APOSTILA ESCOAMENTOS VISCOSOS 2011 (1)

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ESCOAMENTOS VISCOSOS 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2011 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 2 
 
 
 
 
ESCOAMENTOS VISCOSOS 
 
 
Jorge A. Villar Alé 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Março de 2011 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 3 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL ..........................................................................................................................5 
1.1.1 Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido ...................................................................................................5 
1.2 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS ..........................................................................................7 
1.3 ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES.......................................................................................................................9 
1.4 ESCOAMENTO TURBULENTO EM TUBULAÇÕES ......................................................................................................................12 
1.4.1 Tensão de cisalhamento .............................................................................................................................................13 
1.4.2 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento..............................................................................................14 
1.5 EQUAÇÃO DE ENERGIA COM VELOCIDADE MÉDIA..................................................................................................................16 
1.6 PERDA DE PRESSÃO NO ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES.......................................................................................................17 
1.7 PERDA DE CARGA PRINCIPAL ..............................................................................................................................................18 
1.7.1 Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar .......................................................................................................18 
1.7.2 Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento...................................................................................................19 
1.7.3 DIAGRAMA DE MOODY.............................................................................................................................................20 
1.8 MÉTODOS PARA DETERMINAR AS PERDAS DE CARGA SECUNDÁRIAS...........................................................................................23 
1.8.1 Método do comprimento equivalente ..........................................................................................................................23 
1.8.2 Método do coeficiente de perda de carga...................................................................................................................24 
1.9 PERDA DE CARGA EM ELEMENTOS SECUNDÁRIOS ................................................................................................................25 
1.9.1 Saídas e Entradas Abruptas ......................................................................................................................................25 
1.9.2 Expansão e Contração Abruptas ................................................................................................................................26 
1.9.3 Expansão e Contração Gradual ..................................................................................................................................27 
1.10 PROBLEMAS TÍPICOS DE ESCOAMENTOS EM TUBOS..............................................................................................................28 
1.10.1 Determinação da Vazão.........................................................................................................................................28 
1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação .............................................................................................................28 
1.11 RESUMO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO NAS PAREDES ........................................................................................................29 
1.12 CONCEITO DE DIÂMETRO HIDRÁULICO.................................................................................................................................30 
 
2.1 ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS...................................................................................32 
2.2 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS....................................................................36 
2.3 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL ........................................................................................................................36 
 
3.1 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS ..............................................................40 
3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS.............................................................42 
3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS ....................................................47 
3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL ....................................................48 
 
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4.1 ESCOAMENTO VISCOSO EXTERNO: CONCEITOS DE CAMADA LIMITE.......................................................................................51 
4.2 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS .................................................................................................................................51 
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo ............................................................................................51 
4.3 ESCOAMENTO SOBRE PLACA PLANA ....................................................................................................................................52 
4.3.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1 ...........................................................................52 
4.3.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10 ...........................................................................................52 
4.3.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈107 .......................................................................................53 
4.4 CARACTERÍSTICAS DA CAMADA LIMITE .................................................................................................................................54 
4.5 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE...........................................................................................................................................55 
4.6 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO .........................................................................................................................................55 
4.7 ESPESSURA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.......................................................................................................................56 
4.8 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACAS PLANAS ...................................................................................................................57 
4.9 COEFICIENTE DE ARRASTO E FORÇA DE ARRASTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO..............................................................58 
4.10 EQUAÇÕES DE BLASIUS – PLACA PLANA – CAMADA LIMITE LAMINAR ...................................................................................59 
ESPESSURA DA CAMADA LIMITE ...........................................................................................................................................................59 
ESPESSURA DE DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE..............................................................................................................................59 
4.11 COEFICIENTE DE ARRASTO LOCAL OU COEF. DE TENSÃO DE CISALHAMENTO ...........................................................................594.12 COEFICIENTE DE ARRASTO MÉDIO ........................................................................................................................................59 
4.13 TRANSIÇÃO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO...................................................................................................60 
4.14 CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA ...................................................................................................................61 
4.14.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento...............................................................61 
4.14.2 Coeficiente de Arrasto Médio.................................................................................................................................61 
4.15 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE - ESCOAMENTO TURBULENTO ..............................................................................................63 
4.16 RESUMO DAS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA.............................................................................................64 
 
 
5.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS: CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA ...........................................................................67 
5.2 RESULTADOS PARA ESCOMANETO LAMINAR: ..........................................................................................................70 
5.3 RESUMO DAS EQUACOES DE CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA - LAMINAR E TURBULENTO...........................77 
5.4 RELACOES BASICAS...........................................................................................................................................................78 
5.5 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACA PLANA – REGIME LAMINAR E TURBULENTO ..................................................................79 
 
 
6.1 ESCOAMENTOS EXTERNOS CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .......................................................................................81 
 
7.1 FORÇAS AERODINÂMICOS DE SUSTENTAÇÃO E ARRASTO ................................................................................................................88 
7.5.1 Coeficiente de Arrasto.................................................................................................................................................89 
7.2 ESCOAMENTO SOBRE CILINDROS - EFEITO DA VISCOSIDADE ............................................................................................................91 
7.3 ESCOAMENTO NÃO VISCOSO NUM CILINDRO....................................................................................................................................92 
7.4 ESCOAMENTO VISCOSO NUM CILINDRO : EFEITO DO GRADIENTE ADVERSO DE PRESSÃO ..................................................................94 
7.5 SUSTENTAÇÃO AERODINÂMICA .....................................................................................................................................................99 
7.6 RELAÇÃO ENTRE COEFICIENTE DE PRESSÃO E SUSTENTAÇÃO.......................................................................................................101 
7,7 CURVA DE SUSTENTAÇÃO VERSUS ÂNGULO DE ATAQUE. ..............................................................................................................102 
7.5.2 Influência da Velocidade Induzida na Força de Arrasto............................................................................................105 
7.5.3 Velocidade mínima de vôo .......................................................................................................................................107 
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1.1 ESCOAMENTO VISCOSO E INCOMPRESSÍVEL 
1.1.1 Conceito de Escoamento Plenamente Desenvolvido 
 
Consideramos no estudo o escoamento viscoso interno num tubo com fluido incompressível (Fig.1). Se o tubo estivesse imerso num reservatório (ou na saída de um reservatório) a velocidade U0 na entrada poderia ser considerada como uniforme. A medida que o fluido entra no tubo os efeitos viscosos provocam aderência do fluido às paredes do 
tubo. Esta é conhecida como condição de não deslizamento. Assim, o fluido em contato com as paredes sempre terá velocidade nula ao longo de todo o comprimento da tubulação. 
 Figura 1 Região de entrada em um tubo 
 A medida que o fluido escoa para dentro do tubo (na direção x) se desenvolve uma camada limite, devido ao efeito das forças de cisalhamento das paredes, que retardam o escoamento. A medida que avança para o interior do 
tubo tal efeito aumenta. Os efeitos viscosos são importantes dentro da camada limite. Na região do núcleo não atingida pela camada limite os efeitos viscosos são desprezíveis. Considerando que o escoamento é incompressível a velocidade na linha central do tubo aumenta com a distância a partir da entrada satisfazendo a equação da continuidade. O perfil de velocidades u(r,x) muda conforme 
aumenta a camada limite. Contudo como a seção do tubo é constante a velocidade média deve ser a mesma em qualquer seção: 
∫= AduAu total
r
r1 
 Como na região de entrada a velocidade é uniforme também é verdadeiro que u=U0: Numa determinada posição x a camada limite atinge a linha central da tubulação e o perfil de velocidade não muda com a posição x que 
encontramos no tubo. 
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Comprimento de entrada L 
 
Distância da entrada até o local onde a camada limite atinge a linha central (de simetria) do tubo (x=L). A partir deste 
ponto o perfil de velocidade é plenamente desenvolvido significando que seu formato não varia mais na direção de x. 
 
• Para x > L o perfil de velocidade não varia mais com x, nesse caso denomina-se perfil de velocidades plenamente 
desenvolvido. 
 Posição no tubo Perfil de velocidades 
Na entrada do tubo x=0. u=Uo = constante 
Na região de desenvolvimento x ≤ L u=u(r,x) 
Na região plenamente desenvolvida x > L u=u (r) 
 
• O formato do perfil plenamente desenvolvido depende se o regime de escoamento é laminar ou turbulento. 
Para Escoamento Laminar o comprimento de entrada é função do número de Reynolds: 
Re06,006,0 =≈
µ
ρ DV
D
L 
 
Onde ρ é a massa especifica do fluido (kg/m3), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno da 
tubulação (m) e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s). Considerando que o escoamento é laminar até 
 
2300Re< 
 podemos estimar o comprimento de entrada neste caso. 
DL
DxL
DL
140
230006,0
Re06,0
≈
≈
≈
 
 
O escoamento laminar plenamente desenvolvido ocorrerá para L > 100 D 
 Para escoamento turbulento a mistura entre camadas de fluido aumenta rapidamente a camada limite (mais rápido que a laminar). A experiência mostra que a velocidade torna-se plenamente desenvolvida para 
DL )40...25(≈ 
 Dependendo das características do escoamento turbulento podem ser encontrados casos em que o escoamento atinge 
um perfil de velocidades plenamente desenvolvido para valores de L ≅80D. Para estimar-se o comprimento L num escoamento turbulento pode ser dotada a expressão: 
 
( ) 6/1Re4,4≈
D
L 
 
 
 
 
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1.2 DISTRIBUIÇÃO DA TENSÃO DE CISALHAMENTO EM TUBOS 
 
No escoamento permanente plenamente desenvolvido num tubo horizontal, seja laminar ou turbulento, a queda de pressão é equilibrada pelas forças de cisalhamento nas paredes do tubo. 
 Figura 2 Volume de controle para análise da tensão de cisalhamento 
Aplicando a equação da quantidade de movimento na direção x 
∫∫ +∂∂=+ scvcbxsx AdVudVutFF
rr
ρρ 
Hipóteses: (1) Tubo horizontal FBx=0 (2) Escoamento permanente. (3) Escoamento incompressível. (4) Escoamento plenamente desenvolvido. 
Desta forma 0=sxF . Para o elemento de fluido da Fig. 8.2 o balanço de forças é dado por: 
 
0
2
02
22
2
22
=+∂
∂−
=+


∂
∂+−


∂
∂−=
rdxr
dx
x
p
rdxr
dx
x
p
pr
dx
x
p
pF
rx
rxsx
πτπ
πτππ
 
 obtendo-se finalmente: 
x
pr
rx ∂
∂=
2τ Válido para escoamento Laminar ou Turbulento 
 desta forma a tensão de cisalhamento no fluido varia linearmente na direção transversal ao tubo, de zero na linha de 
centro até um máximo na parede. Denominando tensão de cisalhamento na parede como τw, e sabendo que a variação da pressão ao longo do tubo é constante 
x
pR
Rrrxw ∂
∂−=−=
= 2
ττ 
 
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A expressão fica negativa (-) já que se considera a tensão de cisalhamento na parede com a mesma 
magnitude da tensão do fluido porém agindo em sentido contrário. 
 
como ( ) cte
L
P
L
pp
x
p =∆−=−=
∂
∂ 12 
 
 Figura 3 Perda de presão numa tubulação substituída na equação anterior obtém-se a equação que relaciona a tensão de cisalhamento na parede com a queda de pressão em tubos válida para escoamento laminar ou turbulento. 
 
L
pR
w
∆=
2
τ ou 
L
pD
w
∆=
4
τ 
 A distribuição da tensão de cisalhamento é mostrada na figura abaixo. É representada como uma função linear do tipo 
crrx =τ onde a constante c=∆P/2L. 
 
 Figura 4 Perfil de velocidade e de tensão de cisalhamento em tubulações 
Desta forma podemos relacionar a queda de pressão com a tensão de cisalhamento na parede 
wD
L
p τ
4=∆ 
 Uma pequena tensão de cisalhamento na parede pode produzir uma grande diferença de pressão quando a tubulação for muito longa (L/D >> 1). Obs: As equações da tensão de cisalhamento obtidas aqui são válidas para escoamento laminar e turbulento já que a 
dedução foi realizada independente destes regimes de escoamento. 
 
 
 
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1.3 ESCOAMENTO LAMINAR EM TUBULAÇÕES 
 
Perfil de Velocidades No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por: 
dr
du
rx µτ = 
 Explicitando desta equação a velocidade: 
drdu rxτµ
1
= 
 
substituindo o termo da tensão de cisalhamento: r
L
P
rx 

 ∆=
2
1
τ 
 
rdr
L
P
du 

 ∆=
2
11
µ
 
 
integrando 
∫∫  ∆=
R
r
rdr
L
P
du
2
11
µ
 
 
R
r
r
L
P
u 


∆=
22
11 2
µ
 
 
{ }22
4
1
rR
L
P
u −∆=
µ
 
 ou também: 


 

−∆=
22
1
4 R
r
L
PR
u
µ
 
 Esta equação representa o perfil de velocidades para escoamento laminar em tubos. 
 
 
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Vazão Volumétrica A vazão volumétrica ou simplesmente vazão no elemento de fluido da Fig. 8.2 é dada por: 
 
rdrudQ π2= 
 
∫∫ = R rdrudQ
0
2π 
 
substituindo a velocidade u=u(r) pelo termo deduzido anteriormente: { }22
4
1
rR
L
P
u −∆=
µ
 
 
{ } ∫−∆= R rdrrRLPQ 022 24 πµ 
 
{ }∫ −∆= R rdrrRLPQ 0 2224 πµ 
 



 −∆=
42
2
4
44 RR
L
P
Q π
µ
 
 
4
2
4
4R
L
P
Q π
µ
∆= 
 
4
8
R
L
P
Q
µ
π∆= 
 ou em função do diâmetro: 
L
PD
Q
µ
π
128
4∆= (Equação de Hagen - Poussiulle) 
 
Velocidade Média 
 
2
4
D
Q
A
Q
V
π
== 
 
Substituindo a expressão de Hagen-Poussiulle: 
L
PD
D
V
µ
π
π 128
4 4
2
∆= 
 
L
PD
V
µ32
2∆= Ou também 
L
PR
V
µ8
2∆= 
 
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Velocidade Máxima 
 Sabemos que o perfil de velocidades num escoamento laminar é dada por: 


 

−∆=
2
2 1
4 R
r
R
L
P
u
µ
 
 A velocidade máxima ocorre na linha central do tubo, isto é para r=0. 
L
PR
u
µ4
2
max
∆= 
 
Relação entre Velociade Máxima e Velocidade Média: 
 
2
4
8
2
2
max =
∆
∆
=
L
PR
L
PR
V
u
µ
µ 
 
Vu 2max = (para escoamento Laminar) 
 
 
Perfil de Velocidades em Função da Velocidade Máxima 
 


 

−∆=
2
2 1
4 R
r
R
L
P
u
µ
 
 


 

−=
2
max 1 R
r
uu 
 O perfil de velocidades num escoamento laminar é parabólico 
 Figura 5 Perfil de velocidade para escoamento laminar numa tubulação 
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1.4 Escoamento Turbulento em Tubulações 
 
A natureza do escoamento nos tubos pode ser laminar ou turbulento. Tais regimes são dependentes do valor do número de Reynolds. 
µ
ρ DV
=Re 
 
Onde ρ é a massa específica do fluido (kg/m3), V é a velocidade média do escoamento (m/s), D é o diâmetro interno 
da tubulação (m) e µ é a viscosidade dinâmica do fluido (Pa.s). 
 
Fluido Laminar: O fluido escoa em camadas (lâminas) não existe mistura macroscópica das camadas adjacentes. 
Escoamento Turbulento: 
Manifestam-se pequenas flutuações da velocidade de alta freqüência superpostas ao movimento predominante. Medindo a componente da velocidade x num local fixo da tubulação podemos observar na Fig.8.6 o comportamento da velocidade para o caso laminar e turbulento. No escoamento turbulento a velocidade instantânea (u) é tão uniforme que sua velocidade é a mesma 
uu = 
 Observa-se que no caso do escoamento turbulento existe uma componente aleatória de flutuação da velocidade instantânea (u´). Desta forma a velocidade instantânea é dada pela soma algébrica velocidade média mais a 
componente de flutuação: 
´uuu += 
 
 Figura 6 Variação da velocidade num escoamento laminar e turbulento unidimensional 
No caso do escoamento real tridimensional a natureza do escoamento é mais complicada já que a velocidade manifesta três componentes de flutuação, sendo a velocidade instantânea dada como: 
 
´
´
´
www
vvv
uuu
+=
+=
+=
 
 
 
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1.4.1 Tensão de cisalhamento 
 
No escoamento laminar unidimensional a tensão de cisalhamento é dada por: 
dy
du
yx µτ = 
 
Conhecido o perfil de velocidades, podemos através da sua derivada (du/dy), determinar as tensões de cisalhamento no escoamento. Para escoamento turbulento não se tem uma relação direta como no caso do escoamento laminar, mesmo com velocidade média unidimensional. As flutuações aleatórias da velocidade tridimensional u´, v´, w´ transportam quantidade de movimento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma não existe uma relação universal 
entre o campo de tensões e da velocidade no caso do escoamento turbulento. No caso do escoamento turbulento para determinar as tensões de cisalhamento utilizam-se teorias semi-empíricas e de dados experimentais. Neste caso a tensão de cisalhamento se expressa como sendo formada por uma componente laminar e outra turbulenta. 
 
turbulentoarla τττ += min 
 
onde 
dy
ud
lam µτ = ´´vuturb ρτ −= 
 
 
 
 
 
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1.4.2 Distribuição da Velocidade no Escoamento Turbulento 
 
(a) Lei Exponencial Empírica 
Num escoamento turbulento o perfil de velocidades não pode ser deduzido da maneira como foi realizado para o escoamento laminar, devido a que não podemos utilizar a lei de Newton para relacionar a tensão de cisalhamento com o gradiente de velocidades. 
 
Figura 7 Perfil de Velocidades num escoamento turbulento 
 Num escoamento turbulento adotam-se perfis de velocidades obtidos de relações empíricas. Por exemplo a lei 
exponencial empírica considera um perfil do tipo: 
n
R
r
uru
/1
max 1)( 

 −= 
 
Tal equação não pode ser aplicada próxima à parede (R=0) já que o gradiente de velocidade é infinito. Contudo pode ser utiliza para y/R < 0,004 sendo y= R – r. O termo n depende do número de Reynolds como mostra a Fig. 8.8. O valor para n=7 é geralmente utilizado com precisão razoável em muitas situações reais. Também podemos utilizar a 
expressão 96.1log(Re)85.1 −=n 
 
 Figura 8 Expoente n do perfil da lei exponencial de velocidade turbulento 
 
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A Fig.8.9 mostra um perfil turbulento utilizando a expressão exponencial com n=6 e n=10. Para comparação também mostra-se o perfil laminar de velocidade. Observa-se que os perfis turbulentos são muito mais “achatados” que os laminares. O achatamento aumenta com o número de Reynolds isto é´, com o aumento de n. 
 Figura 9 Perfil de velocidades num tubo 
A razão entre a velocidade média ( Vouu ) e a velocidade máxima (Umax) para um perfil exponencial de velocidadeé dada por: 
( )( )121
2 2
max ++
=
nn
n
U
u 
 
(b) Distribuição da Velocidade Considerando Fator de Atrito 
 
O fator de atrito ( f ) pode ser determinado para escoamentos em regime laminar e turbulento. O expoente n pode ser determinado no caso de escoamento turbulento como: 
f
kn
8
= 
 
onde k=0,41 é denominada constante de von karman. No caso de escoamento turbulento podemos também utilizar a seguinte expressão para determinar o perfil de velocidades em função do fator de atrito ( f ) 
 
( ){ }RyffVu /log15,243,11 10++= 
 
onde y=r - R. 
A velocidade máxima é dada como: 
{ }fVu 43,11max += 
 
 
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1.5 Equação de Energia com Velocidade Média 
 
Considerando escoamento em regime permanente incompressível uma análise de energia entre duas seções, que incluem dissipação e/ou ganhos adicionais de energia, pode ser representada como: 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
u
g
p
hHHz
g
u
g
p
LTRA ++=−−+++ ρρ
 
 
onde HA representa a energia adicionada, HR, representa a energia retirada do sistema e hLT representa a dissipação de energia. Num problema em particular nem todos os termos de energia são utilizados. Nos escoamentos viscosos o perfil 
de velocidade numa dada seção não pode ser uniforme. É conveniente portanto utilizar a velocidade média, para tal é 
necessário definir o coeficiente de fluxo de energia cinética (α). Aplicando a equação de energia numa tubulação entre os pontos 1 e 2, onde não existem dispositivos mecânicos (HA =0 e HR =0): 
 
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
22
z
g
u
g
p
hz
g
u
g
p
LT ++=−++ αρ
α
ρ
 
 
o coeficiente de energia cinética é definido como 
2
3
Vm
dAV
A
&
∫
=
ρ
α 
� No caso de escoamento laminar: α=2. 
� No caso de escoamento turbulento: 
( )( )



++

=
nn
n
U
U
233
2 2
3
maxα 
 Por ex. para os números de Reynolds considerados 
Re n α 
4,0x103 6 1,08 
3,2x106 10 1,03 
 
Se observa que α≅1. Desta forma para a maioria dos casos de engenharia nos cálculos de perda de carga considera-
se α=1. 
Observação: No material do Fox, McDonald a energia e perda de carga é apresentada como energia por unidade de 
massa (J/kg). No nosso caso é dada como energia por unidade de peso (J/N), ou metro de coluna de fluido (m). 
 
 
 
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1.6 Perda de Pressão no Escoamento em Tubulações 
 
A variação de pressão num duto resulta da variação da elevação, da velocidade e do atrito. 
Escoamento sem atrito 
A variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. de Bernoulli. 
),( VZfP →∆ já que hLT=0. 
 
Escoamento real com atrito 
 a variação de pressão pode ser determinada aplicando a Eq. da Energia 
),,( LThVZfP →∆ 
� O atrito origina uma diminuição da pressão. 
� Causa uma perda de pressão comparada com o caso de escoamento sem atrito. 
 Figura 10 Perda de carga em sistema de bombeamento 
Perda de carga Total A perda de carga em tubulações é dada por duas parcelas. 
accLLT hhh += 
 
 
Perda de Pressão ou de Carga Principal: (hL) 
� Devido ao atrito no escoamento plenamente desenvolvido entre pontos da tubulação com área constante. 
 
Perda de Carga Secundária - (hac) 
� Devido ao escoamento através de acessórios como válvulas, joelhos, registros e em porções do sistema de área variável tais como saídas de reservatórios, bocais convergentes e divergentes. 
� A perda de carga na entrada ou saída de uma tubulação é considerada como perda de carga secundária. 
 
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PUCRS 18 
1.7 Perda de Carga Principal 
 
� Transformação da energia cinética para energia térmica por efeitos viscosos. Consideremos um escoamento plenamente desenvolvido numa tubulação de comprimento L. Analisando uma tubulação com área constante A1=A2 e desta forma pela Eq. da continuidade u1=u2 ( ) ( )2121 zzg
pp
hL −+
−
=
ρ
 
 No caso de uma tubulação horizontal (z1=z2). ( )
g
P
g
pp
hL ρρ
∆=−= 21 
 
1.7.1 Perda de Carga Principal - Escoamento Laminar 
 
Utilizando a expressão da velocidade média 


 ∆=
L
PD
V
µ32
2
 e desta forma: 
2
32
D
LV
P
µ=∆ 
 substituindo esta última expressão na equação da perda de carga 
 




=∆=
gD
LV
g
P
hL ρ
µ
ρ
132
2
 
 Podemos expressar esta equação em função do Número de Reynolds 
µ
ρ DV
=Re explicitando a viscosidade dinâmica: 
Re
DVρµ = 
 




=



=
gD
LV
gD
LVDV
hL
132
Re
132
Re
2
2 ρ
ρ 
 expressando em função da energia cinética 
g
V
D
L
hL 2Re
64 2
= Escoamento laminar 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 19 
1.7.2 Perda de Carga Principal - Escoamento Turbulento 
 
� No caso de escoamento turbulento não existem expressões que permitam avaliar analiticamente a queda de pressão. 
� Se utiliza análise dimensional e correlações de dados experimentais. 
 Analisando o caso de escoamento turbulento plenamente desenvolvido a queda de pressão é função das seguintes variáveis. 
),,,,,( µρεφ VLDP =∆ 
 
D diâmetro da tubulação L, comprimento da tubulação, V, Velocidade média, ε, rugosidade absoluta, ρ massa 
específica, µ, viscosidade dinâmica. Aplicando-se análise dimensional se obtém uma expressão da forma: 


 





=∆
DD
L
VDV
P ε
ρ
µφρ ,,2 
 
como o termo é dado por 
g
P
hL ρ
∆= podemos explicitar a variação de pressão (∆P) e substituir a mesma na equação 
do análise dimensional. 
 


==
DD
L
V
gh
V
gh LL εφρ
ρ
,Re,
22
 
 
experimentos mostram que a perda de carga é diretamente proporcional a L/D. Para que a perda de carga seja obtida adimensionalizada em relação à energia cinética se introduz o termo 1/2 na equação ficando como: 


=
DD
L
g
V
hL εφ Re,
2
2
 
 
A função φ é conhecida como fator de atrito ou coeficiente de atrito. 


=
D
f
εφ Re, 
 desta forma se obtém a equação da perda de carga que representa a energia dissipada por unidade de peso do fluido escoando. 
g
V
D
L
fhL 2
2
= Equação de Darcy-Weisbach. 
 O fator de atrito determina-se experimentalmente. Utiliza-se o Diagrama de Moody. 
 
 
 
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1.7.3 DIAGRAMA DE MOODY 
 
Para determinar o fator de atrito se utiliza o Diagrama de Moody. Para tal deve-se ter o valor do número de 
Reynolds e a rugosidade relativa ε/D. A rugosidade absoluta ε depende do tipo de material da tubulação e do seu 
acabamento. Representa o valor médio das alturas da rugosidade da parede interna da tubulação. A Tabela dada mostra os valores da rugosidade absoluta para os materiais típicos de tubulações industriais utilizadas para o escoamento de fluidos. 
 Figura 11 Representação da rugosidade absoluta em tubulações 
 
Tabela 1 Rugosidade absoluta (mm) de tubulações industriais 
Material Rugosidade absoluta (mm) 
Aço, revestimento asfalto quente 0,3 a 0,9 
Aço, revestimento esmalte centrifugado 0,011 a 0,06 
Aço enferrujado ligeiramente 0,15 a 0,3 
Aço enferrujado 0,4 a 0,6 
Aço muito enferrujado 0,9 a 2,4 
Ferro galvanizado novo, com costura 0,15 a 0,2 
Ferro galvanizado novo, sem costura 0,06 a 0,15 
Ferro fundido revestido com asfalto 0,12 a 0,20 
Ferro fundido com crostas 1,5 a 3,0 
PVC e Cobre 0,015 
Cimento-amianto novo 0,05 a 0,10 
Fonte: - Equipamentos Industriais e de Processo - (Macintyre) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Jorge A. Villar Alé 21 
 O diagrama de Moody apresenta uma zona laminar (Re < 2000), uma zona crítica (Re de 2000 e 4000) uma zona 
de transição e uma zona inteiramente rugosa. Nestas zonas o fator de atrito f apresenta diferentes dependências em 
relação ao número de Reynolds (Re) e em relação a rugosidade relativa ε/D as quais são resumidas a seguir: 
 
 
1. Na zona laminar fator de atrito f é independente da rugosidade ε/D e inversamente proporcional ao número de Re 
2. Na zona crítica o fator de atrito apresenta aumentosbruscos. 
3. Na zona de transição para um determinado Re o fator de atrito f diminui conforme a rugosidade relativa ε/D diminui. 
4. Na zona de transição, para uma determinada rugosidade relativa ε/D o fator de atrito f diminui ao aumentar o Re até alcançar a região inteiramente rugosa. 
5. Dentro da zona inteiramente rugosa, para uma determinada rugosidade relativa ε/D, o fator de atrito f, se mantém praticamente como um valor constante independente do Re. 
6. Na zona de transição, conforme diminui a rugosidade relativa ε/D o valor do Re no qual inicia a região plenamente turbulenta começa a aumentar 
 
 
 
 Figura 12 Representação do Diagrama de Moody 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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I - Escoamento Laminar 
 O fator de atrito para escoamento laminar pode ser obtido igualando a equação 
g
V
D
L
fhL 2
2
= com a equação da perda de carga laminar 
g
V
D
L
hL 2Re
64 2
= se obtém: 
Re
64
=f válido para Re < 2500 
 
� No escoamento laminar o fator de atrito ( f ) é função somente do número de Reynolds. 
� Independe da rugosidade da tubulação. 
 
II - Escoamento com Tubos Hidraulicamente Lisos Nesta região pode utilizar-se a Eq. de Blasius ou a Eq. de Drew Koo e McAdams 
( ) 4/1Re
316,0
=f Eq. de Blasius 4000 < Re < 105 
 
32,0Re5,00056,0 −+=f Eq. de Drew Koo e McAdams 105 < Re < 3x106 
 
III - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Semi-Rugosos Permite determinar o fator de atrito para escoamento turbulento: 



 +−=
f
D
f Re
51,2
7,3
/
log0,2
1 ε Equação de Colebrook 5,0x103 < Re < 1x108 
 Como tal equação é do tipo transcendente deve ser utilizado um procedimento iterativo para determinar f. Uma alternativa é utilizar uma equação explícita: 
2
9,0Re
74,5
7,3
/
log25,0
−


 

 += Df ε Equação Explícita 5,0x103 < Re < 1x108 
 Utilizando a Eq. acima se encontram valores de f com margem de erro de +-1% comparados com os obtidos com a Eq. 
de Colebrook, para: ε/D de 1,0x10-4 (0,0001) até 1x10-6 (0,000001) 
 
IV - Escoamento Turbulento com Tubos Hidraulicamente Rugosos 
 O fator de atrito depende unicamente da rugosidade relativa e pode ser determinado pela equação: 
 


−=
7,3
/
log2
1 D
f
ε Equação de Von Karman 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 23 
1.8 Métodos para Determinar as Perdas de Carga Secundárias 
1.8.1 Método do comprimento equivalente 
Os acessórios são todos aqueles elementos que existem numa tubulação através dos quais o fluido escoa, tais como curvas, bocais, registros e válvulas. Cada um destes elementos produz uma dissipação de energia que é avaliada pela perda de carga (hac) definida como: 
g
V
D
L
fh eqac 2
2
= (m) 
 O comprimento equivalente em metros de canalização retilínea (Leq) é tabelado segundo o tipo de acessório, o material utilizado e o diâmetro da tubulação. Se substituirmos um certo acessório por uma tubulação retilínea com o 
comprimento igual ao comprimento equivalente (com igual material e diâmetro) ambos originariam a mesma perda de carga. A tabela abaixo mostra o comprimento equivalente adimensional (Leq/D) de diversos acessórios. 
 Figura 13 Representação do comprimento equivalente em acessórios 
Tabela 2 Perda de carga localizada 
Tipo de Acessório Comprimento Equivalente 
 (Leq/D) Válvula de globo aberta 340 
Válvula de gaveta aberta 8 
 3/4 aberta 35 
 1/2 aberta 160 
 1/4 aberta 900 
Válvula tipo borboleta aberta 45 
Válvula de esfera aberta 3 
Válvula de retenção tipo globo 600 
Válvula de retenção tipo em ângulo 55 
Válvula de pé com crivo: de disco móvel 75 
Cotovelo padronizado 900 30 
Cotovelo padronizado 450 16 
Te padronizada fluxo direto 20 
Te padronizada fluxo ramal 60 
 
 Válvula globo 
 Válvulas tipo borboleta Te com flanges 
Figura 14 acessórios utilizados em instalações industriais 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 24 
1.8.2 Método do coeficiente de perda de carga 
 
Uma outra forma de representar a perda de carga nos acessórios (hac) é definindo a mesma na forma: 
g
V
Khac 2
2
= (m) 
 Onde K é o coeficiente de perda de carga e V a velocidade média. O coeficiente de perda de carga será maior quanto mais abruto seja o elemento originando zonas de recirculação de fluxo e altos níveis de turbulência, aumentando desta forma a energia dissipada. A tabela mostra o coeficiente de perda e carga de diversos elementos. 
Tabela 3 Coeficiente de perda de carga de acessórios 
Tipo de Acessório K Tipo de Acessório K 
Ampliação Gradual 0,20* Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor venturi 2,5 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15 
Controlador de vazão 2,50 Registro de ângulo aberto 5,0 
Cotovelo 900 0,9 Registro de gaveta aberto 0,20 
Cotovelo 450 0,4 Registro de globo aberto 10,0 
Crivo 0,75 Saída de canalização 1,00 
Curva 90 0,4 Tê passagem direta 0,6 
Curva 45 0,20 Tê saída de lado 1,30 
Curva 22,5 0,10 Tê saída bilateral 1,80 
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula de pé 1,75 
Entrada de borda 1,0 Válvula de retenção 2,50 
Existência de pequena derivação 0,03 
 
Velocidade 1,0 
* com base na velocidade maior (seção menor) ** Relativa à velocidade de canalização Igualando as equações de perda de carga por acessórios se obtém: 
 
D
L
fK eq= 
 mostrando a relação entre o coeficiente de perda de carga (K) e o comprimento equivalente (Leq). 
 Curva de 900 
 
Joelho de 900 Registro de gaveta 
 
Válvula de pé com crivo 
Figura 15 Exemplo de diversos acessórios utilizados em instalações industriais 
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Jorge A. Villar Alé 25 
1.9 Perda de Carga em Elementos Secundários 
 
1.9.1 Saídas e Entradas Abruptas 
 Quando o fluido escoa de um tubo para um reservatório sua velocidade cai bruscamente até próximo de zero. A perda de carga para este caso é igual à energia cinética dissipada. K=1. 
 
 (a) saída de tubos K=1 (b) entrada de tubos: K depende do tipo de entrada 
Figura 16 Representação de escoamento na saída e na entrada de tubos 
 
Entrada Abruta de um Reservatório para um Tubo 
 No escoamento dado entre um reservatório e uma tubulação, a velocidade passa de um valor muito baixo para um valor 
elevado. O coeficiente de perda de carga depende do tipo de união entre o tubo e o reservatório. Três casos típicos apresentam diferentes perda de carga: ( a ) Entrada com tubo para dentro K=1,0 ( b ) Entrada com cantos vivos K=0,5 
( c ) Entrada com cantos arredondados K conforme os dados da tabela abaixo: 
r/D 0,02 0,06 ≥0,15 
K 0,28 0,15 0,04 
 
 (a) tubo para dentro K=1 (b) cantos vivos K=0,5 (c) cantos arredondados 
 
Figura 17 Entrada com (a) tubo para dentro (b) cantos vivos e (c) cantos arredondados 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 26 
1.9.2 Expansão e Contração Abruptas 
 
Expansão abrupta Numa expansão abrupta o fluido escoa de um tubo de seção menor para um outro de seção maior. A velocidade cai 
abruptamente formando-se uma região de turbulência e recirculação de fluxo a qual provoca uma perda de carga proporcional à relação das seções dos tubos. A perda de carga localizada é determinada pela expressão: Onde V é a velocidade média do tubo menor. 
 (a) Contração abrupta (b) Expansão abrupta 
Figura 18 Contração abrupta e expansão abrupta 
Contração Abrupta 
 Neste tipo de elemento, a perda de carga é originada pela contração da linhas de corrente formando uma veia contracta e regiões de recirculação de fluxo. 
 
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
A2/A1
K
 (a) Contração abrupta 
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
A1/A2
K
 (b) Expansão abrupta 
Figura 19 Coeficiente de perda de cargapara contração e expansão abrupta Para determinar a perda de carga com estas relaçoes se utiliza a velocidade correspondente a seção de menor 
diâmetro. O mesmos é valido para avaliar a perda de carga em peças com expansão o contração gradual como visto no proximo item. 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 27 
1.9.3 Expansão e Contração Gradual 
 
A expansão gradual é obtida com uma peça de transição unindo um tubo de menor diâmetro com outro de maior diâmetro permite uma menor dissipação de energia do que uma transição abrupta direta entre dois tubos de diferente diâmetro. O coeficiente de perda de carga (K) depende da relação de diâmetros (D2/D1) e do ângulo do cone. Obtém-se uma perda de carga mínima adotando-se um ângulo do cone de 70 . 
 (a) Contração gradual 
 (b) Expansão gradual 
 
Figura 20 Contração gradual e expansão gradual 
 Figura 21 Perda de carga em expansão gradual 
Contração Gradual 
 
Da mesma forma que numa contração brusca a perda de carga depende da relação de diâmetros e do ângulo da contração. 
Tabela 4 Coeficiente de perda de carga (K) de contração gradual de tubos 
 Angulo da contração - θ 
A2/A1 10o 15 o a 40 o 50 o a 60 o 90 o 120 o 150 o 180 o 0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 
 Obs. Válido para tubos redondos e retangulares. Fonte: Fox 
Escoamentos Viscosos 
 
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1.10 Problemas Típicos de Escoamentos em Tubos 
 
 
A variação de pressão entre dois pontos de uma tubulação depende basicamente das variáveis envolvidas na Eq. da Energia. 
1.10.1 Determinação da Vazão 
 
Q = φ (L,hL,D) 1. Escrever a Eq. da energia introduzindo as grandezas conhecidas 
2. Expressar a perda de carga em função da velocidade e do fator de atrito hL =φ (V,f) 3. Explicite a velocidade em função do fator atrito V= φ(f) 
4. Expresse o número de Reynolds em função da velocidade Re =φ (V) 5. Calcule a rugosidade relativa ε/D. 
6. Selecione um valor inicial do fator de atrito f=fo tomando como referência o valor da rugosidade relativa ε/D e admitindo um Re na faixa turbulenta. 
7. Calcule a velocidade em função do fator de atrito assumido Vcal=φ(f) 8. Calcule o Re com a nova velocidade Re =φ (Vcal) 9. Com Recal e ε/D obtenha um novo valor do fator de atrito f= fcal. 10. Se fcal ≠ f Adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito. A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado a vazão com a velocidade final 
calculada. 
1.10.2 Determinação do Diâmetro da Tubulação 
 
D = φ (L,Q, hL) 1. Explicite da Eq. da energia a perda de carga. 2. Expresse a vazão em função da velocidade e do diâmetro na Eq, da perda de carga. 
3. Explicitar o diâmetro da Eq. da perda de carga ficando uma expressão na forma: D=(C1f)0,2 4. Expresse o número de Reynolds como função do diâmetro Re= C2/D. 5. Adote um valor inicial do fator de atrito f=f0 (por exemplo f0 =0,02) 
6. Calcule o diâmetro pela expressão obtida: D=(C1f)0,2 
7. Calcule o número de Reynolds pela expressão: Re= C2/D. 1. Calcule a rugosidade relativa ε/D. 
2. Com Re e ε/D determine um novo valor do fator de atrito fcal. 3. Se fcal ≠ f adote f= fcal e repita o procedimento a partir do passo 7 até convergir o valor da fator de atrito. 
A solução do problema é encontrada quando o fator de atrito converge, determinado o diâmetro com o fator de atrito final. 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 29 
1.11 Resumo da Tensão de Cisalhamento nas Paredes 
 
A tensão na parede no escoamento laminar e turbulento é dada por: 
4
D
L
P
w
∆=τ 
 
tal valor representa a tensão de cisalhamento máxima τw =τmax A Eq. de Darcy-Weisbach também é válida para escoamento laminar e turbulento 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
 A tensão de cisalhamento em função do fator de atrito (f) para regime laminar ou turbulento é obtida igualando-se as 
duas expressões anteriores obtendo-se 
24
2Vf
w ρτ = válida para escoamento laminar ou turbulento 
 
A tensão de cisalhamento para qualquer posição r do duto é dada como: 
R
r
maxττ = válida para escoamento laminar ou turbulento 
 
r=0 é no centro da tubulação e r=R na parede da tubulação 
Perfil de velocidades e tensão de cisalhamento para escoamento Laminar e Turbulento 
 
Figura 22 Escoamento laminar e turbulento: perfil de velocidades e tensão de cisalhamento 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 30 
1.12 Conceito de Diâmetro Hidráulico 
 
Os equacionamentos de perda de carga estudados neste capítulo também podem ser aplicados a tubulações com seções não circulares utilizando a definição de diâmetro hidráulico (Dh) : 
P
A
Dh
4
= 
 Onde A é a área da seção transversal do tubo P é o perímetro molhado, que é o comprimento da parede em contato 
com o fluido. A equação acima para um duto circular A=πD2/4 e P=πD e desta forma Dh=D. 
 
 
 Figura 23 Diversas geometrias de tubulações 
 
 A Fig. 23 mostra diversas geometrias de seções transversais de tubos que podem ser utilizados nas aplicações industriais. Devido as limitações de espaço nas instalações de ar condicionado se utilizam freqüentemente dutos retangulares. Em trocadores de calor podem ser utilizados tubos achatados, hexagonais, ovais e outros com cilíndricos concêntricos para escoamento anular. Em canais de regadios, rios, córregos, canais de represamento e calhas o 
fluido não preenche totalmente a seção transversal do duto, isso deve ser considerado para determinar corretamente o perímetro molhado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 31 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOAMENTOS VISCOSOS 
 
 
 
 
2. ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 32 
2.1 ESCOAMENTOS TURBULENTOS - TENSOES DE REYNOLDS 
 
Objetivo: 
• Deduzir as tensões aparentes ou Tensões de Reynolds para escoamento turbulento utilizando as equações da 
conservação da massa e Eq. de Navier Stokes considerando fluido incompressível 
• Apresentar as equações de Navier-Stokes para escoamento turbulento. 
 
Definimos as equações que da conservação da massa e Eq. de Navier Stokes 
• Equação valida para escoamento laminar e turbulento 
• Fluido incompressível (massa especifica constante) e viscosidade constante 
• Sem iteração térmica. 
• Condições de não-deslizamento e condições conhecidas na entrada e saída 
 
 
Equação da conservação da massa 
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u (1) 
 
 
Equação de Navier Stokes 
Vgp
Dt
VD rr
r
2∇++−∇= µρρ (2) 
 
Utilizando as grandezas escalares: 
 
 
Equação de Navier Stokes Componentes escalares 
 
wg
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
vg
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
ug
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
y
x
2
2
2
∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
µρρ
µρρ
µρρ
 
 
 
 
 
(3) 
 
No escoamento turbulento velocidade instantânea e definida como sendo a soma da media temporal mais a componente de flutuação 
 
'
'
'
'
ppp
www
vvv
uuu
+=
+=
+=
+=
 
 
 (4) 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 33 
 
Media Temporal 
A media temporal u da função ),,,( tzyxu e definida como: 
 ∫= To udtTu 1 ∫= To vdtTv 1 ∫= To wdtTw 1 ∫= To pdtTp 1 (5) 
 T 
 
Período de calculo da media, o qual deve ser maior que o período das flutuações. Para escoamentos turbulentos em gases e água T=5seg. e um período apropriado. 
 
 
Media da Flutuação 
 
( ) 01' =−= ∫To dtuuTu (6) 
 
Media do Quadrado da Flutuação 
0
1 2'2' ≠= ∫To dtuTu (7) 
 
Media do Produto das Flutuações 0'' ≠vu 0'' ≠wu 0'' ≠wv (8) 
 Utilizando as velocidades instantâneas e introduzidas na conservação da massa:( ) ( ) ( )
0
'''
=
∂
+∂+
∂
+∂+
∂
+∂
z
ww
y
vv
x
uu 
 
0
'''
=



∂
∂+∂
∂+∂
∂+



∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
w
y
v
x
u
z
w
y
v
x
u 
 Tomando valores médios se obtém: 
Equação da Conservação da Massa 
para escoamento Turbulento. 0=∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u (9) 
 
Equação de Navier Stokes para Escoamento Turbulento 
 Substituindo as definições de velocidades instantâneas se obtém: ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




∂
∂+∂
∂+∂
∂−∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂




∂
∂+∂
∂+∂
∂−∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂




∂
∂+∂
∂+∂
∂−∇++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
z
w
y
wv
x
wu
wg
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
z
wv
y
v
x
vu
vg
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
z
wu
y
vu
x
u
ug
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
y
x
2'''''
2
''2'''
2
''''2'
2
ρµρρ
ρµρρ
ρµρρ
 
 
 
 
 
 
(10) 
 Observa-se comparando a Eq.10 com a Eq,1 que no caso do escoamento turbulento surge forcas adicionais devido à 
turbulência denominada forcas aparentes. As tensões associadas a estas forcas são chamadas de tensões aparentes ou tensões de Reynolds 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 34 
 
 
 
 
Forcas Aparentes Associadas ao 
Escoamento Turbulento. 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=
z
w
y
vw
x
uw
df
z
wv
y
v
x
uv
df
z
wu
y
vu
x
u
df
Tz
Ty
Tx
2'''''
''2'''
''''2'
ρ
ρ
ρ
 
 
 
 
 
(11) 
 Estas forcas aparentes estão relacionadas as tensões do escoamento turbulento 




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=




∂
∂+∂
∂+∂
∂−=
zyx
df
zyx
df
zyx
df
TzzTzyTzx
Tz
TyzTyyTyx
Ty
TxzTxyTxx
Tx
σττ
τστ
ττσ
 
 
 
 
 
(12) 
 Estas tensões são denominadas tensões de Reynolds as quais são conseqüência das flutuações da velocidade. ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )












−=







2'''''
''2'''
''''2'
wvwuw
wvvuv
wuvuu
TzzTzyTzx
TyzTyyTyx
TxzTxyTxx
ρ
σττ
τστ
ττσ
 
 
 
 
 
 
(13) 
 Desta forma as tensões no escoamento turbulento podem ser consideradas como sendo a soma das parcelas das 
tensões laminares mais as tensões turbulentas ou tensões de Reynolds: 
 
 
 
 
 
 
Tensões de para 
Escoamento turbulento 
Txxxxxx σσσ += 
 
Tyyyyyy σσσ += 
 
Tzzzzzz σσσ += 
Txyxyxy τττ += 
 
Tyzyzyz τττ += 
 
Tyzxzxzx τττ += 
 
 
 
 
 
 
(14) 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 35 
Para escoamento com fluido incompressível a s tensões laminar e turbulenta são definidas pelas equações a seguir: 
Txxxxxx σσσ += 
x
u
pxx ∂
∂+−= µσ 2 ( )2'uTxx ρσ −= 
 
Tyyyyyy σσσ += 
y
v
pyy ∂
∂+−= µσ 2 ( )2'vTyy ρσ −= 
 
Tzzzzzz σσσ += 
z
w
pzz ∂
∂+−= µσ 2 ( )2'wTzz ρσ −= 
 
Txyxyxy τττ += 


∂
∂+∂
∂=
x
v
y
u
xy µτ ( )''vuTxy ρτ −= 
 
Tyzyzyz τττ += 


∂
∂+∂
∂=
z
v
y
w
yz µτ ( )''wvTyz ρτ −= 
 
Tyzxzxzx τττ += 


∂
∂+∂
∂=
x
w
z
u
zx µτ ( )''uwTzx ρτ −= 
 
A Eq. 10 também pode ser representada como: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) −∂∂∂∂+ −∂∂∂∂+ −∂∂∂∂++∂∂−= ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂


 −∂
∂
∂
∂+

 −∂
∂
∂
∂+

 −∂
∂
∂
∂++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂


 −∂
∂
∂
∂+

 −∂
∂
∂
∂+

 −∂
∂
∂
∂++∂
∂−=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
2'''''
''2'''
''''2'
w
z
w
z
uw
y
w
y
uw
x
w
x
g
z
p
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
wv
z
v
z
v
y
v
y
uv
x
v
x
g
y
p
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
wu
z
u
z
vu
y
u
y
u
x
u
x
g
x
p
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
z
y
x
ρµρµρµρρ
ρµρµρµρρ
ρµρµρµρρ
 
 A equação acima pode ser escrita em forma mais compacta como: 
 
 
Equação de Navier-Stokes para 
Escoamento turbulento 
zyx
g
z
w
w
y
w
v
x
w
u
t
w
zyx
g
z
v
w
y
v
v
x
v
u
t
v
zyx
g
z
u
w
y
u
v
x
u
u
t
u
zzzyzx
z
yzyyyx
y
xzxyxx
x
∂
∂+∂
∂+∂
∂+=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂+∂
∂+=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
∂
∂+∂
∂+∂
∂+=


∂
∂+∂
∂+∂
∂+∂
∂
σττρρ
τστ
ρρ
ττσρρ
 
 
 
 
(15) 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 36 
 
2.2 REPRESENTACOES SEMI-EMPIRICAS DAS TENSOES DE REYNOLDS 
 
• Ainda não existe um modelo de turbulência geral e completo que descreva como varia a tensão de cisalhamento num campo de escoamento incompressível viscoso e turbulento. 
 
• Existe uma grande dificuldade em determinar as tensões de Reynolds ou que representa não conhecer a viscosidade turbulenta efetiva. 
Duas soluções semi empíricas podem ser descritas: (a) Conceito de Comprimento de Mistura de Prandtl em 1925 (b) Conceito de Viscosidade Turbulenta Efetiva de Boussinesq. 
 Considerando um dos termos para um escoamento numa direção predominante: ( )''vu
dy
ud
turblam ρµτττ −=+= 
 
demonstra-se que o produto ( )''vu e sempre negativo (-): 
 ( ) ( )'''' vu
dy
ud
vu
dy
ud ρµρµτ +=−−= 
 
Desta forma num escoamento turbulento, a tensão total (lam + turb) e sempre maior que no escoamento laminar. 
Parcela lamτ : Dominante na sub-camada viscosa (muito fina: 0,1% do Raio da tubulação) 
Parcela Turbτ : Dominante na camada externa ou camada turbulenta. (100 a 1000 maior que lamτ nesta camada) 
 
• Transições dos efeitos laminar e turbulento ocorrem na camada de superposição ou amortecedora. 
 
2.3 CONCEITO DE MISTURA DE PRANDTL 
 
 
• As partículas de fluido viajam de camada para camada. 
• Neste transporte percorrem um caminho com comprimento de mistura l 
 Pode ser mostrado que as flutuações das velocidades são relacionadas por: 
dy
ud
lu 1
' = e 
dy
ud
lv 2
' = 
 Onde l1 e l2 são os comprimentos de mistura para o transporte da quantidade de movimento. Definimos também que: 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 37 
 
21
2 lllm = 
 
O comprimento de mistura e definido como 
kylm = 
 
onde y e a distancia normal a parede e k e a constante de Von karman (k=0,4). Estudos posteriores mostram que ml 
não apresenta um valor constante. 
Desta forma a tensão turbulenta e expressa como: ( )
dy
ud
dy
ud
lvu mTurb
2'' ρρτ =−= 
 
 
Tensão de Reynolds utilizando 
hipótese de Prandtl. 
 
dy
ud
dy
ud
lmTurb
2ρτ = 
 
 
 Boussinesq define a viscosidade turbulenta efetiva, representando a tensão turbulenta como: 
dy
ud
Turb ητ = 
 
 
Tensão de Reynolds utilizando 
hipótese de Boussinesq 
 
dy
ud
Turb ητ = 
 
 
 Onde η representa a viscosidade turbulenta efetiva que podemos relacionar a expressão de Prandtl por: 
 
 
Viscosidade turbulenta efetiva. 
 
dy
ud
lm
2ρη = 
 
 
 
Desta forma se obtém uma representação da tensão turbulenta como: 
 
Tensão de Cisalhamento para 
escoamento turbulento 
 
( )
dy
udηµτ += 
 
 
dy
ud
dy
ud
turblam ηµτττ +=+=
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 38 
 A viscosidade efetiva turbulenta (η ) e relacionada nestas equações com a difusividade turbilhonar conhecida como 
denominada viscosidade cinemática aparente. 
Viscosidade cinemática aparente. 
ρ
ηε =m 
 
 
 
 
Tensão de Reynolds utilizando a 
viscosidade cinemática aparente. 
 
dy
ud
mTurb ρετ = 
 
 
 Desta forma a tensão de cisalhamento total num escoamento turbulento pode ser dada por: 
Tensão de Cisalhamento para 
escoamento turbulento 
 
( )
dy
ud
mρεµτ += 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOAMENTOS VISCOSOS 
 
 
 3. PERFIL DE VELOCIDADES TUBULAÇOES 
 
EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 40 
3.1 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS 
 Num escoamento turbulento em dutos o perfil de velocidade cresce desde a parede até um máximo no centro da tubulação. Este escoamento pode ser divido em três regiões principais: 
• Uma subcamada laminar ou viscosa muito próxima da parede 
• Uma camada intermediaria ou de superposição• Uma camada turbulenta externa (na região central da tubulação). 
 A natureza do escoamento e portando do perfil de velocidade e totalmente diferente nestas três camadas: 
• Na subcamada a viscosidade do fluido e um parâmetro significativo e a massa especifica não. 
• Na camada externa a massa especifica e um parâmetro significativo e a viscosidade não. 
 
 
 
Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média. 
 Sabemos que num escoamento turbulento a tensão de cisalhamento e composta por uma parcela de tensão laminar e uma turbulenta. ( )''vu
dy
ud
turblam ρµτττ −=+= 
 A equação pode ser representada como: 
( )
dy
ud
Tµµτ += 
 Onde µ representa a viscosidade absoluta do fluido e µT representa a viscosidade aparente ou efetiva. 
dy
ud
lmT
2ρµ = 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 41 
dy
ud
dy
ud
l
dy
ud
m 

+= 2ρµτ 
 Visto desta forma podemos colocar que: 
 
Sub-camada laminar ou viscosa (região da parede) 
Tturblam µµττ >>>> 
Camada de amortecedora ou de superposição: 
Tturblam µµττ ≅≅ 
Camada turbulenta externa: µµττ >>>> Tlamturb 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 42 
 
3.2 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS LISOS 
 
Objetivo: 
Determinar o perfil de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação considerada lisa e um fluido com propriedades constantes. 
 Utiliza-se como equação básica a expressão da tensão turbulenta: 
 
 Para equacionar o perfil de velocidade e utilizado o conceito de velocidade de atrito. 
Velocidade de Atrito 
 
ρ
τWu =* 
 
 
 
onde Wτ e a tensão de cisalhamento na parede e ρ a massa especifica do fluido. 
 
Alem disto são introduzidas duas grandezas adimensionais: 
• Velocidade adimensional +u 
• Distancia a partir da parede adimensional +y 
 
Velocidade de Adimensional 
 
*u
u
u =+ 
 
 
Distancia da parede adimensional 
v
yu
y
*
=
+ 
 
 
rRy −= Representa a distancia normal a partir da parede 
ν Viscosidade cinemática do fluido 
 
 
Em termos das camadas: 
Sub-camada viscosa (região da parede) 5≤+y 
Camada de superposição: 305 ≤< +y 
dy
ud
dy
ud
l
dy
ud
m 

+= 2ρµτ
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 43 
Camada externa: 30>+y 
 
SOLUCAO 
 
1. 
dy
ud
dy
ud
l
dy
ud
m
2ρµτ += 
 
2. sabemos que kylm = 
 
3. ( )
2
2 

+=
dy
ud
ky
dy
ud ρµτ 
 4. Dividimos a Equação pela massa especifica 
5. ( )
2
2 

+=
dy
ud
ky
dy
ud
ρ
µ
ρ
τ 
 
6. O termo ν
ρ
µ = representa a viscosidade cinemática: 
 
7. ( )
2
2 

+=
dy
ud
ky
dy
ud
v
ρ
τ 
 
8. ( )
dy
ud
dy
ud
kyv 

 += 2
ρ
τ 
 
 
9. ( )
dy
ud
dy
ud
kyvu 

 += 22* 
 
Equação Deduzir as Equações 
Especificas. 
 
 ( )
dy
ud
dy
ud
kyvu 

 += 22* 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 44 
 
Caso No1 – Escoamento na Sub-camada Viscosa (Região da Parede): 
 
 
Como: turblam ττ >> o termo que representa a tensão viscosa da equação torna-se nulo. 
 
( )
dy
ud
vu =2* 
 
dy
v
u
ud
2*
= 
 
sendo que : *uduud += e que 
*u
dy
dy
ν+= 
*
2*
*
u
dy
v
u
udu
ν++
= Se obtém: 
 
++
= dydu 
 Integrando 
 
cyu += ++ 
 
Nas condições de contorno na parede: 0 0 por tanto 0 0 ==== ++ yeuuypara e c=0. 
 
Lei da Parede 
Sub-camada Laminar ou Viscosa 
 
++
= yu para 5≤+y 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 45 
 
Caso No2 – Camada turbulenta (Região de Externa): 
Como: lamTrub ττ >> o termo que representa a tensão laminar torna-se nulo. 
 
Podemos utilizar as relações adimensionais: 
( )
2
22* 

=
dy
ud
kyu 
 
dy
ud
kyu =* 
 
O termo: *
2*
*
*
*
*
u
dy
du
y
dy
udu
u
vy
u
dy
udu
u
vy
dy
ud
y
+
+
+
+
++
+
++
=


=


=
νν
 
** u
dy
du
kyu
+
+
+
= 
 
+
+
+
=
ky
dy
du 
 
Integrando: 
cy
k
u += ++ ln
1 
 
Onde c e uma constante que depende da rugosidade da tubulação. Para paredes consideradas lisas, na literatura se encontra c=5 ou também c=5,5. 
Lei da Logarítmica 
Camada Externa plenamente 
turbulenta. 
 
5,5ln5,2 += ++ yu para 30>+y 
 
 
 Pode ser mostrado que integrando a equação anterior se obtém a velocidade media do perfil de velocidades. 
Lei da Logarítmica 
Velocidade Media 
 
34,1ln5,2
*
+≅ +y
u
Vmedia para 30>+y 
 
 
 
Caso No3 – Região de Superposição: 
Neste caso adota-se um perfil de ajuste logarítmico do tipo. 
Lei da Logarítmica 
Camada de Superposição. 
 
05,3ln0,5 −= ++ yu para 305 ≤< +y 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 46 
 
RESUMO DAS EQUACOES DO PERFIL DE VELOCIDADES 
 
Sub-camada viscosa (região da parede) ++ = yu para 5≤+y 
Camada de superposição: 05,3ln0,5 −= ++ yu para 305 ≤< +y 
Camada externa: 5,5ln5,2 +=
++ yu para 30>+y 
 
 
 
Perfil de velocidade turbulenta num tubo liso 
 
 
 
Escoamento turbulento num tubo (a) tensão de cisalhamento e (b) velocidade média. 
 
y+=u*y/ν 
u+ 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 47 
 
3.3 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – TUBOS RUGOSOS 
• Uma superfície e considerada hidraulicamente lisa quando as saliências da superfície ( ε) ou rugosidade for 
muito menor que a espessura da sub-camada viscosa (δV)). 
• Define-se o parâmetro 
Parâmetro de Rugosidade *u
ν
ε
ε =+ 
 
 
• Estudos em tubos em escoamento turbulento utilizando rugosidade areia para aumentar artificialmente a rugosidade permitem concluir que a as superfícies podem ser classificadas em função do parâmetro: 
Hidraulicamente Lisa: 
• Sem efeito da rugosidade sobre o atrito 
50 ≤≤ +ε 
Transitórias 
• Efeito moderado do numero de Reynolds 
705 ≤< +ε 
Completamente Rugosa 
• A subcamada viscosa e totalmente destruída e o 
atrito dependem do numero de Reynolds. 
70>+ε 
 
Resultados mostram que para escoamento em tubos rugosos, a lei logarítmica da velocidade para escoamento 
plenamente turbulento e dado por: 
 
Lei da Logarítmica da Velocidade 
 
• Tubos Rugosos 
• Camada Externa plenamente turbulenta. 
 
5,8ln5,2 +=+
ε
y
u para 70>+ε 
 
 
Integrando esta equação se obtém a velocidade media do perfil de velocidades na tubulação: 
 
Velocidade media 
 
• Tubos Rugosos 
• Camada Externa plenamente turbulenta. 
 
5,8ln5,2
*
+=
ε
D
u
Vmedia para 70>+ε 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 48 
 
3.4 PERFIL DE VELOCIDADES EM ESCOAMENTOS TURBULENTOS – LEI EXPONENCIAL 
Uma alternativa para descrever a distribuição de velocidade num escoamento turbulento numa tubulação e dada pela lei exponencial: 
 
Lei Exponencial 
n
R
r
uu
/1
max 1 

 −= 
 
onde o expoente n e uma função do numero de Reynolds e da rugosidade do material e varia de 5 a 10. 
Para tubos lisos: 
Re 4x103 105 106 > 2x106 
n 6 7 9 10 
Podemos também utilizar uma expressão aproximada. 96.1Relog85.1 −=n 
 
O expoente n esta relacionado com o fator de atrito pela equação empírica: 
Expoente n 
 
f
n
1= 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 49 
 
Lembrando que tanto para escoamentos laminar e turbulento o atrito esta relacionada com: 
 
Equações validas para 
 
Escoamento 
Laminar e turbulento 
2
8
media
W
V
f
ρ
τ
= 
4
D
L
P
W
∆=τ 
g
V
D
L
fhL 2
2
= 
• O perfil de velocidades da lei exponencial não poder ser utilizado para determinar a tensão de cisalhamento na parede já que: 
• ∞=


parede
dy
ud 
• Para determinar Wτ deve-se relacionar o fator de atrito com a tensão de cisalhamento com as equações 
apresentadas acima. 
Pode-se obter a velocidade media em função da velocidade máxima pela integração da velocidade: 
A
dAu
A
Q
V
R
media
∫
==
0 ( ) max
2
2
0
)12(1
2
2)(
u
nn
n
R
rdrru
V
R
media
++
==
∫
π
π
 
 
Relação entre a velocidade mediae 
velocidade máxima. 
 
( ) )12(1
2 2
max ++
=
nn
n
u
Vmedia 
 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
PUCRS 50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESCOAMENTOS VISCOSOS 
 
 
4. Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
Escoamentos Viscosos 
 
Jorge A. Villar Alé 51 
 
4.1 Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
Quando um corpo se move através de um fluido existe um interação entre este e o fluido. Tal interação pode ser descrita por forças que atuam na interface fluido-corpo. Estas forças se devem aos efeitos viscosos e aos efeitos de pressão. Em Engenharia, para avaliar os efeitos globais é mais interessante representar estas forças em função da denominada força de arrasto que atua na direção do escoamento e a força de sustentação que atua na direção normal 
ao escoamento denominada sustentação. O arrasto e sustentação podem ser obtidos pela integração das tensões de cisalhamento e as forças normais ao corpo. No Cap.11 são abordadas as forças de sustentação e arrasto para escoamentos externos viscosos sobre superfícies curvas tais como cilindros e aerofólios. No presente capítulo é abordado o escoamento externo sobre placas planas. 
4.2 Escoamento em Torno de Corpos 
A característica do escoamento em torno de um corpo depende de vários parâmetros como: forma do corpo, velocidade, orientação e propriedades do fluido que escoa sobre o corpo. Os parâmetros mais importantes para 
descrever o escoamento sobre um corpo são o número de Reynolds e número de Mach. 
4.2.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo 
O número de Reynolds (Re= ρ VD/µ) representa a relação entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos. 
• Sem os efeitos viscosos (µ=0) , o número de Reynolds é infinito. 
• Por outro lado na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ=0) o número de Reynolds é nulo. 
 
Qualquer escoamento real apresenta um número de Reynolds entre esses limites. A natureza do escoamento varia muito se Re >>1 ou se Re <<1. A maioria dos escoamentos que nos são familiares estão associados a objetos de 
tamanho moderado com comprimento característico da ordem de 0,01m a 10m. As velocidades ao longe destes escoamentos (água e ar) apresentam ordem de grandeza de 0,01m/s até 100m/s. Desta forma o Re destes escoamento está entre 10 < Re < 109. 
 
Escoamentos com Re > 100 são controlados por efeitos de inércia. Escoamentos com Re < 1 são controlados por efeitos viscosos. 
A maioria dos escoamentos são controlados por efeitos de inércia. 
 Antes de Prandtl a Mecânica dos Fluidos evoluiu com resultados teóricos e experimentais que diferiam. Prandtl introduziu o conceito de camada limite fornecendo o elo entre teoria e prática. Prandtl mostrou que muitos escoamentos 
viscosos podem ser analisados considerando duas regiões: uma próxima das fronteiras sólidas e outra cobrindo o restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira sólida (camada limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é desprezível e o fluido pode ser tratado como não-
viscoso. Em muitas situações reais, a camada limite desenvolve-se sobre uma superfície sólida plana. Exemplo disso é escoamento sobre cascos de navios e de submarinos, asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano. Estes casos podem ser ilustrados pelo caso mais simples analisando uma placa plana. Tal caso será estudado a seguir. 
 Figura 1 Camada limite sobre uma placa plana (espessura exagerada) 
Escoamentos Viscosos 
 
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4.3 Escoamento sobre Placa Plana 
4.3.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1 
 
As Fig. .2 a Fig.4 mostram três tipos de escoamentos sobre uma placa plana que tem comprimento L. Para o caso em 
que Re≈0,1 (Fig..2) os efeitos viscosos são predominantes afetando o escoamento uniforme. Devemos nos afastar 
consideravelmente da placa plana para alcançar uma região do escoamento que tem sua velocidade alterada em menos de 1%. A região afetada pelos efeitos viscosos é bastante ampla quando o número de Reynolds do escoamento é baixo. 
 Figura 2 Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes 
 
4.3.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10 
 
Com o aumento do Re no escoamento (por ex. aumento de Uoo), neste caso Re≈10, a região onde os efeitos viscosos são importantes se torna menor em todas as direções, exceto a jusante da placa (Fig. 3). Se observa que as 
linhas de corrente são deslocadas da posição original do escoamento uniforme, mas o deslocamento não é grande 
como na situação referente ao Re≈0,1. 
 Figura 3. Placa Plana - Efeitos viscosos moderados 
Escoamentos Viscosos 
 
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4.3.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈107 
 
Para escoamento com Re muito alto (Re≈107) predominam os efeitos das forças de inércia. Os 
efeitos das forças viscosas são praticamente desprezíveis em todos os pontos, exceto naqueles muito próximos da 
placa plana e na região de esteira localizada a jusante da placa (Fig. 4). Como a viscosidade do fluido não é nula o fluido adere à superfície sólida (condição de não escorregamento). Desta forma a velocidade varia desde zero na superfície da placa até um valor Uoo, na fronteira de uma região muito fina denominada camada limite. Essa região conhecida como camada limite (δ) é sempre muito menor que o comprimento da placa. A espessura desta camada 
aumenta na direção do escoamento e é nula no borda de ataque da placa. O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. 
Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro 
de 1% da velocidade de corrente livre. 
 
 Figura 4 Placa Plana - Efeitos de inércia importantes 
As linhas de corrente fora da camada limite são aproximadamente paralelas àplaca plana. O leve deslocamento das linhas de corrente externas (fora da camada limite) se deve ao aumento da espessura da camada limite na direção do escoamento e é nula no bordo de ataque da placa. A existência da placa plana tem pouco efeito nas linhas de corrente externas tanto na frente, acima ou abaixo da placa. Por outro lado, a região de esteira é provocada por efeitos viscosos. 
 
Camada Limite – Prandtl 
 
O físico alemão Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanços na Mecânica dos Fluidos, em 1903, concebendo a idéia da camada limite na qual define – Uma região muito fina dentro da camada limite e adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes, onde a componente axial da velocidade varia rapidamente com a distância y. Uma região fora da camada limite denominada região de escoamento potencial onde o fluido se comporta como se fosse um fluido não viscosos, ou investido onde as forças de cisalhamento são 
desprezíveis. Certamente a viscosidade dinâmica é a mesma em todo o campo de escoamento. Desta forma a importância relativa de seus efeitos (devido aos gradientes de velocidade) é diferente fora e dentro da camada limite. Os gradientes de velocidades normais ao escoamento são relativamente pequenos fora da camada limite e o fluido se comporta como se fosse não viscoso. 
 
Escoamentos Viscosos 
 
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4.4 Características da Camada Limite 
 
O tamanho da camada limite e a estrutura do escoamento nela confinado variam muito. Parte desta variação é provocada pelo formato do objeto onde se desenvolve a camada limite. A seguir se analisa o efeito da camada limite para o caso de um fluido viscoso e incompressível sobre uma placa plana de comprimento infinito (x varia de 0 a 
infinito). Se o Re é muito alto somente o fluido confinado na camada limite sentirá a presença da placa. Exceto na região fora da camada limite a velocidade será essencialmente igual a velocidade de corrente livre V=Ui. Para uma placa finita, o comprimento L pode ser utilizado como comprimento característico. No caso da placa plana de comprimento infinito 
definimos o Rex= Ux/ν. Se a placaé longa o Re é alto, apresentando uma camada limite exceto na região muito pequena próxima da borda da placa. A presença da placa é sentida em regiões muito finas da camada limite e da esteira. 
 Figura 10.5. Efeito rotacional de partículas de fluido dentro da camada limite Consideremos o escoamento de uma partícula de fluido no campo de escoamento. Quando a partícula entra na camada limite começa a distorcer devido ao gradiente de velocidade do escoamento – a parte superior da partícula apresenta uma velocidade maior do que na parte inferior. O elemento de fluido não tem rotação fora da camada limite mas 
começa a rotar quando atravessa a superfície fictícia da camada limite e entre na região onde os efeitos viscosos são importantes. O escoamento é irrotacional fora da camada limite O escoamento é rotacional dentro da camada limite. 
A partir de uma certa distância x do bordo de ataque, o escoamento na camada limite torna-se turbulento e as partículas de fluido tornam-se extremadamente distorcidas devido a natureza irregular da turbulência. Uma das características da turbulência é o movimento de misturas produzido no escoamento. Esta mistura é devido a movimentos irregulares de porções de fluido que apresentam comprimentos que variam da escala molecular até a espessura da camada limite. Quando o escoamento é laminar a mistura ocorre somente em escala molecular. A transição do escoamento de laminar 
para turbulência ocorre quando o Re atinge um valor critico (Rec). 
Placa Plana: 
• Rec varia de 2x105 até 3x106 . É função da rugosidade da superfície e da intensidade da turbulência. 
� Considera-se o valor crítico igual a Rec=5x105. ( 500.000) 
� Considera-se que a camada limite é turbulenta quando Rex > 3x106 ( 3.000.000) 
� Laminar Re < 5x105 Turbulento Re > 3,0 x10 6 
 
Escoamentos Viscosos 
 
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4.5 Espessura da Camada Limite 
Na camada limite a velocidade muda de zero na superfície da placa até o valor da velocidade de corrente livre na fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condições de contorno: 
V=0 em y =0 e V≈U00 em y =δ. Matematicamente como fisicamente o perfil de velocidade não apresenta nenhuma singularidade. Isto é, u tende a Uoo quando mais nos afastamos da placa (não é necessário que u seja precisamente igual a U00 em y=δ). Se define a 
espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade situa-se dentro de 1% da 
velocidade de corrente livre. 
∞== U,uy 990 onde δ 
4.6 Espessura de Deslocamento 
 
A Fig. 10.6 mostra dois perfis de velocidade para escoamento sobre uma placa plana: um (Fig. 6a) considerando perfil uniforme de velocidade (sem atrito) e outro (Fig.6b) com viscosidade no qual a velocidade na parede é nula. 
 Figura 6. Camada limite e conceito de espessura de deslocamento Devido à diferença de velocidade U – u dentro da camada limite, a vazão através da seção b – b é menor do que 
aquela na seção a – a . Se deslocarmos a placa plana na seção a – a de uma quantidade δ* , as vazões pelas seções serão idênticas. Esta distância é denominada espessura de deslocamento. 
 Figura 7 Perfil de velocidade para definir espessura de deslocamento 
 
 
Escoamentos Viscosos 
 
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A definição é verdadeira se 
 
( )∫∞ −= 0* bdyuUbUδ onde b é a largura da placa. Desta forma: 
∫∞  −= 0* 1 dyUuδ 
 A espessura de deslocamento representa o aumento da espessura do corpo necessário para que a vazão do escoamento uniforme fictício seja igual a do escoamento viscoso real. Também representa o deslocamento das linhas 
de corrente provocado pelos efeitos viscosos. Tal idéia permite simular a presença da camada limite no escoamento pela adição de uma espessura de deslocamento da parede real e tratar o escoamento sobre o corpos mais espessos como se fossem não viscoso. 
4.7 Espessura da Quantidade de Movimento 
 
A diferença de velocidades existente na camada limite U – u, provoca uma redução do fluxo da quantidade de movimento na seção b – b mostrado na Fig.7 . O fluxo é menor do que aquele na seção a – a da mesma figura. Esta 
diferença de fluxo de quantidade de movimento na camada limite, também conhecida como déficit do fluxo da quantidade de movimento no escoamento real é dada por: 
( ) ( )∫ ∫∞ −=−
0
dyuUubdAuUu ρρ 
 por definição estas integrais representam o déficit do fluxo da quantidade de movimento numa camada limite de 
velocidade uniforme U e espessura θ. Assim, 
( )∫∞ −=
0
2 dyuUubbU ρθρ 
 
∫∞  −= 0 1 dyU
u
U
uθ 
 
as três definições de espessura de camada limite δ , δ*e θ são utilizadas nas análises de camada limite. A hipótese da camada limite ser fina é essencial para o desenvolvimento do modelo de escoamento. Esta hipótese, na análise do 
escoamento sobre uma placa plana garante que δ seja muito menor que x (δ <<x) e também que (δ* << x) e (θ << x) onde x é a distância em relação ao bordo de ataque da placa. Como ordem de grandeza se utilizam: 
 






=
δ
δ
δ
8
1
3
1
min
*
turbulento
arla
 






=
δ
δ
θ
10
1
7
1
min
turbulento
arla
 
 
 
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4.8 Coeficiente de Arrasto em Placas Planas 
 
O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por: 
DfDpD CCC += 
 
CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento. 
 
AU
F
C DfDf
2
2
1
∞
=
ρ
 
 onde A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo numa placa paralela ao escoamento A=bxL onde b é a largura da placa. 
 O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão. 
AU
F
C DpDp
2
2
1
∞
=
ρ
 
 Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num cilindro A=DxL 
 O coeficiente de arrasto total é assim definido: 
AU
F
C DD
2
2
1
∞
=
ρ
 onde FD= FDp + FDf 
 No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a tensão de cisalhamento não contribui para a força de resistência. O coeficiente de arrasto deve-se unicamente ao arrasto por 
pressão. Desta forma CD= CDp. 
 Figura .8 Placa plana perpendicular ao fluxo 
No caso de uma placa plana paralela ao escoamento o arrasto deve-se unicamente ao atrito superficial. Desta forma 
CD= CDf. 
 
 
 
CD=CDp 
Escoamentos Viscosos 
 
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4.9 Coeficiente de Arrasto e Força de Arrasto pela Tensão de Cisalhamento 
 
Considerando que o perfil de velocidade u(x,y) da camada limite seja conhecido. A tensão de cisalhamento τw na parede que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinado a partir da definição: 
0
),(
=
∂
∂=
y
w y
yxuµτ 
 
Desta forma conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força de cisalhamento, devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação anterior não é muito prática para aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento ou força de arrasto local como função do coeficiente de 
arrasto local Cf. Também denominado coeficiente de tensão de cisalhamento (Cx no texto de Ozisik). 
2
2
∞
=
U
C fw
ρτ 
 
onde ρ é a massa específica do fluido e U00 a velocidade de corrente livre. Desta forma conhecendo o coeficiente da 
tensão de cisalhamento Cf podemos determinar a força de arrasto exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as equações anteriores se obtém: 
 
0
2
),(2
=∞
∂
∂=
y
f y
yxu
U
C
ν 
 o coeficiente local de arrasto poderá ser determinado se o perfil de velocidade u(x,y) na camada limite for conhecido. 
O valor médio do coeficiente da tensão de cisalhamento CDf de x=0 até x=L é definido como: 
∫
=
=
L
x
fDf dxCL
C
0
1 
 determinado o CDf podemos calcular a força de arrasto FD atuando sobre a placa de x=0 até x=L numa largura da placa 
b (lembrando que a área superficial é A=bxL). 
2
2
∞
=
U
bLCF DD
ρ 
 Obs. Para placa plana paralela