Exercícios de Física: Momento Linear e Centro de Massa

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F́ıs1 — 04/1 — G.5 — Ex. 13 – p. 12
IF — UFRJ — 2004/1
F́ısica 1 — IFA (prof. Marta)
Lista de exerćıcios 13
Sistema de Part́ıculas:
Momento Linear, Centro de Massa,
Conservação do Momento, Colisões
1. Um corpo de massa m1 está sobre o eixo x no ponto x1. Outro corpo
de massa m2 está sobre o eixo x no ponto x2. Determine o valor da
distância entre o centro de massa do sistema constitúıdo pelos dois
corpos e o corpo de massa m1. Aplique este resultado aos casos em que
m2 =m1 e m2 = 2m1.
2. Um sistema de part́ıculas é composto de dois objetos de massas m1 e
m2. Demonstre que o centro de massa está deste sistema está sobre
a linha que une os dois, entre os dois, e a razão entre a distâncias d1
e d2 de cada um dos dois corpos ao centro de massa é inversamente
proporcional à razão entre as massas: d1/d2 =m2/m1.
w
1
u
2-
cm
d1 d2
3. Obtenha a posição do centro de massa de um sistema de duas part́ıcu-
las, de massas m1 = 1 kg e m2 = 3 kg, em repouso nas posições
~r1 = 5 ı̂+ 2ˆ́ e ~r2 = ı̂¡ 3ˆ́. Calcule a distância de cada uma das massas
ao centro de massa do sistema. As posições estão dadas em metros.
4. Um núcleo de rádio 226 (com 88 prótons e 128 nêutrons, 22688 Ra) sofre
decaimento radioativo, emitindo uma part́ıcula ® (que corresponde ao
núcleo do átomo de hélio, com 2 prótons e 2 nêutrons, 42He). As mas-
sas do próton e do nêutron são aproximadamente iguais. Se o núcleo
original estiver inicialmente em repouso, a part́ıcula ® é emitida com
velocidade de 1, 5× 107 m/s. Qual é a velocidade do núcleo residual?
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5. Um proj́etil é lançado com velocidade inicial de 400 m/s numa direção
que faz um ângulo de 60± com a horizontal. No ponto mais alto de
sua trajetória, ele explode em dois fragmentos iguais, um dos quais cai
verticalmente, levando 20 s para chocar-se com o solo. A que distância
do ponto de queda do primeiro cai o outro fragmento, supondo-se o
solo horizontal?
6. Um núcleo radioativo, inicialmente em repouso, desintegra-se, emitindo
um elétron e um neutrino em direções perpendiculares entre si. O
módulo do momento linear do elétron é 1, 2 × 10¡22 kg m/s e o do
neutrino 6, 4× 10¡23 kg m/s.
(a) Ache a direção e o módulo do momento adquirido pelo núcleo ao
recuar.
(b) A massa do núcleo residual é de 5, 8×10¡26 kg. Qual a sua energia
cinética de recuo?
7. Um corpo de massa igual a 8,0 kg desloca-se com velocidade de 2,0 m/s
sem influência de qualquer força externa. Num certo instante, ocorre
uma explosão interna e o corpo divide-se em dois fragmentos, de 4,0 kg
cada. Com a explosão, uma energia cinética de translação de 36 J é
transmitida ao sistema formado pelos dois fragmentos. Nenhum dos
dois deixa a linha do movimento inicial. Determine a velocidade e o
sentido do movimento de cada fragmento depois da explosão.
8. Duas part́ıculas P e Q estão inicialmente em repouso, separadas por
uma distância de 1 m. A part́ıcula P tem massa m1 = 3, 0 kg, e Q
tem massa m2 = 5, 0 kg. Elas atraem-se mutuamente com uma força
constante de módulo 0,35 N. Nenhuma força externa atua sobre este
sistema.
(a) Descreva o movimento do centro de massa do sistema.
(b) A que distância da posição original de P as part́ıculas vão colidir?
9. Um homem de massa m está pendurado numa escada de corda, sus-
pensa por um balão de massa M. O balão está estacionário em relação
ao solo.
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(a) Se o homem começar a subir pela escada com velocidade de mó-
dulo v (em relação à escada), em que direção e com que velocidade
(em relação à Terra) o balão mover-se-á?
(b) Como se moverá o balão depois que o homem parar de subir?
10. Um avião, cuja massa total éM, em vôo horizontal planado (com motor
desligado) com velocidade de módulo v0 dispara para frente um foguete
de massa m. O foguete sai com velocidade horizontal de módulo vc em
relação ao avião (medida pelo piloto após o lançamento). Calcule as
velocidades do avião e do foguete em relação à Terra imediatamente
após o disparo.
11. Um cachorro de 5,0 kg está de pé, parado dentro de um barco cujo
extremo encontra-se a 6 m da margem, como mostrado na figura. Ele
anda 2,4 m sobre o barco em direção à margem, e depois pára. O barco
tem uma massa de 20 kg, e supõe-se não haver atrito entre ele e a água.
A que distância da margem estará o barco no final da caminhada do
cachorro?
12. Um casal passeia num bote a remo de 100 kg e 3 m de comprimento em
uma lagoa de águas calmas. Em um dado momento, o homem cai fora
do barco, perdendo o remo, e fica a uma distância de 1,5 m da popa
do barco na direção de seu comprimento. Como nenhum dos dois sabe
nadar, a mulher, de 50 kg, resolve andar em direção à proa do barco, a
fim de salvar seu companheiro. Desconsiderando o atrito entre o barco
e a água, determine se a mulher será ou não bem sucedida. Suponha
que o centro de massa do barco está em seu centro geométrico.
13. Um homem de massa M , em repouso, de pé com patins sobre uma
superf́ıcie supostamente sem atrito, atira uma bola de massa m ho-
rizontalmente, com velocidade de módulo v, para outro patinador de
mesma massa, em repouso, que a apanha e a devolve com a mesma
velocidade v. (A velocidade dada corresponde à velocidade em relação
ao patinador antes dele lançar a bola.)
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(a) Calcule a velocidade do primeiro patinador logo após lançar a
bola.
(b) Calcule a velocidade do segundo patinador logo após receber a
bola.
(c) Calcule a velocidade do segundo patinador após lançar a bola de
volta.
14. Determine o centro de massa de um sistema composto por três part́ı-
culas de massas 1,0 kg, 3,0 kg e 6,0 kg, localizadas nos vértices de um
triângulo equilátero de 2 m de lado.
15. Num instante particular, três part́ıculas move-se como mostrado na
figura. Elas estão sujeitas apenas às suas interações mútuas. Após
um certo tempo, elas são novamente observadas; vê-se quem1 move-se
como mostrado na figura, enquanto m2 está parada. Ache a velocidade
de m3. Considere m1 = 2 kg, m2 = 0, 5 kg, m3 = 1 kg, v1 = 1 m/s,
v2 = 2 m/s, v3 = 4 m/s e v01 = 3 m/s.
x
yI N 
Í C
 I O
1v
r 2v
r1
2
030
33v
r
x
yF I
 M
'v1
r
2
?
1
3
16. Um conjunto de part́ıculas possui massa total M = 2 kg. O momento
linear do sistema é dado por ~P = b t ı̂ + c t2ˆ́, onde b = 2 kg m/s2,
c = 4 kg m/s3 e t é dado em segundos. Todas as massas permanecem
constantes.
(a) Determine a velocidade do centro de massa em função do tempo.
(b) Obtenha uma expressão para a força que atua sobre o sistema
como função do tempo.
(c) Calcule o módulo da força externa para t = 1 s.
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17. A posição do centro de massa de um sistema constitúıdo de 4 part́ıculas
de massas m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg e m4 = 4 kg é dada
por XCM = ¡0, 4 m e YCM = ¡0, 1 m. Sabendo que as tr̂es primeiras
part́ıculas estão localizadas nas posições (1, 0), (¡1,¡1) e (¡1, 1), onde
as coordenadas estão dadas em metros, determine a posição da quarta
part́ıcula.
18. Um observador mede as velocidades de duas part́ıculas de massas m1
e m2 e obtém os valores ~v1 e ~v2. Determine:
(a) a velocidade do centro de massa das duas part́ıculas;
(b) a velocidade de cada uma das part́ıculas em relação ao centro de
massa do sistema;
(c) o momento linear de cada part́ıcula em relação ao centro de massa
do sistema.
19. Em uma mesa horizontal, um sistema formado por duas massas m1 =
1 kg e m2 = 3 kg ligadas por uma haste ŕıgida de massa despreźıvel
e comprimento igual a 20 cm está em repouso na posição indicada na
figura. Num certo instante t = 0, passam a atuar as forças ~F1 = 3ˆ́ e
~F2 = ¡4 ı̂ (dadas em Newtons) respectivamente sobre as massas 1 e 2.
Despreze o atrito com a mesa.
- x (cm)
-5 5 10 15
6
y (cm)
w y
(a) Encontre a aceleração do centro de massa do sistema.
(b) Calculea posição do centro de massa do sistema como função do
tempo.
(c) Que tipo de trajetória descreverá o centro de massa?
(d) Responda aos itens anteriores no caso em que a haste ŕıgida for
substitúıda por uma mola de comprimento natural 20 cm e cons-
tante elástica k = 0, 1 N/cm.
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20. Considere uma chapa homogênea de massa M , na forma de um triân-
gulo equilátero de lado a, sobre uma mesa horizontal sem atrito. De-
termine o vetor posição do centro de massa da chapa como função do
tempo, sabendo que as forças constantes ~F1 e ~F2 mostradas na figura
são aplicadas na chapa e que esta parte do repouso na posição indicada
na figura. Dê sua resposta em função dos parâmetros M , a e F , onde
F = |~F1|= | ~F2| .
- x
6
y
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
¢
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
6~F1
HH
HY
~F2
21. Um taco atinge uma bola de bilhar, exercendo sobre ela uma força de
50 N durante um intervalo de tempo de 0,010 s. Se a massa da bola é
de 0,20 kg, que velocidade ela terá após o impacto?
22. Uma bola de 1,0 kg cai verticalmente sobre o solo, com velocidade
de 25 m/s. Ela é rebatida para cima e volta com uma velocidade de
10 m/s.
(a) Que impulso age sobre a bola, durante o contato com o solo?
(b) Se a bola ficou em contato com o solo durante 0,020 s, qual a força
média exercida sobre o solo?
23. Uma bola de borracha de massa 1 kg, que move-se sobre uma mesa
plana sem atrito com velocidade constante de 2 m/s, colide frontal-
mente com um bloco de massa 100 kg, em repouso. O choque é per-
feitamente elástico. Quais as velocidades da bola e do bloco depois do
choque?
24. Uma massa m1, com velocidade de módulo v , choca-se frontalmente
com uma massa m2. Após a colisão, m2 possui velocidade de módulo
u2. A massa m1, chocando-se com a mesma velocidade de módulo v
com a massa m3, faz com que esta adquira uma velocidade de módulo
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u3. Os choques são elásticos e as massas m2 e m3 estão inicialmente
em repouso.
(a) Calcule m1 e v em termos de m2, m3, u2 e u3.
(b) Em 1932, num histórico trabalho de pesquisa, James Chadwick
obteve um valor para a massa do nêutron, estudando colisões
elásticas de nêutrons rápidos com núcleos de hidrogênio e de ni-
trogênio. Ele encontrou que a máxima velocidade final do núcleo
de hidrogênio inicialmente em repouso era 3, 3 × 107 m/s e que
a máxima velocidade final do núcleo de nitrogênio 14 era 4, 7 ×
106 m/s. A massa do núcleo de hidrogênio é uma unidade de
massa atômica (u.m.a.) e a do núcleo de nitrogênio 14 é de 14
u.m.a.. Queremos saber, em u.m.a., qual a massa do nêutron, e a
velocidade inicial dos nêutrons utilizados na reação.
25. Num reator de fissão nuclear, os nêutrons produzidos pela fissão de um
núcleo de urânio devem ser freados, de forma que possam ser absorvidos
por outros núcleos e produzam mais fissões. Esta frenagem é obtida
por meio de colisões elásticas com núcleos, na região de moderação
do reator. Se desejarmos frear os nêutrons com o ḿınimo de colisões
posśıvel, que elementos devem ser usados como material moderador?
Por quê?
26. Considere dois blocos A e B, de massas iguais a 1 kg e 2 kg, respectiva-
mente, colocados sobre uma mesa sem atrito. Uma mola de constante
elástica k = 3 N/cm e de massa despreźıvel está presa ao bloco B.
Prende-se o bloco A ao bloco B por meio de um fio, e neste processo
comprime-se a mola de 10 cm. Num dado momento o fio se rompe.
Determine a velocidade de cada bloco após a separação.
A
A γγγγγγγγ γγγγγγγγ
γγγγγγγγγγγγγγγγ
B
B
a n t e s
depo i s
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27. Considere um choque elástico unidimensional de um corpo A que se
aproxima de um corpo B inicialmente em repouso. Como você escolhe-
ria a massa de B, em relação à massa de A, para que após o choque B
tenha:
(a) a máxima velocidade posśıvel;
(b) o maior momento linear posśıvel;
(c) a máxima energia cinética?
28. Uma part́ıcula de massa m1 e energia cinética inicial T1 colide elastica-
mente com uma part́ıcula de massa m2 inicialmente em repouso. Qual
é a energia máxima que a primeira part́ıcula pode perder durante esta
colisão? (Sugestão: use o referencial do centro de massa do sistema.)
29. Dois corpos de massas m1 = 4 kg e m2 = 2 kg, com velocidades de
módulos v1 = 5 m/s e v2 = 2 m/s, como indicado na figura, colidem e
permanecem juntas após o choque.
m1
m2
v2
v1
(a) Calcule a velocidade das part́ıculas após o choque e a variação na
energia cinética total durante o choque.
(b) Calcule as velocidades iniciais e finais dos corpos num referencial
ligado ao centro de massa do sistema. Faça o esquema da colisão
neste referencial.
(c) Calcule a variação da energia cinética no referencial do centro de
massa do sistema.
30. Como mostrado na figura, observa-se um bloco de madeira com massa
M = 0, 49 kg em repouso num plano horizontal. O coeficiente de atrito
entre o bloco e o plano é µ = 0, 25. Uma bala de massa m = 0, 01 kg é
atirada contra o bloco, atingindo-o horizontalmente com velocidade de
500 m/s, ficando nele engastada.
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(a) Calcule a velocidade do conjunto imediatamente após o impacto.
(b) Ache a distância que o conjunto percorre até parar.
M-m
~v0
31. Um bloco de madeira de massa m2 repousa sobre uma superf́ıcie hori-
zontal, como mostra a figura. O coeficiente de atrito entre o bloco e a
superf́ıcie é µ. Uma extremidade de uma mola, de constante elástica k,
está ligada ao bloco, e a outra extremidade está presa a uma parede.
Inicialmente a mola não está distendida. Uma bala de massa m1 atinge
o bloco e fica grudada nele. Se a deflexão máxima da mola for x,
obtenha a velocidade da bala em função de m1, m2, k, µ, g e x.
°°°°°°° m2
t¾ m1
32. Um vagão de massa m desce uma colina de altura h. Ao final da colina
o solo é horizontal, e o vagão colide com um vagão igual inicialmente
em repouso. Os dois se engatam e começam a subir uma outra colina.
Que altura eles alcançam?
Considere o atrito desprezı́vel.
h
33. Considere o sistema da figura, formado por um conjunto de n massas
suspensas por fios de massas desprezı́veis de forma a não existir contato
entre elas. A primeira massa tem um valor f m0, a segunda f2m0,
a terceira f3m0 e assim sucessivamente at́e a n-ésima, f nm0. Uma
part́ıcula de massa m0 e velocidade ~v0 choca-se com a primeira massa.
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k
fm0
k k k· · · k
fnm0
{ -~v0
m0
(a) Supondo todas as colisões entre as massas perfeitamente elásticas,
mostre que a última massa é ejetada com velocidade
~vn =
"
2
1 + f
#n
~v0 .
(b) Mostre que, para valores de f próximos da unidade (f = 1 + »,
» ¿ 1), este sistema pode ser usado para transferir praticamente
toda a energia cinética da part́ıcula incidente para a última massa
suspensa, mesmo para grandes valores de n.
(c) Calcule, para f = 0, 9 e n = 20, a massa, a velocidade e a energia
cinética da última massa suspensa em função de m0 e de ~v0 da
part́ıcula incidente. Compare com o resultado que seria obtido
numa colisão direta entre a part́ıcula incidente e a última part́ıcula
suspensa.
34. Um átomo de deutério (cujo núcleo, o dêuteron, contém um próton e
um nêutron) com energia cinética de 0, 81 × 10¡13 J colide com um
átomo similar em repouso. Ocorre uma reação nuclear, e é emitido um
nêutron cuja velocidade faz um ângulo reto com a direção da velocidade
do primeiro átomo. Nesta reação, é liberada uma energia de 5, 31 ×
10¡13 J, que é transformada em energia cinética das part́ıculas emitidas.
Determine a energia cinética do nêutron, dado que o outro produto é
um átomo de Hélio 3 e que as massas do nêutron, do deutério e do 3He
são respectivamente 1,67 , 3,34 e 5,00 em unidades de 10¡27 kg.
35. Uma part́ıcula de massa m0 com velocidade de módulo v0 atinge uma
part́ıcula estacionáriade massa 2m0. Como resultado, a part́ıcula de
massa m0 tem a direção de seu movimento defletida de um ângulo de
45± e o módulo de sua velocidade passa a ser v0/2. Ache o vetor ve-
locidade da part́ıcula de massa 2m0 após a colisão. Houve conservação
da energia cinética do sistema?
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36. Mostre que em uma colisão elástica não frontal de duas esferas idênti-
cas, em que uma delas está inicialmente em repouso, o ângulo formado
pelas direções das velocidades finais das duas esferas é sempre ¼/2.
37. Uma part́ıcula de massa m1 e velocidade u1 atinge uma part́ıcula em
repouso de massa m2. O choque é perfeitamente elástico. Observa-se
que depois do choque as part́ıculas têm velocidades iguais e opostas.
Ache:
(a) a relação m2
m1
;
(b) a velocidade do centro de massa do sistema;
(c) a energia cinética total das part́ıculas no referencial do centro de
massa do sistema, em função da energia cinética inicial de m1,
T1 =
1
2 m1 u
2
1 ;
(d) a energia cinética final de m1 no sistema de laboratório.
38. Uma part́ıcula de massa m movendo-se com velocidade v sobre uma
mesa plana sem atrito incide sobre outra part́ıcula de massa 2m, em
repouso. Após o choque, observa-se que a massa m tem velocidade
de módulo 2v/3 fazendo um ângulo de 60± com a direção original do
movimento, do ponto de vista de um observador no laboratório.
(a) Qual a velocidade do centro de massa do sistema antes e depois
do choque?
(b) Qual a velocidade, vista do referencial do centro de massa do
sistema, da part́ıcula de massa 2m após o choque?
39. Uma part́ıcula de massa m, que move-se com velocidade de módulo v,
choca-se com uma part́ıcula em repouso de massa 2m. Em consequência
disto, a part́ıcula de massa m é desviada de 30± da sua direção de
incidência, e fica com uma velocidade final de módulo v/2. Obtenha
a velocidade final da part́ıcula de massa 2m (em módulo, direção e
sentido) depois desta colisão. A energia cinética se conserva durante
a colisão? Resolva este mesmo problema no referencial do centro de
massa do sistema. Observe que ângulos medidos em referenciais que se
movem um em relação ao outro não são necessariamente iguais.
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40. Uma bola de aço de massa 0,5 kg está presa a um cordão de 70 cm de
comprimento e é abandonada quando o cordão está na horizontal. Na
parte mais baixa de sua trajetória, a bola atinge um bloco de aço de
massa 2,5 kg, inicialmetne em repouso sobre uma superf́ıcie lisa, como
mostrado na figura. A colisão é elástica. Determine as velocidades da
bola e do bloco após a colisão.
p
w
p
w
41. O arranjo da figura é chamado de pêndulo baĺıstico. Ele é usado para
determinar a velocidade de um proj́etil, atrav́es da medida da altura h
que o bloco sobe após ter sido atingido pelo proj́etil.
Mt
m -
~v
A
A
A
A
M
h
(a) Prove que a velocidade do proj́etil é dada por
v =
q
2 g h
m+M
m
,
onde m é a massa da bala e M a massa do bloco.
(b) Calcule a energia gasta pelo proj́etil para penetrar no bloco.
42. Uma bala de massa m e velocidade v passa através do bulbo de um
pêndulo de massaM e emerge com velocidade v/2. O fio que suporta o
bulbo tem comprimento `. Qual é o menor valor de v para que o bulbo
do pêndulo gire uma volta completa?
m
v v /2M
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43. Demonstre que, para um sistema de part́ıculas, a variação da energia
cinética total é igual à soma do trabalho total das forças internas e do
trabalho total das forças externas.
44. Considere duas part́ıculas de massas m1 e m2 sujeitas apenas à in-
teração mútua do tipo newtoniano (satisfazendo à terceira lei de New-
ton). Escreva a segunda lei de Newton para cada uma das part́ıculas.
Subtraia uma das equações da outra e mostre então que “o movimento
relativo de duas part́ıculas, sujeitas apenas às suas interações mútuas,
é equivalente, em relação a um observador inercial, ao movimento de
uma part́ıcula de massa µ = m1m2/(m1+m2) – a massa reduzida do
sistema – sob a ação de uma força igual à força de interação”.
45. Seja um sistema de duas part́ıculas de massas m1 e m2 e velocidades
~v1 e ~v2.
(a) Mostre que para um observador que se move com o centro de
massa do sistema a energia cinética vale
Tcm =
1
2
µv02 ,
onde µ = m1m2/(m1 + m2) é a massa reduzida do sistema e
~v0 = ~v1 ¡ ~v2 é a velocidade relativa das duas part́ıculas.
(b) Mostre que para um observador num sistema de refer̂encia qual-
quer a energia cinética do sistema é
T = Tcm +
1
2
M V 2cm ,
ondeM = m1+m2 é a massa total do sistema e ~Vcm é a velocidade
de seu centro de massa.
(c) Qual é o maior valor da energia que pode ser perdida através de
colisões das duas part́ıculas? Suponha o sistema isolado.
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Respostas — Lista de exerćıcios 13
Sistema de Part́ıculas:
Momento Linear, Centro de Massa,
Conservação do Momento, Colisões
1. d1 =
m2
m1+m2
(x2 ¡ x1); se m1 = m2, d1 = 12 (x2 ¡ x1).
w
1
u
2-
cm
d1 d2
2. Se d = |~r1 ¡ ~r2| é a distância entre os dois objetos, d1 = m2m1+m2 d,
d2 =
m1
m1+m2
d, e portanto d1/d2 =m2/m1.
3. ~R = 2 ı̂¡ 74 ˆ́; d1 = 4, 8 m, d2 = 1, 6 m.
4. 0, 66× 105 m/s.
5. 60 m.
6. (a) Fazendo um ângulo de 118± com a direção do momento do elétron,
com módulo 1, 36× 10¡22 kg.m/s.
(b) 1, 6× 10¡19 kg.
7. Um dos fragmentos tem velocidade igual a 5 m/s com a mesma direção
e o mesmo sentido da velocidade inicial do corpo; o segundo fragmento
tem velocidade de 1 m/s, com a mesma direção e sentido oposto ao
sentido da velocidade inicial do corpo.
8. (a) O centro de massa está em repouso inicialmente, e permanece em
repouso.
(b) A 0,75 m de P (sobre o centro de massa do sistema).
Tostadas
Fı́s1 — 04/1 — G.5 — Ex.13 – p. 26
9. (a) A velocidade do homem em relação à Terra vale u = v + V (em
módulo), e V é o módulo da velocidade do balão em relação à
Terra; então V = mv/ (M ¡m) — o balão sobe em relação à Terra
se sua massa for maior do que a massa do homem, e desce se sua
massa for menor.
(b) Ficará em repouso.
10. Avião: (M ¡m)v±/(M ¡ 2m); foguete: mv±/(2m ¡M ), onde o sinal
positivo corresponde ao movimento no mesmo sentido original do avião.
11. A 6,6 m da margem.
12. Não (supondo que o braço do homem mede menos de 0,5 m).
13. (a) u1 = mv/M , com sentido oposto ao da bola.
(b) u2 = mv/(M +m), com o mesmo sentido da velocidade da bola.
(c) u4 = (m/M)m v/(M +m), com sentido oposto ao da velocidade
da bola.
14. Usando um sistema de eixos coordenados onde a direção x é definida
pelas posições das massas de 1,0 kg e de 3,0 kg, com a origem colocada
sobre a posição da massa de 1,0 kg, e com a posição da massa de 6,0 kg
com coordenadas positivas, ~R = 1, 2 ı̂ + 1, 0ˆ́ (em metros).
15. ~v 03 = 4, 5 ı̂¡ ˆ́ (em m/s).
16. (a) ~V = t ı̂ + 2 t2 ˆ́ (em m/s).
(b) ~FEXTRES = 2 ı̂ + 8 t ˆ́ (em N).
(c) F (t = 1) = 8, 2 N.
17. (0,¡0, 5).
18. (a) ~V = (m1~v1+m2~v2)/(m1 +m2).
(b) ~v¤1 = m2 (~v1 ¡ ~v2) /M e ~v¤2 = ¡m1 (~v1 ¡ ~v2)/M , onde M =
m1 +m2
(c) ~p¤1 = ¡~p¤2 =m1m2 (~v1 ¡ ~v2)/M
19. (a) ~A = ¡ ı̂ + 0, 75ˆ́.
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Fı́s1 — 04/1 — G.5 — Ex.13 – p. 27
(b) Considerando a massa 1 como sendo a que está em x1 = ¡5 cm,
~R(t) = (0, 1 ¡ 0, 5 t2) ı̂ + 0, 38 t2ˆ́.
(c) Uma reta; a equação da trajetória é X = 0, 1 ¡ (4/3) Y , ou Y =
3/4 (0, 1 ¡X).
(d) Todas as respostas anteriores ficam iguais, pois o movimento do
centro de massa não depende de forças internas ao sistema.
20. ~R(t) =
³
a
2 ¡
p
3
4
F
M t
2
´
ı̂ +
³
a
2
p
3
+ 34
F
M t
2
´
ˆ́
21. 2, 5 m/s.
22. (a) 35 N.s.
(b) 1, 75 × 103 N.
23. vbola = 4/101 = 0, 04 m/s; vbloco = ¡99/101 = ¡0, 98 m/s.
24. (a) m1 = (m3u3 ¡m2 u2) / (u2 ¡ u3);
v = 0, 5 [(m3 ¡ 2m2) u3 +m2 u2] / (m3 u3 ¡m2 u2).
(b) m = 1, 16 u.m.a., v = 0, 8× 106 m/s.
25.
26. v1 = 1, 4 m/s, v2 = 0, 7 m/s, na mesma direçãoe em sentidos opostos.
27. (a) mB >>> mA, ou mA/mB ! 0 (e nesse caso, vB = 2v±, com v± a
velocidade inicial do corpo A).
(b) mB <<mA, ou mB/mA ! 0 (e nesse caso, pB = 2mBv±).
(c)
28.
29. (a) ~vf = 8/3 v̂1 (em m/s); ¢T = ¡ 98/3 J.
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