Aula 06 - Projeto Geométrico Curvas Horizontais com Transição

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ESTRADAS
Aula 06: Projeto Geométrico – Curvas Horizontais com 
Transição
Curitiba, 29 de março de 2021
Prof.ª MSc. Larissa Vieira
Exercício:
1) Considerando o traçado a seguir com curvas circulares, calcular a estaca final
do trecho.
Dados:
- R1 = 1.200,00 m
- AC1 = 46°
T1 = R1 . tg
AC1
2
= 1200 . tg
46°
2
= 509,37 m
D1 =
π . R1. AC1
180
=
π . 1200. 46
180
= 963,42 m
T1 T1
D1
PC1 = 1.080,00 – 506,37 = 570,63 m
PT1 = 570,63 + 963,42 = 1.534,05 m
PC1
PT1
Dados:
- R2 = 1.600,00 m
- AC2 = 30º
T2 = R2 . tg
AC2
2
= 1600 . tg
30°
2
= 428,72 m
D2 =
π . R2. AC2
180
=
π . 1600. 30
180
= 837,76 m
T2
D2
PC2 = PT1 + 2.141,25 – T1 – T2 = 1.534,05 + 2.141,25 – 509,37 – 428,72 = 2.737,21 m
PT2 = PC2 + D = 2.737,21 + 837,76 = 3.574,97 m
Est. Final = PT2 + 1.809,10 - T2 = 3.574,97 + 1.809,10 – 428,72 = 4.955,35 m
Est. Final = [247] + 15,35 m 
PC2
PT2
T2
T1 T1
D1
PC1
PT1
Curvas horizontais com transição
• Traçados com linhas retas concordando diretamente com curvas circulares
não são recomendados pois criam problemas nos pontos de concordância
→ descontinuidade da passagem da tangente para a circular (PC) e na
passagem da circular para a tangente (PT);
• Assim, é necessário que, tanto nos PCs quanto nos PTs, exista um trecho com
curvatura progressiva para cumprir as seguintes funções:
a) Permitir uma variação contínua
da superelevação: a criação de um
trecho de curvatura variável entre a
tangente e a curva circular permite uma
variação contínua da inclinação
transversal da pista, até atingir a
superelevação do trecho circular.
b) Criar uma variação contínua da aceleração centrípeta na passagem do
trecho reto para o trecho circular: sendo a força centrípeta Fc dada por
Em que m é a massa do veículo, V é a velocidade e R é o raio da curva, seu valor
é nulo na reta e, dependendo o valor do raio, pode aumentar consideravelmente
após PC;
O aparecimento de uma força transversal de maneira brusca causa
impacto no veículo e em seus ocupantes, trazendo desconforto e
instabilidade.
Fc = m .
V2
R
c) Gerar um traçado que possibilite ao veículo manter-se no centro da sua
faixa de rolamento: na prática, o veículo não passa do trecho reto para o trecho
circular instantaneamente, mas sim em um intervalo de tempo no qual o veículo
percorre uma trajetória de raio variável;
d) Proporcionar um trecho fluente, sem descontinuidade da curvatura e
esteticamente agradável: a descontinuidade na curvatura gera insegurança ao
motorista, que pode não sentir segurança para entrar na curva.
Tipos de curvas de transição
• Existem vários tipos de curva cujo raio varia de infinito até o valor do raio
circular, em uma extensão conveniente, que podem ser utilizadas como curvas
de transição:
y = ax³
a = constante
R . P = K
p = raio vetor
R . L = K
K = constante
Tipos de curvas de transição
• A clotóide é uma curva de equação R . L = K, em que R é o raio, L é
comprimento percorrido e K é uma constante;
• É a mais vantajosa do ponto de vista técnico pois:
I) É a curva realizada por um veículo em velocidade constante, quando o
volante é girado com velocidade angular constante;
II) O grau da curva G, que é proporcional à curvatura, varia linearmente
com o comprimento percorrido: R . L = K → G = K’ . L
Como a aceleração centrípeta varia inversamente proporcional ao raio (ac = V²/R), também
varia linearmente com o grau da curva (ac = V² . G . const) e, portanto, varia linearmente com
o comprimento percorrido.
Assim, temos a superelevação variando linearmente com o comprimento
(construtivamente vantajoso) e a superelevação e a aceleração centrípeta
variando na mesma proporção (mais confortável para usuários).
Características geométricas da espiral
Escolha da constante K da espiral:
• O valor a ser adotado para a constante K está relacionado ao comprimento
escolhido para a transição e ao raio do trecho circular;
• Sendo Ls o comprimento da curva de transição e Rc o raio do trecho circular,
temos K = Ls . Rc;
• O parâmetro K determina o comprimento de arco que será percorrido para
que a curvatura varie de zero até o valor 1/Rc, onde começa o trecho circular
→ o grau da curva varia de zero até G=1146/Rc (variação linear);
• Cada valor de K corresponde a uma determinada
curva na família das clotóides;
• Cada curva atinge o valor Rc após percorrer um
determinado comprimento Ls durante um tempo
ts → esse tempo será utilizado como um dos
critérios para estabelecer o comprimento mínimo
Parâmetros da curva
Sendo Ls o comprimento de transição e Rc o
raio do trecho circular, temos:
dL = R . dθ
dθ =
dL
R
=
dL
K/L
=
L . dL
K
θ
Integrando-se, temos: 
θ =
1
K
.
L²
2
, em que θ =
L²
2. Ls . Rc
em radianos
dX = dL . cos θ
X = න
0
L
cos θ . dL
Desenvolvendo cosθ em série e integrando, temos:
X = L 1 −
θ2
10
+
θ4
216
− …
Parâmetros da curva
θ
dY = dL . sen θ
Y = න
0
L
sen θ . dL
Desenvolvendo senθ em série e integrando,
temos:
Y = L
θ
3
−
θ3
42
+
θ5
1320
−⋯
Parâmetros da curva TS = ponto tangente - espiral
ST = ponto espiral - tangente
SC = ponto espiral – circular
CS = ponto circular – espiral
P = ponto genérico da transição
Parâmetros da curva
No ponto SC da curva, onde R assume o valor Rc e L é o comprimento da
espiral, que chamamos de Lc, temos:
θs =
Ls
2. Rc
(em radianos)
Xs = Ls 1 −
θs2
10
+
θs4
216
− …
Ys = Ls
θs
3
−
θs3
42
+
θs5
1320
−⋯
Q = Xs − Rc . sen θs
p = Ys − Rc . (1 − cos θs)
TT = Q + Rc + p . tg
AC
2
Dc = AC − 2 . θs . Rc
E =
(Rc + p)
cos
AC
2
− Rc
TL = Xs − Ys . cotg θs
TC =
Ys
sen θs
Parâmetros da curva
• O valor de TT (tangente total) localiza dos pontos TS e ST em relação ao PI;
• O valor de Q (abcissa do centro), serve para localizar o centro O’ em relação
ao TS (ou ST);
• O valor de p mede o afastamento da curva circular em relação às tangentes.
Comprimentos de transição
• Conforme visto anteriormente, um dos motivos para usar a curva de transição
é evitar o impacto causado pelo aparecimento brusco de uma força
transversal.
Comprimentos de transição
• É necessário que a variação da aceleração centrípeta não ultrapasse uma taxa
máxima, para que haja segurança e conforto → a essa taxa máxima
corresponderá um comprimento mínimo de transição
Comprimentos de transição
• São três os critérios mais utilizados para estabelecer o comprimento mínimo de
transição:
a) Critério dinâmico: a taxa máxima de variação da aceleração centrípeta por unidade
de tempo (J) é dada pela relação
Na condição mais desfavorável, quando J = Jmáx e V = Vp, tem-se:
A experiência internacional estabeleceu para J o valor máximo de 0,6 m/s²/s.
Substituindo o valor de J e transformando a velocidade para km/h, temos:
J =
ac
t
=
V2/Rc
Ls/V
=
V³
Rc . Ls
em que Ls =
V³
J . Rc
Lsmín =
Vp³
J máx. Rc
Lsmín =
0,036 . Vp³
Rc
Comprimentos de transição
b) Critério de tempo: estabelece o tempo mínimo de dois segundos para o giro do
volante e, consequentemente, para o percurso da transição.
Usando Vp em km/h e Lsmín em metros, temos Lsmín = Vp/1,8
c) Critério estético: estabelece que a diferença de greide entre a borda e o eixo não deve
ultrapassar de um certo valor, que depende da velocidade de projeto.
Valores propostos pela AASHTO para pista única com duas faixas de tráfego:
Lsmín = 2. Vp
Comprimentos de transição
• A AASHTO recomenda que o comprimento mínimo de transição seja o mesmo
utilizado para a variação da superelevação;
• A variação da inclinação relativa máxima com a velocidade de projeto irmáx = f (Vp)
pode ser representada por duas retas:
irmáx = 0,9 – 0,005 Vp para Vp ≤ 80 km/h e ir em %
irmáx = 0,71 – 0,0026 Vp para Vp > 80 km/h e ir em %
Ls . ir = e . lf → Lsmín = e . lf / irmáx
Portanto:
Lsmín = e. lf /(0,9 – 0,005 Vp) para Vp ≤ 80 km/h
Lsmín = e. lf /(0,71 – 0,0026 Vp) para Vp > 80 km/h
Para e em %, lf em m e Vp em km/h
e = tg α
ir = tg β
Comprimentos de transição
• Considerando lf = 3,6 m, obtemos a seguintetabela:
Comprimentos de transição
• A AASHTO arredondou os valores para múltiplos de 5 e substituiu o comprimento
mínimo de transição, calculado pelo critério de tempo, os valores que estavam abaixo
deste:
• Podemos adotar como comprimento mínimo de transição o maior dos três valores
encontrados e assim estarão sendo atendidos os três critérios.
Comprimentos de transição
• Além do valor mínimo estabelecido para garantir segurança e conforto, há um
limite máximo de natureza geométrica;
• Para obter o comprimento máximo, que corresponde a SC ≡ CS, basta impor
δc = 0 na equação AC = 2 θs + δc, de modo que teremos AC = 2 θs, logo:
• Sendo Ls = 2 θs . Rc, temos:
Lsmáx = AC . Rc para Lsmáx e Rc em metros e AC em radianos;
para Lsmáx e Rc em metros e AC em graus.
θs =
AC
2
𝐋𝐬𝐦á𝐱 =
𝛑 .𝐀𝐂 . 𝐑𝐜
𝟏𝟖𝟎
Comprimentos de transição
• O comprimento de transição pode ser um valor qualquer entre Lsmín e Lsmáx;
• A escolha de comprimentos de transição muito grandes geram valores
elevados de p (afastamento), afastando muito a curva circular da sua posição
primitiva;
• A experiência mostra que valores de J=0,3 m/s²/s são bastante confortáveis,
não sendo necessário o uso de valores menores;
• Sugere-se adotar, sempre que possível, Ls = 2. Lsmín calculado pelo critério
dinâmico, que corresponde a J=0,3 m/s²/s → Ls desejável
Lsmín =
0,036 . Vp³
Rc
→ Lsdes =
0,072 . Vp³
Rc
Concordância da curva de transição
• Para que seja geometricamente possível a concordância da transição com a
tangente e com a curva circular, é necessário criar um espaço, o afastamento
(p), entre a curva circular e a tangente
• Adotado um valor Ls para o comprimento de transição e conhecendo-se o
raio Rc da curva circular, fica definida a constante K = Rc . Ls, e também o
afastamento p:
Concordância da curva de transição
Há três maneiras de conseguir o afastamento (p):
a) Com a redução do raio Rc da curva para o valor (Rc – p), mantendo o mesmo
centro da curva circular → método do centro conservado;
b) Mantendo a curva circular em sua posição original e afastando as tangentes a uma
distância p → método do centro e raio conservados;
c) Afastando o centro O da curva circular para uma nova posição O’, de forma que
seja conseguido o afastamento desejado, conservando o raio e as tangentes →
método do raio conservado.
Concordância da curva de transição
• A alteração da posição das tangentes traz, como consequência, a modificação do
traçado e a alteração das curvas imediatamente anterior e posterior à curva
estudada;
• O método do raio conservado é geralmente o mais utilizado, pois não altera
o raio preestabelecido para a curva circular nem a posição das tangentes.
Estacas dos pontos notáveis da curva de transição
Conhecida a estaca do PI, temos:
Estaca do TS = estaca do PI – TT
Estaca do SC = estaca do TS + Ls
Estaca do CS = estaca do SC + Dc
Estaca do ST = estaca do CS + Ls
TT
Ls Ls
Dc
Desenho da curva
As tangentes e o raio circular (Rc) são conhecidos previamente;
Estabelecido o comprimento de transição Ls, fica determinada a constante da espiral
(K= Ls . Rc);
Calculamos, então, os parâmetros na seguinte ordem: θs, Xs, Ys, Q, p, TT.
1) Marcar o segmento TT do PI para trás, determinando o ponto TS, e para frente
determinando o ponto ST.
TT
PI
.TS .
TT
ST
Desenho da curva
2) A partir do TS, marcar os segmentos Q e Xs, fazendo o mesmo, em sentido
inverso, a partir do ST;
3) Pelos dois pontos obtidos com o segmento Q, traçamos perpendiculares às
tangentes, cujo cruzamento é o centro da circunferência O’;
4) Com o centro em O’ e o raio Rc traçamos a circunferência (a distância do centro
às tangentes será Rc + p);
Xs
PI
Rc
.TS .
Xs
ST
Q Q
O’
Desenho da curva
5) Com os pontos obtidos pelo segmento Xs, traçamos perpendiculares às tangentes
e marcamos sobre estas o segmento Ys, obtendo os pontos SC e CS, que devem ficar
sobre a circunferência;
6) Traçamos o arco entre SC e CS, e também as clotóides entre TS e SC e entre CS e
ST, concordando nos extremos e passando pelo centro do afastamento p.
Xs
PI
.TS .
Xs
ST
Ys Ys
SC CS
p
. .
Locação da curva
A locação da curva de transição pode ser feita de duas formas:
a) Com uso de coordenadas;
b) Pelas deflexões d em cada ponto.
Para facilitar a locação, é feita uma tabela; normalmente são locadas as estacas inteiras
da curva, mas para raios pequenos pode ser necessária a locação de pontos a cada 10
metros.
Locação da curva
Os valores de L, θ, X, Y e d são calculados pelas equações:
L = distância do TS (ou ST) ao ponto considerado, ao longo da curva.
θ =
L²
2 . Rc . Ls
X = L 1 −
θ2
10
+
θ4
216
− …
Y = L
θ
3
−
θ3
42
+
θ5
1320
−⋯
d = arctg
X
Y
Exemplo:
Estamos projetando uma rodovia para 100 km/h. Calcular o comprimento de
transição mínimo, o máximo e o desejável para uma curva horizontal cujo raio no
trecho circular é 600,00 m, a superelevação é 9%, o ângulo central é 60° e a largura da
faixa de tráfego é 3,60 m.
Cálculo do comprimento de transição mínimo:
a) Critério dinâmico:
b) Critério de tempo:
Lsmín =
0,036 . Vp³
Rc
=
0,036 .100³
600
= 60,00 m
Lsmín =
Vp
1,8
=
100
1,8
= 55,56 m
c) Critério estético:
100 km/h > 80 km/h
Lsmín = e. lf /(0,71 – 0,0026 Vp) = 9 . 3,60 / (0,71 – 0,0026 . 100) = 72,00 m
Adotando-se o maior entre os três critério, Lsmín = 72,00 m
Cálculo do comprimento máximo:
Comprimento desejável:
Lsdes < Lsmáx → OK!
Lsmáx =
π . AC . Rc
180
=
π . 60 . 600
180
= 𝟔𝟐𝟖, 𝟑𝟐 𝐦
Lsdes =
0,072 . Vp³
Rc
=
0,072 . 100³
600
= 𝟏𝟐𝟎, 𝟎𝟎 𝐦
Com os dados do exemplo, adotando Ls = 120,00 m, calcular os seguintes elementos
da curva: θs, Xs, Ys, Q, p e TT.
θs =
Ls
2. Rc
=
120
2. 600
= 0,1000000 rad
Xs = Ls 1 −
θs2
10
+
θs4
216
− … = 120 1 −
0,12
10
+
0,14
216
= 119,88 m
Ys = Ls
θs
3
−
θs3
42
+
θs5
1320
−⋯ = 120
0,1
3
−
0,13
42
+
0,15
1320
= 4,00 m
Q = Xs − Rc . sen θs = 119,88 − 600 . sen 0,1 = 59,98 m
p = Ys − Rc . 1 − cos θs = 4,00 − 600 . 1 − cos 0,1 = 1,00 m
TT = Q + Rc + p . tg
AC
2
= 59,98 + 600 + 1,00 . tg
60
2
= 406,97 m
Exercício:
1) Com os dados do exemplo anterior e sabendo que a estaca do PI é igual a 847 +
12,20 m, calcular as estacas do TS, do SC, do CS e do ST.