Potenciação e Radiciação

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Potenciação e Radiciação
Potenciação com expoente natural
Propriedades da potenciação
Representada por b , sendo b (ou base) um número real
e n (ou expoente) um número natural maior que 2. 
É o produto de n fatores iguais a b
Potenciação com expoente inteiro negativo
Tendo uma base b de número real e não nulo e um expoente de número
inteiro, é definido que: b = 1
 b
Potenciação com expoente racional
 a = a
Essa inversão da base torna o expoente
positivo, igual a potenciação de expoente natural.
b = b * b * b * ..... b
Exemplo: 2 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32
Exemplo: 3 = 1 = 1 
 3 9
Exemplo: 2 = 1 = 1 = 25
 5 2 4 4
 5 25 
 
Tendo que a é um número real,
m é inteiro e n também é inteiro
e diferente de zero.
 
OBS.: Se a base for um número real negativo e o expoente
um número natural ímpar, o resultado será negativo. Porém,
se o expoente for um número natural par, o resultado será
positivo. Isso acontece por conta da regra de sinais.
Nos casos em que n < 2, é definido:
 b = 1, desde que b seja diferente de 0;
 b = b
n
n
5
Exemplo: (-3) = (-3) * (-3) * (-3) = -273
 (-3) = (-3) * (-3) * (-3) * (-3) = +814
n fatores
0
1
-n
n
-2
2
2
m
n n m
Produto de potências de mesma base
Os expoentes são somados e a base é conservada; 
Exemplo: 2 * 2 = 2 = 23 5 83 +5
Produto de uma potência
A base é mantida e os expoentes são multiplicados
Exemplo: ( 5 ) = 5 = 5 
Escrita de um número na forma de potência
Notação Científica
É basicamente transformar 2 ou mais números em potências de base comum.
Exemplo: 4 = 2 e 1/4 = 2 .
Também é possível escrever alguns números racionais na forma de potência
com base inteira.
Exemplo: 0,5 = 5 = 1 = 2
 10 2
Quando lidamos com grandezas muito grandes ou muito pequenas, podemos
utilizar potências de base 10 para representar esses números. Essa técnica é
chamada de notação científica e sua fórmula é m • 10 .
No qual m é demonimado mantissa, um número racional maior que 1 e menor
que 10, enquanto que e é denominado a ordem de grandeza, expoente da
base 10. 
Exemplo: caso desejemos escrever o número 2 500 000 de forma mais
concisa, usamos a notação científica para fazermos o seguinte:
2 500 000 = 2,5 • 1 000 000 = 2,5 * 10
Veja como uma expressão numérica é simplificada a partir dessa transformação:
Antes: 4 * 1 * 16 
 0,5 1
 32 
OBS.: Devido à propriedade comutativa da multiplicação, 
temos que ( a ) = ( a ) 
2
3
 2 * 3 6
Quociente de potências de mesma base
Os expoentes são subtraidos e a base é conservada; 
Exemplo: 5 = 5 = 5
 5
Exemplo: 1 : 1 = 1 = 1
 3 3 3 3
7
3
9 5 9-5 4
47 - 3
Potência de um quociente
Pode ser escrita como um quociente de potências 
Exemplo: 2 = 2 = 4
 3 3 9
2 2
 2
m mn n
Exemplo: ( 2 ) = ( 2 ) * ( 2 ) * ( 2 ) = 4 * 4 * 4 = 64
 
 2 = 2 = 2 = 256 
2 2 2 23
2 2 * 2 * 2 83
Note também que ( a ) é diferente de a . Em ( a ) , a base do expoente n é a , e no
caso de a , a base do expoente n é m, e m é o expoente da base a. 
m n m
n
mn
m m
n
n
-1
8
8 2
3
*
Depois: ((2 ) * (2 ) * (2 ) )
 (2 ) * (2 )
2 -3 -2 4 3 -1
-1 8 -5 2
-1
Para resolver essa expressão agora, é só aplicar as propriedades de potência
e
6
quantos zeros são?
no começo eram 5, mas, como a vírgula foi 
movida para antes do algarismo 5, ou seja, uma
casa, vira 6 zeros. 
Radiciação
Propriedades
√mn
radical
índice: número natural 
maior ou igual a zero
radicando: deve ser um número real 
e maior ou igual a zero
1ª propriedade
√125? - Tendo que a raíz é cúbica, é um bom caminho
pensar em um número que, elevado a 3, dá 125. Ou seja,
5. Assim: √5. Corta-se o índice com o expoente e, assim, 
tira-se a raiz. A raiz cúbica de 125 é 5. Isso que dizer que,
se o indíce e o expoente forem números iguais, eles
podem ser cortados.
OBS.: Essa propriedade só é válida se o radicando for 
maior ou igual a zero OU se o radicando for menor
que zero e tiver um indíce impar
Exemplos: √(-1) = -1 . 
3
3 3
33
3ª propriedade
Observe: √27 * 8 e √27 * √83
33
33
3 3
√27 * 8 = √216 = 6
√27 * √8 = 3 * 2 = 6
Assim, temos que √a * b = √a * √b,
quando os racicandos forem reais e 
positivos e o índice for um número
natural maor ou igual a 2.
Potenciação com radicais
Deve-se elevar o radicando ao
expoente dado: ( √a) = √a , 
sendo que a deve ser maior ou igual 
a zero, m um número natural maior que 1
e n um número inteiro.
(6 √4-x) = 6 * √(4 - x) = 36 * (4 - x)=
144 - 36x = x = 4
m mn n
2 2 2
Racionalização de denominadores
Consiste em multiplicar a fração dada pelo
número 1, escrito como fração, de modo
que o produto nos denominadores seja
um número racional
1 = 1 * √2 = 1 * √2 = √2 = √2
 
Potência com expoente fracionário
a = √a , sendo que a é um número real 
e positivo, m é um número inteiro e n é
um número natural maior ou igual a 2. 
 
Radiciação com radicais
4ª propriedade
2ª propriedade
Podemos observar o número 2 por meio de diferentes radicais.
Por exemplo: 2 = √2 ou 2 = √2
Assim, temos que √2 = √2 . Para obter a igualdade, basta
dividir o indíce e o expoente pelo mesmo número (com 
exceção de zero). Essa técnica é usada para simplificar alguns
radicais.
Exemplo: √ 7 = √ 7 = √ 7
Observe: 27 e √27
 8 √8
 10 1055
8 28:4 4:44
3 3
3
Ambos os resultados são 3/2. Assim, todas as 
raízes montadas dessa forma tem resultados 
iguais, desde que numerador e denominador
sejam reais e positivos e o índice seja natural
e maior do que 2.
Fazemos: √ √a = √am
m * nn
Exemplo: √√2 = √2 = √23 3 * 2
√2 √2 √2 √2* √2 √2 
6
2
2
1 como fração
m/n n m