PC_2020-2_EP07_Paridade Inversa Crescimento_GABARITO

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Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 1 de 21 
 
 
 
DISCIPLINA PRÉ-CÁLCULO 2020-2 
 Profa. Maria Lúcia Campos 
Profa. Marlene Dieguez 
 
EP07 – Paridade, Função Inversa e Crescimento de Funções 
GABARITO 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 1: 
Dê o ponto simétrico dos pontos: I) 𝑃(1, 4) II) 𝑄(−2, 3) em relação: 
a) ao eixo 𝑥 b) ao eixo 𝑦 c) à origem d) à reta 𝑦 = 𝑥. 
RESOLUÇÃO: 
I) 𝑃(1,4) 
a) O ponto simétrico do ponto 𝑃(1, 4) em 
relação ao eixo 𝑥 é o ponto (1, −4). 
b) O ponto simétrico do ponto 𝑃( 1, 4) em 
relação ao eixo 𝑦 é o ponto (−1, 4). 
c) O ponto simétrico do ponto 𝑃( 1, 4) em 
relação à origem é o ponto (−1,−4). 
 
d) O ponto simétrico do ponto 𝑃(1, 4) em 
relação à reta 𝑦 = 𝑥 é o ponto (4, 1). 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
II) 𝑄(−2, 3) 
a) O ponto simétrico do ponto 𝑄(−2, 3) em relação 
ao eixo 𝑥 , é o ponto (−2,−3). 
b) O ponto simétrico do ponto 𝑄(−2, 3) em relação 
ao eixo 𝑦 é o ponto (2, 3). 
c) O ponto simétrico do ponto 𝑄(−2, 3) em relação à 
origem é o ponto (2, −3). 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 2 de 21 
 
 
d) O ponto simétrico do ponto 𝑄(−2, 3) em relação à reta 
xy = é o ponto (3, −2). 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 2: 
a) Se o ponto (−
1
7
, −√3) estiver no gráfico de uma função par, 𝑓, que outro ponto também deverá 
estar no gráfico? 
b) E se este ponto estiver no gráfico de uma função ímpar, 𝑔, que outro ponto também deverá estar no 
gráfico? 
RESOLUÇÃO: 
a) Se a função f é par então 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) . Logo, 𝑓 (
1
7
) = 𝑓 (−
1
7
) . Como (−
1
7
, −√3) está no 
gráfico da função f , então 𝑓 (−
1
7
) = −√3 e 𝑓 (
1
7
) = 𝑓 (−
1
7
) = −√3. Concluímos então, que o par 
ordenado (
1
7
, −√3) também está no gráfico da função par, 𝑓. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Se a função 𝑔 é ímpar então 𝑔(−𝑥) = −𝑔(𝑥). Logo, 𝑔 (
1
7
) = −𝑔 (−
1
7
) = −(−√3) = √3 donde 
concluímos, que o par ordenado (
𝟏
𝟕
, √𝟑) também está no gráfico da função ímpar, 𝑔. 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 3: 
Uma função 𝑓 tem domínio [−𝑥6, 𝑥6] e a 
parte do seu gráfico para 𝑥 ∈ [0, 𝑥6] 
está mostrada ao lado. 
 
 
 
 
 
 
a) Complete o gráfico de 𝑓 supondo que ela é uma função par e 𝑓(0) = 𝑦1. 
b) Complete o gráfico de 𝑓 supondo que ela é uma função ímpar e 0 ∉ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓). 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 3 de 21 
 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Sabendo que 𝑓 é uma função par, para completar o gráfico de 𝑓, basta refletir a parte dada, com 
relação ao eixo 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Sabendo que 𝑓 é uma função ímpar para completar o gráfico de 𝑓 , basta refletir a parte dada com 
relação à origem. 
Observe que esta função ímpar apresenta um "salto" em 𝑥 = 0. Note que os pontos (0, 𝑦1) e (0, −𝑦1) 
NÃO pertencem ao seu gráfico, já que 0 ∉ 𝑑𝑜𝑚 (𝑓). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: 
A reflexão em relação à origem corresponde a uma reflexão no eixo 𝑦 seguida de uma reflexão no eixo 𝑥 , 
pois: 
(𝑥, 𝑦)
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 
→ (−𝑥, 𝑦)
 𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 
→ (−𝑥,−𝑦) 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 4: Nas funções a seguir, dê a sua paridade, ou seja, determine as funções que são pares, as 
que são ímpares e, nos casos em que a função não for nem par nem ímpar, escreva-a como uma soma de 
uma função par com uma função ímpar. 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 4 de 21 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 − 3𝑥4 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥 − 6 b) 𝑔(𝑥) = √2|𝑥| − 𝑥4 
c) ℎ(𝑥) =
2𝑥3
1−𝑥2
 d) 𝑗(𝑥) =
𝑥
1+𝑥2
+ 𝑥6 + √𝑥2 − 1 
e) 𝑘(𝑥) = 5 − 𝑥3√1 + 𝑥4 f) 𝑙(𝑥) = √𝑥 − 4 
g) 𝑚(𝑥) = 𝑥
3
5 = √𝑥3
5
 h) 𝑛(𝑥) = 𝑥
4
5 = √𝑥4
5
 
i) 𝑜(𝑥) = 𝑥
3
4 = √𝑥3
4
 j) 𝑝(𝑥) = {
√−2 − 𝑥, 𝑥 ≤ −2
√−2 + 𝑥, 𝑥 ≥ 2 
 
RESOLUÇÃO: 
a) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. ℝ é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
A função 𝑓(𝑥) = 5𝑥7 − 3𝑥4 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥 − 6 é um polinômio e como apresenta monômios de grau par 
e monômios de grau ímpar não é uma função par nem ímpar. 
𝑓(−1) = 5(−1)7 − 3(−1)4 +
1
4
(−1)3 + 7(−1) − 6 = −5 − 3 −
1
4
− 7 − 6 = −21 −
1
4
= −
85
4
 
𝑓(1) = 5(1)7 − 3(1)4 +
1
4
(1)3 + 7(1) − 6 = 5 − 3 +
1
4
+ 7 − 6 = 3 +
1
4
= 
13
4
 
Logo, como 𝑓(−1) ≠ 𝑓(1), 𝑓 não é par, e como 𝑓(−1) ≠ −𝑓(1), 𝑓 não é ímpar. 
Portanto vamos escrevê-la como a soma de uma função par com uma função ímpar. 
Defina, 
 𝑓𝑖(𝑥) = 5𝑥
7 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥 e 𝑓𝑝(𝑥) = −3𝑥
4 − 6 
Como 𝑓𝑖(−𝑥) = 5(−𝑥)
7 +
1
4
(−𝑥)3 + 7(−𝑥) = −𝑥7 −
1
4
𝑥3 − 7𝑥 = −(5𝑥7 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥) = −𝑓𝑖(𝑥), 
então 𝑓𝑖 é uma função ímpar. 
Como 𝑓𝑝(−𝑥) = −3(−𝑥)
4 − 6 = −3𝑥4 − 6 = 𝑓𝑝(𝑥) , então 𝑓𝑝 é uma função par. 
Portanto, 
𝑓(𝑥) = 5𝑥7 − 3𝑥4 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥 − 6 = (5𝑥7 +
1
4
𝑥3 + 7𝑥) + (−3𝑥4 − 6) = 𝑓𝑖(𝑥) + 𝑓𝑝(𝑥). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Seja 𝑔(𝑥) = √2|𝑥| − 𝑥4. 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ , pois 2|𝑥| ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
ℝ é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
Como |−𝑥| = |𝑥| e (−𝑥)4 = 𝑥4 , temos que, 
𝑔(−𝑥) = √2| − 𝑥| − (−𝑥)4 = √2|𝑥| − 𝑥4 = 𝑔(𝑥). 
Donde, a função 𝑔 é uma função par. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Seja ℎ(𝑥) =
2𝑥3
1−𝑥2
 . Como o denominador deve ser diferente de zero, então, 1 − 𝑥2 ≠ 0 donde, 
𝑥 ≠ −1, portanto 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − {−1, 1}, que é um subconjunto simétrico em relação à origem da reta 
numérica. 
Sendo (−𝑥)2 = 𝑥2 e (−𝑥)3 = −(𝑥)3 , então, 
(−𝑥) =
2(−𝑥)3
1−(−𝑥)2
=
−2𝑥3
1−𝑥2
=
−2(𝑥)3
1−(𝑥)2
= −
2(𝑥)3
1−(𝑥)2
= −ℎ(𝑥). 
Donde, a função ℎ é uma função ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 5 de 21 
 
 
d) Seja 𝑗(𝑥) =
𝑥
1+𝑥2
+ 𝑥6 + √𝑥2 − 1 . Para que a raiz quadrada √𝑥2 − 1 possa ser calculada, é preciso 
que 𝑥2 − 1 ≥ 0 logo 𝑥 ≤ −1 ou 𝑥 ≥ 1. Portanto 𝐷𝑜𝑚(𝑗) = (−∞,−1] ∪ [1,∞), que é um subconjunto 
simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑗(𝑥) =
−𝑥
1+(−𝑥)2
+ (−𝑥)6 +√(−𝑥)2 − 1 =
−𝑥
1+𝑥2
+ 𝑥6 + √𝑥2 − 1 = −
𝑥
1+𝑥2
+ 𝑥6 + √𝑥2 − 1. 
Esta equação mostra que a função j não é par nem ímpar. Portanto vamos escrevê-la como a soma de 
uma função par com uma função ímpar. 
Defina: 
𝑗𝑖(𝑥) =
𝑥
1+𝑥2
 e 𝑗𝑝(𝑥) = 𝑥
6 + √𝑥2 − 1 
Vemos que, 
𝑗𝑖(−𝑥) =
−𝑥
1+(−𝑥)2
=
−𝑥
1+𝑥2
= −
𝑥
1+𝑥2
= −𝑗𝑖(𝑥), donde concluímos que a função 𝑗𝑖 é uma função ímpar e 
𝑗𝑝(−𝑥) = (−𝑥)
6 +√(−𝑥)2 − 1 = 𝑥6 + √𝑥2 − 1 = 𝑗𝑝(𝑥), donde concluímos que a função 𝑗𝑝 é uma 
função par. 
Portanto, 
𝑗(𝑥) =
𝑥
1+𝑥2
+ 𝑥6 + √𝑥2 − 1 = (
𝑥
1+𝑥2
) + (𝑥6 + √𝑥2 − 1) = 𝑗𝑖(𝑥) + 𝑗𝑝(𝑥). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------e) Seja 𝑘(𝑥) = 5 − 𝑥3√1 + 𝑥4. 𝐷𝑜𝑚(𝑘) = ℝ , pois 1 + 𝑥4 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
ℝ é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑘(𝑥) = 5 − (−𝑥)3√1 + (−𝑥)4 = 5 + 𝑥3√1 + 𝑥4. 
Esta equação mostra que a função 𝑘 não é par nem ímpar. Portanto vamos escrevê-la como a soma de 
uma função par com uma função ímpar. Lembre-se que essa decomposição é única. 
Embora, depois dos exemplos feitos acima, não seja difícil descobrir a decomposição da função 𝑘 como 
a soma de uma função par com uma função ímpar, vamos nesse exemplo, usar o fato lembrado no início 
desse EP que diz, 
𝑘(𝑥) =
𝑘(𝑥)+𝑘(−𝑥)
2
+
𝑘(𝑥)−𝑘(−𝑥)
2
= 𝑘𝑝(𝑥) + 𝑘𝑖(𝑥) 
Assim, 
𝑘𝑝(𝑥) =
𝑘(𝑥)+𝑘(−𝑥)
2
=
(5−𝑥3√1+𝑥4)+(5+𝑥3√1+𝑥4)
2
=
10
2
= 5. 
𝑘𝑖(𝑥) =
𝑘(𝑥)−𝑘(−𝑥)
2
=
(5−𝑥3√1+𝑥4)−(5+𝑥3√1+𝑥4)
2
= −𝑥3√1 + 𝑥4. 
Portanto, 𝑘(𝑥) = 5 − 𝑥3√1 + 𝑥4 = 5 + (−𝑥3√1 + 𝑥4) = 𝑘𝑝(𝑥) + 𝑘𝑖(𝑥). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
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f) 𝑙(𝑥) = √𝑥 − 4 
Para que a raiz quadrada √𝑥 − 4 possa ser calculada, é preciso que 𝑥 − 4 ≥ 0, logo 𝑥 ≥ 4. Portanto 
𝐷𝑜𝑚(𝑙) = [4,∞), que não é um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. Portanto 
𝑙(𝑥) = √𝑥 − 4 não pode ser analisada para função par, nem para função ímpar, nem ser escrita como 
soma de uma função par com uma função ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
g) 𝑚(𝑥) = 𝑥
3
5 = √𝑥3
5
 
A raiz √𝑥3
5
 pode ser calculada para ∀𝑥 ∈ ℝ, pois é uma raiz de índice ímpar. Logo 𝐷𝑜𝑚(𝑚) = ℝ. 
ℝ é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑚(−𝑥) = (−𝑥)
3
5 = √(−𝑥)3
5
= √−𝑥3
5
= −√𝑥3
5
= −𝑚(𝑥) . Portanto, 𝑚(𝑥) = 𝑥
3
5 = √𝑥3
5
 é uma função 
ímpar. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
h) 𝑛(𝑥) = 𝑥
4
5 = √𝑥4
5
 
A raiz √𝑥4
5
 pode ser calculada para ∀𝑥 ∈ ℝ , pois é uma raiz de índice ímpar. Logo 𝐷𝑜𝑚(𝑛) = ℝ. 
ℝ é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
𝑛(−𝑥) = (−𝑥)
4
5 = √(−𝑥)4
5
= √𝑥4
5
= 𝑛(𝑥) . Portanto, 𝑛(𝑥) = 𝑥
4
5 = √𝑥4
5
 é uma função par. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
i) 𝑜(𝑥) = 𝑥
3
4 = √𝑥3
4
 . 
Para que a raiz √𝑥3
4
 possa ser calculada, é preciso que 𝑥3 ≥ 0 ⟹ 𝑥 ≥ 0, pois é uma raiz de índice par. 
Logo 𝐷𝑜𝑚(𝑜) = [0,∞), que não é um subconjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
Portanto 𝑜(𝑥) = 𝑥
3
4 = √𝑥3
4
 não pode ser analisada para função par, nem para função ímpar, nem ser 
escrita como soma de uma função par com uma função ímpar.. 
j) 𝑝(𝑥) = {
√−2 − 𝑥, 𝑥 ≤ −2
√−2 + 𝑥, 𝑥 ≥ 2 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑝) = (−∞,−2] ∪ [2,∞) é um conjunto simétrico em relação à origem da reta numérica. 
• Para 𝑥 ≥ 2 ⟹ −𝑥 ≤ −2 . Calculando 𝑝(𝑥) e 𝑝(−𝑥). 
𝑥 ≥ 2 ⟹ 𝑝(𝑥) = √−2 + 𝑥 (*) 
−𝑥 ≤ −2 ⟹ 𝑝(−𝑥) = √−2 − (−𝑥) = √−2 + 𝑥 (**) 
Por (*) e (**), concluímos que 𝑥 ≥ 2 ⟹ 𝑝(−𝑥) = √−2 + 𝑥 = 𝑝(𝑥). 
• Para 𝑥 ≤ −2 ⟹ −𝑥 ≥ 2 . Calculando 𝑝(𝑥) e 𝑝(−𝑥). 
𝑥 ≤ −2 ⟹ 𝑝(𝑥) = √−2 − 𝑥 (***) 
 
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−𝑥 ≥ 2 ⟹ 𝑝(−𝑥) = √−2 + (−𝑥) = √−2 − 𝑥 (****) 
Por (***) e (****), concluímos que 𝑥 ≤ −2 ⟹ 𝑝(−𝑥) = √−2 − 𝑥 = 𝑝(𝑥). 
Assim, para ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑝) provamos que 𝑝(−𝑥) = 𝑝(𝑥). 
Conclusão: a função 𝑝(𝑥) é uma função par. 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 5: As figuras a seguir representam gráficos de funções. Identifique entre elas aquelas que 
representam gráficos de funções invertíveis e, nestes casos, esboce sobre a própria figura o gráfico da 
função inversa 
 Gráfico de 𝑓 Gráfico de 𝑔 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gráfico de ℎ Gráfico de 𝑗 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
A única função que não é invertível é a função 𝑗, pois ela não é uma função um a um. Basta observar que 
ela não satisfaz o Teste da Reta Horizontal. 
As funções 𝑓, 𝑔, ℎ satisfazem o Teste da Reta Horizontal e são, portanto, funções um a um e 
consequentemente, invertíveis. 
Vamos esboçar os gráficos dessas funções e das suas inversas no mesmo sistema de coordenadas. 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 8 de 21 
 
 
 
 Gráfico de 𝑓 e 𝑓−1 Gráfico d 𝑔 e 𝑔−1 
 
 
 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 Gráfico de ℎ e ℎ−1 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 6: As funções a seguir são invertíveis. Em cada caso, determine a função inversa, dando o 
domínio, a imagem e a lei de formação. Em cada caso, esboce os gráficos da função, da sua inversa, da 
reta 𝑦 = 𝑥 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
a) 𝑔: ℝ − {1} ⟶ ℝ − {1} b) 𝑟: [−4, +∞) ⟶ [−3,∞) c) ℎ: ℝ ⟶ ℝ 
𝑥 ⟼ 
𝑥+1
𝑥−1
 𝑥 ⟼ √𝑥 + 4 − 3 𝑥 ⟼ 𝑥3 − 1 
 
RESOLUÇÃO: 
a) Seja 𝑔(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
 
Escrevemos a equação 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
 e resolvemos essa equação para 𝑥: 
𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
 ⟹ 𝑦(𝑥 − 1) = 𝑥 + 1 ⟹ 𝑦𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + 1 ⟹ 𝑦𝑥 − 𝑥 = 1 + 𝑦 ⟹ 
⟹ 𝑥(𝑦 − 1) = 1 + 𝑦 ⟹ 𝑥 =
1+𝑦
𝑦−1
 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
 . 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 9 de 21 
 
 
Logo, 𝑔−1(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
= 𝑔(𝑥) e 𝑔−1: ℝ − {1} ⟶ ℝ − {1} 
Vamos esboçar os gráficos de 𝑦 = 𝑔(𝑥) e 𝑔−1(𝑥) no mesmo sistema de coordenadas: 
Para construir o gráfico de 𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
 precisamos simplificar a expressão, fazendo uma divisão de 
polinômios ou somando e subtraindo 1 no numerador, com a intenção de simplificar até chegar a uma 
expressão que possamos reconhecer como uma transformação sobre uma função elementar cujo gráfico 
conhecemos. Façamos isso, 
𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
=
𝑥−1+1+1
𝑥−1
=
𝑥−1+2
𝑥−1
=
𝑥−1
𝑥−1
+
2
𝑥−1
= 1 +
2
𝑥−1
 
O gráfico dessa função pode ser obtido pela seguinte sequência de transformações em gráficos: 
 
𝑦 =
1
 𝑥 
 
 (1) 
→ 𝑦 =
2
 𝑥 
 
 (2) 
→ 𝑦 =
2
 𝑥−1
 
 (3) 
→ 𝑦 = 1 +
2
 𝑥−1
 
(1) Esticamento do gráfico da função elementar 𝑦 =
1
 𝑥 
 por 
um fator multiplicativo 2 . 
(2) Translação horizontal de 1 unidade para a direita do 
gráfico de 𝑦 =
2
 𝑥 
 . 
(3) Translação vertical de 1 unidade para cima do gráfico de 
𝑦 =
2
 𝑥−1 
. 
 
OBSERVE: Já vimos anteriormente que 𝑔−1(𝑥) =
𝑥+1
𝑥−1
= 𝑔(𝑥). Se tivéssemos iniciado o exercício 
esboçando o gráfico de 𝑔, poderíamos tirar essa conclusão do próprio gráfico, já que o gráfico de 𝑔 é 
simétrico em relação à reta 𝑦 = 𝑥. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Seja 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 4 − 3. 
Escrevemos a equação 𝑦 = √𝑥 + 4 − 3 e resolvemos essa equação para 𝑥 : 
𝑦 = √𝑥 + 4 − 3 ⟹ 𝑦 + 3 = √𝑥 + 4 ⟹ (𝑦 + 3)2 = 𝑥 + 4 ⟹ 𝑥 = (𝑦 + 3)2 − 4 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos 𝑦 = (𝑥 + 3)2 − 4. 
Logo, 𝑟−1(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 4 e 𝑟−1: [−3,+∞) ⟶[−4,+∞). 
Esboçando os gráficos de 𝑦 = 𝑟(𝑥) = √𝑥 + 4 − 3 e 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 4 no mesmo sistema 
de coordenadas: 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 10 de 21 
 
 
O gráfico de 𝑦 = 𝑟−1(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 4 é a parte 
do gráfico da parábola de vértice (−3,−4), 
apenas para valores de 𝑥 ≥ −3, não devemos 
desenhar toda a parábola. 
 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Seja ℎ(𝑥) = 𝑥3 − 1. 
Escrevemos a equação 𝑦 = 𝑥3 − 1 e resolvemos essa equação para 𝑥: 
𝑦 = 𝑥3 − 1 ⟹ 𝑦 + 1 = 𝑥3 𝑥 = √𝑦 + 1
3 . 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos 𝑦 = √𝑥 + 1
3
. 
Logo, ℎ−1(𝑥) = √𝑥 + 1
3
 e ℎ−1: ℝ ⟶ ℝ 
Esboçando os gráficos de 
𝑦 = ℎ(𝑥) = 𝑥3 − 1 e 𝑦 = ℎ−1(𝑥) = √𝑥 + 1
3
 
no mesmo sistema de coordenadas: 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 7: Seja 𝑓: (−∞, 0] ⟶ [1, +∞) 
 𝑥 ⟼ 𝑥2 + 1 
a) Determine a inversa 𝑓−1 e verifique que (𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑥) = (𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥). 
b) Esboce os gráficos de 𝑓, 𝑓−1, 𝑦 = 𝑥 usando o mesmo sistema de coordenadas. 
RESOLUÇÃO: 
Sabemos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = 𝐼𝑚(𝑓) e 𝐼𝑚(𝑓−1) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓), portanto: 
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = [1, +∞) e 𝐼𝑚(𝑓−1) = (−∞, 0]. 
Escrevemos 𝑦 = 𝑥2 + 1 e resolvemos essa equação para 𝑥: 
𝑦 = 𝑥2 + 1 ⟹ 𝑥2 = 𝑦 − 1 ⟹ √𝑥2 = √𝑦 − 1 ⟹ |𝑥| = √𝑦 − 1 
⟹ 𝑥 = √𝑦 − 1 ou 𝑥 = −√𝑦 − 1. 
Trocando 𝑥 por 𝑦 temos 𝑦 = √𝑥 − 1 ou 𝑦 = −√𝑥 − 1. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 11 de 21 
 
 
Como 𝐼𝑚(𝑓−1) = (−∞, 0] então 𝑦 ≤ 0 e assim a função inversa de 𝑓 
será 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = −√𝑥 − 1 , que é um número negativo ou nulo. 
Vamos fazer as composições: 
(𝑓 ∘ 𝑓−1)(𝑥) = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓(−√𝑥 − 1) = (−√𝑥 − 1)
2
+ 1 = (𝑥 − 1) + 1 = 𝑥. 
(𝑓−1 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑥2 + 1) = −√(𝑥2 + 1) − 1 = −√𝑥2 = −|𝑥| = −(−𝑥) = 𝑥, pois 
como 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 0] , então 𝑥 ≤ 0 e, portanto, |𝑥| = −𝑥. 
Esboçando os gráficos de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑓−1(𝑥) no mesmo sistema de coordenadas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 8: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 ,para −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
a) Explique por que a função 𝑓, cujo gráfico está na 
figura ao lado, não tem inversa em seu domínio. 
b) Subdivida o domínio em três intervalos adjacentes 
sobre cada um dos quais a função 𝑓 tem uma inversa. 
 
 
RESOLUÇÃO: 
a) A função 𝑓, do gráfico dado, não tem inversa em seu 
domínio, pois não satisfaz o Teste da Reta Horizontal, não é 
um a um. 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 12 de 21 
 
 
b) Podemos subdividir o domínio em três intervalos adjacentes sobre cada um dos quais a função 𝑓 
tem uma inversa. Esses intervalos são: [−2,−1], [−1, 1], [1, 2]. 
Esses intervalos foram escolhidos, pois em cada um deles a função é um a um, satisfaz 
Teste da Reta Horizontal. 
𝑓: [−2,−1] ⟶ [−2, 2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓: [−1, 1] ⟶ [−2, 2] 𝑓: [1, 2] ⟶ [−2, 2] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
Exercício 9: Dê o domínio das funções a seguir e esboce os seus respectivos gráficos. Essas funções 
definem parte de uma curva já estudada. Elas são invertíveis? 
a) 𝑓(𝑥) = −√16 − 𝑥2 b) 𝑔(𝑥) = −√4 − 𝑥 − 1 
RESOLUÇÃO: 
a) Seja 𝑓(𝑥) = −√16 − 𝑥2 
Para que a raiz quadrada √16 − 𝑥2 possa ser calculada é preciso que 16 − 𝑥2 ≥ 0. Mas, 
16 − 𝑥2 ≥ 0 ⟺ 𝑥2 ≤ 16 ⟺ √𝑥2 ≤ √16 ⟺ |𝑥| ≤ 4 ⟺ −4 ≤ 𝑥 ≤ 4 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 13 de 21 
 
 
Portanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−4, 4]. 
Para saber qual a curva que deu origem a esta função, vamos fazer alguns cálculos. 
Considere a equação 𝑦 = −√16 − 𝑥2. Então, 
𝑦 = −√16 − 𝑥2 ⟹ 𝑦2 = (−√16 − 𝑥2)
2
 ⟺ 𝑦2 = 16 − 𝑥2 ⟺ 𝑥2 + 𝑦2 = 16 
Esta é a equação de um círculo de centro 𝐶(0,0)e raio 𝑟 = 4. 
Como em 𝑓(𝑥) = −√16 − 𝑥2, 𝑦 ≤ 0, então o gráfico desta função 
é o semicírculo, que está nos 3º. e 4º.quadrantes e mais os pontos 
𝐴(−4, 0) e 𝐵(4, 0) sobre o eixo 𝑥 : 
Esta função não é invertível, pois não é “um-a-um”. 
 
É fácil ver graficamente que retas horizontais, como por exemplo, 
𝑦 = −1, 𝑦 = −3 cortam a curva em dois pontos. 
b) Seja 𝑔(𝑥) = −√4 − 𝑥 − 1 
Para que a raiz quadrada √4 − 𝑥 possa ser calculada é preciso que 4 − 𝑥 ≥ 0 ⟺ 𝑥 ≤ 4. 
Consideremos 𝑦 = −√4 − 𝑥 − 1 e vamos fazer algumas contas: 
𝑦 = −√4 − 𝑥 − 1 ⟹ (𝑦 + 1)2 = (−√4 − 𝑥)
2
 ⟺ (𝑦 + 1)2 = 4 − 𝑥 ⟺ 𝑥 − 4 = −(𝑦 + 1)2 
 
Esta é a equação canônica de uma 
parábola de vértice no ponto 𝑉(4,−1), 
concavidade voltada para esquerda e 
tem como eixo de simetria a reta 𝑦 = −1. 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 14 de 21 
 
 
Observação: a equação na forma (𝑥 − ℎ) = 𝑎(𝑦 − 𝑘)2 mostra que o coeficiente 𝑎 = −1 < 0, por isso a 
parábola possui concavidade voltada para a esquerda. 
 
Observe que, 
𝑦 = −√4 − 𝑥 − 1 ⟺ 𝑦 + 1 = −√4 − 𝑥 ≤ 0 ⟺ 𝑦 + 1 ≤ 0 𝑦 ≤ −1 
Portanto a função 𝑔(𝑥) = −√4 − 𝑥 − 1 é tal que, 𝑥 ≤ 4 e 𝑦 ≤ −1. 
O seu gráfico é o ramo da parábola que está abaixo do eixo de simetria. 
Veja ao lado. 
O ponto (0, −3) é um ponto do gráfico dessa função, 
como podemos verificar: 
𝑔(0) = −√4 − 0 − 1 = −√4 − 1 = −2 − 1 = −3 
Esta função é invertível, pois é “um-a-um”. 
É fácil ver graficamente que retas horizontais, cortam a curva em no máximo um ponto. 
_____________________________________________________________________________________ 
 
Exercício 10: Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥3
𝑥2+4
 uma função invertível. 
a) Encontre 𝑥 se 𝑓−1(𝑥) = 3 b) Ache o valor de 𝑓−1(1) . 
RESOLUÇÃO: 
a) Sabemos que 𝑓−1(𝑥) = 3 ⟺ 𝑓(3) = 𝑥. 
Assim, 𝑥 = 𝑓(3) =
33
32+4
=
27
9+4
=
 27 
13
 . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Suponha 𝑓−1(1) = 𝑥. 
Sabemos que 𝑓−1(1) = 𝑥 ⟺ 𝑓(𝑥) = 1. 
Mas, 𝑓(𝑥) = 1 ⟺ 
𝑥3
𝑥2+4
= 1 ⟺ 𝑥3 = 𝑥2 + 4 ⟺ 𝑥3 − 𝑥2 − 4 = 0. 
Como 𝑓 é uma função invertível então 𝑓 é uma função um-a-um e, portanto, existe um único valor de 𝑥, 
tal que 𝑓(𝑥) = 1. 
Pelo que afirmamos acima, existirá uma única raiz real para o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥2 − 4 . 
Começamos buscando as possíveis raízes inteiras desse polinômio, que estão entre os divisores do termo 
independente −4, e são: −1,+1,−2,+2,−4, 4. 
Testando esses valores, verificamos que 𝑝(2) = 23 − 22 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0 . Assim, 𝑥 = 2 é raiz do 
polinômio 𝑝(𝑥) e será, portanto, o único valor de 𝑥, tal que 𝑓(𝑥) = 1. 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 15 de 21 
 
 
Logo, 𝑓−1(1) = 2. 
Ainda não aprendemos em Pré-Cálculo como construir o 
gráfico dessa função, mas em Cálculo I será possível construí-
lo, ele está desenhado ao lado. 
 
 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Exercício 11: 
A figura ao lado apresenta o gráfico do polinômio 
𝑝(𝑥) = 3𝑥4 − 4𝑥3 − 12𝑥2 + 5 , restrito a um intervalo 
𝐼 ⊂ ℝ. 
a) Diga qual é o domínio dessa função. Responda na 
forma de intervalo. 
b) Esta funçãoé monótona? Justifique sua resposta! 
c) Marque no eixo 𝑥 os intervalos onde essa função é 
decrescente. Diga quais são esses intervalos. 
d) A função é monótona no intervalo [−1, 2]? 
Justifique sua resposta. 
e) Marque no eixo 𝑥 os intervalos onde essa função é 
crescente. Diga quais são esses intervalos. 
f) Diga qual é a imagem dessa função. Responda na forma de intervalo. 
RESOLUÇÃO: 
(a) Observando o gráfico vemos que 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2, 3]. 
(b) Essa função não é monótona, pois, por exemplo, ela é 
decrescente no intervalo [−2,−1] e é crescente no intervalo 
[−1, 0]. 
 
(c) Essa função é decrescente nos intervalos: [−2,−1], [0, 2]. 
 
 
 
 
 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 16 de 21 
 
 
(d) Essa função não é monótona no intervalo [−1, 2], pois, ela é crescente no intervalo [−1, 0] e é 
decrescente no intervalo [0, 2]. 
 
 
(e) Essa função é crescente nos intervalos: [−1, 0], [2, 3]. 
 
 
 
 
(f) Observando o gráfico vemos 
que. 
 
𝐼𝑚(𝑓) = [𝑓(2), 𝑓(−2)] = [−27, 37] 
 
 
 
____________________________________________________________________________ 
Exercício 12: 
Desenhe, caso exista, o gráfico de uma função 𝑔 que satisfaz (simultaneamente) as seguintes 
condições: 
a) O domínio de 𝑔 é 𝐷 = [−3,−1] ∪ [1, 3] 
b) A função 𝑔 é decrescente em [−3, −1]. 
c) A função 𝑔 é decrescente em [1, 3]. 
d) A função 𝑔 é não é decrescente em 𝐷 = [−3,−1] ∪ [1, 3]. 
 
RESOLUÇÃO: 
 
b) Essa função é decrescente no intervalo 
[−3,−1]. 
c) A função g é decrescente em [1, 3]. 
d) A função g é não é decrescente em 𝐷 =
[−3,−1] ∪ [1, 3]. De fato, temos por exemplo, 
que; 
 
−2 < 2 e 𝑓(−2) = 2 < 6 = 𝑓(2) 
 
 
____________________________________________________________________________ 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 17 de 21 
 
 
Exercício 13: 
a) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 é decrescente no intervalo 
(0, +∞) . 
b) Usando a definição de função decrescente, mostre que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 é decrescente no intervalo 
(−∞, 0). 
c) A função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 é decrescente no seu domínio, que é (−∞, 0) ∪ (0,∞)? Justifique sua resposta! 
RESOLUÇÃO: 
a) De fato: 
Sejam 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 = (0,∞), com 𝑥1 < 𝑥2. 
Assim, 0 < 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 0 <
1
𝑥2
<
1
𝑥1
 ⟹ ℎ(𝑥2) < ℎ(𝑥1) 
Mostramos então que, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ ℎ(𝑥2) < ℎ(𝑥1). 
Ou, escrita de outra forma, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ ℎ(𝑥1) > ℎ(𝑥2). 
Portanto, concluímos que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 é decrescente no intervalo 𝐴 = (0,∞). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Sejam 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐵 = (−∞, 0), com 𝑥1 < 𝑥2. 
Assim, 
𝑥1 < 𝑥2 , 𝑥1 < 0, 𝑥2 < 0 ⟹ 
𝑥1
𝑥2
> 1 , 𝑥1 < 0 ⟹ 
1
𝑥2
<
1
𝑥1
< 0 ⟹ ℎ(𝑥2) < ℎ(𝑥1) 
Mostramos então que, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐵 , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ ℎ(𝑥2) < ℎ(𝑥1). 
Ou, escrita de outra forma, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐵 , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ ℎ(𝑥1) > ℎ(𝑥2). 
Portanto, concluímos que a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 é decrescente no intervalo 𝐵 = (−∞, 0). 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
c) Observe que −2 < 0 < 2 ⟹ 
 1 
−2
< 0 <
 1 
2
 
Portanto, a função ℎ(𝑥) =
1
𝑥
 não é decrescente no seu 
domínio, que é (−∞, 0) ∪ (0,∞). 
Para ilustrar, apresentamos ao lado o gráfico da função 
citada. 
 
 
_____________________________________________________________________________________ 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 18 de 21 
 
 
Exercício 14: 
Usando a definição de função decrescente, mostre que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é decrescente no intervalo 
𝐴 = (−∞, 0]. 
RESOLUÇÃO: 
De fato: 
Sejam 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 = (−∞, 0], com 𝑥1 < 𝑥2. 
Assim, 𝑥1 < 𝑥2 ≤ 0, donde 𝑥1 < 0 e 𝑥1 − 𝑥2 < 0 . Como 𝑥1 < 0 e 𝑥2 ≤ 0 então 𝑥1 + 𝑥2 < 0 . 
Sendo o produto de dois números reais negativos, um número real positivo, segue que: 
(𝑥1 + 𝑥2) (𝑥1 + 𝑥2) > 0 ⟹ (𝑥1)
2 − (𝑥2)
2 > 0 ⟹ (𝑥1)
2 > (𝑥2)
2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) 
Mostramos então que, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴 , 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2). 
Portanto, concluímos que a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é decrescente no 
intervalo 𝐴 = (−∞, 0]. 
Para ilustrar, apresentamos ao lado o gráfico da função citada. 
 
 
__________________________________________________________________________________ 
Exercício 15: 
Mostre que se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função crescente em um intervalo [𝑎, 𝑏] então 𝑦 = 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥) é 
uma função decrescente neste mesmo intervalo. 
RESOLUÇÃO: 
Se 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função crescente em um intervalo [𝑎, 𝑏] então 
∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2) ⟹ −𝑓(𝑥1) > −𝑓(𝑥2) ⟹ 𝑔(𝑥1) > 𝑔(𝑥2). 
Provamos assim que, ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥1 < 𝑥2 ⟹ 𝑔(𝑥1) > 𝑔(𝑥2) 
Logo, 𝑦 = 𝑔(𝑥) = −𝑓(𝑥)é uma função decrescente no intervalo [𝑎, 𝑏]. 
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Exercício 16: 
Esboce o gráfico da função: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
−|𝑥 + 3| + 2 𝑠𝑒 𝑥 < −2
𝑥2 − 3 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
−|𝑥 − 3| + 2 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
a) Determine os intervalos onde 𝑓 é crescente, onde 𝑓 é decrescente. 
b) Determine os intervalos onde 𝑓(𝑥) ≤ −2. Mostre no gráfico, a parte do gráfico que satisfaz essa 
condição. 
c) A função 𝑓 é invertível? Justifique sua resposta! 
d) Se a sua resposta para o item c) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível inverter a 
função 𝑓 . Justifique sua escolha. 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 19 de 21 
 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O gráfico da função 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = {
−|𝑥 + 3| + 2 𝑠𝑒 𝑥 < −2
𝑥2 − 3 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 ≤ 2
−|𝑥 − 3| + 2 𝑠𝑒 𝑥 > 2
 
 
 
 
O gráfico de 𝑦 = −|𝑥 + 3| + 2 pode ser 
construído a partir das seguintes transformações em gráficos de funções: 
𝑦 = |𝑥| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚
𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −|𝑥|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎
→ 𝑦 = −|𝑥 + 3|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = −|𝑥 + 3| + 2 
Este gráfico será considerado no intervalo (−∞,−2). 
O gráfico de 𝑦 = −|𝑥 − 3| + 2 pode ser construído a partir das seguintes transformações em gráficos de 
funções: 
𝑦 = |𝑥| 
𝑟𝑒𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑒𝑚
𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑜
 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥
→ 𝑦 = −|𝑥|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎
→ 𝑦 = −|𝑥 − 3|
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑖𝑚𝑎
→ 𝑦 = −|𝑥 − 3| + 2 
Este gráfico será considerado no intervalo (2,∞). 
O gráfico de 𝑦 = 𝑥2 − 3 pode ser construído a partir das seguintes transformações em gráficos de 
funções: 
𝑦 = 𝑥2 
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
𝑑𝑒 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜
→ 𝑦 = 𝑥2 − 3 
Este gráfico será considerado no intervalo [−2, 2]. 
a) Determine os intervalos onde 𝑓 é crescente, onde 𝑓 decrescente. 
 
𝑓 é crescente nos intervalos: (−∞,−3] , [0, 3] 
(parte em vermelho no gráfico ao lado). 
 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 20 de 21 
 
 
 
𝑓.é decrescente nos intervalos: [−3, 0], [3,∞) 
(parte em vermelho no gráfico ao lado). 
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
b) Determine os intervalos onde 𝑓(𝑥) ≤ −2.Mostre no gráfico, a parte do gráfico que satisfaz essa 
condição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo gráfico, observamos que temos que considerar as três expressões que fazem parte da definição da 
função 𝑓(𝑥). 
1) 𝑦 = −|𝑥 + 3| + 2 ≤ −2 para 𝑥 < −2. 
−|𝑥 + 3| + 2 ≤ −2 ⟺ −|𝑥 + 3| ≤ −4 ⟺ |𝑥 + 3| ≥ 4 ⟺ 
 𝑥 + 3 ≤ −4 ou 𝑥 + 3 ≥ 4 ⟺ 𝑥 ≤ −7 ou 𝑥 ≥ 1. 
Como 𝑥 < −2, então 𝑦 = −|𝑥 + 3| + 2 ≤ −2 para 𝑥 ≤ −7. 
2) 𝑦 = 𝑥2 − 3 ≤ −2 para −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. 
𝑥2 − 3 ≤ −2 ⟺ 𝑥2 − 1 ≤ 0 ⟺ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Como −2 ≤ 𝑥 ≤ 2 , então 𝑦 = 𝑥2 − 3 ≤ −2 para −1 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
3) 𝑦 = −|𝑥 − 3| + 2 ≤ −2 para 𝑥 > 2. 
−|𝑥 − 3| + 2 ≤ −2 ⟺ −|𝑥 − 3| ≤ −4 ⟺ |𝑥 − 3| ≥ 4 ⟺ 
 𝑥 − 3 ≤ −4 ou 𝑥 − 3 ≥ 4 ⟺ 𝑥 ≤ −1 ou 𝑥 ≥ 7. 
Como 𝑥 > 2, então 𝑦 = −|𝑥 − 3| + 2 ≤ −2, para 𝑥 ≥ 7. 
Concluímos que 𝑓(𝑥) ≤ −2 em: (−∞,−7] ∪ [−1, 1] ∪ [7,∞) (projeção no eixo 𝑥 da parte em verde no 
gráfico acima) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Pré-Cálculo 2020-2 EP 07 – GABARITO 21 de 21 
 
 
c) A função f é invertível? Justifique sua 
resposta! 
Não, a função não é invertível. Essa função não é 
um-a-um, não é “aprovada” no Teste da Reta 
Horizontal. 
Do gráfico observamos que; 
𝑓(−3) = 2 = 𝑓(3), 𝑓(−5) = 0 = 𝑓(5). 
 
d) Se a sua resposta para o item c) foi não, escolha dois possíveis intervalos onde é possível inverter a 
função 𝑓. Justifique sua escolha. 
Podemos escolher, por exemplo, os seguintes intervalos: 
1) Intervalo escolhido (−∞,−3]. Justificativa: considerando a parte verde do gráfico abaixo, temos o 
gráfico de uma função crescente. A projeção no eixo 𝑥 desta parte do gráfico é o intervalo (−∞,−3]. 
Dizemos, portanto, que no intervalo (−∞,−3] do domínio, a função 𝑓 é crescente, logo é um-a-um, 
sendo assim, invertível. 
2) Intervalo escolhido [−3, 0]. Justificativa: considerando a parte vermelha do gráfico abaixo, temos o 
gráfico de uma função decrescente. A projeção no eixo 𝑥 desta parte do gráfico é o intervalo [−3, 0]. 
Dizemos, portanto, que no intervalo [−3, 0] do domínio, a função 𝑓 é decrescente, logo é um-a-um, sendo 
assim, invertível. 
3) Intervalo escolhido [0, 3]. Justificativa: considerando a parte azul do gráfico abaixo, temos o gráfico 
de uma função crescente. A projeção no eixo 𝑥 desta parte do gráfico é o intervalo [0, 3]. Dizemos, 
portanto, que no intervalo [0, 3] do domínio, a função 𝑓 é crescente, logo é um-a-um, sendo assim, 
invertível. 
4) Intervalo escolhido [3,∞). Justificativa: considerando a parte preta do gráfico abaixo, temos o gráfico 
de uma função decrescente. A projeção no eixo 𝑥 desta parte do gráfico é o intervalo [3,∞). Dizemos, 
portanto, que no intervalo [3,∞) do domínio, a função 𝑓 é decrescente, logo é um-a-um, sendo assim, 
invertível.