Análise Estrutural: Métodos e Aplicações

Prévia do material em texto

Profª Lucia Helena G. Cardoso
Profª Lucia Helena G. Cardoso
Objetivo da Disciplina
A disciplina concentra-se principalmente na
determinação tanto de reações de apoio, quanto da
distribuição de esforços em estruturas hiperestáticas
submetidas a carregamentos externos e recalque de
apoios, contemplando também a determinação de
deformações em estruturas isostáticas.
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Conteúdo da Disciplina
PTV - Deformações em estruturas isostáticas
Estruturas hiperestáticas: Método da Forças
Estruturas hiperestáticas: Método dos deslocamentos
Estruturas hiperestáticas: Processo de Cross
Estruturas hiperestáticas: Método Matricial
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Avaliação
AV1 - 26/04/2021 
AV2 - 14/06/2021 
AV3 - 28/06/2021 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Bibliografia
MARTHA, L. F. Análise de estruturas - Conceitos e Métodos Básicos. 1ed. 
São Paulo: Ed. Campus Editora, 2010.
SORIANO, H. L.; LIMA, S. S. Análise de Estruturas: Métodos das forças e 
método dos deslocamentos, 2ed, Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2006.
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: Volume 2, Deformações 
em estruturas: método das forças. 7ed. Porto Alegre: Globo, 1984
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural: Volume 3, Método das 
deformações e Processo de Cross. 6. ed. Porto Alegre: Globo, 1984
HIBBELER, R. C. Análise das Estruturas. 8 ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
Disponível na Biblioteca Virtual. Para acessar clique aqui
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/3819
Bibliografia – Disponível na Biblioteca Virtual
EDMUNDO, Douglas Andrini ... [et al.]. Teoria das estruturas. Porto Alegre: 
Sagah, 2018. Disponível na Biblioteca Virtual. Para acessar clique aqui
MCCORMAC, J. C. Análise Estrutural: Usando métodos clássicos e
métodos matriciais. 4. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e
Científicos, 2009. Disponível na Biblioteca Virtual. Para acessar clique
aqui
KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5 ed. São Paulo: Cengage
Learning, 2015. Disponível na Biblioteca Virtual. Para acessar clique 
aqui
LEET, Kenneth M; UANG. Chia-Ming; GILBERT, Anne M. Fundamentos da 
análise estrutural. 3. ed. Porto Alegre: AMGH, 2010. Disponível na 
Biblioteca Virtual. Para acessar clique aqui
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595023550/cfi/0!/4/2@100:0.00
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2496-7/cfi/0!/4/2@100:0.00
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/978-85-216-2496-7/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522124985/cfi/0!/4/2@100:0.00
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788563308344/cfi/0!/4/2@100:0.00
Bibliografia - Disponível na Biblioteca Virtual
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
ALMEIDA, M. C. F. Estruturas Isostáticas. 1 ed. São Paulo: Oficina 
de Textos, 2009. Disponível na Biblioteca Virtual. Para acessar 
clique aqui
Indicação para revisão de Teoria das Estruturas I
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acervo/Publicacao/162905
Software para Análise Estrutural 
https://www.ftool.com.br/Ftool/
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
https://www.ftool.com.br/Ftool/
Profª Lucia Helena G. Cardoso
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Relembrando o trabalho mecânico
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
O trabalho realizado por uma força sobre um objeto é igual ao
produto do módulo da força pelo deslocamento sofrido pelo
objeto na direção da força.
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
A palavra “virtual” significa que as forças e os
deslocamentos envolvidos, podem não corresponder
um ao outro, somente é necessário que as forças
(esforços) e os deslocamentos sejam estaticamente e
cinematicamente admissíveis, ou seja, satisfaça as
condições de contorno.
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Definições
• Trabalho Virtual (wv) – Produto de um esforço real F por um
deslocamento virtual ഥ𝜹
𝝎𝒗 = F. ഥ𝜹 Princípio dos deslocamentos virtuais 
Ou produto de um esforço virtual ഥ𝑷 por um deslocamento real d
𝝎′𝒗 = ഥ𝑷.d Princípio dos esforços virtuais 
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Definições
• Deslocamento Virtual – Deslocamento linear e/ou angular devido a
qualquer ação que NÃO seja a atuante no sistema real e deve ser
infinitesimal.
• Esforço Virtual – Força e/ou momento que NÃO seja o que está
provocando o deslocamento linear e/ou angular real na estrutura
analisada.
Determinar reações em estruturas isostáticas
Determinar forças e/ou momentos para o equilíbrio
Calcular esforço em uma barra em treliça
Calcular esforços internos em estruturas isostáticas
Determinar deslocamentos em corpos deformáveis
Determinar relações de dependência entre reações 
de apoios para estruturas hiperestáticas
1
2
3
4
5
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Aplicações do PTV
6
Profª Lucia Helena G. Cardoso
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
PTV Aplicado à Corpos Rígidos
“Para o equilíbrio de um ponto ou sistema de pontos
materiais, a soma dos trabalhos virtuais externos em
qualquer deslocamento virtual deve ser nulo.”
෍𝝎𝒗 = 𝟎
• O PTV aplicado à estrutura isostática em equilíbrio, resolve o
problema estático a partir do geométrico, surgindo como uma forma
alternativa de escrever a equação de equilíbrio.
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
Princípio dos Deslocamentos Virtuais
• Para corpos rígidos é necessário aplicar um deslocamento virtual
que só pode ser feito em sistema móveis. Assim o apoio
correspondente à incógnita da reação deve ser retirado e substituído
pelo esforço correspondente
• Para deslocamentos infinitesimais, temos: tg θ = sen θ = θ (rad) e
cos θ = 1
Retirar o apoio correspondente à reação a ser 
calculada e substituir pela incógnita para o equilíbrio da 
estrutura
Aplicar um deslocamento virtual infinitesimal compatível 
com as ligações, em cada ponto onde houver esforço 
aplicado
Calcular o trabalho virtual de todos os esforços 
externos, igualando a zero
1
2
3
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Roteiro de aplicação do PTV para o cálculo de reações
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Exemplo
1) Calcule a reação no apoio móvel aplicando PTV para corpos rígidos
Retirar o apoio correspondente à reação a ser calculada e substituir 
pela incógnita para o equilíbrio da estruturaI
Resolvendo
)θ
δ
δ1
𝑉𝐵
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Aplicar um deslocamento virtual
infinitesimal compatível com as
ligações, em cada ponto onde
houver esforço aplicado
II
)θ
δ
δ1
𝑉𝐵
Resolvendo
Geometricamente:
mas tg 𝜃 ≅ 𝜃 =
𝛿1
1
tg 𝜃 ≅ 𝜃 =
𝛿
2
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿1 = 𝜃 =
𝛿
2
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
onde:
δ – deslocamento virtual infinitesimal 
arbitrário da incógnita 𝑉𝐵
δ1 – deslocamento virtual no ponto de 
concentração da força
θ – rotação da viga
෍𝝎𝒗 = 𝟎𝝎𝒗 = 𝑭.
ഥ𝜹
Convenção de sinais do PTV: 
Calcular o trabalho virtual de todos os esforços externos, igualando a zero
Resolvendo
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
III
+
Esforço no 
mesmo sentido 
do deslocamento
-
Esforço no 
sentido oposto 
ao deslocamento
Substituindo:
𝑽𝑩 = 25 kN
Equação do PTV:
-𝑉𝐵. 𝛿 + 50. 𝛿1 = 0
Mas 𝜃 =
𝛿
2e 𝛿1= 𝜃= 
𝛿
2
Resolvendo
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so )θ
δ
δ1
𝑉𝐵 -𝑉𝐵. 𝛿 + 50.
𝛿
2
= 0
Como δ aparece em todos os termos e pode ser eliminado, não 
influencia no resultado, logo podemos adotá-lo valendo 1 
(deslocamento unitário)
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Exemplo
2) Determine a reação em A aplicando o princípio dos deslocamentos virtuais
Carregamento:
FR = b.h = 10.1 = 10 tf em x = 5 m
Resolvendo
θ(
δ=1
δ1
𝑉𝐴
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
δ2
Resolvendo
θ(
1
δ1
𝑉𝐴
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
δ2
Geometricamente:
mas tg 𝜃 ≅ 𝜃 =
𝛿1
6
tg 𝜃 ≅ 𝜃 =
1
10
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿1 = 6𝜃 =
6
10
e ainda tg 𝜃 ≅ 𝜃 =
𝛿2
5
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿2 = 5𝜃 =
5
10
Aplicando PTV: ෍𝝎𝒗 = 𝟎𝝎𝒗 = 𝑭. ഥ𝜹
Equação do PTV: -𝑉𝐴. 1 + 2𝛿1 + 10. 𝛿2 = 0
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
θ(
1
δ1
𝑉𝐴
δ2
Substituindo:
𝑽𝑨 =6,2 tf
Equação do PTV:
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
-𝑉𝐴. 1 + 2𝛿1 + 10. 𝛿2 = 0 mas 𝛿1 =
6
10
e 𝛿2=
5
10
-𝑉𝐴. 1 + 2.
6
10
+ 10.
5
10
= 0
-𝑉𝐴. 1 +
12
10
+
50
10
= 0
𝑉𝐴 =
62
10
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Exemplo
3) Determine a reação em B usando PTV
Carregamento: FR1 = b.h = 4.1 = 4 tf em x = 2 m
FR2 = b.h = 6.1 = 6 tf em x = 7 m
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Resolvendo
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Resolvendo
θ1(
1δ3
𝑉𝐵
δ1
δ2 δ
)θ2
B
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Resolvendo
θ1(
1δ3
𝑉𝐵
δ1
δ2 δ
)θ2
B
Geometricamente:
mas tg 𝜃1 ≅ 𝜃1 =
𝛿1
3
tg 𝜃1 ≅ 𝜃1 =
1
4
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿1 = 3𝜃1 =
3
4
e ainda tg 𝜃1 ≅ 𝜃1 =
δ
6
𝑙𝑜𝑔𝑜: δ = 6𝜃1 =
6
4
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
Resolvendo
θ1(
1δ3
𝑉𝐵
δ1
δ2 δ
)θ2
B
Geometricamente:
tg 𝜃2 ≅ 𝜃2 =
δ
4
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝜃2 =
6
4
4
=
6
16
=
3
8
tg 𝜃2 ≅ 𝜃2 =
𝛿2
3
mas δ =
6
4
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿2 = 3𝜃2 =
9
8
e ainda tg 𝜃2 ≅ 𝜃2 =
𝛿3
2
𝑙𝑜𝑔𝑜: 𝛿3 = 2𝜃2 =
6
8
Aplicando PTV: ෍𝝎𝒗 = 𝟎𝝎𝒗 = 𝑭. ഥ𝜹
Equação do PTV: 
(6. 𝛿1)− (𝑉𝐵. 1) + (2. 𝛿2) + (4. 𝛿3) = 0
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
θ1(
1δ3
𝑉𝐵
δ1
δ2 δ
)θ2
B
Substituindo:
𝑽𝑩 = 9,75 tf
Equação do PTV:
Princípio dos Trabalhos Virtuais (PTV)
P
ro
fª
L
u
cia
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
(6. 𝛿1)− (𝑉𝐵. 1) + (2. 𝛿2) + (4. 𝛿3) = 0
mas 𝛿1 =
3
4
; 𝛿2 =
9
8
e 𝛿3=
6
8
6.
3
4
− 𝑉𝐵 + 2.
9
8
+ 4.
6
8
= 0
18
4
− 𝑉𝐵 +
18
8
+
24
8
= 0
𝑉𝐵 =
18
4
+
42
8
=
36+42
8
= 
78
8
Profª Lucia Helena G. Cardoso
Corpos
Deformáveis
P
ro
fª
L
u
ci
a
 H
e
le
n
a
 G
. C
a
rd
o
so
FIM