta
à modificação do fluxo de campo magnético que a gera.
BOBINAS À DIREITA
Mostram a corrente elétrica induzida pela modificação do fluxo de campo magnético, de forma a produzir um campo
magnético autoinduzido na mesma bobina que anula a variação do fluxo de campo magnético pela aproximação ou
afastamento do imã.
Certamente, você já percebeu que ao desligarmos um circuito elétrico, de iluminação por exemplo, uma centelha
elétrica surge no interruptor. Esse foi o fenômeno observado por Joseph Henry e que compõe o fenômeno de Faraday-
Lenz.
Ao desligar o circuito elétrico, provocamos uma grande variação decrescente do fluxo de campo magnético, e a
consequência é o surgimento de uma tensão elétrica induzida (f.e.m.) que gera uma corrente elétrica no sentido oposto
a essa variação decrescente do fluxo, tentando manter a estrutura de fluxo magnético anterior. Assim, a corrente
induzida tentará preservar a corrente elétrica anterior à interrupção. Como a variação do fluxo de campo magnético foi
intensa, indo a zero muito rapidamente, uma grande f.e.m. é induzida, chegando a romper a rigidez dielétrica do ar no
ponto de abertura do circuito e formando uma descarga em arco, que vemos como uma centelha elétrica. No entanto,
essa intensa f.e.m. induzidano circuito é rapidamente consumida pela resistência elétrica do mesmo circuito, por efeito
Joule, já que o circuito foi desligado de sua fonte de tensão e a f.e.m. induzida deixa de ter sua causa.
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Esse mecanismo, semelhante a uma propriedade inercial eletromagnética, é conhecido como Lei de Lenz, que
abordaremos mais à frente, como uma característica da Lei de Faraday-Lenz.
 ATENÇÃO
O comportamento descrito pela Lei de Lenz nos fenômenos de indução eletromagnética, que chamamos de inércia
eletromagnética, nada tem a ver com o princípio da inércia da mecânica clássica, que tem origem no princípio de
conservação do momentum linear. Esse comportamento de Lenz, de equilíbrio da estrutura de fluxo de campo
magnético, tem origem no fenômeno de Faraday-Lenz, entendido como Lei Fundamental da Natureza, e no princípio de
conservação de energia que o rege.
O fenômeno da indução eletromagnética não é mera curiosidade. Na verdade, é uma lei fundamental da Natureza e a
utilizamos em boa parte de nossa sociedade moderna tecnológica, gerando energia elétrica, utilizando motores
elétricos, em comunicações eletromagnéticas, circuitos eletromagnéticos etc.
Todos os sistemas elétricos condutivos e circuitos elétricos possuem propriedades indutivas. No entanto,
desenvolvemos componentes elétricos próprios com essa característica acentuada: os indutores.
INDUTORES
Indutores são componentes elétricos e eletrônicos responsáveis por acentuar o Fenômeno de Faraday. São
acumuladores de Energia Magnética, como Solenoides, Toroides e Bobinas com certo número de enrolamento, com
certa área de seção e comprimento. Todos os circuitos com enrolamentos elétricos condutivos, como motores elétricos,
dínamos ou geradores, possuem grande indutância e são, do ponto de vista dos circuitos elétricos e eletrônicos,
indutores.
Em Magnetostática, aprendemos a calcular a autoindutância L e a indutância mútua M de indutores simples submetidos
a fluxos de campos magnéticos uniformes, onde as linhas de campo magnético têm a mesma direção e calculados em
regime quase-estático.
Na figura a seguir, um circuito indutivo, com sua autoindutância, induz no circuito vizinho uma indutância mútua, e, pelo
fenômeno de Faraday, uma diferença de potencial elétrica é gerada nesse segundo circuito: uma f.e.m. ― força
eletromotriz; nomenclatura histórica que significa, nesse caso, tensão elétrica indutiva. Aqui, também chamaremos de
f.e.m., fontes de tensão elétrica de origem química, como em baterias ou pilhas.
Você certamente já viu um circuito indutivo, como o da figura acima, em uma escova de dentes elétrica ou um sistema
indutivo para carregamento de telefones celulares. Na figura, repare que no circuito da esquerda, alimentado por uma
fonte de tensão alternada, o Solenoide funciona como um Eletroímã alternado , sendo a fonte do fluxo de campo
magnético variável indutor no circuito vizinho. Na verdade, circuitos como esse são bem mais comuns, sendo
encontrados em geradores elétricos, transformadores de tensão e circuitos oscilantes em geral.
 VOCÊ SABIA
O nome de força eletromotriz ― f.e.m. ― nada tem a ver com a grandeza física força, sendo a origem desse nome
histórica. Designam fontes de tensão elétrica, cujo campo elétrico tem origem em conversões de energia de outra
natureza, como a indução eletromagnética, reações químicas, decaimentos radioativos, efeito fotoelétrico, efeito
piezoelétrico ou efeito termoelétrico. Os campos elétricos envolvidos que geram as diferenças de potenciais
elétricos de uma f.e.m., como nesses exemplos citados, não são conservativos como os campos eletrostáticos,
no sentido que o trabalho mecânico W em uma trajetória fechada não resulta ser zero.
FORÇA ELETROMOTRIZ (F.E.M.)
DEMONSTRAÇÃO
Quando definimos a diferença de potencial elétrico, ∆V, para uma distribuição discreta ou contínua de cargas elétricas
entre dois pontos espaciais, a e b, estabelecemos que:
∆
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, também compreendemos que, como os campos eletrostáticos de quaisquer distribuições de cargas
elétricas são conservativos, a diferença de potencial elétrico em uma circulação fechada, onde a=b, será
necessariamente zero. Ou seja, para campos eletrostáticos, temos que:
∆V=-∮E→.DL→=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere um circuito elétrico simples com uma bateria elétrica, como fonte de f.e.m., e uma lâmpada, como resistor.
Ao fecharmos o interruptor do circuito, uma corrente elétrica, I, circulará por todo o circuito.
A corrente elétrica, terá orientação convencionada do potencial mais alto ao potencial mais baixo, no sentido horário na
figura a seguir.
Repare que internamente à bateria, essa corrente elétrica seguirá também do potencial mais alto ao potencial mais
baixo, mas no sentido oposto à circulação no restante do circuito. Se, quisermos ser mais fiéis ao fenômeno da
condução elétrica, lembrando que o sentido das correntes elétricas dos portadores de cargas é, na verdade, oposto à
convenção, seguindo dos terminais negativos aos terminais positivos, ainda assim, a corrente elétrica no circuito terá
sentido contrário à circulação interna na bateria.
Em circuitos elétricos com uma f.e.m., ε, fornecida por uma bateria elétrica comum como fonte elétrica, ou por
geradores elétricos, por exemplo, onde há (no circuito) circulação fechada de corrente elétrica, I, os experimentos de
Faraday e Henry nos mostraram que podemos definir a f.e.m como:
Ε=∮F→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o campo de força vetorial f→, nessa equação, é a soma de duas contribuições responsáveis pela condução
elétrica e a consequente corrente elétrica num circuito elétrico:
F→=FS→+E→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E→ é o campo eletrostático usual responsável pela condução elétrica nos filamentos condutores em um circuito
elétrico, e fs→ é o campo de força vetorial de um agente físico responsável pela fonte geradora da f.e.m., normalmente
confinado ao setor de geração elétrica do circuito, uma bateria, por exemplo, mas pode ser qualquer agente físico
capaz de produzir uma f.e.m.
Portanto, podemos redefinir a f.e.m. , ε, ao longo do circuito elétrico fechado como:
Ε=∮F→.DL→=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois
F→=FS→+E→ E ∮E→.DL→=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
Ε=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao fecharmos o circuito elétrico, o sentido da corrente elétrica nos filamentos e demais partes do circuito elétrico é
oposto ao sentido de condução dos portadores de cargas no interior da bateria, aqui usada como fonte elétrica, como
foi explicado anteriormente.
Assim, desconsiderando a questão de resistências internas naturais dessa bateria para simplificar a argumentação, o
efeito líquido do campo de força vetorial f→ sobre os portadores de cargas internos à bateria ideal será zero,
f→=fs→+E→=0. Ou seja:
FS→+E→=0 ⟹ FS→=-E→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a diferença de potencial elétrico entre os terminais a e b da bateria será:
∆V=-∫ABE→.DL→=∫ABFS→.DL→= ∮FS→.DL→=Ε 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a última integral à direita foi generalizada para uma integral fechada, pois fs→=0 fora da bateria.
DESSA MANEIRA, IDENTIFICAMOS QUE A FORÇA
ELETROMOTRIZ Ε, PARA EFEITOS PRÁTICOS EM
CIRCUITOS ELÉTRICOS, TERÁ O MESMO STATUS DOS
POTENCIAIS ELETROSTÁTICOS QUANTO A SER A CAUSA
DA CONDUÇÃO ELÉTRICA, APESAR DE SUA ORIGEM SER
TOTALMENTE DIFERENTE.
 
 ATENÇÃO
Mesmo que fs→ seja dimensionalmente igual ao campo eletrostático, uma força por unidade de cargaelétrica,
claramente difere do campo eletrostático por não ser conservativo. Ou seja, essa última integral de linha ao longo de
uma trajetória fechada não é zero. Não fosse assim, não haveria corrente elétrica em qualquer circuito elétrico fechado
e alimentado por uma f.e.m.
Repare que estamos falando de um campo vetorial fs→, causa da força eletromotriz, que difere do campo eletrostático
conservativo, e assim não invalida nossas compreensões sobre a definição do potencial eletrostático V, mas que, no
entanto, produz efeitos elétricos.
Esse campo vetorial fs→ não conservativo tem origem em outros fenômenos não elétricos, mas que conferem efeitos
elétricos. Como exemplo, temos reações químicas em baterias, indução eletromagnética, efeitos fotoelétrico,
termoelétrico (em termopares), piezoelétrico etc.
Essencialmente, a f.e.m., ε , tem dimensão de potencial elétrico, apesar de sua origem totalmente diversa do potencial
eletrostático, tanto teórica como fenomenologicamente. Do ponto de vista prático, a f.e.m., ε , será definida como a
integral de um campo de força vetorial fs→por unidade de carga elétrica. Alguns autores chamam a f.e.m., ε , de
trabalho por unidade de carga elétrica. No entanto, essa interpretação não é totalmente adequada, pois, como
veremos, fs→ ;pode ser uma força magnética, e o trabalho de uma força magnética é sempre zero, como sabemos, por
atuar em direção perpendicular ao deslocamento provocado aos portadores de cargas elétricas.
Falando em termos matemáticos, o potencial eletrostático, V , é uma função escalar, pois o campo eletrostático satisfaz
a lei de Gauss do campo elétrico. O campo eletrostático E→ é divergente, ∇→.E→≠0 como afirma a lei de Gauss.
Assim, dos teoremas vetoriais do cálculo diferencial, o rotacional do campo eletrostático (divergente) será nulo
(∇→×E→=0) e, portanto, a integral de linha de E→ em trajetória fechada será zero, como sabemos. Assim, pudemos
definir matematicamente, para os fenômenos eletrostáticos: E→= -∇→ V.
Portanto, o campo de força fs→ não é conservativo no sentido do campo eletrostático E→ e a definição da f.e.m., ε,
como uma integral de linha fechada.
Ε=∮FS→.DL→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não satisfaz a definição e construção matemática do potencial eletrostático, V. Logo, o campo de força fs→ não tem a
mesma origem que o campo eletrostático, apesar de ser dimensionalmente equivalente, uma força por unidade de
carga elétrica.
 DICA
Para efetuar a integral acima, devido ao produto escalar no integrando, tomaremos a componente do campo de força
vetorial fs→ na direção da trajetória de integração na qual se estabelece a f.e.m.
LEI DE FARADAY-LENZ
Até aqui, estudamos a fenomenologia da indução eletromagnética e a força eletromotriz (f.e.m.) . As aplicações da
força eletromotriz (f.e.m.) de movimento, provocada pela força magnética, estão mais à frente em Mão na Massa
1 e 2. Sugere-se, para melhor compreensão didática que, neste momento, você pratique esses dois exercícios para,
em seguida, retornar a este ponto, a Lei de Faraday-Lenz.
VAMOS ABORDAR AGORA OS EXPERIMENTOS DE
FARADAY, ANALISAR E APLICAR A LEI DE FARADAY DA
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA.
 
Em seus experimentos, Michael Faraday nos reportou, em 1831, três classes de fenômenos, aparentemente distintos.
Vamos descrevê-los em termos do mesmo esquema de aparato experimental, mas fazendo pequenas e importantes
modificações:
EXPERIMENTO 1
Um circuito resistivo foi puxado para a direita, na presença de um campo magnético uniforme, perpendicular e
orientado para dentro da tela (região hachurada), o que fez o circuito conduzir uma corrente elétrica I.
EXPERIMENTO 2
A fonte do campo magnético uniforme, perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada) e que age sobre
um circuito resistivo, foi puxada para esquerda, relativamente ao circuito que permanece em repouso, o que fez o
circuito conduzir uma corrente elétrica I.
EXPERIMENTO 3
O campo magnético perpendicular, orientado para dentro da tela (região hachurada) e que age sobre um circuito
resistivo, foi alterado, fazendo-o variar em intensidade, mantidas as posições de repouso do circuito e da fonte do
campo magnético, o que o fez conduzir uma corrente elétrica I.
Nas três situações, a corrente elétrica medida experimentalmente foi a mesma. Repare que são três situações
completamente diferentes.
No primeiro experimento, temos uma força eletromotriz de movimento, é fácil entender que a causa da corrente elétrica
em condução no circuito se deve à força magnética que age sobre as cargas elétricas livres no trecho do circuito que é
perpendicular ao campo magnético e à velocidade do circuito. Uma típica f.e.m. de movimento (Ver Mão na Massa 1 e
2). Nos outros dois trechos, as forças magnéticas no circuito se opõem e não contribuem à corrente elétrica.
No segundo experimento, contudo, o circuito permanece em repouso e nenhuma força magnética atua sobre as cargas
elétricas livres no circuito. Não se trata de um problema de f.e.m. de movimento. Então, o que faz gerar uma f.e.m. e
uma corrente elétrica em condução no circuito?
A surpreendente resposta de Faraday transformou nossa sociedade e a compreensão dos fenômenos
eletromagnéticos: o campo magnético variável induz um campo elétrico.
Na verdade, para ser mais genérico, a variação temporal do fluxo do campo magnético gera uma f.e.m.:
Ε=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fluxo do campo magnético ϕm já foi definido:
DΦM= B→.N^ DA= B→DA COS Θ 
 
ΦM=∫DΦM=∫B→.N^ DA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o ângulo θ entre o vetor campo magnético e o vetor normal n^ ao elemento de área dA foi incorporado com o
produto escalar. Repare que usamos a mesma construção de fluxo de campo elétrico.
 RESUMINDO
Essa postulação de Faraday, puramente fenomenológica, nos permitiu a compreensão do que ocorre no segundo
experimento. Ou seja, ao variar o fluxo do campo magnético, variando a área de atuação do campo sobre o circuito,
uma f.e.m. é gerada no circuito por meio de um campo elétrico induzido. A origem desse campo elétrico induzido, como
já discutido, não é eletrostática. Portanto, esse campo elétrico não é conservativo, no sentido dos campos
eletrostáticos. Sua indução deve-se à variação do fluxo de campo magnético.
É interessante pensar que entre os experimentos 1 e 2 não há somente uma mudança de movimento relativo, como
seria o caso em um problema da mecânica clássica. Ao alterar relativamente quem se move, se o circuito ou a fonte do
campo magnético, temos fortes implicações fenomenológicas. No primeiro caso, temos força magnética, enquanto no
segundo temos um campo elétrico induzido.
No terceiro experimento, temos um campo magnético variável e, assim, uma f.e.m. gerada por meio de um campo
elétrico induzido, como no segundo experimento.
Aparentemente, como pensou-se à época, tratava-se de uma coincidência. Dois fenômenos completamente diversos,
produzindo os mesmos efeitos. Mas essa “ingênua” coincidência foi o grande argumento teórico, além da medida
experimental da constância de velocidade da luz, que motivou Albert Einstein, em 1905, a propor a sua Teoria da
Relatividade Especial. Por meio dessa teoria, compreendemos hoje que não havia coincidência, os fenômenos
eletromagnéticos são relativísticos.
 SAIBA MAIS
Leia mais sobre a Eletrodinâmica Relativística no livro Eletrodinâmica, de David J. Griffiths.
No primeiro experimento, a f.e.m. tem origem magnética por meio de uma força magnética, mas, nos dois outros
experimentos, tem origem elétrica, induzida de fluxos de campos magnéticos variáveis. Em ambos os casos, podemos
calcular a f.e.m. gerada pela Lei de Faraday-Lenz:
Ε=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sinal da equação acima é a Lei de Lenz, cuja única função é nos orientar quantoao comportamento inercial
eletromagnético, como já discutido. Para toda variação do fluxo de campo magnético, haverá uma f.e.m. induzida de tal
modo a produzir uma corrente elétrica com orientação que gere um fluxo contrário a essa variação. A natureza quer
preservar as estruturas de fluxo de campo magnéticos cancelando sua variação.
A Lei de Faraday-Lenz é compreendida hoje como lei fundamental da Eletrodinâmica Clássica:
Ε=∮E→. DL→=-DΦMDT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O campo elétrico E→ na Lei de Faraday-Lenz é um campo dinâmico, induzido pela variação temporal do fluxo
magnético. No entanto, se o fluxo magnético for constante, obtém-se o campo eletrostático conservativo,
onde∮E→. d→l=0. Assim, temos dois tipos de campos elétricos na teoria eletrodinâmica clássica: um campo
eletrostático e um campo E→ dinâmico. No entanto, ambos satisfazem e contribuem à Força de Lorentz,
F→=Q E→+Q V→×B→
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As figuras a seguir exemplificam, novamente, o fenômeno de Faraday-Lenz, da geração de f.e.m. e de condução de
correntes elétricas por indução eletromagnética contrária à variação do fluxo de campo magnético.
Na figura seguinte, temos o problema clássico da indução de Faraday-Lenz, com corrente elétrica induzida contrária ao
crescimento do fluxo de campo magnético.
Na figura seguinte, um fenômeno muito interessante: um tubo de cobre é posicionado na vertical e, em seu interior,
deixa-se cair livremente um ímã de grande momento magnético (neodímio) que, ao cair, faz variar o fluxo de campo
magnético no material condutor do tubo. Assim, Correntes Elétricas de Foucault são induzidas em circulação no tubo,
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que tentam cancelar a variação do fluxo provocado pela queda do imã. O resultado é que forças magnéticas opostas
agem sobre o imã em queda e ele tem uma aceleração de queda diminuída.
CORRENTES ELÉTRICAS DE FOUCAULT
São correntes elétricas induzidas internamente aos materiais condutores, como consequência da Lei de Faraday e
geralmente responsáveis por aquecimento desses materiais por efeito Joule. Algumas aplicações tecnológicas ainda
pouco exploradas são os fogões de indução, fornos e forjas de indução, além de mecanismos de frenagem mecânica
eletromagnética e sistemas de reaproveitamento energético eletromagnéticos em veículos, motores e máquinas.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM GERADOR ELÉTRICO SIMPLES, QUE, ESSENCIALMENTE, É UM
CIRCUITO ELÉTRICO FECHADO, QUE SE MOVE COM VELOCIDADE CONSTANTE EM
MÓDULO PARA A DIREITA, NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME, B→,
QUE APONTA PARA DENTRO DA TELA, PERPENDICULARMENTE À VELOCIDADE V→. UM
RESISTOR ELÉTRICO R FAZ PARTE DO CIRCUITO. CALCULE A F.E.M., Ε, GERADA NO
CIRCUITO POR ESSE MOVIMENTO NA PRESENÇA DO CAMPO MAGNÉTICO:
A) ε=V→B→x
B) ε=V→B→h
C) ε=RB→h
D) ε=V→B→
E) ε=0
2. NO PROBLEMA CLÁSSICO DO DISCO DE FARADAY, UM DÍNAMO CONHECIDO COMO
GERADOR HOMOPOLAR, CONSIDERE UM DISCO CONDUTOR DE RAIO A QUE GIRA COM
VELOCIDADE ANGULAR Ω EM UM EIXO FIXO NA PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO
B→ UNIFORME, NA MESMA DIREÇÃO DO EIXO DO DISCO, NO SENTIDO DE BAIXO PARA
CIMA, COMO NA FIGURA A SEGUIR. UM CIRCUITO COM RESISTOR R FOI COLOCADO EM
CONTATO COM O DISCO E SEU EIXO ATRAVÉS DE ESCOVAS CONDUTORAS
DESLIZANTES, POR ONDE CIRCULARÁ UMA CORRENTE ELÉTRICA I. CALCULE O VALOR
DESSA CORRENTE ELÉTRICA I:
A) I=ωB→ a2R
B) I=ωB→
C) I=ωB→ aR
D) I=ωB→ a22
E) I=ωB→ a22R
3. CONSIDERE UMA ÁREA DO ESPAÇO VAZIO EM FORMA DE DISCO, COMO NA FIGURA A
SEGUIR, ATRAVESSADO POR UM CAMPO MAGNÉTICO VARIÁVEL B→T, PERPENDICULAR
A ESSA ÁREA. CONSIDERANDO UM ANEL DE RAIO R PERTENCENTE A ESSE DISCO DE
ESPAÇO, COMO UMA CURVA DE AMPÈRE, CALCULE O VETOR CAMPO ELÉTRICO
INDUZIDO AO LONGO DESSE ANEL DE RAIO R.
E→= - dB→(t)dt θ^
E→= - r2 dB→(t)dt
E→= - r2 dB→(t)dt θ^
E→= - r2 B→(t)θ^
E→= - B→t
4. UM GERADOR ALTERNADOR SIMPLES, COMO NA FIGURA A SEGUIR, COMUMENTE
CHAMADO DE GERADOR C.A., É UM DISPOSITIVO CAPAZ DE GERAR UMA F.E.M., Ε,
CONSTITUÍDO DE UMA ÚNICA ESPIRA RETANGULAR, DE ÁREA A, QUE GIRA COM
VELOCIDADE ANGULAR Ω CONSTANTE, EM TORNO DE UM EIXO DE ROTAÇÃO NA
PRESENÇA DE UM CAMPO MAGNÉTICO B→ UNIFORME E DE MÓDULO CONSTANTE.
CONSIDERE QUE, NO INSTANTE INICIAL T=0, A SUPERFÍCIE DA ESPIRA ESTEJA
ALINHADA PERPENDICULARMENTE AO CAMPO MAGNÉTICO, OU SEJA, EM T=0, O
ÂNGULO DE ROTAÇÃO É Φ=0. NÃO SE PREOCUPE COM O INÍCIO DO MOVIMENTO DE
ROTAÇÃO. CALCULE A F.E.M. INDUZIDA:
A)
ε= B→ Acos ωt
A)
B)
ε=ω B→ Asen ωt
B)
C)
ε=B→ Asen ωt
C)
D)
ε=- ω A dB→dt
D)
E)
ε=ω B→ Acos ωt
E)
5. UM GERADOR COMUTADOR SIMPLES, COMUMENTE CHAMADO DE GERADOR C.C.,
COMO NA FIGURA A SEGUIR, É UM DISPOSITIVO CAPAZ DE GERAR UMA F.E.M., Ε,
CONSTITUÍDO DE UMA ESPIRA RETANGULAR, DE ÁREA A, QUE GIRA COM VELOCIDADE
ANGULAR Ω CONSTANTE, EM TORNO DE UM EIXO DE ROTAÇÃO NA PRESENÇA DE UM
CAMPO MAGNÉTICO B→ UNIFORME E DE MÓDULO CONSTANTE. CONSIDERE QUE, NO
INSTANTE INICIAL T=0, A SUPERFÍCIE DA ESPIRA ESTEJA ALINHADA
PERPENDICULARMENTE AO CAMPO MAGNÉTICO, OU SEJA, EM T=0 , O ÂNGULO DE
ROTAÇÃO É Φ=0. NÃO SE PREOCUPE COM O INÍCIO DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO.
CALCULE A F.E.M. INDUZIDA MÉDIA, ΕMÉDIA:
εmédia=ω B→ Asen ωt
εmédia=ω B→ Acos ωt
εmédia= ω B→ Aπ
εmédia=ω B→ A
εmédia=2 ω B→ Aπ
6. UM GERADOR DE HASTE DESLIZANTE É UM DISPOSITIVO GERADOR ELÉTRICO COM
UMA HASTE DE TAMANHO H QUE PODE DESLIZAR HORIZONTALMENTE, COMO NA
FIGURA A SEGUIR. UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME E CONSTANTE EM MÓDULO ATUA
PERPENDICULARMENTE AO CIRCUITO GERADOR, COM ORIENTAÇÃO PARA DENTRO DA
TELA. CALCULE A F.E.M. INDUZIDA AO PUXARMOS A HASTE PARA A DIREITA COM
VELOCIDADE V→ CONSTANTE EM MÓDULO:
ε=- B→ hV→
ε=B→ hV→
ε=- R hV→
ε=- B→ hV→R
ε=- B→ h
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos revisitar o problema do gerador comutador, comumente chamado de gerador C.C., como na figura a seguir,
um dispositivo capaz de gerar uma f.e.m., ε, constituído de um enrolamento de N espiras quadradas paralelas e
justapostas, de área A, que giram com velocidade angular ω constante, em torno de um eixo de rotação na presença
de um campo magnético B→ uniforme e de módulo constante. Considere que no instante inicial, t=0, as superfícies das
espiras estejam alinhadas perpendicularmente ao campo magnético, ou seja, em t=0 , o ângulo de rotação é ϕ=0. Não
se preocupe em como o movimento de rotação se iniciou. Entretanto, agora vamos obter a velocidade de rotação
angular das espiras necessária para obter-se uma f.e.m. média de 127 V. Então, considere os seguintes dados: N=500
espiras, A=(0,10 m) 2, B→=0,20 T. Calcule a velocidade angular de rotação das espiras para se obter Emédia=127 V.
RESOLUÇÃO
A variação do fluxo de campo magnético se dará pela rotação da espira. O ângulo entre o campo B→ e o vetor normal
do plano da espira será uma função do tempo, ϕ(t)=ωt. Diferente do gerador alternador, a f.e.m. induzida tem valor
sempre positivo, portanto, calcularemos seu módulo. Devemos levar em consideração que temos N espiras. Assim,
modificamos ligeiramente a expressão da Lei de Faraday, introduzindo o fator N:
 
 
ℰ=-NDΦMDT 
 
ΦM= ∫B→. N^ DA= B→ ACOS Φ=B→ ACOS ΩT 
 
E=N Ω B→ A SEN ΩT 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter a f.e.m. induzida média precisamos calcular ( sen ωt )média , como o valor médio da integral da função
senoidal no intervalo de meio ciclo de rotação, T/2, quando 0 ≤ ω t ≤ π, ou seja, quando 0 ≤ t ≤πω , pois a função seno
é positiva na primeira metade do ciclo.
( SEN (ΩT) )MÉDIA=1Π/Ω∫0Π/ΩSEN ΩTDT= -
COS Ω ΠΩ+COS (0)Ω ΠΩ=2Π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, como já obtido antes,
 
Emédia=2 N ω B→ Aπ 
 
Substituindo os dados fornecidos, temos:
 
Ω= Π EMÉDIA2 N B→ A= Π (127 V)2 500)
(0,20 T(0,10 M)2=199,49 RAD/S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
 
Lembrando que 1 V=1Wbs=1 T.m2s. Além disso, 1 Rotação/s = 2 π rad/s, então:Ω=199,49RADS. ROTAÇÃO2 Π RAD≅31,75 ROT/S 
 
Ω=31,75ROTS . 60SMIN≅1905 ROT/MIN.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA – O GERADOR
COMUTADOR 
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
 Aplicar a Corrente de Deslocamento de Maxwell, as Equações de Maxwell e as Ondas Eletromagnéticas
CORRENTE DE DESLOCAMENTO DE MAXWELL
Em Magnetostática, analisamos e aplicamos a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético à corrente elétrica
não variável, como sua fonte:
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0IC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde μ0 é a constante magnética do vácuo, chamada de permeabilidade do vácuo, mas certamente podemos adaptar
a equação a qualquer meio material. E a corrente elétrica Ic, é a resultante das correntes elétricas que atravessam a
curva de Ampère C, que serve de suporte da integração acima e onde detectaremos o campo 
→
B. Ou seja, a Lei de
Ampère se presta à Magnetostática.
No entanto, acabamos de analisar os fenômenos eletrodinâmicos de Faraday, nos quais verificamos que variações
temporais de fluxos de campo magnético induzem campos elétricos.
Ε = ∮
→
E. D
→
L = -
DΦM
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que as duas equações anteriores possuem integrais de linha ao lado esquerdo semelhantes, mas ao lado
direito são completamente diferentes. Uma se presta aos fenômenos magnetostáticos e a outra aos fenômenos
eletrodinâmicos.
POR QUE A NATUREZA “ESCOLHERIA” ESSE
DESEQUILÍBRIO ENTRE OS FENÔMENOS ELÉTRICOS E
MAGNÉTICOS?
 
Por ora, aprendemos e analisamos que existem campos elétricos estáticos, que satisfazem a Lei de Coulomb e a Lei
de Gauss, e também temos campos elétricos dinâmicos que satisfazem a Lei de Faraday-Lenz. Ainda aprendemos e
analisamos os campos magnetostáticos, que satisfazem a Lei de Ampère.
Por que não existiriam campos magnéticos dinâmicos induzidos por variações de fluxos de campos elétricos? Isso sim
demonstraria que a natureza eletromagnética é simétrica em relação aos dois fenômenos, elétricos e magnéticos.
Essas foram as indagações feitas por James C. Maxwell, quando, em 1865, apresentou seus trabalhos sobre os
fenômenos eletromagnéticos. Maxwell apresentou sua resposta puramente teórica, sem qualquer demonstração
empírica, apenas baseado na razão, na Matemática e na hipótese de que a natureza deve ser simétrica em seus
fenômenos, ao menos nos fenômenos eletromagnéticos.
Ainda que sua análise não seja hoje considerada totalmente correta, pois baseou-se na hipótese de existência de um
meio de propagação dos fenômenos eletromagnéticos, à época chamado de Éter , sua construção matemática e a
análise de suas simetrias e princípios físicos representou um marco para as ciências físicas. Após os trabalhos de
Maxwell, passamos a nomear a teoria de Eletromagnetismo de Maxwell e hoje chamamos de Teoria Eletrodinâmica
Clássica.
A hipótese do Éter eletromagnético passou a ser desacreditada com a experiência de Michelson e Morley que, com
aparato de interferometria óptica de grande precisão, mediu a constância de velocidade da luz em todos os
referenciais.
ÉTER
A hipótese do éter propunha a existência de um meio (Éter), uma substância ou campo que preencheria o espaço,
considerado necessário como meio de transmissão para a propagação das interações eletromagnéticas. No entanto,
essa hipótese foi sendo abandonada a partir das experiências da constância da velocidade da luz, de Albert Michelson
e Edward Morley (1887), e da Teoria da relatividade Especial de Einstein (1905), que prescinde da existência do Éter.
ENTÃO, VAMOS À CORREÇÃO DA LEI DE AMPÈRE POR
MAXWELL
 
DEMONSTRAÇÃO
 EXEMPLO
javascript:void(0)
Tomemos um circuito elétrico onde inserimos um capacitor. Se pensarmos no modelo clássico de um capacitor, como
duas placas paralelas separadas por um espaço sem condução elétrica, a questão se faz. Se há condução elétrica e,
portanto, corrente elétrica nas linhas condutoras do circuito, com campos magnéticos gerados a partir dessas
conduções de correntes elétricas, como é possível que haja continuidade da corrente elétrica no circuito se temos uma
região de não condução interna ao capacitor?
Vamos lembrar que, ao acionarmos um capacitor em um circuito, mesmo que com corrente elétrica constante, este não
se carrega instantaneamente, como já foi discutido. Cargas elétricas começam a se acumular nas paredes do capacitor
e, após um intervalo de tempo finito, ele se apesenta carregado. Assim, no interior do capacitor, um campo elétrico
variável se estabelece, crescendo em intensidade durante o processo de carga. Da mesma maneira, o campo elétrico
varia durante o processo de descarga.
Então, internamente a um capacitor, mesmo num circuito de corrente contínua, o campo elétrico interno ao capacitor
varia em intensidade, crescendo durante o processo de carga e decrescendo durante o processo de descarga.
Como a área do capacitor é definida quando de sua construção, o que contribui para sua capacitância, como já vimos,
o fluxo de campo elétrico internamente ao capacitor irá variar com a variação da intensidade do campo elétrico.
Na figura a seguir, temos um capacitor de placas planas e paralelas, pertencente a um circuito elétrico com uma
corrente elétrica ligada, cargas se acumulando em suas paredes e um campo elétrico variável (linhas pontilhadas azuis)
se estabelecendo.
Se calcularmos o fluxo de campo elétrico interno ao capacitor, por meio da Lei de Gauss, e sua variação temporal,
considerando o meio interno sendo o vácuo, por exemplo, temos:
ΦE = 
 
∮
C
→
E. N̂ DA =
QINT .
Ε0
 
 
DΦE
DT = 
D
DT 
QINT .
Ε0
= 
1
Ε0
DQINT .
DT =
1
Ε0
 ID
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último termo à direita, Ib, dimensionalmente igual à corrente elétrica, foi chamado por Maxwell de corrente de
deslocamento elétrico. Ou seja, uma corrente elétrica equivalente surge na região onde não há corrente elétrica usual
devido à variação do fluxo de campo elétrico, num fenômeno simétrico ao de Faraday.
Assim, Maxwell, postulou que a Lei de Ampère deveria ser corrigida para incluir este novo termo:
∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0IC + Μ0ID
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou melhor,
 ∮ C
→
B ⋅ D
→
L = Μ0IC + Μ0Ε0
DΦE
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E essa equação passou a ser chamada de Lei de Ampère-Maxwell.
Na figura anterior, repare as linhas pontilhadas circulares que representam o campo magnético gerado pela variação do
fluxo de campo elétrico. Veja que agora não há mais inconsistências entre a teoria e a fenomenologia, o campo
magnético detectável nas imediações do capacitor tem causa na corrente de deslocamento de Maxwell.
Onde os fenômenos são magnetostáticos, vale o primeiro termo, de Ampère, à direita da equação anterior. Quando os
fenômenos são dinâmicos, vale o segundo termo, de Maxwell, à direita da mesma equação. E assim, há continuidade
da corrente elétrica em um circuito com condução elétrica mesmo com a inserção de capacitores.
Na verdade, as consequências do termo de Maxwell vão muito além disso, como vamos discutir à frente, com as ondas
eletromagnéticas de Maxwell.
Em 1887, as experiências de Heinrich Hertz enfim demonstraram o que Maxwell afirmara 22 anos antes, as ondas
eletromagnéticas eram reais. O termo de Maxwell adicionado à teoria eletromagnética tinha sua necessidade
comprovada experimentalmente.
NESSE MOMENTO, SOMOS LEVADOS ÀS EQUAÇÕES DE
MAXWELL DO ELETROMAGNETISMO.
( )
 
EQUAÇÕES DE MAXWELL
Do que vimos até agora, podemos elencar as leis fundamentais do eletromagnetismo, com fontes materiais (carga
elétrica e corrente elétrica), numa representação integral em apenas quatro equações que chamaremos de Equações
de Maxwell:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA∮
c
→
E. n̂ dA =
qint .
ϵ0
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
 
∮
c
→
B. n̂ dA = 0
A LEI DE FARADAY-LENZ
∮
→
E. d
→
l = -
dΦm
dt
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
∮ c
→
B ⋅ d
→
l = μ0Ic + μ0ϵ0
dΦE
dt
Que somado à Força de Lorentz:
→
F = Q 
→
E + Q 
→
V ×
→
B
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Traduzem todas as propriedades, os fenômenos e os efeitos da Teoria Eletrodinâmica Clássica no vácuo, dentro dos
limites de escalas e energias da teoria. Certamente, dentro da matéria, devemos adaptar essas equações, mas sua
estrutura e fenômenos principais não vão se alterar.
Temos uma versão em representação diferencial das Equações de Maxwell. Vamos apresentá-la para não perder a
oportunidade, mas sua demonstração por meio de teoremas vetoriais de Gauss e Stokes não será feita aqui.
Equações de Maxwell em representação diferencial:
 Escolha uma das Etapas a seguir.
A LEI DE GAUSS DA ELETROSTÁTICA
→
∇ ⋅
→
E =
1
ϵ0
ρ
A LEI DE GAUSS DA MAGNETOSTÁTICA
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
→
∇ ⋅
→
B = 0
A LEI DE FARADAY-LENZ
→
∇ ×
→
E = -
∂
→
B
∂ t
A LEI DE AMPÈRE-MAXWELL
→
∇ ×
→
B = μ0 
→
j + μ0ϵ0
∂
→
E
∂ t
Onde ρ é a densidade volumétrica de carga elétrica, e 
→
j é o vetor densidade de corrente elétrica, ambos já definidos
anteriormente.
 RECOMENDAÇÃO
Pesquise os teoremas do cálculo vetorial de Gauss e Stokes para converter a representação integral das equações
de Maxwell em sua representação diferencial e apreciar a beleza dessa matemática.
Agora, vamos elencar diversas informações que as equações de Maxwell nos trazem:
Campos eletrostáticos têm origem em cargas eletrostáticas;
Campos eletrostáticos são vetoriais e divergentes;
Campos eletrostáticos satisfazem à lei de Coulomb e à lei de Gauss;
Não existem cargas puntuais magnéticas;
Campos magnetostáticos são vetoriais e rotacionais;
Variações de fluxos de campos magnéticos induzem campos elétricos dinâmicos;
Campos magnetostáticos têm origem em correntes elétricas;
Campos magnetostáticos satisfazem à Lei de Biot-Savart e à lei de Ampère;
Variações de fluxos de campos elétricos induzem campos magnéticos dinâmicos;
Variações de campos elétricos e de campos magnéticos estão associados;
Não é possível desassociar campos dinâmicos eletromagnéticos;
Os campos eletromagnéticos propagam à velocidade da Luz.
Essas são algumas poucas conclusões que saltam aos olhos quando vemos essas equações. Poderíamos ainda citar,
por exemplo, que os campos eletromagnéticos transportam energia e momentum, que todos os fenômenos ópticos
javascript:void(0)
javascript:void(0)
estão nelas descritos, que podemos extrair informações sobre radiação eletromagnética de baixas e altas energias, que
elas são a base de toda a Química, mas tudo isso está além dos objetivos deste conteúdo. Muito mais está contido
nessas quatro simples e belas equações. Diversas áreas científicas e de engenharias nasceram a partir delas, além de
grande parte de nossos avanços científicos e tecnológicos.
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
Ondas eletromagnéticas são soluções previstas pelas equações de Maxwell. Todas as características das ondas
mecânicas, acrescidas de informação vetorial de polarização, se verificam. Os fenômenos luminosos e
eletromagnéticos em geral são descritos em representação ondulatória. A partir de Maxwell, essa representação
eletromagnética ondulatória deixou de ser uma abordagem conceitual de tratamento, quando comparada a uma
abordagem de partículas, e passou a ser uma consequência necessária das Equações de Maxwell.
Chamamos a variedade de ondas eletromagnéticas existentes na natureza, que diferem por comprimento de onda ou
frequência, que definiremos a seguir, de espectro eletromagnético.
 Espectro Eletromagnético
Todas as classes de ondas eletromagnéticas são descritas num continuum de frequências ou de comprimentos de onda
que formam esse espectro. Desde o infravermelho profundo até o ultravioleta profundo, passando pela estreita faixa da
Luz visível, a radiofrequência, as micro-ondas, os raios X, os raios gama, os sinais típicos de TV em UHF e VHF, até a
radiação cósmica, todos esses comprimentos de onda são eletromagnéticos.
Os mais energéticos, como os de alta frequência, são classificados como ionizantes, pois são capazes de afetar a
matéria, em particular os tecidos biológicos. Os de baixa frequência são não ionizantes, pois não afetam a matéria
biológica.
Quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o comprimento de onda, maior será a
frequência.
E quanto maior a frequência, portanto de menor comprimento de onda, mais energética será a radiação
eletromagnética.
Não faz muito tempo, quando desejávamos nos comunicar entre duas localidades quaisquer, digamos duas cidades A e
B, podíamos fazê-lo, majoritariamente, por carta ou por comunicação telefônica, incluindo o telegrama e o fax. No
primeiro caso, transportávamos partículas (cartas), informação, matéria e, por conseguinte, energia. No segundo caso,
transportávamos somente informação e energia, mas não transportávamos matéria, como no exemplo anterior.
A segunda alternativa nos é útil para definirmos o conceito de ondas: o transporte de energia entre dois pontos, sem
necessariamente transportar matéria, como no sentido usual e simples do termo.
Nesse sentido, podemos ter diferentes tipos de ondas: ondas sonoras ou de pressão, ondas eletromagnéticas, ondas
de matéria (que vemos no estudo de Mecânica Quântica), ondas mecânicas ou, ainda, ondas mais complexas de
serem descritas e compreendidas, tais como as chamadas ondas não lineares do tipo solitônicas.
Em geral, em qualquer tratamento ondulatório, temos algumas grandezas físicas que caracterizam uma descrição
ondulatória. Essas grandezas são conhecidas como:
Comprimento de onda
Frequência
Amplitude
Período de oscilação
Número de onda
Frequência angular
Diferença de fase
Velocidade propagação
Esses são, em geral, os ingredientes que constituem qualquer onda.
Exemplo de formação de uma onda mecânica: as Tsunamis.
Sólitons são soluções ondulatória não-lineares ou exóticas, solitárias. Representam, essencialmente, soluções
ondulatórias em pacotes.
javascript:void(0)
 Representação de uma Tsunami
 EXEMPLO
Pense na seguinte situação: quando efetuamos uma batida sobre uma mesa, provocamos uma vibração mecânica
nessa mesa, que é o meio onde essa vibração se propaga, carregando consigo energia e informação, sem transportar
matéria, no sentido usual. Dizemos, então, que uma onda mecânica foi gerada e propagada.
O número de oscilações, ou vibrações, que temos por unidade de tempo, é o que definimos como a frequência de
vibração da onda.
Na mais simples representação algébrica de uma onda, podemos associá-la com funções senoidais ou cossenoidais.
Uma representação constituída por altos e baixos que chamamos de cristas e vales. A distância entre duas cristas, ou
dois vales, sendo definida como o comprimento de onda λ. O número de vezes, por unidade de tempo, em que a
oscilação ocorre será a frequência f de oscilação da onda. O valor máximo da oscilação, representa o que chamamos
de amplitude A da onda. A amplitude, portanto, é um valor de pico de uma onda. O tempo necessário para que ocorra
uma oscilação completa, de 0 a 2π radianos, é o que definimos por período de oscilação T da onda.
Então, as grandezas físicas de uma representação ondulatória são:
A – Amplitude da onda – valor máximo da solução ondulatória; 
f – Frequência – número de oscilações por unidade de tempo, com unidade SI Hertz (Hz) ou s - 1; 
λ – Comprimento de onda – comprimento de uma oscilação completa de 0 a 2π radianos, com unidade SI Metro (m); 
T – Período de oscilação – tempo de uma oscilação completa de 0 a 2π radianos, com unidade SI Segundos (s).
A velocidade de propagação ondulatória (em módulo), conhecida como velocidade de fase, é definida por:V = Λ /T = Λ F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde a frequência f é o inverso do período de oscilação T,
F = 1/T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nos fenômenos eletromagnéticos, a velocidade de propagação é a velocidade da Luz c, uma constante universal da
natureza. Assim, para qualquer onda eletromagnética, temos:
C = Λ F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, costumamos nos referir às diferentes ondas eletromagnéticas por seu comprimento de onda ou por sua
frequência, inversamente relacionados pela constância de velocidade da Luz.
 RELEMBRANDO
Então, novamente: quanto maior a frequência, menor o comprimento de onda. Quanto menor o comprimento de onda,
maior será a frequência. A velocidade da luz é constante universal da natureza, não importando qual referencial se
utiliza para medi-la, ou para qual direção a medimos, mesmo que em movimentos mecânicos relativos.
Ainda temos duas grandezas derivadas das anteriores e muito utilizadas:
k – Número de onda, com unidade SI (radianos/m)
k = 2π /λ
ω – Frequência angular, com unidade SI (radianos/s)
ω = 2π f
 EXEMPLO
Pense no problema unidimensional de uma corda vibrando como uma senoide. A vibração será descrita por uma
função
y(x, t) = A sen(kx - ωt + δ)
ou
y(x, t) = A sen
2π
λ x - 2πf t + δ
Onde δ é a constante de diferença de fase, chamada de constante de fase, que descreve o ângulo inicial de partida da
função quando x = 0 e t = 0.
Por convenção, o argumento da função ondulatória estará em radianos.
Essa representação de onda escalar unidimensional descreve a evolução do fenômeno da vibração da corda num
plano e, por isso, a chamaremos de onda plana unidimensional.
As ondas se propagam de duas formas distintas, dependendo de sua natureza. Se as vibrações ondulatórias ocorrem
numa direção, digamos a direção x, e a propagação se verifica na direção ortogonal (perpendicular) à vibração da
onda, direção y, diremos que é uma onda transversal. A onda vibra em uma direção e a propagação é ortogonal à
direção de vibração.
 Onda Transversa Propagante
No outro caso, se a direção de propagação é a mesma em que ocorre a vibração, dizemos que a onda é longitudinal.
Esse é o caso que se verifica quando uma pessoa fala, quando ondas de pressão do ar são geradas e se propagam na
mesma direção de vibração da onda, transportando informação, o que nós conhecemos como ondas sonoras. Da
mesma maneira, caixas acústicas produzem ondas de pressão de ar longitudinais e som.
( )
 Onda Longitudinal Propagante
As ondas eletromagnéticas são ondas transversais e podem ser representadas como soluções de onda plana nos
casos mais simples. No entanto, apresentarão um ingrediente a mais, a polarização, que representa seu caráter
vetorial.
 EXEMPLO
Tomemos duas soluções ondulatórias, no espaço tridimensional, uma elétrica e outra magnética. Ambas propagam na
mesma direção, 
→
k, chamado de vetor de onda, uma generalização vetorial do número de onda k, com a mesma
frequência angular ω e a mesma diferença de fase δ, mas com polarizações ortogonais, para o caso livre de matéria.
Não vamos confundir 
→
k com a direção z de um sistema coordenado xyz. 
 
→
E →R; T = E0 SEN
→
K. →R - ΩT + Δ P̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
→
B →R; T = B0 SEN
→
K. →R - ΩT + Δ Q̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Onde p̂ e q̂ são os vetores unitários de polarização.
Como 
→
E e 
→
B são soluções ondulatórias transversais, para radiação pura temos:
( ) ( )
( ) ( )
→
K.
→
E = 
→
K.
→
B = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Além disso, na ausência de matéria, os campos 
→
E e 
→
B são ortogonais,
→
E.
→
B = 0
 
Se tomarmos a lei de Faraday-Lenz em representação diferencial, e substituirmos as soluções ondulatórias anteriores,
temos:
→
∇ × 
→
E = -
∂
→
B
∂ t
 
→
∇ × 
→
E →r ; t = -
∂
→
B →r ; t
∂ t
→
∇ × E0 SEN
→
K. →R - ΩT + Δ P̂ = -
∂
∂ T B0 SEN
→
K. →R - ΩT + Δ Q̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
→
k × 
→
E = ω
→
B
→
B =
→
k
ω × 
→
E 
 
Mas, como k = 2π /λ e ω = 2π f,
 
c = λ f =
2π
→
k
 
ω
2π =
ω
→
k
 
 
ω =
→
k C
 
Assim,
( )
( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
| | | |
| |
→
B =
→
K
→
K C
× 
→
E ⟹ 
→
B =
1
C K̂ × 
→
E 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Onde k̂ é a direção de propagação. Não vamos confundir k̂ com o vetor unitário da direção z de um sistema
coordenado xyz. Ou seja, os campos 
→
E e 
→
B são ortogonais entre si e são ortogonais à direção de propagação. Além
disso, se tivermos uma onda elétrica, teremos induzida uma onda magnética e vice-versa, satisfazendo a relação
anterior. 
Se tomarmos os módulos desta última equação, encontramos a relação entre as amplitudes dos campos:
→
B =
1
C 
→
E ⟹ 
→
E
→
B
 = C ⟹ 
E0
B0
 = C 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Portanto, as amplitudes dos campos 
→
E e 
→
B, satisfazem E0 = c B0.
Podemos observar as ondas eletromagnéticas, com componente elétrica e magnética, em cada ponto da direção de
propagação, k̂, como planos que se sucedem. Chamamos esses planos sucessivos de frentes de onda.
| |
| | | | | || |
Se tomarmos as soluções de onda plana dos campos 
→
E e 
→
B e diferenciarmos duas vezes no espaço e no tempo,
obteremos a Equação da Onda. Vamos simplificar as soluções ondulatórias para um campo 
→
E propagando na direção x
com polarização em ĵ, o que satisfaz o que já analisamos:
→
E(X; T) = E0 SEN(K. X - ΩT + Δ) Ĵ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar em x e em t, duas vezes:
∂
→
E
∂ T = - Ω E0COS(KX - ΩT + Δ)Ĵ
⟹ 
1
Ω2
∂2
→
E
∂ T2
= E0SEN(KX - ΩT + Δ)ȷ̂
∂2
→
E
∂ T2
= Ω2E0SEN(KX - ΩT + Δ)ȷ̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∂
→
E
∂ X = - K E0COS(KX - ΩT + Δ)Ĵ ⟹ 
1
K2
∂2
→
E
∂ X2
= E0SEN(KX - ΩT + Δ)ȷ̂
∂2
→
E
∂ X2
= K2E0SEN(KX - ΩT + Δ)ȷ̂
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao igualarmos as duas equações à direita, temos:
1
Ω2
∂2
→
E
∂ T2
=
1
K2
∂2
→
E
∂ X2
 
 
∂2
→
E
∂ X2
 - 
K2
Ω2
 
∂2
→
E
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já vimos que,
Ω =
→
K C ⟹ C =
Ω
→
K
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E assim,
∂2
→
E
∂ X2
 - 
1
C2
 
∂2
→
E
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma maneira, podemos fazer para o campo 
→
B:
| | | |
∂2
→
B
∂ X2
 - 
1
C2
 
∂2
→
B
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas são as equações de onda dos campos 
→
E e 
→
B na direção x, o que nos mostra que sua velocidade de propagação
é a velocidade da Luz, c.
Podemos generalizar as equações de onda para as três dimensões espaciais:
→
∇ 2
→
E - 
1
C2
 
∂2
→
E
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
∇ 2
→
B - 
1
C2
 
∂2
→
B
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde o Operador diferencial Laplaciano em coordenadas xyz, será:
∇2
→
E =
∂2
→
E
∂ X2
+
∂2
→
E
∂ Y2
+
∂2
→
E
∂ Z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
∇2
→
B =
∂2
→
B
∂ X2
+
∂2
→
B
∂ Y2
+
∂2
→
B
∂ Z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se quisermos demonstrar essas equações de onda diretamente das equações de Maxwell, encontraremos a importante
relação:C =
1
Μ0Ε0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As ondas eletromagnéticas possuem diversas propriedades, como a Polarização, a Difração, a Interferência, a
Refração e a Reflexão, para citar as principais, como são conhecidas as propriedades ópticas da radiação
eletromagnética como a Luz.
Na verdade, a verificação dessas propriedades em qualquer fenômeno físico é a forma de classificar o fenômeno como
sendo ondulatório. Esse foi o critério usado nos primórdios da Mecânica Quântica, quando compreendemos que
elétrons podem ser descritos como ondas de matéria, pois feixes de elétrons apresentam algumas dessas
propriedades, em um dos princípios mais fundamentais da Física Quântica, a dualidade Onda-Partícula.
 SAIBA MAIS
Sobre a Energia e o Momentum Linear em Ondas Eletromagnéticas, e sobre Ondas Eletromagnéticas Estacionárias,
em Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Sobre as propriedades ópticas da Luz em Física IV – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015.
Pesquise também sobre o conceito de Dualidade Onda-Partícula, um dos postulados da Física Quântica.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Um transformador de tensão ideal é um dispositivo com dois subsistemas, um primário e outro secundário, que são
circuitos enrolamentos no entorno de um núcleo de ferro, composto por lâminas de ferro separadas por material
isolante, para se evitar a perda de energia por efeito das correntes de Foucault.
O enrolamento primário, com N1 espiras é alimentado por uma f.e.m. variável E1 e induz uma f.e.m. variável E2 no
sistema secundário, com N2 espiras. Entre os subsistemas primário e secundário, não há condução elétrica, apenas
compartilham o fluxo de campo magnético de forma ideal. Obtenha uma relação entre os subsistemas desse
transformador, de forma a podermos aumentar ou abaixar a tensão de saída no secundário.
√
 Transformadores de tensão
RESOLUÇÃO
Os circuitos primário e secundário, em um transformador ideal, compartilham o fluxo de campo magnético variável por
número de enrolamentos, pois ΦB será o mesmo por cada enrolamento no primário e no secundário. Da Lei de
Faraday-Lenz, temos:
E = - N
dΦB
dt
Mas, em cada enrolamento do primário e do secundário, 
dΦB
dt , será o mesmo. Assim,
E1 = - N1
dΦB
dt e E2 = - N2
dΦB
dt
E, portanto,
E1
N1
=
E2
N2
 ⟹ 
E2
E1
= 
N2
N1
Da relação entre o número de enrolamentos no secundário e no primário, o transformador aumentará ou abaixará a
tensão de saída no secundário.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
 Analisar os Circuitos RC, LR, LC e LRC.
Neste módulo, muito amplo, vamos analisar os elementos fundamentais e essenciais aos circuitos com
comportamentos não uniformes.
Circuitos não uniformes incluem grande variedade de combinações de componentes possíveis. Então, vamos dividir em
classes representativas de circuitos. Em todos, verificaremos uma variação da corrente elétrica em intervalos
frequentes. Nosso ponto de partida são as regras de Kirchhoff.
Antes, porém, vamos analisar associações de indutores.
ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
DEMONSTRAÇÃO
Se quisermos associar indutores em série ou em paralelo, como na figura anterior, não devemos nos esquecer da Lei
de Faraday e da definição de autoindutância:
E = -
DΦB
DT 
 
ΦB = L I ⟹ E = - L
D I
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em geral, nos circuitos com indutores, usamos a convenção de uso de sinais das correntes para o equacionamento dos
circuitos com as regras de Kirchhoff. Ou seja, indutores serão tratados como consumidores de energia.
ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE
A f.e.m. total será a soma das tensões elétricas induzidas nos N indutores em série da figura. 
 
ER = E1 + E2 + … + EN 
 
Como a corrente elétrica será a mesma, 
 
Leq
d I
dt = L1
d I
dt + L2
d I
dt + … + LN
d I
dt 
 
Logo, 
 
Leq = L1 + L2 + …LN = ∑
N
j = 1Lj
ASSOCIAÇÃO 
EM PARALELO
A corrente elétrica será a soma das correntes em cada indutor da figura. 
 
IR = I1 + I2 + … + IN 
 
Então, 
 
d IR
dt = 
d I1
dt +
d I2
dt + … +
d IN
dt 
 
ER
LR
= 
E1
L1
+
E2
L2
+ … +
ER
LR
 
 
Como as tensões serão as mesmas em paralelo, 
 
1
LR
= 
1
L1
+
1
L2
+ … +
1
LR
= ∑ Nj = 1
1
Lj
 
Como o objetivo neste módulo é muito prático, vamos desenvolver as classes de circuitos como exercícios Mão na
Massa, mas antes vamos elencá-los sempre em malha única, representando cada componente como seu equivalente,
lembrando que podemos associar seus componentes de muitos modos, com diferentes objetivos.
CIRCUITO RC
Circuito com resistor R e capacitor C. Podemos analisá-lo em carga ou em descarga do capacitor. Os capacitores têm
um tempo crítico característico de carga e descarga, supondo uma f.e.m. de tensão contínua.
CIRCUITO RL
Circuito com resistor R e indutor L. Podemos analisá-lo com ou sem fonte elétrica. Os indutores têm um tempo crítico
característico para atingir a corrente máxima e mínima, supondo uma f.e.m. de tensão contínua.
CIRCUITO LC
Circuito com capacitor C e indutor L. Idealmente de resistência nula. São circuitos oscilantes, continuamente trocando a
energia acumulada no capacitor e no indutor. Usualmente usados para controle de frequências altas ou baixas, a
depender do arranjo.
CIRCUITO RLC
Circuito com capacitor C, resistor R e indutor L. São os clássicos circuitos oscilantes, com as três propriedades
explicitadas. Quando alimentados por fontes alternadas externas, são harmônicos. São a base da eletrônica analógica.
Apresentam-se em diversos arranjos como filtros.
CIRCUITO RLC
O protótipo RLC de uma única malha é um clássico oscilador eletromagnético com fonte externa alternada.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos analisar um circuito LRC ideal, em série, com fonte harmônica, E = E0cos(ωt), onde ω é a frequência angular da
f.e.m.
RESOLUÇÃO
CIRCUITO RLC COM F.E.M. ALTERNADA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste Tema de Eletrodinâmica, abordamos a fundamentação, a compreensão e a aplicação das leis de indução
eletromagnéticas: a Lei de Faraday-Lenz e a Lei de Ampère-Maxwell. Verificamos que fluxos de campos elétricos e
magnéticos variáveis geram fenômenos físicos. Estudamos quais são esses fenômenos, como se processam e como
são aplicados tecnologicamente. Analisamos as Equações de Maxwell, os elementos fundamentais das ondas
eletromagnéticas e os elementos da estrutura básica dos circuitos elétricos e eletrônicos modernos.
 PODCAST
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
TIPLER, P. A. Física para cientistas e engenheiros. Volume 2. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2011.
YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2018. Volume 3.
GRIFFITHS, David J.; Eletrodinâmica. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2019.
NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física básica: eletromagnetismo. 1. ed. digital. São Paulo: Blucher, 2018.
BARROS, L. M. Física teórica experimental III. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2017.
EXPLORE+
Leia sobre as Correntes de Foucault em YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. A. Física III – Sears & Zemansky, 2015.
Leia sobre Radiação Eletromagnética no canal da USP: Astroweb ― Radiação Eletromagnética (cap. 4) ― Profa.
Dra. Elisabbete Maria de Gouveia Dal Pino.
Leia sobre Motores Elétricos em TIPLER, P. A. Física Para Cientistas e Engenheiros. 6. ed. Volume 2. Rio de
Janeiro: LTC, 2011.
Leia sobre Supercondutividade e efeito Meissner em: YOUNG, H. D.; FREEDMAN, R. FÍSICA III – Sears &
Zemansky. 14. ed. São Paulo: Addison Wesley, 2015. Volume 3.
Busque os Simuladores de Indução Eletromagnética do Projeto Phet, da Universidade do Colorado, Boulder.
Leia sobre a técnica dos diagramas fasoriais na solução dos circuitos elétricos C.A. em HALLIDAY, D.; RESNICK,R.;
WALKER, J. Fundamentos de Física: eletromagnetismo. 10. ed. v. 13. Rio De Janeiro: LTC, 2018. Volume 3.
CONTEUDISTA
Gentil Oliveira Pires
 CURRÍCULO LATTES
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