Geometria Espacial Tronco de Pirâmide

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Geometria Espacial: 
TRONCO DE PIRÂMIDE 
Prof. Mestre Hamilton Brito 
2021 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRONCO DE PIRÂMIDE 
1) DEFINIÇÃO DE TRONCO DE PIRÂMIDE 
Seccionando uma pirâmide por um plano 
paralelo à base, separamos essa pirâmide em dois 
sólidos: 
1 – O sólido que contém o vértice é uma nova 
pirâmide. 
2 – O sólido que contém a base da pirâmide 
dada é um tronco de pirâmide de bases paralelas. 
 
 
2) RAZÃO DE SEMELHANÇA 
A razão entre lados homólogos (arestas, altura) 
são iguais. 
 
 
𝒂𝒊
𝑨𝒊
=
𝒍𝒊
𝑳𝒊
=
𝒉
𝑯
= 𝒌 
 
Já a razão entre as áreas das bases, a razão 
entre as áreas laterais e a razão entre as áreas totais 
das duas pirâmides é igual ao quadrado da constante 
de proporcionalidade. 
 
𝑏
𝐵
=
𝐴𝑙
𝐴𝐿
=
𝐴𝑡
𝐴𝑇
= 𝑘2 
 
A razão entre os volumes das duas pirâmides 
é o cubo da constante de proporcionalidade. 
𝑣
𝑉
= 𝑘3 
 
3) VOLUME DE TRONCO DE PIRÂMIDE 
Sendo B a área da base maior, b a área da base 
menor e h a altura do tronco da pirâmide, o volume é 
igual a: 
𝑉 =
ℎ
3
. [𝐵 + √𝐵. 𝑏 + 𝑏] 
 
4) EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO 
1) Determinar o volume do tronco de pirâmide abaixo. 
 
Solução: 
As bases são quadradas cujas áreas são 
B=22=4 cm2 e b=12=1 cm2. Precisamos determinar a 
altura. Para isso, vamos usar o trapézio lateral de altura 
1,5 cm. Não esqueça que 1,5 cm é a altura do trapézio 
e não do tronco. Olhando seccionalmente para o 
tronco, temos a seguinte configuração: 
 
Conhecimentos Geométricos: Geometria Espacial: 
Tronco de Pirâmide 
Competência de área 2 - Utilizar o conhecimento 
geométrico para realizar a leitura e a representação 
da realidade e agir sobre ela. 
H7 - Identificar características de figuras planas ou 
espaciais. 
H8 - Resolver situação-problema que envolva 
conhecimentos geométricos de espaço e forma. 
H9 - Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e 
forma na seleção de argumentos propostos como 
solução de problemas do cotidiano. 
 
 
 
 
 
 
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TRONCO DE PIRÂMIDE 
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Podemos usar o teorema de Pitágoras no 
triângulo destacado e determinar h lembrando que 
1,5=3/2. 
(
3
2
)
2
= ℎ2 + (
1
2
)
2
 
ℎ2 =
9
4
−
1
4
=
8
4
= 2 
𝒉 = √𝟐 
Portanto, o volume é: 
𝑉 =
ℎ
3
. [𝐵 + √𝐵. 𝑏 + 𝑏] 
𝑉 =
√2
3
. [4 + √4.1 + 1] 
𝑽 =
√2
3
. (4 + 2 + 1) =
𝟕√𝟐
𝟑
 𝒄𝒎𝟑 
2) (ENEM 2020) Uma das Sete Maravilhas do Mundo 
Moderno é o Templo de Kukulkán, localizado na cidade 
de Chichén Itzá, no México. Geometricamente, esse 
templo pode ser representado por um tronco reto de 
pirâmide de base quadrada. 
As quantidades de cada tipo de figura plana que 
formam esse tronco de pirâmide são: 
A) 2 quadrados e 4 retângulos. 
B) 1 retângulo e 4 triângulos isósceles. 
C) 2 quadrados e 4 trapézios isósceles. 
D) 1 quadrado, 3 retângulos e 2 trapézios retângulos. 
E) 2 retângulos, 2 quadrados e 2 trapézios retângulos. 
 
Solução: A imagem abaixo mostra o citado Templo. 
 
 
 
 Como esse templo é um tronco reto de pirâmide 
de base quadrada, pode ser esquematizado como 
sendo: 
 
Fica fácil ver que ele é composto por 2 
quadrados e 4 trapézios isósceles. 
Resp.: C 
 
3) (ENEM 2011) Uma fábrica produz velas de parafina 
em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm 
de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são 
formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de 
pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte 
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a 
base superior de cada bloco é igual à base inferior do 
bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando 
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. 
 
Se o dono da fábrica resolver diversificar o 
modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 
1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo 
molde, quanto ele passará a gastar com parafina para 
fabricar uma vela? 
a) 156 cm3 
b) 189 cm3 
c) 192 cm3 
d) 216 cm3 
e) 540 cm3 
 
Solução: O que a questão pede é o volume resultante. 
A altura total (19 cm) é formada pelos 3 cm de 
espaçamento entre cada bloco mais as 4 alturas dos 4 
blocos que são todas iguais. Assim sendo, cada bloco 
terá altura igual a ℎ =
19−3
4
= 4 𝑐𝑚. 
Vamos trabalhar os 3 blocos como um tronco de 
pirâmide único. Pelo comando, a base menor tem aresta 
1,5 cm e a base maior aresta 6 cm, ambas quadradas e 
a altura igual a H=3.4=12 cm. Assim sendo, o total de 
parafina é: 
𝑉 =
ℎ
3
. [𝐵 + √𝐵. 𝑏 + 𝑏] 
𝑉 =
12
3
. [62 + √62. 1,52 + 1,52] 
𝑽 = 4. (36 + 9 + 2,25) = 𝟒. 𝟒𝟕, 𝟐𝟓 = 𝟏𝟖𝟗 𝒄𝒎𝟑 
Resp.: B 
 
 
 
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4) (DESTAQUE 2021) Um recipiente em forma de 
tronco de pirâmide é abastecido com uma torneira de 
vazão constante. À medida que ele é abastecido, o 
líquido atinge uma altura h conforme a imagem abaixo. 
 
 Qual dos gráficos abaixo pode representar a 
altura h em função do tempo t? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
Solução: O segredo é verificar como se comporta a 
largura do recipiente. Temos 3 condições: 
• Largura diminui: se isso ocorrer, então a altura 
aumentará a uma taxa rápida e o gráfico é 
uma curva crescente com concavidade 
voltada para cima. Exemplo: água entrando em 
um cone com o bico voltado para cima. 
 
• Largura constante: se isso ocorrer, então a 
altura aumentará a uma taxa constante e o 
gráfico é uma reta crescente. Exemplo: água 
entrando em um cilindro. 
 
• Largura aumenta: se isso ocorrer, então a 
altura aumentará a uma taxa lenta e o gráfico 
é uma curva crescente com concavidade 
voltada para baixo. Exemplo: água entrando 
em uma pirâmide invertida. 
 
 
Como no nosso tronco da pirâmide a largura vai 
diminuindo à medida que a água sobe, então o gráfico é 
uma curva crescente com a concavidade voltada para 
cima. 
Resp.: D 
 
5) (DESTAQUE 2021) Um recipiente fechado em forma 
de pirâmide quadrada de aresta da base igual a 4 cm 
 
 
 
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contém um líquido até uma altura h=6 cm formando uma 
secção transversal quadrada de área 8 cm2 conforme 
figura 1. 
 
Figura 1 
 
 Uma pessoa virou esse recipiente de forma que o 
líquido passasse a ocupar o formato de um tronco de 
cone de altura 12/7 cm e base menor com área b 
conforme figura 2. 
 
Figura 2 
 
 Pode-se concluir que o valor da área da base 
menor b é: 
a) 4 𝑐𝑚2 
b) 8 𝑐𝑚2 
c) 12𝑐𝑚2 
d) 30 𝑐𝑚2 
e) 36 𝑐𝑚2 
 
Solução: Vamos calcular o volume de líquido na figura 
1. Como se trata de uma pirâmide de área da base Ab=8 
cm2, então é só fazer: 
𝑉 =
𝐴𝑏 . ℎ
3
=
8.6
3
= 16 𝑐𝑚3 
 Como se vê, a quantidade de líquido na figura 2 
continua a mesma. Lembrando que neste caso B=16 
cm2. Como temos agora um tronco de pirâmide então: 
𝑉 =
ℎ
3
. (𝐵 + √𝐵. 𝑏 + 𝑏) = 16 
12
7
3
. (16 + √16. 𝑏 + 𝑏) = 16 
16 + √16. 𝑏 + 𝑏 = 28 
√16. 𝑏 + 𝑏 = 28 − 16 = 12 
√16. 𝑏 + 𝑏 = 12 
√16𝑏 = 12 − 𝑏 
(√16𝑏)
2
= (12 − 𝑏)2 
16𝑏 = 144 − 24𝑏 + 𝑏2 
𝑏2 − 40𝑏 + 144 = 0 
 Resolvendo a equação acima, temos: 
{
𝑏′ = 4
𝑏′′ = 36 (𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒)
 
 A raiz b=36 cm2 não serve por dois motivos: 
primeiro que a área b não pode ser maior que A=8 cm2 
(área da figura 1). Segundo que podemos ver que ao 
substituir b=36 na equação √16𝑏 = 12 − 𝑏 teríamos: 
√16𝑏 = 12 − 𝑏 
√16.36 = 12 − 36 
24 = −24 (𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜) 
 Na realidade, b=36 é o que chamamos de raiz 
estranha da equação racional. 
Resp.: A 
 
6) (DESTAQUE 2021) A partir de um tronco de pirâmide 
ABOPKJML de bases com arestas 2 cm e 4 cm e altura 
h, foi traçada uma pirâmide ABOPI sendo I o ponto 
central da face KJML. Qual a razão entre os volumes do 
tronco e da pirâmide? 
 
a) 4/7 
b) 7/4 
c) 5/4 
d) 3/4 
e) 5/3 
 
 
 
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5) EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) (DESTAQUE 2021) A cafeteira italiana ou cafeteira 
moka é uma cafeteira à pressão queelabora o café por 
meio de vapor de água. O invento foi patenteado pelo 
inventor Luigi De Ponti em nome de Alfonso 
Bialetti em 1933, cuja empresa, Bialetti continua 
produzindo o mesmo modelo, denominado "Moka 
Express". 
 Geometricamente, a cafeteira italiana pode ser 
representada como dois troncos de pirâmides unidos 
pela base menor que é comum aos dois troncos. Como 
ilustrado na imagem abaixo, o tronco inferior é usado 
com a água que vai ferver e gerar vapor que por sua vez 
vai atingir o pó do café, produzindo o café líquido. 
 
 Suponha que cada um dos troncos seja 
eneagonal conforme ilustra a imagem abaixo e que 141 
ml de água em uma cafeteira italiana renda em torno de 
3 xícaras de café. 
 
Considerando √2 ≈ 1,4 e √51 ≈ 7,1 e 
mantendo-se a proporção de quantidade de xícaras por 
mililitro, o total de xícaras que a cafeteira acima pode 
produzir é aproximadamente: 
a) 9 
b) 11 
c) 14 
d) 15 
e) 18 
 
2) (DESTAQUE 2021) A pirâmide ABCDE de altura h=6 
cm foi seccionada por um plano MJKL paralelo à sua 
base a 1/3 de sua altura. 
 
 Qual a razão entre o volume do tronco 
ABCDMJKL e da pirâmide MJKLE? 
a) 17/6 
b) 18/7 
c) 19/8 
d) 20/9 
e) 21/100 
 
3) (DESTAQUE 2021) O tronco de bases quadradas 
abaixo foi obtido a partir de uma secção transversal em 
uma pirâmide. Com bases nas informações, qual o 
volume da pirâmide que originou o tronco? 
 
 
 
 
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a) 4000/9 
b) 256/9 
c) 4000/3 
d) 256/3 
e) 4000/27 
 
4) (UEL) Considere o tronco de uma pirâmide regular de 
bases quadradas representado na figura a seguir. 
 
Se as diagonais das bases medem 10√2cm e 
4√2cm, a área total desse tronco, em centímetros 
quadrados, é: 
a) 168 
b) 186 
c) 258 
d) 266 
e) 284 
 
5) (DESTAQUE 2021) A figura abaixo ilustra um 
recipiente formato por dois troncos de pirâmides de 
bases maior e menor equivalentes e mesma altura. O 
recipiente tem uma altura total h e é preenchido por um 
líquido a partir de uma torneira com vazão constante até 
a borda. 
 
Qual dos gráficos ilustra corretamente a altura h 
em função do tempo t nas condições citadas? 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
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6) (SITE BRASIL ESCOLA) Uma fábrica decidiu fazer 
mudanças em sua embalagem de perfume. A 
embalagem antes era formada por um prisma de base 
hexagonal, e tinha a capacidade de 360 ml. Uma nova 
embalagem será feita com a mesma base, mesma 
altura, mas no formato de uma pirâmide. O volume 
dessa nova embalagem será de: 
A) 200 ml 
B) 175 ml 
C) 120 ml 
D) 180 ml 
E) 50 ml 
 
7) (NUCEPE 2020) Uma pirâmide de 15 cm de altura tem 
por base um hexágono regular. Um plano paralelo à 
base secciona essa pirâmide a 5 cm do vértice, 
determinando na pirâmide uma seção de área 20 cm2 . 
Qual o volume do tronco de pirâmide obtido? 
A) 900 cm3 
B) 800/3 cm3 
C) 2300/3 cm3 
D) 2500/3 cm3 
E) 2600/3 cm3 
 
8) (FUNDATEC 2019) O volume de um tronco de 
pirâmide quadrangular regular de apótema da base igual 
a 6m e de apótema da pirâmide igual a 10m, sabendo 
que o tronco tem um quarto da altura da pirâmide, é: 
A) 18 m3 
B) 222 m3 
C) 288 m3 
D) 388 m3 
E) 384 m3 
 
9) (COLÉGIO PEDRO II 2019) Um restaurante possui 
dois tipos de embalagens de entrega de seus produtos, 
em forma de tronco de pirâmide de base quadrada: a 
executiva e a padrão. 
 
Na embalagem padrão, as medidas das 
dimensões das bases superior e inferior são 20% 
maiores do que, respectivamente, as medidas das 
dimensões das bases superior e inferior na embalagem 
executiva. Além disso, o volume da embalagem padrão 
é 50% maior que o volume da embalagem executiva. 
A razão entre a altura da embalagem executiva 
e a altura da embalagem padrão é: 
A) 0,80 
B) 0,96 
C) 1,04 
D) 1,44 
 
10) (DESTAQUE 2021) A partir do cubo abaixo, uniu-se 
os pontos médios das suas arestas da bases (pontos 
R,S,T e Q) juntamente com o ponto U no centro da face 
superior formando uma pirâmide. 
 
 Na metade da altura do cubo, traçou-se uma 
secção transversal dando origem a um tronco de cone 
RSTQMOPN. Qual a razão entre o volume do cubo e o 
volume do tronco de pirâmide? 
a) 
96(9+√2)
73
 
b) 
96(9−4√2)
73
 
c) 
96(9+2√2)
73
 
d) 
96(9−4√2)
73
 
e) 
96(9−2√2)
73
 
 
 
 
 
 
 
Gabarito dos Exercícios Propostos 
1 – B 2 – C 3 – A 4 – E 5 – C 
6 – C 7 – E 8 – B 9 – B 10 – E