Eletricidade II - Aula 01 - Atividade Obrigatória

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ELETRICIDADE II
1.5 Exercícios 
1.5.1 Teorema de Pitágoras 
1. Um avião percorreu a distância de 5000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo,
percorreu 3000 metros. Determine a altura do avião. 
Hipotenusa = 5000m
Cateto adj. = 3000m
Cateto op. = ?
RESPOSTA: A altura do avião é de 4000 metros.
2. Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando
sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos
ganchos até a base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 
Hipotenusa = 30m
Cateto Adj. = 15m
Cateto Op. = ?
RESPOSTA: A altura da torre é de 25,98 metros
3. Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas
perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios. 
Lado a = 60m (cateto op.)
Lado b = 80m (cateto adj.)
Lado c = x (hipotenusa)
Perímetro = lado a + lado b + lado c 
Perímetro = 60+80+100 = 240m
Cerca = Perímetro * 4
Cerca = 240 * 4 = 960m
RESPOSTA: A metragem de arame utilizada será de 960 metros.
4. Uma escada de 12 metros de comprimento está apoiada sob um muro. A base da escada está
distante do muro cerca de 8 metros. Determine a altura do muro. 
Escada = 12m (hipotenusa)
Dist. base escada = 8m (cateto adj.)
Muro = x (cateto op.)
RESPOSTA: A altura do muro é de 8,94 metros.
302=152+c2
900=225+c2
c2=900−225
c2=675
c=√675
c=25,98m
50002=30002+c2
25000000=9000000=c2
c2=25000000−9000000
c2=16000000
c=√16000000
c=4000m
h2=602+802
h2=3600+6400
h2=10000
h=√10000
h=100m
122=82+x2
144=64+x2
x2=144−64
x2=80
x=√80
x=8,94m
ELETRICIDADE II
5. O esquema abaixo representa o projeto de uma escada de 5 degraus com mesma altura. 
De acordo com os dados da figura, qual é o comprimento de todo o corrimão? 
Comprimento = 24 * 5 = 120cm (cateto adj.)
Altura = 90cm (cateto op.)
Corrimão = x (hipotenusa) + 30cm + 30cm
Comprimento total do corrimão = 150+30+30
RESPOSTA: O comprimento total do corrimão é de 210 centímetros (2,1 metros).
6. Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 14 cm e um dos catetos mede 5,28 cm. Determine
a medida do outro cateto? 
Hipotenusa = 14cm
Cateto a = 5,28cm
Cateto b = ?
RESPOSTA: A medida do outro cateto é 12,97 centímetros.
7. (Uflavras) Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de
10km? 
Hipotenusa = 10km
Cateto Adj. = 8 km
Cateto Op. = ?
Altitude do balão = Cateto Op. + 200m (0,2km)
RESPOSTA: A altitude do balão é 6,2 quilômetros (6.200 metros)
8. Qual é a distância percorrida pela bolinha? 
Hipotenusa = ?
Cateto op. = 25cm
Cateto adj. = 60cm
Distância percorrida = Hipotenusa + 200cm (2metros)
RESPOSTA: A distância percorrida pela bolinha é 265 centímetros (2,65 metros).
h2=1202+902
h2=14400+8100
h2=22500
h=√22500
h=150 cm
142=5,282+c2
196=27,8784+c2
c2=196−27,8784
c2=168,1216
c=√168,1216
c=12,97 cm
102=82+c2
100=64+c2
c2=100−64
c2=36
c=√36
c=6 km
h2=252+602
h2=625+3600
h2=4225
h=√4225
h=65 cm
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9. Pedro e João estão brincando de gangorra, como indica a figura: 
Qual é o comprimento da gangorra? 
Cateto op. = 60 cm
Cateto adj. = 1,8m = 180 cm
Hipotenusa = ?
RESPOSTA: O comprimento da gangorra é 1,897 metros (189,7 cm).
10. (IFSC/2015) Para acessar o topo de uma plataforma de saltos a 400 cm de altura, um atleta deve
subir uma escadaria que possui 8 degraus no primeiro lance e 6 degraus no segundo lance de
escada, conforme mostra a figura ao lado. Sabendo que cada degrau possui 30 cm de profundidade,
é CORRETO afirmar que o comprimento, em cm, da haste metálica AB utilizada para dar
sustentação à plataforma é: 
(B – D) Cateto Adj. = 30 * 8 = 240cm
(C – D) Cateto Op. = 30 * 6 = 180cm
(B – C) Hipotenusa = ?
(B – C) Cateto Adj. = 300cm
(A – C) Cateto Op. = 400 cm
(A – B) Hipotenusa = ?
RESPOSTA: O comprimento da haste metálica é 500 centímetros.
1.5.2 Trigonometria 
1. (Cesgranrio) Uma quadra de tênis tem 23,7m de comprimento por 10,9m de largura. Na figura a
seguir, está representado o momento em que um dos jogadores dá um saque. Sabe-se que este atinge
a bola no ponto A, a 3m do solo, e que a bola passa por cima da rede e toca o campo adversário no
ponto C, a 17m do ponto 
Tendo em vista os dados apresentados, é possível afirmar que o ângulo , representado na figura,
mede: 
(A – B) Cateto Op. = 3m
(B – C) Cateto Adj. = 17m
(A – C) Hipotenusa = ?
 = ?
RESPOSTA: O ângulo  mede aproximadamente 80º.
h2=0,62+1,82
h2=0,36+3,24
h2=3,6
h=√3,6
h=1,897m
h2=3002+4002
h2=90000+160000
h2=250000
h=√250000
h=500 cm
h2=2402+1802
h2=57600+32400
h2=90000
h=√90000
h=300 cm
h2=32+172
h2=9+289
h2=298
h=√298
h=17,26m
senα=C .Op
Hip
senα = 17
17,26
senα=0,985radianos→≈80 º
ELETRICIDADE II
2. (Faap) A figura a seguir mostra um painel solar de 3 metros de largura equipado com um
ajustador hidráulico. À medida que o sol se eleva, o painel é ajustado automaticamente de modo que
os raios do sol incidam perpendicularmente nele. 
Considerando que a altura máxima (valor máximo de y) é 1 m, qual o ângulo máximo que o ângulo
 pode ter? 
Hipotenusa = 3m
Cat. Op. (y) = 1m
Cat. Adj. (x) = ?
 = ?
RESPOSTA: O ângulo máximo que  pode ter é de aproximadamente 19º.
3. Considerando um triângulo retângulo onde sua hipotenusa mede 5m, e seu cateto adjacente mede
3m. Calcule o ângulo formado entre a hipotenusa e cateto oposto. 
Hipotenusa = 5m
Cat. Adj. = 3m
Cat. Op. = ?
 = ?
RESPOSTA: O ângulo formado entre a hipotenusa e cateto oposto é aproximadamente 54º.
4. Considerando uma triangulo retângulo onde sua hipotenusa mede 5m, e forma um ângulo com
seu cateto adjacente de 450. Calcule o tamanho do cateto adjacente ao ângulo de 450. 
Cosseno 45º = 0,7071
Hipotenusa = 5m
Cat. Adj. = ?
RESPOSTA: O cateto adjacente mede 3,54 metros.
5. Observe a figura abaixo, Calcule o tamanho do prédio. 
Tangente 60º = 1,7321
Cat. Adj. = 120m
Cat. Op. = ?
RESPOSTA: O prédio mede 208,45 metros.
32=22+c2
9=1+c2
c2=9−1
c2=8
c=√8
c=2,828
cosϕ=Cat . Adj
Hip
cosϕ=2,828
3
cosϕ=0,9426 radianos→≈19 º
52=32+c2
25=9+c2
c2=25−9
c2=16
c=√16
c=4
senβ =C .Op
Hip
sen β =4
5
sen β =0,8 radianos→≈54 º
cos45 º=Cat . Adj
Hip
0,7071= c
5
c=0,7071∗5
c=3,5355≈3,54m
tan 60º= C .Op
C . Adj .
1,7321= c
120
c=1,7371∗120
c=208,452≈208,45m
ELETRICIDADE II
6. Calcule o valor de x e y: 
Seno 65º = 0,9363
Cosseno 65º = 0,4226
Hipotenusa = 9
Cateto Op. (x)= ?
Cateto Adj. (y)= ?
RESPOSTA: Os valores de x e y são, respectivamente, 8,43 e 3,8
7. Determine o tamanho do prédio. 
Tangente 40º = 0,8391
Cateto Adj. = 80m
Cateto Op. = ?
Tamanho do prédio = Cateto Oposto + 1,7m = 67,13+1,7 = 68,83m
RESPOSTA: O prédio mede 67,83 metros.
8. (PUCSP) A figura abaixo é parte do gráfico da função: 
Se x = -2π, então f(-2π) = 2sen(-2π/2) = 0;
Se x = -π, então f(-π) = 2sen(-π/2) = -2;
Se x = 0, então f(0) = 2sen(0) = 0;
Se x = π, então f(π) = 2sen(π/2) 2;
Se x = 2π, então f(2π) = 2sen(2π/2) = 0.
RESPOSTA: Função f(x) = 2sen(x/2).
9. A figura abaixo é parte do gráfico da função: 
Se x = 0, então f(0) = 2cos(0) = 2;
Se x = π/2, então f(π/2) = 2cos(π/2) = 0;
Se x = π, então f(π) = 2cos(π) = -2;
Se x = 3π/2, então f(3π/2) = 2cos(3π/2) = 0;
Se x = 2π, então f(2π) = 2cos(2π) = 2
RESPOSTA: Função f(x) = 2cos (x).
sen 65º=Cat .Op .
Hip
0,9363= c
9
c=0,9363∗9
c=8,4267≈8,43
cos65 º=Cat . Adj .
Hip
0,4226= c
9
c=0,4226∗9
c=3,8034≈3,8
tan 40 º= C .Op
C . Adj .
0,8391= c
80
c=0,8391∗80
c=67,128≈67,13m
ELETRICIDADE II
10. (ENEM 2015) Segundo 0 Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), produtos
sazonais são aqueles que apresentam ciclos bem definidos de produção, consumo e preço. 
Resumidamente, existem épocas do ano em que a sua disponibilidade nos mercados varejistas ora é
escassa, com preços elevados, ora é abundante, com pregos mais baixos, o que ocorre no mês de
produção máxima da safra. 
A partir de uma série histórica, observou-se que o preço P,em reais, do quilograma de um certo
produto sazonal pode ser descrito pela função: 
P(x)=8+5.cos(π .x−π6 )
onde x representa o mês do ano, sendo x = 1 associado ao mês de janeiro, x = 2 no de fevereiro, e
assim sucessivamente, até x = 12 associado ao mês de dezembro. 
Na safra, o mês de produção máxima desse produto é:
RESPOSTA: 
O mês de produção máximo corresponde ao mês com menor preço. Como a função cosseno
varia de -1 a 1, o menor preço ocorreria quando o cosseno é igual a -1 (180º = π). 
Então, o mês de produção máxima é JULHO.
1.5.3 Números complexos 
l. (UEPB 2013) O módulo e o ângulo do número complexo z1=1+j e z2=1-2j são respectivamente: 
RESPOSTA: |z1| = √2 e  = 45º 
|z2| = √5 e  = 26,57º
2. Represente o número complexo z=3+4j em sua forma polar. 
RESPOSTA: 
(π . x−π6 )=π
π . x−π =6π
π x=6π +π
π x=7 π
x=7 (Julho)
|z1|2=12+12
|z 1|=√12+12
|z 1|=√1+1
|z 1|=√2
tanθ=1
1
tanθ =1
θ=45 º
θ=0,7854 radianos
|z2|2=12−22
|z 2|=√12−22
|z2|=√1+4
|z 2|=√5
tanθ=1
2
tanθ =0,5
θ =26,57 º
θ=0,4637 radianos
|Z|=√32+42
|Z|=√9+16
|Z|=√25
|Z|=5
tgθ =(43)
tgθ =1,333
θ =53,12º
θ=0,9271 radianos
Z=5 (cos (0,9271)+sen . i(0,9271))
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3. Calcule a soma de z1=3+6j com z2=-6+j5 
RESPOSTA: z1 + z2 = 11j - 3
4. Calcule a subtração de z1=3+6j com z2=-6+j5 
RESPOSTA: z1 - z2 = 9 + j
5. Considerando o ponto no plano complexo Z=(5, -3), represente este número no plano cartesiano. 
6. Considerando o módulo de um número complexo 30 e o ângulo formado com o eixo dos reais é
de 45. Represente este número na forma retangular 
RESPOSTA: Z = 21,213 + 21,213i
7. (MACK) A solução da equação |Z| + Z = 2 + j é um número complexo de módulo: 
RESPOSTA:
(3+6 j)+(−6+5 j)
3+6 j−6+5 j
11 j−3
(3+6 j)−(6+5 j)
3+6 j+6−5 j
9+ j
Im
R
Z(5, -3)
|Z|+z=2+ j⇔√ x2+ y2+x+ jy=2+ j
√ x2+1+x=2
√ x2+1=2−x
x2+1=(2−x )2
x2+1=4−4 x+x2
x2−x2+4 x=4−1
4 x=3
x=3
4
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8. (UFES) O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - j , é: 
RESPOSTA:
9. Encontre os números reais x e y de modo que (3x + 4yj) + (5 + 6j) = 11 + 18j.
 RESPOSTA: x = 2 e y = 3
10. Durante muitos séculos, resolver problemas envolvendo raiz quadrada de números negativos era
impossível. Com o surgimento dos números complexos, esse problema foi resolvido. Formalmente,
um número complexo é um par ordenado (a,b) de números reais. Assim sendo, considere os pares
ordenados z=(5, 3) e w=(1, -8), calcule a soma z+w: 
RESPOSTA: A soma de z + w é (6 - 5j)
X−1+X2
(1− j )−1+(1− j)2
1
1− j
+(1−2 j+ j2)
1
1− j
+1−2 j−1
1
1− j
−2 j
1+ j
1− j+ j+1
−2 j
1+ j
2
−2 j
1+ j−4 j
2
1−3 j
2
1
2
−3
2
j
(3 x+4 yj)+(5+6 j)=11+18 j
3 x+5=11⇒3x=11−5⇒3 x=6⇒x=2
4 y+6=18⇒4 y=18−6⇒4 y=12⇒ y=3
z=5+3 j
w=1−8 j
(5+3 j)+(1−8 j)
5+3 j+1−8 j
6−5 j