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MATEMÁTICA NA HISTÓRIA 
 
Capítulo IV 
 
Resolução de Equações Algébricas 
Introdução 
 
Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos para as equações do 1º 
ao 4º grau e nas maiores ou iguais ao grau 5. A Álgebra é considerada peça fundamental na 
Matemática moderna, contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As 
inúmeras aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao 
desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitectura, 
Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre outros. 
A primeira referencia as equações na História de Matemática consta do papiro de Rhind, um dos 
documentos egípcios mais antigos que tratam de matemática, escrito há mais ou menos 4000 
anos. Como os egípcios, nessa altura, não utilizavam a notação algébrica, os métodos de solução 
de uma equação eram complexos e cansativos. Mais tarde, passaram a resolver equações através 
de Geometria. Um método de que se tem registo também na antiga Grécia. 
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, realizando várias 
descobertas importantes para a Matemática, mas na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de 
Alexandria que contribuiu de forma satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos 
para a solução de equações. 
Mas foram os árabes que, cultivando a Matemática dos gregos, promoveram um acentuado 
progresso na resolução de equações. 
As equações ganharam importância a partir do momento em que passaram a ser escritas com 
símbolos matemáticos e letras. O primeiro a fazer isso foi o francês François Viète, no final do 
século XVI. Por esse motivo é chamado “pai da Álgebra”. 
Viète também foi o primeiro a estudar as propriedades das equações através de expressões gerais 
como 0bax . Graças a Viète o objecto de estudo da Matemática deixou de estar virado 
somente a problemas numéricos sobre preços de produtos, idade das pessoas ou medidas dos 
lados das figuras, e passou a englobar também as próprias expressões algébricas. 
A partir desse momento, as equações começaram a ser interpretadas como as entendemos 
actualmente: equação, o idioma da álgebra. 
2 
 
1. Resolução de equações algébricas do 1º grau. Método egípcio. 
O povo egípcio não fazia distinção entre os problemas meramente aritméticos e os que se podiam 
resolver por equações lineares da forma cbax  ou cbxax  . Para todos bastava seguir os 
processos aritméticos conhecidos. 
Na generalidade, estes problemas resolvem-se utilizando o método que hoje conhecemos como 
método da posição falsa ou método de regula falsi. Este método consiste em pressupor um valor 
para o aha (chamava-se aha à quantidade desconhecida e que se pretendia descobrir, aha é a 
nossa incógnita) e efectuar as operações da equação. A menos que se tenha um golpe de sorte 
não se acertará no resultado certo à primeira tentativa. No entanto, não é necessário fazer mais 
tentativas porque, uma vez efectuadas as operações, basta comparar o resultado obtido como que 
se deveria obter e, com o uso de proporções, encontra-se o valor correcto. 
Um dos problemas traduzidos do papiro de Rhind diz o seguinte: “Uma quantidade e o seu 
sétimo fazem 19” cuja equação é: 197  xx . Primeiramente, assume-se um valor conveniente 
para x, de modo a eliminar o denominador da fracção. Neste caso, fazemos 
7x e, resolvendo, temos 19777  
1917  
Ora 7 + 1 = 8 mas devia dar 19 
Estes três números 7, 8 e 19 eram obtidos por Ahmes e constituem 
de certa forma a solução da equação. 
Usando o nosso método actual, verificamos que os três números aparecem na solução, vejamos: 
19
7
1
7  xx 
1977  xx 
1978 x 
8
197 
x → eis a solução. 
Com este método, também conhecido como método de adivinhar e ajustar, Ahmes corrigia com 
o valor obtido, que é a solução da equação. 
 
 
 
3 
 
Método Geométrico: (Teorema das áreas e Teorema de Thales). 
Por volta de ± 400 a.C., surgiu um outro método de resolução de equações do 1 grau. Por 
exemplo, na resolução da equação 0203 x tem-se: 
203 x 
543 x → Geometricamente 4×5 é área de um rectângulo. Devem 
existir dois rectângulos diferentes mas com áreas iguais. Então, 
procuremos a largura ou o comprimento (3x) do outro rectângulo: 
 D 5 C 3 E 
 r 
 
 4 20 
 
 
 A B 
 
 
 
 x 20 x ← solução da equação 
 203 x 
 
 
 s 
Este método é conhecido como método pitagórico baseado em 
áreas. 
 
Outro método consiste na aplicação do teorema de Thales (± 680 a.C.): 
Tendo: 
 s 
 
 
 b r 
 a d 
 A c u 
 t 
 
 
tr // e Atr  
d
c
b
a

 
 
 
 
4 
 
Assim, a equação 0203 x pode ser resolvida da seguinte maneira: 
0203 x 
203 x 
543 x , Donde temos 
x
5
4
3
 ( 0x ). 
O que segue geometricamente que: 
 
 r 
 4 C 
 A 3 B 
 5 D 
 x 
 t E s 
 u 
Este é o método geométrico grego baseado no teorema de Thales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
2. Resolução de equações algébricas do 2º grau. Métodos gregos. 
Os gregos (± 400 a.C.) resolviam equações do segundo grau, com recurso ao teorema de 
Pitágoras. Por exemplo, para resolver a equação 2562  xx faziam: 
2562  xx 
925962  xx 
222 35)3( x Pelo teorema de Pitágoras, estamos perante um 
triângulo rectangular de catetos 3 e 5 e hipotenusa )3( x 
 
 
 )3( x 
 3 x ← solução positiva (distância) 
 
 5 
 
 
 
E se tivesse como hipotenusa )3( x , adicionava-se 3 nele alongando-o, isto é: 
2562  xx 
925962  xx 
222 35)3( x 
Em seguida, a execução geométrica, cuja solução era um segmento: 
 
 
 
 3 x 
 3 
 
 5 
 
6 
 
Outro método consistia na aplicação do teorema das alturas (método de Archytas de Tarentum). 
Vejamos o exemplo que se segue: 
0242 x 
242 x 
642 x . Geometricamente: 
 C 
 
 
 x 
 
 A 4 D 6 B 
Pelo teorema das alturas, vem que: 
DBADCD 
2
 
Logo, xCD  é a solução da equação. 
 
Um outro método grego consistia ainda na regra do completamento de quadrado, tal como o 
exemplo abaixo ilustra: 
xx 12162  
016122  xx 
361636122  xx 
222 64)6( x Tinha-se então um 
triangulo rectangular de hipotenusa 6 e 
catetos 4 e (x – 6). 
 
 6 
 x – 6 
 
 x 
 4 
 
 6 
Em geral, os gregos davam uma interpretação geométrica da equação de 2º grau, trabalhando com 
segmentos e áreas em vez de números. 
 
Métodos babilónicos 
Há registos de que na Babilónia antiga (± 2000 a.C.) terão sido desenvolvidos métodos (não 
gerais) de resoluçãode equações. Os babilónicos, nesse caso, eram os primeiros a resolver 
equações quadráticas. Porém, não tiveram nenhuma noção de equação, eles desenvolveram uma 
aproximação algorítmica para resolver problemas que hoje chamamos de equação quadrática, 
entretanto todos estes problemas tiveram respostas que eram números positivos. 
 
 
7 
 
Os babilónicos obtinham soluções positivas de equações do tipo: 
0,2  AAX 
00,2  BeAABXX
BXAX 2 
ABXX 2 
Al-Kowarizmi e a fórmula resolvente 
O novo sistema de numeração foi posteriormente utilizado pelo maior árabe da cultura científico-
matemática, Mohammed Ben Musa Al-Khowarizmi. A palavra algarismo deriva do seu nome. 
Al-Khowarizmi escreveu uma obra, na primeira metade do século IX, que veio a ser um 
instrumento eficaz na introdução na nova numeração na Europa. O título desta obra é Ilm al-Jabr 
Wa'l Muqabalah, que significa “restauração por transposição de termos de um lado da equação para o 
outro” que é a forma pela qual são resolvidas hoje em dia as equações do 1º grau. Neste 
livro aparecem pela primeira vez regras para resolver equações. São apontadas soluções simples 
e directas para a resolução de equações do primeiro e segundo grau. 
Abreviando, os matemáticos de então designavam-no somente por al-Jabr, donde provém o nome 
Álgebra. 
Portanto, Al-Khowarizmi foi o primeiro autor islâmico que escreveu sobre a solução de 
problemas por “al-jabr e al-muqabala”. Por jabr, entende-se a operação de adicionar um número ou 
expressão algébrica a ambos os membros de uma equação, para eliminar termos negativos. 
Também se diz jabr a operação de multiplicar ambos os membros de uma equação por um 
mesmo número, para eliminar fracções. Por muqabala entende-se a operação de subtrair números 
ou expressões algébricas a ambos os membros de uma equação a fim de mudar um termo de um 
membro para o outro. 
Al-Khowarizmi usou dois métodos gerais para resolver equações quadráticas da forma 
qpxx 2 e foi ele quem deduziu a fórmula resolvente, mais conhecida como fórmula de 
Bhaskara. 
 
 
 
 
 
8 
 
3. Resolução de equações algébricas do 3º grau 
 
Método babilónico 
As equações cúbicas surgiram naturalmente, quando o homem procurava resolver problemas que 
enfrentava no seu dia-a-dia. As equações cúbicas estão relacionadas com problemas de cálculo do 
volume. Os antigos babilónicos, por exemplo, usavam uma tabela do formato do exemplo abaixo: 
n 2n 3n )1(2 nn )1(2 nn 
1 1 1 2 0 
2 4 8 12 4 
3 9 27 36 18 
… 
Seja, por exemplo, a equação 
4
3
112 23  xx cuja resolução nos moldes babilónicos era: 
4
323 112  xx 
4
32 1)112( xx (como eliminar o 12?): 
Seja 
12
12
y
xyx  
4
3
1)1(
12
2






y
y
252)1(2  yy 
Consultando na tabela, obtemos 6y , donde 
2
1
x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Método grego, (método de Menaechmus) 
Na Grécia antiga, havia um método curioso de resolução de equações do terceiro grau. 
Tomemos como exemplo a equação 23 x : 
23 x 
22  xx 
Seja yx 2 então 
x
yyxxx
2
222  
2xy  e 
x
y
2
 é uma das soluções( 1x ). 
 
 
Método praticado por menaechmos. 
 
Contribuição de Omar Al-Khayyan 
Omar Al-Khayyan (1048 – 1131) resolvia geometricamente equações do terceiro grau. O 
princípio era: “é sempre possível transformar uma equação do 3
o
 grau em curvas de 2
a
 ordem e 
determinar a solução.” 
Vejamos o seguinte exemplo: 63  xx 
63  xx → Multiplicando ambos os membros por 
0x obtemos 
xxx 624  → Seja 2xy  (parábola), então 24 yx  
xxy 622  → Trata-se de uma circunferência 
(determine o seu centro e raio!) 
 y 
 
 2x 
 
 
 
 xxy 622  
 
 0 1x 
 
Na Europa, mais concretamente na Itália, alguns matemáticos desenvolveram métodos para a 
resolução de equações do 3
o
 e do 4
o
 graus para obter soluções gerais. Destacam-se cientistas 
nesta área, como Lodovico Ferrari, Luca Pacioli, Scipione del Ferro, Tartaglia e outros. Mais 
tarde demonstrou-se que não existe solução geral de equações do 5
o
 grau em diante, senão para 
casos particulares. 
 
-2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
5
y
x
10 
 
4. Método geral de resolução de equações algébricas. 
A formulação da regra geral para a resolução da equação qpxx 3 é, então dada do seguinte 
modo: torna-se o cubo da terça parte do número de lados, isto é, um terço do coeficiente de x; 
soma-se-lhe o quadrado de metade da constante da equação, e toma-se a raiz quadrada do total. 
Faz-se isto duas vezes; a uma das duas soma-se metade do número que já se quadrou e à outra 
subtrai-se metade do mesmo. Tem-se o que Cardano chama um binómio e o seu apótema, 
terminologia usada por Euclides no livro X dos “Elementos”. Então, subtrai-se a raiz cúbica 
do apótema da raiz cúbica do binómio, obtendo-se o lado pretendido. 
Observe-se que, os números 3a e 3b procurados são as raízes da equação 0
3
3
2 






p
qxx , 
isto é são 
2742
32 pqq
 e 
2742
32 pqq
 . Deste raciocínio algébrico também se obtém a 
solução geral das equações do quarto grau: 
 
A solução das equações do 3º e 4º graus 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Exercícios e Problemas de Reflexão. 
1. Investigue os métodos de resolução de equações do 1o grau inventados pelos diferentes povos 
ao longo dos tempos. Qual dos métodos é o mais antigo? 
 
2. Utilizando o antigo método egípcio, resolva as seguintes equações lineares: 
a) 162  xx 
 
b) 154  yy 
 
c) 215  xx 
 
3. Utilizando o método pitagórico, resolva as seguintes equações lineares (uinidade:1cm): 
a) 154  x 
 
b) 353  x 
 
c) 28
2
3 
x
x 
 
4. Aplicando o teorema de Thales, resolva as seguintes equações lineares (uinidade:1cm): 
a) 357 x 
 
b) x 434 
 
c) 425  x 
 
5. Utilizando o método de Archytas de Tarento, resolva as seguintes equações (uinidade:1cm): 
a) 63  xx 
 
b) xx  64 
 
c) 152 x 
 
6. Analise se é possível ou não utilizar o método de Archytas para construir segmentos de 
comprimento igual 14 , 15 e 19 respectivamente. 
 
7. Fale da contribuição de Al-Khowarizmi no desenvolvimento da Álgebra e explique como ele 
demonstra a fórmula geral resolvente para as equações do segundo grau. 
 
8. Utilizando o antigo método babilónico, determine uma raiz de: 
a) 
9
108
)16(2 xx
 
b) 
8
281
)14(3 2 xx 
9. Utilizando o método de Monaichmos resolva a equação 43 x . 
 
10. Utilizando o método de Omar Al-Khayyam, resolva a equação 1893  xx . 
 
11. O matemático italiano Scipione del Ferro descobriu uma fórmula resolvente para equações 
do tipo nmxx 3 , onde m e n são números reais positivos. Indique os outros 12 tipos que 
G. Cardano considerou. 
 
12. Deduza a fórmula resolvente para equações cúbicas do tipo 03  qpxx , onde p e q são 
números reais quaisquer. 
 
13. Transforme as equações seguintes em equações do tipo 03  qpxx : 
a) 0334128 23  xxx 
 
b) 02961532727 23  xxx 
 
17. Transforme a equação 0228 234  yyyy numa equação do tipo 
024  rqypyy . 
12 
 
 
18. Resolva a equação algébrica 0364  xx pelo método de Lodovico Ferrari. 
 
19. Enuncie o teorema fundamental da Álgebra. 
a) Quem descobriu e demonstrou pela primeira vez este teorema? Onde e quando isso 
aconteceu? 
 
20. Investigue sobre as contribuições dos seguintes matemáticos N. Abel, P. Ruffini, E. Galois, 
K. Gauss, G. Cardano, J. Lagrange, L Ferrari (e outros) no desenvolvimento da Álgebra, em 
particular das equações algébricas.