Probabilidade e Estatística - Exercícios

Prévia do material em texto

EXERCÍCIOS – PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA 
 
02. Admite-se que uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 10 quilômetros. 
a) Qual é a probabilidade de a pane ocorrer nos primeiros 500 metros? E de ocorrer nos 3 quilômetros 
centrais da rede? 
Considere 𝑥 o ponto da pane na rede elétrica. Com isso, temos que 𝑥~𝑈[0, 10], com função 
densidade de probabilidade dada por: 
 
𝑓(𝑥) = {
1
10
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
▪ Temos que 500𝑚 = 0,5𝐾𝑚, logo queremos saber 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 0,5), que pode ser dada por: 
∫
1
10
0,5
0
𝑑𝑥 =
𝑥
10
|
0,5
0
=
1
20
 
 
Com isso, temos que 𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 0,5) =
1
20
 
 
▪ Os 3 quilômetros centrais correspondem aos quilômetros 4, 5 e 6. Como a probabilidade de 
ocorrência de pane é igual nos três, temos que: 
 
𝑃(𝐾𝑚 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠) =
1
10
+
1
10
+
1
10
=
3
10
 
 
b) O custo do reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere 
que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de R$200,00 para distâncias até 3 
quilômetros, de R$400,00 entre 3 e 8 e de R$1000,00 para distâncias acima de 8 quilômetros. Qual é 
o custo médio do conserto? 
Temos que: 
 
𝑃(0 ≤ 𝑥 ≤ 3) = ∫
1
10
3
0
𝑑𝑥 =
𝑥
10
|
3
0
=
3
10
 
𝑃(3 < 𝑥 ≤ 8) = ∫
1
10
8
3
𝑑𝑥 =
𝑥
10
|
8
3
=
5
10
 
E, 
 
𝑃(8 < 𝑥 ≤ 10) = ∫
1
10
10
8
𝑑𝑥 =
𝑥
10
|
10
8
=
2
10
 
 
Com isso, temos que o custo médio pode ser dado por: 
𝜇 =
3
10
∙ 200 +
5
10
∙ 400 +
2
10
∙ 1000 =
4600
10
= 460 
 
Logo, o custo médio é de R$460,00. 
 
06. Suponha que o tempo de vida 𝑇, em segundos, de um vírus exposto ao meio ambiente segue uma 
distribuição Exponencial com parâmetro 𝛼 = 1/20𝑠. Calcule a probabilidade condicional 
𝑃(𝑃 > 15|𝑃 > 10). 
Considerando 𝑠 = 10 𝑒 𝑡 = 5, pela Propriedade da Falta de Memória, temos: 
 
𝑃(𝑥 > 𝑠 + 𝑡|𝑥 > 𝑠) = 𝑃(𝑥 > 𝑡) = 𝑒−𝛼𝑡 
Logo, 
𝑃(𝑥 > 15|𝑥 > 10) = 𝑃(𝑥 > 5) = 𝑒−
1
20⁄ ∙5 = 𝑒−
1
4⁄ ≅ 0,779 
 
23. O tempo necessário para eliminar o perigo de contaminação de certo pesticida, após sua aplicação 
em um pomar, é uma variável aleatória Exponencial de parâmetro 2 (em anos). O maior ou menor 
tempo depende de fatores como chuva, vento e umidade da região. Tendo em vista esse 
comportamento, as autoridades sanitárias recomendam que o contato direto ou indireto com as frutas 
pulverizadas seja evitado por algum tempo após a aplicação. Calcule a probabilidade de uma fruta 
desse pomar, escolhida ao acaso, não estar mais contaminada após 1 ano da pulverização. Qual é a 
nossa “segurança” se aguardamos 2 anos para consumir essas frutas? 
Temos que a função densidade pode ser dada por: 
 
𝑓(𝑡) = {
2𝑒−2𝑡, 𝑠𝑒 𝑡 ≥ 0
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
 
 
▪ Com isso, a probabilidade de contaminação de uma fruta desse pomar após um ano pode ser 
dada por: 
𝑃(𝑥 < 1) = ∫ 2𝑒−2𝑡
1
0
𝑑𝑡 = −𝑒−2𝑡|
1
0
≅ 0,8647 
 
 
Logo, há, aproximadamente, 86,47% de chance dessa fruta não estar mais contaminada. 
 
▪ Já a probabilidade de contaminação de uma fruta desse pomar após dois anos pode ser dada 
por: 
𝑃(𝑥 < 2) = ∫ 2𝑒−2𝑡
2
0
𝑑𝑡 = −𝑒−2𝑡|
2
0
≅ 0,9816 
 
Logo, há, aproximadamente, 98,16% de chance dessa fruta não estar mais contaminada. 
 
30. Um teste de aptidão feito por pilotos de aeronaves em treinamento inicial requer que uma série 
de operações seja realizada em uma rápida sucessão. Suponha que o tempo necessário para completar 
o teste seja distribuído de acordo com uma normal de média de 90 minutos e desvio padrão de 20 
minutos. 
a) Para passar no teste, o candidato deve completa-lo em menos de 80 minutos. Se 65 candidatos 
tomam o teste, quantos são esperados passar? 
Considere 𝑥 a variável contínua que representa o tempo necessário em minutos para completar o 
teste. Pela aproximação normal, temos que 𝑧 =
𝑥−𝜇
𝑠
~𝑛(0, 1), logo 
 
𝑃(𝑥 < 80) = 𝑃 (𝑧 <
80 − 90
20
) = 𝑃 (𝑧 < −
1
2
) = 𝑃(𝑧 < −0,5) 
 
Como 𝑃(−∞ < 𝑧 ≤ 0) = 𝑃(0 ≤ 𝑧 < ∞) = 0,5 e 𝑃(0 < 𝑧 < 0,5) = 0,19146 = 𝑃(−0,5 < 𝑧 <
0), temos que: 
𝑃(𝑧 < −0,5) = 0,5 − 0,19146 = 0,3085 
 
Logo, entre os 65 candidatos, são esperados que 65 ∙ 0,3085 ≅ 20 candidatos passem. 
 
b) Se os 5% melhores candidatos são alocados para aeronaves maiores, quão rápido deve ser o 
candidato para que obtenha essa posição? 
Temos que: 
𝑃(𝑋 < 𝑥) =
5
100
⟺ 𝑃 (𝑧 <
𝑥 − 90
20
) = 0,05 
 
 
Sabendo que 
𝑥−90
20
= −1,64, temos que: 
𝑥 − 90 = 20 ∙ (−1,64) ⇒ 𝑥 = −32,8 + 90 ⇒ 𝑥 = 57,2 
 
Logo, para o candidato obter essa posição, ele deve terminar o teste em, no máximo, 57,2 minutos.