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Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 2009. 2009. Cap. Cap. 0505  – – Força e Movimento - I Força e Movimento - I
11
HALLIDAY, RESNICKHALLIDAY, RESNICK, WALKER, FUNDAMENTOS DE , WALKER, FUNDAMENTOS DE FÍSICA, 8.ED., LTC, FÍSICA, 8.ED., LTC, RIO DERIO DE
JANEIRO, 2008.JANEIRO, 2008.
FÍSICA 1FÍSICA 1
CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5  – – FORÇA E MOVIMENTO - I FORÇA E MOVIMENTO - I
37.37. Uma esfera com uma massa de 3,0 Uma esfera com uma massa de 3,0  10 10
-4-4
 kg está suspensa por uma corda. Uma brisa hori kg está suspensa por uma corda. Uma brisa horizontalzontal
constante empurra a esfera de tal constante empurra a esfera de tal forma que a corda faz um ângulo de 37forma que a corda faz um ângulo de 37oo com a vertical. com a vertical.
Determine (a) a força da brisa sobre a bola e (b) a tensão da corda.Determine (a) a força da brisa sobre a bola e (b) a tensão da corda.
((Pág. 120Pág. 120))
Solução.Solução.  
Considere o seguinte esquema da situação e o diagrama de corpo livre da esfera, ondeConsidere o seguinte esquema da situação e o diagrama de corpo livre da esfera, onde FF é a força é a força
gerada pela brisa sobre a bola,gerada pela brisa sobre a bola, FF g  g  é a força gravitacional e é a força gravitacional e TT é a tensão da corda. é a tensão da corda.
(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton à esf(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton à esfera na coordenadaera na coordenada y y  
 y  y yy
 F  F mama   
ccooss 00T T mg mg            
coscos
mg mg 
T T 
  
   (1)  (1)
E agora na coordenadaE agora na coordenada x x::
 x  x xx
 F  F mama   
sseen n 00 F  F T T              (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2), teremos:Substituindo-se (1) em (2), teremos:
sseenn 00
coscos
mg mg  F  F         
         
        44 22 33ttaann 33,,00 110 0 kkgg 99,,8 8 mm//ss ttaann 3377 22,,22115544 110 0 NN F  F mg mg                          
33
22,,22 110 0 NN F  F          
(b) Para o cálculo da tensão, utiliz(b) Para o cálculo da tensão, utilizamos (1):amos (1):
    
  
44 22
33
33,,00 110 0 kkgg 99,,8 8 mm//ss
33,,66881122 110 0 NN
coscos ccooss 3377
mg mg 
T T 
    



         
3333,,77 110 0 NNT T          
39.39. Um elevador e sua carga têm  Um elevador e sua carga têm uma massa total de 1.600 kg. Determine a teuma massa total de 1.600 kg. Determine a tensão do cabo densão do cabo de
sustentação quando o elevador, que estava descendo a 12 m/s, é levado ao repouso comsustentação quando o elevador, que estava descendo a 12 m/s, é levado ao repouso com

mmFF
 y y
 x x

FF
FF g  g 
TT
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
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Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8Halliday, Resnick, Walker - Fund.de Física 1 - 8
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 2009. 2009. Cap. Cap. 0505  – – Força e Movimento - I Força e Movimento - I
22
aceleração constante em uma distância de 42 m.aceleração constante em uma distância de 42 m.
((Pág. 120Pág. 120))
Solução.Solução.  
As forças que agem sobre o elevador durante a fAs forças que agem sobre o elevador durante a frenagem são a tensão da corda e renagem são a tensão da corda e a forçaa força
gravitacional:gravitacional:
Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador em frenagem, teremos:Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador em frenagem, teremos:
 y  y yy F  F mama   
T T mmg g mmaa     
  T T m m a a g  g       (1)  (1)
Agora só precisamos determinar a aceleraAgora só precisamos determinar a aceleração do elevador durante a frenagem. Para isso, bastação do elevador durante a frenagem. Para isso, basta
analisar esse movimento na coordenadaanalisar esse movimento na coordenada y y. Considere o seguinte esquema:. Considere o seguinte esquema:
  
22 22
11 00 11 00
22v v v v a a y yy y       
  220000 22 00v v a a hh       
  
  
2222
2200
12 m/s12 m/s
11,7,7114422 mm//ss
22 22 442 2 mm
vv
aa
hh

       
Substituindo-se o valor deSubstituindo-se o valor de aa em (1), teremos: em (1), teremos:
            22 2211..66000 0 kkgg 11,,77114422 mm//ss 99,,8 8 mm//ss 1188..442222,,8855 NNT T                
18 kN18 kNT T      
TT
mmgg
aa
 y y
 y y
 y y11 = 0 = 0
 y  y hh00 = =
aa
vv00
vv11 = 0 = 0
Elevador Elevador 
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
33
RESNICK, HALLIDARESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, Y, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 1FÍSICA 1
CAPÍTULO 5CAPÍTULO 5 – – FORÇAS E LEIS DE NEWTON FORÇAS E LEIS DE NEWTON
10.10. Um corpo com massa Um corpo com massa mm sofre a ação de duas forças sofre a ação de duas forças FF11 e e FF22, como mostra a Fig. 27. Se, como mostra a Fig. 27. Se mm = 5,2 = 5,2
kg,kg, F  F 11= 3,7 N e= 3,7 N e F  F 22= 4,3 N, ache o vetor aceleração do corpo.= 4,3 N, ache o vetor aceleração do corpo.
((Pág. 90Pág. 90))
Solução.Solução.  
Em termos vetoriais, as forçasEm termos vetoriais, as forças FF11 e e FF22 valem: valem:
  3,7 N3,7 N11F F jj   
  4,3 N4,3 N22F F ii   
De acordo com a segunda lei de Newton:De acordo com a segunda lei de Newton:
mm        1 1 22F F F F F F aa   
      33,,7 7 NN 44,,3 3 NN
(5(5,,2 kg)2 kg)mm

  1 1 22
   j j iiF F FF
aa   
      22 2200,,88226699 mm//ss 00,,7711115533 mm//ss  a a i i jj   
      22 2200,,883 3 mm//ss 00,,771 1 mm//ss  a a i i jj   
12.12. Uma certa força dá ao objeto Uma certa força dá ao objeto mm11 a aceleração 12,0 m/s a aceleração 12,0 m/s
22. A mesma força dá ao objeto. A mesma força dá ao objeto mm22 a a
aceleração 3,30 m/saceleração 3,30 m/s22. Que aceleração daria a um objeto cuja massa fosse (a) a diferença entre. Que aceleração daria a um objeto cuja massa fosse (a) a diferença entre mm11  
ee mm22 e (b) a soma de e (b) a soma de mm11 e e mm22..
((Pág. 90Pág. 90))
Solução.Solução.  
(a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada(a) De acordo com a segunda lei de Newton (na coordenada x x):):
11 11
 F  F mm aa   (1)  (1)
22 22
 F  F m am a   (2)  (2)
Igualando-se (1) e (2):Igualando-se (1) e (2):
11 11
22
22
mm aa
mm aa   (3)  (3)
 x x
 y y
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
44
Mas:Mas:
  22 11 33 F  F m m m m aa     (4)  (4)
33
22 11
 F  F 
aa
m m mm


  (5)  (5)
Substituindo-se (1) e (3) em (5):Substituindo-se (1) e (3) em (5):
33
22 11
 F  F 
aa
m m mm


  
2211 11 11 22
33
11 11 22
11 11
22
44,5,5551177 mm//ss
mm a a aa aa
aa
aa    a a aa
m m mm
aa
    

  
22
33 4,55 m/s4,55 m/saa       
(b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando-se ((b) Procedendo de maneira semelhante ao item (a), porém usando-se (mm11 + + mm22) em (4) ao invés de) em (4) ao invés de
((mm22    mm11), obtém-se:), obtém-se:
2211 22
44
11 22
22,5,5888822 mm//ss
aa aa
aa
a a aa
  

  
22
44 2,59 m/s2,59 m/saa       
33.33. Um bloco de 5,1 kg é puxado ao longo de uma superfície sem atrito por uma corda que exerce Um bloco de 5,1 kg é puxado ao longo de uma superfície sem atrito por uma corda que exerce
uma forçauma força P  P  = 12 N e faz o ângulo = 12 N e faz o ângulo  = 25 = 25
oo acima da horizontal, como mostra a  acima da horizontal, como mostra a Fig. 30. (a) QualFig. 30. (a) Qual
é a aceleração do bloco? (b) A forçaé a aceleração do bloco? (b) A força P  P  é lentamente aumentada. Qual é o valor de é lentamente aumentada. Qual é o valor de P  P  logo antes logo antes
de o bloco ser levantado da superfície? de o bloco ser levantado da superfície? (c) Qual é a aceleração do bloco no exato momento em(c) Qual é a aceleração do bloco no exato momento em
que ele é levantado e perde contato com a superfície?que ele é levantado e perde contato com a superfície?
((Pág. 92Pág. 92))
Solução.Solução.  
Sempre que houver uma força inclinada para acima que atua sobre um corpo no solo devemosSempre que houver uma força inclinada para acima que atua sobre um corpo no solo devemos
considerar a possibilidade de o corpo ser levantado do chão. Isso ocorrerá considerar a possibilidade de o corpo ser levantado do chão. Isso ocorrerá caso a componentecaso a componente
vertical dessa força seja vertical dessa força seja igual (iminência de levantar) ou maior do que o peso. Na sigual (iminência de levantar) ou maior do que o peso. Na situação inicial, aituação inicial, a
componentecomponente y y da força ( da força ( P  P  y y) vale) vale P  P  sen 25 sen 25
oo   5 N, enquanto que o  5 N, enquanto que o peso vale 5,1 kgpeso vale 5,1 kg  9,81 m/s 9,81 m/s
22   50 50
 N. Logo, a força inicial não é capaz de levantar o corpo  N. Logo, a força inicial não é capaz de levantar o corpo do chão.do chão.
(a) Cálculo da aceleração em(a) Cálculo da aceleração em x x::
 x  x xx
 F  F mmaa   
 x x P  P mama   
22cocoss
22,,11332244 mm//ss
 P  P 
aa
mm
  
     
22
2,1 m/s2,1 m/saa    
 x x
 y y
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
55
(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em y y::
00
 y y
 F  F       
''
sseenn 00 P  P mmg g          
''
111188,3,3883344 NN
sensen
mg mg 
 P  P 
  
     
''
0,12 kN0,12 kN P  P       
(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em(b) No instante em que o bloco perde o contato com o solo, temos em x x::
 x  x xx
 F  F mmaa   
'' ''
 x x
 P  P mama   
''
'' 22cocoss
2211,0,0337766 mm//ss
 P  P 
aa
mm
  
     
'' 22
21 m/s21 m/saa       
34.34. Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando-se uma corda que suporta Como um objeto de 450 N poderia ser baixado de um teto utilizando-se uma corda que suporta
somente 390 N sem se romper?somente 390 N sem se romper?
((Pág. 92Pág. 92))
Solução.Solução.  
O objeto de pesoO objeto de peso PP deve ser abaixado com uma aceleração deve ser abaixado com uma aceleração aa tal que a tensão na corda não tal que a tensão na corda não
ultrapasse seu valor limite (ultrapasse seu valor limite (TT MAX  MAX ). Considere o seguinte esquema da situação:). Considere o seguinte esquema da situação:
Aplicando-se a segunda lei de Newton à coordenadaAplicando-se a segunda lei de Newton à coordenada y y do sistema: do sistema:
 y  y yy
 F  F mmaa   
 MA MAX X 
 P  P T T P P aa
 g  g 
     
22
11 11,,33008 8 mm//ss MAX  MAX 
T T 
a a g g 
 P  P 
  
        
  
  
2211,,31 m/s31 m/saa      
Esta é a aceleração míEsta é a aceleração mínima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a nima com que o corpo deve ser abaixado (sinal negativo) para que a cordacorda
não se rompa.não se rompa.
43.43. Um caixote de 110 kg é empurrado com velocidade constante para cima de uma r Um caixote de 110 kg é empurrado com velocidade constante para cima de uma rampa semampa sem
atrito, inclinada de 34atrito, inclinada de 34oo, como na Fig. 34. (a) Qual a força horizontal, como na Fig. 34. (a) Qual a força horizontal F  F  requerida? (b) Qual a requerida? (b) Qual a
força exercida pela rampa sobre o caixote?força exercida pela rampa sobre o caixote?
PP
TTmaxmax
aa
 x x
 y y
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
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((Pág. 93Pág. 93))
Solução.Solução.  
Considere o seguinte esquema da situação:Considere o seguinte esquema da situação:
mm
NN
PP
FF
 x x
 y y

  
Forças emForças em x x::
00

   yy
 F  F    
00θθccosos     mg mg  N  N    
θθcocoss
mg mg 
 N  N      (1)  (1)
Forças emForças em y y::
00    xx F  F    
00θθsesenn     N  N  F  F    
θθsesenn N  N  F  F      (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
θθtantanmg mg  F  F      
772277,8,866221 1 NN F  F      
22
77,,33 110 0 NN F  F        
(b) De (1):(b) De (1):
θθcocoss
mg mg 
 N  N      
 N N62976297,,303011..11     N  N    
 N N101033,,11
33 N  N    
44.44. Um novo jato da Marinha, de 22 toneladas métricas, requer para  Um novo jato da Marinha, de 22 toneladas métricas, requer para decolar uma velocidade emdecolar uma velocidade em
relação ao ar de 90 m/s. Seu próprio motor desenvolve um empuxo de 110.000 N. O jato tem derelação ao ar de 90 m/s. Seu próprio motor desenvolve um empuxo de 110.000 N. O jato tem de
alçar vôo de um porta-aviões com pista de 100 m. Que força deve sealçar vôo de um porta-aviões com pista de 100 m. Que força deve ser exercida pela catapulta dor exercida pela catapulta do
 porta-aviões? Suponha que tanto a catapulta como o  porta-aviões? Suponha que tanto a catapulta como o motor do avião exerçam uma forçamotor do avião exerçam uma forçaconstante ao longo de toda a pista de decolagem.constante ao longo de toda a pista de decolagem.
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES_______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
77
((Pág. 93Pág. 93))
Solução.Solução.  
 Neste problema, será desprezado o atrito do avião com o ar e com a pista. Co Neste problema, será desprezado o atrito do avião com o ar e com a pista. Considere o seguintensidere o seguinte
esquema do movimento do avião:esquema do movimento do avião:
Cálculo da aceleração do avião (movimento no eixoCálculo da aceleração do avião (movimento no eixo x x):):
))((22 00
22
00
22  x x x xaavvvv  x x x x       
ad ad vv 2200
22    
d d 
vv
aa
22
22
   (1)  (1)
A força exercida pela catapulta sA força exercida pela catapulta será calculada por meio da segunda lei de Newton. Considere oerá calculada por meio da segunda lei de Newton. Considere o
seguinte esquema de forças, ondeseguinte esquema de forças, onde PP é o peso do avião, é o peso do avião, NN é a força normal,é a força normal, FF M  M  é a força exercida é a força exercida
 pelo motor do avião e pelo motor do avião e FFC C  é a força exercida pela catapulta: é a força exercida pela catapulta:
 x x x x    mama F  F       
C C M M  F  F F F mmaa     (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
22
22
C C M M 
mvmv
 F  F F F 
d d 
     
A massa do avião foi dada em toneladas métricas, que pertence ao sistema inglês de unidades. OA massa do avião foi dada em toneladas métricas, que pertence ao sistema inglês de unidades. O
fator de conversão é fator de conversão é 1 ton = 907,2 kg. 1 ton = 907,2 kg. Logo,Logo, mm = 19.958,4 kg, com apenas dois algarismos = 19.958,4 kg, com apenas dois algarismos
significativos. Logo:significativos. Logo:
 x  x ==00 00    xx
aa
 x =  x = d d 
NN
PP
FF M  M 
 x x
 y y
FFC C 
oo
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
88
    
  
     
22
1199.9.95588,,4 4 kkgg 990 0 mm/s/s
111100..00000 0 NN 669988..331155,2 N,2 N
22 11000 0 mm
 F  F          
55
77,,00 110 0 NN F  F        
46.46. Antigamente, cavalos puxavam barcaças por canais, como mostra a  Antigamente, cavalos puxavam barcaças por canais, como mostra a Fig. 37. Suponha que oFig. 37. Suponha que o
cavalo exerça uma força de 7.900 N num ângulo de 18cavalo exerça uma força de 7.900 N num ângulo de 18oo com a direção de movimento da com a direção de movimento da
 barcaça, que se desloca ao longo do eixo d barcaça, que se desloca ao longo do eixo do canal. A massa da barcaça é 9.500 kg e suao canal. A massa da barcaça é 9.500 kg e sua
aceleração é 0,12 m/saceleração é 0,12 m/s22. Calcule a força exercida pela água sobre a barcaça.. Calcule a força exercida pela água sobre a barcaça.
((Pág. 93Pág. 93))
Solução.Solução.  
Este problema pode ser facilmente resolvido através de cálculo vetorial. Considere o seguinteEste problema pode ser facilmente resolvido através de cálculo vetorial. Considere o seguinte
esquema da situação.esquema da situação.
A força exercida pelo cavalo (A força exercida pelo cavalo (FF) e a aceleração da barcaça () e a aceleração da barcaça (aa) são definidos por:) são definidos por:
 j jiiFF   sesennccosos                F F  F  F        (1)  (1)
iiaa   aa   (2)  (2)
Aplicação da Segunda Lei de Newton:Aplicação da Segunda Lei de Newton:
aaFF    mm   
aaEEPPFFFF    mmaa       
ondeonde PP é o peso do barco, é o peso do barco, EE é o empuxo da  é o empuxo da água, sendo queágua, sendo que PP + + EE = 0 e = 0 e FFaa é a força exercida pela é a força exercida pela
água na barcaça.água na barcaça.
FFaaFF     mmaa   (3)  (3)
Substituindo-se (1) e (2) em (3):Substituindo-se (1) e (2) em (3):
))sesennccosos(())((    jjiiiiFF            F F  F  F aamm
aa       
 j jiiFF   sesenn))ccosos((            F F  F  F mama
aa       (4)  (4)
Substituindo-se os valores numéricos em (4):Substituindo-se os valores numéricos em (4):
 j jiiFF   ))1818sen(sen()) N N909000..77(()])]1818cos(cos()) N N909000..77(())mm/s/s1212,,00)()(kgkg505000..99[([( oooo22 aa   
 j jiiFF   )) N N23422342,,444411..22(()) N N34643464,,373733..66((        aa   
O módulo da força exercida pela água vale:O módulo da força exercida pela água vale:
 x x
 y y
FF

aa
mm
  
EEPP
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
99
 N N89348934,,68246824    aa F  F    
 N N10106,86,8
33aa F  F    
49.49. Um balão de pesquisas de massa total Um balão de pesquisas de massa total M  M  desce verticalmente com aceleração desce verticalmente com aceleração aa para baixo (veja para baixo (veja
Fig. 39). Quanto de lastro deve ser atirado para fora da Fig. 39). Quanto de lastro deve ser atirado para fora da gôndola para dar ao balão a mesmagôndola para dar ao balão a mesma
aceleraçãoaceleração a para cimaa para cima, supondo que não varie a força de flutuação para ci, supondo que não varie a força de flutuação para cima exercida pelo arma exercida pelo ar
sobre o balão?sobre o balão?
((Pág. 93Pág. 93))
Solução.Solução.  
Balão acelerado para baixo:Balão acelerado para baixo:
EE
PP
11
 x x
 y y    M M 
  
 y y y y
   mama F  F       
 M Maa P  P  E  E      11   
))((    aa g  g  M  M  E  E        (1)  (1)
Balão acelerado para cima:Balão acelerado para cima:
EE
PP
22
aa
 x x
 y y  M M--
 y y y y
   mama F  F       
aamm M  M  P  P  E  E  ))((
22
      
aamm M  M  g  g mm M  M  E  E  ))(())((       
))(())((    aa g  g mmaa g  g  M  M  E  E        
 E  E aa g  g  M  M aa g  g mm     ))(())((   (2)  (2)
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1010
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
))(())(())((    aa g  g  M  M aa g  g  M  M aa g  g mm       
aa g  g 
 Ma Ma
mm


22
  
51.51. Um bloco de massa Um bloco de massa mm desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um desliza para baixo em um plano inclinado sem atrito que forma um
ânguloângulo    com o piso de um elevador. Ache a acel com o piso de um elevador. Ache a aceleração do bloco relativa ao plano nos seguinteseração do blocorelativa ao plano nos seguintes
casos. (a) O elevador desce com velocidade constantecasos. (a) O elevador desce com velocidade constante vv. (b) O elevador sobe com velocidade. (b) O elevador sobe com velocidade
constanteconstante vv. (c) O elevador desce com aceleração. (c) O elevador desce com aceleração aa. (d) O elevador desce com desaceleração. (d) O elevador desce com desaceleração aa..
(e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c(e) O cabo do elevador se rompe. (f) No item (c) acima, qual é a força ex) acima, qual é a força exercida sobre o blocoercida sobre o bloco
 pelo plano inclinado? pelo plano inclinado?
((Pág. 93Pág. 93))
Solução.Solução.  
(a) Estando o elevador com velocidade constante, o comportamento do bloco em relação à rampa (a) Estando o elevador com velocidade constante, o comportamento do bloco em relação à rampa éé
idêntico ao que seria caso o elevador estivesse em repouso.idêntico ao que seria caso o elevador estivesse em repouso.
Segunda lei de Newton emSegunda lei de Newton em x x, onde, onde aa B B é a aceleração do bloco: é a aceleração do bloco:
 x  x xx
 F  F mmaa   
sesenn
 B Bmmg g mmaa       
sesenn B Ba a g g          
(b) Semelhante ao item (a):(b) Semelhante ao item (a):
sesenn
 B B
a a g g          
(c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente(c) Como o elevador acelera para baixo, existe a componente aa x x que se soma a que se soma a g  g  x x para acelerar o para acelerar o
 bloco rampa abaixo. bloco rampa abaixo.
 x  x xx
 F  F mmaa   
sseenn sseenn
 B Bmmg g mma a mmaa         
  sesenn B Ba a g g aa           
mm
NN
PP
 x x
 y y

vv
  

mm
mm
NN
PP
 x x
 y y

aa

mm    aa
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1111
Embora tenham sido somadas duas acelerações emEmbora tenham sido somadas duas acelerações em x x para o bloco ( para o bloco (aa x x e e g  g  x x), a aceleração do bloco), a aceleração do bloco
em relação à rampa é meem relação à rampa é menor. No caso limite do elevador descer com acelernor. No caso limite do elevador descer com aceleração igual aação igual a g  g  (queda (queda
livre), o bloco também cairia em queda livre. Isso faria com que a aceleração do bloco em relação àlivre), o bloco também cairia em queda livre. Isso faria com que a aceleração do bloco em relação à
rampa seja zero (veja o item (e) abaixo).rampa seja zero (veja o item (e) abaixo).
(d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo (d) Semelhante ao item (c), diferindo apenas pelo sinal desinal de aa::
  sesenn B Ba a g g aa           
(e) Semelhante ao item (c), sendo(e) Semelhante ao item (c), sendo aa = = g  g ::
00 B Baa       
(f)(f)
 y  y yy
 F  F mmaa   
ccooss ccooss N  N mg mg mama             
  cocoss N  N m m g g aa           
54.54. Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a um tronco de 15 kg Um macaco de 11 kg está subindo por uma corda sem massa, amarrada a um tronco de 15 kg
que passa por um galho (sem atrito) da árvore. (a) que passa por um galho (sem atrito) da árvore. (a) Qual a aceleração mínima com que o maQual a aceleração mínima com que o macacocaco
deve subir pela corda de modo a levantar do chão o tronco de 15 kg? Se, depois de o trdeve subir pela corda de modo a levantar do chão o tronco de 15 kg? Se, depois de o troco teroco ter
sido levantado do chão, o macaco parar de subir e somente se sido levantado do chão, o macaco parar de subir e somente se segurar à corda, quais serão segurar à corda, quais serão agoraagora
(b) a aceleração do macaco e (c) a tração na corda?(b) a aceleração do macaco e (c) a tração na corda?
((Pág. 94Pág. 94))
Solução.Solução.  
(a) Considere o seguinte esquema:(a) Considere o seguinte esquema:
 y y
mmTT
TT
PPTT
 y y
aa
TTrroonnccoo MMaaccaaccoo
TT
  
PPMM
mmMM
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1212
A condição mínima para que o tronco seja levantado do solo é que sua força normal e suaA condição mínima para que o tronco seja levantado do solo é que sua força normal e sua
aceleração sejam nulas. As aceleração sejam nulas. As forças que agem no tronco nessas condições são a tforças que agem no tronco nessas condições são a tensão na corda (ensão na corda (T T ) e) e
o peso do tronco (o peso do tronco ( P  P T T ):):
00
 y  y T T  F  F T T P P        
T T 
T T m m g g    (1)  (1)
Forças no macaco:Forças no macaco:
 y  y yy
 F  F mmaa   
 M  M M M 
T P T P m m aa     
 M  M 
 M  M 
T T m m g g 
aa
mm

   (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
22
11 33,,55667722 mm//ssT T M M T T 
 M  M M M 
m m g m g m g g mm
a a g g 
m m mm
  
        
  
  
22
33,,6 m/s6 m/saa    
(b) Agora a situação é a seguinte:(b) Agora a situação é a seguinte:
Forças no tronco:Forças no tronco:
'' ''
(( ))
T T T T 
T P m aT P m a       
'' ''
T T T T T T m m g g m m aa     (3)  (3)
Forças no macaco:Forças no macaco:
'' ''
 M  M M M 
T T P P m m aa     
'' ''
 M  M M M 
T T m m g g m m aa     (4)  (4)
Substituindo-se (3) em (4):Substituindo-se (3) em (4):
'' ''
T T T M T M M  M  m m g g m m a a m m g g m m aa       
'' 22
11,5,5009922 mm//ssT T M M 
T T M M 
m m mm
a a g g 
m m mm

  

  
'' 22
1,5 m/s1,5 m/saa       
(c) De (3):(c) De (3):
''
112244,5,51111 NNT T       
''
0,12 kN0,12 kNT T       
mmTT
T’T’
PPTT
 y y
a’ a’ 
TTrroonnccoo MMaaccaaccoo
T’T’
PP
MM
mm
MM
-a’ -a’ 
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1313
55.55. Três blocos são ligados como mostra a Fig. 40, sobre uma mesa horizontal sem atrito e puxados Três blocos são ligados como mostra a Fig. 40, sobre uma mesa horizontal sem atrito e puxados
 para a direita com uma força para a direita com uma força T T 33 = 6,5 N. Se = 6,5 N. Se mm11 = 1,2 kg, = 1,2 kg, mm22 = 2,4 kg e = 2,4 kg e mm33 = 3,1 kg, calcule (a) a = 3,1 kg, calcule (a) a
aceleração do sistema e (b) as traçõesaceleração do sistema e (b) as trações T T 11 e e T T 22. Faça uma analogia com corpos que são puxados. Faça uma analogia com corpos que são puxados
em fila, tais como uma locomotiva ao puxar um trem de vagões engatados.em fila, tais como uma locomotiva ao puxar um trem de vagões engatados.
((Pág. 94Pág. 94))Solução.Solução.  
Diagrama de forças dos blocos:Diagrama de forças dos blocos:
(a) Forças de todo o sistema em(a) Forças de todo o sistema em x x::
 x  x xx F  F MMaa   
  11 11 22 22 33 11 22 33T T T T T T T T T T m m m m m m aa               
2233
11 22 33
00,9,97700114499 mm//ss
T T 
aa
m m m m mm
  
  
  
22
0,97 0,97 mm/s/saa    
(b) Forças no corpo 3:(b) Forças no corpo 3:
33 22 33
T T T T mm aa     
22 33 33
33,,44992255 NNT T T mT m aa       
22
3,5 N3,5 NT T       
Forças no corpo 1:Forças no corpo 1:
11 11
11,,11664411 NNT T mm aa     
11
11,,2 N2 NT T       
57.57. A Fig. 42 mostra três caixotes  A Fig. 42 mostra três caixotes com massacom massa mm11 = 45,2 kg, = 45,2 kg, mm22 = 22,8 kg e = 22,8 kg e mm33 = 34,3 kg apoiados = 34,3 kg apoiados
sobre uma superfície horizontal sem atrito. (a) Qual a força horizontalsobre uma superfície horizontal sem atrito. (a) Qual a força horizontal  F  F  necessária para necessária para
empurrar os caixotes para a direita, empurrar os caixotes para a direita, como se fossem um só, com a aceleracomo se fossem um só, com a aceleração de 1,32 m/sção de 1,32 m/s22? (b)? (b)
Ache a força exercida, porAche a força exercida, por mm22 em em mm33; (c) por; (c) por mm11 em em mm22..
mm
11
mm
22
NN
22
PP22
TT22-T-T11
NN11
PP
11
TT11
 x x
 y y
aa
mm
33
NN
33
PP33
TT33-T-T22
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1414
((Pág. 94Pág. 94))
Solução.Solução.  
(a) Neste caso, pode-se imaginar o sistema como sendo constituído por uma massa compacta(a) Neste caso, pode-se imaginar o sistema como sendo constituído por uma massa compacta mm11 + +
mm22 + + mm33::
m m mm11 22++ ++mm33
NN
PP
FF
 x x
 y y
aa
  
 x x x x
   mama F  F       
aammmmmm F  F  ))(( 332211       
 N N030366,,131355 F  F    
 N N131355 F  F    
(b) Forças sobre(b) Forças sobre mm33::
mm
33
NN
33
PP
33
FF
2233
  y  y
aa
  
 x x x x    mama F  F       
aamm F  F  332323      
 N N272766,,45452323
  
 F  F    
 N N33,,4545 F  F    
(c) Forças sobre(c) Forças sobre mm22::
mm
22
NN
22
FF
1122
FF
3322
  
  y  y
aa
PP
22   
 x x x x
   mama F  F       
aamm F  F  F  F  2232321212       
3232221212    F F aamm F  F        
 N N373722,,75752323    F  F    
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1515
 N N44,,7575 F  F    
59.59. Um bloco de massa Um bloco de massa mm11 = 3,70 kg está sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo = 3,70 kg está sobre um plano inclinado sem atrito de ângulo  = 28 = 28
oo e é e é
ligado por uma corda que passa em uma polia pequena e sem atrito a um segundo bloco deligado por uma corda que passa em uma polia pequena e sem atrito a um segundo bloco de
massamassa mm22 = 1,86 kg, que pende verticalmente (veja a Fig. 44). (a) Qual é  = 1,86 kg, que pende verticalmente (veja a Fig. 44). (a) Qual é a aceleração de cadaa aceleração de cada
 bloco? (b) Ache a tração na corda. bloco? (b) Ache a tração na corda.
((Pág. 94Pág. 94))
Solução.Solução.  
mm11
NN11
PP11
TT11
 x x
 y y


aa11
  
111111
aaFF    mm   
1111111111    aaPPTTNN    mm   
))θθsesennθθccosos((θθsesennθθccososθθccososθθsesenn
11111111
   jjii j j j jii j jii    aaaamm g  g mmT T T T  N  N  N  N        
 j jii j jii   θθsesennθθccosos))θθsesennθθccosos((θ)θ)sesennθθccosos(( 1111111111    aammaamm g  g mmT T  N  N  N  N T T         (1)(1)
A equação (1) somente é verdadeira se e somente se:A equação (1) somente é verdadeira se e somente se:
θθccososθθsesennθθccosos 1111    aamm N  N T T        (2)  (2)
ee
θθsesennθθsesennθθccosos 111111    aamm g  g mmT T  N  N        (3)  (3)
De (2):De (2):
θ)θ)tantan((
11
θθccosos
θθsesennθθccosos
11
1111
11  N  N T T 
mmmm
 N  N T T 
aa    

   (4)  (4)
De (3):De (3):
θθccosos
θθtantan))((
  θθccosos
θθsesennθθsesenn 11
11
1111
11
 g  g mm
T T aamm
 g  g mmT T aamm
 N  N     

   (5)  (5)
Substituindo-se (5) em (4) e simplificando:Substituindo-se (5) em (4) e simplificando:
θθsensen
11
 g  g 
mm
T T 
aa       (6)  (6)
Bloco 2:Bloco 2:
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
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aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
1616
mm
22
TT
22
PP
22
 x x
 y y
aa
22   
222222 aaFF    mm

   
22222222    aaPPTT    mm   
Como as forças que agem no bloco 2 e seu movimento ocorrem apenas na coordenadaComo as forças que agem no bloco 2 e seu movimento ocorrem apenas na coordenada y y::
aamm g  g mmT T 
2222
      
))((
22
   aa g  g mmT T        (7)  (7)
Substituindo-se (7) em (6) e simplificando:Substituindo-se (7) em (6) e simplificando:
2211
1122
   θ)θ)sesenn((
mmmm
mmmm g  g 
aa


   
22
mm/s/s216940216940,,00    aa   
22
mm/s/s2222,,00aa   
(b) De (6):(b) De (6):
θ)θ)sesenn((
11    g g aammT T        
 N N84308430,,1717    T T    
 N N1818T T    
60.60. Uma pessoa de 77 kg salta de pára-quedas e adquire aceleração para baixo de 2,5 m/s Uma pessoa de 77 kg salta de pára-quedas e adquire aceleração para baixo de 2,5 m/s 22 logo logo
depois da abertura do pára-quedas. A massa do pára-quedas é 5,2 kg. (a) Ache depois da abertura do pára-quedas. A massa do pára-quedas é 5,2 kg. (a) Ache a força para cimaa força para cima
exercida pelo ar sobre o pára-quedas. (b) Calcule a força para baixo exercida pela pessoa noexercida pelo ar sobre o pára-quedas. (b) Calcule a força para baixo exercida pela pessoa no
 pára-quedas. pára-quedas.
((Pág. 94Pág. 94))
Solução.Solução.  
Considere o seguinte esquema da situação:Considere o seguinte esquema da situação:
(a) Considere o seguinte esquema da situação:(a) Considere o seguinte esquema da situação:
FF Ar  Ar 
PP H  H 
 x x
 y y
aa
PP PQ PQ
  
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aa
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1717
SejaSeja mm a massa do pára-quedas e amassa do pára-quedas e M  M  a massa do homem. Para descobrir a  a massa do homem. Para descobrir a força que o ar exerce sobreforça que o ar exerce sobre
o pára-quedas (o pára-quedas (FF Ar  Ar ) vamos considerar o homem e o pára-quedas c) vamos considerar o homem e o pára-quedas como um só conjunto de massa (omo um só conjunto de massa (mm  
++ M  M ):):
 y  y yy
 F  F mmaa   
       Ar  Ar  F  F m m M M g g m m M M aa           
     600,882 N600,882 N Ar  Ar  F  F m m M M g g aa         
0,60 kN0,60 kN Ar  Ar  F  F        
(b) Para descobrir a força que o pára(b) Para descobrir a força que o pára-quedas exerce sobre o homem, vamos aplicar a se-quedas exerce sobre o homem, vamos aplicar a segunda lei degunda lei de
 Newton apenas ao homem, de acord Newton apenas ao homem, de acordo com o seguinte esquema de forças:o com o seguinte esquema de forças:
 y  y yy
 F  F mmaa   
 PQ PQ
 F  F Mg Mg MaMa       
   562,87 N562,87 N PQ PQ F  F M M g g aa       
0,56 kN0,56 kN PQ PQ F  F        
61.61. Um elevador consiste em uma cabine ( Um elevador consiste em uma cabine ( A A), um contrapeso (), um contrapeso ( B B), um motor (), um motor (C C ) e o cabo e polias) e o cabo e polias
mostrados na Fig. 45. A massa da cabine é 1.000 kg e a massa do contrapeso é mostrados na Fig. 45. A massa da cabine é 1.000 kg e a massa do contrapeso é 1.400 kg.1.400 kg.
Despreze o atrito, as massas Despreze o atrito, as massas do cabo e das polias. O elevador acelera do cabo e das polias. O elevador acelera para cima a 2,30 m/spara cima a 2,30 m/s22 e o e o
contrapeso acelera para baixo à mesma taxa. Quais são os valores das trações (a)contrapeso acelera para baixo à mesma taxa. Quais são os valores das trações (a) T T 11 e (b) e (b) T T 22??
Qual a força exercida no cabo pelo motor?Qual a força exercida no cabo pelo motor?
((Pág. 94Pág. 94))
Solução.Solução.  
PP H  H 
FF PQ PQ
aa
 x x
 y y
  
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aa
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1818
Considere o seguinte esquema da situação:Considere o seguinte esquema da situação:
(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador:(a) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao elevador:
 y  y yy F  F mmaa   
11    E E E E E E T T P P m m aa     
11    E E E E T T m m g g m m aa     
  11 12.110 N12.110 N E  E T T m m a a g  g         
11 12,1 kN12,1 kNT T 
   
  
(b) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao contrapeso:(b) Aplicando-se a segunda lei de Newton ao contrapeso:
 y  y yy
 F  F mmaa   
22   C  CP P CCP P CCP  P  
T T P P m m aa       
22    CCP P CCP  P  T T m m g g m m aa       
  22 10.514 N10.514 NCP CP T T m m g g aa       
22
1010,,5 kN5 kNT T       
(c) A força resultante que o cabo exerce sobre o motor ((c) A força resultante que o cabo exerce sobre o motor (FF MC  MC ) sobre o motor vale:) sobre o motor vale:
'' ''
11 22
1.596 N1.596 N MC  MC xx F  F F F T T T T          
O sinal positivo mostra que o cabo força o motor para a dirO sinal positivo mostra que o cabo força o motor para a direita. Como o problema pede a força noeita. Como o problema pede a força nocabo pelo motor, basta aplicar a terceircabo pelo motor, basta aplicar a terceira lei de Newton, uma vez que essas a lei de Newton, uma vez que essas forças formam um parforças formam um par
ação-reação. Logo, a força que o motor exerce sobre o cabo (ação-reação. Logo, a força que o motor exerce sobre o cabo (FFCM CM ) vale:) vale:
11,,60 kN60 kNCCM M MMC  C   F  F F F          
O sinal negativo mostra que o motor força o cabo para a O sinal negativo mostra que o motor força o cabo para a esquerda de acordo com o referencialesquerda de acordo com o referencial
adotado. Isso faz com que o elevador suba.adotado. Isso faz com que o elevador suba.
62.62. Um helicóptero de 15.000 kg está levantando um carro de 4.500 kg com aceleração para cima Um helicóptero de 15.000 kg está levantando um carro de 4.500 kg com aceleração para cima
de 1,4 m/sde 1,4 m/s22. Calcule (a) a força vertical que o ar exerce nas pás das hélices do helicóptero e (b) a. Calcule (a) a força vertical que o ar exerce nas pás das hélices do helicóptero e (b) a
tração na parte superior do cabo de sustentação; veja a Fig. 46.tração na parte superior do cabo de sustentação; veja a Fig. 46.
 x x
 y y
  
PP E  E PPCP CP 
TT11TT22
TT11’’TT22’’
Motor Motor 
aa E  E aaCP CP 
  
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aa
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1919
((Pág. 95Pág. 95))
Solução.Solução.  
(a) Forças nas pás das hélices:(a) Forças nas pás das hélices:
 y  y yy
 F  F mmaa   
(( )) (( ))
 Ar  Ar H H C C H H C C yy F  F P P P P m m m m aa         
(( )) (( )) (( ))(( )) 221188..55995 5 NN Ar  Ar H H C C H H C C H H C C  F  F m m m m g g m m m m a a m m m m a a g g                  
55
22,,22 110 0 NN
 Ar  Ar  F  F          
(b) Forças no ponto de junção dos cabos:(b) Forças no ponto de junção dos cabos:
 y  y yy F  F mmaa   
C C C C 
T T P P m m aa     
(( )) 5500..44445 5 NNC C C C C C T T m m a a m m g g m a m a g  g             
44
55,,00 110 0 NNT T        
FFar ar 
PP
HélicesHélices
 y yaa
TT
PPCC
JunçãoJunção
dos cabosdos cabos
 y yaa
  
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aa
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2020
64.64. Duas partículas, cada uma de massa Duas partículas, cada uma de massa mm, estão conectadas por uma corda le, estão conectadas por uma corda leve de comprimentove de comprimento
22 L L, como mostra a Fig. 48. Uma força, como mostra a Fig. 48. Uma força FF constante é aplicada no ponto médio da corda ( constante é aplicada no ponto médio da corda ( x x = 0) e = 0) e
faz um ângulo reto com a posição inicial desta. Mostre que a aceleração de cada massa nafaz um ângulo reto com a posição inicial desta. Mostre que a aceleração de cada massa na
direção perpendicular adireção perpendicular a FF é dada por é dada por
  
1/1/22
22 2222
 x x
 F  F xx
aa
mm  L  L xx


  
na qualna qual x x é a distância per é a distância perpendicular de uma das partículas à linha de açpendicular de uma das partículas à linha de ação deão de FF. Discuta a. Discuta a
situação quandosituação quando x x = = L L..
((Pág. 95Pág. 95))
Solução.Solução.  
Considereo seguinte esquema da situação:Considere o seguinte esquema da situação:
SejaSeja aa o módulo da aceleração de cada massa  o módulo da aceleração de cada massa ((aa11 e e aa22, no esquema)., no esquema).
cocoss
 x x
 x x
a a a a aa
 L L
       (1)  (1)
Aceleração do pontoAceleração do ponto OO em em y y, que está sujeito apenas à força, que está sujeito apenas à força FF::
00
22 F  F mmaa     (2)  (2)
O esquema mostra que:O esquema mostra que:
  
1/1/ 22
22
1/1/22
22
00 22
sseenn 11 ccooss 11
 y y
 x x
a a a a a a a a aa
 L L
    
     
                  
  
  
FF
22 L L
m m mm
 x x
 y y
FF
aa00
aa11    aa22
 L L
 x x

aa x x
aa y y
OO
OO
  
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aa
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2121
1/1/22
22 22
00 22
 L  L xx
a a aa
 L L
  
        
  
  (3)  (3)
Substituindo-se (3) em (2):Substituindo-se (3) em (2):
1/1/ 22
22 22
22
22
   L L xx
 F  F mama
 L L
  
      
  
  
  
1/1/ 22
22 2222
 F  F LL
aa
mm  L  L xx


  (4)  (4)
Substituindo-se (4) em (1):Substituindo-se (4) em (1):
  
1/1/ 22
22 2222
 x x
 F  F xx
aa
mm  L  L xx


  
65.65. Um bloco de massa Um bloco de massa M  M  é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda é puxado ao longo de uma superfície horizontal sem atrito por uma corda
de massade massa mm, como mostra a Fig. 49. Uma força horizontal, como mostra a Fig. 49. Uma força horizontal PP é aplicada a uma das extremidades é aplicada a uma das extremidades
da corda. (a) Mostre que a cordada corda. (a) Mostre que a corda temtem de se curvar, mesmo que seja de uma  de se curvar, mesmo que seja de uma quantidadequantidade
imperceptível. Então, supondo que o encurvamento seja desprezível, ache (b) a aceleração daimperceptível. Então, supondo que o encurvamento seja desprezível, ache (b) a aceleração da
corda e do bloco, (c) a força que a corda excorda e do bloco, (c) a força que a corda exerce no bloco, e (d) a tração no ponto médio daerce no bloco, e (d) a tração no ponto médio da
corda.corda.
((Pág. 95Pág. 95))
Solução.Solução.  
(a) Considere um elemento da corda cuja massa (a) Considere um elemento da corda cuja massa éé mm e, da mesma forma que o conjunto e, da mesma forma que o conjunto M  M  + +mm,,
 possui aceleração possui aceleração aa..
mmgg
TT
d d 
TT
ee
 x x
 y y

aa
  
Como o elemento de massaComo o elemento de massa mm tem aceleração apenas no eixo tem aceleração apenas no eixo x x::
00    yy F  F    
00sesennsesenn        mg mg T T T T  eed d            
eed d     T T T T 
mg mg 


  sensen   (1)  (1)
Para a corda ficar esticada, é preciso quePara a corda ficar esticada, é preciso que    = 0, ou seja que sen = 0, ou seja que sen    = 0. De acordo (1), isso implic = 0. De acordo (1), isso implicaa
emem mm = 0 ou T = 0 ou Tdd + T + Tee = = . Como nenhumas dessas alternativas é fisicamente possível, conclui-se. Como nenhumas dessas alternativas é fisicamente possível, conclui-se
queque      0. 0.
  
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aa
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2222
(b) Supondo que(b) Supondo que    = 0 e analisando o conjunto = 0 e analisando o conjunto M  M  + + mm::
 x x x x
mama F  F       
aamm M  M  P  P  ))((       
mm M  M 
 P  P 
aa

   (2)  (2)
(c)(c)
  
 M   M  
   FF
ccbb
 y y
aa
NN
PP   
 x x x x
mama F  F       
 M Maa F  F cbcb      (3)  (3)
Substituindo-se (2) em (3):Substituindo-se (2) em (3):
 P  P 
mm M  M 
 M  M 
 F  F cbcb

   
(d)(d)
 M    M   
TT
mm
aa
mm//22
  
 x x x x
mama F  F       
aa
mm
 M  M T T mm    
  
  

  
  

22
  (4)  (4)
Substituindo-se (2) em (4):Substituindo-se (2) em (4):
mm M  M 
 P  P mm
 M  M T T mm


  
  

  
  

22
  
))((22
))22((
mm M  M 
 P  P  M  M mm
T T mm


   
67.67. O homem na Fig. 51 pesa 800 N; a plataforma e a polia  O homem na Fig. 51 pesa 800 N; a plataforma e a polia sem atrito têm peso total sem atrito têm peso total de 190 N.de 190 N.
Ignore o peso da corda. Com que força o homem tem de puxar a corda de forma a sIgnore o peso da corda. Com que força o homem tem de puxar a corda de forma a se levantare levantar
 junto com a plataforma a 0,37 m/s junto com a plataforma a 0,37 m/s22??
  
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aa
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2323
((Pág. 95Pág. 95))
Solução.Solução.  
Forças no homem:Forças no homem:
 y y y y
 F  F mama   
''    H H 
 H  H 
 P  P 
 N  N T T P P aa
 g  g 
       
T’ T’  = = T T ::
11
 H  H 
aa
 N  N T T P P 
 g  g 
  
      
  
  (1)  (1)
Forças na plataforma:Forças na plataforma:
 y y y y
 F  F mama   
''
22    P P 
 P  P 
 P  P 
T T N N P P aa
 g  g 
       
 N’  N’  = = N  N ::
22 11
 P  P 
aa
T T N N P P 
 g  g 
  
      
  
  (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
22 11 11 H  H P P 
a a aa
T T T T P P P  P   g  g g g 
      
        
               
T’T’
PPHH
NN
aa
 y y
 y y
T T TT
PP
  
PP    N’N’
aa
  
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Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
2424
   11 11..002277,,33339944 NN H  H P P 
aa
T T P P P P 
 g  g 
  
        
  
  
11,,0 kN0 kNT T      
68.68. Uma cunha em forma de um triângulo retângulo de massa Uma cunha em forma de um triângulo retângulo de massa M  M  e ângulo e ângulo    suporta um pequeno suporta um pequeno
 bloco de massa bloco de massa mm e está em  e está em repouso numa mesa horizontal, como mostra a Fig. 52. (a) Querepouso numa mesa horizontal, como mostra a Fig. 52. (a) Que
aceleração horizontalaceleração horizontal aa deve ter deve ter M  M  em relação à mesa, de forma a manter em relação à mesa,de forma a manter mm estacionário em estacionário em
relação à cunha supondo-se os contatos sem atrito? relação à cunha supondo-se os contatos sem atrito? (b) Que força horizontal(b) Que força horizontal FF deve ser aplicada deve ser aplicada
ao sistema para atingir este resultado, supondo-se o topo da mesa sem atrito? (c) Suponha queao sistema para atingir este resultado, supondo-se o topo da mesa sem atrito? (c) Suponha que
nenhuma força seja fornecida anenhuma força seja fornecida a M  M  e ambas as superfícies sejam sem atrito. Descreva o e ambas as superfícies sejam sem atrito. Descreva o
movimento resultante.movimento resultante.
((Pág. 95Pág. 95))
Solução.Solução.  
(a) A aceleração(a) A aceleração aa de de M  M  deve ser tal que a aceleração de deve ser tal que a aceleração de mm também seja também seja aa (horizontal). Diagrama de (horizontal). Diagrama de
forças emforças em mm::
Forças emForças em y y::
ccooss 00
mm y y
 F  F N N mg mg          
cocoss
mm
mg mg  N  N 
  
   (1)  (1)
Forças emForças em x x::
 x x x x
 F  F mmaa   
sesenn
mm N  N mama       (2)  (2)
Substituindo-se (1) em (2):Substituindo-se (1) em (2):
sesenn
cocoss
mg mg 
mama  
  
   
tantana a g g          (3)  (3)
(b) Forças em(b) Forças em x x no sistema cunha-bloco: no sistema cunha-bloco:
 x x x x F  F mmaa   
mm
PPmm
NNmm
 x x
 y y

aa
  
Problemas Problemas Resolvidos Resolvidos de de Física Física Prof. Prof. Anderson Anderson Coser Coser GaudioGaudio  – – Depto. Física Depto. Física  – – UFES UFES  
 _______________ _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4Resnick, Halliday, Krane - Física 1 - 4
aa
  Ed. Ed. - - LTC LTC - - 1996. 1996. Cap. Cap. 55  – – Força e Leis de Newton Força e Leis de Newton
2525
   F  F m m M M aa     (4)  (4)
Substituindo-se (3) em (4):Substituindo-se (3) em (4):
   tatann F  F m m M M g g            
As componentes horizontais das forças normais da cunha sobre o bloco (As componentes horizontais das forças normais da cunha sobre o bloco ( N  N mm) e do bloco sobre a) e do bloco sobre a
cunha não precisam ser computados pois formam um par ação-reação e cancelam-se mutuamente.cunha não precisam ser computados pois formam um par ação-reação e cancelam-se mutuamente.
(c) A cunha irá se mover para a (c) A cunha irá se mover para a esquerda com aceleração constante. O bloco irá esquerda com aceleração constante. O bloco irá descer peladescer pela
superfície inclinada da cunha com aceleraçãosuperfície inclinada da cunha com aceleração g  g  sen sen    em relação à cunha, porém com aceleração em relação à cunha, porém com aceleração
menor e constante em relação à mesa. As forças que aceleram o bloco em relação à mesa são o seumenor e constante em relação à mesa. As forças que aceleram o bloco em relação à mesa são o seu
 peso e a normal da cunha. O peso d peso e a normal da cunha. O peso do bloco não varia nessas circunstâncias. Porém, quando a cuno bloco não varia nessas circunstâncias. Porém, quando a cunhaha
acelera para a esquerda, a acelera para a esquerda, a normal que esta gera no bloco fica menor, o que diminui a normal que esta gera no bloco fica menor, o que diminui a aceleração doaceleração do
 bloco em relação à mesa quando comparada à situação em que a cunh bloco em relação à mesa quando comparada à situação em que a cunha permanece imóvel.a permanece imóvel.