1621894275366_Aula 9 - Medidas de posição (1)

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Curso: Turma Livre Data: 24/05/2020 
Disciplina: Métodos Quantitativos 
Professor: Roger Müller Saraiva de Sousa 
Aula: Medidas de posição. 
 
Medidas de posição 
O estudo que fizemos sobre distribuições de frequência, até agora, permite-nos 
descrever, de modo geral, os grupos dos valores que uma variável pode assumir. 
Dessa forma, podemos localizar a maior concentração de valores de uma dada 
distribuição, isto é, se ela se localiza no início, no meio ou no final, ou, ainda, se há 
uma distribuição por igual. 
Para ressaltar, porém, as tendências características de cada distribuição, 
isoladamente, ou em confronto com outras, necessitamos introduzir conceitos que se 
expressem através de números, que nos permitam traduzir essas tendências. Esses 
conceitos são denominados elementos típicos da distribuição e são as: 
o Medidas de posição; 
o Medidas de variabilidade ou dispersão; 
o Medidas de assimetria; 
o Medidas de curtose. 
Dentre os elementos típicos, destacamos, neste momento, as medidas de 
posição, estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à 
posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas). 
As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência 
central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, 
em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência 
central, destacamos: 
o Média aritmética (�̅�); 
o Mediana (Md); 
o Moda (Mo). 
As outras medidas de posição são as separatrizes, que englobam: 
o A própria mediana; 
o Os quartis (Q); 
o Os percentis (P). 
 
 
➢ Média aritmética (�̅�) 
Em um conjunto de dados, podemos definir vários tipos de médias. No entanto, 
em nossos estudos iremos nos limitar à mais importante: a média aritmética. 
Média aritmética é o quociente da divisão da soma dos valores da variável 
pelo número deles. A média é utilizada quando desejamos obter a medida de posição 
que possui a maior estabilidade ou quando houver necessidade de um tratamento 
algébrico superior. 
 
o Dados não agrupados 
Quando desejamos conhecer a média dos dados não agrupados, 
determinamos a média aritmética simples. 
�̅� =
𝛴𝑥𝑖
𝑛
 
Exemplo: 
Sabendo-se que a produção leiteira diária da vaca A, durante uma semana, 
foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana: 
�̅� =
10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12
7
=
98
7
= 14 
Logo: 
�̅� = 14 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠 
Às vezes, a média pode ser um número diferente de todos os da série de dados 
que ela representa. E o que acontece quando temos os valores 2, 4, 8 e 6, para os 
quais a média é 5. Esse será o número representativo dessa série de valores, embora 
não esteja representado nos dados originais. Neste caso, costumamos dizer que a 
média não tem existência concreta. 
 
o Desvio em relação à média 
Denominamos desvio em relação à média (𝑑𝑖) a diferença entre cada 
elemento de um conjunto de valores e a média aritmética. 
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅� 
 Designando o desvio por 𝑑𝑖, temos: 
𝑑𝑖 = 𝑥𝑖 − �̅� → 𝑑1 = 10 − 14 = −4 
𝑑2 = 14 − 14 = 0 
 E daí sucessivamente. 
 
 
o Propriedades da média 
• 1º propriedade 
A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é nula: 
∑ 𝑑𝑖 = 0
𝑘
𝑖=1
 
• 2º propriedade 
Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante: 
𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 𝑐−
+ → �̅� = �̅� 𝑐−
+ 
• 3º propriedade 
Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma 
constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante: 
𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 · 𝑐 → �̅� = �̅� · 𝑐 
𝑦𝑖 =
𝑥𝑖
𝑐
→ �̅� =
�̅�
𝑐
 
 
o Dados agrupados 
• Sem intervalos de classe 
Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando 
para variável o número de filhos do sexo masculino: 
Nº de meninos 𝒇𝒊 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
∑ 𝒇𝒊 
Neste caso, como as frequências são números indicadores da intensidade de 
cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a 
calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula: 
�̅� =
∑(x𝑖.f𝑖) 
∑ f𝑖
 
O modo mais prático de obtenção da média ponderada é abrir, na tabela, uma 
coluna correspondente aos produtos x𝑖 . f𝑖 . 
 
 
• Com intervalos de classe 
Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um 
determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos 
a média aritmética ponderada por meio da fórmula: 
�̅� =
∑(x𝑖.f𝑖) 
∑ f𝑖
 
Onde x𝑖 é o ponto médio da classe. 
Consideremos a distribuição: 
𝒊 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 𝒇𝒊 
𝟏 150 Ͱ154 4 
𝟐 154 Ͱ158 9 
𝟑 158 Ͱ162 11 
𝟒 162 Ͱ166 8 
𝟓 166 Ͱ170 5 
𝟔 170 Ͱ|174 3 
∑ 𝐟𝒊 
Pela mesma razão do caso anterior, vamos, inicialmente, abrir uma coluna para 
os pontos médios e outra para os produtos x𝑖 . f𝑖. 
o Emprego da média 
A média é utilizada quando: 
a. desejamos obter a medida de posição que possui a maior estabilidade; 
b. houver necessidade de um tratamento algébrico Superior. 
 
➢ A moda (Mo) 
Denominamos moda o valor que ocorre com maior frequência em uma série 
de valores. 
Desse modo, o salário modal dos colaboradores de uma indústria é o salário 
mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de funcionários dessa 
indústria. 
 
o Dados não agrupados 
Quando lidamos com valores não agrupados, a moda é facilmente reconhecida: 
basta, de acordo com a definição, procurar o valor que mais se repete. 
 
 
A série de dados: 
7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 
 Tem moda igual a 10. 
Podemos, entretanto, encontrar séries nas quais não exista valor modal, isto é, 
nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. E o caso da série: 
3, 5, 8, 10, 12, 13 
Que não apresenta moda (amodal). 
Em outros casos, ao contrário, pode haver dois ou mais valores de 
concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Na série: 
2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 
Temos duas modas: 4 𝑒 7 (bimodal). 
 
o Dados agrupados 
• Sem intervalos de classe 
Uma vez agrupado os dados, é possível determinar imediatamente a moda: 
basta fixar o valor da variável de maior frequência. 
Nº de meninos 𝒇𝒊 
0 2 
1 6 
2 10 
3 12 
4 4 
∑ 𝒇𝒊 
Na distribuição, à frequência máxima (12) corresponde ao valor 3 da variável. 
Logo: 
𝑀𝑜 = 3 
• Com intervalos de classe 
A classe que apresenta a maior frequência é denominada classe modal. Pela 
definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está 
compreendido entre os limites da classe modal. 
O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto 
médio da classe modal. Damos a esse valor o nome de moda bruta. 
Temos, então: 
 
 
𝑀𝑜 = 
𝑙∗ + 𝐿∗
2
 
Onde: 
𝑙∗ é o limite inferior da classe modal; 
𝐿∗ é o limite superior da classe modal. 
Assim, para a distribuição: 
𝒊 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 𝒇𝒊 
𝟏 150 Ͱ154 4 
𝟐 154 Ͱ158 9 
𝟑 158 Ͱ162 11 
𝟒 162 Ͱ166 8 
𝟓 166 Ͱ170 5 
𝟔 170 Ͱ|174 3 
∑ 𝐟𝒊 
 
Temos que a classe modal é 𝑖 = 3, 𝑙∗ = 158 e 𝐿∗ = 162 
Como: 
𝑀𝑜 = 
𝑙∗ + 𝐿∗
2
 
Vem: 
𝑀𝑜 = 
158 + 162
2
=
320
2
= 160 
A moda da distribuição é 160 centímetros. 
Há, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por 
exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber. 
 
𝑀𝑜 = 𝑙∗ +
𝐷1
𝐷1 + 𝐷2
∙ ℎ∗ 
Onde: 
✓ 𝑙∗ é o limite inferior da classe modal; 
✓ ℎ∗ é a amplitude da classe modal; 
✓ 𝐷1 = 𝑓
∗ − 𝑓(𝑎𝑛𝑡); 
✓ 𝐷2 = 𝑓
∗ − 𝑓(𝑝𝑜𝑠𝑡), 
Sendo: 
 
 
✓ 𝑓∗ a frequência simples da classe modal; 
✓ 𝑓(𝑎𝑛𝑡) a frequência simples da classe anterior à classe modal; 
✓ 𝑓(𝑝𝑜𝑠𝑡) a frequência simples da classe posterior à classe modal. 
 
o As expressões gráficas da moda 
Nacurva de frequência, a moda é o valor que corresponde, no eixo das 
abscissas, o ponto de ordenada máxima. Assim, podemos ter: 
 
o Emprego da moda 
A moda é utilizada: 
a. quando desejamos obter uma medida rápida e aproximada de posição; 
b. quando a medida de posição deve ser o valor mais típico da distribuição. 
 
➢ A Mediana (𝑴𝒅) 
A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra 
no centro de uma serie de números, estando estes dispostos segundo uma ordem. 
Em outras palavras, a mediana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma 
ordem de grandeza, é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois 
subconjuntos de mesmo número de elementos. 
 
o Dados não agrupados 
Dada uma série de valores, como, por exemplo: 
 
 
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9 
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da 
ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18 
Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de 
elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que, nessa 
série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo. 
Temos, então: 
𝑀𝑑 = 10 
Portanto, se o número de valores for ímpar, a mediana será o valor central. 
Caso o número de valores seja par, a mediana será, por definição, qualquer 
dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou- 
se utilizar o ponto médio. 
Assim, a série de valores: 
2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21 
Tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12. 
Logo: 
𝑀𝑑 =
10 + 12
2
=
22
2
= 11 
Donde: 
𝑀𝑑 = 11 
Observação: 
• O valor da mediana pode coincidir ou não com um elemento da série, 
como vimos. Quando o número de elementos da série é ímpar, há 
coincidência. O mesmo não acontece, porém, quando esse número é 
par; 
• A mediana e a média aritmética não tem, necessariamente, o mesmo 
valor; 
• A mediana, como vimos, depende da posição e não dos valores dos 
elementos na série ordenada. Essa é uma das diferenças marcantes 
entre a mediana e a média (que se deixa influenciar, e muito, pelos 
valores extremos). 
• A mediana é designada, muitas vezes, por valor mediano. 
 
 
 
o Dados agrupados 
Se os dados se agrupam em uma distribuição de frequência, o cálculo da 
mediana se processa de modo muito semelhante àquele dos dados não agrupados, 
implicando, porém, a determinação prévia das frequências acumuladas. Ainda aqui, 
temos de determinar um valor tal que divida a distribuição em dois grupos que 
contenham o mesmo número de elementos. 
Para o caso de uma distribuição, porém, a ordem, a partir de qualquer um dos 
extremos, é dada por: 
𝑀𝑑 =
∑ 𝑓𝑖
2
 
• Sem intervalo de classe 
Neste caso, é o bastante identificar a frequência acumulada imediatamente 
superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da variável 
que corresponde a tal frequência acumulada. 
Nº de meninos 𝒇𝒊 𝑭𝒊 
0 2 2 
1 6 8 
2 10 18 
3 12 30 
4 4 34 
∑ 𝒇𝒊 
Sendo: 
∑ 𝑓𝑖
2
=
34
2
= 17 
A menor frequência acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde 
ao valor 2 da variável, sendo este o valor mediano. Logo: 
𝑀𝑑 = 2 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑜𝑠 
No caso de existir uma frequência acumulada (𝐹𝑖), tal que: 
𝐹𝑖 =
∑ 𝑓𝑖
2
 
A mediana será dada por: 
 𝑀𝑑 =
𝑥𝑖+𝑥𝑖+1
2
 
Isto é, a mediana será a média aritmética entre o valor da variável 
correspondente a essa frequência acumulada e o seguinte. 
 
 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 
12 1 1 
14 2 3 
15 1 4 
16 2 6 
17 1 7 
20 1 8 
∑ 𝒇𝒊 
Temos: 
𝐹𝑖 =
8
2
= 4 = 𝐹3 
Logo: 
𝑀𝑑 =
𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
2
 
𝑀𝑑 =
15 + 16
2
=
31
2
= 15,5 
Portanto: 
𝑀𝑑 = 15,5 
 
• Com intervalo de classe 
Temos que inicialmente determinar a classe na qual se acha à mediana, classe 
mediana. Tal classe será, evidentemente, aquela correspondente à frequência 
acumulada imediatamente superior a 
∑ 𝑓𝑖
2
. 
Após isso, marcamos a classe correspondente à frequência acumulada 
imediatamente superior à 
∑ 𝑓𝑖
2
, classe mediana e, em seguida, empregamos a fórmula: 
𝑀𝑑 = 𝑙
∗ +
[
∑ 𝑓𝑖
2
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
 
Onde: 
• 𝑙∗ é o limite inferior da classe mediana; 
• 𝐹(𝑎𝑛𝑡) é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana; 
• 𝑓∗ é a frequência simples da classe mediana; 
• ℎ∗ é a amplitude do intervalo da classe mediana. 
 
 
• Emprego da mediana 
Empregamos a mediana quando: 
a) desejamos obter o ponto que divide a distribuição em partes iguais; 
b) há valores extremos que afetam de uma maneira acentuada a média; 
c) a variável em estudo é quantitativa. 
 
• Posição relativa da média, mediana e moda 
Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem. A assimetria, 
porém, torna-as diferentes e essa diferença é tanto maior quanto maior é a assimetria. 
Assim, em uma distribuição em forma de sino, temos: 
�̅� = 𝑀𝑑 = 𝑀𝑜, no caso da curva simétrica; 
𝑀𝑜 < 𝑀𝑑 < �̅�, no caso da curva assimétrica positiva; 
�̅� < 𝑀𝑑 < 𝑀𝑜, no caso da curva assimétrica negativa. 
 
o As separatrizes 
Como vimos, a mediana caracteriza uma serie de valores devido à sua posição 
central. No entanto, ela apresenta outra característica, tão importante quanto à 
primeira: ela separa a série em dois grupos que apresentam o mesmo número de 
valores. 
 
 
Assim, além das medidas de posição que estudamos, há outras que, 
consideradas individualmente, não são medidas de tendência central, mas estão 
ligadas à mediana relativamente à sua segunda característica, já que se baseiam em 
sua posição na série. Dentre essas medidas vamos estudar os quartis e os percentis 
que são justamente como a mediana, conhecidas pelo nome genérico de 
separatrizes. 
 
o Os quartis 
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes 
iguais. 
O primeiro quartil (Q1) é o valor situado de tal modo na serie que uma quarta 
parte (25%) dos dados é menor que ele e as três quartas partes restantes (75%) são 
maiores. 
O segundo quartil (Q2) evidentemente coincide com a mediana (𝑸𝟐 = 𝑴𝒅). 
O terceiro quartil (Q3) é o valor situado de tal modo que as três quartas partes 
(75%) dos termos são menores que ele e uma quarta parte (25%) é maior. 
Quando os dados são agrupados, para determinar os quartis usamos a mesma 
técnica do cálculo da mediana, bastando substituir, na fórmula da mediana, 
∑ 𝑓𝑖
2
 𝑝𝑜𝑟: 
𝑘 ∑ 𝑓𝑖
4
 
 
Sendo k o número de ordem do quartil. Assim, temos: 
𝑄𝑘 = 𝑙
∗ +
[
𝑘 ∑ 𝑓𝑖
4
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
 
 Exemplo: 
𝒊 𝑬𝒔𝒕𝒂𝒕𝒖𝒓𝒂𝒔 (𝒄𝒎) 𝒇𝒊 
𝟏 150 Ͱ154 4 
𝟐 154 Ͱ158 9 
𝟑 158 Ͱ162 11 
𝟒 162 Ͱ166 8 
𝟓 166 Ͱ170 5 
𝟔 170 Ͱ|174 3 
∑ 𝐟𝒊 
 
 
o Os percentis 
Denominamos percentis os 99 valores que separam uma série em 100 partes 
iguais. Indicamos: P1, P2, ..., P99. É evidente que P50 = Md, P25 = Q1 e P75 = Q3. 
O cálculo do percentil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém, 
a fórmula 
∑ 𝑓𝑖
2
 será substituída por: 
𝑘 ∑ 𝑓𝑖
100
 
Sendo k o número de ordem do percentil. 
Assim, para o 43º percentil, temos: 
𝑃𝑘 = 𝑙
∗ +
[
𝑘 ∑ 𝑓𝑖
100
− 𝐹(𝑎𝑛𝑡)] ℎ
∗
𝑓∗
 
 
 Exemplos: 
1) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição: 
𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝒙𝒊 · 𝒇𝒊 
1 2 2 
2 4 
3 6 
4 8 
5 3 
6 1 
∑ = 
 
2) Complete o esquema para o cálculo da média aritmética da distribuição: 
𝒊 𝒇𝒊 
𝟏 30 Ͱ50 2 
𝟐 50 Ͱ70 8 
𝟑 70 Ͱ90 12 
𝟒 90 Ͱ110 10 
𝟓 110 Ͱ130 5 
∑ 𝐟𝒊 
 
 
 
3) Complete o esquema para o cálculo da moda da distribuição de frequência: 
i Custos (R$) fi 
1 450 Ͱ 550 8 
2 550 Ͱ 650 10 
3 650 Ͱ 750 11 
4 750 Ͱ 850 16 
5 850 Ͱ 950 13 
6 950 Ͱ 1050 5 
7 1050 Ͱ| 1150 1 
  = 64 
 
4) Complete o esquema para o cálculo da mediana da distribuição de frequência: 
i Custos (R$) fi Fi 
1 450 Ͱ 550 8 
2 550 Ͱ 650 10 
3 650 Ͱ 750 11 
4 750 Ͱ 850 165 850 Ͱ 950 13 
6 950 Ͱ 1050 5 
7 1050 Ͱ| 1150 1 
  = 64 
 
5) Complete os esquemas para o cálculo do primeiro e do terceiro quartis da 
distribuição de frequência e calcule o vigésimo percentil da distribuição: 
i Custos (R$) fi Fi 
1 450 |-- 550 8 
2 550 |-- 650 10 
3 650 |-- 750 11 
4 750 |-- 850 16 
5 850 |-- 950 13 
6 950 |-- 1050 5 
7 1050 |-- 1150 1 
  = 64 
 
 
 
 
Agora é a sua vez! 
Exercícios complementares: 
 
1) Sobre a mediana, é correto afirmar que: 
a) Quando o número de observações for ímpar, deve ser usada como mediana a 
média aritmética das duas observações centrais; 
b) A mediana é a realização que não ocupa a posição central; 
c) A mediana é a realização que ocupa a posição central, assim a mediana do 
conjunto de valores: 3,4,7,8,8 será 8; 
d) Se foi observado o conjunto de valores: 3,4,7,8,8 então a mediana será 7; 
e) A mediana é a realização que não ocupa a posição central, assim a mediana 
do conjunto de valores: 3,4,7,8,8 será 7. 
 
2) Os dados a seguir se referem aos conceitos obtidos por 60 alunos, na disciplina 
de Estatística na Escola E. 
 
Tabela 1: Dados Brutos 
R: Ruim M: Médio B: Bom Ó: Ótimo 
M R M M M R B B M M R B M M M M R B B R 
B M R M B M R M R M B M R M R M B M B M 
B B B B O M M M M M B B B B B B B O B O 
 
Organize os dados abaixo em uma Tabela de Distribuição de Frequências; 
Faça o gráfico de barras, o de composição em setores (Pizza) e o de Pareto. 
 
3) Os dados abaixo se referem aos comprimentos de 33 canos PVC vendidos em 
uma loja de material de construção. 
 
Tabela2: Dados Brutos (em m) 
19,5 20,0 14,1 16,1 10,0 16,0 22,0 20,5 15,0 16,7 22,0 
12,5 16,3 15,3 16,0 13,8 19,7 17,0 14,1 18,8 12,3 15,5 
15,5 14,7 20,3 17,4 19,5 17,9 18,2 16,9 19,3 16,9 20,0 
Obtenha as medidas de posição e separatrizes: mínimo, máximo, média, moda, 
mediana, Q1 e Q3. 
 
4) Calcule a média, a moda e a mediana das amostras A, B e C: 
 
Amostra A: 7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16; 
Amostra B: 3, 6, 9, 11, 12, 13; 
Amostra C: 3, 3, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 8, 8, 8, 9. 
 
5) Dada a tabela a seguir, marque corretamente a opção que indica a média da 
idade de pessoas casadas que cursaram até o ensino superior e a média 
aritmética simples de salários de pessoas que cursaram até o ensino 
fundamental, respectivamente. 
 
N° Estado Civil Nível de Ensino Salário (R$) Idade 
1 Casado Fundamental 958,50 39 
2 Casado Superior 1300,00 57 
 
 
3 Solteiro Médio 928,48 25 
4 Solteiro Médio 357,48 19 
5 Casado Fundamental 95,35 49 
6 Solteiro Médio 828,00 23 
7 Casado Fundamental 1349,00 53 
8 Solteiro Fundamental 249,00 63 
9 Casado Superior 520,00 71 
10 Casado Médio 1350,00 57 
 
 
6) Para facilitar um projeto de ampliação de rede de esgotos de uma certa região 
de uma cidade, as autoridades tomaram uma amostra de tamanho 50 dos 270 
quarteirões que compõem a região, e foram encontrados os seguintes números 
de casas por quarteirão: 
2 2 3 10 13 14 15 15 16 16 
18 18 20 21 22 22 23 24 25 25 
 26 27 29 29 30 32 36 42 44 45 
45 46 48 52 58 59 61 61 61 65 
66 66 68 75 78 80 89 90 92 97 
Calcule o percentil 10, Q1, mediana, Q3, percentil 90 
 
 
7) O peso (em Kg) de 30 mulheres de 168 cm de altura, segundo a idade (em 
anos) é apresentado abaixo: 
Idade Peso 
40 55 50 68 65 62 
45 58 56 62 65 63 
50 60 74 70 78 76 
55 77 78 70 72 80 
60 70 76 74 83 85 
65 65 82 72 82 80 
Calcule a média, moda e mediana para o peso dos seis grupos de idade 
analisados. E com base nas medidas obtidas, tire suas conclusões sobre o 
comportamento do peso com o aumento de idade. 
 
8) Para estudar o desempenho de 3 corretoras de ações, selecionou-se de cada 
uma das 10 ações calculando para cada ação a variação percentual do preço 
num determinado período. Os dados são descritos a seguir: 
Corretora A: -3 -2 -2 0 2 2 4 5 6 7 
Corretora B: -4 -3 -1 -1 1 3 4 4 5 6 
Corretora C: -6 -4 -2 0 2 3 3 5 6 6 
Para cada corretora calcule a média, moda e a mediana. 
 
9) A tabela abaixo mostra o número de meses em que houve aumento do nível 
de atividade de quinze empresas de tamanho pequeno (P), médio (M) e grande 
(G), do setor comercial (C) e industrial (I). 
 
 
 
(a) Classifique cada uma das variáveis; 
(b) Divida as empresas em dois grupos: comércio (C) e indústria (I). Compare 
os grupos em relação à média e à mediana do número de meses com 
crescimento; 
(c) Calcule a média e a mediana do número de meses com crescimento para 
os três tamanhos de empresas (P,M,G). Compare essas medidas. Com 
base nessa análise, você diria que existe relação entre o tamanho da 
empresa e o número de meses com crescimento? 
 
10) Foram ensaiados 100 corpos de prova de aço ABNT 1020, e obtidos as 
seguintes medidas referentes à sua tensão de ruptura (em kp/mm2), já 
ordenadas de forma crescente. Com base nos dados, construa a tabela de 
distribuição de frequência completa e as medidas de posição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Empresa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
Meses 8 9 4 5 3 6 8 6 6 8 5 5 6 4 4 
Setor C C I I I C C I I C C I C I I 
Tamanho G M G M M P G M P M P P M M G 
 
Tabela 9: Rol 
35,8 36,5 37,2 37,9 38,6 38,8 39,1 39,9 40,5 41,3 
36,0 36,6 37,3 38,0 38,6 38,8 39,2 40,0 40,5 41,5 
36,0 36,7 37,3 38,0 38,7 38,9 39,2 40,0 40,6 41,5 
36,0 36,7 37,3 38,1 38,7 38,9 39,2 40,1 40,7 41,5 
36,1 36,7 37,4 38,1 38,7 39,0 39,2 40,1 41,0 41,7 
36,1 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,7 
36,2 36,8 37,4 38,2 38,8 39,0 39,3 40,2 41,1 41,9 
36,3 37,0 37,4 38,5 38,8 39,0 39,3 40,3 41,2 42,0 
36,4 37,1 37,5 38,5 38,8 39,0 39,7 40,4 41,3 42,0 
36,5 37,1 37,5 38,6 38,8 39,1 39,8 40,5 41,3 42,2