PROVA CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I

Prévia do material em texto

PROVA CALCULO DIFERENCIAL INTEGRAL I - AVALIAÇÃO II
1. O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral. O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada. Então, para a equação diferencial 2y ‘ + y = 1 (ou seja, o dobro da derivada primeira somada com a própria função é igual 2), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
Marque a opção que apresenta a sequência correta de preenchimento dos parênteses, de cima para baixo:
a)F – V – F – V 
b)V – V – F – V 	
c)F – F – V– F 
d)V – F– V– F
2. Na matematica, a derivada de uma função é o conceito central do calculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à questão a seguir, assinale a alternativa CORRETA:
· a)Somente a opção I está correta
b) Somente a opção IV está correta
c) Somente a opção II está correta
d) Somente a opção III está correta
3. A função velocidade é dada pela derivada primeira da função S(t). Para um móvel que se desloca de acordo com a função horária S(t) = 20 + 15 t, sendo S medido em metros e t em segundos, qual o valor de sua velocidade, em metros por segundo?
· a) Sua velocidade é de 15 metros por segundo
b) Sua velocidade é de 35 metros por segundo
c) Sua velocidade é de 20 metros por segundo
d) Sua velocidade é de 10 metros por segundo
4. A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada. Calcule a derivada da questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA :
a) Somente a opção I está correta.
b) Somente a opção II está correta.
· c) Somente a opção III está correta.
d) Somente a opção IV está correta.
5. Na matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo: a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Com relação à função f(x) = 5x² + 6x - 1, assinale a alternativa CO RRE TA, que apresenta a derivada no ponto 2 : 
I) 26 II) 10 III) 36 IV) 31 
a) Somente a opção IV está correta. 
· b) Somente a opção I está correta. 
c) Somente a opção II está correta. 
d) Somente a opção III está correta. 
6. Uma maneira eficiente de encontrar a reta tangente a uma função em um determinado ponto é utilizando a derivada. Como proposto por Leibniz, ao realizar a derivada de uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular da reta tangente naquele ponto. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a reta tangente da função f(x) = x³ + 2x + 1 no ponto (-1, 0):
a) y = -x + 1.
b) y = x – 1.
· c) y = -x – 1.
d) y = x + 1.
7. A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade. O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada. Calcule a derivada da questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
· a) Somente a opção III está correta.
b) Somente a opção II está correta.
c) Somente a opção IV está correta.
d) Somente a opção I está correta.
8. A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora. Para determinar ela, podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar, ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa, que em uma de suas partes, diz que g'(y) = 1/f'(x) (a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y). Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir. O procedimento é simples: basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função (caso não seja dada), determinar a derivada da função, aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado. Senso assim, determine a derivada da função inversa f(x) = x³ - x² - 1 no ponto (-1, -3) e assinale a alternativa CORRETA:
· a) g'(4) = 1/5. 
 b) g'(4) = 1/2. 
 c) g'(4) = 1/3. 
 d) g'(4) = 1/4. 
9. As operações inversas: adição e subtração, multiplicação e divisão, potenciação e radiciação, potenciação e radiciação, exponenciação e logaritmo, já são bastante conhecidas. A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação. Assim, dada a derivada de uma função, o processo que consiste em achar a função que a originou, ou seja, achar a sua primitiva denomina-se de antiderivação. Baseado nisso, analise as opções que apresentam f(x), sendo que f’(x) = x² - 4x + 3 para todo x e f(3)=5 e assinale a alternativa CORRETIVA:
a) Apenas III.
· b) Apenas II.
c) Apenas I.
d) Apenas IV.
10. Uma das formulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia. Desenvolvida por Gottfried Leibniz, a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções. Sendo assim, considerando o uso, adequado da regra da cadeia, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) V – F – F – V 
b) F– F – V – F 
· c) F – V – F – V 
d) V – V – V – F
	PROVA ALGEBRA LINEAR E VETORIAL – AVALIAÇÃO I	
1. Um sistema de equações lineares é chamado possível ou compatível quando admite pelo menos uma solução. É chamado de determinado quando a solução for única e de indeterminado- quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações, X - Y = 2 e 2 X + WY = Z, pode- se afirmar que se W = - 2 e Z = 4. Baseado nisto, sobre este sistema, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas : 
( ) Impossível e determinado. 
( ) Impossível ou determinado. 
( ) Possível e determinado. 
( ) Possível e indeterminado. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CO RRETA: 
a) V - F - F - F. 
b) F - F - V - F. 
c) F - V - F - F. 
· d) F - F - F - V. 
As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes, desde que
preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou subtraídas, por
exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá
à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. Dadas
as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A - B, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
10. As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes, desde que
preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou subtraídas, por
exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá
à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. Dadas
as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A - B, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
As operações deadição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes, desde que
preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou subtraídas, por
exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá
à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. Dadas
as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A - B, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
10. As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes, desde que
preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou subtraídas, por
exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá
à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. Dadas
as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A - B, classifique V para as opções
verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
2. As operações de adição, subtração e multiplicação também podem ser aplicadas às matrizes, desde que preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes, desde que preenchidos certos requisitos. Para que duas ou mais matrizes possam ser somadas ou subtraídas, por exemplo, é necessário que elas sejam de mesma ordem. Cada elemento da matriz resultante corresponderá à soma ou à subtração, conforme o caso, dos elementos correspondentes das matrizes originárias. Sendo assim, dadas as matrizes a seguir, analise as respostas para a operação C = A + B, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e em seguida assinale a alternativa que apresenta a sequencia CORRETA:
a) F - V - F - F.
 b) V - F - F - F.
 c) F - F - V - F.
 d) F - F - F - V.
· a) V – F – F – F 
b) F – F – V – F 
c) F – V – F – F 
d) F – F – F – V 
3. Os sistemas lineares possuem aplicações não apenas na matemática. Muitas vezes, podemos ter diversas variáveis, sendo que estas estão ligadas a algumas restrições. Neste momento, podemos organizar um sistema que consiga determinar as soluções necessárias, respeitando as restrições iniciais dadas. Dado o sistema a seguir, analise as seguintes sentenças:
a) Somente a sentença II está correta.
b) Somente a sentença IV está correta.
· c) Somente a sentença III está correta.
d) Somente a sentença I está correta
A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de 
negócios realizados entre os três parceiros é representado em u ma matriz A, com 3 
linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i 
exportou para o país j, em bilhões de dólares. Sendo assim, sobre o país que mais 
exportou e o que mais importou no Merco, classifique V para as sentenças 
verdadeiras e F para as falsas
4. A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em u ma matriz A, com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de dólares. Sendo assim, sobre o país que mais exportou e o que mais importou no Merco, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
a) F - V - F - F. 
· b) F - F - V - F.
c) F - F - F - V. 
d) V - F - F - F. 
5. As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos cálculos sem a necessidade de operacionalizá-los. Um exemplo disso é o fato em que se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5, se multiplicarmos uma linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz passa a ser igual a 10. Visto isso, seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1, o valor de det(2A) . det(2B) é:
a) 6.
· b) 32.
c) 36.
d) 4.	
6. Uma das principais aplicações da simetria de matrizes é saber que elas são diagonalizaveis a partir da uma matriz ortogonal. Portanto, se A é uma matriz simétrica, então
a) Igual a uma matriz quadrada qualquer.
 b) Igual à matriz transposta de A.
 c) Igual à matriz A.
· d)Igual à matriz nula.
7. Uma das aplicações que envolvem o calculo de determinantes de uma matriz de ordem 3 é o calculo de volume dos vetores escritos na forma matricial. A partir deste calculo, principalmente na engenharia, podemos projetar a quantidade de material necessário na confecção de peças em geral. Nesta perspectiva, retomando o processo de cálculo, leia a questão a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
· a) det( A) = - 8
b) det( A) = 12
c) det( A) = 8
d) det( A) = - 12
8. No estudo das matrizes, o conceito de matriz transpostas é tomar as linhas da matriz original e transformá-las em colunas. No fim das contas, uma matriz Mmxn será transposta na forma Mnxm. Baseado nisto, se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e At sua transposta, analise os possíveis resultados para a construção da matriz A, de forma que A = 2 . At, e, em seguida, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) a única solução possível é a em que todos os termos de A são nulos.
( ) a única solução possível é a em que todos os termos de A são iguais.
( ) a única solução possível é a em que todos os termos de A são iguais a 1.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
a) F – V – F 
· b) V – F – F 
c) F – F – V 
d) V – V – F 
9. Sistemas lineares são úteis para todos os campos da matemática aplicada, e particular, quando se trata de modelar e resolver numericamente problemas de diversas áreas. Nas engenharias, na física, na biologia, na química e na economia, por exemplo, é muito comum na modelagem de situações por meio de sistemas lineares. Baseado nisto, assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução a seguir:
a) {3, 2} 
 b) {-2, 1 ) 
· c) {2, 3} 
 d) {1, 4}
10. Para realizar a discussão de um sistema linear, devemos verificar se o sistema é SPD (possível e determinado), SPI (possível e indeterminado) ou SI (impossível). Baseado nisto, analise o sistema exposto e assinale a alternativa CORRETA
a) Não é possível discutir o sistema.
b) O sistema é SI
· c) O sistema é SPI
d) O sistema é SPD
PROVA ALGEBRA LINEAR E VETORIAL – AVALIAÇÃO II
1. A operação entre vetores chamada de produto interno usual aplica-se, muitas vezes, à necessidade de observar se dois vetores são ortagonais ou não. A partir daí, encontramos aplicações na engenharia e na computação em geral. Com base nisso considere os vetores a seguir, calcule seu Produto Interno Usual e assinale a alternativa CORRETA:
· 
· a) -19.
b) -4.
c) 4.
d) 19.
2. Uma das aplicações mais praticas do conceito de produto vetorial é o calculo de área. Por exemplo, temos que a área do paralelogramo formado pela unificação de dois vetores é o modulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triangulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triangulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triangulo é a metade da área do paralologramo. Baseado nisto, determine a área do paralelogramo formado pelos vetores u= (2,2,1) e v=(1,1,2) e analise as opções a seguir:
I) Raiz de 3.
II) 9.
III) Raiz de 18.
IV) 6.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Somente a opção I está correta
· b) Somente a opção II está correta
c) Somente a opção IV está correta
d) Somente a opção III está correta
3. Os vetores têm aplicação em várias áreas do conhecimento tanto técnico quanto científico, como física, engenharia e economia, por exemplo. No entanto, são necessárias definições de operações e propriedades para dar respaldo a essas aplicações. Algumas das definições e propriedades tratam -se da soma de vetores e da multiplicação por escalar. Então, resolva 2u+7v, considerando u = ( - 3, 2, 1, -1) e v = ( - 4, 8, -3, 2) , e assinalea alternativa CORRETA:
b) A soma é: (- 34, 53, -19, 14)
c) A soma é: (- 7, 9, -2, 2). 
· d) A soma é: (- 34, 60, -19, 12) .
a) A soma é: (- 6, 4, 2, 0). 
4. Em Álgebra Linear, podemos identificar o conjunto das matrizes linha, que são aquelas que possuem apenas uma linha como um espaço vetorial. Elas respeitam as operações elementares para esta definição. Sendo assim, este espaço vetorial (o das matrizes linha) possui um vetor oposto. Imagine uma matriz linha M = [1 2 -4]. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta seu vetor oposto: 
a) (-4, 2, 1). 
· d) (-1, -2, 4).
c) (4, -2, -1). 
b) (1, 2, 4). 
5. Quando trabalhamos com vetores do espaço vetorial R³, pode escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Baseado nisto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 19. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2, -1, 3), (0, 2, -5), (1, -1, -2) é igual à 12. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 7. 
( ) O volume do paralelepípedo formado por (4, 1, -2), (0, 1, 1), (1, 0, -2) é igual à 5. 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) V - F - V- F. 
b) F - V - F - V. 
c) F - V - V - F. 
· d) V - F - F - V.
6. . A ortogonalidade entre dois vetores pode ser calculada. Trata-se de verificar se o ângulo formado entre dois vetores é 90º. Para isto, podemos nos conceitos de produto interno usual para auxiliar no processo. Com base nisso, para qual(is) valor(es) de k os vetores (2,1,3) e (1,7,k) são ortogonais? Classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) Para k = -3.
( ) Para nenhum valor de k.
( ) Para qualquer valor de k.
( ) Para k = 3 e k = -3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
a) F - V - F - F.
· b) V - F - F - F. 
c) F - F - V - F. 
d) F - F - F - V. 
7. Dentre os conceitos ma is importantes dos espaços vetoriais está o de Base do 
Espaço. A base de um espaço é um subespaço de vetores LI ( Linear mente 
Independentes) que geram o espaço vetorial. A respeito deste conceito, dado o 
espaço vetorial V = {( x, y, z) de R³ , tal que x = 0} , analise quais sub espaços de R³ 
abaixo podem ser bases. Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as 
falsas: 
( ) [(0,2,2 ) ; (0,4,1 )]. 
( ) [(0,2,2 ) ; (0,4,4 )]. 
( ) [(1,0,1 ) ; (- 1,1,0)]. 
 Assinale a alternativa que apresenta a sequência CO RR ETA: 
 a) V - F - V. 
 c) V - V - F. 
· b) V - F - F. 
 d) F - F - V.
8. A criação do Plano Cartesiano, por René Descartes, possibilitou o avanço de várias áreas da matemática. Uma delas foi trabalhar conceitos algébricos de maneira geométrica. Com isto, a Álgebra Vetorial transcendeu o campo abstrato para o campo prático. Numa visão concreta, qual das figuras a seguir é a representação do vetor v = (- 1,2) no plano cartesiano?
· a)Figura 2
b) Figura 4
c) Figura 3
d) Figura 1
9. Uma das utilidades do produto vetorial de vetores resulta em um outro vetor cuja norma resulta na área de um paralelogramo de lados congruentes à norma dos vetores utilizados na operação. Supondo que estes vetores pertencem a um mesmo ponto e que eles possuem v=(-1, 0, 2) e u = ( 4, 0, -1), determine aproximadamente a área do paralelogramo de limitado por estes vetores e assinale a alternativa CORRETA :
a)5.
b)7.
c) 9.
d)3.
10. Ao se falar de vetores, algumas situações e definições são importantes para o desenvolvimento do raciocínio de tópicos posteriores. Alguns deles são o de dependência linear e o de subespaço vetorial. A partir deles, desenvolvem-se toda a base de sustententação da Teoria Vetorial. Visto isso, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas e depois assinale a alternativa que apresenta a sequencia CORRETA:
a) F – V – F
b) F – F – V
c) V – V – F
· d) V – F – V