Teoria dos Conjuntos

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A teoria dos conjuntos é a base para toda a matemática do ensino médio. Por essa 
razão, torna-se imprescindível conhecer como são definidos os conjuntos e os 
elementos, e também quais são os principais tipos de conjuntos existentes.
1. NOÇÕES DA TEORIA DOS CONJUNTOS
1.1 Conjunto
Um conjunto deve ser nomeado sempre por letras maiúsculas, sejam elas A, B, C, ou 
qualquer outra letra pertencente ao alfabeto. Já em relação a sua representação, existem 
basicamente duas formas de realizá-la, e que podem ser utilizadas de acordo com a 
preferência ou com a necessidade que envolve o assunto: ou o conjunto é expresso entre 
chaves { }, ou então em forma de diagrama. Na imagem acima, tem-se um certo conjunto 
A representado das duas formas que acabamos de citar, mas quando se fala em diagrama, 
ainda devemos ficar atentos ao seguinte detalhe: um diagrama é composto por uma linha 
fechada que jamais pode ser entrelaçada, ou seja, formar uma espécie de “8”.
1.2 Elemento
Para entendermos quem são os elementos de um conjunto, podemos fazer uma 
associação com uma situação cotidiana. Digamos agora que a sua família formará um 
conjunto. Então você, seus pais, avós, irmãos, tios, primos, serão os elementos 
pertencentes a esse conjunto.
Algo parecido acontece na imagem acima. Vejam que os números 1, 2, 3 e 4 são 
elementos pertencentes ao conjunto A. Quando um conjunto está expresso entre chaves, 
CONJUNTO
segunda-feira, 17 de maio de 2021 17:10
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elementos pertencentes ao conjunto A. Quando um conjunto está expresso entre chaves, 
seus elementos podem ser separados por vírgula, ou por ponto e vírgula. Já quando um 
conjunto é expresso na forma de diagrama, então os seus elementos podem ser dispostos 
de forma aleatória, desde que cada um deles esteja sempre ao lado de um “pontinho”.
É interessante lembrarmos aqui, que os elementos de qualquer conjunto não se restringem 
apenas a números ou letras, mas também podem ser outros conjuntos. No item 
seguinte, vamos estudar como relacionar esses diferentes elementos a um mesmo 
conjunto.
1.3 Pertinência entre elemento e conjunto
Estudar a pertinência entre um conjunto e um elemento, significa entender se um 
determinado elemento pertence ou não a um determinado conjunto. Para 
compreendermos bem isso, podemos citar novamente o exemplo do conjunto família. Se 
analisarmos o elemento “pai”, veremos que ele pertence a sua família, portanto pertencerá 
ao conjunto. Contudo, se analisarmos o elemento “amigo”, entenderemos que ele não faz 
parte da família, e por isso não pertencerá ao conjunto.
Para não escrevermos sempre pertence ou não pertence, temos na matemática um 
símbolo específico para o termo, vejam só:
Assim, dado o conjunto B = {5, 6, 7, 8}, podemos dizer que o elemento 6 pertence a B, 
afinal, podemos observá-lo entre as chaves do conjunto. Além disso, também podemos 
dizer que o número 3 não pertence ao conjunto B, já que não conseguimos visualizá-lo. Em 
símbolos, teríamos que:
Tranquilo, não é, pessoal? Mas antes de abordarmos o próximo assunto, é 
essencial reforçarmos um detalhe. Foi dito no item anterior que os elementos de um 
conjunto também podem ser outros conjuntos. Em um caso como esse, nós não 
diremos que um conjunto pertence ou não a outro conjunto, mas sim que um conjunto 
está contido ou não em outro conjunto. Matematicamente, é claro, também existe um 
símbolo para essa definição:
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símbolo para essa definição:
Para entendermos bem a diferença entre as duas denominações, observaremos o seguinte 
conjunto e faremos algumas afirmações:
Vejam que o conjunto F foi representado na forma de diagrama. Além de possuir elementos 
“comuns”, no caso, alguns algarismos, esse conjunto também possui dois elementos que 
são outros conjuntos, A e B. Assim, podemos afirmar o seguinte:
2. DESCRIÇÃO DE UM CONJUNTO
Existem tantos tipos de conjuntos por aí, que muitas vezes a forma de representar um 
deles, acaba não sendo a melhor forma de representar o outro. Por isso, nós vamos ver 
agora como descrever os elementos de um conjunto de diferentes formas. Acompanhem 
com atenção.
2.1 Descrição pela citação de elementos
Citar significa mencionar, ou fazer referência a determinados termos e nomes. Assim, a 
ideia nesse caso é escrever mesmo cada um dos elementos do conjunto em questão, e 
isso pode ser feito sempre através das chaves, ou ainda na forma de diagrama. Vamos a 
alguns exemplos:
Conjunto das vogais•
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Conjunto dos números primos positivos•
Reparem que existe uma diferença crucial entre esses dois conjuntos descritos através da 
citação de seus elementos. No conjunto das vogais, vejam que temos um número de 
elementos finito, afinal existem apenas 5 vogais no nosso alfabeto, e por isso é possível 
escrever todas elas dentro do conjunto. Mas no conjunto dos números primos positivos, nós 
não temos um número de elementos finito, porque os números primos positivos são todos 
os números, a partir de zero, que só são divisíveis por 1 e por eles mesmos sem deixar 
resto. Desta forma, esse conjunto de números inicia em 2, 3, 5, 7, 11 e 
segue infinitamente, nos deixando sem chance de escrever tantos números assim. É 
nesses casos que utilizamos as reticências (…) e com isso damos a ideia de continuidade 
aos conjuntos.
Vale lembrar ainda, que também podemos utilizar as reticências em meio a certos 
elementos de um conjunto. Isso acontece quando o conjunto é finito mas possui tantos 
elementos, que tornam a escrita de todos inviável. Aí basta escrevermos os primeiros e os 
últimos termos do conjunto e pronto!
2.2 Descrição por uma propriedade
Quando descrevemos os elementos de um conjunto através de uma propriedade, significa 
que estamos assumindo que todos os elementos deste conjunto satisfazem essa 
propriedade. A forma de representar isso é descrita logo abaixo:
Para quem não conhece, aquela barra vertical entre as letras x significa tal que. Então, 
estamos afirmando aqui que o conjunto A é formado pelos elementos x tais que esses 
elementos x possuem uma certa propriedade P. Deem uma olhada nesse exemplo para 
que fique bem claro:
Reparem que o que está sendo dito acima, é que o conjunto D é formado por 
elementos x, tais que esses elementos x são divisores inteiros de 5. Mas quais são os 
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elementos x, tais que esses elementos x são divisores inteiros de 5. Mas quais são os 
divisores inteiros do número 5? 5 é um número primo, então:
Divisores positivos: 1 e 5
Divisores negativos: -1 e -5
Assim, podemos reescrever o conjunto D da seguinte maneira:
Agora, antes de finalizarmos nosso texto, vamos estudar 3 conjuntos muito 
conhecidos e que serão muito importantes para os seus estudos. Vem comigo aqui!
3. CONJUNTO UNITÁRIO
Um conjunto unitário é aquele que possui um único elemento.
É importante ressaltar aqui, que quando um conjunto possui um único elemento, significa 
que há um único algarismo, uma única letra, um único estado, uma única fruta, enfim, que 
há apenas um único e solitário elemento no conjunto. Isso não quer dizer que 
necessariamente o elemento do conjunto deva ser o número 1, por exemplo.
Observem o conjunto abaixo para que a ideia fique mais clara:
Olhando rapidamente, não fica evidente que C é um conjunto unitário. Mas vejam que esse 
conjunto é formado por elementos que pertencem ao conjunto dos números naturais, e que 
ao mesmo tempo são valores entre 3 e 5. É claro que o único elemento que pode 
satisfazer essas duas condições é o número 4, não é? Assim poderíamos reescrever o 
conjunto C claramente como um conjunto unitário, olhem só!
4. CONJUNTO VAZIO
Um conjunto vazio é aquele que não possui elemento algum.
Existem duas formas de representar um conjunto vazio. Em uma delas, basta inserir as 
duas chaves normalmente,mas não colocar elemento algum entre elas. Na outra, não há 
necessidade de inserir as chaves, mas apenas uma bolinha cortada ao meio, como é 
possível ver na imagem abaixo:
Pessoal, aí vai um aviso muito importante! É perigoso unir as duas representações do 
conjunto vazio que acabamos de aprender. Ou usamos uma, ou usamos a outra, porque se 
unirmos as duas, teremos na verdade a representação de um conjunto unitário!
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unirmos as duas, teremos na verdade a representação de um conjunto unitário!
Certo, já sabemos o que é um conjunto vazio, como representá-lo e como não representá-
lo, mas em que situações teremos a presença de um conjunto como esse? O conjunto 
vazio surgirá, quando não houver elemento algum que consiga satisfazer a 
condição estabelecida por uma propriedade, ou pelo contexto de determinada questão, 
como nesse exemplo:
O conjunto B deve ser formado elementos que sejam números ímpares e ao mesmo 
tempo divisíveis por 2. Mas gente, vocês já viram algum número ser ímpar e ao mesmo 
tempo ser divisível por 2? Não tem como, não é? Por isso, nesse caso, B é um conjunto 
vazio.
5. CONJUNTO UNIVERSO
Quando desenvolvemos um assunto em matemática, admitimos a existência de um 
conjunto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados nesse assunto. Esse conjunto 
U é chamado de conjunto universo.
A utilização do conjunto universo vai depender muito de que assunto da matemática 
estamos tratando. Por exemplo, se nós estamos resolvendo uma equação e sabemos que 
o resultado dela só pode ser um número positivo, então o conjunto universo dessa 
solução será o conjunto dos números naturais (ℕ). Em muitas equações, são admitidas 
soluções dadas por números positivos e negativos, decimais finitos, ou mesmo dízimas 
periódicas. Nesses casos, podemos dizer que o conjunto universo das soluções dessas 
equações é o conjunto dos números reais (ℝ), e assim por diante!
E hoje, ficamos por aqui! Espero que tudo o que foi visto nesse texto tenha contribuído para 
o conhecimento de vocês, e que também os ajude a resolver uma série de questões! Por 
favor, não deixem de ver o vídeo que estou deixando em anexo. Afinal de contas, com 
mais exemplos, fica ainda mais fácil de entender tudo o que foi abordado.
De <https://blog.professorferretto.com.br/introducao-aos-conjuntos/> 
Um conjunto pode ser dito subconjunto de outro, quando todos os seus elementos também 
fazem parte deste outro conjunto. O conjunto das partes, por sua vez, é um conjunto formado 
por todos os subconjuntos de um conjunto de referência.
1. SUBCONJUNTOS
SUBCONJUNTOS
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http://www.professorferretto.com.br/dizimas-periodicas/
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1. SUBCONJUNTOS
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se todo elemento de A é também elemento de B.
Em outras palavras, podemos dizer que um certo conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se 
todos os elementos que pertencem à A, também pertencerem ao conjunto B. Vamos fazer um 
exemplo para entender bem essa ideia.
1.1 Exemplo resolvido
Dados os conjuntos C = {8, 9, 10, 11}, D = {9, 11}, e E = {6, 9, 12}.
a. D é subconjunto de C?
Sim, D é um subconjunto do conjunto C! Observem que todos os elementos do conjunto D 
também pertencem ao conjunto C.
No texto Introdução aos Conjuntos, nós aprendemos que também podemos representar os 
conjuntos através de diagramas. Olhem só como é realizada a representação em forma de 
diagrama dos conjuntos C e D:
E não é que nessa representação o conjunto D fica localizado dentro do conjunto C? Pessoal, 
sempre que o diagrama de um conjunto puder ser representado dentro do diagrama de outro, 
podem ter certeza que vocês estão diante de um subconjunto!
Bom, se D é subconjunto de C, também podemos dizer que D ⊂ C, ou que D está contido em C. Na 
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Bom, se D é subconjunto de C, também podemos dizer que D ⊂ C, ou que D está contido em C. Na 
verdade, esse símbolo matemático pode ser interpretado de 3 maneiras diferentes, como mostra a 
figura abaixo:
1.1.1 IMPORTANTE
Pessoal, o símbolo ⊂ significa “está contido”, mas se nós o invertermos horizontalmente, teremos 
o símbolo ⊃, que significa “contém”. Aí a ideia é exatamente oposta. Contém, no dicionário, é dito 
como “objeto que em seu interior possui alguma coisa”. É interessante percebermos, no diagrama 
que montamos lá em cima, que C possui em seu interior o conjunto D. Por isso, o correto, nesse 
caso, é dizer que C contém D.
Entendido? Vamos observar um contexto um pouquinho diferente na próxima questão.
b. E é subconjunto de C?
Neste caso, apenas um elemento do conjunto E também pertence ao conjunto C. Por isso, E não é 
subconjunto de C, sob hipótese alguma. Mas quando apenas alguns elementos são comuns a dois 
conjuntos, também é possível realizar uma representação do caso em forma de diagrama.
1.1.2 Entrelaçando os diagramas
Percebam que para realizar a representação em forma de diagrama de dois conjuntos que 
possuem apenas alguns elementos em comum, basta entrelaçar os diagramas destes dois 
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possuem apenas alguns elementos em comum, basta entrelaçar os diagramas destes dois 
conjuntos. Assim, na parte central, que é comum aos dois diagramas, nós inserimos os elementos 
comuns a ambos os conjuntos. Vamos fazer isso para os conjuntos C e E.
Já que E não é subconjunto de C e que nem mesmo C é subconjunto de E, nós utilizamos o 
símbolo ⊄, para relatar que um conjunto “não está contido” no outro.
Bom, nós já estudamos até aqui duas situações interessantes. Na primeira delas, um conjunto é 
dito subconjunto de outro, enquanto que na segunda isso já não pode ser afirmado, apesar de 
alguns elementos ainda serem comuns entre dois conjuntos diferentes. Mas o fato é que também 
existem casos em que não há nenhum elemento comum entre dois conjuntos, ou ainda, 
onde todos os elementos de dois conjuntos diferentes são exatamente os mesmos! Abordaremos 
esses dois conceitos na sequência.
2. CONJUNTOS IGUAIS
Vamos supor agora uma situação diferente. Dados dois conjuntos A e B, diremos que B é 
subconjunto de A, ou seja, todos os seus elementos também pertencem ao conjunto A. Só que ao 
contrário do que vimos até então, adotaremos que A não tem outros elementos além daqueles 
que também pertencem a B. Isso significa que A também é subconjunto de B, ou que A está 
contido em B, assim como B está contido em A. Tudo isso nos leva a seguinte conclusão: A e B 
são conjuntos iguais!
Dois conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Acompanhem os exemplos com atenção:
A = {1, 2}
B = {1, 2}
Aqui não resta dúvida de que A e B são conjuntos iguais. Assim, sabemos que A está contido em B 
assim como B está contido em A.
C = {a, b, c}
D = {c, b, a}
Observem que nesse caso, apenas a ordem dos elementos foi alterada, mas isso pouco importa. 
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Observem que nesse caso, apenas a ordem dos elementos foi alterada, mas isso pouco importa. 
Os conjuntos C e D possuem exatamente os mesmos elementos, a, b e c, e por isso, são conjuntos 
iguais.
E = {1, 2}
F = {1, 2, 2, 2}
O conjunto F possui elementos repetidos, mas isso também não é um problema, afinal, de 
qualquer forma, ambos os conjuntos possuem apenas os elementos 1 e 2. Por isso, E e F são, sem 
sombra de dúvida, conjuntos iguais.
3. CONJUNTOS DISJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, sabe-se que o conjunto A possui alguns elementos, assim como o 
conjunto B. Sóque nesse caso, nenhum elemento de A também pertence ao conjunto B, da 
mesma forma que nenhum elemento de B também pertence ao conjunto A. Isso significa que nem 
ao menos podemos entrelaçar os diagramas dos dois conjuntos, porque não há nada em comum 
ou igual entre eles. Quando isso acontece, os conjuntos são ditos disjuntos.
Dois conjuntos são disjuntos quando não possuem elementos em comum.
Dados os conjuntos G = {1, 2} e o conjunto unitário H = {3}, podemos perceber que eles não 
possuem elemento algum em comum. G e H são conjuntos disjuntos, e a sua representação em 
forma de diagrama pode ser vista na imagem abaixo.
4. CONJUNTO DAS PARTES
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4. CONJUNTO DAS PARTES
Seja um conjunto A, o conjunto das partes de A, representado por P(A), é o conjunto formado por 
todos os subconjuntos de A.
Vejam que o conjunto das partes é um conjunto formado pelas “partes” de um conjunto de 
referência. Se essa referência for um certo conjunto A, por exemplo, então, teremos o conjunto 
das partes de A, P(A). Mas que partes são essas? Os elementos de um conjunto das partes, são, na 
verdade, outros conjuntos, e mais precisamente são todos os subconjuntos que podem ser 
formados a partir dos elementos do conjunto de referência.
Isso soa bem confuso, não é? Por isso, vamos ver através de um exemplo, como obter todos os 
subconjuntos que podem ser formados a partir dos elementos de um determinado conjunto 
referência. Vem comigo!
Dado o conjunto A = {1, 2}. Aponte todos os subconjuntos que podem ser formados a partir dos 
elementos de A.
Poderíamos apontar aqui, logo de cara, dois subconjuntos formados pelos elementos do conjunto 
A: os conjuntos unitários {1} e {2}. Mas será que só conseguimos montar subconjuntos a partir de 
combinações diferentes dos elementos de um certo conjunto? É quase isso! Existem duas 
propriedades que nos mostram que além dessas combinações, todo conjunto sempre tem dois 
subconjuntos definidos: são as propriedades da inclusão.
4.1 Propriedades da Inclusão
Através das propriedades que acabamos de conhecer, podemos concluir que além dos dois 
subconjuntos do conjunto A que já encontramos, também são subconjuntos de A, o conjunto 
vazio, e o próprio conjunto A.
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vazio, e o próprio conjunto A.
Portanto, podemos representar o conjunto das partes de A da seguinte maneira:
P(A) = {{1}, {2}, {1, 2}, ∅}
Se um conjunto A possui n elementos, então o número de subconjuntos de A é igual 2n.
Isso explica porque acabamos de encontrar 4 subconjuntos para o conjunto A, afinal 2² = 4. Vamos 
descobrir agora, quantos e quais são os subconjuntos do conjunto dado abaixo:
B = {a, b, c}
São 3 elementos. Portanto teremos 2³ subconjuntos de B, ou seja, a partir do conjunto B podem 
ser formados 8 subconjuntos. Nós já conhecemos, devido as propriedades da inclusão, 2 destes 
subconjuntos: o conjunto vazio e o próprio conjunto B. Vamos combinar os elementos a, b e c de 
forma a encontrar os 6 demais subconjuntos de B.
A união de dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a 
B. Já a intersecção de A e B, pode ser dita como o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem a A e a B. Isso nos mostra que as conjunções “ou” e “e” tem um papel importante 
nas operações com conjuntos.
1. REVISANDO A TEORIA DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos A e B, vejam o que pode acontecer quando estes possuem, ou não, 
elementos em comum:
Caso todos os elementos de A também pertençam ao conjunto B, fica evidente que A 
é subconjunto do conjunto B, ou que A está contido em B, ou ainda que A é parte de B. A 
representação em forma de diagrama de um caso como esse é apresentada na imagem abaixo:
•
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representação em forma de diagrama de um caso como esse é apresentada na imagem abaixo:
Caso nenhum elemento de A também pertença ao conjunto B, e claro, nenhum elemento de B 
também pertença ao conjunto A, pode se dizer que A e B são conjuntos disjuntos. Nesse caso, 
o diagrama de cada um dos conjuntos é representado da seguinte forma:
•
E, por fim, pode ser que apenas alguns elementos do conjunto A também pertençam ao 
conjunto B e vice-versa. Nesse caso, é comum entrelaçar os diagramas, para que os elementos 
comuns a ambos os conjuntos se localizem na região comum aos dois diagramas, como mostra 
a imagem:
•
Neste momento, nós já estamos preparados para saber tudo sobre a união e a intersecção entre 
dois conjuntos. Então, vem comigo aqui!
2. UNIÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencem ou a A ou a B.
O quadro abaixo mostra como é possível definir a união entre dois conjuntos A e B em forma 
de símbolos:
Observem que a união entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “∪”. Assim, podemos 
afirmar que a união de A e B é o conjunto formado pelos elementos x, tais que esses 
elementos x pertençam ou ao conjunto A ou ao conjunto B ou a ambos os conjuntos.
O ou, dentro das classes gramaticais, é uma conjunção coordenativa alternativa. E uma alternativa 
pode ser dita como “uma de duas ou mais possibilidades pelas quais se pode optar”. 
Portanto, basta que um elemento pertença a um dos conjuntos citados, e ele fará parte da união 
entre esses dois conjuntos. Olhem só como destacamos a região que representa a união entre dois 
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entre esses dois conjuntos. Olhem só como destacamos a região que representa a união entre dois 
conjuntos A e B nos 3 casos que revisamos no início do texto:
Vejam como a característica da união acaba por abranger todos os elementos dos conjuntos que 
são analisados. Isso acontece porque, para pertencer ao conjunto união, é possível, mas não é 
necessário, que os elementos pertençam a ambos os conjuntos, desde que pertençam a pelo 
menos um deles. Vocês verão agora, como a intersecção entre dois conjuntos se mostra 
bastante diferente do que acabamos de estudar.
3. INTERSECÇÃO
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e a B.
O quadro abaixo mostra como é possível definir a intersecção entre dois conjuntos A e B em forma 
de símbolos:
A intersecção entre dois conjuntos é representada pelo símbolo “∩”. Assim, podemos afirmar que 
a intersecção de A e B é o conjunto formado pelos elementos x, tais que esses 
elementos x pertençam tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B, ou seja, que esses elementos 
pertençam a ambos os conjuntos.
O e, dentro das classes gramaticais, é uma conjunção coordenativa aditiva. A palavra “aditiva” vem 
de adicionar, e quando realizamos uma adição, realizamos essa operação entre dois termos, ou 
dois valores. Essa ideia pode nos ajudar a entender a intersecção. Para que um elemento faça parte 
da intersecção entre dois conjuntos, não é suficiente que ele pertença somente a um dos 
conjuntos analisados, ele deve ser comum aos dois conjuntos. Por isso, só iremos destacar uma 
determinada região nos diagramas dos conjuntos A e B, se esta for comum aos dois, como mostra a 
imagem abaixo nos 3 casos que revisamos no início do texto:
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Reparem que quando dois conjuntos são disjuntos,não há elementos em comum entre eles. Por 
esse motivo, também não há área comum entre os diagramas. Isso só pode significar que a 
intersecção entre dois conjuntos disjuntos é igual ao conjunto vazio.
Certo, pessoal? Sendo assim, antes de partirmos para os famosos exercícios resolvidos, podemos 
aproveitar para dar uma olhada em algumas propriedades muito interessantes. Sigam comigo!
4. PROPRIEDADES DA UNIÃO E DA INTERSECÇÃO
Agora que já conhecemos todas as propriedades da união e da intersecção, vamos conversar um 
pouco sobre cada uma delas. Reparem primeiramente na propriedade 1: tanto a união quanto a 
intersecção entre dois conjuntos A iguais, resulta, claramente, no próprio conjunto A.
Já quando se fala na propriedade 2, as coisas são diferentes para união e para a intersecção. Algo 
que é neutro, é definido como algo imparcial, indiferente, que não se envolve ou se compromete. 
Para ficar ainda mais claro, podemos pensar aqui em algo que não faz diferença ou que não causa 
mudança.
É por isso que o conjunto vazio é o elemento neutro da união e que o conjunto universo é o 
elemento neutro da intersecção. Quando um conjunto A, que possui uma série de elementos, une-
se a um conjunto que não possui elemento algum, é obvio que prevalecerão os elementos do 
próprio conjunto A. Já quando há a intersecção entre um certo conjunto A, que possui 
determinados elementos, e um conjunto ao qual pertencem todos os números existentes, é claro 
que irão prevalecer os elementos comuns a ambos os conjuntos, que são os próprios elementos do 
conjunto A.
Louco, não é? Mas não se preocupem, as propriedades 3 e 4 são um pouquinho mais 
simples. Comutar, significa mudar, ou realizar a troca entre algo. Por isso, a propriedade 
comutativa nos informa que não importa se a ordem dos conjuntos A e B for alterada na hora de 
realizar a união ou a intersecção dos mesmos: o resultado será o mesmo!
E finalmente, resta-nos compreender que associar alguns elementos significa reuni-los ou agrupá-
los. A propriedade 4, chamada de associativa, nos mostra que é possível associar de maneiras 
diferentes a união e a intersecção de diversos conjuntos, e o resultado será igual para todas as 
associações realizadas.
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associações realizadas.
5. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
É chegada a hora de aplicarmos tudo o que aprendemos hoje resolvendo alguns exercícios. 
Acompanhem comigo!
Encontre o conjunto união e o conjunto intersecção de A e B, nos casos abaixo:
a) A = {a, b, c} e B = {c, d}
Reparem que o conjunto A é formado pelos elementos a, b, e c. Enquanto isso, o conjunto B é 
formado pelos elementos c e d. Para encontrar a união de A e B, basta copiarmos todos os 
elementos do conjunto A e todos os elementos do conjunto B. Caso houverem elementos em 
comum, não é necessário copiá-los duas vezes, de forma que:
A ∪ B = {a, b, c, d}
Para encontrar a intersecção de A e B, basta procurarmos pelos elementos em comum entre os 
dois conjuntos. Vejam que nesse caso, apenas o elemento c é comum a ambos os conjunto. Assim, 
temos que a intersecção de A e B é um conjunto unitário:
A ∩ B = {c}
Realizar a representação na forma de diagrama dos dois conjuntos pode ajudar, e muito, a 
obtermos os conjuntos união e intersecção que estamos procurando. Abaixo, segue a 
representação em diagrama dos conjuntos A e B. Na sequência, vocês verão as 
regiões destacadas que representam a união e a intersecção entre os dois conjuntos.
b) A = {5, 6} e B = {8, 9}
Neste caso, o conjunto A possui os elementos 5 e 6. Já o conjunto B possui os elementos 8 e 9. 
Assim, a união de A e B fica fácil, não é mesmo? Copiamos os elementos que pertencem ao 
conjunto A e também os elementos que pertencem ao conjunto B. Se houverem elementos em 
comum, não é necessário repeti-los.
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comum, não é necessário repeti-los.
A ∪ B = {5, 6, 8, 9}
Quando A e B são disjuntos …
Só que a verdade é que nessa questão não existem elementos em comum entre os conjuntos A e 
B. Por isso, podemos afirmar que A e B são conjuntos disjuntos e que a intersecção entre eles 
resulta no conjunto vazio.
A ∩ B = { }
É claro que não podemos deixar de representar os conjuntos deste exemplo em forma de 
diagrama. Por isso, deem uma olhada na imagem abaixo antes de seguir com o texto.
c) A = {4, 7} e B = {4, 6, 7}
Observem que os elementos do conjunto A são os números 4 e 7. Já os elementos do conjunto B 
são os números 4, 6 e 7. Parece que tem algo parecido aí, não é mesmo? É claro que tem: todos os 
elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, e portanto pode-se dizer que A é 
subconjunto de B. Assim, é evidente que a união de A e B, e a intersecção de A e B, são os 
conjuntos descritos abaixo:
A ∪ B = {4, 6, 7}
A ∩ B = A = {4, 7}
A representação em forma de diagrama dos conjuntos A e B deste caso pode ser vista na 
imagem abaixo. Além disso, é possível acompanhar o destaque que representa a união e a 
intersecção entre os dois conjuntos.
As operações de união, intersecção e diferença entre os intervalos.
A = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x < 4}
B = {x ∈ ℝ | x > 2}
C = ] –∞, 3]
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C = ] –∞, 3]
E aí, o que acharam deles? Vejam que A e B estão sendo representados na forma de conjunto, 
enquanto C está sendo representado na forma de intervalo em si. Observem também, que o 
intervalo A é fechado a esquerda e aberto a direita, enquanto os intervalos B e C são infinitos, 
indo em direção ao “mais infinito” e ao “menos infinito” respectivamente. Mas como foi dito logo 
no início do texto, é a representação geométrica que pode nos ajudar a realizar as operações 
entre esses intervalos. Por isso, nossa primeira tarefa de hoje será obter a representação 
geométrica de A, B, e C.
Agora nós já estamos prontos para realizar qualquer operação entre A, B e C. E para que tudo seja 
feito corretamente, é importante seguir os passos listados na sequência:
1º: Posicionar a representação geométrica dos dois ou mais intervalos envolvidos uma embaixo da 
outra, e logo abaixo disso, traçar uma reta que representará geometricamente o resultado da 
operação.
2º: Traçar um pontilhado vertical na região de cada bolinha que representa os valores de 
referência dos intervalos.
3º: Compreender direitinho o conceito da operação que será realizada, seja ela a união, 
a intersecção ou mesmo a diferença entre dois ou mais intervalos, e por fim, representar o 
resultado.
INTERVALOS REAIS
Vejam que os intervalos envolvidos neste caso são o A e o B. Portanto, vamos redesenhar 
a representação geométrica de cada um deles, uma embaixo da outra, e logo abaixo delas 
colocaremos uma reta que representará o resultado da operação.
Através da imagem acima, é possível perceber que os valores de referência dos intervalos 
envolvidos na operação são –1, 2 e 4. Vamos traçar um pontilhado vertical na região de cada 
bolinha que representa esses valores, pois isso facilitará a resolução da operação logo mais.
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bolinha que representa esses valores, pois isso facilitará a resolução da operação logo mais.
Agora, é chegada a hora em que finalmente iremos realizar a operação em si! O símbolo ⋃
representa a união, cujo conceito é o seguinte:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjunto formado pelos elementos que 
pertencemou a A ou a B.
Segundo essa definição, qualquer valor numérico que pertença ou a A ou a B, ou aos dois 
intervalos, fará parte da união entre estes dois intervalos. Voltando a imagem acima, nós podemos 
perceber que os valores de A iniciam em –1, incluindo o próprio –1 e vão até o 4 sem incluí-lo. Por 
sua vez, o intervalo B inicia em 2, sem incluí-lo, e segue rumo ao mais infinito. Aí é muito 
importante repararmos, que apesar do 4 não fazer parte de A, ele faz parte do intervalo B, da 
mesma forma que embora o valor 2 não faça parte de B, ele faz parte do intervalo A. Como na 
operação da união, basta que o valor numérico se localize em um dos intervalos para fazer parte 
da solução, o conjunto A ⋃ B será formado por todos os valores reais maiores ou iguais a –1.
A ⋃ B = [ –1, +∞ [ = {x ∈ ℝ | x ≥ –1}
Interessante, não é mesmo? Vamos ao próximo exemplo, onde realizaremos uma nova união entre 
dois intervalos. Isso nos permitirá ser um pouco mais breves, acompanhem!
2. A ⋃ C
Agora, os intervalos envolvidos são o A e o C. Vamos redesenhar a representação geométrica de 
cada um deles, a reta que representará o resultado da operação, e também os pontilhados 
verticais em cada um dos valores de referência de ambos os intervalos.
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verticais em cada um dos valores de referência de ambos os intervalos.
Novamente, por estarmos tratando de uma união, sabemos que qualquer valor que pertença ao 
intervalo A, ao intervalo C ou a ambos os intervalos, fará parte da solução. O intervalo A inicia 
em –1, incluindo o próprio –1, e termina 4, sem incluí-lo. Já o intervalo C vem lá de menos infinito e 
termina em 3, o incluindo. Assim, é fato que todos os valores que vem de menos infinito, 
incluindo –1 e 3 que pertencem a ambos os intervalos, fazem parte da solução. Além disso, valores 
que iniciam depois de 3 e vão até 4, sem incluí-lo, também fazem parte da solução, afinal 
pertencem a pelo menos um dos intervalos, o A.
A ⋃ C = ] –∞, 4 [ = {x ∈ ℝ | x < 4}
3. A ⋂ B
Parece que mudamos de operação, não é mesmo? O símbolo ⋂, representa a intersecção, cujo 
conceito é o seguinte:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se intersecção de A e B o conjunto formado pelos elementos 
que pertencem a A e a B.
Segundo essa definição, só farão parte da interseção entre os intervalos A e B, os valores que 
pertencerem a ambos os intervalos simultaneamente. Assim, vamos redesenhar a representação 
geométrica de cada um deles, a reta que representará o resultado da operação, e também os 
famosos pontilhados verticais de que tanto temos falado. Em seguida, poderemos fazer a análise 
da situação.
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da situação.
Vejam que nesse caso, os únicos valores que pertencem a ambos os intervalos 
simultaneamente se situam entre 2 e 4, sem incluí-los, afinal, o valor 4 pertence apenas ao 
intervalo B, enquanto o valor 2 pertence apenas ao intervalo A.
A ⋂ B = ] 2, 4 [ = {x ∈ ℝ | 2 < x < 4}
Viram como a intersecção exige um pouquinho mais de cuidado? Mas não se preocupem, vamos a 
mais um exemplo sobre o assunto!
4. A ⋂ C
Conhecendo o conceito de intersecção e observando a imagem acima, nós podemos concluir que 
os únicos valores que pertencem a A e a C simultaneamente, são aqueles que começam em –1 e 
terminam em 3, incluindo os próprios –1 e 3, já que ambos também pertencem aos dois intervalos.
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A ⋂ C = [ –1 , 3 ] = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x ≤ 3}
5. A ⋂ B ⋂ C
E aí, o que acharam deste novo exemplo? Apesar da operação parecer complicada, acreditem, não 
muda quase nada quando a comparamos com os exemplos anteriores. Vamos redesenhar a 
representação geométrica dos 3 conjuntos, a reta que representará o resultado da operação, e os 
pontilhados verticais normalmente. Em seguida, usaremos o conceito de intersecção que já 
conhecemos para definir o resultado.
Observem que o único trecho de valores que pertence aos três conjuntos simultaneamente é 
aquele que inicia no valor 2, sem incluí-lo, afinal este valor não faz parte do intervalo B, e vai até o 
número 3, incluindo-o, já que 3 pertence aos três intervalos simultaneamente.
A ⋂ B ⋂ C = ] 2 , 3 ] = {x ∈ ℝ | 2 < x ≤ 3}
Tudo tranquilo, pessoal? E para quem não está conseguindo enxergar direitinho os valores que 
pertencem a todos os conjuntos envolvidos no meio de tantas representações, fica a aquela dica 
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pertencem a todos os conjuntos envolvidos no meio de tantas representações, fica a aquela dica 
ninja que não dá para perder!
Se vocês focarem nos espaços entre os pontilhados verticais, fica muito mais fácil de estabelecer 
onde todos os intervalos estão definidos, e onde eles possuem valores simultaneamente.
Beleza? Então vamos a última operação com intervalos de hoje!
6. A – B
Já que já redesenhamos a representação geométrica dos intervalos A e B, a reta que representará 
o resultado da operação, e também os pontilhados verticais que nos ajudarão a determinar a 
solução do caso, vamos revisar o conceito de diferença entre dois intervalos:
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B, o conjunto formado pelos elementos 
de A que não pertencem a B.
Segundo esta definição, para obtermos a diferença entre os intervalos A e B, basta descontarmos 
ou removermos do intervalo A os valores que também pertencem ao intervalo B. Observando a 
imagem acima, nós podemos perceber que os únicos valores de A que também pertencem ao 
intervalo B são aqueles que se situam entre 2 e 4, sem incluí-los, afinal o 4 não pertence ao 
intervalo A, enquanto o 2 não pertence ao intervalo B. Por isso, vamos remover esses valores, e a 
região do intervalo A que restar será o resultado da operação.
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A – B = [ –1 , 2 ] = {x ∈ ℝ | –1 ≤ x ≤ 2}
Reparem, pessoal, que o fato do número 2 pertencer ao intervalo A mas não pertencer ao intervalo 
B, fez com que ele não fosse excluído da solução. Por isso, obtivemos como resultado um intervalo 
fechado a esquerda e a direita. Nosso último exemplo do texto abordará um contexto um 
pouquinho diferente, olhem só!
7. B – C
Neste caso, como deveremos calcular a diferença entre os intervalos B e C, nós precisaremos 
descontar do intervalo B os valores que também pertencem ao intervalo C. Visto isso, podemos 
observar na imagem acima, que os únicos valores de B que também pertencem a C são aqueles 
que começam depois de 2, já que 2 não pertence a B, e vão até 3, incluindo o próprio 3, uma 
vez que ele pertence a ambos os intervalos. Excluindo ou removendo esses valores em comum do 
conjunto B, nós concluímos que pertencerão a solução todos os valores reais superiores a 3, sem 
incluí-lo.
B – C = ] 3 , +∞ [ = {x ∈ ℝ | x > 3}
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De <https://blog.professorferretto.com.br/operacoes-com-intervalos/> 
ASSISTAM AOS VÍDEOS:
https://youtu.be/Wxm3ugnq9Sw
Conjuntos: Introdução (Aula 1 de 4)
Conjuntos: Subconjuntos e 
Conjunto das Partes (Aula 2 de 4)
Conjuntos: União e 
Intersecção (Aula 3 de 4)
Conjuntos: Diferença e 
Complementar (Aula 4 de 4)
Conjuntos Numéricos: Intervalos 
Reais, Operações e Propriedades 
(Aula 4 de 4)
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https://blog.professorferretto.com.br/operacoes-com-intervalos/
https://youtu.be/Wxm3ugnq9Sw
https://youtu.be/0aUEDxYjZg8
https://youtu.be/Wxm3ugnq9Sw
https://youtu.be/Wxm3ugnq9Sw
https://youtu.be/c5a99sX-Sq8
https://youtu.be/c5a99sX-Sq8
https://youtu.be/eZfFpnvudR0
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https://youtu.be/OPACJhL_mLY
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