função 1 periodo

Prévia do material em texto

1 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO 
Abordagem das funções por vários pontos de vista complementares: descrição como 
conceito matemático, estudo analítico e representação gráfica. Consolidação da 
importante noção de função real de uma variável real. 
PROPÓSITO 
Compreender a relevância do conceito de função para a interpretação e a resolução de 
problemas diversos, inclusive fenômenos naturais, sociais e de outras áreas. 
OBJETIVOS 
Módulo 1 Módulo 2 Módulo 3 Módulo 4 
 
Reconhecer 
graficamente o 
domínio, a imagem 
e o contradomínio 
de funções 
Identificar 
graficamente os 
tipos de funções: 
injetora, sobrejetora 
e bijetora 
Definir funções 
crescentes e 
decrescentes 
Definir funções 
periódicas 
2 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Para fazermos modelos matemáticos de nossa realidade, associamos quantidades 
numéricas aos acontecimentos, fatos e objetos que desejamos estudar ou analisar. 
É comum obtermos relações expressas em termos de 
fórmulas ou expressões matemáticas, porém, muitas 
vezes, as expressões obtidas nem sempre dão origem a 
um número real para todos os possíveis valores da 
variável independente. 
Nessa situação, é importante determinar o conjunto dos 
valores da variável independente para os quais a fórmula 
matemática define uma função. 
3 / 65 
 
Nosso estudo se restringirá ao estudo das funções reais de variável real, ou seja, tanto o 
domínio quanto o contradomínio são subconjuntos de ℝ ou até mesmo todo o ℝ. 
DEFINIÇÃO 
O domínio da função 𝑓𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que 
define a função assume valores reais, ou seja: 
 
Veja nas imagens três representações gráficas de funções cuja lei de formação é 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2 e os seus domínios. 
 
Quando uma função está definida por uma fórmula matemática, a fórmula em si 
pode impor restrições sobre os valores reais para os quais podemos calculá-la. 
 
 
 
 
 
 
 
4 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos ver na prática como determinar o domínio de uma função? 
 
5 / 65 
 
Exemplo 3 
Pensando em construir uma piscina retangular em sua casa, João recorreu à Revista Casa 
e Jardim, da Globo, onde encontrou um modelo de piscina que contracena com a represa 
no projeto assinado pela arquiteta Eliana Marques Lisboa. 
Sabendo que o terreno onde será construída a piscina deve ser cercado com 240 m de 
cerca, faça o que se pede: 
A - Expresse a área do terreno em metros quadrados em função do comprimento do 
terreno. 
B - Determine o domínio da função resultante. Lembre-se de que a expressão que 
determina a área de uma figura retangular é dada pelo produto entre o comprimento e a 
largura. 
 
Exemplo 4 
Sabendo que o comprimento do terreno de João é de 100 m, utilize a expressão obtida 
𝐴𝐴=𝑥𝑥⋅(120−𝑥𝑥) para determinar a área do terreno onde será construída a piscina. 
Resolução da questão 
Conforme visto no exemplo 3, a área do terreno é dada pela expressão A=x⋅(120−x), 
onde x é o número de metros de comprimento do terreno. 
Logo, temos: 
A(100)=100⋅(120−100)=2000 m2 
Isso significa que a imagem de 100 pela função A é 2000. 
6 / 65 
 
 
ATENÇÃO 
Os gráficos das funções podem fornecer informações visuais 
importantes sobre uma função. 
O gráfico de uma função pode ser definido como: 
𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝐺𝑓𝑓(𝑓𝑓)={(𝑥𝑥; 𝑓𝑓(𝑥𝑥)) | 𝑥𝑥∈𝐷𝐷(𝑓𝑓)} 
Portanto, a ordenada 𝑦𝑦 de um ponto do gráfico da função 𝑓𝑓 é o valor 
de 𝑓𝑓 na abscissa 𝑥𝑥 correspondente. 
O gráfico de 𝑓𝑓 também nos permite visualizar o domínio e a imagem, 
além de muitas outras informações. 
LEITURA GRÁFICA: DOMÍNIO E IMAGEM 
O domínio da função 𝑓𝑓 é o maior subconjunto de ℝ onde a expressão (ou fórmula) que 
define a função assume valores reais, ou seja: 
Como saber se um número real 𝒂𝒂 pertence ao domínio de uma função 𝒇𝒇? 
 
 
O número real 𝐺𝐺 pertence ao domínio de uma 
função 𝑓𝑓 se a reta vertical 𝑥𝑥=𝐺𝐺 corta o gráfico de 
𝑓𝑓 em um ponto. Como f é uma função, este ponto 
é necessariamente único. 
 
 
Fonte: Shutterstock 
Exemplo 1 
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: 
 
7 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique que, no ano de 2030, temos uma única taxa de crescimento, tanto no Brasil 
quanto em Tocantins. 
 
 
Como saber se um número real 𝑏𝑏 pertence à imagem de 
uma função 𝑓𝑓? 
O número real 𝑏𝑏 pertence à imagem de uma função 𝑓𝑓 se a reta 
horizontal 𝑦𝑦=𝑏𝑏 corta o gráfico de 𝑓𝑓 em pelo menos um ponto. 
Exemplo 2 
Verifique que o valor 0,82 pertence tanto à imagem da função que representa a taxa de 
crescimento no Tocantins quanto à função que representa a taxa de crescimento no 
Brasil, em 2029 e 2018, respectivamente. 
Taxa de crescimento 2010-2060 do Brasil e de Tocantins: 
 
 
 
 
 
8 / 65 
 
DOMÍNIO 
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar o domínio da função é projetar o 
gráfico no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥. 
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 𝑓𝑓: Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔𝑔: 
 
O que acontece se projetarmos o gráfico 
da função no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥? 
O que acontece se projetarmos o gráfico 
da função no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥? 
Vemos que o domínio da função 𝑓𝑓 é o 
intervalo no eixo das abscissas indicado 
em vermelho. 
 
Seu domínio é o intervalo fechado: 
𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [−1,4] 
Vemos que o domínio da função 𝑔𝑔 é o 
conjunto no eixo das abscissas indicado 
em vermelho. 
 
Seu domínio é a união de intervalos 
disjuntos (intervalos cuja interseção é 
vazia): 𝐷𝐷(𝑔𝑔) = [−7
2
 , 1) ∪ (1 , 5] 
9 / 65 
 
IMAGEM 
Dado o gráfico de uma função, uma forma de encontrar a imagem da função é projetar o 
seu gráfico no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. 
Exemplo 1: Observe o gráfico da função 
𝑓𝑓: 
 
Exemplo 2: Observe o gráfico da função 𝑔𝑔: 
 
O que acontece se projetarmos o gráfico 
da função no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦? 
O que acontece se projetarmos o gráfico da 
função no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦? 
Vemos que a imagem da função 𝑓𝑓 é o 
intervalo fechado indicado 
em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. 
 
Sua imagem é o intervalo 
fechado �− 9
4
; 37
12
� , 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = �− 9
4
; 37
12
� 
 Vemos que a imagem da função 𝑔𝑔 é o 
intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. 
 
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25] 
𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑔𝑔) = (−2; 5,25] 
10 / 65 
 
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
Gráfico da função ℎ 
 
 
 
 
Se Projetarmos o gráfico da função no Eixo 
𝑂𝑂𝑦𝑦, vemos que a imagem da função ℎ é o 
intervalo indicado em vermelho no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦. 
Sua imagem é o intervalo (−2; 5,25]. 
𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=(−2; 5,25]. 
 
 
 
Em resumo, é possível determinar a imagem de 
um conjunto de pontos: 
 
 
Se 𝑫𝑫 é um subconjunto do domínio da função 𝑓𝑓 (pintado de azul na figura), então, a 
imagem deste subconjunto é dada por 𝒇𝒇(𝑫𝑫)={ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) | 𝑥𝑥 ∈𝐷𝐷 }. 
11 / 65 
 
EXEMPLO 5 
Observe o gráfico da função 𝑓𝑓 e o intervalo �− 2
3
; 5
12
� destacado em verde no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦, que é 
um subconjunto da imagem de 𝑓𝑓 : 
 
 
 
Ao traçar as retas 𝑦𝑦 = 5
12
 e 𝑦𝑦 = −2
3
 de forma horizontal, partindo no Eixo 𝑂𝑂𝑦𝑦, temos: 
 
12 / 65 
 
 
 
Se pegarmos a parte do gráfico restrita à região entre as retas 𝑦𝑦 = −2
3
 e 𝑦𝑦 = 5
12
, temos: 
 
 
13 / 65 
 
 
Agora, para descobrirmos a parte do domínio correspondente ao intervalo �− 2
5
; 5
12
� da 
imagem, basta projetarmos no Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥 : 
 
 
 
A parte do Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥 que nos interessa está destacada em vermelho: [−0,4; 2]∪[3,6; 3,8] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 / 65 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Considere a seguinte função: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
−2𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0
�𝑥𝑥, 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4
2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 > 4 
 
O domínio e a imagem da função são, respectivamente: 
a) 𝐷𝐷(𝑓𝑓)=ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0; +∞┤[. 
b) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ. 
c) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = ℝ. 
d) 𝐷𝐷(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓) = [0; +∞┤[. 
 
Comentário 
Parabéns!A alternativa A está correta. 
A função é formada por três pedaços de funções já conhecidas. Cada um desses pedaços 
corresponde a uma parte do domínio. Para 𝑥𝑥<0, o gráfico é parte da reta 𝑦𝑦=−2𝑥𝑥. Para 
traçar, basta considerarmos dois pontos. 
 
Marcando esses pontos no plano, obtemos a parte da reta que nos interessa: 
 
 
 
15 / 65 
 
 
 
Repare que o ponto (0;0) ficou traçado como “bolinha aberta”, pois 𝑥𝑥=0 não pertence a 
essa parte do domínio da função. 
Para 0≤𝑥𝑥≤4, o gráfico é parte do gráfico de 𝑦𝑦=√𝑥𝑥. Para traçá-lo, devemos olhar para o 
esboço apresentado anteriormente, bem como calcular o valor da função nos extremos. 
 
Marcamos, então, esses pontos e, em seguida, traçamos uma curva passando por eles 
com o formato parecido com o do esboço já apresentado. 
 
Finalmente, para 𝑥𝑥>4, a função é constante e igual a 2. Seu gráfico é uma reta paralela ao 
Eixo 𝑂𝑂𝑥𝑥: 
16 / 65 
 
 
 
Aqui, o ponto (4;2) também ficou como “bolinha aberta”, pois 𝑥𝑥=4 não pertence a essa 
parte do domínio. 
Juntando todas essas informações em um único plano, obtemos o gráfico da função 𝑓𝑓: 
 
A partir da representação gráfica, fica fácil perceber que 𝐷𝐷(𝑓𝑓)=ℝ e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0; +∞┤[. 
 
 
 
 
17 / 65 
 
2. (PETROBRAS - 2008) Considere que 𝑓𝑓 é uma função definida do conjunto 𝐷𝐷 em ℝ por: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+8. 
Sendo 𝐼𝐼𝐼𝐼 a imagem de 𝑓𝑓, é correto afirmar que, se: 
a) 𝐷𝐷=[−2,0], então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=ℝ+. 
b) 𝐷𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0;4]. 
c) 𝐷𝐷=[2,+∞[, então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=ℝ+. 
d) 𝐷𝐷=[0;2], então 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4;8]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
O gráfico da função 𝑓𝑓 é dado por: 
 
Vamos analisar cada restrição do domínio da função 𝑓𝑓. 
Note que, se 𝐷𝐷=[−2,0], temos que 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[8,20]. 
Se 𝐷𝐷=[2,+∞[, temos que 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4,+∞). 
Se 𝐷𝐷=[0;2], temos que I𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[4;8]. 
 
18 / 65 
 
3. Observe os gráficos das funções 𝒚𝒚=𝒇𝒇(𝒙𝒙), 𝒚𝒚=𝒈𝒈(𝒙𝒙) e 𝒚𝒚=𝒉𝒉(𝒙𝒙): 
 
 
No mesmo par de eixos, podemos afirmar que: 
a) 𝑓𝑓(2)=2, 𝑔𝑔(2)=2 𝑠𝑠 ℎ(2)=−2. 
b) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−3,3] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=[−4,3]. 
c) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,4] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. 
d) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(ℎ)=[−2,2] 𝑠𝑠 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Observando o gráfico, temos: 𝑓𝑓(2)=2, 𝑔𝑔(2)=2 e ℎ(2)=2. 
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,4] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,3]. 
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−3,3] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑔𝑔)=[−1,𝑔𝑔(3)] 
𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(ℎ)=[−2,2] e 𝐼𝐼𝐼𝐼(ℎ)=[1,2]. 
19 / 65 
 
4. Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 120𝑥𝑥
300−𝑥𝑥
. Podemos afirmar que o domínio da função 𝑓𝑓 é: 
a) Todo número real 𝑥𝑥. 
b) Todo número real 𝑥𝑥, exceto os números positivos. 
c) Todo número real 𝑥𝑥, exceto 𝑥𝑥=300. 
d) Todo número real 𝑥𝑥, exceto os números negativos. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
A função não está definida para 𝑥𝑥=300, pois este número anula o denominador. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 / 65 
 
5. Considere o gráfico da função 𝑓𝑓: 
 
 
Após a análise do gráfico, podemos afirmar que: 
a) A função não está definida em 𝑥𝑥=1,6. 
b) 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4,5]. 
c) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4.5, 11]. 
d) 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[−4.5, 2)∪(2,11]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒙𝒙, vemos que o domínio da função 𝒇𝒇 é o conjunto 
no eixo -𝑥𝑥 indicado em vermelho na figura. 
Seu domínio é a seguinte união de intervalos:[−𝟒𝟒.𝟓𝟓 , 𝟐𝟐) ∪ (𝟐𝟐 , 𝟏𝟏𝟏𝟏]. 
𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫𝑫(𝒇𝒇)=[−𝟒𝟒.𝟓𝟓 , 𝟐𝟐) ∪ (𝟐𝟐 , 𝟏𝟏𝟏𝟏]. 
 
21 / 65 
 
 
 
Projetando o gráfico da função no eixo -𝒚𝒚, vemos que a imagem da função 𝒇𝒇 é o intervalo 
no eixo -𝑦𝑦 indicado em vermelho na figura. 
Sua imagem é o intervalo [−𝟒𝟒, 𝟖𝟖.𝟑𝟑]. 
𝑰𝑰𝑫𝑫(𝒇𝒇)=[−𝟒𝟒, 𝟖𝟖.𝟑𝟑]. 
 
 
 
 
 
22 / 65 
 
6. Se a função real definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥+1
√𝑥𝑥−2+√11−𝑥𝑥
 possui 𝐷𝐷=[𝐺𝐺,𝑏𝑏] como domínio, então, 𝐺𝐺+𝑏𝑏 
vale: 
a) 11 
b) 5 
c) 13 
d) 15 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES INJETORAS 
Uma função 𝑓𝑓 é dita injetora (ou injetiva) se, para quaisquer dois números 𝐺𝐺1, 𝐺𝐺2 ∈ 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓), 
tais que 𝐺𝐺1≠𝐺𝐺2, os números 𝑓𝑓(𝐺𝐺1) e 𝑓𝑓(𝐺𝐺2) na imagem de 𝑓𝑓 são também distintos. 
Exemplo 1 
A função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1, definida para todos os números reais, é injetiva? 
Observe que: 𝑓𝑓(−2)=(−2)2−1=3=22−1=𝑓𝑓(2) 
 
Em outros termos, –2 e 2 têm a mesma imagem. 
 
24 / 65 
 
 
Gráfico da função 𝒇𝒇 e reta horizontal 𝒚𝒚=𝟑𝟑 
 
A partir da representação gráfica da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−1, é possível observar que há retas 
horizontais que intersectam seu gráfico mais de uma vez. 
 
ATENÇÃO 
Teste da reta horizontal 
Uma função é injetiva se, e somente se, toda reta horizontal intersecta 
seu gráfico em, no máximo, um ponto. 
Observe que, pelo teste da reta horizontal, a função do exemplo citado não é injetiva. 
 
 
 
 
 
25 / 65 
 
Exemplo 2 
A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3 é injetiva. 
 
Qualquer reta horizontal intersecta o 
gráfico em apenas um ponto. Logo, pelo 
teste da reta horizontal, a função 𝑔𝑔 é 
injetiva. 
Gráfico de 𝒈𝒈(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟑𝟑 
FUNÇÕES SOBREJETORAS E BIJETORAS 
Sobrejetoras 
Se 𝐴𝐴,𝐵𝐵⊂ℝ, uma função 𝑓𝑓:𝐴𝐴→𝐵𝐵 é chamada sobrejetora ou sobrejetiva, quando 𝑓𝑓(𝐴𝐴)=𝐵𝐵. 
Repare que, quando restringimos o contradomínio de uma função para sua imagem, ou 
seja,𝑓𝑓:𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)⟶𝑓𝑓(𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)), estamos garantindo que não há qualquer elemento do 
contradomínio que não seja imagem de algum elemento do domínio. Assim, essa é uma 
forma de garantir que a função seja sobrejetiva. 
Bijetoras 
Uma função 𝑓𝑓, que é simultaneamente injetora e sobrejetora, é chamada 
de bijetora ou bijetiva. 
Assim, a função 𝑓𝑓:𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)→𝑓𝑓(𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓)) (que já é sobrejetora) será bijetora se, e somente 
se, for injetora. 
26 / 65 
 
RELAÇÃO GEOMÉTRICA ENTRE OS GRÁFICOS DE UMA FUNÇÃO E 
SUA INVERSA 
O objetivo é mostrar graficamente a relação existente entre o gráfico de uma função 
bijetora e sua inversa. 
 
ATENÇÃO 
Lembre-se de que uma função ter inversa é equivalente a ela ser 
bijetiva. 
No quadro a seguir, sintetizamos algumas informações sobre uma função 𝑓𝑓 e sua inversa 
𝑓𝑓−1: 
 
É preciso notar que: 
 
Mas o que essa equivalência significa geometricamente? 
Que o ponto (𝐺𝐺;𝑏𝑏) estar no gráfico da função 𝑓𝑓 é equivalente ao ponto (𝑏𝑏;𝐺𝐺) estar no 
gráfico da função 𝑓𝑓−1. 
 
 
27 / 65 
 
 
No gráfico, percebemos que os pontos 
(𝐺𝐺;𝑏𝑏) e (𝑏𝑏;𝐺𝐺) são simétricos em relação à 
reta 𝑦𝑦=𝑥𝑥. Mas isso é verdade para todos 
os pontos das funções 𝑓𝑓 e 𝑓𝑓−1. 
Simetria dos pontos (𝒂𝒂;𝒃𝒃) e (𝒃𝒃;𝒂𝒂) em relação 
à reta 𝒚𝒚=𝒙𝒙 
 
O gráfico de 𝐟𝐟−𝟏𝟏 é obtido refletindo-se o gráfico de 𝐟𝐟 em torno da reta 𝐲𝐲=𝐱𝐱. 
 
Simetria entre os gráficos de 𝒇𝒇 e 𝒇𝒇−𝟏𝟏 
 
28 / 65 
 
Se 𝑓𝑓 e 𝑔𝑔 forem funções inversas entre si, temos: 
 
A lei da esquerda nos diz que, se começarmos em 𝑥𝑥, aplicando 𝑓𝑓, e, em seguida, 𝑓𝑓−1, 
obteremos de volta 𝑥𝑥. 
 
Da mesma forma, a lei da direita nos diz que, se começarmos em 𝑦𝑦, aplicando 𝑓𝑓−1, e, em 
seguida, 𝑓𝑓, obteremos de volta 𝑦𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 / 65 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (Adaptada de: LIVRO ABERTO - s.d.) Considere a função 𝑔𝑔:ℝ→ℝ tal que 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=9−𝑥𝑥2. 
Assinale a alternativa correta: 
a) Existe algum 𝑥𝑥∈ℝ cuja imagem é igual a 10. 
b) A função 𝑔𝑔 é injetora. 
c) A função 𝑔𝑔 é sobrejetora. 
d) Restringindo o domínio da função 𝑔𝑔 para o intervalo [0,+∞), temos que 𝑔𝑔 é injetora. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Observe o gráfico da função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=9−𝑥𝑥2: 
 
Ao traçarmosa reta horizontal 𝑦𝑦=10, ela não intersecta o gráfico da função 𝑔𝑔. Logo, não 
existe 𝑥𝑥∈ℝ, cuja imagem é igual a 10. 
Além disso, utilizando o teste da reta horizontal para saber se a função 𝑔𝑔 é injetora em 
todo o seu domínio, notamos que existem vários números diferentes com imagens iguais. 
Por exemplo: 𝑔𝑔(−1)=8 e 𝑔𝑔(1)=8. Assim, 𝑔𝑔 não é injetora em ℝ. 
30 / 65 
 
Em contrapartida, ao restringir o domínio da função 𝑔𝑔 ao intervalo [0,+∞), o gráfico da 
função 𝑔𝑔 é dado por: 
 
Utilizando o teste da horizontal, observamos que a função é injetora nesse intervalo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 / 65 
 
2. Considere a função bijetora 𝑓𝑓:[1,∞)→(−∞,3] definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−3𝑥𝑥2+2𝑥𝑥+2 e seja (𝐺𝐺,𝑏𝑏) o 
ponto de interseção de 𝑓𝑓 com sua inversa 𝑓𝑓−1. O valor numérico da expressão 𝐺𝐺+𝑏𝑏 é: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa A está correta. 
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetiva, basta fazer a reflexão 
sobre a reta y=x. Dessa forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos apenas resolver o 
sistema: 
 
Fique atento ao fato de que a solução deve estar contida no domínio da função 𝑓𝑓, 
sugerido na questão. Assim, devemos resolver a equação: 
 
Como -23 não pertence ao domínio da função 𝑓𝑓, a única solução é 𝑥𝑥=1 e, portanto, 𝑦𝑦=1, 
como podemos ver graficamente: 
Consequentemente 𝐺𝐺+𝑏𝑏=2. 
32 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 / 65 
 
3. (Adaptada de: OBMEP-2019) A calculadora de Dario tem uma tecla especial. Se um 
número 𝑛𝑛, diferente de 2, está no visor, ele aperta a tecla especial e aparece o 
número, 2×nn-2. Por exemplo, se o número 6 está no visor, ao apertar a tecla especial, 
aparece 3, pois 2×66-2=3. Para quais valores Dario obtém o mesmo número que está 
inicialmente no visor? 
a) 1 e 0 
b) 2 e 0 
c) 3 e 0 
d) 4 e 0 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Note que a tecla especial é uma função. Portanto, podemos considerar: 
 
Desejamos obter os valores de 𝑛𝑛, tais que 𝑓𝑓(𝑛𝑛)=𝑛𝑛. Note ainda que 2 não está no domínio 
da função dada. Vamos aos cálculos: 
 
 
 
34 / 65 
 
4. Considere a função 𝑓𝑓:(−1,2]→ℝ, dada por: 
 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
𝑥𝑥2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 − 1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 0
𝑥𝑥 + 1
2
, 𝑠𝑠𝑠𝑠 0 < 𝑥𝑥 ≤ 1
−𝑥𝑥 + 2, 𝑠𝑠𝑠𝑠 1 < 𝑥𝑥 ≤ 2
 
Nestas condições, é correto afirmar que: 
a) 𝑓𝑓 é sobrejetora. 
b) 𝑓𝑓 é injetora. 
c) 𝑓𝑓 é bijetora. 
d) 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0,1]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Observe o gráfico da função 𝑓𝑓: 
 
 
Utilizando o teste da horizontal, vemos que a função não é injetora e, consequentemente, 
não é bijetora. Em contrapartida, 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑓𝑓)=[0,1]≠ℝ. Logo, a função 𝑓𝑓 não é sobrejetora. 
 
35 / 65 
 
5. Seja a função 𝑓𝑓: ℝ\2→ℝ\3, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥−3
𝑥𝑥−2
+ 1, cujo gráfico é este: 
 
Com os conhecimentos adquiridos no exemplo do vídeo deste módulo, construa o gráfico 
da função inversa da 𝑓𝑓 antes de responder à atividade. 
 
Sobre a sua inversa, podemos garantir que: 
a) Não está definida, pois 𝑓𝑓 não é sobrejetora. 
b) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: 
 
 
 
 
36 / 65 
 
c) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: 
 
d) O gráfico da função inversa de 𝑓𝑓 é dado pelo gráfico: 
 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
O gráfico da função inversa é dado por: 
 
 
 
 
37 / 65 
 
6. Seja 𝑓𝑓 a função 𝑓𝑓:[𝑡𝑡,+∞)→ℝ, definida por 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3−3𝑥𝑥2+1. O menor valor de 𝑡𝑡 para que a 
função seja injetora é: 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Observe o gráfico da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3−3𝑥𝑥2+1: 
 
Note que, para a função 𝑓𝑓 ser bijetora, 𝑡𝑡=2. 
O gráfico em roxo é a função 𝑓𝑓:[2,+∞)→ℝ, que é injetora pelo teste da reta horizontal. 
 
 
 
38 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Grande parte do estudo de Cálculo dirige-se à determinação do comportamento de uma 
função em certo intervalo. Por exemplo, estamos interessados em algumas perguntas 
como: 
Onde a função é crescente? 
 
Onde ela é decrescente? 
 
O lucro da empresa aumentou? 
Neste módulo, mostraremos como as funções se comportam em determinados intervalos 
da reta real e algumas de suas aplicações. 
DEFINIÇÃO 
Uma função 𝑓𝑓:ℝ→ℝ é considerada crescente quando os valores das imagens, 𝑓𝑓(𝑥𝑥), 
aumentam à medida que os valores de 𝑥𝑥 aumentam, ou seja, para 𝑥𝑥2>𝑥𝑥1, 
temos: 𝑓𝑓(𝑥𝑥2 )>𝑓𝑓(𝑥𝑥1 ). 
Em termos gráficos: 
 
 
39 / 65 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
O gráfico mostra a Chuva Acumulada Mensal no município de Campos (RJ), em 2020, e a 
Chuva Acumulada Mensal de acordo com as normas climatológicas entre 61-90: 
 
Note que ocorreu um decréscimo da 
quantidade de chuva acumulada do 
mês de janeiro ao mês de fevereiro. 
Além disso, de acordo com a Normal 
Climatológica, no mês de outubro, a 
previsão é de um aumento 
significativo das chuvas acumuladas. 
 
Fonte: Instituto Nacional de Meteorologia (INMET). 
Exemplo 2 
Veja a projeção do crescimento da taxa bruta de mortalidade e natalidade do Brasil, do 
início de 2010 a 2058. 
 
 
Observe que a taxa bruta de 
natalidade decresceu, enquanto 
ocorreu um crescimento na taxa 
bruta de mortalidade. 
 
40 / 65 
 
Exemplo 3 
Considere a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3 
Exemplo 4 
Considere a função 
 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = �
−𝑥𝑥2, 𝑥𝑥 < 0
0, 0 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 1
(𝑥𝑥 − 1)2, 𝑥𝑥 > 1
 
 
Note que essa função é crescente em toda 
a reta real. 
De fato, dados 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2, temos que 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) =
𝑥𝑥31 < 𝑥𝑥32 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥2). 
Observe que a função apresentada não é 
estritamente crescente em toda reta real, 
já que ela é constante no intervalo [0,1]. 
As funções estritamente crescentes têm 
um papel especial em Cálculo I. 
 
 
 
 
 
 
41 / 65 
 
Exemplo 5 
Vamos praticar: analise o gráfico da função. 
 
Agora, determine os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente. 
Resolução da questão 
Observando o gráfico, vemos que a função é crescente em (−∞,−0.22)∪(1.55,+∞) e 
decrescente em (−0.22,1.55). 
 
 
 
 
 
 
 
42 / 65 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. (Adaptada de: UFPE - 2017) No gráfico a seguir, temos o nível da água armazenada em 
uma barragem ao longo de três anos: 
 
 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: 
a) O nível de 70 m foi atingido uma única vez. 
b) O nível da água armazenada cresce em todo tempo. 
c) O nível da água armazenada é estritamente decrescente. 
d) O nível de 40 m foi atingido 2 vezes nesse período. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Traçando uma reta horizontal paralela ao eixo x (tempo), vemos que o nível de 40 m foi 
atingido 2 vezes no período de 3 anos. Isso já mostra que a função, cujo gráfico tem a 
representação da figura, não é injetora. Além disso, como existem oscilações no nível da 
água armazenada, em alguns instantes ela cresce e em outros decresce. Assim, a função 
em questão não é crescente nem decrescente. 
43 / 65 
 
2. No ano de 2020, o mundo foi assolado por uma pandemia, causada pelo vírus SAR-
COV-2, conforme mostra o gráfico a seguir: 
 
 
De acordo com o gráfico, podemos afirmar que: 
a) De 03 a 12 de fevereiro, a número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 12 de 
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 
b) De 03 a 18 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de 
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 
c) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 24 de 
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 
d) De 03 a 12 de fevereiro, o número de casos passa de 20k para 40k. A partir do dia 18 de 
fevereiro, o número de infectados começa a diminuir e não volta a crescer.Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Fazendo uma análise do gráfico, ou seja, traçando uma reta vertical paralela ao eixo y 
(correspondente ao número de casos com o vírus SAR-COV-2) e perpendicular às 
retas 𝑦𝑦=20𝑘𝑘 e 𝑦𝑦=40𝑘𝑘, vemos que essas retas intersectam o eixo x (correspondente ao 
tempo) em 03 e 12 de fevereiro, respectivamente. Assim, o número de casos passa de 20k 
para 40k de 03 a 12 de fevereiro. Além disso, a partir do dia 18 de fevereiro, o número de 
infectados começa a diminuir e não volta a crescer. 
44 / 65 
 
3. Após várias experiências em laboratórios, observou-se que a concentração de certo 
antibiótico no sangue de cobaias varia de acordo com a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=12𝑥𝑥−2𝑥𝑥2, em que 𝑥𝑥 é 
o tempo decorrido, em horas, após a ingestão do antibiótico. 
 
Nessas condições, a partir de qual momento a concentração desse antibiótico começa a 
decrescer? 
a) 0 
b) 6 
c) 3 
d) 18 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 / 65 
 
4. Uma função 𝑓𝑓:ℝ+→ℝ+ é crescente e satisfaz a seguinte condição: 𝑓𝑓(3𝑥𝑥)=3𝑓𝑓(𝑥𝑥), para 
todo 𝑥𝑥∈ℝ+. Se 𝑓𝑓(9)=27, qual o valor de 𝑓𝑓(1)? 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
Note que: 
 27=𝑓𝑓(9)=𝑓𝑓(3⋅3)=3⋅𝑓𝑓(3⋅1)=3⋅3⋅𝑓𝑓(1) 
Logo, temos: 
𝑓𝑓(1) = 27
9
= 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 / 65 
 
5. Sabendo que 𝑑𝑑 é um número real, o maior valor de 𝑑𝑑, tal que a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2−4𝑥𝑥+3, 
para x < d, seja decrescente, é: 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa C está correta. 
A parte do gráfico onde x < d é uma parábola, cujo vértice é o ponto (− 𝑏𝑏
2𝑎𝑎
,− 𝛥𝛥
4𝑎𝑎
) = (2,−1). 
Assim, a função é decrescente, nas condições do problema, para 𝑥𝑥≤2, portanto, o maior 
valor de 𝑑𝑑 é 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 / 65 
 
6. (Adaptada de: ENEM - 2010) As sacolas plásticas sujam florestas, rios e oceanos, e 
quase sempre acabam matando por asfixia peixes, baleias e outros animais aquáticos. No 
Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados 
brasileiros se prepararam para acabar com as sacolas plásticas até 2016. 
 
Sabemos que a função: 
 
𝑁𝑁(𝑥𝑥)=𝐺𝐺𝑥𝑥+𝑏𝑏 
 
Onde: 
 
𝐺𝐺,𝑏𝑏∈ℝ; 
 
𝑁𝑁 = número de sacolas (em bilhões); 
 
𝑥𝑥 = número de anos (após 2007). 
 
Observe o gráfico a seguir, que considera a origem como o ano de 2007: 
 
Fonte: LUCENA, 2010 
De acordo com as informações, quantos bilhões de sacolas plásticas serão consumidas 
em 2011? 
a) 4,0 
b) 6,5 
c) 7,0 
d) 10 
48 / 65 
 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Para encontrar o valor pedido, ou seja, 𝑓𝑓(4), porque se passaram 4 anos de 2007 até 2011, 
precisamos determinar os valores de 𝐺𝐺 e 𝑏𝑏. 
Analisando o gráfico, 𝑓𝑓(0)=18 e 𝑓𝑓(9)=0, onde 9 corresponde ao ano de 2016. Assim, 
temos: 
18=0𝐺𝐺+𝑏𝑏, 𝑏𝑏=18. 
Além disso, substituindo o valor de 𝑏𝑏 em 𝑓𝑓(9)=0, obtemos: 
0=9𝐺𝐺+18⇒9𝐺𝐺=−18⇒𝐺𝐺=−2. 
Logo: 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−2𝑥𝑥+18. 
Portanto: 𝑓𝑓(4)=(−2)⋅4+18=10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Se olharmos para a natureza, vamos descobrir muitos fenômenos que acontecem de 
forma repetitiva em intervalos de tempos regulares, obedecendo, portanto, a padrões 
cíclicos. 
Veja a seguir alguns exemplos: 
50 / 65 
 
 
 
Fenômenos como esses são modelados usando uma classe importante de funções: 
as periódicas. Dentre a classe das funções periódicas, destacamos as chamadas funções 
trigonométricas: 
SENO 
 
COSSENO 
 
TANGENTE 
 
DEFINIÇÃO 
Uma função é considerada periódica quando existe um número real 𝑇𝑇>0, tal que 
𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥), para todo 𝑥𝑥 no domínio da função. 
O menor dos valores de 𝑇𝑇>0, para os quais a propriedade é verificada, é chamado 
de período da 𝑓𝑓. 
51 / 65 
 
 
ATENÇÃO 
Se uma função 𝑓𝑓 é periódica de período 𝑇𝑇, então, 𝑓𝑓 também é 
periódica de período 𝑛𝑛𝑇𝑇, onde 𝑛𝑛∈ℕ, já que: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+2𝑇𝑇)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+3𝑇𝑇)=⋯=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑛𝑛𝑇𝑇) 
 
Exemplo 1 
Considere a função 𝑓𝑓 do gráfico mostrado na figura a seguir, que corresponde 
ao eletrocardiograma* de uma pessoa saudável: 
*Eletrocardiograma: Exame que tem o objetivo de detectar se existe alguma falha na 
condução elétrica pelo coração. 
 
 
 
Observe que o padrão de repetição 
ocorre em intervalos de 
comprimento T, e não em intervalos de 
comprimento menor. Assim, a função 𝑓𝑓 
é uma função periódica de período T. 
 
 
 
 
 
 
52 / 65 
 
Exemplo 2 
Considere a função: 
 
A tabela abaixo mostra o valor da função 𝑓𝑓 para os valores de 𝑥𝑥 de 0 a 5. 
 
2 - Se 𝑥𝑥 é um número par, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=1. 
3 - Se 𝑥𝑥 é um número ímpar, 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−1. 
Esta é uma função periódica de período 2. Por quê? 
Ora, quando 𝑥𝑥 varia duas unidades, o valor da função se repete, ou seja: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+2)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+4)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+6)... 
Dessa forma, podemos afirmar que o período dessa função é 2. 
 
53 / 65 
 
Exemplo 3 
Considere a função 𝑓𝑓(𝑡𝑡)=sen(𝑡𝑡) e 𝑃𝑃 um ponto no ciclo trigonométrico. 
Imagine que o ponto 𝑃𝑃 se movimenta no ciclo no sentido anti-horário, a partir da posição 
(1,0) e dá uma volta completa, ou seja, o ângulo 𝑡𝑡 varia de 0 até 2𝜋𝜋. 
Pensando no ciclo, é possível perceber que: 
 
 
O fluxo de ar através da traqueia é 
uma função periódica do tempo 𝑥𝑥 e 
ocorre em ambos os sentidos dos 
pulmões (inspiração e expiração). 
O fluxo pode ser representado pela 
função: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=Asen(𝜔𝜔𝑥𝑥) 
 
Fonte: Shutterstock 
Onde: 
A = fluxo máximo durante a expiração e inspiração 
𝜔𝜔 = período respiratório 
𝜔𝜔 = 2𝜋𝜋
𝑇𝑇
→ 𝑇𝑇 = o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo 
54 / 65 
 
A função 𝑓𝑓 é, certamente, uma aproximação, pois 𝑇𝑇 varia de indivíduo para indivíduo. Mas 
estudos experimentais mostram que é uma “boa” aproximação da realidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 / 65 
 
VERIFICANDO O APRENDIZADO 
1. Observe o gráfico da função a seguir: 
 
 
Assinale a resposta correta: 
a) É uma função periódica de período 2. 
b) É uma função periódica de período 1. 
c) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico continuar com esse 
comportamento, 𝑓𝑓(14)=2. 
d) É uma função periódica de período 4, e se o gráfico de da função 𝑓𝑓 continuar com o 
mesmo comportamento, 𝑓𝑓(17)=0. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Observe que a função é periódica de período 4, porque: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥+4)=𝑓𝑓(𝑥𝑥), ∀ 𝑥𝑥∈𝐷𝐷𝐷𝐷𝐼𝐼(𝑓𝑓) 
Assim: 
• 𝑓𝑓(14)=𝑓𝑓(10+4)=𝑓𝑓(10)=𝑓𝑓(6)=𝑓𝑓(2)=1; 
• 𝑓𝑓(17)=𝑓𝑓(13+4)=𝑓𝑓(13)=0. 
56 / 65 
 
2. Sendo 𝑓𝑓:ℝ→ℝ uma função periódica de período 2, podemos afirmar que: 
a) A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 4. 
b) A função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 1. 
c) A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥/2) é periódica de período 1. 
d) A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑞𝑞), onde 𝑞𝑞 é uma constante positiva, não é periódica. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa B está correta. 
Note que a função 𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥) é periódica de período 1, pois: 
𝑔𝑔(𝑥𝑥+1)=𝑓𝑓(2(𝑥𝑥+1))=𝑓𝑓(2𝑥𝑥+2)=𝑓𝑓(2𝑥𝑥)=𝑔𝑔(𝑥𝑥). 
A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥/2) é periódica de período 4. 
A função ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥+𝑞𝑞) é periódica de período 4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
57 / 65 
 
3. Considere que a função 𝒇𝒇:[𝟒𝟒, +∞[ →[−𝟑𝟑,𝟕𝟕] seja periódica com período 6 e seja crescente 
no intervalo [4,10[. Logo, podemos afirmar que: 
a) 𝑓𝑓(10)=𝑓𝑓(25) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(4)<𝑓𝑓(8). 
b) 𝑓𝑓(12)=𝑓𝑓(24) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(15)<𝑓𝑓(16). 
c) 𝑓𝑓(15)=𝑓𝑓(21) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(21)<𝑓𝑓(22). 
d) 𝑓𝑓(18)=𝑓𝑓(24) 𝑠𝑠 𝑓𝑓(28)<𝑓𝑓(27). 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Inicialmente, vamos entender os dados e a situação da função dada. Sabemos que a função é 
periódicacom período 6. Isso significa que: 
𝒇𝒇(𝒙𝒙)=𝒇𝒇(𝒙𝒙+𝟔𝟔), 𝒑𝒑𝒂𝒂𝒑𝒑𝒂𝒂 𝒕𝒕𝑫𝑫𝒕𝒕𝑫𝑫 𝒙𝒙 ∈[𝟒𝟒, +∞[. 
Como a função é crescente no intervalo [4,10[, então, sempre teremos que: 
𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[4,10[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦). 
Sendo 𝒇𝒇 uma função periódica com período 6 e valendo a desigualdade anterior, então, o mesmo 
vale para os intervalos: 
• 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[10,16[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); 
• 𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[16,22[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); 
𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[22,28[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦); 
𝑥𝑥,𝑦𝑦 ∈[28,34[ 𝑐𝑐𝐷𝐷𝐼𝐼 𝑥𝑥<𝑦𝑦 ⇒ 𝑓𝑓(𝑥𝑥)<𝑓𝑓(𝑦𝑦). 
E assim sucessivamente para os intervalos seguintes com tamanho 6 (que é o período). 
Agora vamos analisar cada alternativa: 
a) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔) 𝒆𝒆 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐) 
⇒ 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). 
58 / 65 
 
Assim, como 22 e 25 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item anterior, temos: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)<𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟓𝟓). 
Portanto, a letra A é falsa. 
b) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖) 𝒆𝒆 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒) 
⇒ 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒). 
Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓) e 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔). Como vimos na letra A, 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔). Como 10 e 15 estão no 
intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)<𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓). 
Portanto, a letra B é falsa. 
c) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏). 
Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏) e 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). Na letra A, vimos que 𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐). Como 10 e 15 estão no 
intervalo [10,16[, pelo primeiro item listado anteriormente, temos: 
𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟏𝟏)<𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟓𝟓)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟏𝟏). 
Portanto, a letra C é falsa. 
d) Como 𝒇𝒇 é uma função periódica com período 6, então: 
𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟏𝟏𝟖𝟖+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟒𝟒). 
Agora, vamos analisar 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖) e 𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟕𝟕). Note que: 
𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟔𝟔)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖). 
Como 22 e 27 estão no intervalo [22,28[, pelo terceiro item listado anteriormente, temos: 
𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟖𝟖)=𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟐𝟐)<𝒇𝒇(𝟐𝟐𝟕𝟕). 
Portanto, a letra D é verdadeira. 
 
 
59 / 65 
 
4. Seja 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 + 3. cos �𝜋𝜋𝑥𝑥
4
+ 𝜋𝜋
6
�. 
a) 4 e [-2,2]. 
b) 4 e [-5,1]. 
c) 8 e [-2,2]. 
d) 8 e [-5,1]. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
60 / 65 
 
5. Em determinada ilha de turismo, determinou-se que a variação da maré ao longo do dia 
pode ser descrita pela seguinte função: f(x)=2+senπx12 
 
Onde 𝒙𝒙 é medido em horas e 𝒇𝒇(𝒙𝒙) em metros. 
 
Qual gráfico representa a variação da maré ao longo de um dia? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
61 / 65 
 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
 
 
 
 
 
 
 
62 / 65 
 
6. Considerando a função 𝒇𝒇:ℝ→ℝ, dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = −2 + cos �𝜋𝜋𝑥𝑥
2
+ 𝜋𝜋
3
�, determine a 
alternativa correta: 
a) A função 𝒇𝒇 é periódica com período 2. 
b) A imagem de 𝒇𝒇 é o intervalo [-2,2]. 
c) A função 𝒇𝒇 é bijetora. 
d) Existe 𝑥𝑥 ∈ℝ, tal que 𝒇𝒇(𝒙𝒙)= −𝟏𝟏,𝟓𝟓. 
 
Comentário 
Parabéns! A alternativa D está correta. 
Vamos analisar cada alternativa: 
 
 
 
63 / 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 / 65 
 
 
 
 
 
 
No estudo das funções reais de variável real, você pôde observar que a descrição de 
problemas de nosso cotidiano é realizada com o auxílio das funções. 
O entendimento das funções reais de variável real requer aprender, de maneira mais 
aprofundada, a determinar o domínio e a imagem de alguns tipos de funções algébricas, 
bem como reconhecer geometricamente quando a função é injetora, sobrejetora e 
bijetora. 
É muito importante que você faça todos os exercícios propostos e estude bem os 
exemplos apresentados para compreender melhor o conteúdo. 
REFERÊNCIAS 
BRASIL. Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Projeção da população do Brasil e 
das Unidades da Federação. Brasília: IBGE, 2008. 
DELGADO GÓMEZ, J. J. Pré-cálculo. Rio de Janeiro: CEDERJ, 2002. v. 4. 
FOMIN, D. A. Círculos matemáticos. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. 
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar I. São Paulo: Atual, 
2013. v. 1. 
LIMA, E.; CARVALHO, P. E. W.; MORCAGO, C. A Matemática do Ensino Médio. 9. ed. Rio de 
Janeiro: SBM, 2006. v. 1. 
LIVRO ABERTO. Funções. (s.d.). 
LUCENA, M. Guerra às sacolinhas. Galileu, n. 225, 2010. 
MAESTRI, R. Algumas boas notícias com algumas não tanto do Covid-19. Jornal GGN, 
mar. 2020. 
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2006. v. 1. 
65 / 65 
 
VISÃO SAÚDE. Covid-19: que países conseguiram contrariar a curva do Coronavírus? 
Publicação em: 20 mar. 2020. 
EXPLORE+ 
Pesquise e consulte: 
• O aplicativo on-line GeoGebra; 
• O Portal OBMEP do Saber. 
Busque e analise os seguintes resultados do uso do aplicativo GeoGebra: 
BORGES, A. Desenho da função seno. GeoGebra. (s.d.). 
CORREIA, P. Duração do dia. GeoGebra, (s.d.). 
No primeiro, você encontra a construção do gráfico da função seno, e no segundo, um 
exercício interessante que mostra o número de horas de sol ao longo do ano em 
diferentes locais do planeta. 
CONTEUDISTA 
Loisi Carla Monteiro Pereira