Aula 01

Prévia do material em texto

Livro Eletrônico
Aula 01
Finanças Privadas p/ BACEN 2017 (Analista - Área 4) Com videoaulas
Professor: Paulo Portinho
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 54 
AULA 01 – RENDA FIXA 
APRESENTAÇÃO E APREÇAMENTO DE INSTRUMENTO DE RENDA FIXA; 
GESTÃO DE CARTEIRAS DE RENDA FIXA; DURATION E CONVEXIDADE 
CRONOGRAMA 
 
SUMÁRIO RESUMIDO 
1. INTRODUÇÃO ..................................................................................... 1 
2. APREÇAMENTO DE INSTRUMENTO DE RENDA FIXA.................................. 3 
3. DURATION E CONVEXIDADE ................................................................ 12 
4. IMUNIZAÇÃO E DURATION HEDGE ....................................................... 32 
5. QUESTÕES RELACIONADAS AOS TEMAS ............................................... 38 
6. GABARITO DAS QUESTÕES COM COMENTÁRIOS .................................... 44 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
Se há algo difícil ao formatar uma aula para concurso público, é 
delimitar o escopo das matérias a partir do edital. 
Como costuma ser genérico e não indicar, precisamente, como deverá 
ser a abordagem dos temas, corre-se o risco de preparar um material 
excessivamente profundo, ou superficial demais. 
A forma de evitar isso (ir longe demais, ou de menos) é ler o estoque 
de questões de concursos a respeito dos temas e delimitar o que, 
efetivamente, as bancas costumam cobrar. 
Em renda fixa isso é ainda mais importante, pois há livros de 80 
páginas e matemática trivial, assim como há livros de 1.550 páginas com 
cálculo estocástico. 
Pela leitura das questões e da literatura disponível (infelizmente, quase 
toda, estrangeira), parece-nos que o foco é no entendimento e nos cálculos 
que envolvem duration e convexidade, e como permitiriam que estimássemos 
a sensibilidade dos títulos de renda fixa (prefixados, em sua maioria) às 
variações das taxas de juros. 
Ainda que não tenha havido, em concursos anteriores, questões 
específicas ou mais sofisticadas sobre gestão de carteiras de renda fixa, como 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 54 
esse tema está explicitado no material, creio que seja possível apresentar um 
esboço dos modelos mais comuns. 
A estratégia adotada para essa aula será a seguinte: 
 Apresentaremos os principais instrumentos de renda fixa do 
mercado brasileiro, com suas respectivas fórmulas de cálculo. 
Títulos públicos, debêntures, títulos atrelados a índices etc. Isso 
será importante, pois a próxima aula tratará desses títulos, porém 
do ponto de vista teórico e conceitual. Os cálculos serão 
apresentados aqui. 
 Construiremos curvas de yield (aula 00) para os diferentes 
instrumentos de renda fixa e para portfólios de renda fixa, para 
ver graficamente sua sensibilidade às taxas de juros. 
 Definiremos duration e convexidade, e mostraremos como ambos 
os conceitos se unem para calcularmos analiticamente a 
sensibilidade dos instrumentos de renda fixa às variações das 
taxas de juros. 
 Apresentaremos, também, os conceitos de imunização e duration 
hedge, que são próprios da área 4. Creio que mesmo para quem 
está fazendo apenas para a área 3, vale estudar, pois são temas 
diretamente derivados do que teremos aprendido até então. 
Mãos à obra! 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 54 
2. APREÇAMENTO DE INSTRUMENTOS DE RENDA FIXA 
Qual o preço dos títulos de renda fixa? Quais as fórmulas de cálculo? 
Vejamos a partir de instrumentos reais do mercado brasileiro (segundo a 
nomenclatura disponível e atualizada em abril de 2016). 
 
Tesouro prefixado (LTN) 
É o típico zero-coupon bond, ou seja, paga um valor fixo prometido no 
futuro (R$ 1.000 no caso da LTN, chamado de valor nominal VN). Seu valor 
para compra hoje, seria o Valor Nominal (VN), descontado à taxa de juros 
exigida. 
A LTN com vencimento em 01/01/2019 valia R$ 711,38 em 
11/04/2016. 
É importante notar que, no mercado brasileiro, e para esse tipo de 
título, costumamos usar o ano com dias úteis (252). 
Um site que ajuda bastante é o: 
http://www.dias-uteis.com/ 
Vemos que seriam 689 dias úteis até o vencimento, onde receberíamos 
R$ 1.000. Qual seria a taxa de juros desse título? 
Por 689 dias receberíamos: 岫な 髪 件痛墜痛銚鎮岻 噺 な┻どどどばなな┸ぬぱ 噺 な┸ねどのばなぱ 
A rentabilidade´esperada de quem mantiver o título é de 40,57%. 
O correspondente em anos seria: 岫な 髪 件銚津墜岻 噺 岫な┸ねどのばなぱ岻態泰態滞腿苔 噺 な┸なぬにはねね 
O resultado anual seria de 13,26%. 
Essa taxa é a YTM (yield to maturity), aquela que o investidor receberá 
se mantiver o título até o vencimento (maturidade). 
Mas imagine que o investidor esteja prevendo (apostando) uma queda 
na taxa de juros significativa nos próximos meses. 
Imagine que em 11/05/2016, por hipótese, o YTM do título (sempre 
desconsiderando custos de transação nos exemplos) esteja em 12,54%, forte 
queda em relação aos 13,26% de um mês antes. Qual deveria ser o preço do 
título. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 54 
Seriam 668 dias úteis até o vencimento. 撃鶏 噺 な┻どどど岫な 髪 ど┸なにのね岻滞滞腿態泰態 噺 迎ｕ ばぬな┸なぬ 
O investidor teria recebido R$ 19,75 (R$ 731,13 – R$ 711,38) em 21 
dias úteis (689 – 668 dias úteis). 
Qual o ganho percentual anual do investidor? 
岫な 髪 件銚津通銚鎮岻 噺 磐な 髪 なひ┸ばのばなな┸ぬぱ卑態泰態態怠 噺 な┸ぬぱひど 
Perceba que uma mudança de 0,72% na taxa anual, em prazo tão 
curto, fez o retorno anual do título sair dos esperados 13,26%, para 38,90%. É 
claro que o retorno é para esse horizonte de tempo curto (21 dias úteis). 
E se a taxa subisse, por hipótese, para 13,88%? 撃鶏 噺 な┻どどど岫な 髪 ど┸なぬぱぱ岻滞滞腿態泰態 噺 迎ｕ ばどぱ┸のの 
岫な 髪 件銚津通銚鎮岻 噺 磐な 伐 に┸ぱぬばなな┸ぬぱ卑態泰態態怠 噺 ど┸ひのぬぬ 
O retorno seria de -4,67% ao ano. 
Veja que trabalhar com renda fixa não é nada simples e, mesmo que se 
tenha a garantia dos juros e do principal, qualquer mudança nos prazos de 
resgate ou nas curvas de taxas de juros pode levar a grandes lucros ou 
grandes prejuízos. 
 
Tesouro prefixado com juros semestrais (NTN-F) 
É um título que paga os mesmos R$ 1.000 no vencimento, porém tem 
cupons semestrais, à taxa de 10% ao ano, até o vencimento. Normalmente 
paga no dia 01/01 e no dia 01/07 de cada ano. 
Aqui cabe um parêntese importante. Esse tipo de título nos EUA, com 
definição de taxa de juros anual e pagamento em períodos menores (semestre, 
trimestre, mês, etc.) tem seu cupom calculado a base de juros simples. No 
caso dos 10% ao ano, pagos semestralmente, seria tão somente 5% ao ano. 
Mas a regra da NTN-F não é de juros simples (se fosse daria um fluxo 
maior), é por juros compostos, ou seja, a taxa ao semestre seria: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 54 
件 噺 岫な 髪 などガ岻怠 態斑 伐 な 噺 ね┸ぱぱどひガ 
 
Esse título é mais bem entendido apartir de uma planilha dos seus 
retornos. 
Peguemos a NTN-F com vencimento em 01/01/2027. 
A fórmula de seu valor, já vista na aula 00, é a seguinte: 
 撃鶏 噺 系憲喧剣兼岫な 髪 件岻怠 髪 系憲喧剣兼岫な 髪 件岻態 髪 ┼髪 系憲喧剣兼岫な 髪 件岻痛 髪 撃欠健剣堅 穴結 繋欠潔結岫な 髪 件岻痛 
Os juros (YTM) desse título no dia 11/04/2016 eram de 13,63%. 
Lembrando nossa aula anterior, haveria expectativa de que os juros subissem 
por conta da maior maturidade (8 anos a mais que o título de 2019), porém se 
reduzissem pelo pagamento de cupons semestrais. Percebe-se que a 
maturidade longa falou mais alto e o título estava sendo negociado a juros 
mais altos do que a LTN 2019. 
Data Fluxo Dias úteis VP (13,63%)
11/4/2016 VP = ? 828,84 
1/7/2016 48,81 54 47,49 
1/1/2017 48,81 183 44,48 
1/7/2017 48,81 309 41,73 
1/1/2018 48,81 435 39,15 
1/7/2018 48,81 562 36,71 
1/1/2019 48,81 689 34,42 
1/7/2019 48,81 815 32,29 
1/1/2020 48,81 942 30,27 
1/7/2020 48,81 1069 28,39 
1/1/2021 48,81 1198 26,59 
1/7/2021 48,81 1322 24,97 
1/1/2022 48,81 1451 23,39 
1/7/2022 48,81 1577 21,94 
1/1/2023 48,81 1705 20,56 
1/7/2023 48,81 1830 19,30 
1/1/2024 48,81 1958 18,09 
1/7/2024 48,81 2085 16,96 
1/1/2025 48,81 2211 15,91 
1/7/2025 48,81 2337 14,92 
1/1/2026 48,81 2466 13,98 
1/7/2026 48,81 2591 13,12 
1/1/2027 1.048,81 2719 264,21 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 54 
Obs. Os dias úteis são estimados por fórmulas do excel, talvez haja 
diferenças pequenas com os feriados reais previstos até 2027. 
O valor presente dos fluxos futuros seria de R$ 828,48. 
Imaginemos que os juros tivessem caído os mesmos 0,72% da LTN 
2019. Iríamos para 12,91%. O valor do título (substituindo a taxa na planilha 
de excel) seria de R$ 862,60. 
Perceba que o ganho é maior do que os R$ 19,75 da LTN, mas não 
podemos comparar os títulos, pois o fluxo é bem maior do que os R$ 1.000,00 
da LTN. Mais adiante, veremos como a duration e a convexidade nos ajudam a 
comparar esses títulos. 
 
Tesouro SELIC Pós-fixado LFT 
É um título que deve apresentar menos oscilação, pois o valor futuro 
NÃO está fixado. Você paga pelo título hoje e deve levar a variação da taxa 
SELIC até o vencimento, ou até a venda do título. 
É, portanto, difícil antecipar o valor futuro e a rentabilidade do título, 
pois dependerá da política de juros do BACEN. 
Esse título público e o próximo a estudarmos não servem diretamente 
ao propósito da presente aula (renda fixa, duration e convexidade), mas faz 
sentido apresentá-los junto com os outros dois títulos públicos prefixados, uma 
vez que seu apreçamento também faz parte da matéria do concurso e veremos 
seus conceitos mais detalhadamente na próxima aula. 
Para termos base de preço, o Tesouro Nacional estabeleceu que uma 
unidade do Tesouro Selic (LFT), equivalente a R$ 1.000,00 em 1° de julho de 
2000, (chamada de data┽base), deverá ser atualizada pela variação da taxa 
SELIC diária até o dia em que a precificação do título é feita. 
Ao valor encontrado, definido como Valor Nominal Atualizado (VNA), 
existe a possibilidade de haver ágio ou deságio de acordo com condições de 
mercado. Essa taxa tem sido baixo (0,02% a 0,04%), porém, durante o ano de 
2002, chegou a ficar bem alta, o que indicaria que a taxa SELIC não estaria 
precificando corretamente a demanda de juros no país. 
Em 11/04/2016 a LFT (VNA) valia R$ 7.673,84 e previa um deságio de 
0,01% (taxa positiva significa deságio, pois cai o valor do título). 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
==b999e==
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 54 
Para exemplificar, peguemos a SELIC diária para o dia 11/04/2016, que 
era de 0,052531% (http://www.bcb.gov.br/?SELICLFTLBC), o VNA desse 
mesmo dia, em R$ 7.673,84, e um ágio de -0,2% (diferente dos 0,01%, mas 
melhor para exemplificar). 
O cálculo do VNA do dia seguinte será a aplicação da SELIC prevista de 
1 dia, ajustado pelo ágio ou deságio. 
Qual a taxa? 岫な 髪 件追勅銚鎮岻 噺 岫な 髪 ど┸どどどのにのぬな岻怠怠 噺 な┸どどどのにのぬな 
O Valor Nominal Projetado seria: 撃軽鶏堅剣倹結建欠穴剣 噺 ば┻はぬば┸ぱね 抜 な┸どどどのにのぬな 噺 ば┻はねな┸ぱのにに 
Para o cálculo do ágio é necessário calcular um multiplicador para 
aplicar ao VNProjetado. Como se segue: 兼憲健建件喧健件潔欠穴剣堅 岫剣憲 潔剣建欠 剣岻 噺 などど岫な 髪 劇畦隙畦岻帖沈銚鎚 痛勅沈鎚 銚痛 墜 塚勅津頂沈陳勅津痛墜 岫沈津頂鎮通鎚沈塚勅岻態泰態 
O título analisado vence em 01/03/2021, de forma que faltariam 1.237 
dias úteis para seu vencimento (a partir do dia seguinte, 12/04/2016). 兼憲健建件喧健件潔欠穴剣堅 岫剣憲 潔剣建欠 剣岻 噺 などど岫な 伐 ど┸どどに岻怠┻態戴胎態泰態 噺 などど┸ひぱばはガ 
O valor (Preço) efetivamente negociado deverá ser: 撃欠健剣堅 噺 ば┻はねな┸ぱのにに 抜 などど┸ひぱばはガ 噺 ば┻ばなば┸ぬに 
 
Tesouro IPCA+ com juros semestrais NTN-B 
É um título de cálculo bem complicado. Tem juros prefixados, tem taxa 
interna de retorno, tem fator de correção (cotação) etc.. 
A estrutura de pagamento se dá como no diagrama abaixo, encontrado 
no site do Tesouro Nacional. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 54 
 
 
Perceba que há pagamento de cupom (6% ao ano), porém não é sobre 
R$ 1.000, mas sobre um valor atualizado pelo IPCA. 
Para cálculo do VNA (Valor Nominal Atualizado) utiliza o valor de R$ 
1.000 na data-base 15/07/2000. Seu ajuste, porém, não é diário como o da 
SELIC (o que facilita bastante o cálculo), mas é mensal, atualizado pela 
variação mensal do IPCA, divulgada entre os dias 10 e 15 de cada mês. 
Dessa forma, como nem sempre se compra o título exatamente no dia 
da correção, haverá um VNA projetado, para incorporar a correção pela 
inflação dos dias que se passaram deste a última correção. 
Imagine um título que seria comprado no dia 25/02/2016 (passado). 
O cálculo do VNA, segundo modelo divulgado pelo TN, seria: 撃軽畦 噺 な┻どどど 抜 軽 兼┻ 券穴件潔結 荊鶏系畦 なの 穴結 血結懸┻ にどなは軽 兼┻ 券穴件潔結 荊鶏系畦 なの 穴結 倹憲券┻ にどどど 
Do site: 
http://www.ibge.gov.br/home/estatistica/indicadores/precos/inpc_ipca/defaulttab.
shtm 
Temos: 
 Núm.Índice IPCA 15 de fev.2016 = 1.614,62 
 Núm.Índice IPCA 15 de jun.2000 = 4.591,18 撃軽畦 噺 な┻どどど 抜 ね┻のひな┸なぱな┻はなね┸はに 噺 に┻ぱねぬ┸のど 
Há, porém, 10 dias corridos entre o IPCA calculado para o dia 15 de 
fevereiro e a compra do título. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 54 
O cálculo do VNA ajustado leva em consideração a projeção disponível 
(prévias) do IPCA de Março de 2016. Consideremos, por hipótese, que seja de 
0,88%. 
Temos: 撃軽畦椎追墜珍┻ 噺 撃軽畦 抜 岫な 髪 荊鶏系畦椎追墜珍┻岻 お 鳥沈銚鎚 頂墜追追沈鳥墜鎚 勅津痛追勅 銚 鳥銚痛銚 鳥銚 津勅直墜頂沈銚墜 勅 墜 鳥沈銚 怠泰 鳥墜 陳 鎚 銚痛通銚鎮お 鳥沈銚鎚 頂墜追追沈鳥墜鎚 勅津痛追勅 墜 鳥沈銚 怠泰 鳥墜 陳 鎚 鎚勅直通沈津痛勅 勅 墜 鳥沈銚 怠泰 鳥墜 陳 鎚 銚痛通銚鎮 
Entre o dia 25/02/2016 e o dia 15/02/2016 temos 10 dias corridos e 29 
dias corridos entre 15/03/2016 e 15/02/2016. 
Teríamos: 撃軽畦椎追墜珍┻ 噺 に┻ぱねぬ┸のど 抜 岫な 髪 ど┸ぱぱガ岻怠待態苔 噺 迎ｕ に┻ぱのに┸なな 
Não há, hoje, precificação para títulos curtos de IPCA com cupom, mas, 
para facilitar os cálculos, vamos considerar que esse título para o qual 
calculamos o VNA vença em 15/05/2019. 
É claro que esse não será o valor do título, pois há considerações sobre 
as taxas efetivas de juros pagas por esse título no mercado. 
Do site da receita temos a fórmula para cálculo da “cotação” ou do fator 
de correção pela taxa de juros do título: 
 
Onde a taxa anual do cupom é 6% e a TIR é a taxa efetiva prometida 
ao título (acima da inflação), caso levado ao vencimento. 
Imagine que essa taxa estivesse em 7,5% (recentemente esteve). 
Vejamos o cálculo: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 10 de 54 
Data (1+cupom)
0,5
 -1 Dias úteis VP (7,5%)
25/02/16 VP = ? 0,97460 
15/05/16 0,029563 53 0,02912 
15/11/16 0,029563 182 0,02806 
15/05/17 0,029563 308 0,02706 
15/11/17 0,029563 435 0,02609 
15/05/18 0,029563 561 0,02517 
15/11/18 0,029563 689 0,02426 
15/05/19 1,029563 815 0,81484 
Esses 2,9563% nada mais são do que a taxa equivalente semestral de 
6% ao ano (em juros compostos). 
O fator de correção estaria em 0,97460, levando o preço do título a: 鶏堅結 剣 噺 に┻ぱのに┸なな 抜 ど┸ひばねはど 噺 に┻ばばひ┸はは 
Caso a taxa de juros estivesse em 4,5% (expectativa de queda dos 
juros no futuro), teríamos: 
Data (1+cupom)
0,5
 -1 Dias úteis VP (4,5%)
25/02/16 VP = ? 1,05931 
15/05/16 0,029563 53 0,02929 
15/11/16 0,029563 182 0,02864 
15/05/17 0,029563 308 0,02801 
15/11/17 0,029563 435 0,02740 
15/05/18 0,029563 561 0,02680 
15/11/18 0,029563 689 0,02621 
15/05/19 1,029563 815 0,89295 鶏堅結 剣 噺 に┻ぱのに┸なな 抜 な┸どのひぬな 噺 ぬ┻どにな┸にば 
Perceba que, sempre trabalhamos com a mesma estrutura de 
pagamento de cupons. Isso é como se estivéssemos calculando o VP para um 
título de R$ 1,00. 
 
Debêntures e títulos privados de dívida 
O formato mais comum de debêntures distribuídas no exterior é do tipo 
renda fixa típica, com promessa de pagamento de juros contratuais fixos e 
devolução do principal após a maturidade. 
Aqui no Brasil é mais comum, dadas as variações de curva de juros, 
variações nos índices de inflação que as empresas captem com títulos de 
dívida atrelados ao CDI, Selic ou IPCA. 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 54 
A fórmula de cálculo, quando não é idêntica, é muito semelhante ao que 
encontramos para títulos públicos, de forma que não será necessário 
apresentá-las. Seguiremos para o que realmente importa: como calcular a 
sensibilidade a juros dos títulos de renda fixa. 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 54 
3. DURATION E CONVEXIDADE 
Falar de Duração e Convexidade é, essencialmente, falar da avaliação 
de risco de taxas de juros para um instrumento de renda fixa ou para um 
portfólio. 
Antes de tratar propriamente dessas medidas, é importante estimar 
como se comportariam alguns títulos e alguns portfolios em diferentes cenários 
de variação de taxas de juros (considerando mudanças pontuais, ou choques 
de juros, como se fala na literatura estrangeira, que impactam toda a curva de 
juros futuros). 
Consideremos um título de valor de face R$ 1.000, com pagamento de 
cupom de 6% ao ano (pago anualmente) durante 20 anos. Imagine que, logo 
no lançamento, o título tenha sido vendido (normalmente em leilão ou 
processo de bookbuilding) a 5,88% ao ano (YTM). 
Antes de prosseguir, é relativamente evidente que, se a taxa obtida 
pelo leilão (desconsiderando custos) fosse de 6%, o Valor obtido com o título 
seria exatamente R$ 1.000. 
Para 5,88% o valor presente do título seria maior. O valor seria de R$ 
1.013,90. 
É fácil ter essa intuição de que o título aumenta de valor. Os 5,88% 
seriam a rentabilidade que alguém teria se comprasse o título pelo seu valor 
presente calculado (R$ 1.013,90). Como os pagamentos de cupom e do 
principal permaneceriam os mesmos (são partes do contrato), é relativamente 
evidente que se você pagar MAIS que R$ 1.000 (que daria a taxa de 6% ao 
ano), receberá uma taxa interna menor do que 6%. 
Vejamos os preços do título para 3 cenários diferentes: 
 
Título com cupom de 6%, valor de face R$ 1.000,00, 20 anos
YTM= 5,88%
Preço de mercado = 1.013,90R$ 
Cenário Variação Yield Novo YTM Novo Valor Variação Preço
1 0,50% 6,38% 957,73R$ -5,54%
2 1,00% 6,88% 905,90R$ -10,65%
3 2,00% 7,88% 813,76R$ -19,74% 
Agora imagine um título com cupom de 4%, valor de par R$ 1.000, 5 
anos para a maturidade, negociado inicialmente 4,94%. 
Nessas condições seu preço de mercado seria de R$ 959,24. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 54 
Os cenários ficariam como se segue: 
Título com cupom de 4%, valor de face R$ 1.000,00, 5 anos
YTM= 4,94%
Preço de mercado = 959,24R$ 
Cenário Variação Yield Novo YTM Novo Valor Variação Preço
1 0,50% 5,44% 938,41R$ -2,17%
2 1,00% 5,94% 918,15R$ -4,28%
3 2,00% 6,94% 879,26R$ -8,34% 
Para um portfólio com os dois títulos, teríamos (aqui não calcularemos o 
YTM do portfolio): 
 
Portfólio com os dois títulos
Preço de mercado = 1.973,14R$ 
Cenário Variação Yield Novo Valor Variação Preço
1 0,50% 1.896,13R$ -3,90%
2 1,00% 1.824,04R$ -7,56%
3 2,00% 1.693,02R$ -14,20% 
Já é possível perceber uma redução na variação da taxa de juros em 
relação ao título mais longo. 
O título mais longo tem uma variação de taxas muito mais alta do que o 
título de 5 anos, por exemplo. E o portfólio, com os 2 títulos, tem uma 
volatilidade (sensibilidade) maior do que a do título curto, porém menor do que 
a do título longo. 
 
3.1. Características da volatilidade do preço dos títulos de renda fixa 
Para os objetivos dessa aula, trataremos apenas de 2 características 
dos títulos: cupom e maturidade. 
Vejamos a tabela abaixo, com a variação do preço dos títulos de acordo 
com suas características. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 54 
 
Para um numero suficientemente grande de observações teríamos as 
seguintes curvas de preço dos títulos: 
 
Poderíamosajustar para que todos os títulos tenham o mesmo valor 
presente inicial (pelo valor comprado no portfólio), para ver a diferença das 
curvas. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 15 de 54 
 
 
Agora vamos mostrar, em formato de planilha, qual a variação no preço 
dos títulos, considerando como ponto de partida o YTM de 7%. 
 
O gráfico abaixo dá uma sensibilidade da variação na rentabilidade a 
partir da variação de juros: 
R$ -
R$ 200,00 
R$ 400,00 
R$ 600,00 
R$ 800,00 
R$ 1.000,00 
R$ 1.200,00 
R$ 1.400,00 
R$ 1.600,00 
R$ 1.800,00 
R$ 2.000,00 
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0%
Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos 5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
Variação nos preços dos títulos
Preços de mercado YTM = 7%
508,35R$ 258,42R$ 859,53R$ 788,12R$ 
Tx Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos 5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
0,0% 96,72% 286,97% 74,51% 153,77%
1,0% 78,08% 217,14% 60,42% 118,47%
2,0% 61,37% 160,42% 47,69% 89,13%
3,0% 46,37% 114,26% 36,19% 64,64%
4,0% 32,89% 76,61% 25,78% 44,13%
5,0% 20,77% 45,84% 16,34% 26,88%
6,0% 9,84% 20,66% 7,78% 12,33%
7,0% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
8,0% -8,88% -16,98% -7,08% -10,49%
9,0% -16,91% -30,95% -13,52% -19,45%
10,0% -24,16% -42,48% -19,40% -27,13%
11,0% -30,72% -52,00% -24,77% -33,74%
12,0% -36,66% -59,88% -29,67% -39,46%
13,0% -42,05% -66,42% -34,16% -44,42%
14,0% -46,94% -71,84% -38,27% -48,75%
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 54 
 
Pelo comportamento das curvas de juros e de retornos, é possível 
verificar algumas características dos títulos: 
1. Apesar de todos os títulos apresentarem variações opostas entre 
taxas de juros e valores de mercado (juros sobre, título cai), é 
claro que essas variações não são iguais. 
2. No caso de pequenas mudanças no retorno exigido, a variação 
percentual do preço para um determinado título é 
aproximadamente a mesma, para cima ou para baixo (ou seja, 
tanto faz se o retorno exigido aumenta ou diminui). 
3. No caso de grandes mudanças no retorno exigido, a variação do 
preço é bem diferente, considerando a direção da variação (se o 
retorno cair ou subir). 
4. Para uma determinada variação (grande) no retorno exigido, a 
variação positiva do preço é maior do que a variação negativa do 
preço. 
 
Vamos ver? 
-100,00%
-50,00%
0,00%
50,00%
100,00%
150,00%
200,00%
250,00%
300,00%
350,00%
0,0% 2,0% 4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0%
Sem cupom/10 anos Sem cupom/20 anos
5% cupom/10 anos 5% cupom/20 anos
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 54 
Variação nos preços dos títulos
Tx 5% cupom/10 anos Variação de preço
3,99% 1.081,96R$ 0,07880%
4,00% 1.081,11R$ 0,00%
4,01% 1.080,26R$ -0,07872% 
Como se vê, a variação positiva do título é maior do que a variação 
negativa, considerando a mesma variação de juros. 
Vejamos também que a variação nos preços, para 0,01% nas taxas 
(para cima ou para baixo), é relativamente pequena (mudando o sinal é claro). 
Para valores bem pequenos, não seria equivocado assumir que o 
comportamento da variação das taxas seria linear. Mais adiante precisaremos 
dessa premissa. 
E para variações grandes? 
Variação nos preços dos títulos
Tx 5% cupom/10 anos Variação de preço
2,00% 1.269,48R$ 17,42365%
4,00% 1.081,11R$ 0,00%
6,00% 926,40R$ -14,31029% 
Esse quadro demonstra melhor a característica de número 4, que 
afirma que para uma mesma variação (positiva ou negativa), o preço sobe 
MAIS do que cai, em termos percentuais. 
 
Características dos títulos que afetam o risco de taxa de juros. 
Maturidade 
 Tudo o mais mantido constante, quanto mais longo é o título 
(maturidade maior), maior é sua sensibilidade à variação de taxas 
de juros. Os exemplos anteriores deixam isso claro, tanto para 
títulos com cupons, quanto para títulos sem cupons. 
A taxa do cupom 
 Quanto maior a taxa do cupom, menor é a sensibilidade às 
variações de taxas de juros. Isso fica claro se compararmos os 
títulos com cupom zero (seria o equivalente a ter um cupom de 
0%) e os com cupom de 5% em nosso exemplo. As variações dos 
títulos com cupom são menores do que as que não os têm. 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 54 
3.2. Duração 
 
O leitor deve estar achando confuso ter que comparar títulos tão 
diferentes. Alguns sem cupom, outros com cupom, cupons variados etc. 
Realmente, apenas com os dados vistos até agora, não há como “comparar” 
títulos tão diferentes. A duração serve a esse propósito, criar um indicador que 
permita, rapidamente, comparar títulos de renda fixa. 
O significado da “duração” é melhor ilustrado pela Duration de 
Macaulay. Há outras abordagens, que são extremamente importantes para 
falarmos da convexidade. Serão tratadas adiante. 
 
Duração de Macaulay 
É uma média ponderada pelo tempo, dos valores presentes dos fluxos 
de caixa futuros do título. 
Antes de expor a fórmula, vejamos um exemplo em planilha: 
 
Taxa dos títulos = 10% Taxa dos títulos = 10%
A B C Ponderação A B C Ponderação
Período Fluxo 1 VP 1 A x C Período Fluxo 1 VP 1 A x C
Vlr Presente ɇ 8.484 37.438 Vlr Presente ɇ 8.484 42.421 
1 600 545 545 1 - - - 
2 600 496 992 2 - - - 
3 600 451 1.352 3 - - - 
4 600 410 1.639 4 - - - 
5 10.600 6.582 32.909 5 13.664 8.484 42.421 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,41 Duração = 42.421 ÷ 8.484 = 5,00 
 
Fica fácil de entender que a duração do título é uma média ponderada 
entre seus períodos (1, 2, 3, 4 etc.) e seus valores presentes, dividida pelo 
valor presente TOTAL desse título. 
É uma medida de “tempo”, pois dá pesos proporcionais aos valores 
presentes dos fluxos de caixa, para os períodos em que eles ocorrem. 
No caso, fica evidente que um título que só tem um pagamento no 
futuro tem duração idêntica ao período em que esse pagamento ocorre. Como 
se pode ver na planilha. 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 54 
A fórmula geral é: 
経 噺 デ 繋痛┻ 建岫な 髪 件岻痛津痛退怠デ 繋痛岫な 髪 件岻痛津痛退怠 
D = Duração 
Ft = fluxo no período t 
I = taxa de juros efetiva 
n = número total de períodos 
t = período 
 
Relação entre a taxa de juros e a duração 
O efeito da taxa de juros sobre a duração é inversamente proporcional, 
ou seja, quando a taxa sobe, a duração cai e vice-versa. 
Um pouquinho de cálculo, para continuarmos. 
Qual a derivada da função abaixo? 血岫件岻 噺 な岫な 髪 件岻痛É: 血嫗岫沈岻 噺 伐建 抜 な岫な 髪 件岻痛袋怠 
A fórmula do Valor Atual da Carteira (V), em função de i, é: 
撃岫件岻 噺布 繋痛岫な 髪 件岻痛津痛退怠 
 
Sua derivada seria: 穴撃岫件岻穴件 噺 伐 な岫な 髪 件岻布 繋痛 抜 建岫な 髪 件岻痛津痛退怠 
Dividindo ambos os lados por V: 穴撃岫件岻撃穴件 噺 伐 な岫な 髪 件岻撃布 繋痛 抜 建岫な 髪 件岻痛津痛退怠 噺 伐経岫な 髪 件岻 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
b
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 54 
穴撃岫件岻撃 噺 伐経 抜 穴件岫な 髪 件岻 
Deixando o formalismo um pouco de lado, para podermos trabalhar 
com valores maiores teríamos: ッ撃撃 噺 伐経 抜 ッ件岫な 髪 件岻 
A variação percentual no valor da carteira é proporcional à duração 
vezes a variação percentual da taxa de juro (com sinal invertido). Se o 
investidor espera baixa na taxa de juro (delta i negativo), a variação (delta V) 
POSITIVA da taxa de juro será tanto maior quanto maior for a duração. 
Vemos ver em nosso exemplo anterior. 
Taxa dos títulos = 10% Taxa dos títulos = 10%
A B C Ponderação A B C Ponderação
Período Fluxo 1 VP 1 A x C Período Fluxo 1 VP 1 A x C
Vlr Presente ɇ 8.484 37.438 Vlr Presente ɇ 8.484 42.421 
1 600 545 545 1 - - - 
2 600 496 992 2 - - - 
3 600 451 1.352 3 - - - 
4 600 410 1.639 4 - - - 
5 10.600 6.582 32.909 5 13.664 8.484 42.421 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,41 Duração = 42.421 ÷ 8.484 = 5,00 
Tínhamos uma carteira com 5 períodos, pagamentos de R$ 600 por 
período e R$ 600 mais R$ 10.000 e taxa de juros 10% (YTM). A Duração era 
de 4,41 períodos (ou anos, se for o caso). O valor presente do título, a 10%, 
era de R$ 8.484 (ver na planilha reproduzida acima). 
Qual seria a variação no V, valor da carteira, para uma baixa de 0,1% 
na taxa de juros? ッ撃ぱ┻ねぱね 噺 伐ね┸ねな 抜 伐ど┸どどな岫な 髪 ど┸など岻 ッ撃 噺 ぬね┸どぬねに 換 撃捗 伐 ぱ┻ねぱね 噺 ぬね┸どぬねに 換 ぱ┻のなば┸ばなひの 岫嫌結兼 欠喧堅剣捲┻ 岻 
 
A fórmula simplificada previu que o novo valor da carteira, para uma 
diminuição de 0,1% nos juros, seria de R$ 8.517,7195. Qual seria o valor 
efetivo, calculado utilizando a fórmula do valor presente? 
Seria de R$ 8.517,81. MUITO próximo. 
Mas isso faz sentido para mudanças muito pequenas. Para mudanças 
grandes, já fica distante. Vejamos. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
9
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 54 
Qual seria a variação no V, valor da carteira, para uma alta de 2% na 
taxa de juros? ッ撃ぱ┻ねぱね 噺 伐ね┸ねな 抜 ど┸どに岫な 髪 ど┸など岻 ッ撃 噺 伐はぱど┸はぱね 換 撃捗 伐 ぱ┻ねぱね 噺 伐はぱど┸はぱね 換 ば┻ぱどぬ┸どどなぬ 岫嫌結兼 欠喧堅剣捲┻ 岻 
A fórmula simplificada previu que o novo valor da carteira, para um 
aumento de 2% nos juros, seria de R$ 7.803,0013. Qual seria o valor efetivo, 
calculado utilizando a fórmula do valor presente? 
Seria de R$ 7.837,13. Bem menos próximo. 
Em resumo, no gráfico, teríamos que, para determinada duração e 
determinada taxa de juros (ponto do gráfico) teríamos variações lineares, 
calculadas pela fórmula simplificada da derivada. 
 
 
 
Antes de prosseguirmos com a convexidade, vejamos a duração 
explicada por outra abordagem e fórmula. 
 
 
 
R$ -
R$ 200,00 
R$ 400,00 
R$ 600,00 
R$ 800,00 
R$ 1.000,00 
R$ 1.200,00 
R$ 1.400,00 
R$ 1.600,00 
R$ 1.800,00 
R$ 2.000,00 
0,0% 10,0% 20,0% 30,0% 40,0% 50,0%
5% cupom/10 anos
5% cupom/10 anos
A tangente seria a representação 
gráfica da fórmula simplificada da 
derivada. A derivada é a própria 
tangente, mas só tem validade para 
aquele ponto do gráfico.
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
9
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 54 
 
Duração 
Duração, da forma como definiremos a seguir, é uma medida 
aproximada para a sensibilidade da variação do preço do título às variações 
das taxas de juros. 
Na fórmula que se segue, Duration significa a variação percentual 
aproximada no valor de um título, para uma oscilação de 1% (100 pontos 
base, ou basis points) na taxa de juros. 
O calculo aproximado da duração é dado pela fórmula: 鶏堅結 剣 嫌結 欠 建欠捲欠 潔欠件 ッ件 伐 鶏堅結 剣 嫌結 欠 建欠捲欠 嫌剣決結 ッ件に岫鶏堅結 剣 件券件潔件欠健 剣憲 決欠嫌結岻岫懸欠堅件欠 剣 券欠 建欠捲欠 ッ件岻 噺 撃貸 伐 撃袋に岫撃待岻岫ッ件岻 
Matemáticos já viram que essa fórmula é parecida com a que derivamos 
na parte anterior da aula. 
A multiplicação por 2 se dá porque o delta i aparece duas vezes no 
numerador, tanto para cima quanto para baixo. 
No exemplo anterior, vamos supor que a taxa oscile 1% para baixo e 
1% para cima. Teríamos: 
V- = R$ 8.833,10 
V+ = R$ 8.152,05 
V0 = R$ 8.483,69 
─i = 0,01 撃貸 伐 撃袋に岫撃待岻岫ッ件岻 噺 ぱ┻ぱぬぬ┸など 伐 ぱ┸なのに┸どのに岫ぱ┸ねぱぬ┸はひ岻岫ど┸どな岻 噺 ね┸どなぬひど 
A duração calculada dessa forma é diferente da calculada diretamente, 
pois se aproxima da “Duração Modificada”, cuja fórmula veremos adiante. 
A interpretação dessa duração (4,01390), calculada segundo a fórmula 
acima, é que, para cada 1% de variação na taxa de juros, haverá 4,01% de 
variação (em sentido inverso) para o valor do título. 
Pode-se sugerir a fórmula seguinte: 撃欠堅件欠 剣 ガ 券剣 喧堅結 剣 噺 伐経憲堅欠 剣 兼剣穴件血件潔欠穴欠 抜 ッ件 抜 などど 
Essa fórmula tem o mesmo significado da derivada da fórmula de 
Macaulay. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
9
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 54 
Vamos medir as diferenças entre os valores REAIS dos títulos e os 
valores previstos. Considerando como ponto de partida os 10% e os R$ 
8.483,69 do título anterior do exemplo. 
ȴi V real V calc Diferença
-5,00% 10.432,95 10.184,66 -2,3798%
-2,00% 9.201,46 9.164,08 -0,4063%
-1,50% 9.014,84 8.993,98 -0,2314%
-1,00% 8.833,10 8.823,88 -0,1044%
-0,50% 8.656,10 8.653,78 -0,0268%
-0,20% 8.552,11 8.551,72 -0,0045%
-0,10% 8.517,81 8.517,70 -0,0012%
0,00% 8.483,69 8.483,69 0,0000%
0,10% 8.449,74 8.449,67 -0,0009%
0,20% 8.415,97 8.415,65 -0,0039%
0,50% 8.315,71 8.313,59 -0,0256%
1,00% 8.152,05 8.143,49 -0,1050%
1,50% 7.992,57 7.973,39 -0,2399%
2,00% 7.837,13 7.803,29 -0,4318%
5,00% 6.983,06 6.782,71 -2,8691% 
 
No gráfico dá para ver que a curva REAL é convexa e a “curva” 
aproximada é uma reta, indicando a relação linear. 
Dá para ver também que a diferença entre o REAL e o APROXIMADO é 
sempre negativa, ou seja, a fórmula calcula sempre valores MENORES do que 
os reais. 
Porém, como se pode ver na tabela, a aproximação é bastante fiel. 
 
 
5.000,00 
6.000,00 
7.000,00 
8.000,00 
9.000,00 
10.000,00 
11.000,00 
12.000,00 
13.000,00 
1,00% 3,00% 5,00% 7,00% 9,00% 11,00% 13,00% 15,00% 17,00% 19,00%
V real V calc
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
e
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 54 
Duração Modificada 
A duração modificada, assim como a de Macaulay, é uma medidaa de 
sensibilidade do preço de um título às variações nas taxas de juros. Quanto 
maior a duração (modificada ou de Macaulay), maior a resposta (em sentido 
inverso) do preço do título às variações nas taxas de juros. 経憲堅欠 剣 警剣穴件血件潔欠穴欠 経警 噺経 岫経憲堅欠 剣 穴結 警欠潔欠憲健欠検岻岫な 髪 件岻 経憲堅欠 剣 警剣穴件血件潔欠穴欠 経警 噺 ね┸ねなにひ岫な 髪 ど┸な岻 噺 ね┸どななば 
Que é, basicamente, o mesmo valor encontrado pela duração calculada 
anteriormente. 
 
Interpretações da Duration 
A Duração é a “derivada-primeira” da função V(i) 
 Isso já sabemos pela derivação da fórmula, no início desta parte 
da aula. Ficou ainda mais evidente com os gráficos e as planilhas 
apresentados anteriormente. 
A Duração é uma medida de tempo 
 Aqui cabe uma crítica. A duração, apesar de ser tratada como 
uma medida de tempo, na verdade ela quer dizer que a 
sensibilidade daquele título com pagamentos de cupom às taxas 
de juros seria a mesma que a sensibilidade de um título SEM 
CUPOM, com a mesma duração (nesse caso, seria a maturidade 
do título, por não ter cupom). 
 
Duração de um portfólio 
O cálculo da duração de um portfólio com vários títulos é bem simples. 
Basta ponderar cada duração, de cada título, por sua participação percentual 
no portfólio. 
Veja no exemplo. Fica bem claro: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 54 
A B C D
Título Montante Peso Duração C x D
A 1.188.432 2,1% 3,8450 0,0796 
B 12.408.234 21,6% 4,8850 1,0553 
C 19.734.422 34,4% 5,7490 1,9753 
C 858.652 1,5% 3,0000 0,0448 
C 7.593.665 13,2% 4,4480 0,5881 
C 12.087.656 21,0% 7,9648 1,6762 
Total 57.436.357 100,0% Dur. Portf.= 5,4193 経憲堅欠 剣 穴剣 鶏剣堅建血 健件剣 岫券 欠建件懸剣嫌岻 噺 拳怠経怠 髪 拳態経態 髪 拳戴経戴 髪橋髪拳津経津 
Onde wn significa o peso do ativo 1 no portfólio e D1 significa a duração 
desse ativo. 
Importante notar que essa duração só fará sentido se os juros de 
TODOS os títulos variarem na mesma proporção. 
Isso, normalmente, não ocorre, pois a fonte de mudança nas taxas de 
juros pode ser variada. Para um título privado, o risco de default da empresa 
pode estar (e normalmente está) descolado do risco de default de um título 
público. 
 
3.3. Convexidade 
Como notamos, a variação das taxas de juros afeta o valor da carteira 
de forma NÃO linear, apesar de as fórmulas das durações aproximarem 
razoavelmente esses variações, para valores pequenos. 
O que sabemos sobre a tangente (duração) dessa curva convexa? 
Sabemos que, para variações infinitesimais (muito pequenas) de taxas 
de juros, a variação no valor da carteira, para cima ou para baixo é igual. 
Mas para valores maiores, isso não se verifica. Como vimos, as 
variações POSITIVAS no valor da carteira são MAIORES do que as variações 
negativas. 
A duração é uma primeira aproximação da sensibilidade às taxas de 
juros. É imprecisa, porém adequada para valores pequenos. A Convexidade é 
uma segunda aproximação, que nos ajudará a ter estimativas mais precisas 
dessa sensibilidade. 
 
Para que serve a “medida de convexidade”? Para medir a variação no 
preço que NÃO é explicada pela duração. 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 54 
Voltemos à derivada calculada anteriormente: 穴撃岫件岻穴件 噺 伐 な岫な 髪 件岻布 繋痛 抜 建岫な 髪 件岻痛津痛退怠 噺 伐布 繋痛 抜 建岫な 髪 件岻痛袋怠津痛退怠 
Qua seria a segunda derivada (derivada da derivada) dessa expressão, 
a qual utilizamos para calcular a duração (simplificaremos as notações para 
V’’)? 
Qual a derivada da função abaixo? 血嫗岫沈岻 噺 伐建 抜 な岫な 髪 件岻痛袋怠 
Seria: 血嫗嫗岫沈岻 噺 建態 髪 建岫な 髪 件岻痛袋態 噺 な岫な 髪 件岻態 抜 建態 髪 建岫な 髪 件岻痛 
De onde se conclui que V’’, a segunda derivada da função do valor de 
mercado do título (V) com a variável taxa de juros (i), seria: 
 
撃旺旺 噺 な岫な 髪 件岻態布繋痛 抜 岫建態 髪 建岻岫な 髪 件岻痛津痛退怠 
A definição matemática da convexidade, como função da variável taxa 
de juros (i) é: 系岫件岻 噺 撃旺旺撃 
Então: 
系岫件岻 噺 な岫な 髪 件岻態 抜 デ 繋痛 抜 岫建
態 髪 建岻岫な 髪 件岻痛津痛退怠 撃 噺 な岫な 髪 件岻態 抜 デ 繋痛岫な 髪 件岻痛 抜 岫建態 髪 建岻津痛退怠 撃 
Perceba que: デ 繋痛岫な 髪 件岻痛 抜 岫建態 髪 建岻津痛退怠 撃 噺布拳怠 抜 岫建態 髪 建岻津痛退怠 
A primeira parte do somatório é o valor presente do fluxo futuro. Isso 
dividido pelo valor presente do título é exatamente o peso de cada período, 
conforme utilizamos na duration. 
Dessa forma temos a fórmula completa para a convexidade: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 54 
系岫件岻 噺 な岫な 髪 件岻態 抜布拳怠 抜 岫建態 髪 建岻津痛退怠 
Em nosso exemplo da duração, a convexidade seria calculada como se 
segue: 
Taxa dos títulos = 10,00% Convexidade
A B C Ponderação B C
Período Fluxo 1 VP 1 A x C (t2+t) (t2+t).w(peso)
Vlr Presente ɇ 8.483,69 37.438 ɇ 25,36 
1 600 545 545 2 0,12859 
2 600 496 992 6 0,35070 
3 600 451 1.352 12 0,63763 
4 600 410 1.639 20 0,96611 
5 10.600 6.582 32.909 30 23,27443 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,4129 25,36÷ (1+0,1)2 = 20,9566 
Imagino que o leitor se pergunte, a essa altura, como se usa esse valor 
da convexidade. 
O entendimento da duração é claro, pois é tão somente a média 
ponderada dos períodos, pelo peso dos valores presentes na carteira. 
Para entendermos o uso da convexidade, é preciso analisar sua relação 
com a duração. Por enquanto apenas sabemos que a convexidade é a segunda 
derivada do valor da carteira em função da taxa de juros, e a derivada da 
duração em função da taxa de juros. 
Opa... Mas aqui temos um bom insight! 
A convexidade, matematicamente falando, vai indicar como a duração 
muda para cada taxa de juros. Antes, para avaliarmos o preço de um título 
utilizando a duração, considerávamos um valor único para D. Agora temos 
uma função que mostra COMO D varia, em função da taxa de juros. 
Vamos ver como D se relaciona com C: 系岫件岻 噺 撃旺旺撃 噺 な撃 抜 撃嫗岫撃嫗岻 
Pois a derivada segunda é a derivada da derivada primeira. Aos não 
matemáticos, fiquem tranquilos. Deduziremos uma fórmula simples dessas 
contas todas. 
Calculamos anteriormente o seguinte: 穴撃岫件岻撃穴件 噺 伐 な岫な 髪 件岻撃布 繋痛 抜 建岫な 髪 件岻痛津痛退怠 噺 伐経岫な 髪 件岻 
O que pode ser reescrito como: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 54 
撃嫗 噺 伐経撃岫な 髪 件岻 噺 伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚撃 
Temos então: 系岫件岻撃 噺 撃嫗岫伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚撃岻 
Pela regra da derivação de produtos temos: 岫血訣岻嫗 噺 血嫗訣 髪 血訣旺 系撃 噺 伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚 抜 撃旺 伐 撃 抜 穴岫経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚岻穴件 系撃 噺 伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚 抜 岫伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚撃岻 伐 撃 抜 穴岫経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚岻穴件 系撃 噺 経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚態 抜 撃 伐 撃 抜 穴岫経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚岻穴件 系 噺 経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚態 伐 穴岫経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚岻穴件 
A fórmula aproximada, mais simples de usar, associando Preço do 
Título, Duração e Convexidade é a seguinte: ッ撃撃 噺 伐経 ッ件岫な 髪 件岻 髪 なに系岫ッ件岻態 
Nesse caso a duração é a da Macaulay. Com a duração modificada 
seria: ッ撃撃 噺 伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚ッ件 髪 なに系岫ッ件岻態 
Vejamos como ficaria a previsão do valor do título ajustando pela 
duração e pela convexidade. 
 
Recordando: 
 
Taxa dos títulos = 10,00% Convexidade
A B C Ponderação B C
Período Fluxo 1 VP 1 A x C (t2+t) (t2+t).w(peso)
Vlr Presente ɇ 8.483,69 37.438 ɇ 25,361 600 545 545 2 0,12859 
2 600 496 992 6 0,35070 
3 600 451 1.352 12 0,63763 
4 600 410 1.639 20 0,96611 
5 10.600 6.582 32.909 30 23,27443 
Duração = 37.438 ÷ 8.484 = 4,4129 25,36÷ (1+0,1)
2 = 20,9566 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 54 
Como ficaria o cálculo do Valor da Carteira usando a fórmula acima: 
 
 
ȴi i V real V calc Diferença
-5,00% 5,00% 10.432,95 10.407,63 -0,242656%
-3,00% 7,00% 9.589,98 9.584,72 -0,054890%
-1,00% 9,00% 8.833,10 8.832,92 -0,002127%
-0,50% 9,50% 8.656,10 8.656,08 -0,000269%
-0,20% 9,80% 8.552,11 8.552,11 -0,000017%
-0,10% 9,90% 8.517,81 8.517,81 -0,000002%
0,00% 10,00% 8.483,69 8.483,69 0,000000%
0,10% 10,10% 8.449,74 8.449,74 0,000002%
0,20% 10,20% 8.415,97 8.415,97 0,000017%
0,50% 10,50% 8.315,71 8.315,74 0,000275%
1,00% 11,00% 8.152,05 8.152,23 0,002223%
3,00% 13,00% 7.537,94 7.542,66 0,062700%
5,00% 15,00% 6.983,06 7.004,21 0,302893% 
Como se vê, mesmo com a fórmula aproximada, é um cálculo 
muitíssimo mais preciso do que usando apenas a duration. 
Para uma variação bem grande como 5% (num título remunerando a 
10%, é muito), a fórmula com a convexidade dá um erro entre -0,24% e + 
0,30% em relação ao valor real calculado. Utilizando apenas a aproximação 
linear da duração, teríamos um erro de -2,4% e 2,9%. O erro com a 
convexidade é em torno de 10 vezes menor, no caso estudado. 
 
Convexidade, outra fórmula 
Alguns livros abordam convexidade de uma forma mais simples e 
direta. Não é possível saber qual das formas será cobrada na prova do BACEN, 
de modo que é importante tratarmos das duas. 
 警結穴件穴欠 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 噺 撃貸 髪 撃袋 伐 に岫撃待岻に岫撃待岻岫ッ件岻態 
O significado dos termos é o mesmo aplicado para o cálculo da duração 
com fórmula semelhante. 
Aproveitando a planilha calculada acima, podemos calcular a 
convexidade. 
Tomemos uma variação de 1%, para mais e para menos, como fizemos 
para a duração. Teríamos: 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 54 
V- = R$ 8.833,10 
V+ = R$ 8.152,05 
V0 = R$ 8.483,69 
─i = 0,01 警結穴件穴欠 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 噺 ぱ┻ぱぬぬ┸など 髪 ぱ┸なのに┸どの 伐 に 抜 ぱ┻ねぱぬ┸はひに岫ぱ┸ねぱぬ┸はひ岻岫ど┸どな岻態 噺 など┸ねぱに 
A medida da convexidade ainda não é a que fará o ajuste no valor dos 
títulos. 
O “ajuste de convexidade”, que significa a variação no título que não é 
captada ou explicada pela duração, é a seguinte: 
 畦倹憲嫌建結 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 噺 警結穴件穴欠 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 抜 岫ッ件岻態 抜 などど 岫ガ岻 
 畦倹憲嫌建結 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 噺 など┸ねぱに 抜 岫ど┸どな岻態 抜 などど 岫ガ岻 噺 ど┸などねぱガ 
 
Ou seja, além da previsão sobre o valor da carteira, feita pela duração, 
teríamos que adicionar 0,1048% para ajustarmos pela convexidade. 
Substituindo o ajuste de convexidade o que teríamos (supondo uma alta 
de juros de 1%)? 
 撃欠堅件欠 剣 ガ 券剣 喧堅結 剣 噺 伐経陳墜鳥沈捗沈頂銚鳥銚 抜 ッ件 髪警結穴件穴欠 穴結 系剣券懸結捲件穴欠穴結 抜 岫ッ件岻態 
 撃欠堅件欠 剣 ガ 券剣 喧堅結 剣 噺 伐ね┸どなぬひ 抜 ど┸どな 髪 など┸ねぱに 抜 岫ど┸どな岻態 噺 伐ね┸どなぬひガ 髪 ど┸などねぱガ 
 
Ou seja, além do ajuste da duração, teríamos um ajuste pela 
convexidade. O valor 0,1048% é o ajuste pela convexidade. 
Por esse método de ajuste, como ficaria a diferença entre o previsto e o 
real? 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 54 
ȴi i V real V calc Diferença
-5,00% 5,00% 10.432,95 10.408,64 -0,233016%
-3,00% 7,00% 9.589,98 9.585,30 -0,048805%
-1,00% 9,00% 8.833,10 8.833,10 0,000000%
-0,50% 9,50% 8.656,10 8.656,17 0,000807%
-0,20% 9,80% 8.552,11 8.552,15 0,000416%
-0,10% 9,90% 8.517,81 8.517,83 0,000215%
0,00% 10,00% 8.483,69 8.483,69 0,000000%
0,10% 10,10% 8.449,74 8.449,72 -0,000216%
0,20% 10,20% 8.415,97 8.415,94 -0,000420%
0,50% 10,50% 8.315,71 8.315,65 -0,000825%
1,00% 11,00% 8.152,05 8.152,05 0,000000%
3,00% 13,00% 7.537,94 7.542,14 0,055749%
5,00% 15,00% 6.983,06 7.003,37 0,290863% 
Algo interessante com esse método é que, apesar das “pontas” 
apresentarem diferença bem próxima ao método anterior, os valores de 
carteira previstos para variação de juros 0%, 1% e -1%, são iguais aos valores 
calculados diretamente. No método anterior, só tínhamos precisão no ponto de 
partida (variação de juros 0%), o que faz sentido, pois é um método baseado 
em derivadas. 
Nesse método temos precisão em 3 pontos. Isso porque utilizamos um 
ajuste de convexidade que foi CALCULADO com base na variação de 1% (para 
cima e para baixo). Eis o motivo para a precisão nesses pontos. 
 
 
 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 54 
 
 
4. IMUNIZAÇÃO E DURATION HEDGE 
Imunização de um portfólio seria conseguir um “casamento” perfeito 
entre as durações dos títulos desse portfólio. É claro que estamos falando de 
casar direitos e obrigações, de forma a zerar (ou reduzir) o risco de fluxo de 
caixa da empresa ou do fundo. 
Para casar fluxos de obrigações e direitos, também é comum o uso do 
mercado a termo e futuro de juros, mas isso é assunto para a parte de 
derivativos. 
A imunização de apenas um período, normalmente significa que temos 
apenas um objetivo no tempo. Por exemplo, obter 15% ao ano durante 5 anos 
ou sair de R$ 100.000 para R$ 200.000 em 5 anos. Você pode querer fazer 
isso por ter algum compromisso no futuro para quitar com esses valores. 
Imunização de múltiplos períodos significa ajustar múltiplas obrigações 
no futuro (como acontece nos fundos de pensão) com fluxos de caixa 
provenientes dos títulos comprados hoje. 
É razoável crer que um fundo de pensão, com estimativas precisas dos 
custos que terá nos próximos anos (muitos anos), queira sempre se posicionar 
em títulos que garantam honrar esses fluxos. 
Claro que na vida real nem sempre (fora do Brasil ao menos, onde os 
juros são mais baixos) é possível se utilizar apenas de instrumentos de renda 
fixa para gerir o portfólio de um fundo de longo prazo. 
A imunização, idealmente, quer tornar um portfólio “imune” às 
variações nas taxas de juros. 
A lógica é interessante. Se uma empresa com muitas obrigações e 
investimentos, com maturidades de fluxos diferentes, com taxas de juros 
diferentes, conseguir “casar” as durações de ambos os lados do balanço, 
estaria “livre” (na verdade livre não está, apenas mitiga o risco) do risco das 
variações nas taxas de juros. 
 
O problema do reinvestimento – Maturity Hedge 
Em tese, se alguém tem um horizonte de 5 anos, por exemplo, e 
comprar um título que pague cupons de 6% ao ano (como nossos títulos de 
inflação), pagando um valor presente descontadopor uma taxa de 10%, por 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 54 
exemplo, estaria garantindo essa taxa de 10%. É o que dizem popularmente. 
Se o comprador mantiver o título, terá a rentabilidade contratada. 
Mas isso não é verdade. Veja: 
Taxa de desconto 10,00%
Valor de Face 1.000,00R$ 
Quantidade de títulos 10,00 
A B C VF ano 5 VF ano 5
Período Fluxo 1 VP VF Fluxo VF do VP
Vlr Presente ɇ 8.483,69 13.663,06 8.483,69 
1 600 545 878 0 
2 600 496 799 0 
3 600 451 726 0 
4 600 410 660 0 
5 10.600,00 6.581,77 10.600,00 13.663,06 
Essa planilha explica uma das características da Taxa Interna de 
Retorno menos discutidas ou demonstradas em sala de aula. 
Todos os professores falam que a TIR pressupõe a capacidade de 
reinvestir os fluxos à mesma taxa inicial. Isso não é aprofundado nos cursos de 
valuation, mas para renda fixa é fundamental que o aluno entenda essa 
característica da TIR. 
É por isso que o maturity-hedge não funciona, ou seja, mesmo 
comprando os títulos com todos os valores contratados e levando-o à 
maturidade, NÃO dá para garantir que seu retorno seja de 10%. 
A planilha mostra o fluxo de 10 títulos que pagam 6% ao ano, com 
valor de face R$ 1.000. Para que REALMENTE os ganhos de quem recebe 
aqueles cupons de R$ 600 seja de 10% ao ano, ele precisa ser capaz de 
reinvestir os cupons a 10% ao ano. 
Se conseguir, é óbvio que seu retorno será de 10%. A planilha 
demonstra isso, pois calcula o valor futuro dos juros de cada parcela e soma 
(R$ 13.663,06) e calcula que o valor presente desse título (R$ 8.483,69), 
investido a 10% ao ano daria EXATAMENTE o mesmo valor do somatório do 
valor futuro dos títulos. 
Mas e se, por hipótese, só conseguíssemos reinvestir os fluxos a taxas 
de 9% no primeiro ano, 8% no segundo, 6% no terceiro e 5% no quarto ano? 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 54 
Período Fluxo 1 VP Taxas de reinv. VF Fluxo
Vlr Presente ɇ 8.483,69 13.506,94 
1 600 545 9,0% 847 
2 600 496 8,0% 756 
3 600 451 6,0% 674 
4 600 410 5,0% 630 
5 10.600,00 6.581,77 10.600,00 
Você pagou = 8.483,69 
Teria em 5 anos = 13.506,94 
Sua taxa seria de = 9,7475% 
Fica bem claro que, na hipótese de não ser possível reinvestir os fluxos 
à taxa de 10%, seu retorno NÃO será de 10%. 
Só para reforçar. Se aplicássemos os R$ 8.483,69 a 10% ao ano, 
receberíamos R$ 13.663,06 ao final de 5 anos. Porém, se investirmos o 
mesmo num título com cupons, só teremos o mesmo valor futuro SE os juros 
não mudarem. Se só for possível reinvestir a juros menores, teremos um valor 
futuro MENOR, portanto não receberemos os 10%, mesmo mantendo o título 
até o final. 
Por isso o hedge da maturidade não funciona adequadamente. 
 
Imunização e duration-hedge 
Imagine, por hipótese, que você deve R$ 1 milhão, com vencimento em 
4 anos e taxa de 14% ao ano. Isso significa que terá que pagar R$ 1.688.960 
ao final desse período. Você quer comprar um título com pagamento de cupons 
para garantir o pagamento dessa obrigação no futuro. 
Para “garantir” uma imunização total ao título, será fundamental obter 
o seguinte: 
 Duraçãoativo = Duraçãopassivo 
 Valor Presenteativo >= Valor Presentepassivo 
 Dispersãoativo = Dispersãopassivo 
Vamos trabalhar com as duas primeiras condições para ver como 
funcionaria essa imunização. 
Nós veremos aqui que os fundos conseguirão “casar” taxas de juros a 
pagar e taxas de juros a receber. Isso é contraintuitivo para as pessoas físicas, 
pois, como sempre há um spread bancário, não faria sentido conseguir um 
empréstimo de 8% ao ano e uma aplicação de 12% ao ano. Você pegaria esse 
empréstimo, aplicaria, pagaria e teria um ganho livre de risco. 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 54 
Mas lembre-se que fundos, como os de pensão, por exemplo, existem 
justamente para isso. Para obter rentabilidade investindo o dinheiro dos 
participantes e fazer pagamentos com base nessa rentabilidade. Por isso é 
absolutamente natural que as taxas obtidas com os ativos e as taxas a pagar 
dos passivos, sejam próximas para fundos. 
Em resumo, não estamos falando do sistema bancário, que capta a 
14% ao ano e empresta a 400% (cartão de crédito). 
Precisamos obter um ativo que tenha valor presente de R$ 1 milhão e 
duração de 4 anos. 
Olhando no mercado verificamos que há um título com duração de 4 
anos. É um título com cupom de 12% ao ano, vencimento em 5 anos e valor 
de face R$ 1.000. À taxa de 14% ao ano, ele está cotado no mercado a R$ 
931,34. 
Quantos títulos precisamos comprar para termos R$ 1 milhão 
investidos? 芸建穴 建 建憲健剣嫌 噺 な┻どどど┻どどどひぬな┸ぬね 噺 な┻どばぬ┸ばに 建 建憲健剣嫌 
Utilizaremos valores quebrados (0,72 título) para a conta ficar mais 
precisa. 
O valor presente do título (taxa 14%, cupom 12%) é calculado como se 
segue: 
Período Fluxo 1 título VP 1 título Vlr Total VP Total
Vlr Presente ɇ 931,34 
1 120 105,3 128.846,83 113.023,54 
2 120 92,3 128.846,83 99.143,45 
3 120 81,0 128.846,83 86.967,94 
4 120 71,0 128.846,83 76.287,67 
5 1.120,00 581,7 1.202.570,43 624.577,40 
Duração 4,00 
Na penúltima coluna temos os valores dos fluxos futuros (sem 
desconto) multiplicados pela quantidade de títulos. O Valor presente desses 
fluxos está calculado na última coluna. 
Chegamos ao ano 1. Qual seria o valor de mercado do título 
imediatamente após o pagamento do cupom? 
É simples, basta trazer os 4 períodos seguintes (3 x R$ 120,00 + 1xR$ 
1.120) a valor presente, pela taxa de 14% (supondo que não mude). 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 54 
O valor de mercado do título seria R$ 941,73, PORÉM não é esse o valor 
que o detentor do título disporá, pois houve pagamento de R$ 120,00 de 
cupom. Significa que seu patrimônio, parte em dinheiro recebido através do 
cupom, parte pelo valor presente (de mercado) do título seria R$ 1.061,73. 
No ano seguinte, o investidor terá reaplicado seus R$ 120,00 à taxa de 
14% (supondo ser essa a taxa à época) e receberá mais R$ 120. A soma 
desses dois valores (cupom reaplicado e cupom do dia) seria R$ 256,80. Além 
disso, o investidor ainda tem o título, cujo valor presente (de mercado) seria 
R$ 953,57. O total à disposição seria R$ 1.210,37. 
No ano 4 (pulamos o ano 3), teríamos3 cupons (1, 2 e 3) reinvestidos, 
mais R$ 120,00, mais R$ 982,46 (valor do título no ano 4, taxa de 14% ao 
ano). Seriam R$ 470,54, mais R$ 120,00, mais 982,46 totalizando R$ 
1.572,99 reais por título. 
Multiplicando esse resultado pelos 1.073,72 títulos, esse investidor teria 
R$ 1.688.960. 
Lembram da dívida que vencia em 4 anos? Pois ao comprar um título 
com duração 4, mesmo valor presente e mesma taxa de juros, em 4 anos seria 
possível pagar a dívida com o valor disponível do título. 
Veja na planilha: 
 
Mas isso não é o grande benefício de se “casar” a duração dos ativos e 
passivos. A principal vantagem é a redução da exposição ao risco de variação 
das taxas de juros. Perto da “duração” o título não deveria oscilar muito. 
Oscilará um pouco, pois a duração se modifica, mas veja o que ocorre quando 
as taxas variam: 
Tx juros VP 4 ano Dívida Diferença R$ Diferença %
5% 1.700.651 1.688.960 11.691 0,69%
8% 1.694.089 1.688.960 5.129 0,30%
12% 1.689.525 1.688.960 565 0,03%
14% 1.688.960 1.688.960 - 0,00%
16% 1.689.501 1.688.960 540 0,03%
20% 1.693.792 1.688.960 4.832 0,29%
25% 1.704.939 1.688.960 15.979 0,95% 
A B Valor Mercado Valor Mercado Valor Mercado Coupon reinv
Período Fluxo 1 título VP 1 título Vlr Total VP Total de 1 título Acumul 1 título
Vlr Presente ɇ 931,34 
1 120 105,3 128.846,83 113.023,54 941,73 120,00 
2 120 92,3 128.846,83 99.143,45 953,57 256,80 
3 120 81,0 128.846,83 86.967,94 967,07 412,75 
4 120 71,0 128.846,83 76.287,67 982,46 590,54 
5 1.120,00 581,7 1.202.570,43 624.577,40 1.000,00 793,21 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 37 de 54 
Perceba que, ao casar ativos e passivos pela duração, garantindo que o 
ativo tenha valor presente maior ou igual ao do ativo, houve significativa 
redução dos riscos de a variação da taxa de juros “descasar” os pagamentos e 
recebimentos. 
Essas diferenças, mesmo para oscilações bruscas como de 14% para 
5%, são pequenas, de menos de 1% do valor a ser pago. 
Aqui vale relembrar que títulos com a mesma duração deverão ter a 
mesma sensibilidade às variações das taxas de juros. Para valores 
infinitesimais esse match é perfeito, para valores maiores, não é perfeito (pois 
a duração varia), mas a oscilação é bastante reduzida. Veja no quadro abaixo: 
Tx juros VP Ano 3 VP Ano 5
5% 1.619.668 1.785.684 
8% 1.568.601 1.829.617 
12% 1.508.504 1.892.268 
14% 1.481.544 1.925.415 
16% 1.456.466 1.959.821 
20% 1.411.493 2.032.550 
25% 1.363.951 2.131.174 
Perceba que, se os juros tivessem subido para 25%, o Valor Presente 
do título (+ reinvestimentos) no ano 5 seria de R$ 2.131.174. Muito mais alto 
do que os R$ 1.688.960 necessários. Isso por força do reinvestimento dos 
cupons a taxas bem mais altas. 
Importante colocar que estou usando Valor Presente no ano 4, para 
indicar qual seria o valor disponível (valor do título + cupom + cupons 
reinvestidos) no ano 4. 
Há inúmeras técnicas para gestão e imunização de portfólios 
complexos, mas, prioritariamente, são técnicas numéricas, com programação 
em softwares específicos, rebalanceamento etc. 
São técnicas muitas vezes específicas de cada fundo, às vezes até de 
propriedade desses fundos. Em relação à teoria de imunização há muitas 
formas de se abordar, mas entendo que a tratada até aqui atinge os objetivos 
de compreensão necessários para fazer a prova do BACEN. 
Serão suficientes para fazer os exercícios a seguir. 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 54 
 
4. QUESTÕES RELACIONADAS AOS TEMAS 
As questões desse curso de Finanças Privadas fazem parte de um 
extenso e quase exaustivo banco de dados de questões de concursos dos 
últimos 15 anos, das mais diversas bancas, complexidades e carreiras. 
A sugestão é tentar resolvar as questões nessa parte e ver as respostas 
comentadas no capítulo seguinte. 
Questão 1. 
 
CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças 
e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
Na construção da curva a termo, os modelos de não arbitragem indicam que as 
taxas a termo podem ser utilizadas para se travar a taxa de juros futura sem a 
preocupação de validade da hipótese de expectativas. Outros conceitos 
utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, 
sendo a convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration 
sofre alteração em mudanças na taxa de retorno e a duration o efeito de 
primeira ordem utilizado na mensuração da sensibilidade do preço de um ativo 
às variações nas taxas de retorno. 
Certo 
Errado 
 
Questão 2. 
 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3/2009 
Um poupador compra um título federal que promete um pagamento fixo de R$ 
100,00, no prazo de um mês. No dia seguinte à compra, as taxas de juros na 
economia diminuem substancialmente. 
 Nesse caso, o(s) 
a) poupador terá um grande prejuízo. 
b) título pagará menos que R$ 100,00 no vencimento. 
c) preço do título no mercado aumentará. 
d) preços das ações na bolsa diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
e) preços dos imóveis diminuirão, devido aos juros mais baixos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 54 
 
Questão 3. 
 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-
Financeira/2005 
O risco de mercado de um título de renda fixa é 
a) sempre igual a zero, porque o preço de um título de renda fixa não depende 
do comportamento do mercado de ações. 
b) sempre igual a zero, caso não tenha risco de crédito. 
c) decorrente da sensibilidade do preço do título à variação da taxa de juros de 
mercado. 
d) igual à duração do título. 
e) sempre maior do que o risco de mercado de uma ação. 
 
Questão 4. 
 
ESAF - Auditor Fiscal da Previdência Social/Auditoria nas Entidades 
Fechadas de Previdência Complementar/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa certamente aumenta, 
quando: 
a) as autoridades monetárias decidem elevar a taxa básica de juros, 
provocando aumentos generalizados das taxas de juros de mercado. 
b) a carteira é recomposta com a substituição de títulos de prazo mais longo 
por títulos de prazo mais curto. 
c) aumentam as expectativas de inflação, resultando aumentos das taxas de 
juros de mercado. 
d) o administrador da carteira aumenta as aplicações em títulos com prazos 
mais curtos de vencimento. 
e) algumas notícias fazem com que caiam os prêmios de risco de crédito 
exigidos dos emitentes de alguns dos títulos contidos na carteira. 
 
Questão 5. 
 
CESGRANRIO - Profissional Básico (BNDES)/Economia/2011 
Um investidor aplica R$ 1.000,00 em uma debêntureque vai remunerá-lo em 
quatro parcelas consecutivas de R$ 300,00, espaçadas de 1 ano, a primeira 
sendo devida 12 meses após a data do investimento. 
A duration de tal aplicação é 
a) de 4 anos 
b) de 3 anos 
c) de 2,5 anos 
d) maior que 1 ano e menor que 2,5 anos 
e) maior que 6 meses e menor que 1 ano 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 54 
 
Questão 6. 
 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política 
Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
Se a taxa de juros de mercado for igual a 25% ao ano, então um título sem 
cupom e com prazo de vencimento de 4 anos possuirá duration modificada 
igual a 3,2. 
Certo 
Errado 
 
Questão 7. 
 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 3 - Política 
Econômica e Monetária/2013/ 
Julgue o item a seguir, relativo à precificação de títulos e ativos. 
A duration modificada de uma letra financeira do Tesouro (LFT), com prazo de 
maturidade superior a uma letra do Tesouro Nacional (LTN), será, 
necessariamente, maior que a da LTN. 
Certo 
Errado 
 
Questão 8. 
 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e 
Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item 
subsecutivo. 
O aumento da taxa de juros de mercado reduz o preço dos títulos pré-fixados, 
sendo essa variação maior quanto menor for a taxa de cupom. 
Certo 
Errado 
 
 
Questão 9. 
 
CESPE - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4 - Contabilidade e 
Finanças/2013/ 
No que se refere à precificação de títulos públicos e privados, julgue o item 
subsecutivo. 
Se forem dada a maturidade e a rentabilidade inicial de um título pré-fixado, 
então, quanto menor for a taxa de cupom, menor será a variação percentual 
no preço do título decorrente de oscilações na taxa de juros de mercado. 
Certo 
Errado 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 54 
 
Questão 10. 
 
FCC - Analista do Banco Central do Brasil/Área 4/2006 
Dois títulos de renda fixa, A e B, apresentam a mesma duração e o mesmo 
retorno. O bônus B é mais convexo que o bônus A. Isto implica que, caso o 
retorno do mercado se altere, 
a) o bônus B apresentará sempre um preço mais elevado. 
b) o bônus A apresentará sempre um preço mais elevado. 
c) o bônus A deve ser escolhido em caso de alta nas taxas de mercado. 
d) o bônus B apresentará maior perda de capital em caso de alta nas taxas de 
mercado. 
e) o bônus A deve ser escolhido em caso de queda nas taxas de mercado. 
 
 
Questão 11. 
 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Supervisão/2002 
Um título de renda fixa vence daqui a três anos. Seu valor de face é igual a 
R$1000,00. O título será amortizado em duas parcelas de R$500,00, a 
primeira daqui a dois anos e a segunda na data de vencimento do título. O 
título paga juros de 6% a cada semestre. Sabendo-se que a estrutura a termo 
de taxas de juros para o mesmo nível de risco de crédito do título é a que se 
vê apresentada na tabela a seguir, então a duração do título, em semestres, é 
igual a: 
 
a)4,74 
b)4,65 
c)4,27 
d)4,43 
e)4,54 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 54 
 
Questão 12. 
 
CESGRANRIO - Analista do Banco Central do Brasil/Área 2/2009 
A duração de um título de 2 anos de prazo, que promete pagar uma quantia 
fixa no vencimento, sem cupom ou qualquer outro pagamento anterior, é 
a) maior que 2 anos. 
b) de 2 anos. 
c) menor que 2 anos. 
d) de 1 ano. 
e) de menos que 1 ano. 
 
Questão 13. 
 
ESAF - Analista do Banco Central do Brasil/Geral/2001 
Um título de renda fixa vence daqui a quatro anos. Durante esse prazo, 
promete pagamentos anuais de juros de 15% sobre um valor de face de 
R$1.000,00. A amortização do principal ocorre integralmente no final do prazo 
do título. 
Sabendo-se que o título está sendo negociado à taxa de mercado de 17% ao 
ano, então a duração do título é 
a) 3,15 anos 
b) 3,26 anos 
c) 4,00 anos 
d) 3,82 anos 
e) 2,91 anos 
 
 
Questão 14. 
 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-
Financeira/2008 
Outros fatores mantidos constantes, a duração de um título de renda fixa é 
tanto mais alta quanto 
a) mais alto o preço corrente de mercado do título. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevada a taxa contratada de juros do título. 
d) mais altas são as taxas de juros de mercado para títulos com o mesmo nível 
de risco. 
e) menos sensível é o preço de mercado do título a uma variação das taxas de 
juros de mercado. 
 
 
 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 54 
Questão 15. 
 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-
Financeira/2002 
A duração de uma carteira de títulos de renda fixa não é uma medida 
apropriada da sensibilidade do valor da carteira ao risco de variação de taxas 
de juros de mercado porque: 
a) Não há relação entre a sensibilidade do valor da carteira e a duração da 
carteira. 
b) A relação entre o valor da carteira e a taxa de mercado não é linear. 
c) A sensibilidade do valor da carteira é crescente com o nível da taxa de 
juros, e não depende da duração da carteira. 
d) A duração não leva em conta os valores de mercado dos títulos 
componentes da carteira. 
e) A duração da carteira não é afetada pela variação das taxas de juros de 
mercado. 
 
Questão 16. 
 
ESAF - Analista de Finanças e Controle (STN)/Economico-Financeira/2013/ 
Conforme indicado pela duração de um título de renda fixa com cupom, mas 
no qual não há opções implícitas, a exposição do preço unitário do título a um 
deslocamento paralelo da curva de taxas de juros de mercado é tanto maior 
quanto, supondo outros fatores constantes: 
a) menor o peso do título na carteira do investidor. 
b) mais curto o prazo de vencimento do título. 
c) mais elevado o nível original geral das taxas de juros. 
d) mais alta a taxa passada de inflação. 
e) menor a taxa de cupom do título. 
 
 
 
 
 
 
 
 
14675190731 - Caroline Nunes Cipriano
 Finanças Privadas para Banco Central - Áreas 3 e 4 
Teoria e Questões Comentadas 
Prof. Paulo Portinho ʹ Aula 01 
 
Prof. Paulo Portinho www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 54 
5. GABARITO DAS QUESTÕES COM COMENTÁRIOS 
As respostas estão associadas ao número das questões do capítulo 
anterior, com comentários logo a seguir. 
CESPE - Especialista em Previdência Complementar (PREVIC)/Finanças 
e Contábil/2011/ 
Acerca de finanças, julgue o item. 
Na construção da curva a termo, os modelos de não arbitragem indicam que as 
taxas a termo podem ser utilizadas para se travar a taxa de juros futura sem a 
preocupação de validade da hipótese de expectativas. Outros conceitos 
utilizados na gestão dos riscos financeiros são a convexidade e a duration, 
sendo a convexidade o efeito de segunda ordem que descreve como a duration 
sofre alteração em mudanças