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Faculdade de Economia/UFPA
Matemática I
Profa Ma Fádua Ferreira
faduafantonio@gmail.com
4 de Abril de 2018
Aula 01: Noção de Funções
REFERENCIAL BIBLIOGRÁFICO
TAN, Soo Tang. Matemática Aplicada à Administração
e Economia. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning,
2007.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
CRONOGRAMA DE PROVAS
1a AVALIAÇÃO PARCIAL 26/04/2018
2a AVALIAÇÃO PARCIAL 07/06/2018
3a AVALIAÇÃO PARCIAL 05/07/2018
4a AVALIAÇÃO GERAL 12/07/2018
OBSERVAÇÕES:
I A nota �nal (NF) será dada por: NF = (NP1 + NP2 + NP3)/3, em
que NP1 é referente a primeira maior nota, NP2 é referente a
segunda maior nota e NP3 é referente a terceira maior nota;
I Será exigida frequência mínima nas aulas de 75%;
I Solicitação de segunda chamada em qualquer prova deverá ser
realizada pelo Sistema de Atendimento - SAGITTA - UFPA em até
72 horas após a realização da prova, com a devida justi�cativa da
ausência.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
NOÇÃO DE FUNÇÕES
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Funções
I Um fabricante gostaria de saber como o lucro de sua
companhia está relacionado com o seu nível de produção;
I Um biólogo gostaria de saber como o tamanho da
população de certa cultura de bactérias mudará ao longo
do tempo;
I Um psicólogo gostaria de conhecer a relação entre o
tempo de aprendizado de um indivíduo e o tamanho de
seu vocabulário;
I Um químico gostaria de saber como a velocidade inicial
de uma reação química está relacionada à quantidade de
substrato utilizada.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Uma função é uma regra que associa a cada elemento
de um conjunto A um único elemento de um conjunto
B.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Podemos pensar em uma função f como uma máquina. O
domínio é o conjunto de dados de entrada (matéria-prima)
para a máquina, a regra descreve como esses dados devem ser
processados, e os valores da função são os dados de saída da
máquina.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Observação
É importante entender que a saída f (x) associada à entrada x
é única.
Para apreciar a importância dessa propriedade de
unicidade, considere uma regra que associa a cada
artigo x de uma loja de departamentos seu preço de
venda y ; então, cada x deve corresponder a um e
somente um y .
Diferentes x ′s podem, também, estar associados ao mesmo y .
No contexto do presente exemplo, isso signi�ca que artigos
diferentes podem ter o mesmo preço.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Um exemplo de função é dado pela conhecida relação entre a
área de um círculo e seu raio. Denotando por x e y , o raio e a
área de um círculo, respectivamente, sabemos da geometria
elementar que
y = πx2, (1)
a Equação (1) de�ne y como uma função de x . A regra
de�nindo essa �função área� pode ser escrita como
f (x) = πx2 (2)
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Para calcular a área de um círculo de raio 5 polegadas,
simplesmente substituímos x na Equação (2) pelo número 5.
Assim, a área do círculo é
f (5) = π52 = 25π
ou seja, 25π polegadas quadradas.
Exemplo: Considere a função f de�nida pela expressão
f (x) = 2x2 − x + 1. Calcule:
a. f (1) b. f (−2) c. f (a) d. f (a + h)
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Funções de Lucro
A Companhia Termo-Master fabrica certo tipo de
termômetro em sua subsidiária mexicana. A gerência estima
que o lucro (em dólares) que a Termo-Master pode alcançar
na fabricação e venda de x termômetros por semana é
P(x) = −0, 001x2 + 8x − 5.000
Determine o lucro semanal da Termo-Master quando seu nível
de produção é de
(a) 1.000 termômetros por semana.
(b) 2.000 termômetros por semana.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Determinando o Domínio de uma Função
Suponhamos que nos seja dada a função y = f (x). Então, a
variável x é chamada variável independente. A variável y
cujo valor depende de x é denominada variável dependente.
Para determinarmos o domínio de uma função,
precisamos encontrar quais restrições devem ser
colocadas sobre a variável independente x, caso
existam.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo: Determine o domínio de cada uma das funções
de�nidas pelas seguintes equações:
a. f (x) =
√
x − 1 b.f (x) = 1
x2−4 c. f (x) = x
2 + 3
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Empacotamento
Desejamos construir uma caixa aberta a partir de uma folha retangular de papelão
com 16 polegadas de comprimento e 10 polegadas de largura recortando quadrados
idênticos (de x por x polegadas) de cada canto da folha e dobrando as abas
resultantes. Encontre a expressão que fornece o volume V da caixa em função de x .
Qual é o domínio dessa função?
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Aula 01: Noção de Funções
Grá�cos de Funções
Se f é uma função com domínio A, então a cada número real
x de A está associado precisamente um número real f (x).
Escrevamos cada número x de A como o primeiro membro de
um par ordenado e cada número f (x) correspondente a x
como o segundo membro do par ordenado.
Uma função f com domínio A é o conjunto de todos
os pares ordenados (x , f (x)) tal que x pertence a A.
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Aula 01: Noção de Funções
Observe que a condição de que exista um único número f (x)
associado a cada número x de A se traduz pela exigência de
que não existam dois pares ordenados com o mesmo primeiro
membro.
GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
O grá�co de uma função f é o conjunto de todos os
pontos (x , y) no plano xy tal que x está no domínio de
f e y = f (x).
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Grá�cos de Funções
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo: Esboce o grá�co da função de�nida pela equação
y = x2 + 1. Qual é a imagem de f ?
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Depósitos Bancários
A Companhia Financeira Madison planeja abrir duas agências
daqui a dois anos em dois locais distintos: em um complexo
industrial e em um centro comercial recém-construído. Como
resultado desses planos de expansão, espera-se que o total de
depósitos na Madison durante os próximos cinco anos cresça
de acordo com a regra
f (x) =
{ √
2x + 20, se 0 ≤ x ≤ 2 ,
1
2
x2 + 20, se 2 < x ≤ 5.
onde y = f (x) fornece a quantia total de dinheiro (em milhões
de dólares) em depósito na Madison no ano x(x = 0
corresponde ao presente). Esboce o grá�co da função f .
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Aula 01: Noção de Funções
Teste de Conhecimento
Estudos estatísticos mostram que cada vez mais motoristas estão
abastecendo seus próprios veículos, dispensando o auxílio dos frentistas.
A seguinte função fornece o valor de vendas de combustível dos
motoristas que abastecem seus próprios carros como uma porcentagem
sobre o total de vendas de combustível nos Estados Unidos:
f (x) =
{
6t + 17, se 0 ≤ t ≤ 6 ,
15, 98(t − 6)1/4 + 53, se 6 < t ≤ 20.
Aqui, t é medido em anos, com t = 0 correspondendo ao início de 1974.
a. Esboce o grá�co da função f .
b. Que porcentagem do total de vendas de combustível no início de 1978
correspondeu ao total de vendas dos motoristas que abastecem seus
próprios carros? E no início de 1994?
Fonte: Corporation Amoco.
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Aula 01: Noção de Funções
A Álgebra das Funções
Soma, Diferença, Produto e Quociente de Funções
Denotemos por S(t) e R(t), respectivamente, o gasto e a arrecadação do
governo federal no instante t, medidos em bilhões de dólares.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
A função D, a diferença das duas funções S e R , e pode ser
chamada �função dé�cit (superávit)�, já que fornece o dé�cit
orçamentário no instante t. Tal função tem o mesmo domínio
que as funções S e R . O grá�co da função D.
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Aula 01: Noção de Funções
Sejam f e g funções com domínio A e B , respectivamente.
Então a soma f + g , a diferença f − g , o produto fg de f e g
são funções com domínio A ∩ B* dadas por
(f + g)(x) = f (x) + g(x) Soma
(f − g)(x) = f (x)− g(x) Diferença
(fg)(x) = f (x)g(x) Produto
O quociente f /g de f por g é uma função cujo domínio é A,
excluindo todos os pontos x tais que g(x) = 0, e é dadopor
(
f
g
)
(x) = f (x)
g(x)
Quociente
*A∩B lê-se "A interseção B"e denota o conjunto de todos os pontos comuns a A e B.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo: Sejam f (x) = x2 + x e g(x) = 2x + 1. Determine
a soma s, a diferença d e o produto p das funções f e g .
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Funções de Custo
Suponha que a Puritron, um fabricante de �ltros de água, tem
um custo mensal �xo de $ 10.000 e um custo variável de
−0, 0001x2 + 10x (0 ≤ x ≤ 40.000)
dólares, onde x denota o número de �ltros fabricados por mês.
Determine a função C que dá o custo total da Puritron na
fabricação de x �ltros.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
A COMPOSIÇÃO DE DUAS FUNÇÕES
Sejam f e g duas funções. Então a composição de g e f é a
função g ◦ f , de�nida por
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
O domínio de g ◦ f é o conjunto de todos os A no domínio de
f tal que f (x) pertence ao domínio de g .
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
A função g ◦ f (leia-se "g bola f ") é também chamada função
composta. A interpretação da função h = g ◦ f como uma
máquina e sua interpretação como uma transformação é
mostrada na Figura.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo: Sejam f (x) = x2 − 1 e g(x) =
√
x + 1. Calcule:
a. A expressão da função composta g ◦ f .
b. A expressão da função composta f ◦ g .
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Poluição por Automóveis
Um estudo de impacto ambiental conduzido pela cidade de
Oxnard indicou que, sob a legislação de proteção ambiental
atual, o nível de monóxido de carbono (CO) presente no ar
devido à poluição por emissão de automóveis será de 0, 01x2/3
partes por milhão quando o número de veículos automotores
for de x milhares. Um estudo distinto, conduzido por uma
agência pública estadual, estimou que daqui a t anos o número
de veículos automotivos em Oxnard será 0, 2t2 + 4t + 64 mil.
a. Encontre uma expressão para a concentração de CO no ar
por causa da emissão por automóveis daqui a t anos. b. Qual
será o nível da concentração daqui a cinco anos?
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Teste de Conhecimento
Sejam f e g funções de�nidas pelas expressões
f (x) =
√
x + 1 e g(x) = x
1+x
respectivamente. Encontre as expressões para a. A soma s, a
diferença d , o produto p e o quociente q de f e g ; b. As
funções compostas fg e gf .
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Modelos Matemáticos
Alguns dos fenômenos reais que analisaremos ao longo do
curso:
I A dívida média do cartão de crédito nos Estados Unidos
(p. 83).
I O crescimento populacional na região metropolitana de
maior desenvolvimento nos Estados Unidos (p. 90)
I O aumento da receita recolhida pelo imposto de renda
com a taxação mínima alternativa (p. 271).
I A prevalência de pacientes com Alzheimer nos Estados
Unidos (p. 60).
I Os fundos �duciários para aposentadoria e incapacidade
do Instituto de Seguridade Social (p. 309-310)
I A concentração de glicose na corrente sangüínea (p. 381).
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Aula 01: Noção de Funções
Independentemente do campo de conhecimento do qual
provém, o problema é analisado por meio de um processo
conhecido como modelagem matemática.
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Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Mercado de Drogas Redutoras
de Colesterol
Em um estudo realizado no início do ano 2000, pro�ssionais projetaram um aumento
no gasto com drogas redutoras de colesterol. O mercado dos Estados Unidos (em
bilhões de dólares) para essas drogas, de 1999 até 2004, é descrito na tabela a seguir:
Ano 1999 2000 2001 2002 2003 2004
Mercado 12,07 14,07 16,21 18,28 20 21,72
Um modelo matemático para aproximar o mercado dos Estados Unidos nesse período
é dado por
M(t) = 1, 95t + 12, 19
onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1999.
a. Esboce o grá�co da função M e os dados na mesma �gura.
b. Assumindo que as projeções se realizem e que a tendência se mantenha, qual era o
mercado para drogas redutoras de colesterol em 2005 (t = 6)?
c. Qual era a taxa de crescimento do mercado de drogas redutoras de colesterol
durante o período em questão?
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Funções Polinomiais
Uma função polinomial de grau n é uma função da forma
f (x) = a0x
n + a1x
n−1 + ...+ an−1x + an (a0 6= 0)
onde a0, a1, ..., an são constantes e n é um inteiro não-negativo.
I Função Linear (n=1): f (x) = a0x + a1
I Função Quadrática (n=2): f (x) = a0x2 + a1x + a2
I Função Cúbica (n=3): f (x) = a0x3 + a1x2 + a2x + a3
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Funções Racionais e Funções Potência
Uma função racional é simplesmente o quociente de dois
polinômios.
F (x) = 3x
3+x2−x+1
x−2
G (x) = x
2+1
x2−1
De modo geral, toda função racional é da forma
R(x) = f (x)
g(x)
onde f (x) e g(x) são funções polinomiais.
Funções da forma
f (x) = x r
onde r é um número real qualquer, são chamadas funções
potência.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Custos de Condução
Um estudo de despesas com automóveis baseado no Ford Taurus SEL
2002 encontrou os seguintes custos médios (prestações, combustível,
seguro, manutenção e depreciação), medidos em centavos por milha:
Milhas/ano, x 5.000 10.000 15.000 20.000
Custo/milha, y 80,0 60,0 49,8 44,9
Um modelo matemático (usando técnicas de mínimos quadrados) para o
custo médio em centavos por milha é
C (x) = 157,6x0,421
onde x (em milhares) denota o número de milhas rodadas em 1 ano.
Usando esse modelo, estime o custo médio ao dirigir o Ford Taurus 2002
por 8.000 milhas ao ano e por 18.000 milhas ao ano.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Oferta e Demanda
A função demanda por certa marca de videocassete é dada por
p = d(x) = −0, 01x2 − 0, 2x + 8
e a correspondente função oferta é dada por
p = s(x) = 0, 01x2 + 0, 1x + 3
onde p é expresso em dólares e x é medido em unidades de
milhar. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Construindo Modelos Matemáticos
DIRETIVAS PARA DESENVOLVER MODELOS
MATEMÁTICOS
1. Escolha uma letra para cada variável envolvida no
problema. Caso seja apropriado, desenhe e nomeie as �guras;
2. Encontre uma expressão para a quantidade desconhecida;
3. Use as condições do problema para escrever a quantidade
desconhecida como uma função f de uma variável. Observe as
restrições ao domínio de f provenientes de considerações
físicas.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Exemplo Aplicado: Cercando uma Àrea
O proprietário do Rancho Los Feliz tem 3.000 jardas de arame com as
quais deseja cercar um pasto retangular localizado em um trecho reto à
margem de um rio. Não é necessário cercar a margem. Denotando por x
a largura do retângulo e y o comprimento, encontre uma função f na
variável x que expresse a área do pasto se o proprietário usar todo o
arame.
Matemática I
Aula 01: Noção de Funções
Teste de Conhecimento
Thomas Young sugeriu a regra a seguir para calcular a
dosagem de medicamento para criança com idades de 1 a 12
anos. Se a denota a dose adulta (em miligramas) e t é a idade
da criança (em anos), então a dosagem da criança é dada por
D(t) = at
t+12
Se a dose adulta de uma substância é de 500 mg, qual deve
ser a dose para uma criança de quatro anos?
Matemática I
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