2 1 - GRANDEZAS ELÉTRICAS

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INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS - IFAL
CAMPUS PALMEIRA DOS ÍNDIOS - AL
CURSO BACHARELADO EM ENGENHARIA ELÉTRICA
CIRCUITOS ELÉTRICOS l
Prof. Dr. Leonaldo José Lyra do Nascimento
Período: 2020.1
GRANDEZAS ELÉTRICAS (tensão, corrente, potência e energia)
CONTEÚDO:
 TENSÃO ELÉTRICA
 CORRENTE ELÉTRICA
 POTÊNCIA ELÉTRICA
 ENERGIA ELÉTRICA.
GRANDEZAS ELÉTRICAS (tensão, corrente, potência e energia)
TENSÃO ELÉTRICA
HISTÓRICO:
Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Volta, nasceu em 18 de fevereiro de 1745, em Como, Itália (que na
época chamava-se Lombardia) e foi um dos grandes físicos do século XVIII tendo criado a pilha e provado que
seu amigo e compatriota Luigi Galvani estava errado ao afirmar que a corrente elétrica só poderia ser gerada por
seres vivos. Contam as histórias que Volta não era uma criança muito inteligente, chegando mesmo a ser
considerado como deficiente mental por sua família, e que teria aprendido a falar apenas com quatro anos
de idade.
TENSÃO ELÉTRICA (Continuação)
DEFINIÇÃO:
É a energia por unidade de carga criada pela separação, e expressamos essa razão em 
forma diferencial como
Onde:
𝒗𝒗 = a tensão em volts (V)
𝒘𝒘 = a energia em joule (J)
𝒒𝒒 = a carga elétrica em coulomb (C).
𝒗𝒗 =
𝒅𝒅𝒘𝒘
𝒅𝒅𝒒𝒒
Eq. (01)
CORRENTE ELÉTRICA
DEFINIÇÃO:
É a taxa de fluxo de carga. Matematicamente,
Onde:
𝒊𝒊 = a corrente elétrica em ampere (A)
𝒒𝒒 = a carga em coulomb (C)
𝒕𝒕 = o tempo em segundos (s).
𝑖𝑖 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
Eq. (02)
O Elemento Básico Ideal de Circuito
𝒗𝒗
+ -
𝒊𝒊
Ele possui três atributos:
 Tem apenas dois terminais, que são pontos de conexão com
outros componentes de circuito;
 É descrito matematicamente em termos de corrente e/ou tensão, e
 Não pode ser subdividido em outro elemento.
𝒗𝒗
+
-
𝒊𝒊
O Elemento Básico Ideal de Circuito (Continuação)
𝒗𝒗
+ -
𝒊𝒊
Conclusão:
Sempre que a direção de referência para a corrente em um elemento
estiver na direção da queda de tensão de referência no elemento, use um
sinal POSITIVO em qualquer expressão que Relacione a tensão com a
corrente. Caso contrário, use um sinal negativo.
Exemplo 01:
A corrente nos terminais do elemento da Figura 01 é:
𝑖𝑖 𝑑𝑑 = � 0, 𝑑𝑑 < 020𝑒𝑒−5000𝑡𝑡 𝐴𝐴, 𝑑𝑑 ≥ 0
Calcule a carga total (em microcoulombs) que entra no elemento em seu terminal superior.
𝑣𝑣(𝑑𝑑)
+ -
𝑖𝑖(𝑑𝑑)
Figura 01
GRANDEZAS ELÉTRICAS (tensão, corrente, potência e energia)
Continuação do exemplo 01:
Solução:
𝑣𝑣(𝑑𝑑)
+ -
𝑖𝑖(𝑑𝑑)
Figura 01
Dados:
𝑖𝑖 𝑑𝑑 = � 0, 𝑑𝑑 < 020𝑒𝑒−5000𝑡𝑡 𝐴𝐴, 𝑑𝑑 ≥ 0
Pede:
𝑄𝑄𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡(𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜇𝜇𝜇𝜇)
Da definição de corrente, temos; 𝑖𝑖 𝑑𝑑 =
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑖𝑖 𝑑𝑑 .𝑑𝑑𝑑𝑑 �
0
𝑄𝑄𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = �
0
𝑡𝑡
𝑖𝑖 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑄𝑄𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = �
0
∞
𝑖𝑖 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏
Eq.a1
Eq.a0
Substituindo a expressão de 𝑖𝑖(𝑑𝑑) dada por Eq. a0 na Eq. a1, têm-se; 
Continuação do exemplo 01:
𝑄𝑄𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = �
−∞
∞
𝑖𝑖 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 �
−∞
0
0𝑑𝑑𝜏𝜏 + �
0
+∞
20. 𝑒𝑒−5000.𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
−20
5000
. 𝑒𝑒−5000.𝑡𝑡 �+∞0
−0,004 𝑒𝑒−5000𝑥𝑥∞ − 𝑒𝑒−0
−0,004. (−1) 0,004 𝜇𝜇 4000 𝜇𝜇𝜇𝜇 𝑄𝑄𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 4.000 𝜇𝜇𝜇𝜇
⇒⇒
⇒
⇒
⇒⇒
⇒ ⇒
0
0 1
⇒
Exemplo 02:
A expressão para a carga que entra no terminal superior da Figura 02 é:
𝒒𝒒 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
− 𝒕𝒕
𝜶𝜶
+ 𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕 C.
Determine o valor máximo da corrente elétrica que entra no terminal superior 
se 𝛼𝛼 = 0,03679 𝑠𝑠−1.
𝑣𝑣(𝑑𝑑)
+ -
𝑖𝑖(𝑑𝑑)
Figura 02
GRANDEZAS ELÉTRICAS (tensão, corrente, potência e energia)
Continuação do exemplo 02:
Solução:
𝑣𝑣(𝑡𝑡)
+ -
𝑖𝑖(𝑡𝑡)
Figura 02
Dados: Pede:
𝒒𝒒 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
− 𝒕𝒕
𝜶𝜶
+ 𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕 C.
𝜶𝜶 = 𝟎𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎 𝒔𝒔−𝟏𝟏
𝒊𝒊(𝒕𝒕)𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝒊𝒊𝑴𝑴𝑴𝑴
Da definição de corrente, temos;
𝑖𝑖 𝑡𝑡 =
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇒ 𝑖𝑖 𝑡𝑡 =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
−
𝒕𝒕
𝜶𝜶
+
𝟏𝟏
𝜶𝜶𝟐𝟐
𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕 ⇒ 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡
1
𝛼𝛼2
−
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑡𝑡
𝛼𝛼
+
1
𝛼𝛼2
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
0
⇒ 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = −
1
𝛼𝛼
+ 0 . 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 +
𝑡𝑡
𝛼𝛼
+
1
𝑒𝑒2
. −𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = −
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼
+ 𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑡𝑡
𝛼𝛼
+
1
𝛼𝛼2
Continuação do exemplo 02:
𝑖𝑖(𝑡𝑡) = −
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼
+ 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 𝑡𝑡 +
1
𝛼𝛼
= −
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼
+ 𝑡𝑡𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 +
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝛼𝛼
= 𝑡𝑡. 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝒊𝒊 𝒕𝒕 = 𝒕𝒕. 𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕 Eq. (a1)
Cálculo do ponto crítico:
Derivando a Eq. (a1) com relação ao tempo, temos;
𝑑𝑑𝑖𝑖(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 0 ⇒
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑡𝑡. 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑡𝑡 . 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑡𝑡 .
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = 1. 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑡𝑡. −𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼𝑡𝑡𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
⇒ ⇒
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = 0
1 − 𝛼𝛼. 𝑡𝑡 ≠ 0
Ou,
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 ≠ 0
1 − 𝛼𝛼. 𝑡𝑡 = 0
Impossível!
Eq. (a3)
Eq. (a2)
𝑖𝑖′ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡 = 0
Continuação do exemplo 02:
Da condição da Eq. (a3), temos:
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 ≠ 0
1 − 𝛼𝛼. 𝑡𝑡 = 0
Eq. (a3)
1 − 𝛼𝛼. 𝑡𝑡 = 0 ⇒ 1 = 𝛼𝛼. 𝑡𝑡 ⇒ 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏
𝜶𝜶
Ponto crítico Eq. (a4)
Verificando se esse ponto crítico é de máximo ou de mínimo!
Eq. (a2)𝒊𝒊′ 𝒕𝒕 = 𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕 𝟏𝟏 − 𝜶𝜶𝒕𝒕Derivando Eq. (a2) com relação ao tempo, têm-se: 
𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑡𝑡 =
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇒ =
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡 = 1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡
⇒ 𝑖𝑖′′ 𝑡𝑡 = −𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡 − 𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = −𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 + 𝛼𝛼2𝑡𝑡𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 − 𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 = 𝛼𝛼2𝑡𝑡𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 − 2𝛼𝛼𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼
Eq. (a5)𝒊𝒊𝑖𝑖(𝒕𝒕) = 𝜶𝜶𝒆𝒆−𝜶𝜶𝒕𝒕(𝜶𝜶 − 𝟐𝟐)
⇒
Continuação do exemplo 02:
Substituindo a Eq. (a4) na Eq. (a5), temos;
𝑡𝑡 =
1
𝛼𝛼
Eq. (a4)
𝑖𝑖′ 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 1 − 𝛼𝛼𝑡𝑡 Eq. (a2)
𝑖𝑖𝑖𝑖
1
𝛼𝛼
= 𝑒𝑒−𝛼𝛼.
1
𝛼𝛼(𝛼𝛼 − 2) = 𝛼𝛼𝑒𝑒−1(𝛼𝛼 − 2) ⇒ Eq. (a6)𝑖𝑖′′ 1𝛼𝛼 = 𝛼𝛼𝑒𝑒
−1(𝛼𝛼 − 2)
Substituindo o valor de 𝛼𝛼 na Eq. (a6), têm-se;
𝑖𝑖′′
1
0,003679
= 0,003679𝑒𝑒−1(0,003679 − 2)
= 1,3534(−1,96321)
= −2,6570 < 0
Como a 𝑖𝑖𝑖𝑖( ⁄1 𝛼𝛼) é NEGATIVA!, então o ponto crítico 𝑡𝑡 = ⁄1 𝛼𝛼 é ponto de MÁXIMO!
Continuação do exemplo 02:
Cálculo do valor máximo da corrente elétrica.
Temos que:
𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡. 𝑒𝑒−𝛼𝛼𝛼𝛼 Eq. (a1)
𝑡𝑡 =
1
𝛼𝛼
Eq. (a4)
Substituindo a Eq. (a4) na Eq. (a1), têm-se;
𝑖𝑖
1
𝛼𝛼
= 𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. =
1
𝛼𝛼
. 𝑒𝑒−𝛼𝛼.
1
𝛼𝛼 ⇒ 𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. =
1
𝛼𝛼
. 𝑒𝑒−1 Para 𝛼𝛼 = 0,03679.
𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. =
1
0,03679
. 𝑒𝑒−1 =
0,0367879
0,03679 = 9,9994 ⇒ 𝑖𝑖𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀. ≈ 10 𝐴𝐴
ESPECIFICAÇÃO DE AMPÈRE - HORA
Indica quanto tempo uma bateria de tensão fixa será capaz de fornecer uma corrente 
em particular.
Definição:
𝑽𝑽𝒊𝒊𝑽𝑽𝑴𝑴 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝑴𝑴𝒔𝒔 =
𝒆𝒆𝒔𝒔𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒊𝒊𝒆𝒆𝒊𝒊𝒆𝒆𝑴𝑴𝒆𝒆𝒉𝒉 𝑴𝑴𝑴𝑴𝒆𝒆𝒂𝒉𝒉𝒆𝒆 − 𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝒉𝑴𝑴 (𝑨𝑨𝒉𝒉)
𝑴𝑴𝑴𝑴𝒆𝒆𝒂𝒉𝒉𝒆𝒆 𝑽𝑽𝒉𝒉𝒆𝒆𝒅𝒅𝑴𝑴𝑽𝑽𝒉𝒉𝒔𝒔 (𝑨𝑨)
Exemplo 03:
Por quanto tempo uma bateria de transmissor de 𝟎𝟎 𝑽𝑽 com especificação ampère – hora de 𝟓𝟓𝟐𝟐𝟎𝟎𝑴𝑴𝑨𝑨
vai fornecer uma corrente de 𝟐𝟐𝟎𝟎𝑴𝑴𝑨𝑨. 
Eq. (03)
Solução:
Dados: Pede:
Continuação do exemplo 03:
𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝒆𝒆𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝒂𝑎𝑎𝑒𝑒 − ℎ𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒 = 520 𝑎𝑎𝐴𝐴ℎ
𝐼𝐼 = 20 𝑎𝑎𝐴𝐴
∆𝑡𝑡
𝑉𝑉𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒 =
520 𝑎𝑎𝐴𝐴ℎ
20 𝑎𝑎𝐴𝐴
=
52
2
ℎ = 26 ℎ ⇒ 𝑽𝑽𝒊𝒊𝑽𝑽𝑴𝑴 = 𝟐𝟐𝟎𝟎 𝒉𝒉
POTÊNCIA ELÉTRICA
DEFINIÇÃO:
É a energia por unidade de tempo e é igual ao produto da tensão pela corrente nos terminais. 
Ela é expressa na forma de uma derivada, ou
Onde:
𝒆𝒆 = a potência em watt (W)
𝒘𝒘 = a energia em joule (J)
𝒕𝒕 = o tempo em segundo (s).
𝒆𝒆 =
𝑽𝑽𝒘𝒘
𝑽𝑽𝒕𝒕
Logo, 1𝑊𝑊 = 1 ⁄𝐽𝐽 𝑠𝑠. 
Eq. (04)
Da Eq. (4), têm-se; 
𝑒𝑒 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
=
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑣𝑣 𝑖𝑖
= 𝑣𝑣. 𝑖𝑖 ⇒
Onde:
𝒆𝒆 = a potência em watt (W)
𝒗𝒗 =a tensão em volt (V)
𝒊𝒊 = a corrente em ampère (A).
𝒆𝒆 = 𝒗𝒗. 𝒊𝒊
POTÊNCIA ELÉTRICA (Continuação)
Eq. (05)
RELAÇÃO ENTRE AS REFERÊNCIAS DE POLARIDADE PARA A TENSÃO 
E CORRENTE E A EXPRESSÃO PARA POTÊNCIA
𝑣𝑣
+
-
𝑖𝑖 𝑖𝑖
𝑣𝑣
+
-
𝑖𝑖
𝑣𝑣
-
+
𝑖𝑖
𝑣𝑣
-
+
𝒆𝒆 = −𝒗𝒗. 𝒊𝒊
Interpretação do sinal algébrico de potência
Se a potência for positiva (isto é, se 𝑒𝑒 > 0), significa que o circuito dentro da caixa está absorvendo potência. Se for
Negativa (isto é, 𝑒𝑒 < 0 ), 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝒆𝑒𝑒 𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑖𝑖𝑎𝑎𝑒𝑒𝑐𝑐𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑎𝑎𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑥𝑥𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑴 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡𝑝𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒.
POTÊNCIA ELÉTRICA (Continuação)
𝒆𝒆 = −𝒗𝒗. 𝒊𝒊
𝒆𝒆 = 𝒗𝒗. 𝒊𝒊
𝒆𝒆 = 𝒗𝒗. 𝒊𝒊
Rangel
Destacar
Exemplo 03: 1.26
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝒔𝒔)8 16
𝒗𝒗 (𝑽𝑽)
124 200
8
4
12
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝒔𝒔)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24
Dados:
Pede:
(a): 𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇
(c):
(b): 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝑇𝑇𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑎𝑎𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒)
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝛼𝛼𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝐹𝐹𝑒𝑒𝑎𝑎𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑑𝑑𝑒𝑒)
GRANDEZAS ELÉTRICAS (tensão, corrente, potência e energia)
Continuação do exemplo 03:
Solução:
Cálculos das equações das retas:
Intervalo:
Substituindo os pontos na equação da reta:
⇒ ⇒
Equação:
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒗𝒗 (𝑽𝑽)
124 200
8
4
12
0 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑡𝑡 = 0𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 8 𝑉𝑉
𝑡𝑡 = 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 12 𝑉𝑉
8 = 0.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
12 = 16𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝐵𝐵 = 8
𝐴𝐴 = 0,25𝑥𝑥10−3 𝒗𝒗 𝒕𝒕 = 𝟎𝟎,𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑. 𝒕𝒕 + 𝟖𝟖 0 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘Para:
Eq. b1 
𝒗𝒗 𝒕𝒕 = 𝑨𝑨. 𝒕𝒕 + 𝑩𝑩.
Solução:
Cálculos das equações das retas:
Intervalo:
Substituindo os pontos na equação da reta:
⇒ ⇒
Equação:
𝑡𝑡 = 20𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 16 𝑉𝑉
𝑡𝑡 = 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 12 𝑉𝑉
12 = 16𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
12 = 20𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝐵𝐵 = 12
𝐴𝐴 = 0 𝒗𝒗 𝒕𝒕 = 𝟏𝟏𝟐𝟐 𝑽𝑽 𝑡𝑡 ≥ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘Para:
Continuação do exemplo 03:
𝑡𝑡 ≥ 16𝑘𝑘𝑘𝑘
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒗𝒗 (𝑽𝑽)
124 200
8
4
12
𝒗𝒗 𝒕𝒕 = 𝑨𝑨. 𝒕𝒕 + 𝑩𝑩
Eq. b2 
Continuação do exemplo 03:
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒗𝒗 (𝑽𝑽)
124 200
8
4
12
Desta forma, teremos:
⇒ 𝑣𝑣 𝑡𝑡 = �0,25𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 8, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘12 𝐴𝐴, 𝑡𝑡 ≥ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
Eq. b3 
Solução:
Cálculos das equações das retas de:
Intervalo:
Substituindo os pontos na equação da reta:
⇒ ⇒
Equação:
𝑡𝑡 = 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 16 𝐴𝐴
𝑡𝑡 = 0 𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 24 𝐴𝐴
24 = 0.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
16 = 12𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝐵𝐵 = 24
𝐴𝐴 = −0,666𝑥𝑥10−3 Para:
0 ≤ 𝑡𝑡 < 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
Continuação do exemplo 03:
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24
𝒊𝒊 𝒕𝒕 = −𝟎𝟎,𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑. 𝒕𝒕 + 𝟏𝟏𝟐𝟐
0 ≤ 𝑡𝑡 < 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
Eq. b4 
𝒊𝒊 𝒕𝒕 = 𝑨𝑨. 𝒕𝒕 + 𝑩𝑩.
Solução:
Cálculos das equações das retas de:
Intervalo:
Substituindo os pontos na equação da reta:
⇒ ⇒
Equação:
𝑡𝑡 = 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 16 𝐴𝐴
𝑡𝑡 = 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 = 0 𝐴𝐴
16 = 12𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵
0 = 16𝑘𝑘.𝐴𝐴 + 𝐵𝐵 𝐵𝐵 = 64
𝐴𝐴 = −4𝑥𝑥10−3 Para:
12 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24
𝒊𝒊 𝒕𝒕 = −𝟒𝟒𝟐𝟐𝟏𝟏𝟎𝟎−𝟑𝟑. 𝒕𝒕 +64
Continuação do exemplo 03:
12 𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝒊𝒊 𝒕𝒕 = 𝑨𝑨. 𝒕𝒕 + 𝑩𝑩.
Eq. b5 
Continuação do exemplo 03:
Desta forma, teremos:
⇒ 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = �−0,666𝑥𝑥10
−3. 𝑡𝑡 + 24, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
−4𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 64 , 12𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24
Eq. b6 
Continuação do exemplo 03:
Cálculo de 𝑸𝑸𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻:
Temos que: 𝑖𝑖 𝑡𝑡 =
𝑑𝑑𝑑𝑑(𝑡𝑡)
𝑑𝑑𝑡𝑡
⇒ �
0
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑡𝑡 = �
0
𝑡𝑡
𝑖𝑖 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇒
Substituindo a Eq. (b6) na Eq. (b7), têm-se;
Eq. b7 𝑸𝑸𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻 = �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒊𝒊 𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
16𝑘𝑘
𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇒ 𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
12𝑘𝑘
−0,666𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 24 𝑑𝑑𝑡𝑡 + �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
−4𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 64 𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = (−
0,666𝑥𝑥10−3
2
𝑡𝑡2 + 24. 𝑡𝑡) �12𝑘𝑘0 + (−
4𝑥𝑥10−3
2
. 𝑡𝑡2 + 64. 𝑡𝑡) �16𝑘𝑘12𝑘𝑘
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = (−
0,666𝑥𝑥10−3
2
𝑡𝑡2 + 24. 𝑡𝑡) �12𝑘𝑘0 + (−
4𝑥𝑥10−3
2
. 𝑡𝑡2 + 64. 𝑡𝑡) �16𝑘𝑘12𝑘𝑘
Continuação do exemplo 03:
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = −
0,666𝑥𝑥10−3
2
𝑥𝑥 12𝑘𝑘 2 + 24. 12𝑘𝑘 − 0 − 0 + −
4𝑥𝑥10−3
2
. 16𝑘𝑘 2 + 64𝑥𝑥 16𝑘𝑘 −
− −
4𝑥𝑥10−3
2
. 12𝑘𝑘 2 + 64𝑥𝑥 12𝑘𝑘
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 272,01𝑥𝑥103 C
Continuação do exemplo 03:
Outro método:
Cálculo da área sob a curva do gráfico de 𝑖𝑖 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡.
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24 𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐴𝐴𝑇𝑇
⇒
𝑸𝑸𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝑨𝑨𝟏𝟏 + 𝑨𝑨𝟐𝟐 + 𝑨𝑨𝟑𝟑
𝑨𝑨𝟏𝟏
𝑨𝑨𝟑𝟑
𝑨𝑨𝟐𝟐
𝑨𝑨𝟏𝟏 =
12𝑘𝑘 𝑥𝑥 (24 − 16)
2
𝑨𝑨𝟑𝟑 =
16𝑘𝑘 − 12𝑘𝑘 𝑥𝑥 16
2
𝑨𝑨𝟐𝟐 = 12𝑘𝑘 𝑥𝑥 16 ⇒
⇒
⇒
𝐴𝐴1 = 48𝑘𝑘 𝑢𝑢. 𝑎𝑎.
𝐴𝐴2 = 192𝑘𝑘 𝑢𝑢. 𝑎𝑎.
𝐴𝐴3 = 32𝑘𝑘 𝑢𝑢. 𝑎𝑎.
𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 48𝑘𝑘 + 192𝑘𝑘 + 32𝑘𝑘𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 𝐴𝐴1 + 𝐴𝐴2 + 𝐴𝐴3 ⇒ ⇒ 𝑄𝑄𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 ≈ 272𝑥𝑥103 C
Continuação do exemplo 03:
Cálculo de 𝑾𝑾𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻:
Sabemos que,
𝑝𝑝 =
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑡𝑡
⇒ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 ⇒ �
0
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇
𝑑𝑑𝑑𝑑 = �
0
𝑡𝑡
𝑝𝑝 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏
⇒ 𝑾𝑾𝑻𝑻𝑻𝑻𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻 = �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒑𝒑 𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
Mas para calcular a energia precisamos conhecer a 𝑝𝑝 𝑡𝑡 !
Continuação do exemplo 03:
Cálculo de 𝒑𝒑 𝒕𝒕 .
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒗𝒗 (𝑽𝑽)
124 200
8
4
12
𝒕𝒕 (𝑲𝑲𝑲𝑲)8 16
𝒊𝒊 (𝑨𝑨)
124 200
16
8
24
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
𝑇𝑇
𝑝𝑝 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇒ 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
16𝑘𝑘
𝑝𝑝(𝑡𝑡) ⇒
𝑖𝑖 𝑡𝑡 = �−0,666𝑥𝑥10
−3. 𝑡𝑡 + 24, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 12 𝑘𝑘𝑘𝑘
−4𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 64 , 12𝑘𝑘𝑘𝑘 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑣𝑣 𝑡𝑡 = �0,25𝑥𝑥10
−3. 𝑡𝑡 + 8, 0 ≤ 𝑡𝑡 < 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
12 𝐴𝐴, 𝑡𝑡 ≥ 16 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
12𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8 𝑥𝑥 −0,666𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 24 𝑑𝑑𝜏𝜏 + �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 64 𝑑𝑑𝜏𝜏
Continuação do exemplo 03:
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
12𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8 𝑥𝑥 −0,666𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 24 𝑑𝑑𝜏𝜏 + �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8 𝑥𝑥 −4𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 64 𝑑𝑑𝜏𝜏
= �
0
12𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 . −0,666𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 𝑥𝑥24)𝑑𝑑𝜏𝜏 +
+ �
0
12𝑘𝑘
8𝑥𝑥 −0,666𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8𝑥𝑥 0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 𝑑𝑑𝜏𝜏 +
+ �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
0,25𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 . −4𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 0,25𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 𝑥𝑥64)𝑑𝑑𝜏𝜏 +
+ �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
8𝑥𝑥 −4𝑥𝑥10−3𝑡𝑡 + 8𝑥𝑥64𝑑𝑑𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
12𝑘𝑘
−0,16666𝑥𝑥10−6. 𝑡𝑡2 + 6𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 − 5,333𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 192 𝑑𝑑𝜏𝜏 +
Continuação do exemplo 03:
+ �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
1𝑥𝑥10−6. 𝑡𝑡2 + 16𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 − 32𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 512 𝑑𝑑𝜏𝜏 +
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
12𝑘𝑘
−0,16666𝑥𝑥10−6. 𝑡𝑡2 + 0,666𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 192 𝑑𝑑𝜏𝜏 +
+ �
12𝑘𝑘
16𝑘𝑘
1𝑥𝑥10−6. 𝑡𝑡2 − 16𝑥𝑥10−3. 𝑡𝑡 + 512 𝑑𝑑𝜏𝜏
Continuação do exemplo 03:
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �−
0,1666𝑥𝑥10−6
3
𝑡𝑡3 +
0,666𝑥𝑥10−3
2
𝑡𝑡2 + 192. 𝑡𝑡 12𝑘𝑘0 +
+ �
10−6
3
𝑡𝑡3 −
16𝑥𝑥10−3
2
𝑡𝑡2 + 512. 𝑡𝑡 16𝑘𝑘12𝑘𝑘
Dever de casa: Continue este exercício !!!
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = … …
Exemplo 04: 1.24
Continuação de potência elétrica
(a) Determine a potência absorvida pelo elemento em 𝑡𝑡 = 10 𝑚𝑚𝑘𝑘.
A tensão e a corrente nos terminais do elemento de circuito da Figura 1.5 são iguais a zero
para 𝑡𝑡 < 0. Para 𝑡𝑡 ≥ 0, elas são
𝑣𝑣 𝑡𝑡 = 400𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝑉𝑉, 𝑡𝑡 ≥ 0
i 𝑡𝑡 = 5𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝐴𝐴, 𝑡𝑡 ≥ 0
𝑣𝑣
+
-
𝑖𝑖
Figura 1.5 
(b) Determine a energia total absorvida pelo elemento.
Continuação do exemplo 04:
Dados:
Pede:
(a):
(b): 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴𝑣𝑣𝑖𝑖𝑑𝑑𝐴𝐴)𝑣𝑣 𝑡𝑡 = 400𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝑉𝑉, 𝑡𝑡 ≥ 0
i 𝑡𝑡 = 5𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝐴𝐴, 𝑡𝑡 ≥ 0
𝑣𝑣
+
-
𝑖𝑖
Figura 1.5 
𝑝𝑝 𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑚𝑚 𝑡𝑡 = 10 𝑚𝑚𝑘𝑘
Continuação do exemplo 04:
Sabemos que:
𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑖𝑖(𝑡𝑡)
𝑣𝑣 𝑡𝑡 = 400𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝑉𝑉, 𝑡𝑡 ≥ 0
i 𝑡𝑡 = 5𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝐴𝐴, 𝑡𝑡 ≥ 0
⇒
= 400. 𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠 200𝑡𝑡 𝑥𝑥 5𝑒𝑒−100𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠(200𝑡𝑡)
= 2000𝑒𝑒−200𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠2(200𝑡𝑡) 𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 2000𝑒𝑒−200𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠2(200𝑡𝑡)
Cálculo de 𝑝𝑝 𝑡𝑡 para 𝑡𝑡 = 10 𝑚𝑚𝑘𝑘.
𝑝𝑝 10𝑥𝑥10−3 = 2000𝑒𝑒−200𝑥𝑥10𝑥𝑥10−3𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠2(200𝑥𝑥10𝑥𝑥10−3)
𝑝𝑝 10 𝑚𝑚𝑘𝑘 = 223,79 𝑊𝑊
(a):
Eq. c1 
(b):
Continuação do exemplo 04:
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 (𝐴𝐴𝐴𝐴𝑘𝑘𝐴𝐴𝐴𝐴𝑣𝑣𝑖𝑖𝑑𝑑𝐴𝐴)
Temos que,
𝑝𝑝(𝑡𝑡) = 2000𝑒𝑒−200𝑇𝑇𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠2(200𝑡𝑡) Eq. c1 
𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠2 𝑥𝑥 =
1
2
(1 − cos 2𝑥𝑥 ) Eq. c2 
Substituindo a Eq. (c2) na Eq. (c1), têm-se;
𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 2000𝑒𝑒−200𝑇𝑇
1
2
(1 − cos 400𝑡𝑡 ⇒
Ou,
𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 1000𝑒𝑒−200𝑇𝑇(1 − cos(400𝑡𝑡))
𝑝𝑝 𝑡𝑡 = 1000𝑒𝑒−200𝑇𝑇 − 1000𝑒𝑒−200𝑇𝑇cos(400𝑡𝑡)
Eq. c3 
Eq. c4 
Continuação do exemplo 04:
Temos que,
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
𝑇𝑇
𝑝𝑝 𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏 ⇒ 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = �
0
𝑇𝑇
{1000𝑒𝑒−200𝑇𝑇 − 1000𝑒𝑒−200𝑇𝑇 cos 400𝑡𝑡 } 𝑑𝑑𝜏𝜏
! ! !
Cálculo de �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑲𝑲 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
Eq. c5 
𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1000�
0
𝑇𝑇
𝑒𝑒−200𝜏𝜏𝑑𝑑𝜏𝜏 − 1000.�
0
𝑇𝑇
𝑒𝑒−200𝜏𝜏 cos 400𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏
Continuação do exemplo 04:
Sabemos que:
𝑢𝑢. 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑(𝑢𝑢. 𝑣𝑣) ⇒ 𝑑𝑑 𝑢𝑢. 𝑣𝑣 = 𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑣𝑣 + 𝑣𝑣.𝑑𝑑𝑢𝑢 �𝑑𝑑 𝑢𝑢. 𝑣𝑣 = �𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑣𝑣 + �𝑣𝑣.𝑑𝑑𝑢𝑢⇒
⇒ �𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑢𝑢. 𝑣𝑣 − �𝑣𝑣.𝑑𝑑𝑢𝑢𝑢𝑢. 𝑣𝑣 = �𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑣𝑣 + �𝑣𝑣.𝑑𝑑𝑢𝑢 ⇒ Eq. c6 
Cálculo de �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑲𝑲 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
�
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒄𝒄𝒄𝒄𝑲𝑲 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉Aplicando a Eq. (c6), têm-se:
𝑑𝑑𝑣𝑣 = 𝑒𝑒−200𝑇𝑇𝑑𝑑𝑡𝑡
𝑢𝑢 = cos(400𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑢𝑢 = −400𝑘𝑘𝑒𝑒𝑠𝑠(400𝑡𝑡)
�𝑑𝑑𝑣𝑣 = �𝑒𝑒−200𝑇𝑇𝑑𝑑𝑡𝑡
⇒
⇒ ⇒ 𝑣𝑣 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑇𝑇
Eq. c7 
Eq. c8 
Eq. c9 Eq. c10 
Continuação do exemplo 04:
Substituindo as Eqs. (c7), (c8), (c9) e (c10) na Eq. (c6), têm-se;
�𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢. 𝑑𝑑 − �𝑑𝑑.𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 = cos(400𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑢𝑢 = −400𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(400𝑑𝑑)
𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
Eq. c6 
Eq. c7 
Eq. c8 
Eq. c9 
Eq. c10 
� cos 400𝑑𝑑 𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = cos 400𝑑𝑑 (−
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡) −�−
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡(−400𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑)
� cos 400𝑑𝑑 𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Eq. c11 
Continuação do exemplo 04:
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
! ! !
Eq. c11 
Cálculo de �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉
�
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒔𝒔 𝟒𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉 𝒅𝒅𝝉𝝉Aplicando a Eq. (c6), têm-se:
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 = sen(400𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 400𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(400𝑑𝑑)
�𝑑𝑑𝑑𝑑 = �𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
⇒
⇒ ⇒ 𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
Eq. c12 
Eq. c13 
Eq. c14 Eq. c15 
�𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢. 𝑑𝑑 − �𝑑𝑑.𝑑𝑑𝑢𝑢 Eq. c6 
Continuação do exemplo 04:
Substituindo as Eqs. (c12), (c13), (c14) e (c15) na Eq. (c6), têm-se;
�𝑢𝑢.𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢. 𝑑𝑑 − �𝑑𝑑.𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑢𝑢 = sen(400𝑑𝑑)
𝑑𝑑𝑢𝑢 = 400𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(400𝑑𝑑)
𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
Eq. c6 
Eq. c12 
Eq. c13 
Eq. c14 
Eq. c15 
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 sen 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = sen 400𝑑𝑑 (−
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡) −�−
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡(400𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑)
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 sen 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Eq. c16 
Continuação do exemplo 04:
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Eq. c11 
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 sen 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Eq. c16 
Temos que:
Substituindo a Eq. (c16) na Eq. (c11), têm-se;
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 −
400
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 + 400�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 +
1
100
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 − 4�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
Continuação do exemplo 04:
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 +
1
100
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 − 4�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 4�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 +
1
100
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑
5�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 +
1
100
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑
5�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
1
100
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 −
1
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
5
1
100
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 −
1
200
cos 400𝑑𝑑 Eq. (c16) 
Continuação do exemplo 04:
Cálculo de �
𝟎𝟎
𝒕𝒕
𝟏𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝒆𝒆−𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎𝝉𝝉𝒅𝒅𝒕𝒕
�1000𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1000�𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = −
1000
200
𝑒𝑒−200𝑡𝑡 = −5𝑒𝑒−200𝑡𝑡
⇒ �1000𝑒𝑒−200𝑡𝑡𝑑𝑑𝑑𝑑 = −5𝑒𝑒−200𝑡𝑡 + 𝐶𝐶𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠𝑑𝑑. Eq. (c17) 
�𝑒𝑒−200𝑡𝑡 cos 400𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 =
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
5
1
100
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 −
1
200
cos 400𝑑𝑑 Eq. (c16) 
Substituindo as Eqs. (c16) e (c17) na Eq. (c5), têm-se;
Eq. c5 𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = 1000�
0
∞
𝑒𝑒−200𝜏𝜏𝑑𝑑𝜏𝜏 − 1000.�
0
∞
𝑒𝑒−200𝜏𝜏 cos 400𝜏𝜏 𝑑𝑑𝜏𝜏
Lembrete:
Continuação do exemplo 04:
|𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = −5𝑒𝑒−200𝑡𝑡
∞
0 �−1000
𝑒𝑒−200𝑡𝑡
5
1
100
𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 −
1
200
cos 400𝑑𝑑 ∞0
|𝑊𝑊𝑇𝑇𝑇𝑇𝑡𝑡𝑇𝑇𝑇𝑇 = −5𝑒𝑒−200𝑡𝑡
∞
0 |−𝑒𝑒
−200𝑡𝑡 . 2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑑𝑑 − cos 400𝑑𝑑 ∞0
= −5 𝑒𝑒−200𝑥𝑥∞ − 𝑒𝑒−200𝑥𝑥0 −
−{𝑒𝑒−200𝑥𝑥∞. 2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑥𝑥∞ − cos 400𝑥𝑥∞ − 𝑒𝑒−200𝑥𝑥0. 2𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 400𝑥𝑥0 − cos 400𝑥𝑥0 }
0
0
1
0 11
= −5 0 − 1 − (0 + 1)
= 4
⇒ 𝑾𝑾𝑻𝑻𝒄𝒄𝒕𝒕𝑻𝑻𝑻𝑻 = 𝟒𝟒 𝑱𝑱
Bibliografia:
 Livro texto:
 Apostilas da internet:
 Site da internet:
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F I M
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