GEOMETRIA ESPACIAL: Tronco de Cone e Piramide

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TRONCO 
 
 
Utilizar o conhecimento geométrico para 
realizar a leitura e a representação da rea-
lidade e agir sobre ela. 
 
 
Identificar características de figuras planas ou 
espaciais. 
 
Resolver situação-problema que envolva co-
nhecimentos geométricos de espaço e forma. 
 
Utilizar conhecimentos geométricos de es-
paço e forma na seleção de argumentos pro-
postos como solução de problemas do cotidi-
ano. 
 
 
1. TRONCO DE PIRÂMIDE E DE CONE 
 
 
1.1. ELEMENTOS 
 
H – Altura da pirâmide(cone) maior; 
h1 – altura da pirâmide(cone) menor; 
h – altura do tronco de pirâmide (tronco de cone); 
a – aresta da base da pirâmide menor; 
b – aresta da base da pirâmide maior; 
r – raio da base do cone menor; 
R – raio da base do cone maior; 
Ab – área da base menor; 
AB – área da base maior; 
V1 – volume da pirâmide (cone) menor; 
V2 – volume da pirâmide (cone) maior; 
V – volume do tronco de pirâmide (tronco de cone). 
 
1.2. VOLUME DO TRONCO 
 
Observando a proporcionalidade das duas figuras, tere-
mos: 
 
1
h a
H b
= 
2
b1
B
Ah
H A
 
= 
 
 
3
1 1
2
h V
H V
 
= 
 
 
 
Para determinar o volume do tronco, basta retirar da pi-
râmide maior o volume da pirâmide menor. Ou seja: 
 
tronco PirâmideMaior PirâmideMenor
V V V= − 
 
Trabalhando a ideia acima e as proporções an-
teriormente mencionadas, teremos: 
 
 ( )tronco B b B b
h
V A A A .A
3
= + + 
 
Para o tronco de cone: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
B b
A .R e A .r=  =  
 
Para determinar a área da superfície lateral do 
tronco de cone, basta observar que a mesma é um setor 
de coroa. Neste caso, teremos: 
 
L L
2. .R 2. .r
A .g A .g.(R r)
2
 +  
=  =  + 
 
 
 
 
 
 
1. Qual o volume de um tronco de pirâmide quadrangular 
regular de aresta da base maior igual a 20 cm, e aresta 
da base menor 4cm e altura igual a 6 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Qual o volume de um tronco de cone que têm o diâ-
metro da base menor igual a 2cm, diâmetro da base 
maior igual a 10cm e altura igual a 3cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
01. (UFRN) Uma pirâmide triangular regular de altura 12 
cm foi seccionado por um plano paralelo a sua base 
e a uma distância de 4cm de seu vértice. Sendo o 
volume da pirâmide 108 cm3, calcule o volume do 
tronco formado. 
 100 𝑐𝑚3 
 104 𝑐𝑚3 
 108 𝑐𝑚3 
 124 𝑐𝑚3 
 154 𝑐𝑚3 
 
02. Considere uma pirâmide qualquer de altura h e de 
base B. Traçando-se um plano paralelo à base B, 
cuja distância ao vértice da pirâmide é 
3
5
 h cm, 
obtém -se uma secção plana de área 4 cm². Calcule 
a área de B. 
 
 
 10/3 𝑐𝑚2 20/7 𝑐𝑚2 200/3 𝑐𝑚2 
 20/3 𝑐𝑚2 40/3 𝑐𝑚2 
 
03. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de 
360º do trapézio da figura em forno do eixo. 
 
78π 88π 98π 198π 188π 
 
04. Determine o valor de x na figura abaixo, depois 
calcule o volume do tronco formado. 
 
 
 
 78π 88π 26π 198π 188π 
 
05. O apótema (*) de um tronco de pirâmide regular 
mede 10 dm, as bases são quadradas, de lados, 
respectivamente, 8 dm e 20 dm. Calcule o volume. 
(*) Apótema de tronco de pirâmide regular é a altura 
de cada uma das faces laterais 
 
 
 
 1000 dm3 
 1664 dm3 
 1080 dm3 
 1240 dm3 
 1540 dm3 
 
06. Determine a área lateral e a área total de um tronco 
de cone, sabendo que os raios de suas bases 
medem 11 cm e 5 cm e que a altura do tronco mede 
8 cm. Em cm2? 
 
 
 
 78π e 178π 
 188π e 78π 
 160π e 306 π 
 78π e 78π 
 188π e 78π 
 
07. (UFMG – MG) Corta-se uma pirâmide regular de 
base quadrangular e altura 4 cm por um plano 
paralelo ao plano da base, de maneira que os 
volumes dos dois sólidos obtidos sejam iguais. A 
altura do tronco da pirâmide obtida é, em 
centímetros: 
 
 
 
 1 
 
3
4 2 4− 
 2 
 4 2− 
 
4
4 2− 
 
08. (Fuvest - SP) Um copo tem a forma de um cone 
com altura de 8 cm e raio de base 3 cm. Queremos 
enchê-lo com quantidades iguais de suco e água. 
Para que isso seja possível, a altura x atingida pelo 
primeiro líquido colocado deve ser: 
 
 
8
3
 cm 
 6 cm 
 4 cm 
 4 3 cm 
 
34 4 cm 
 
09. (UFBA) O cone representado a seguir tem 12 cm de 
raio e 16 cm de altura, sendo ”h” a distância do vértice 
a um plano paralelo a base. Para que as duas partes do 
cone separado pelo plano tenham volumes iguais, “h” 
deve ser igual a: 
 
 
 
8 3 4 cm 
 8 2 cm 
 8 cm 
 10 cm 
12 cm 
 
10. (Fuvest - SP) Qual o volume de uma peça de 
madeira que têm o raio da base menor igual a 2cm, 
raio da base maior igual a 3cm e altura igual a 6cm. 
 
 30 cm3 39 cm3 68 cm3 
 38 cm3 48 cm3 
 
11. (ITA - SP) Considerando uma pirâmide regular cuja 
base quadrada têm área que mede 64cm2. Numa 
secção paralela à base que dista 3cm desta, 
inscreve-se um círculo. Se a área deste círculo mede 
4 cm2, então quanto mede a altura dessa pirâmide? 
 
 5cm 6cm 7cm 8cm 9cm 
 
12. (PUC-SP) O recipiente em forma de cone circular 
reto tem raio de 12cm e altura 16cm. O líquido ocupa 
1/8 do volume do recipiente. A altura de X é? 
 
 1 cm 2 cm 4 cm 6 cm 8 cm 
 
13. (UFPA) Alguns compradores de maneira em toras ou 
troncos-de-árvore da região amazônica calculam o 
volume da tora por meio da seguinte fórmula: divide-se o 
“rodo” por 4, multiplica-se o resultado por ele mesmo e 
pela altura h da tora, o que fornece a seguinte fórmula 
para o volume V da tora: 
V = 
2
4
rodo






x h 
Considere que 
a) a tora de maneira tem o formato de tronco de cone 
e que o perímetro da circunferência da base maior 
desse tronco de cone é chamado, pelos madeirei-
ros, de “rodo”; 
b) a tora de madeira tem as seguintes dimensões 
indicadas abaixo e na figura ao lado. 
 
 
- Raio R da base maior: R = 
2
1
m. 
- Raio r da base menor: r = 
5
2
m 
- Altura h igual a h = 4m. 
 
 
Calcule o volume correto da tora, usando os conhe-
cimentos de geometria espacial, e o volume aproxi-
mado, usando fórmula aplicada pelos madeireiros. 
Em seguida, calcule o erro da aproximação feita pe-
los madeireiros, determinando a diferença entre os 
volumes encontrados. Use  = 3,14 e considere duas 
casas decimais após a vírgula. 
 0,04 
 0,09 
 0,19 
 1,90 
 2,04 
 
14. Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos 
de açaí. Um típico exemplar tem forma de um tronco 
de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de 
boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos afirmar, 
utilizando π = 3,14, que a capacidade da rasa, em 
litros, é aproximadamente 
 18 
 20 
 22 
24 
 26 
 
15. (ITA-SP) A figura representa uma pirâmide 
hexagonal regular, de altura 10m e lado da base 4m, 
que foi seccionada por um plano paralelo à base e 
distante 5m. Determine o volume do tronco da 
pirâmide obtido: 
 
 140 3 m3 
 40/3m3 
 10/7m3 
 20/3m3 
70 3 m3 
 
 
 
16. (ENEM) Numa feira de artesanato, uma pessoa 
constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, 
carros e outros engenhos com arame inextensível. 
Em certo momento, ele construiu uma forma tendo 
como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, 
cuja aparência é mostrada na figura seguinte: 
 
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a 
imagem de um foguete, que pode ser pensado como 
composição, por justaposição, de diversos sólidos 
básicos de revolução. 
Sabendo que na figura os pontos B, C, F e G são coli-
neares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-
se daquela forma de pensar o foguete, a decomposi-
ção deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada 
pela seguinte sequência de sólidos: 
 
 pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto. 
 cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equi-
látero. 
 cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro 
equilátero. 
 cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro. 
 cone, cilindro equilátero,tronco de pirâmide, cilin-
dro. 
 
17. (ENEM) Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, 
utiliza uma forma no formato representado na figura: 
 
 
Nela identifica-se a representação de duas figuras 
geométricas tridimensionais. Essas figuras são 
um tronco de cone e um cilindro. 
 um cone e um cilindro. 
 um tronco de pirâmide e um cilindro. 
 dois troncos de cone. 
 dois cilindros. 
 
18. (ENEM) Alguns testes de preferência por bebedouros 
de água foram realizados com bovinos, envolvendo 
três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos 
diferentes. Os bebedouros 1 e 2 tem a forma de um 
tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, 
e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, 
respectivamente. O bebedouro 3 e um semicilindro, 
com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 
cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando que nenhum dos recipientes tenha 
tampa, qual das figuras a seguir representa uma 
planificação para o bebedouro 3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19. (ENEM) Um sinalizador de trânsito tem o formato 
de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser 
revestido externamente com adesivo fluorescente, 
desde sua base (base do cone) até a metade de sua 
altura, para sinalização noturna. O responsável pela 
colocação do adesivo precisa fazer o corte do 
material de maneira que a forma do adesivo 
corresponda exatamente à parte da superfície lateral 
a ser revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo? 
 
 
 
 
 
20. (ENEM) Nas empresas em geral, são utilizados dois 
tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a 
forma de troncos de cones circulares retos: 
- copos pequenos, para a ingestão de café: raios das 
bases iguais a 2,4cm e 1,8cm e altura igual a 3,6cm; 
- copos grandes, para a ingestão de água: raios das ba-
ses iguais a 3,6cm e 2,4cm e altura igual a 8,0cm. 
Uma dessas empresas resolve substituir os dois mode-
los de copos descartáveis, fornecendo para cada um de 
seus funcionários canecas com a forma de um cilindro 
circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de 
comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão 
usadas tanto para beber café como para beber água. 
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular 
reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais 
a R e r e a altura é h, é dado pela expressão: 
2 2
troncodecone
h
V (R r Rr )
3
π
= + + 
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y2 
seja, no mínimo, igual a 
 2,664 cm. 12,160 cm. 19,840cm.
 7,412 cm. 14,824 cm. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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01 
B 
02 
A 
03 
C 
04 
C 
05 
B 
06 
C 
07 
B 
08 
E 
09 
A 
10 
B 
11 
B 
12 
E 
13 
B 
14 
B 
15 
A 
16 
C 
17 
D 
18 
E 
19 
E 
20 
C 
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