04_Técnicas de Contagem

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Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
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 2 . TÉCNICAS DE CONTAGEM Capítulo 2 
 
 
 Para resolver problemas de probabilidades, que serão estudados adiante, é necessário, 
em alguns casos, contar os elementos de um conjunto finito. 
 
2.1. REGRAS DE CONTAGEM 
 
 Anotamos n(X) o número de elementos do conjunto X. 
 Vejamos algumas situações: 
 
2.1.1. REGRA DA SOMA 
 
 Sejam A e B conjuntos finitos, ambos subconjuntos de um conjunto universo U. 
 Considerando x o número de elementos de A não pertencentes a AB 
 y o número de elementos de AB 
 z o número de elementos de B não pertencentes a AB 
 
temos, n(AB) = x + y + z 
 n(AB) = (x + y) + (y + z)  y (adicionou e subtraiu y) 
 
 n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB) 
 
 
Observação: Caso AB =  , teremos n(AB) = 0 e a fórmula acima será: n(AB) = n(A) + n(B). 
 Aplicando o mesmo raciocínio para três conjuntos A, B e C quaisquer (subconjuntos de 
um mesmo universo U), teremos: 
 
 n(AB C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC) 
 
 
Exemplos: 
 1) João deseja ir de um ponto L1 a outro ponto L2 por dois caminhos distintos. 
Pelo primeiro deve passar por três cidades R, S e T e pelo segundo por duas cidades V 
e W. Por quantas cidades poderá passar? 
 Solução: 
 n(AB) = n(A) + n(B) = 3 + 2 = 5 cidades. 
 
U 
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2) As pessoas de uma família estudam Matemática ou Física. Sabendo-se que 6 
estudam Matemática, 7 estudam Física e 4 estudam ambas disciplinas, deseja-se saber a 
quantidade de pessoas que a família possui. 
Solução: 
 n(MF) = n(M) + n(F) - n(MF) 
 = 6 + 7 - 4 = 9 pessoas na família. 
 
 
 
2.1.2. REGRA DO PRODUTO 
 
 Sejam A e B dois conjuntos finitos e não vazios (subconjuntos do universo U ). 
 
 Consideremos o produto cartesiano de A e B: AXB ={(x,y) / xA e yB}. 
 O número de elementos (pares ordenados) do produto cartesiano AB é dado por: 
 n(AXB) = n(A) . n(B) , 
essa fórmula constitui a regra do produto para dois conjuntos. 
 
 
Observação: Supondo n conjuntos: A1, A2, A3,...., An subconjuntos de um mesmo conjunto U, 
 n( A1 X A2 X A3 X .... X An) = n(A1) . n(A2) . n(A3) ....n(An) 
 
Exemplos: 
 
3) Numa sala estão presentes 3 rapazes e 4 moças. Quantos casais podem ser 
formados? 
 Solução 
 Sejam A = conjunto das moças = { M1,M2,M3,M4} e 
B = conjunto dos rapazes = { R1,R2,R3} . Temos que n(A) = 4 e 
n(B) = 3 , logo, 
 n(AXB) = n(A) . n(B) = 4 . 3 = 12 casais. 
 
 4) Considere as placas de automóvel que possuem, da esquerda para a direita, três 
letras, que são vogais, e quatro dígitos: onde o 1 é múltiplo de 3, o 2 é par, o 3 é primo 
e o 4 é impar. Quantas placas distintas deste tipo podem ser fabricadas? 
 Solução: 
 Placa: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 
 
 A1 conjunto das vogais .. n(A1) = 5 A4 = conjunto de dígitos múltiplo de 3 = {3,6,9}, n(A4) = 3 
 A2 conjunto das vogais .. n(A2) = 5 A5 = conjunto de dígitos pares = {0,2,4,6,8}, n(A5) = 5 
 A3 conjunto das vogais .. n(A3) = 5 A6 = conjunto de dígitos primos = {2,3,5,7}, n(A6) = 4 
 A7 = conjunto de dígitos ímpares = {1,3,5,7,9} = n(A7) = 5 
n(A1 X A2 X A3 X A4 X A5 X A6 X A7) = n(A1) . n(A2) . .n(A3) . n(A4) . n(A5) . n(A6) . .n(A7) = 
= 5 . 5 . 5 . 3 . 5 . 4 . 5 = 37 500. 
 
R3 . . . . 
R2 . . . . 
R1 . . . . 
 
 M1 M2 M3 M4 
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 Existem problemas que envolvem ambas as regras da Soma e do Produto: 
 
 5) Uma pessoa possui para traje esporte 2 calças e 5 camisas e para traje social 2 
ternos, 3 camisas e 2 gravatas. De quantos modos poderá se vestir de maneira esporte ou 
social? 
 Solução: 
 E = traje esporte: A1 : conjunto de 2 calças n(A1)=2 
 A2 : conjunto de 5 camisas n(A2)=5 
 
 S = traje social: A3 : conjunto de 2 ternos n(A3)=2 
 A4 : conjunto de 3 camisas n(A4)=3 
 A5 : conjunto de 2 gravatas n(A5)=2 
 
 n(ES) = n(E) + n(S) - n(E S) ( sabemos que E S =  , logo, n(E S)=0 ) 
 = n(A1 X A2) + n(A3 X A4  A5) = 
 = n(A1) . n(A2) + n(A3) . n(A4) . n(A5) = 
 = 2 . 5 + 2 . 3 . 2 = 10 + 12 = 22. 
 
 
 Calças Camisas modos 
 c1 1 
 c2 2 
 ca1 c3 3 
 Traje c4 4 
 c5 5 
 E 
 c1 6 
 c2 7 
 ca2 c3 8c4 9 
 c5 10 
 Gravatas 
 Ternos c1 g1 11 
 g2 12 
 
 T1 c2 g1 13 
 g2 14 
 
 c3 g1 15 
 S g2 16 
 
 c1 g1 17 
 g2 18 
 
 T2 c2 g1 19 
 g2 20 
 
 c3 g1 21 
 g2 22 
 
 
 
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 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.1 
 
 
 1) Uma caixa contém 3 bolas: 1 amarela, 1 vermelha e 1 branca. Uma outra 
caixa contém 2 bolas: 1 azul e 1 verde. Retirando-se uma bola da 1ª caixa e outra da 2ª 
caixa, quantas são as possibilidades de duas cores? R. 6 
 
2) Da cidade A até a cidade B pode-se fazer a viagem de trem ou de ônibus. Em 
A, existem 5 companhias ferroviárias e 4 rodoviárias a disposição do usuário e em todas 
elas as passagens são de três categorias: 1ª, 2ª e 3ª. De quantos modos uma pessoa pode 
fazer sua escolha de viagem de A para B ? 
 R. 27 
 
 3) Para ir de uma cidade A a uma cidade B tem-se que optar: ou passa por uma 
cidade X ou por Y. Se de A para X existem 6 caminhos possíveis, de A para Y 
existem 8, de X para B existem 7 e de Y para B existem 5, então, quantos são os 
possíveis caminhos de A para B? R. 82 
 
4) Feita a consulta a respeito do uso de três marcas de um determinado produto, 
verificou-se que o produto da marca I é usado por 25 pessoas, da marca II por 27 e da 
marca III por 20. Sabendo-se, ainda, que 15 usam produtos das marcas I e II, 14 usam 
II e III, 13 usam I e III e 10 usam todas as marcas, pergunta-se o número de pessoas 
consultadas. R. 40 
 
 5) De quantas maneiras 5 pessoas podem sentar em um banco de 5 lugares? 
 R.120 
 6) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da 
estante? R.720 
 
 7) De quantos modos diferentes podemos arrumar 6 livros em uma prateleira da 
estante, sabendo-se que dois desses livros deverão ficar sempre juntos? R.240 
 
 8) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um 
automóvel, sabendo-se que o pai senta sempre no banco do motorista? R.24 
 
 9) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem se sentar em um 
automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro? 
 R.12 
 10) Quatro rapazes e uma garota foram juntos visitar uma exposição de quadros de 
arte. Um dos rapazes é perfeito cavalheiro e só entra no recinto depois que a garota o tenha 
feito. De quantos modos (em fila) eles podem passar pela porta de entrada? 
 R. 60 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
 
 
 
Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
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2.2. ARRANJOS 
 
 Consideremos um conjunto L com m elementos e dele vamos extrair um subconjunto 
S com r elementos (r  m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com 
determinada característica. Se a característica for: ao trocar a ordem de dois elementos 
distintos o grupamento deixa de ser o mesmo, então, cada grupamento é um ARRANJO. 
 
 Vejamos de forma prática: 
 Seja L = {1,2,3,4,5} e o subconjunto S = {1,2,3}. Assim, teremos um grupamento 
(1,2,3), representando o número 123. Mudando-se a ordem de dois elementos teremos, por 
exemplo, o novo grupamento (2,1,3), que representa o número 213, diferente de 123. 
Portanto, cada um dos grupamentos assim obtido é um ARRANJO. 
 O problema que se apresenta agora é o de contar o número de arranjos com r 
elementos que podem ser formados com os m elementos de L . 
2.2.1. ARRANJOS SIMPLES 
 Os arranjos formados com r elementos distintos a partir de L serão chamados de 
arranjos simples (r  m). 
 1) No exemplo prático acima, desejamos saber a quantidade de números de três 
algarismos distintos que podem ser formados com os dígitos de L = {1,2,3,4,5}. 
 Solução: 
 Se a cada grupamento (a,b,c) associarmos o número de três dígitos distintos abc, 
então, neste caso , serão excluídos os grupamentos tais como: (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5), ... , 
visto que algum de seus dígitos foi repetido. 
 Forma do grupamento desejado é(a1, a2, a3) , onde 
a1A1 , A1 = conjunto de todos os dígitos de L .....................................................n(A1) = 5 
a2A2 , A2 = conjunto dos dígitos de L, excluí o fixado na centena.........................n(A2) = 4 
a3A3 , A3 = conjunto dos dígitos de L, excluí os fixados na centena e na dezena ....n(A3)=3 
 
 Pela regra do produto: n(A1 X A2 X A3) = n(A1) . n(A2) . n(A3) = 
= 5 . 4 . 3 = 60 números 
 
 Vejamos quais são os arranjos simples: 
 
 123 124 125 134 135 145 234 235 245 345 
 132 142 152 143 153 154 243 253 254 354 
 213 214 215 314 315 415 324 325 425 435 
 231 241 251 341 351 451 342 352 452 453 
 312 412 512 413 513 514 423 523 524 534 
 321 421 521 431 531 541 432 532 542 543 
 
 
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Notação: Indicaremos por Am,r o número de arranjos simples dos m elementos de L 
 tomados r a r. 
 Assim, pela regra do produto, 
 
 Am,r = m(m-1)(m-2)(m-3)....[m-(r-1)] 
 
 No exemplo 1: A5,3 = 5.4.3 = 60 (Prática: decresce r =3 fatores a partir de m=5) 
 
 
2.2.2. ARRANJOS COM REPETIÇÃO 
 Os arranjos formados com r elementos não necessariamente distintos a partir 
de L serão chamados de arranjos com repetição. 
 
Exemplo: 
 2) Com os dígitos de L = {1,2,3,4,5} quantos números de três algarismos podemos 
formar? 
 Solução: 
 Agora, grupamentos como (1,1,2), (1,4,4), (5,5,5), ... devem ser considerados. 
 Portanto, a forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3) , onde 
 a1A1 , A1 = conjunto de todos os dígitos de L ...................................... n(A1) = 5 
 a2A2 , A2 = conjunto de todos os dígitos de L ....................................... n(A2) = 5 
 a3A3 , A3 = conjunto de todos os dígitos de L ...................................... n(A3) = 5 
 
 Pela regra do produto: n(A1 X A2  A3) = n(A1) . n(A2) . n(A3) = 
= 5 . 5 . 5 = 125 números 
 
 Indicaremos por ARm,r o número de arranjos com repetição dos m elementos de 
L tomados r a r. Neste caso, r pode ser maior do que m. Assim, pela regra do 
produto, 
 
 ARm,r = m .m .m .m . .... m = m
r 
 
 No exemplo: AR5,3 = 5
3 = 5.5.5 = 125 ( r=3 fatores iguais a m=5) 
 
2.3. PERMUTAÇÕES 
 
 Consideremos um conjunto L com m elementos. Queremos formar grupamentos 
apenas permutando (mudando) a ordem dos m elementos. Temos os seguintes casos: 
 
2.3.1. PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
 Permutações simples são arranjos simples com o mesmo número de elementos de 
L, isto é, m = r. 
 
Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
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Exemplo: 
 3) Com os dígitos de L= { 1,2,3,4,5} quantos números de 5 algarismos, sem 
repetição de dígitos, podem ser formados? 
 Solução: 
 A forma do grupamento desejado é (a1, a2, a3, a4, a5) , onde ai Ai , i =1,2,3,4,5 
A1 = conjunto de todos os dígitos de L ................................................................. n(A1) = 5 
A2 = conjunto dos dígitos de L, menos o fixado na ordem de A1........................... n(A2) = 4 
A3 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 ............... n(A3) = 3 
A4 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3 ....... n(A4) = 2 
A5 = conjunto dos dígitos de L, menos os fixados na ordem de A1 e A2 e A3 e A4. n(A5) = 1 
 
Pela regra do produto: n(A1  A2  A3  A4,  A5) = n(A1) . n(A2) . n(A3) . n(A4) . n(A5) = 
= 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 números. 
 Indicaremos por Pm o número de permutações simples de elementos de L. Assim, 
 
 Pm = m! = m(m-1)(m-2)(m-3) .... 1 
 
 No exemplo: P5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120. 
 
Observação: A fórmula Am,r pode ser escrita com a notação fatorial Am,r =
 
!
!
m
m r
 
 
 No exemplo 1: A5,3 =
 
5!
5 3 !
 = 
!2
!5
 =
1.2
1.2.3.4.5
 = 5.4.3 = 60 
 
2.3.2. PERMUTAÇÕES SIMPLES COM REPETIÇÃO 
 
 Seja L um conjunto com m elementos. Queremos formar arranjos simples com 
m elementos, podendo existir alguns com repetições. Exemplo: Os anagramas (transposição 
de letras ou números) da palavra ARARA, formam agrupamentos com sentido ou não: 
AAARR, RARAA, RAARA,... etc. Observe que a permutação, entre si, das letras “A” ou 
“R” na palavra ARARA não geram novos agrupamentos, pois elas não se distinguem. 
 Seja o grupamento: (a1,a2,...a b1,b2...b .... t1,t2,...t), onde os “a” são iguais 
entre si, também os “b” são iguais e assim por diante, tal que  +  + ..... + = m . 
 A fórmula  ,....,,mP = 
!!......!.
!

m
 
determina o número de grupamentos distintos e possíveis de se formar com os 
elementos de L, evitando as repetições dos elementos correspondentes aos  ,  , ...  . 
 
Exemplos: 
4) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra AMAR ? 
 Solução: 
 Temos duas letras A, uma M e uma R. 
Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
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 Portanto, 1,1,24P = 
!1!.1!.2
!4
 = 
1.1.1.2
1.2.3.4
 = 
2
24
 = 12 anagramas 
 
 Veja os 12 anagramas: AMAR , ARAM , AMRA , ARMA , MARA, RAMA , 
AAMR , AARM , MAAR , RAAM , MRAA e RMAA . 
 
Observação: O anagrama AMAR, por exemplo, só é contado uma vez, visto que não há 
 distinção para os “A” permutados. 
 
5). Quantos números de 6 algarismos podemos formar com os dígitos de 332332 ? 
 Solução: 
 Temos quatro dígitos iguais a 3 e dois dígitos iguais a 2. 
 
 Portanto, 2,46P = 
!2!.4
!6
 = 
1.2.1.2.3.4
1.2.3.4.5.6
 = 15 números distintos 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.2 
 
 1) Calcule: 
 a) AR5,4 b) AR5,1 c) AR8,2 
 d) A5,4 e) A5,1 f) A8,2 
 g) P1 h) P2 i) P5 
 
 Respostas: a) 625 b) 5 c) 64 d) 120 e)5 f) 56 g) 1 h) 2 i) 120 
 
 
 2) Quantos números de três algarismos podemos formar, usando os dígitos 2 e 3? 
 R. 8 
 
 3) Dez carros disputam uma corrida. Quantos são os resultados possíveis para os 
três primeiros lugares? R. 720 
 
 4) Quantos anagramas pode-se formar com a palavra AMIGO ? R. 120 
 
 5) De quantos modos distintos podemos arrumar 6 livros em uma prateleira de uma 
estante, sabendo-se que três desses livros deverão ficar sempre juntos? R 144 
 
6) De quantos modos diferentes um casal e seus três filhos podem sentar em um 
automóvel, sabendo-se que o casal ocupa os bancos dianteiros e os filhos o traseiro? 
 R 12 
 7) Quantos números ímpares de quatro algarismos podemos formar com os dígitos 
1,2,3 e 4 ?. R. 12. 
 
 8) Um banco de jardim possui 4 lugares e 6 amigos pretendem ocupá-lo. De quantos 
modos distintos poderão sentar? R. 360 
 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
 35 
2.4. COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
 Consideremos um conjunto L com m elementos e um subconjunto S com r 
elementos de L (r m). E, com este subconjunto, estabelecer grupamentos com 
determinada característica. Se a característica for: ao trocar a ordem de dois elementos 
distintos o grupamento permanece o mesmo, então, cada grupamento é uma combinação 
simples. 
 
 Vejamos de forma prática: 
 
 1) Suponha que você esteja participando de um jogo que consiste em “lançar um 
dado três vezes e registrar cada um dos pontos das faces superiores expostas” . Neste caso, 
teremos L ={1,2,3,4,5,6}. Se você estiver apostando em “faces pares distintas”, isto é, no 
subconjunto S = {2,4,6} de L, então é evidente que estará concorrendo com os 
grupamentos: (2,4,6), (2,6,4), (4,2,6), (4,6,2), (6,2,4), (6,4,2), visto que não importa a 
ordem de saída dos números sorteados. Queremos dizer que não há distinção para estes 
grupamentos ou que constituem a mesma combinação. Caso a ordem de saída dos 
números sorteados fosse relevante, cada grupamento seria um arranjo, logo, todos distintos. 
 2) Se considerarmos três pessoas formando uma comissão a ordem com que 
anunciamos os nomes dos participantes não é importante, pois trata-se da mesma comissão, 
isto é, de uma mesma combinação. Porém, se as pessoas tiverem funções (presidente, 
secretário, tesoureiro) a ordem passa a ser considerada, pois assim teremos nova diretoria 
com os mesmos elementos e, neste caso, cada diretoria formada é um arranjo. 
 3) Para não deixar dúvidas: em cada sorteio da loto são extraídos cinco números de 
um total de cem números. Se você escolher um jogo simples (de 6 números distintos) e 
ocorrer nele os números das cinco extrações, então, você ganhou a quina independente da 
ordem dos números sorteados. O outro apostador pode escolher, em outra ordem, os 
mesmos números que você escolheu, isto é, a mesma combinação e, assim, também fazer a 
quina. Infelizmente, neste caso, você deverá dividir o prêmio com ele. Certo? 
 
 O problema que enfrentaremos agora é o da contagem das combinações simples 
distintas. 
 
 Indicaremos por Cm,r o número de combinações simples dos m elementos de L 
tomados r a r. 
 
 Vejamos um exemplo: Seja L = {1,2,3,4}. Queremos obter a quantidade de 
combinações simples com os elementos de L tomados 2 a 2, isto é, obter C4,2 . 
 
 Conhecendo-se as combinações: (1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4) e (3,4) torna-se fácil 
dizer que C4,2 indica 6 combinações distintas. 
 Alertamos que nem sempre é imediato conhecer todas as combinações. Procuremos 
uma fórmula que nos permita obter o número de combinações distintas sem a necessidade 
de escrevê-las. Vejamos: 
  Primeiro, o número de subconjuntos (combinações) de L com 2 elementos é C4,2. 
  Segundo, temos que a mudança de ordem (permutação) dos elementos em cada 
subconjunto forma novos grupamentos que são os arranjos simples. Sabendo-se que o 
Estatística Básica  Capítulo 2 Ayrton Barboni 
 36 
número total destes arranjos é A4,2 , podemos entender que A4,2 é igual ao produto do 
número de combinações C4,2 com o número de permutações P2 em cada combinação. 
 Assim, A4,2 = C4,2 . P2 ou que C4,2 = 
2
2,4
P
A
 
 Logo, C4,2 =
2
2,4
P
A
 =
!2
3.4
 =
2
12
 = 6 
 Generalizando : Cm,r = 
r
rm
P
A ,
 ou, Cm,r = 
!)!(
!
rrm
m

 
 Exemplos: 
 C4,2 = 
4!
(4 2)!. 2!
 =
4.3. 2! 4.3
2!. 2! 2!
 = 
2
12
 = 6 
 C7,3 =
7!
(7 3)!. 3!
 = 
7.6.5. 4!
4!. 3!
 = 
7.6.5
3!
 =
1.2.3
5.6.7
 = 35 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO 2.3 
 
 
 1) Determinar: 
a) C5,2 b) C5,3 c) C10,2 d) C10,8 
 
 Respostas: a) 10 b) 10 c) 45 d) 45 
 
 2) Resolva a equação: Cn,2 = 15, n{2,3,4, ...} R. 6 
 
 3) Quantas diagonais possui um hexágono convexo? R .9 
 
 Sugestão: Sabe-se que em um polígono convexo de n vértices : Cn,2 = n + d , sendo d 
 o número de diagonais (n = número de lados = número de vértices). 
 
 4) Sobre uma reta marcam-se 5 pontos e sobre outra paralela à primeira marcam-se 
8 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos? R.220 
 5) Em um plano marcam-se 12 pontos dos quais 5 estão sobre uma mesma reta. 
Quantos triângulos podem ser formados unindo-se estes pontos? R. 210 
 6) Quantas retas são determinadas pelos vértices de um hexágono regular ? R.15 
 7) De um conjunto de 3 elementos quantos subconjuntos de 2 elementos podem ser 
formados? R.3 
 8) Qual o número de quinas possíveis de ocorrer na extração da Loto? 
 R. 75 287 520 
 9) Quantas comissões de 3 elementos podem ser formadas com um grupo de 5 
pessoas? R.10 
 
10) Quantas comissões de 8 pessoas podem ser formadas com 10 deputados e 
6 senadores, de maneira que em cada comissão tenha pelo menos 3 senadores? R 8 955