aula_05_mat1

Prévia do material em texto

Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 1
Matemática I
Derivação
Aula 05
Profa. Fádua Ferreira
faduafantonio@gmail.com
FUNÇÕES MARGINAIS EM 
ECONOMIA
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 2
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades
econômicas.
Por exemplo, um economista está não apenas interessado no valor
do produto interno bruto (PIB) de uma economia em dado instante de
tempo, mas também está igualmente preocupado com a taxa com a
qual ele está aumentando ou diminuindo.
Da mesma maneira, um produtor está não só interessado no custo
total correspondendo a certo nível de produção de um bem, mas
também está interessado na taxa de variação do custo total com
relação ao nível de produção e assim por diante.
Vamos iniciar com um exemplo para explicar o significado do
adjetivo marginal, tal como é usado pelos economistas.
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo
Exemplo Aplicado 1: Taxa de Variação de Funções Custo
Suponha que o custo total semanal em dólares incorrido pela
Polaraire para a fabricação de 𝑥 refrigeradores seja dado pela função
custo total
𝐶 𝑥 = 8.000 + 200𝑥 − 0,2𝑥 (0 ≤ 𝑥 ≤ 400)
a. Qual o custo total envolvido na fabricação do 251º refrigerador?
b. Determine a taxa de variação da função custo total com relação a 𝑥
quando 𝑥 = 250.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 3
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo
O custo real envolvido na produção de uma unidade adicional de certo
bem por uma fábrica que já opera com determinado nível de produção é
chamado custo marginal.
O valor desse custo é muito importante para a gerência em suas tomadas
de decisão.
Como vimos no Exemplo 1, o custo marginal é dado aproximadamente
pela taxa de variação da função custo total em um ponto apropriado.
Por essa razão, os economistas definiram a função custo marginal como a
derivada da função custo total correspondente.
Em outras palavras, se 𝐶 é a função custo total, então a função custo mar-
ginal é definida como sua derivada 𝐶′. Assim, o adjetivo marginal é sinônimo
de derivada de.
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo
Exemplo Aplicado 2: Funções Custo Marginal
Uma subsidiária da Elektra Electronics fabrica uma calculadora de
bolso programável. A gerência determinou que o custo total diário (em
dólares) para produzir essas calculadoras é dado por
𝐶 𝑥 = 0,0001𝑥 − 0,08𝑥 + 40𝑥 + 5.000
onde 𝑥 é igual ao número de calculadoras produzidas.
a. Determine a função custo marginal.
b. Qual é o custo marginal quando x = 200, 300, 400 e 600?
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 4
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo Médio
Seja 𝐶(𝑥) o custo total envolvido na produção de 𝑥 unidades de
certo bem.
O custo médio para produzir 𝑥 unidades do bem é obtido dividindo-
se o custo total de produção pelo número de unidades produzidas. Isso
nos conduz à seguinte definição:
A derivada 𝐶′(𝑥) da função custo médio, chamada função custo
médio marginal, mede a taxa de variação da função custo médio com
relação ao número de unidades produzidas.
Suponha que 𝐶(𝑥) seja a função custo total, então a função custo médio, 
denotada por 𝐶̅(𝑥) (leia-se “C barra de x”), é
𝐶̅(𝑥) =
𝐶(𝑥)
𝑥
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo Médio
Exemplo Aplicado 3: Funções Custo Médio Marginal
O custo total (em dólares) para produzir 𝑥 unidades de certo bem é
dado por
𝐶(𝑥) = 400 + 20𝑥
a. Determine a função custo médio 𝑪.
b. Determine a função custo médio marginal 𝐶′.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 5
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Custo Médio
Exemplo Aplicado 4: Funções Custo Médio Marginal
Considere, mais uma vez, a subsidiária da Elektra Electronics. O custo
total diário para produzir calculadoras programáveis é de
𝐶 𝑥 = 0,0001𝑥 − 0,08𝑥 + 40𝑥 + 5.000
dólares, onde 𝑥 denota o número de calculadoras produzidas (veja o
Exemplo 2).
a. Encontre a função custo médio 𝐶̅.
b. Determine a função custo médio marginal 𝐶′. Calcule 𝐶′(500).
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Receita
Lembramos que uma função receita 𝑅(𝑥) fornece a receita obtida
por uma empresa com a venda de 𝑥 unidades de certo bem. Se a
empresa cobra 𝑝 dólares por unidade, então
𝑅 𝑥 = 𝑝𝑥
Entretanto, o preço que uma empresa pode cobrar por um produto
depende do mercado onde esta opera.
Caso a empresa seja uma de muitas - nenhuma das quais pode ditar
o preço do bem - então neste ambiente de competição de mercado o
preço é determinado pelo equilíbrio do mercado.
Se, ao contrário, a empresa é a única fornecedora do bem, então,
nessa situação de monopólio, ela pode manipular o preço do bem
controlando a oferta.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 6
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Receita
O preço unitário de venda 𝑝 de um bem está relacionado
com a quantidade de bens 𝑥 vendida.
Esta relação entre 𝑝 e 𝑥 é chamada equação de demanda.
Resolvendo a equação para 𝑝 em termos de 𝑥, obtemos a
função preço unitário 𝑓, dada por
𝑝 = 𝑓(𝑥)
e a função receita R é dada por
𝑅 𝑥 = 𝑝𝑥 = 𝑥𝑓(𝑥)
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Receita
A receita marginal é o faturamento conseguido com a venda de uma
unidade a mais de um bem, dado que as vendas já se encontram em
um nível específico.
Por um argumento similar ao aplicado na função custo do Exemplo 1,
você pode ser convencido de que a receita marginal é aproximada por
𝑅′(𝑥).
Assim, definimos a função receita marginal como 𝑅′(𝑥), onde 𝑅 é a
função receita.
A derivada 𝑅′ da função 𝑅 mede a taxa de variação da função
receita.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 7
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Receita
Exemplo Aplicado 5: Funções Receita Marginal
Suponha que a relação entre o preço unitário 𝑝 em dólares e a
quantidade demandada 𝑥 do sistema de caixas de som Acrosonic
modelo F é dada pela equação
𝑝 = −0,02𝑥 + 400 (0 ≤ 𝑥 ≤ 20.000)
a. Determine a função receita 𝑅.
b. Determine a função receita marginal 𝑅′.
c. Calcule 𝑅 2.000 .
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Lucro
A função lucro 𝐿 é dada por
𝐿 𝑥 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥)
onde R e C são as funções receita e custo, e 𝑥 é o número de unidades
do bem produzidas e vendidas.
A função lucro marginal 𝐿′(𝑥) mede a taxa de variação da função
lucro 𝐿 e nos fornece uma boa aproximação do lucro ou da perda real
em um momento da venda da ( 𝑥 + 1 )-ésima unidade do bem
(assumindo que a 𝑥-ésima unidade já tenha sido vendida).
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 8
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Funções Lucro
Exemplo Aplicado 6: Funções Lucro Marginal
Suponha que o custo de produção de 𝑥 unidades do sistema de caixas 
de som Acrosonic seja de
𝐶 𝑥 = 100𝑥 + 200.000
dólares
a. Determine a função lucro 𝐿.
b. Determine a função lucro marginal 𝐿′.
c. Calcule 𝐿′(2.000).
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
Finalmente, vamos usar os conceitos marginais introduzidos nesta
seção para obter um importante critério usado pelos economistas para
analisar a função demanda: a elasticidade da demanda.
No argumento que se segue, será conveniente escrever a função
demanda 𝑓 na forma 𝑥 = 𝑓 𝑥 .
Isto é, vamos pensar na quantidade demandada de certo bem como
uma função de seu preço unitário.
Como a quantidade demandada de um bem em geral decresce
quando o seu preço unitário aumenta, temos que a função 𝑓 é
tipicamente uma função decrescente de p.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 9
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
Suponha que o preço unitário de um bem aumente h dólares, de p
dólares para (p + h) dólares.
A quantidade demandada cai de 𝑓(𝑝) unidades para 𝑓(𝑝 + ℎ)
unidades, uma variação [𝑓(𝑝 + ℎ) − 𝑓(𝑝)] de unidades.
A variação percentual no preço unitário é igual a
ℎ
𝑝
100 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑝
(100)
e a variação percentual correspondente da quantidade demandada é
igual a
100
𝑓(𝑝 +ℎ) − 𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝)
 
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 quantidade demandada
quantidade demandada 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑝
(100)
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
Uma boa maneira para medir o efeito que uma variação percentual de
preços produz na variação percentual da quantidade demandada é olhar
para a razão entre essa última variação e a primeira delas. Encontramos
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑎 quantidade demandada
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜
=
100
𝑓(𝑝 + ℎ) − 𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝)
100
ℎ
𝑝
=
𝑓(𝑝 + ℎ) − 𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝)
𝑝
Se 𝑓 é diferenciável em 𝑝, então
𝑓(𝑝 + ℎ) − 𝑓(𝑝)
𝑓(𝑝)
≈ 𝑓′(𝑝)
Quando ℎ é pequeno. Assim, se ℎ é pequeno, a razão é aproximadamente
igual a
𝑓 𝑝 =
𝑝𝑓 𝑝
𝑓(𝑝)
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 10
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
Definição: Se 𝑓 é uma função demanda diferenciável definida por x = f(p),
então a elasticidade da demanda para o preço p é dada por
𝐸 𝑝 = −
𝑝𝑓 𝑝
𝑓(𝑝)
Mostraremos mais adiante que se 𝑓 é decrescente em um intervalo, então
𝑓 𝑝 < 0 para 𝑝 nesse intervalo. À luz desse fato, vemos que, como 𝑝 e
𝑓(𝑝) são positivos, a quantidade
( )
é negativa.
Como os economistas preferem trabalhar com um valor positivo, a
elasticidade da demanda 𝐸(𝑝) é definida como o negativo dessa quantidade
• A demanda é dita elástica se 𝐸(𝑝) > 1.
• A demanda é chamada unitária se 𝐸(𝑝) = 1.
• A demanda é denominada inelástica se 𝐸(𝑝) < 1.
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
• Se a demanda é elástica em 𝑝[𝐸(𝑝) > 1] , então um pequeno
aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao
passo que um pequeno decréscimo do preço unitário causará um
aumento da receita.
• Se a demanda é inelástica em 𝑝[𝐸(𝑝) < 1], então um pequeno
aumento do preço unitário resulta em um aumento da receita, ao
passo que uma diminuição do preço unitário causará um decréscimo
da receita.
• Se a demanda é unitária em 𝑝[𝐸(𝑝) = 1], então um aumento do
preço unitário não produz nenhuma variação da receita.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 11
FUNÇÕES MARGINAIS EM ECONOMIA
Elasticidade da Demanda
Exemplo Aplicado 7: Elasticidade da Demanda
Considere a equação da demanda
𝑝 = −0,02𝑥 + 400 (0 ≤ 𝑥 ≤ 20.000)
que descreve a relação entre o preço unitário em dólares e a quantidade
demandada 𝑥 do sistema de caixas de som Acrosonic modelo F.
a. Determine a elasticidade da demanda 𝐸(𝑝).
b. Calcule 𝐸 100 .
c. Calcule 𝐸 300 .
d. A demanda é elástica, unitária ou inelástica quando p = 100? E quando p
= 300?
e. Se o preço é de $ 100, então um pequeno aumento do preço unitário
produz um aumento ou uma diminuição da receita?
DERIVADAS DE ORDEM 
SUPERIOR
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 12
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
A derivada 𝑓′ de uma função 𝑓 também é uma função. Como tal, a
diferenciabilidade de 𝑓′ pode ser considerada.
Assim, a função 𝑓′ tem uma derivada 𝑓′′ em um ponto 𝑥 do domínio
de 𝑓′ se o limite do quociente
𝑓′(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
existe quando ℎ se aproxima de zero. Em outras palavras, é a derivada
da primeira derivada.
A função 𝑓′′ obtida dessa maneira é chamada segunda derivada da
função 𝑓 , assim como a derivada 𝑓′ de 𝑓 é frequentemente
denominada primeira derivada de 𝑓.
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Continuando dessa maneira, somos levados a considerar a
terceira, quarta e derivadas de ordem superior de 𝑓 sempre
que existirem.
Notações para a primeira, segunda, terceira e, em geral, n-
ésima derivadas da função 𝑓 no ponto 𝑥 são
𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥 , 𝑓 𝑥 , … , 𝑓 (𝑥)
ou
𝐷 𝑓 𝑥 , 𝐷 𝑓 𝑥 , 𝐷 𝑓 𝑥 , … , 𝐷 𝑓(𝑥)
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 13
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Atividade
1. Determine as derivadas de todas as ordens da função polinomial
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 + 4𝑥 − 2𝑥 + 𝑥 − 8
2. Determine a derivada de ordem três da função 𝑓 definida por 𝑦 =
𝑥 / .
3. Encontre a segunda derivada da função 𝑦 = 2𝑥 + 3
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Exemplo Aplicado 8: Aceleração e Velocidade de um Objeto em Queda
Livre
Uma bola é lançada para o alto do topo de um edifício. A altura
alcançada pela bola, medida a partir do chão, é dada por
𝑠 = −16𝑡 + 24𝑡 + 120
onde 𝑠 é medido em pés e 𝑡 em segundos. Determine a velocidade e a
aceleração da bola três segundos após seu lançamento no ar.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 14
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR
Exemplo Aplicado 9: Taxa de Inflação de uma Economia
A função
𝑓 𝑡 = −0,2𝑡 + 3𝑡 + 100 (0 ≤ 𝑡 ≤ 9)
fornece o IPC de uma economia, onde t = 0 corresponde ao início de
1995.
a. Encontre a taxa de inflação no início de 2001 (t = 6).
b. Mostre que a inflação estava diminuindo nesse instante.
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E 
TAXA RELACIONADAS
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 15
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Diferenciação Implicitamente
Até agora, lidamos com funções expressas na forma 𝑦 = 𝑓(𝑥); isto é,
a variável dependente 𝑦 está expressa explicitamente em termos da
variável independente 𝑥.
Entretanto, nem todas as funções são expressas dessa forma.
Considere, por exemplo, a equação
𝑥 𝑦 + 𝑦 − 𝑥 + 1 = 0
Essa equação expressa 𝑦 implicitamente como uma função de 𝑥. Na
verdade, resolvendo para 𝑦 em termos de 𝑥, obtemos
𝑥 + 1 𝑦 = 𝑥 − 1 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎
𝑦 = 𝑓 𝑥 =
𝑥 − 1
𝑥 + 1
 𝐸𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑙í𝑐𝑖𝑡𝑎
que fornece uma representação explícita para 𝑓
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Diferenciação Implicitamente
Considere agora a equação
𝑦 − 𝑦 − 𝑦 + 2𝑥 − 𝑥 = 8
Quando certas restrições são impostas a 𝑥 e 𝑦, essa equação define
𝑦 como uma função de 𝑥. Mas, nesse caso, teríamos grandes
dificuldades para encontrar 𝑦 em termos de 𝑥.
A seguinte pergunta aparece naturalmente: como então se pode
calcular 𝑑𝑦/𝑑𝑥 nesse caso?
Na verdade, graças à regra da cadeia, existe de fato um método para
calcular a derivada de uma função diretamente da equação implícita
que define a função.
Esse método é chamado diferenciação implícita e será demonstrado
nos próximos exemplos.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 16
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Atividade
1. Determine , dada a equação 𝑦 = 𝑥.
2. Encontre , dada a equação 𝑦 − 𝑦 + 2𝑥 − 𝑥 = 8.
3. Considere a equação 𝑥2 + 𝑦2 = 4
a. Determine 𝑑𝑦/𝑑𝑥 por diferenciação implícita.
b. Estabeleça a declividade da reta tangente ao gráfico da função 𝑦 =
𝑓(𝑥) no ponto (1, 3  ). Observação:
( , )
c. Determine a equação da reta tangente da parte (b).
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Taxa Relacionadas
A diferenciação implícita é uma técnica útil para resolver uma classe
de problemas conhecida por problemas de taxas relacionadas.
O que segue é um exemplo típico de problema envolvendo taxas
relacionadas: Suponha que 𝑥 e 𝑦 sejam funções de uma terceira
variável 𝑡. Além disso, suponha que tenhamos uma equação que
forneça a relação entre 𝑥 e 𝑦. Podemos obter uma equação que
fornece a relação entre 𝑑𝑥/𝑑𝑡 e 𝑑𝑦/𝑑𝑡? Em particular, se soubermos o
valor específico de uma das taxas de variação para um valor de 𝑡 (por
exemplo, 𝑑𝑥/𝑑𝑡), podemos encontrar a outra taxa, 𝑑𝑦/𝑑𝑡, para o
mesmo valor de 𝑡?
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 17
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Taxa Relacionadas
Exemplo Aplicado 10: Taxa de Variação de Novas Construções
Um estudo elaborado pela Associação Nacional de Agências
Imobiliárias estima que o número de novas construções na região
sudeste, N (r) (em milhões), nos próximos cinco anos está relacionado
com a taxa de financiamento r(t) (por cento ao ano) pela equação
9𝑁 + 𝑟 = 36
Qual é a taxa de variação no tempo do número de novas construções
quando a taxa de financiamento é de 11 % ao ano e aumenta à razão
de 1,5% ao ano?
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Taxa Relacionadas
RESOLVENDO PROBLEMAS DE TAXAS RELACIONADAS
1.Associe uma variável a cada quantidade. Desenhe um diagrama, se 
necessário.
2. Escreva os valores dados das variáveis e suas taxas de variação com 
relação a t.
3. Determine uma equação fornecendo a relação entre as variáveis.
4. Diferencie ambos os lados dessa equação implicitamente com 
relação a t.
5. Substitua as variáveis e suas derivadas pelos dados numéricos do 
passo 2 e resolva a equação para a taxa de variação pedida.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 18
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Taxa Relacionadas
Exemplo Aplicado 11: Observando o Lançamento de um Foguete
Um espectador está observando o lançamento de um foguete a uma
distância de 4.000 pés do local de lançamento. Se o foguete levanta
voo verticalmente e sobe a uma velocidade de 600 pés/s quando está a
uma altitude de 3.000 pés, com que rapidez a distância entre o foguete
e o espectador está variando nesse instante?
DIFERENCIAÇÃO IMPLÍCITA E TAXA RELACIONADAS
Taxa Relacionadas
Exemplo Aplicado 12:
Um navio de passageiros e um petroleiro deixam um porto em algum
momento da manhã, o primeiro indo em direção ao norte, e o segundo
em direção a leste. Ao meio-dia, o navio de passageiros estava a 40
milhas do porto e movendo-se a 30 milhas por hora, enquanto o
petroleiro estava a 30 milhas do porto e navegando a 20 mph. Com que
rapidez a distância entre os navios estava aumentando?
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 19
DIFERENCIAIS
DIFERENCIAIS
Questões em que se deseja estimar a variação da variável
dependente correspondendo a uma pequena mudança da variável
independente, ocorrem em muitas aplicações da vida real. Por
exemplo: um economista deseja saber como um pequeno aumento do
gasto de certo país afetará o produto interno bruto.
Para calcular essas variações e estimar seus efeitos, usamos a
diferencial de uma função.
Seja 𝑥 uma quantidade variável e suponha que 𝑥 varie de 𝑥 a 𝑥2.
Essa variação em 𝑥 é chamada incremento de 𝑥 e é denotada pelo 
símbolo Δ𝑥 (leia-se “delta x”). Assim,
Δ𝑥 = 𝑥 − 𝑥
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 20
DIFERENCIAIS
Diferenciais
Podemos obter, de uma maneira relativamente rápida e simples,
uma aproximação para Δ𝑦, a variação em 𝑦 devido a uma pequena
variação Δ𝑥, examinando o gráfico da função 𝑓 mostrada na Figura
abaixo.
Observe que próximo ao ponto de tangência P, a reta tangente T está
próxima do gráfico de 𝑓. Assim, se Δ𝑥 é pequeno, então 𝑑𝑦 é uma boa
aproximação de Δ𝑦.
DIFERENCIAIS
Diferenciais
Podemos encontrar uma expressão para 𝑑𝑦 como se segue: note
que a declividade de T é dada por
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
No entanto, a declividade de T é dada por 𝑓′(𝑥). Portanto, temos
𝑑𝑦
Δ𝑥
= 𝑓′(𝑥)
ou seja, 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 Δ𝑥. Assim, temos a aproximação
Δ𝑦 ≈ 𝑑𝑦 = 𝑓 (𝑥)Δ𝑥
em termos da derivada de 𝑓 no ponto 𝑥. A quantidade 𝑑𝑦 é chamada
diferencial de 𝑦.
Matemática I Profa. Fádua Ferreira
Derivação 21
DIFERENCIAIS
Diferenciais
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função diferenciável de 𝑥. Então,
1. A diferencial 𝑑𝑥 da variável independente 𝑥 é 𝑑𝑥 = Δ𝑥.
2. A diferencial 𝑑𝑦 da variável dependente 𝑦 é
𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 Δ𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Observação:
1. Para a variável independente 𝑥: não existe diferença entre Δ𝑥 e 𝑑𝑥 —
ambas medem a variação em 𝑥 de 𝑥 a 𝑥 + Δ𝑥.
2. Para a variável dependente 𝑦: Δ𝑦 mede a variação real em 𝑦 quando 𝑥
varia de 𝑥 a 𝑥 + Δ𝑥, enquanto 𝑑𝑦 mede a variação aproximada em 𝑦
correspondente à mesma variação de 𝑥.
3. A diferencial 𝑑𝑦 depende de 𝑥 e 𝑑𝑥, mas para 𝑥 fixado, 𝑑𝑦 é uma função
linear de 𝑑𝑥.
PRÓXIMA AULA:
2ª AVALIAÇÃO