Introdução elementar às álgebras Clifford 'CL IND 2' 'CL IND 3'

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Introdução Elementar às Álgebras de
Cli¤ord C`2 e C`3
Adriana Souza Resende
Dissertação de Mestrado
Orientador: Prof. Dr. Waldyr Alves Rodrigues Jr.
Maio de 2010
Campinas - SP
i
v
vii
ix
xi
xiii
xiv
xv
Introdução
A geometria sem álgebra é cega,
a álgebra sem geometria é muda.
(autor desconhecido)
As álgebras geométricas de que tratamos neste trabalho, são apresentadas de
modo simples e didático. O texto traz vários exemplos e exercícios resolvidos.
Dividimos o trabalho em seis capítulos:
1o capítulo: percorremos a história para entender como surgiu a álgebra
geométrica, e as álgebras que deram origem a ela.
2o capítulo: introduz conceitos elementares, como escalares, vetores, opera-
ções entre vetores, espaços lineares e funções lineares entre outros, e de�ne o
produto de Cli¤ord em R2, para então de�nir as primeiras propriedades da
álgebra de Cli¤ord C`2.
3o capítulo: aborda os números complexos, como álgebra e como corpo, suas
propriedades e o isomor�smo entre C e a parte positiva da álgebra de Cli¤ord
C`2, além de aprofundar o dissecamento da álgebra C`2:
4o capítulo: desbrava as propriedades geométricas dos bivetores, de�ne a
dualidade de Hodge e aborda a álgebra exterior
V
R3, traçando um paralelo
entre esta e à álgebra de Cli¤ord C`3, mostrando o isomor�smo entre os
espaços vetoriais das duas álgebras e apresentando o produto entre vetores e
bivetores, e as contrações à direita e à esquerda entre multivetores.
5o capítulo: apresenta as matrizes spin de Pauli e os spinores, o isomor�smo
entre os quatérnions H e a álgebra par C`+3 , as rotações e re�exões no espaço.
6o capítulo: apresenta uma breve introdução à álgebra dos quatérnions H
de Hamilton, as rotações em R3 os grupos de rotações SO(3) e SU(2), a
1
2 Introdução
representação matricial dos quatérnions e como nos outros capítulos, alguns
exercícios de aplicação.
Capítulo 1
Notas Históricas
Faremos a seguir uma retrospectiva histórica, citando alguns dos personagens
que contribuiram, diretamente, com a construção da álgebra geométrica e
fatos curiosos relacionados as suas descobertas.
Euclides de Alexandria e a Geometria Grega (� 300 A.C.)
Sua formulação sistemática da Geometria Grega, foi a primeira teoria
abrangente do mundo físico. Euclides mostrou que a partir de hipóteses sim-
ples sobre a natureza dos objetos físicos, uma grande variedade de notáveis
relações poderiam ser deduzidas. Tão expressivas foram as idéias da geome-
tria grega que elas forneceram uma fundamentação para todos os avanços
subseqüentes na Física. A Matemática grega, sofreu reformulações e am-
pliações ao longo do tempo, porém não mudou sua essência. O brilhante
�orescimento da ciência e da Matemática na Grécia antiga, foi seguida por
um longo período de estagnação cientí�ca, que teve �m no século XV II com
o surgimento de grandes cientistas como Kepler, Galileo e Newton.
Jerome Cardan (1501� 1576)
Em 1545, Jerome Cardan publicou um documento, Ars Magna, que é tido
como uma das primeiras publicações com a idéia de números complexos.
René Descartes (1596� 1650)
Descartes uniu álgebra e geometria por correspondência da aritmética
para escalares com um tipo de aritmética de segmento linha, para ele, es-
crevendo na terminologia moderna, todo escalar positivo designa uma classe
de equivalência de segmentos linha congruentes.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646� 1716)
3
4 CAPÍTULO 1. NOTAS HISTÓRICAS
Por volta de 1679 Leibniz pesquisou um sistema elementar em álgebra,
similar a análise vetorial.
Isaac Newton (1643� 1727)
Em 1687, publicou seu Principia Mathematica Neste trabalho ele não
usou a idéia de um vetor, entretanto, algumas de suas idéias aproximam-se
desse conceito, haja visto que o tema explorado eram forças, e estes objetos
possuem �magnitude� e direção e podem ser combinadas, ou adicionadas,
produzindo uma nova força.
Caspar Wessel (1745� 1818)
Em 1799, publicou um trabalho em que se estabeleceu pela primeira
vez uma representação geométrica dos números complexos. Sua meta não
era apenas apresentar os números complexos, mas também investigar �como
podemos representar direções analiticamente�. Wessel, além de ter sido o
primeiro a publicar o novo padrão geométrico de interpretação dos números
complexos, como entidades que podem ser adicionadas, subtraídas, multi-
plicadas e divididas, também procurou desenvolver um método comparável
para a análise do espaço 3-dimensional e nisso ele não teve sucesso.
Carl Friedrich Gauss (1777� 1855)
Por volta de 1799, Gauss trabalhou na interpretação de quantidades com-
plexas, seus resultados só foram publicados em 1831. Assim como Wessel,
Gauss também estudou entidades comparáveis aos números complexos que
pudessem ser usadas no espaço 3-dimensional. Ironicamente, Gauss não
aceitou a justi�cativa geométrica do número imaginário como plenamente
satisfatória. Felix Klein argumentou em 1898 que Gauss antecedeu Hamilton
na descoberta dos quatérnions.
William Rowan Hamilton (1805� 1865)
Em 1837, Hamilton publicou um longo artigo onde interpretava números
complexos como pares ordenados, nesse mesmo artigo ele mencionou sua
esperança em publicar a �Theory of Triplets�, isto é, um sistema que deveria
fazer pela análise do espaço tri-dimensional o que os números imaginários
faziam pelo espaço bi-dimensional.
Em 1843, depois de ter pesquisado os tripletos por trinta anos, Hamilton
descobriu os quatérnions, um dos principais sistemas da ánalise vetorial.
Hamilton devotou sua vida ao estudo dos quatérnions, morreu em 1865 e
deixou um discípulo, o matemático escocês Peter Guthrie Tait.
5
Hamilton não foi o único a criar um sistema vetorial. Na verdade, nesse
mesmo período, seis outros pesquisadores também desenvolveram sistemas
que eram mais ou menos caracterizados como sistemas vetoriais. Essas pes-
soas foram, August Ferdinand Möbius, Matthew O�Brien, Giusto Bellavitis,
Comte de Saint-Venant, Augustin Cauchy e Hermann G. Grassmann.
Benjamin Olinde Rodrigues (1795 �1851)
Rodrigues descobriu a estrutura algébrica dos quatérnions em seus estu-
dos sobre rotações de vetores no R3 algum tempo antes de Hamilton. Para
detalhes históricos sobre as contribuições de Rodrigues o leitor deve consultar
[1]
Hermann Günther Grassmann (1809� 1877)
Grassmann foi professor de escola secundária por toda a sua vida, estu-
dioso, em 1840 apresentou sua obra sobre Teoria do �uxo e re�uxo, trabalho
esse que tratava da teoria das marés e que continha seu primeiro sistema de
análise espacial com vetores, entre outros assuntos, esse trabalho também
continha a adição e subtração de segmentos e o numericamente equivalente
ao produto vetorial moderno, com a diferença que, enquanto o produto de
dois vetores é outro vetor no sistema moderno, no sistema de Grassmann
o resultado é uma entidade geométrica, a área orientada do paralelogramo
dado pelos dois segmentos ou vetores..
Em 1844, Grassmann publicou a exposição completa de seu sistema na
obra Die Lineale Ausdehnungslehre (Teoria de extensão linear), que en-
globava um sistema muito mais amplo, onde estendia a idéia de quatérnions
para o espaço n-dimensional, introduzindo o conceito de números hipercom-
plexos e os produtos interno e externo em espaços arbitrários..
O trabalho de Grassmann não foi bem aceito por seus contemporâneos
por conter idéias que estavam além dos parâmetros da época.
Peter Guthrie Tait (1831� 1901)
Seguidor de Hamilton, Tait deu continuidade a sua obra. Em 1859, Tait
escreveu o primeiro de seus setenta artigos sobre os quatérnions. Uma notável
característica da obra de Tait, foi a extensiva atenção que ele deu as aplicações
físicas.
James Clerke Maxwell (1831� 1879)
Em 1873, publicou Treatise on Eletricity and Magnetism, indiscutivel-
mente o mais importante tratamento da ciência física dominante no século
dezenove, nesse trabalho apesar de ressaltar a importância dos quatérnions,
6 CAPÍTULO 1. NOTAS HISTÓRICAS
Maxwell não fez uso extensivo da álgebra quaterniônica, usando separada-
mente as partes�vetores�e �escalares�daqueles objetos. Em um artigo apre-
sentado em 1871, entitulado On the Mathematical Classi�cations of Physical
Quantities, Maxwell declarou: �A invenção do cálculo quaterniônico é um
passo em direção ao conhecimento de quantidades relacionadas ao espaço,
que só podem ser comparadas por sua importância, a invenção das coorde-
nadas triplas por Descartes. As idéias desse cálculo, bem como seus símbolos
e operações, são adaptáveis para uso em vários campos cientí�cos�(tradução
livre ver [4]). Alguns entenderam esta a�rmação como uma con�rmação da
utilidade dos quatérnions como um método matemático; mas na verdade, o
que Maxwell estava dizendo (na opinião de Crowe), era que os métodos ve-
toriais proporcionavam uma maneira valiosa de pensar, mas que na prática,
o uso dos quaténions não era satisfatório.
William Kingdon Cli¤ord (1845� 1879)
Cli¤ord foi um brilhante matemático inglês, professor da Universidade
de Londres, foi um dos poucos matemáticos de seu tempo que conheceu e
trabalhou em ambos os sistemas, Grassmanniano e Hamiltoniano.
Publicou seu Elements of Dynamic, uma obra elementar sobre mecânica,
em 1877. Nesse trabalho ele uniu os sistemas de Grassmann e Hamilton. Na
sessão entitulada �Produto de dois vetores�, ele introduziu dois produtos, um
que ele chamou de produto vetorial, que é o produto vetorial padrão empre-
gado por Hamilton e por Grassmann bem como na moderna análise vetorial
e o outro produto ele chamou de produto escalar, descrevia quantidades, mas
deixava a questão do sinal inde�nida. Esse produto para os Grassmannianos
era positivo, enquanto que para os Hamiltonianos era negativo. Quase cem
páginas adiante, ele retorna a essa questão e de�ne o produto escalar como:
� a soma negativa dos produtos de suas componentes ao longo dos eixos�, ou
seja, de maneira quaterniônica.
Cli¤ord pode ter sido a primeira pessoa a encontrar signi�cado no fato
que duas diferentes interpretações de números, podem ser distinguidas, a
quantitativa e a operacional.
Na quantitativa: i representa uma medida de de área direcionada.
Na operacional: i especi�ca uma rotação no i-plano.
Cli¤ord observou que Grassmann desenvolveu a idéia de número dire-
cionado do ponto de vista quantitativo, enquanto, Hamilton enfatizou a in-
terpretação operacional.
Cli¤ord morreu dois anos após publicar Elements of Dynamic, deixando
7
seu trabalho incompleto.
Josiah Willard Gibbs (1839� 1903), Oliver Heaviside (1850� 1925)
In�uenciado pelo Tratado de Maxwell e pela álgebra de extensão
de Grassmann, Josiah Willard Gibbs publicou em 1881 um trabalho com
título Elementos de Análise Vetorial e o enviou por conta própria para alguns
especialistas. Seu trabalho arrebatou simpatizantes, como Oliver Heaviside
que em outra oportunidade desenvolveu um sistema vetorial análogo e em
dissonância como o sistema desenvolvido por Peter Tait.
A álgebra vetorial inventada por Gibbs e Heaviside que tentou uni�car os
sistemas de Grassmann e Hamilton, se estabeleceu, mesmo tendo provocado
fervorosos debates, e é esta álgebra que é ensinada nos cursos de hoje.
Como diz Vaz [15]"...Se estudarmos os trabalhos de Hamilton e de Grass-
mann, e daí o de Gibbs, veremos que a álgebra vetorial de Gibbs nada mais é
do que um apanhado de conceitos disfarçado sobre o manto de uma notação
falaciosa..."
Podemos dizer que sistema de Gibbs e Heaviside �uni�cou�os sistemas de
Hamilton e Grassmann, mas não de maneira completamente satisfatória, um
de seus defeitos é que tal sistema não permite a de�nição do produto vetorial
em qualquer dimensão. Ademais o produto vetorial não é associativo.
Em 1878 surge a Álgebra de Cli¤ord que sintetiza em um único esquema
as boas propriedades das estruturas de Hamilton e Grassmann.
A �ligação�entre os dois sistemas vem da adição de um análogo do pro-
duto quaterniônico na estrutura da álgebra de Grassmann, obtendo-se assim
um sistema adaptado à descrição algébrica dos entes geométricos (pontos,
segmentos orientados, planos orientados, etc.) �habitantes� de um espaço
a�m arbitrário An (com espaço vetorial Rn).
Capítulo 2
Vetores, Espaços Lineares e
C`(2)
Cursos elementares de cálculo vetorial iniciam sua doutrinação dizendo que
o conceito de vetor formaliza a noção de direção, e que portanto tal conceito
possui grande utilidade para uma descrição matemática de diversas facetas
do mundo físico A doutrinação continua com uma apresentação que se pode
considerar longe de satisfatória e que é mais ou menos como segue.
2.1 Vetores e escalares
Em Geometria e Física e suas aplicações à Engenharia, usam-se dois tipos de
quantidades: �De�ne-se� primeiramente um escalar como uma quantidade
que é determinada por sua dimensão, medido em unidades de uma escala
adequada. Por exemplo: massa, temperatura e voltagem.
Vetores são introduzidos como entes geométricos (segmentos orientados)
que possuem �comprimento�. Em seguida representa-se tais objetos por
suas componentes, introduzindo-se os conceitos de bases e coordenadas. O
comprimento de um vetor v é denotado por jvj. Dois vetores são ditos iguais
se eles possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido.
Os autores de textos elementares dizem que se dois vetores possuem a mesma
direção, eles são ditos paralelos. Mas tais autores se esquecem de dizer o que se
entende por paralelo, por omitirem a de�nição de espaço a�m. A doutrinação
continua dizendo que um vetor v e seu oposto �v tem mesmo comprimento
e são paralelos, mas tem orientações opostas.
9
10 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
Observação 1 É fato que a maioria de tais apresentações, em geral ,não
distinguem as noções de espaços vetoriais e espaços a�ns e ademais não
deixam claro a diferença crucial entre os conceitos de vetores livres e vetores
tangentes enquanto habitantes de um espaço a�m.
Depois de apresentada as noções de escalares e vetores, os textos ele-
mentares introduzem:
2.1.1 Multiplicação por Escalar
Ao invés de se escrever a + a escreve-se 2a; e concorda-se que (�1)a = �a
seja o oposto de a. Desta observação propõe-se a seguinte de�nição para
a multiplicação do vetor a por um número real � 2 R: o vetor �a tem a
mesma direção de a, tem comprimento j�aj = j�j jaj e sentido dado por
�a " " a se � > 0
�a " # a se � < 0
para a 6= 0.
Multiplicação por escalar, satisfaz a distributividade, �(a+ b) = �a+�b,
associatividade, (��)a = �(�a), e 1a = a, para todo número real �; � e
vetores a;b.
2.2 Bases e Coordenadas
Sem distinguir entre os conceitos de espaços a�ns e espaços vetoriais1 a maio-
ria dos textos elementares prossegue sua doutrinação dizendo que, num plano
quaisquer dois vetores e1;e2, não paralelos, formam uma �base�, se um vetor
arbitrário do plano puder ser escrito, unicamente, como uma combinação
linear deles, i.e., a = a1e1 + a2e2. Os números a1; a2 são chamados coorde-
nadas ou componentes do vetor a com respeito a base fe1; e2g.
Quando uma base é escolhida, a�rma-se que seus elementos podem ser
representados como as matrizes linhas:
e1 = (1; 0) ; e2 = (0; 1);
1Veja as de�nições precisas desses conceitos abaixo.
2.3. ESPAÇOS LINEARES E FUNÇÕES LINEARES 11
e um vetor a do plano como a matriz linha
a = (a1; a2):
2.3 Espaços Lineares e Funções Lineares
Naturalmente existe uma distância muito grande entre a apresentação �in-
formal�acima dos conceitos de escalares e vetores e um apresentação desses
conceitos que possa satisfazer a um estudante de ciências matemáticas ou de
qualquer estudante de outras disciplinas que tenha como um de seus objetivos
a comprensão de conceitos que farão parte daqueles conhecimentos básicos
que serão usados em diversas disciplinas do seu currículo e em problemas
reais de sua pro�ssão.
De fato, abstratamente, vetores são elementos de um objeto matemático
chamado espaço vetorial ou espaço linear (cuja de�nição recordaremos a
seguir) e este conceito abstrato, possui diversos modelos2.
De�nição 2 [11]Um espaço vetorial V sobre um corpo3 F é um conjunto,
cujos elementos são chamados vetores e ondesão de�nidas as operações:
+ : V � V ! V; u+ v = w; (2.1)
e
� : F�V ! V; �� v = w;
� : V�F! V; v �� = w: (2.2)
A aplicação interna de�nida pela Eq.(2.1) é dita soma de vetores e a
aplicação � é dita multiplicação de escalar por vetor. Tal aplicação é tal que
para 8v;w 2V e � 2 F = R;C (os corpos que usaremos no que se segue)
tem-se4
�� v = w = v ��:
2Em particular em sua �materialização�como um segmento orientado (em um espaço
a�m), como ocorre na apresentação informal de tal objeto.
3F é corpo (os escalares), neste trabalho, especi�camente, poderá ser R, C, ou H,
repectivamente, os corpos dos reais, complexos e quatérnions.
4No caso de espaços vetoriais sobre o corpo dos quatérnions H, é necessário distingüir-se
entre espaços vetoriais à direita e à esquerda. Detalhes podem ser encontrados em [14].
12 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
No que se segue escreveremos como usual, �� v = �v = v�� = v�.
As aplicações + e � devem satisfazer, para quaisquer �; � 2 F e u;v;w 2
V , os seguintes axiomas:
Comutatividade: u+ v = v + u;
Associatividade: (u+ v) +w = u+ (v +w) e (��)v = �(�v);
Vetor Nulo: existe um vetor 0 2 V; chamado vetor nulo, ou vetor zero, tal
que v + 0 = 0+ v = v;
Inverso aditivo: para cada v 2 V existe �v 2 V , chamado inverso aditivo,
ou o simétrico de v, tal que �v + v = v = (�v) = 0:
Distributividade: (�+ �)v = �v + �v e �(u+ v) = �u+ �v;
Multiplicação por 1 2 F: 1v = v:
2.3.1 Subespaços Vetoriais
Um subconjunto U de um espaço linear (vetorial) V é chamado subespaço
linear de V , se é fechado para as operações de espaço linear:
a+ b 2 U , 8a;b 2 U;
�a 2 U , 8� 2 F;8a 2 U:
Exemplo 3 R2 é um subespaço de R3.
De�nição 4 Sejam V e W dois espaços vetoriais (sobre F). Uma transfor-
mação linear (função linear ou aplicação linear) é uma aplicação de V em
W , F : V �! W , que satisfaz as seguintes condições [2]:
(i) Quaisquer que sejam u; v 2 V ,
F (u+ v) = F (u) + F (v);
(ii) Quaisquer que sejam k 2 F e v 2 V ,
F (kv) = kF (v):
2.4 Espaços A�ns
De�nição 5 [14] Seja X um conjunto não vazio e V um espaço vetorial
sobre F. Uma estrutura a�m para X com espaço vetorial V é uma aplicação
� : X �X ! V ; (x; a) 7! x _� a tal que:
2.5. VETORES LIVRES ETANGENTESDEUMESPAÇOAFIM (X;V; �)13
(i) Para todo a 2 X �xo, a aplicação �a : X ! V ; x 7! x _� a é bijetora.
(ii) Para todo a; b; x 2 X,(x _� b) + (b _� a) = (x _� a)
O axioma (ii) é chamado, o axioma do triângulo.
Fazendo a = b = x em (ii) temos
(iii) para todo x 2 X, x _� x = 0:
Fazendo x = a em (ii), temos,
(iv) para todo a; b 2 X, b _� a = �(a _� b)
A aplicaçaõ � é chamada subtração (os elementos de V são, natural-
mente, chamados de vetores. O vetor (b _� a) é dito diferença do par (a; b) 2
X �X ou ainda de segmento orientado de a para b.
Um espaço a�m (X;V; �) é uma dupla (X;V ) onde X é um conjunto
não vazio e V é um espaço vetorial, dotado de uma estrutura � a�m �xa.
Quando o contexto o permitir, (X;V; �) será frequentemente abreviado para
X:
Observação 6 Usaremos no que segue e como usual o símbolo � em lugar
de _�. Observamos também que outras de�nições equivalentes de espaços a�ns
podem ser dadas (veja, por exemplo, [3]).
2.5 Vetores Livres e Tangentes de um Espaço
A�m (X;V; �)
Da De�nição (5) segue que a aplicação X�fag ! V ; (x; a) 7! x _�a também
é bijetora para qualquer escolha de a 2 X, e induz uma estrutura linear sobre
X � fag; com (a; a) como origem. O espaço linear induzido é chamado de
espaço tangente aX em a e denotado por TXa. Seus elementos são chamados
de vetores tangentes a X em a.
A aplicação � : X �X ! V é sobrejetora, pelo axioma (i) da De�nição
(5) e assim a aplicação �inj : �(X � X) ! V é bijetora, induzindo uma
estrutura linear sobre �(X � X), o conjunto de segmentos (orientados) da
estrutura a�m �. O espaço linear induzido é chamado de espaço dos vetores
livres sobre X; e seus elementos são chamados de vetores livres sobre X:
Os vetores tangentes (x0; a0) 2 X � fa0g e (x; a) 2 X � fag são ditos
equivalentes (ou paralelos) se são representados pelo mesmo vetor livre, e
escrevemos (x0; a0) k (x; a). Claramente [14]
(x0; a0) k (x; a)() x0 � a0 = x� a: (2.3)
14 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
2.6 Independência Linear, Dimensão de V
Um vetor b 2 V é dito uma combinação linear dos vetores a1; a2; a3; :::; ak se
puder ser escrito como a soma de múltiplos dos vetores a1; a2; a3; :::; ak; i.e.,
b = �1a1 + �2a2 + :::+ �kak; (2.4)
onde �i 2 F; e i = 1; 2; 3; :::; k.
As combinações lineares de {a1; a2; a3; :::; ak} � V formam um subespaço
de V e dizemos que este subespaço é gerado por {a1; a2; a3; :::; ak}.
O conjunto {a1; a2; a3; :::; ak} é dito linearmente independente, se nenhum
desses vetores puder ser escrito como combinação linear dos outros. Em
outras palavras, o conjunto {a1; a2; a3; :::; ak} é linearmente independente se
�1a1 + �2a2 + :::+ �kak = 0, implica que �1 = �2 = �3 = ::: = �k = 0.
Neste caso, o conjunto linearmente independente {a1; a2; a3; :::; ak} � V
é uma base para V e os números �i na Eq.(2.4) são únicos e são chamados
as componentes (ou coordenadas) de b com relação a base {a1; a2; a3; :::; ak}.
Pode-se mostrar sem di�culdades que toda base de V tem exatamente o
mesmo número de elementos e tal número é chamado a dimensão de V , que
será denotado dimV = k.
2.6.1 Estruturas Quadráticas e Álgebras
Os conceitos de distância e o de ângulos não se encontram naturalmente
de�nidos quando se fornece uma dada estrutura a�m (X;V; �). Por exemplo,
não tem sentido dizer que duas linhas no espaço a�m5 (R2; V = R2; �) se
encontram em um ângulo reto, ou que há uma base com vetores de mesmo
comprimento no espaço vetorial R2: Uma estrutura a�m permite no máximo
uma comparação de comprimentos de vetores paralelos, mas não possibilita
a comparação do comprimento de vetores não-paralelos. Para tanto, ne-
cessitamos introduzir no espaço vetorial que entra na de�nição do espaço
a�m em consideração, uma nova estrutura, chamada de métrica ou estrutura
quadrática.
Veremos que uma estrutura quadrática sobre o espaço vetorial Rn, per-
mite a construção de uma álgebra que torna possível um cálculo com os
5É comum nos referirmos ao espaço n-dimensional (Rn) dotado com as operações de
adição, multiplicação por escalar e o produto interno euclidiano como o espaço euclidiano
n- dimensional.
2.7. PRODUTO ESCALAR 15
objetos geométricos deste espaço e outros a ele associados, de maneira muito
intuitiva.
No restante desse capítulo estudaremos tal álgebra geométrica associada a
R2 (enquanto espaço vetorial sobre R). Para algumas denossas considerações
também usaremos o fato de que R2, quando considerado como parte da es-
trutura do plano euclidiano 2-dimensional (veja abaixo) é uma estrutura a�m
que permite de�nir o paralelismo de segmentos orientados (vetores livres).
2.7 Produto Escalar
De�nição 7 O produto escalar (ou produto interno) em V n (um espaço ve-
torial n-dimensional sobre R) é uma aplicação � : V n�V n ! R que satisfaz
para todo � 2 R as propriedades8>>>><>>>>:
(a+ b) � c = a � c+ b � c
(�a) � b = �(a � b) linearidade no primeiro fator
a � (�b) = �(a � b) linearidade no segundo fator
a � b = b � a simetria
a � a > 0; a 6= 0 produto positivo de�nido
Note que as três primeiras propriedades implicam na bilinearidade do
produto escalar, isto é, ele é linear para ambos os fatores.
No restante do capítulo tomaremos V n = R2. Se introduzimos uma base
fe1; e2g em R2, tal que
ei � ej = �ij;
onde �ij =
�
1, se i = j;
0, se i 6= j ;
o produto escalar de dois vetores a = a1e1 + a2e2 e b = b1e1 + b2e2 é o
número real de�nido como
a � b = a1b1 + a2b2:
De�ne-se o ângulo � (0 � � � �) entre a e b pela equação:
a � b = jaj jbj cos�:
O comprimento (ou magnitude) de um vetor a é de�nido por:
jaj =
p
a � a =
q
a21 + a
2
2:
16 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
Dois vetores a e b são ditos ortogonais, se a � b = 0. Um vetor de compri-
mento jaj = 1 é chamado de vetor unitário. Por exemplo, os vetores da base
canônica e1 = (1; 0); e2 = (0; 1)são vetores unitários e ortogonais, formando
juntos uma base ortonormal de R2.
2.7.1 Espaços Vetorial e A�m Euclidianos
O espaço vetorial R2 dotado do produto escalar acima de�nido, é chamado
espaço vetorial euclidiano. Quando R2 é considerado como espaço a�m, tal
estrutura sendo dotada do produto escalar na sua subestrutura vetorial
é chamado espaço euclidiano bidimensional ou plano euclidiano. Nestas
condições podemos de�nir a distância entre pontos do espaço a�m (X =
R2; V = R2; �) de maneira óbvia, qual seja: dados x; y 2 X = R2 a distância
entre estes pontos é a aplicação
d : X �X ! R;
d(x; y) = jx� yj
Observação 8 A forma quadrática r = xe1 + ye2 7! jrj =
p
x2 + y2 nos
permite comparar comprimentos de segmentos orientados não paralelos no
espaço a�m (X = R2; V = R2; �). Como já mencionamos, a estrutura a�m
de R2 só nos permite a comparação de segmentos orientados paralelos.
2.8 Produto de Cli¤ord para Vetores e bive-
tores
Em dimensões n � 2 é impossível uma de�nição para a multiplicação de
vetores que tenha como requisito a preservação da norma na multiplicação,
jabj = jaj jbj, que satisfaça os mesmos axiomas que aqueles que de�nem a
multiplicação de números reais � associatividade, comutatividade e distri -
butividade. Em particular veremos que o produto de Cli¤ord de vetores que
introduziremos a seguir, não respeita o axioma da comutatividade. Contudo
veremos que a falta de comutatividade do produto de Cli¤ord está associada
a um signi�cado geométrico profundo.
Seja o espaço a�m (X = R2; V = R2; �). Tome dois vetores unitários
ortogonais e1, e2 2 ToR2, o 2 X = R2. O comprimento do vetor r = xe1+ye2
2.8. PRODUTO DE CLIFFORD PARA VETORES E BIVETORES 17
é jrj =
p
x2 + y2. �Inventamos�agora uma multiplicação entre vetores tal
que, se o vetor r é multiplicado por ele mesmo, o que denotaremos pela
justaposição de símbolos, i.e., escreveremos, rr = r2, teremos como resultado
do �novo�produto, o quadrado do comprimento de r, i.e.,
r2 = jrj2 : (2.5)
Usando as coordenadas dos vetores, escrevemos a Eq.(2.5) como
(xe1 + ye2)
2 = x2 + y2
Supondo que o produto de Cli¤ord satisfaça o axioma da distributividade,
sem assumir a comutatividade, obtemos:
(xe1 + ye2)
2 = (xe1 + ye2) (xe1 + ye2)
= x2e21 + y
2e22 + xy(e1e2 + e2e1) = x
2 + y2:
Tal condição somente pode ser satisfeita se os vetores e1 e e2 são tais que:
e21 = e
2
2 = 1;
e1e2 = �e2e1:
e portanto como deve ser, temos
je1j = je2j = 1;
e1 ? e2:
Supondo que o produto de Cli¤ord é associativo, temos que:
(e1e2)
2 = e1e2e1e2 = �e1e2e2e1 = �e11e1 = �1:
Visto que o quadrado de e1e2 é negativo, segue que e1e2 não pode ser um
escalar (i.e, um elemento de R) e nem um vetor, uma vez que o quadrado
de um vetor (vide Eq.(2.5)) é um número real. O produto destes objetos é
um novo tipo de ente matemático, que será dito um bivetor, e que representa
geometricamnete a área plana orientada do quadrado de�nido por e1 e e2.
Notação 9 e1e2 = e12
18 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
De�nição 10 De�nimos o produto de Cli¤ord para dois vetores a = a1e1 +
a2e2 e b = b1e1 + b2e2 por:
ab = a1b1 + a2b2 + (a1b2 � a2b1)e12 (2.6)
isto é, a soma de um escalar com um bivetor.
2.9 A Álgebra de Cli¤ord C`2
Os quatro elementos :
1 escalar
e1; e2 vetores
e12 bivetor
formam uma base para o espaço linear da álgebra de Cli¤ord C`2 do espaço
vetorial R2, onde um elemento arbitrário u 2 C`2 é escrito como uma combi-
nação linear (com coe�cientes reais) do escalar u0; do vetor u1e1 + u2e2 e do
bivetor u12e12, i.e.
u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12: (2.7)
Observação 11 Antes de prosseguirmos, uma observação quanto a nomen-
clatura que utilizaremos se faz necessária. A álgebra de Cli¤ord C`n de Rn
contém 0-vetores (i.e., os escalares), 1-vetores (ou simplesmente os vetores),
2-vetores,..., n-vetores. Os agregados dos k-vetores fornecem ao espaço linear
C`n uma estrutura multivetorial que se denota por
C`n =
^0
Rn�
^1
Rn �
^2
Rn �:::�
^n
Rn:
Os subespaços
Vk Rn são ditos os espaços dos k-vetores e temos a identi�-
cação
V0R � R e V1Rn � Rn.
Precisamos agora introduzir o produto de Cli¤ord entre elementos ar-
bitrários de C`2. Faremos tal, estudando os resultados do exemplo que se
segue.
2.9. A ÁLGEBRA DE CLIFFORD C`2 19
Exemplo 12 Seja a = e2 � e12; b = e1 + e2 ; c = 1 + e2. Calcule ab; ac e
ba
Solução: Aplicando a distributividade tem-se:
ab = (e2 � e12)(e1 + e2) = e2e1+e2e2�e12e1�e12e2
= �e12 + 1 + e2 � e1 = 1� e1 + e2 � e12;
ac = (e2�e12)(1 + e2) = e2 + 1� e12 � e1 = 1� e1 + e2 � e12
ba = (e1+e2 )(e2�e12) = e12�e1e12+e2e2�e2e12
= e12�e2 + 1 + e1 = 1 + e1�e2+e12:
Estes resultados mostram preliminarmente que ab = ac com b 6= c e
ab 6= ba.
Resumidamente, uma tabela para a multiplicação dos elementos da base
do espaço linear da álgebra de Cli¤ord C`2, é :
e1 e2 e12
e1 1 e12 e2
e2 �e12 1 �e1
e12 �e2 e1 �1
: (2.8)
2.9.1 Produto Exterior = Parte Bivetor do Produto
de Cli¤ord
Extraindo a parte escalar e bivetor do produto de Cli¤ord em (2.6), temos:
a � b = a1b1 + a2b2 o produto escalar de a por b:
a ^ b = (a1b2 � a2b1)e12 o produto exterior (ou cunha) de a por b:
O bivetor6 a ^ b representa a orientação do segmento plano do paralelo-
gramo de lados a e b. A área deste paralelogramo é ja1b2 � a2b1j e denotare-
mos esta área por
ja ^ bj = ja1b2 � a2b1j
e diremos que ela é a magnitude do bivetor a ^ b.
6O bivetor calculado através do produto exterior a ^ b = (a1b2 � a2b1)e12 representa
como aqui descrito, a área orientada de um segmento plano determinado pelos vetores a
e b, nesta ordem, e não deve ser confundido com o vetor calculado através do produto
vetorial (a ser também de�nido oportunamente) a� b = (a1b2�a2b1)e3, e que representa
um segmento orientado.
20 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
Figura 1
Vemos portanto que um paralelogramo de�nido por (a;b), uma �gura
geométrica no espaço a�m (X = R2; V = R2; �); pode ser algebricamente
representado como um tipo de produto geométrico dos seus lados.
Os bivetores a ^ b e b ^ a tem mesma magnitude, mas são objetos de
orientação opostas. Tal fato se expressa como segue:
a ^ b = �b ^ a: (2.9)
Figura 2
Voltando na equação ab = a1b1 + a2b2 + (a1b2 � a2b1)e12; podemos
reescrevê-la como:
ab = a � b+ a ^ b: (2.10)
Também,
ba = b � a+ b ^ a = a � b� a ^ b: (2.11)
Adicionando e subtraindo (2.10) e (2.11), obtemos:
2.9. A ÁLGEBRA DE CLIFFORD C`2 21
a � b = 1
2
(ab+ ba); (2.12)
e
a ^ b =1
2
(ab� ba): (2.13)
Os vetores a e b são paralelos se ab = ba, isto é a ^ b = 0 e são ortogonais
se ab = �ba. Em resumo, temos:
ab = ba () a k b() a ^ b = 0() ab = a � b;
ab = �ba () a ? b() a � b = 0() ab = a ^ b:
Exemplo 13 Consideremos a decomposição de um vetor r em duas compo-
nentes, uma paralela ao vetor a e a outra paralela ao vetor b, onde a , b.
Este procedimento signi�ca determinar os coe�cientes � e � na decomposição
r = �a + �b. O coe�ciente � pode ser obtido através do produto exterior
r ^ b = (�a + �b) ^ b e usando que b ^ b = 0 , tem-se r ^ b =�(a ^ b).
Analogamente, a ^ r = �(a ^ b). Nas duas últimas equações ambos os lados
são múltiplos de e12 e podemos escrever simbolicamente7
� =
r ^ b
a ^ b ;
� =
a ^ r
a ^ b :
Os coe�cientes � e � podem ser obtidos visualmente comparando as áreas
orientadas (ao invés de comprimentos) na seguinte �gura:
Figura 3
7Como um elemento da álgebra exterior
V
R2 o bivetor a ^ b = (a1b2 � a2b1)e12 não
possui inverso. Como um elemento da álgebra de Cli¤ord C`2 o bivetor não nulo a ^ b
possui inverso.
22 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
Exercício 14 Seja a = e1�2e2;b = e1+e12; r = 5e1 � e2. Calcule �; � na
decomposição r = �a+ �b:
Solução: Temos que b� a = 3e2 isso implica que e2 = 13(b� a): Por outro
lado observamos que a+ 2b = 3e1, isto é, e1 = 13(a+ 2b).
Daí substituindo os valores encontrados para e1 e e2 , na equação de r,
obtemos: r = 2a+ 3b. Portanto, � = 2; � = 3.
2.9.2 Projeções Perpendiculares e Re�exões
Calculemos a componente de a na direção de b quando dois vetores divergem
por um ângulo ',0 < ' < �. A componente paralela ak é um escalar múltiplo
do vetor unitário bjbj :
ak = jaj cos'
b
jbj = jaj jbj cos'
b
jbj2
(2.14)
Em outras palavras, a componente paralela ak é o produto escalar
a � b = jaj jbj cos';
multiplicado pelo vetor b�1 = b� jbj2, chamado o inverso5 do vetor b. As-
sim,
ak = (a � b)
b
jbj2
= (a � b)b�1: (2.15)
Figura 4
A última fórmula (2.15) nos diz que na projeção de a na direção do vetor
b; o comprimento do vetor b não é importante.
5O inverso b�1 do vetor não-nulo b 2 R2 � C`2 satisfaz b�1b = b b�1 = 1 na álgebra
de Cli¤ord C`2: Um vetor e seu inverso são vetores paralelos.
2.9. A ÁLGEBRA DE CLIFFORD C`2 23
A componente perpendicular a? é dada pela diferença:
a? = a� ak = a� (a � b)b�1 = (ab� a � b)b�1 = (a ^ b)b�1: (2.16)
Note que o bivetor e12 anti-comuta com todos os vetores do plano e1e2 ,
assim
(a ^ b)b�1 = �b�1(a ^ b) = b�1(b ^ a) = �(b ^ a)b�1: (2.17)
A área do paralelogramo com lados a;b é dada por:
ja?bj = ja ^ bj = jaj jbj sin'; onde 0 < ' < �: (2.18)
A re�exão de um vetor r através do vetor a resulta no vetor r0. Se, r = rk+r?
e r0 = rk � r?, por (2.15) e (2.16) podemos escrever
r0 = rk � r? = (r � a)a�1 � (r ^ a)a�1
= (r � a� r ^ a)a�1
= (a � r+ a ^ r)a�1
= ara�1: (2.19)
Por outro lado de (2.12), podemos escrever:
r0 = (2a � r� ra)a�1
= 2
a � r
a2
a� r: (2.20)
Figura 5
A fórmula r0 = ara�1 pode ser obtida diretamente, usando-se as pro-
priedades do produto de Cli¤ord 8: decompondo r = rk+ r?; onde arka�1 =
rkaa
�1 = rk; enquanto ar?a�1 = �r?aa�1 = �r?:
8Como a é paralelo a rk; então ark = rka: e como a é perpendicular a r? então
ar? = �r?a:
24 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
A composição de duas re�exões, primeiro através de a e depois através
de b, é dada por
r 7! r0 = ara�1 7! r" = br0b�1 = b(ara�1)b�1 = (ba)r(ba)�1:
Figura 6
A composição dessas duas re�exões é (como se vê facilmente) uma rotação
por um ângulo que é duas vezes o valor do ângulo entre a e b:
2.10 Representação Matricial de C`2
Introduzimos acima, de maneira bastante informal, a álgebra de Cli¤ord C`2
associada ao espaço vetorial R2. Tal álgebra de Cli¤ord C`2 é uma álgebra de
dimensão 4 sobre R. Como uma álgebra associativa, ela é isomorfa a álgebra
das matrizes 2�2 com entradas reais, que denotaremos porMat(2;R). Temos
a seguinte correspondência (como se pode veri�car sem di�culdades):
1 '
�
1 0
0 1
�
; e1 '
�
1 0
0 �1
�
; e2 '
�
0 1
1 0
�
; e12 =
�
0 1
�1 0
�
:
No entanto, a álgebra de Cli¤ord C`2 possui mais estrutura do que a
álgebra das matrizes Mat(2;R). De fato, na álgebra de Cli¤ord C`2, desta-
camos, por de�nição, um subespaço privilegiado, o subespaço dos vetores (ou
1-vetores) R2 � C`2: Nenhum subespaço semelhante é privilegiado na álgebra
matricial Mat(2;R).
Para elementos arbitrários u 2 C`2, temos a seguinte correspondência com
as matizes de Mat(2;R),
2.10. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE C`2 25
u = u0+u1e1+u2e2+u12e12 ' u0
�
1 0
0 1
�
+u1
�
1 0
0 �1
�
+u2
�
0 1
1 0
�
+u12
�
0 1
�1 0
�
;
ou
u '
�
u0 + u1 u2 + u12
u2�u12 u0 � u1
�
: (2.21)
Também dado
�
a b
c d
�
2 Mat(2;R) temos�
a b
c d
�
= a
�
1 0
0 0
�
+ b
�
0 1
0 0
�
+ c
�
0 0
1 0
�
+ d
�
0 0
0 1
�
;
o que implica�
a b
c d
�
' 1
2
[(a+ d) + (a� d)e1 + (b+ c)e2 + (b� c)e12];
Nessa representação, a transposta da matriz
�
a b
c d
�
2 Mat(2;R) que
representa um certo u 2 C`2, i.e.,�
a b
c d
�T
=
�
a c
b d
�
(2.22)
corresponde ao elemento ~u 2 C`2, dito o reverso de u 2 C`2. A operação de
reversão em C`2 é de�nida por:
e : C`2 ! C`2;
u 7! ~u
tal que se escrevemos u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 então
~u = u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12:
Vamos agora veri�car que nossa identi�cação é de fato correta. Para tanto,
26 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
escrevemos: �
u0 + u1 u2 + u12
u2�u12 u0 � u1
�
=
�
a b
c d
�
:
Tem-se que:
~u =
�
a b
c d
�T
=
�
a c
b d
�
=
�
u0 + u1 u2 � u12
u2 + u12 u0 � u1
�
= u0
�
1 0
0 1
�
+ u1
�
1 0
0 �1
�
+ u2
�
0 1
1 0
�
+ u12
�
0 �1
1 0
�
= u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12:
Também, temos o seguinte resultado. A matriz adjunta de
�
a b
c d
�
2
Mat(2;R), que representa um certo u 2 C`2, i.e.,
(ad� bc)
�
a b
c d
��1
=
�
d �b
�c a
�
corresponde ao elemento �u 2 C`2, dito o Cli¤ord-conjugado (ou simpesmente
conjugado) de u 2 C`2. A operação de conjugação em C`2 é de�nida por:
� : C`2 ! C`2;
u 7! �u
tal que, se escrevemos u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12; o elemento �u 2 C`2 é
então
�u = u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12:
Veri�quemos que de fato nossa identi�cação está correta. Temos:
�u ' (ad� bc)
�
a b
c d
��1
=
�
d �b
�c a
�
=
�
u0 � u1 �u2 � u12
�u2 + u12 u0 + u1
�
= u0
�
1 0
0 1
�
+ u1
�
�1 0
0 �1
�
+ u2
�
0 �1
�1 0
�
+ u12
�
0 �1
1 0
�
' u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12:
2.10. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE C`2 27
A reversão e aCli¤ord-conjugado são anti-involuções (anti-automor�smos).
Tais conceitos se de�nem como se segue.
De�nição 15 Seja A uma álgebra e denote por � o produto em A. Uma
aplicação bijetora:
f : A ! A (2.23)
tal que
f(a � b) = f(a) � f(b), 8a; b 2 A; (2.24)
é dita um automor�smo.
Uma aplicação bijetora
l : A ! A (2.25)
tal que
l(a � b) = l(b) � l(a), 8a; b 2 A; (2.26)
é dita um anti-automor�smo.
De�nição 16 Uma aplicação
i : A ! A (2.27)
é dito uma involução se, e somente se,
i2(a) := i � i(a) = a; 8a 2 A (2.28)
Exercício 17 Veri�que que as operações , ~u, �u e û6 são involuções e que û
é um automor�smo e que ~u e �u são antiautomor�smos.
Solução: Dado u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 temos:
1) ^ : u 7�! û = u0 � u1e1 � u2e2 + u12e12
2) �: u 7�! ~u = u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12
3) � : u 7�! �u = u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12
6 û = u0 � u1e1 � u2e2 + u12e12 é chamada de involução graduada, a composição das
operações entre a involução graduada e a reversão, nos fornece a Cli¤ord-conjugado.
28 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
Mostraremos somente as propriedades de ^. De fato, pela de�nição acima,
^ � ^(u) = ^(û) = ^(u0 � u1e1 � u2e2 + u12e12)
= ^(u0)� ^(u1e1)� ^(u2e2) + ^(u12e12)
= u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 = u;
i.e., û é involução.
Mostramos agora que ^ é um automor�smo. Seja v = v0+ v1e1+ v2e2+
v12e12. Temos
^(uv) = ^[(u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12)(v0 + v1e1 + v2e2 + v12e12)]
= ^(u0v0 + u0v1e1 + u0v2e2 + u0v12e12 + u1e1v0 + u1e1v1e1
+u1e1v2e2 + u1e1v12e12 + u2e2v0 + u2e2v1e1 + u2e2v2e2
+u2e2v12e12 + u12e12v0 + u12e12v1e1 + u12e12v2e2 + u12e12v12e12)
= (u0v0 + u1v1 + u2v2 � u12v12)
�(u0v1e1 + u0v2e2 + u1e1v0 + u1v12e2 + u2e2v0 � u2v12e1
�u12v1e2 + u12e1v2)
+(u0v12e12 + u1e12v2 + u2e21v1 + u12e12v0):
Por outro lado
ûv̂ = (u0 � u1e1 � u2e2 + u12e12)(v0 � v1e1 � v2e2 + v12e12)
= (u0v0 + u1v1 + u2v2 � u12v12)� (u0v1e1 + u0v2e2 + u1e1v0 + u1v12e2)
�(u2e2v0 � u2v12e1 � u12v1e2 + u12e1v2)
+(u0v12e12 + u1e12v2 + u2e21v1 + u12e12v0)
e provamos que
^(uv) = ûv̂:
Da mesma forma, mostra-se que a reversão (�) e a Cli¤ord-conjugado
(�) são involuções, i.e.,
2) e�e(u) = f(~u) = ^(u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12) = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 = u;
3) � (u) = (�u) = (u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12) = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 = u:
2.10. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE C`2 29
Exercício 18 Considere as quatro anti-involuções deMat(2;R) que aplicam�
a b
c d
�
respectivamente em�
a c
b d
�
;
�
a �c
�b d
�
;
�
d b
c a
�
;
�
d �b
�c a
�
:
De�na que dois anti-automor�smos � e � são semelhantes, se houver um
automor�smo de entrelaçamento 
 tal que, �
 = 
�: Determine quais das
quatro anti-involuções são semelhantes ou não.
Solução:
(i) Sabemos que C`2 ' Mat(2;R). No que segue indicaremos um elemento
geral de C`2 por u e o elememto correpondente em Mat(2;R) por U. Dado
u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 (2.29)
o elemento ~u obtido de u pela involução
e: u 7! ~u;
~u = u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12 (2.30)
corresponde a matriz UT . Assim temos
u = u0 + u1e1 + u2e2 + u12e12 '
�
u0 + u1 u2 + u12
u2 � u12 u0 � u1
�
= U;
~u = u0 + u1e1 + u2e2 � u12e12 =
�
u0 + u1 u2 � u12
u2 + u12 u0 � u1
�
= UT (2.31)
Chame agora
U =
�
u0 + u1 u2 + u12
u2 � u12 u0 � u1�
=
�
a b
c d
�
(2.32)
(ii) Fica então óbvio que a matriz�
a c
b d
�
=
�
a b
c d
�T
= UT (2.33)
30 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
(iii) Por outro lado a conjugação de Cli¤ord
� : u 7! �u
�u = u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12 (2.34)
corresponde emMat(2;R) a matriz adjunta de U (denotada no que se segue
por adjU), i.e., usando-se as representações de e1; e2 e e12 em Mat(2;R)
temos:
�u = u0 � u1e1 � u2e2 � u12e12
' u0
�
1 0
0 1
�
� u1
�
1 0
0 �1
�
� u2
�
0 1
1 0
�
� u12
�
0 1
�1 0
�
=
�
u0 � u1 �u2 � u12
�u2 + u12 u0 + u1
�
= adjU: (2.35)
e usando o segundo membro da Eq.(2.32) temos imediatamente que
adjU =
�
d �b
�c a
�
=
�
u0 � u1 �u2 � u12
�u2 + u12 u0 + u1
�
(2.36)
(iv) Chame agora � e � os operadores tais que
�U= UT ;
�U = adjU (2.37)
O exercício pergunta : Será que existe um operador (dito automor�smo de
entrelaçamento)

 : U 7! XUX�1; (2.38)
com X 2 Mat(2;R) tal que
�
U
?
= 
�U (2.39)
Se tal operador existir, uma vez que:
�
U = �(XUX�1) = X�1TUTXT ;

�U = 
(adjU) = XadjUX�1 (2.40)
devemos ter:
X�1TUTXT = XadjUX�1 (2.41)
2.10. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL DE C`2 31
(v) Escreva
X =
�
x1 x3
x2 x4
�
: (2.42)
Então,
XT =
�
x1 x2
x3 x4
�
X�1 =
1
detX
�
x4 �x3
�x2 x1
�
;
X�1T =
1
detX
�
x4 �x2
�x3 x1
�
: (2.43)
e a Eq.(2.41) é portanto equivalente a:�
x1x4a� x1x2b+ x3x4c� x3x2d x2x4a� x22b+ x24c� x4x2d
�(x1x3a� x21b+ x23c� x3x1d) �(x2x3a� x1x2b+ x3x4c� x4x1d)
�
=
�
�(x2x3a� x1x2b+ x3x4c� x4x1d) x1x3a� x21b+ x23c� x3x1d
�(x2x4a� x22b+ x24c� x4x2d) x1x4a� x1x2b+ x3x4c� x3x2d
�
;
(2.44)
ou seja:
8>><>>:
x1x4a� x1x2b+ x3x4c� x3x2d = �(x2x3a� x1x2b+ x3x4c� x4x1d)
x2x4a� x22b+ x24c� x4x2d = x1x3a� x21b+ x23c� x3x1d
�(x1x3a� x21b+ x23c� x3x1d) = �(x2x4a� x22b+ x24c� x4x2d)
�(x2x3a� x1x2b+ x3x4c� x4x1d) = x1x4a� x1x2b+ x3x4c� x3x2d
Como a; b; c; d são arbitrários devemos ter, por exemplo,8>><>>:
x1x4 == �x2x3
�x1x2 = +x1x2;
x3x4 = �x3x4
x3x2 = x1x4
Então x1x2 = 0 e x1x4 = 0 e x3x2 = 0. Suponhamos x2 = 0. Resulta que
podemos ter x1 6= 0 e x3 6= 0 mas x4 = 0. Nestas condições a matriz X teria
a forma
X =
�
x1 x3
0 0
�
(2.45)
32 CAPÍTULO 2. VETORES, ESPAÇOS LINEARES E C`(2)
e não seria inversível e portanto o automor�smo 
 não existiria.
Finalmente, procedendo exatamente como acima podemos mostrar (vide
detalhes no Capítulo 1 de [12]), que se denotarmos
�0U =
�
a �c
�b d
�
; �0U =
�
d b
c a
�
(2.46)
então existe

0U = XUX�1 (2.47)
com
X =
1p
2
�
1 �1
1 1
�
(2.48)
tal que
�0
0 = 
0�0: (2.49)
Capítulo 3
Números Complexos
3.1 Preliminares
Em 1799 o agrimensor norueguês Caspar Wessel, publicou um artigo onde
pela primeira vez os números complexos foram representados geometrica-
mente. Sua meta não era apenas justi�car o uso de números complexos mas
também investigar como representar uma direção (no plano) analiticamente.
Wessel também foi responsável pela criação do novo padrão de interpre-
tação geométrica dos números complexos como entidades, que podem ser
adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas. Ele também buscou (sem
sucesso) o desenvolvimento de um método que pudesse ser generalizado para
o espaço tri-dimensional. Nesse mesmo período, Carl Friedrich Gauss tam-
bém propôs (independentemente de Wessel) uma interpretação geométrica
para os númerros complexos. Mais detalhes histórricos podem ser encontra-
dos em [4].
O conjunto dos números complexos se distingue do conjunto dos números
reais pelo fato não trivial de conter entre seus elementos a raiz quadrada
de �1, chamada de unidade imaginária i =
p
�1. Um número complexo z
qualquer, pode ser representado como:
z = x+ iy (3.1)
onde x; y 2 R e i satisfaz i2 = �1. Os números reais x; y são chamados
respectivamente, a parte real x = Re(z) e parte imaginária y = Im(z) de
z. Para cada par ordenado de números reais (x; y) existe um único número
complexo associado x+ iy.
33
34 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Um número complexo x+iy pode ser representado gra�camente como um
ponto com coordenadas retangulares (x; y). O plano (xy), onde os complexos
são representados, é chamado de plano complexo C, e onde o eixo x é dito
eixo real e o eixo y é dito eixo imaginário.
O oposto de um número complexo z = x + iy é � z = �x � iy e o seu
complexo conjugado é �z = x� iy:
Figura 7
A soma de dois números complexos é calculada adicionando-se separada-
mente a parte real e a parte imaginária.
(x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2); (3.2)
e portanto podemos escrever:
x = Re(z) =
z + �z
2
; y = Im(z) =
z � �z
2i
: (3.3)
A lei dos paralelogramos para vetores, ilustra a adição de números complexos.
O produto de dois números complexos (denotado por justaposição de sím-
bolos) é de�nido por:
(x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 � y1y2 + i(x1y2 + y1x2) (3.4)
3.1. PRELIMINARES 35
O produto de um número complexo z = x+iy por seu conjugado �z = x�iy
é um número real, z�z = x2 + y2. Para z 6= 0, seu inverso é dado por:
z�1 =
�z
z�z
(3.5)
ou, usando as �coordenadas�de tais números,
1
x+ iy
=
x� iy
x2 + y2
(3.6)
Se introduzirmos as coordenadas polares r; � no plano complexo, de�nindo
x = r cos � e y = r sin �, então o número complexo z = x+iy pode ser escrito
como
z = r(cos � + i sin �); (3.7)
dito a forma polar de z. A distância r =
p
x2 + y2 =
p
z�z de z a 0 é denotada
por jzj e chamada de norma de z. Assim
jzj =
p
z�z: (3.8)
O número real � é chamado argumento de z; e só pode ser de�nido para
z 6= 0.
Na multiplicação de dois números complexos z1 = r1(cos �1 + i sin �1) e
z2 = r2(cos �2 + i sin �2), usamos a regra da soma de dois arcos, para seno e
cosseno, e chegamos a forma polar:
z1z2 = r1r2[cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2)] (3.9)
onde o produto de dois números complexos é o número cuja a norma é o
produto das normas dos fatores jz1z2j = jz1j jz2j e cujo argumento é a soma
dos argumentos dos fatores (mod 2�):
3.1.1 Função Exponencial
A função exponencial é de�nida para qualquer z 2 C, por
exp(z) = 1 + z +
z2
2
+
z3
6
+ :::+
zk
k!
+ ::: (3.10)
Escrevemos também ez = exp(z). A expansão em série de potências da
função trigonométrica, resulta na fórmula de Euler
ei� = cos � + i sin � (3.11)
36 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
que nos permite abreviar z = r(cos � + i sin �) como
z = rei�: (3.12)
Figura 8
A forma exponencial da multiplicação é :
(r1e
i�1)(r2e
i�2) = (r1r2)e
i(�1+�2): (3.13)
Potências e raízes são calculadas como:
(rei�)n = rnein� (3.14)
n
p
rei� = n
p
rei(�+2�k)=n; k 2 Zn:ou (3.15)
n
p
rei� = n
p
r(cos
� + 2k�
n
+ sin
� + 2k�
n
); k 2 Zn (3.16)
Exemplo 19 a) (1 + i)�1 = 1
(1+i)
(1�i)
(1�i) =
(1�i)
2
;
b)
p
i. As raízes de
p
i são obtidas como as soluções da equação
p
i = z.
Pondo
i = z2 = (a+ bi)2 = a2 � b2 + 2abi
e utilizando-se o conceito de igualdade de complexos, temos imediatamente
3.2. O CORPO C E A ÁLGEBRA REAL C 37
a2 � b2 = 0, a = b ,
2ab = 1 =) 2a2 = 1 =) a = � 1p
2
;
p
i = z = � 1p
2
(1 + i):
3.2 O Corpo C e a Álgebra Real C
Os números complexos são elementos de uma estrutura algébrica dita corpo
dos complexos (Proposição 20). Na estrutura de corpo, seus elementos, ditos
números podem ser adicionados e multiplicados. Se F é um corpo e a; b; c 2
F. os seguintes axiomas devem ser satisfeitos.
a+ b = b+ a comutatividade da adição
(a+ b) + c = a+ (c+ b) associatividade para a adição
a+ 0 = a existência do elemento neutro para a adição
a+ (�a) = 0 existência do simétrico aditivo
(a+ b)c = ac+ bc distributividade à direita
a(b+ c) = ab+ ac distributividade à esquerda
(ab)c = a(bc) associatividade para a multiplicação
1a = a existência da unidade
aa�1 = 1 existência de simétrico multiplicativo
ab = ba comutatividade da multiplicação.
Proposição 20 C é um corpo.
Prova: [7] A associatividade e a comutatividade da adição são óbvias. O
elemento neutro da adição é (0; 0), pois para todo (a; b) 2 C; tem-se
(a; b) + (0; 0) = (a; b)
O simétrico aditivo de (a; b) é (�a;�b) pois,
(a; b) + (�a;�b) = (a� a; b� b) = (0; 0)
38 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
A associatividade, comutatividadeda multiplicação e a distributividade da
multiplicação com relação à adição são de veri�cação direta. A unidade da
multiplicação é (1; 0) pois para todo (a; b) 2 C
(1; 0)(a; b) = (a; b)
O simétrico multiplicativo de 0 6= (a; b) 2 C é (a; b)�1 = ( a
a2+b2
;� b
a2+b2
) pois
(a; b)(
a
a2 + b2
;� b
a2 + b2
) = (1; 0):�
3.2.1 C Contém In�nitos Subcorpos Isomorfos à R
É tentador considerar R como um único subcorpo de C. Porém, C contém
in�nitos subcorpos isomorfos a R; escolher um, signi�ca introduzir uma es-
trutura linear real particular sobre C; obtida restringindo-se a no produto
C � C ! C, (a; b) 7! ab como sendo um número real, i.e., a 2 R. Tal
permite dotar o corpo C com uma estrutura de álgebra (que continuaremos
denotando por C). De fato recordemos que:
De�nição 21 Uma álgebra A sobre um corpo F consiste de um espaço ve-
torial sobre F (aqui F = R, C) equipado com um produto1, 
 : A � A ! A;
(a; b) 7! ab;2 que é bilinear.3
Para distinguir o corpo C da álgebra C, vamos construir os complexos
como o conjunto R � R de todos os pares de números reais z = (x; y) com
adição e multiplicação de�nidas por
(x1; y1) + (x2; y2) = (x1 + x2; y1 + y2); (3.17)
(x1; y1)(x2; y2) = (x1x2 � y1y2; x1y2 + x2y1): (3.18)
O conjunto R2 = R�Rmunido com a adição e multiplicação de�nidas acima,
constitui o corpo C: A unidade imaginária i = (0; 1) satisfaz
i2 = (0; 1)2 = (0; 1)(0; 1) = (0� 1; 0 + 0) = (�1; 0) = �(1; 0) = �1:
1Que denotaremos por justaposição de símbolos.
2Note que não supomos a associatividade.
3Dizer que o produto é bilinear, signi�ca dizer que 
(a; b) = ab é linear em cada uma
das duas variáveis a; b 2 A:
3.2. O CORPO C E A ÁLGEBRA REAL C 39
Visto que (x1; 0) + (x2; 0) = (x1 + x2; 0) e (x1; 0)(x2; 0) = (x1x2; 0), o
corpo real R está imerso em C como um subcorpo por R! C, x 7! (x; 0): A
expressão x 7! (x; 0) agora tem um signi�cado muito mais preciso; operar em
C com (x; 0) conduz aos mesmos resultados que aplicar a mesma operação
em R, sobre a variável x.
Observação 22 A visão geométrica dos números complexos está conectada
com a estrutura de C como uma álgebra real, e não à estrutura de corpo de
C.
A construção dos números complexos como acima introduzida, i.e., como
um espaço linear real R2 dotado de um produto, possui mais estrutura do que
apenas a estrutura de corpo: faz de C uma álgebra sobre R:4 Frequentemente
identi�camos R com o subcorpo f(x; 0) j x 2 Rg de C, e denotamos a base
canônica de R2 por 1 = (1; 0), i = (0; 1) em C.
A aplicação � : C ! C é um automor�smo do corpo C se preserva a
adição e a multiplicação (de números complexos), i.e.,
�(z1 + z2) = �(z1) + �(z2); (3.19)
�(z1z2) = �(z1)�(z2);
�(1) = 1;
Uma aplicação � : C �! C é um automor�smo da álgebra real C se ela
preserva a estrutura linear real e a multiplicação (de números complexos),
�(z1 + z2) = �(z1) + �(z2); (3.20)
�(�z) = ��(z); � 2 R; (3.21)
�(z1z2) = �(z1)�(z2) (3.22)
e ademais satifaz:
�(1) = 1: (.38)
Observação 23 O corpo C tem in�nitos automor�smos. Em contrapartida,
a álgebra real C tem como automor�smos apenas a identidade e a conjugação
complexa.
4Na construção acima, introduzimos uma estrutura de corpo no espaço linear real R2 e
chegamos em uma álgebra C sobre R; ou equivalentemente a um corpo C com um subcorpo
distinto R:
40 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Proposição 24 A conjugação complexa é o único automor�smo do corpo C,
que é diferente da identidade, mas preserva um subcorpo �xo R:
Prova: Notamos primeiramente que, para algum automor�smo � : C �! C;
�(i)2 = �(i)�(i) = �(i2) = �(�1) = �1 por (3.22) e (3.21) logo �(i) = �i:
Se � é um automor�smo tal que �(R) � R; então �(x) = x para todo x 2 R,
porque o único automor�smo do corpo dos reais R; é a identidade. Disso
segue que, para todo x+ iy com x; y 2 R,
�(x+ iy) = �(x) + �(i)�(y) = x+ �(i)y
onde �(i) = �i: O caso �(i) = i nos dá o automor�smo identidade, e o caso
em que �(i) = �i nos dá a conjugação complexa.�
Os demais automor�smos do corpo C enviam um subcorpo real R em uma
cópia isomorfa deR, que é necessariamente diferente do subcorpo original. No
entanto, qualquer automor�smo do corpo C �xa pontos discretos no subcorpo
C � Q (os racionais) [12].
Nosso interesse no conjunto dos números complexos, no que se segue, vai
se resumir ao estudo de C como álgebra e não como corpo. De fato veremos
que C é uma particular álgebra de Cli¤ord.
3.3 O Duplo-Anel 2R de R
Há mais que um produto bilinear (ou estrutura de álgebra) interessante no
espaço linear real R2. Por exemplo, a multiplicação de�nida por
(x1; y1)(x2; y2) = (x1x2; y1y2) (3.23)
resulta no duplo-anel 2R de R. Os únicos automor�smos da álgebra real 2R
são a identidade e a aplicação
troc : 2R! 2R; (�; �) 7! troc(�; �) = (�; �) (3.24)
A aplicação troc atua como a conjugação complexa de C, haja visto que
troc[a(1; 1) + b(1;�1)] = a(1; 1)� b(1;�1)
A unidade multiplicativa 1 = (1; 1) e o elemento re�etido j = (1;�1) estão
relacionados por
j2 = (1;�1)(1;�1) = (1 � 1;�1 � (�1)) = (1; 1) = 1:
3.3. O DUPLO-ANEL 2R DE R 41
Alternativamente e equivalentemente podemos considerar o par de números
reais (a; b) 2 R2, ditos números de Study5 como
s = a+ jb; j2 = 1; j 6= 1 (3.25)
Os números de Study possuem um conjugado de Study dado por
(a+ jb)� = a� jb;
e uma norma de Lorentz6, i.e.,
(a+ jb)(a� jb) = a2 � b2:
Ademais, os números de Study possuem uma forma polar hiperbólica muito
interessante. De fato, quando a2 � b2 � 0, podemos escrever
(a+ jb) = �(cosh{ + j sinh{):
Em um produto de números de Study a norma de Lorentz é preservada,
e os ângulos hiperbólicos são adicionados Finalmente mencionamos que
podemos mostrar sem grandes di�culdades que os números de Study pos-
suem a seguinte representação matricial:
a+ jb '
�
a b
b a
�
: (3.26)
De fato, seja c+ jd um número de Study, realizando o produto
(a+ jb)(c+ jd) = (ac+ bd) + j(ad+ bc)
e escrevendo na forma matricial, temos:�
ac+ bd
ad+ bc
�
=
�
a b
b a
��
c
d
�
=
�
a b
b a
��
c d
d c
��
1
0
�
:
5Eduard Study (1862-1930), foi um matemático alemão conhecido por trabalhar em
teoria invariante das formas ternárias e no estudo de trigonometria esférica. Também
produziu diversas contribuições para a compreensão do espaço geométrico e de números
hipercomplexos.
6Hendrik Lorentz (1853-1928), foi um físico holandês que compartilhou em 1902 o
prêmio Nobel de física com Pieter Zeeman. Descobriu uma aproximação em segunda
ordem de um conjunto de transformações para as coordenadas de espaço e tempo, que
posteriormente foram utilizadas por Henri Poincaré ( que as denominou, transformações
de Lorentz) e também por Albert Einstein para a formulação da teoria da relatividade
especial.
42 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Exercício 25 Dois automor�smos �; � de uma álgebra, são semelhantes se
existe um automor�smo de entrelaçamento 
; tal que �
 = 
�. O automor-
�smo identidade é semelhante apenas a ele mesmo.
a) Mostre que as duas involuções da álgebra real C não são semelhantes, e
que as duas involuções da álgebra real 2R também não são semelhantes.
b) Mostre que as duas involuções �(�; �) = (�; �) e �(�; �) = (��; ��) são
involuções semelhantes na álgebra real ou na álgebra complexa 2C ( isto é,
encontre um automor�smo de entrelaçamento 
 de 2C tal que �
 = 
�).
Solução: Parte a)
(i) Sejam �; � os automor�smos da álgebra real C, tais que, para qualquer
z 2 C; z = a+ bi; com a; b 2 R e não nulos, temos:
� : C �! C; �(z) = z
� : C �! C; �(z) = �z
Agora, �; � são involuções, pois
� � �(z) = �(�(z)) = �(z) = z,
e
� � �(z) = �(�(z)) = �(�z) = z:
Queremos mostrar que �; � não são semelhantes. Suponhamos, por con-
tradição, que sejam, isto é, que exista um automor�smo de entrelaçamento

; tal que (�
)(z) = (
�)(z). Neste caso devemos ter:
�(z)
(z) = 
(z)�(z);
z
(z) = 
(z)�z:
e como 
(z) 6= 0 então z = �z , que é um absurdo.
(ii) Da mesma forma, mostraremos que as duas involuções da álgebra real
2R não são semelhantes.
Os automor�smos de 2R; são involuções
I : 2R �!2 R; (�; �) 7! (�; �);
troc : 2R �!2 R; (�; �) 7! (�;�):
De fato:
troc � troc(�; �) = troc(troc(�; �))
= troc((�; �) = (�; �);
3.3. O DUPLO-ANEL 2R DE R 43
i.e., troc é involução assim como I:
Suponhamos agora, por contradição que I e troc são semelhantes, ou seja,
existe um automor�smo de entrelaçamento 
; tal que
I
(�; �) = 
troc(�; �)!
I(�; �)
(�; �) = 
(�; �)troc(�; �)!
(�; �)
(�; �) = 
(�; �)(�; �);
se tomarmos 
(�; �) = (a; b), vem que (�; �)(a; b) = (a; b)(�; �) logo � = � ,
então troc = I, absurdo.
Parte b)
Seja 
(�; �) = (��; �); temos que 
 é um automor�smo, pois

[(�; �) + (�; ")] = 
(�+ �; �+ ") = (�+ �; �+ ") = (��+ ��; �+ ") = (��; �) + (��; ")
= 
(�; �) + 
(�; ");

[(�; �)(�; ")] = 
(��; �") = (��; �") = (����; �") = (��; �) � (��; ") = 
(�; �)
(�; ");
e
�
(�; �) = �(
(�; �)) = �(��; �) = (�; ��)

�(�; �) = 
(�(�; �)) = 
(��; ��) = (�; ��)
conclui-se que �
(�; �) = 
�(�; �).
Proposição 26 Uma álgebra real bidimensional com unidade 1 é comutativa
e associativa.
Prova: Seja A uma álgebra bidimensional com unidade 1. A álgebra A é
também um espaço vetorial bidimensional. Seja x 2 A e escreva
x = ae1 + be2; a; b 2 R
Então a hipótese diz que existe 1 2 A tal que
1x = x1 = x; (3.27)
11 = 1: (3.28)
44 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Escreva
1 = le1 + se2; l; s 2 R (3.29)
Então
(le1+se2)(le1+se2)=l
2e21 + s
2e22 + ls(e1e2 + e2e1)
= le1+se2; (3.30)
o que implica que devemos ter:
l2 = l; s2 = s; (3.31)
e21 = e1, e
2
2 = e2; e1e2 + e2e1 = 0;
ou
l2 = l, s = 0; (3.32)
e21 = e1, e e
2
2 indeterminado.
Consideremos a escolha dada pela Eq.(3.31). Também devemos ter:
(le1 + se2)(ae1 + be2) = ae1 + be2; (3.33)
o que implica que
(le1 + se2)(ae1 + be2)
= lae21 + lbe1e2 + sae2e1 + sbe
2
2
= lae1 + (lb� sa)e1e2 + sbe2
= ae1 + be2: (3.34)
Note que como a; b são reais arbitrários não podemos ter
l = 1; s = 1; lb� sa = 0;
pois tal implicaria que a = b. Assim devemos escolher, por exemplo:
l = 1; s = 0; e1e2 = e2; (3.35)
i.e., temos a identi�cação
1 = e1: (3.36)
3.3. O DUPLO-ANEL 2R DE R 45
Portanto, chamando e2 = a, temos que um elemento arbitrário x 2 A tem a
forma
x = x1+ya, x; y 2 R. (3.37)
Fica portanto trivial veri�car que dados x;y; z 2 A temos
xy= yx; (3.38)
x(yz)= (xy)z;
i.e., A é uma álgebra comutativa e associativa.�
Proposição 27 Uma álgebra real bidimensional com unidade 1 e sem divi-
sores de zero (ab = 0 implica a = 0 ou b = 0) é isomorfa a C:
Prova: Uma álgebra A não possui divisores de 0 se dados x; y 2 A
xy = 0, ) x = 0 ou y = 0: (3.39)
Da proposição anterior temos que se A é bidimensional com unidade então
u 2 A pode ser escrito como
u = u11+u2a; u1;u2 2 R: (3.40)
Calculemos u�u onde �u = u11�u2a. Temos,
u�u = (u11+u2a)(u11�u2a)
= u21 � u22a2:
Suponhamos agora que u�u = 0. Se a2 = a (a escolha da Eq.(3.31) temos,
como deve ser) u1;u2 = 0, mas neste caso a álgebra A possui divisores de
zero. De fato seja u = u2a e v = v11�v1a com u2 6= 0 e v1 6= 0. Temos
imediatamente
uv = u2a(v11�v1a) =u2v1a�u2v1a2
= u2v1a�u2v1a = 0:
Portanto devemos nos restringir a escolha fornecida pela Eq.(3.32) onde o
valor de a2 �ca indeterminado. Se
a2 = +1 (3.41)
46 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
temos
0 = u�u = u21 � u22; (3.42)
e A teria divisores de zero, o que é contra a hipótese da proposição. Assim
devemos ter:
a2 = �1 (3.43)
para que resulte u1;u2 = 0 e neste caso A ' C.�
3.4 Representação dos Elementos de C em
Mat(2;R)
Os números complexos foram introduzidos como pares ordenados de números
reais (x; y) satisfazendo axiomas precisos. Assim podemos substituir
z = a+ bi em C por
�
x
y
�
em R2;
construindo explicitamente uma estrutura linear real em C. O produto de
dois números complexos c = a+ bi e z,
cz = ax� by + i(bx+ ay)
pode ser substituído por�
ax� by
bx+ ay
�
=
�
a �b
b a
� �
x
y
�
=
�
a �b
b a
� �
x �y
y x
� �
1
0
�
:
A fórmula acima nos sugere imediatamente considerar a representação
dos complexos pelas matrizes de Mat(2;R). Temos7:
C! Mat(2;R); a+ bi 7!
�
a �b
b a
�
: (3.44)
A unidade multiplicativa 1 e a unidade imaginária i em C são represen-
tadas pelas matrizes
1 7! I =
�
1 0
0 1
�
, i 7! J =
�
0 �1
1 0
�
:
7Na representação matricial, o complexo conjugado de um número complexo torna-se
a transposta da matriz e a norma ao quadrado torna-se o determinante. A norma é
preservada sob transformações semelhantes, mas a �transposição = conjugado complexo�
só é preservada por matrizes semelhantes ortogonais.
3.5. C COMOA SUBÁLGEBRAPARDAÁLGEBRADECLIFFORD C`247
No entanto, esta não é a única representação linear de C em Mat(2;R).
Uma transformação de semelhança gerada por uma matriz inversível U ,
detU 6= 0; envia o representante da unidade imaginária J em um outra
�unidade imaginária�
J0 = UJU�1
em Mat(2;R):
Exemplo 28 Escolhendo U =
�
1 1
0 1
�
, temos que:
J 0 = UJU�1 =
�
1 1
0 1
� �
0 �1
1 0
� �
1 �1
0 1
�
=
�
1 �2
1 �1
�
e a representação de (x+ iy) �ca
x
�
1 0
0 1
�
+
�
1 �2
1 �1
�
y =
�
x+ y �2y
y x� y
�
:
3.5 C como a Subálgebra Par da Álgebra de
Cli¤ord C`2
3.5.1 Interpretação Geométrica de i =
p
�1
No restante deste capítulo, vamos interpretar os números complexos, como
elementos da álgebra de Cli¤ord C`2 associada ao espaço vetorial R2 equipado
com o produto escalar euclidiano. Tal interpretação, como veremos fornece à
unidade imaginária i =
p
�1, vários signi�cados. Veremos que i representa:
i) a unidade de área orientada no plano R2.
ii) um quarto de volta no plano R2, i.e., i é o gerador de rotações no plano.
Já introduzimos anteriormente em R2 a forma quadrática
r = xe1 + ye2 7! jrj2 = x2 + y2 ou jrj =
p
x2 + y2 (3.45)
Introduzimos também um produto de vetores associativo, tal que
r2 = jrj2 ;
48 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
ou
(xe1 + ye2)
2 = (xe1 + ye2)(xe1 + ye2)
= x2e21 + y
2e22 + xye1e2 + yxe2e1
= x2 + y2
Usando a distributividade deste resultado no critério multiplicativo temos:
e21 = e
2
2 = 1; e1e2 = �e2e1;
e portanto e1e2 precisa satisfazer
(e1e2)
2 = �1;
o que signi�ca, como já observamos anteriormente, que e1e2 não pode ser
nem escalar e nem um vetor. Ele é um exemplo de bivetor, o bivetor unitário
que denotamos acima por e12 = e1e2.
A álgebra de Cli¤ord C`2, é como já vimos, uma álgebra real de dimensão
quatro, cujo espaço vetorial real associado possui como uma de suas bases
f1; e1; e2; e12g. Os elementos da base, obedecem a tábua de multiplicação
e1 e2 e12
e1 1 e12 e2
e2 �e12 1 �e1
e12 �e2 e1 �1
:
Os elementos dessa base pertencem aos seguintes subespaços:
1
V0R = R escalar ou 0-vetor
e1; e2
V1R2 = R2 vetor ou 1-vetor
e12
V2R2 bivetor ou 2-vetor :
Assim, a álgebra de Cli¤ord C`2 contém cópias de R e de R2, sendo a
soma direta desses subespaços para os elementos de graduações 0; 1; 2, i.e.:
C`2 = R� R2 �
V2R2 (3.46)
A álgebra de Cli¤ord C`2, também pode ser escrita como:
C`2 = C`+2 � C`�2
3.6. UNIDADE IMAGINÁRIA = A UNIDADE BIVETOR 49
onde
Parte par C`+2 = R�
V2R2;
Parte ímpar C`�2 = R2:
A parte par não é apenas um subespaço, é também uma subálgebra8. Ela
consiste de elementos da forma x+ye12 onde x; y 2 R e e212 = �1. O produto
de Cli¤ord entre dois elementos quaisquer de C`+2 fornece
(x1 + y1e12)(x2 + y2e12) = (x1x2 � y1y2)| {z }+(x1y2 + x2y1)e12| {z } 2 R� ^2R2;
isto é C`+2 é fechada em relação ao produto de Cli¤ord de C`2. A subálgebra
par é isomorfa a C:O bivetor unitário e12 é associado a i que é a raiz quadrada
de �1, e asssim identi�camos i com e12, mas para evitar qualquer confusão
escreveremos oportunamente
i = e12:
Deve-se notar que a �unidade imaginária� i = e12 anti-comuta com e1 e e2,
ou seja e12 anti-comuta com todos os vetores do plano e1e29:
re12 = �e12r para r =xe1 + ye2 e e1e2 = e12
3.6 Unidade Imaginária = A Unidade Bive-
tor
Multiplicando o vetor r = xe1 + ye2 pelo bivetor unitário e12, obtemos um
outro vetor re12 = xe2 � ye1 que é perpendicular a r: A função r 7! re12 é
uma rotação à esquerda, e o efeito de duas rotações à esquerda [e12e12] é a
direção oposta [�1]. A demonstração de que e212 = �1 é apenas um versão
aritmética do fato geométrico óbvioque a soma de dois ângulos retos, �+ �;
é um ângulo raso, 2�. No plano R2 o sentido da rotação depende por qual
lado do vetor r é multiplicado por e12. Assim, a rotação
r 7! re12 = �ye1 + xe2;
8Por outro lado C`�2 não é uma subálgebra pois não é fechada para o produto, ao
tomarmos dois elementos quaisquer C`�2 , no caso vetores, o produto deles nos dá um
escalar que não é um elemento de C`�2 :
9Em um espaço linear complexo, ou em uma álgebra complexa, onde os escalares são
números complexos, a unidade imaginária comuta com todos os vetores, i.e., ir = ri.
50 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
é no sentido anti-horário, e a rotação
r 7! e12r = ye1 � xe2;
é no sentido horário.
Figura 9
No plano complexo C = R�
V2R2, ambas as rotações que aplicam z =
x + ye12 em e12z e ze12 estão no sentido anti-horário. Multiplicando um
número complexo z = x + ye12 pelo bivetor unitário e12, resulta num giro à
esquerda, ze12 = �y+xe12, e o efeito de dois giros à esquerda [e12e12] = [�1]
é a direção oposta, que é uma meia volta no plano complexo C :
�z = ze212 � ze12
"
�! z
A raiz quadrada de �1 tem signi�cados geométricos distintos em R2: ela
é o gerador de rotações, i = e12 2 C`+2 , e ela representa a unidade de área
orientada no plano e12 = e1 ^ e2 2
V2R2 � C`2:
Em conclusão, mostramos que um número complexo z = x+ iy pode ser
identi�cado com z = x + ye12 2 R�
V2R2, i.e., a soma de um número real
x = Re(z) e um bivetor ye12 = e12 Im(z):
3.6. UNIDADE IMAGINÁRIA = A UNIDADE BIVETOR 51
Exercício 29 Uma rotação é chamada racional se ela envia um vetor com
coordenadas racionais em outro vetor com coordenadas racionais. Determine
todas as rotações racionais de R2:
Solução: Seja R 2 SO(2)10. Então
R =
�
cos' � sin'
sin' cos'
�
(3.47)
Considere a seguinte parametrização:(
cos' = p
2�q2
p2+q2
sin' = 2pq
p2+q2
(3.48)
que permite escrever R 2 SO(2) na forma
R =
1
p2 + q2
�
p2 � q2 �2pq
2pq p2 � q2
�
: (3.49)
Agora, se levarmos em conta que devemos ter detR = 1, vemos que é
necessário termos
(p2 � q2)2 + (2pq)2 = (p2 + q2)2: (3.50)
Naturalmente se p; q 2 Z a matriz R transforma um �vetor�X =
�
r1
r2
�
com r1; r2 2 Q em
Y = RX =
1
p2 + q2
�
p2 � q2 �2pq
2pq p2 � q2
��
r1
r2
�
(3.51)
=
1
p2 + q2
�
(p2 � q2) r1 � 2pqr2
2pqr1 + (p
2 � q2) r2
�
;
que também possui coordenadas racionais uma vez que :8<:
(p2�q2)r1�2pqr2
p2+q2
2 Q;
2pqr1+(p2�q2)r2
p2+q2
2 Q:
(3.52)
Assim a resposta ao problema é que as rotações racionais ocorrem para todos
os ângulos ' = arccos p
2�q2
p2+q2
tais que os inteiros p e q satisfazem a Eq.(3.50),
i.e., (p2 � q2); (2pq) e (p2 + q2) formam uma tripla pitagórica.
10SO (2) =
�
R 2 Mat(2;R) j RTR = I;detR = 1
	
52 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
3.7 Sobre as Partes Par e Ímpar de C`2
A álgebra de Cli¤ord C`2 de R2 contém tanto o plano complexo C quanto o
plano vetorial R2; de modo que:
R2 é gerado por e1 e e2;
C é gerado por 1 e e12:
O único ponto em comum nos dois planos é o zero 0: Os dois planos são
ambos partes da mesma álgebra C`2: O plano vetorial R2 e o corpo dos
complexos C são incorporados como subestruturas separadas na álgebra de
Cli¤ord C`2 = C`+2 � C`�2 , de modo que o plano complexo C é a parte par
C`+2 e o plano vetorial R2 é a parte ímpar C`�2 .
Figura 10
Os nomes par e ímpar (como já sabemos) signi�cam que os elementos são
produtos de um número par ou ímpar de vetores. As considerações acima
sobre a paridade, mostram que:
(i) número complexo vezes número complexo é um número complexo,
(ii) vetor vezes número complexo é um vetor,
(iii) número complexo vezes vetor é um vetor,
(iv) vetor vezes um vetor é um número complexo.
Essas observações são convenientemente expressas pelas inclusões:
3.8. INVOLUÇÃO E NORMA 53
C`+2 C`+2 � C`+2 ; (3.53)
C`�2 C`+2 � C`�2 ;
C`+2 C`�2 � C`�2 ;
C`�2 C`�2 � C`+2 :
Alguns autores também usam a notação C`02 = (C`2)0 = C`+2 e (C`2)1 =
C`�2 , que permite que se escreva: (C`2)j(C`2)k � (C`2)j+k onde j; k são
adicionados módulo 2: Essas observações são expressas assim, por que sabe-
mos que a álgebra de Cli¤ord C`2 tem graduação par-ímpar ou que é 11
Z2-graduada 12.
3.8 Involução e Norma
A álgebra de Cli¤ord C`2 possui três involuções semelhantes a conjugação
complexa emC. Para um elemento u = hui0+hui1+hui2 2 C`2; huik 2
Vk R2.
De�nimos:
Involução graduada û = hui0 � hui1 + hui2 ; (3.54)
Reversão ~u = hui0 + hui1 � hui2 ; (3.55)
Cli¤ord-conjugado �u = hui0 � hui1 � hui2 . (3.56)
A involução graduada é um automor�smo, cuv = ûv̂, enquanto a reversão e a
Cli¤ord- conjugado são anti-automor�smos, fuv = ~v~u; uv = �v�u. Ver exercício
(17)
Para um número complexo z = x + ye12 a conjugação complexa z 7!
�z = x� ye12 é uma restrição da Cli¤ord-conjugado u 7! �u em C`2 e também
da reversão u 7! ~u em C`2: Do mesmo modo, a norma jzj =
p
x2 + y2
em C, obtida da raiz quadrada de z�z = x2 + y2 é a restrição da norma
juj =
p
hu~ui0em C`2.
Já notamos que os números complexos podem ser identi�cados com os
elementos pares de C`2, isto é, elementos (não homogêneos) pertencentes à
11Z2 = f0; 1g:
12A álgebra C = R � iR com parte par R = Re(C) e a par ímpar iR = i Im(C) é
Z2-graduada.
54 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
V0R2+V2R. Os elementos pares de C`2 de�nem uma subálgebra de Cli¤ord
que como já dissemos se denota por C`02. Esta álgebra é isomorfa como álgebra
à álgebra C, e escrevemos
C`02 ' C:
Seja
z = x+ ye1e2 = x+ ye12 2 C`02 ' C: (3.57)
Temos:
�z = x� ye12: (3.58)
Assim,
z�z = (x+ ye12)(x� ye12)
= x2 � xye12 + xye12 � y2(e12)2
= x2 � y2e12e12
= x2 � y2e1e2e1e2
= x2 � (�1)y2e1e1e2e2
= x2 + y2(e1)
2(e2)
2
= x2 + y2; (3.59)
e
jzj =
p
z�z =
p
x2 + y2: (3.60)
Considere agora um elemento arbitrário u 2 C`2 que escrevemos
u = x+ ve1 + ye1e2: (3.61)
Usando a de�nição da reversão temos:
~u = x+ ve1 + ye2e1
= x+ ve1 � ye1e2: (3.62)
Então
u~u = (x+ ve1 + ye1e2)(x+ ve1 � ye1e2)
= x2 + xve1 � xye1e2
+ vxe1 + v
2(e1)
2 � vy(e1)2e2
+ xye1e2 + yve1e2e1�y2(e1e2)2
= (x2 + y2 + v2) + 2xve1 � 2vye2: (3.63)
3.9. VETORES MULTIPLICADOS POR NÚMEROS COMPLEXOS 55
Portanto,
hu~ui = hu~ui0 = (x2 + y2 + v2): (3.64)
Finalmente se u = z temos imediatamente das Eqs. (3.59) e (3.64) que:
z�z = hz~zi; (3.65)
Observação 30 Um elemento homogêneo de graduação r = 0; 1; 2; 3:::; k da
álgebra exterior
V
Rk é um elemento que só possui componente em
Vr Rk.
Nestas condições, se X 2
Vr Rk. Então
hXip6=r = 0: (3.66)
3.9 Vetores Multiplicados por Números Com-
plexos
O produto de um vetor r = xe1 + ye2 e um número complexo ei' = cos'+
i sin'; onde i = e12; é outro vetor no plano (e1e2) :
r cos'+ ri sin' = rei': (3.67)
O vetor ri = xe2 � ye1 é perpendicular a r de forma que uma rotação à
esquerda por um ângulo �
2
leva r para ri:
Posto que o bivetor unidade i anti-comuta com todo vetor r no plano
(e1e2), a rotação do vetor também pode ser expressa como
rei' = r cos'+ ri sin' = r cos'� ir sin' = e�i'r: (3.68)
Além disso, temos que cos' + i sin' = (cos '
2
+ i sin '
2
)2 e então a rotação
do vetor pode ser expressa na a forma
s�1rs;
onde
s = ei
'
2 , s�1 = e�i
'
2 :
De fato
s�1rs
Eq:(3:68)
= e�i
'
2 rei
'
2
= rei
'
2 ei
'
2
= rei'
56 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
A rotação de r para a esquerda por um ângulo ' resultará então em
rz = z�1r = s�1rs;
onde z = ei'; z�1 = e�i' e s2 = z: Há dois números complexos s e �s que
fornecem a mesma rotação s�1rs = (�s)�1r(�s): Em outras palavras, há
dois números complexos que produzem o mesmo resultado �nal via ações
diferentes.
Observando que e�i� = ei� = �1; temos que
s = ei
'
2
é uma rotação no sentido anti-horário por um ângulo '
2
e
�s = e�i�ei
'
2 = e�i(2��')�2
é rotação no sentido horário por um ângulo 2��'
2
.
Antes de prosseguirmos recordemos a
De�nição 31 Um grupo G é um conjunto de elementos com uma lei de
composição interna (multiplicação), que associa a cada par ordenado a; b 2
G outro elemento, escrito como ab 2 G. A lei de composição satisfaz as
seguintes condições:
1. Associatividade: A operação é associativa, isto é, se a; b 2 G então:(ab) c = a (bc)
2. Existência do elemento neutro: Existe e 2 G, tal que para todo
a 2 G:
ea = ae = a
3. Existência do elemento inverso: Para todo a 2 G, existe um
elemento inverso, denotado a
0
tal que:
a0a = aa0 = e
3.10. O GRUPO SPIN(2) 57
3.10 O Grupo Spin(2)
Os números complexos z 2 C, tais que jzj = 1, são representados no plano
complexo pelo círculo unitário
S1 = fz 2 C j jzj = 1g :
Os elementos de S1 dotados da operação de multiplicação entre complexos
como produto, de�ne o grupo unitário U(1) = fz 2 C j z�z = 1g. Uma rotação
no sentido anti-horário do plano complexo C por um ângulo ' pode ser
representada pela multiplicação de números complexos:
x+ iy 7! (cos'+ i sin')(x+ iy); (3.69)
onde cos'+ i sin' 2 U(1).
Uma rotação no sentido anti-horário do plano vetorial R2 por um ângulo
' pode ser representada pela multiplicação de matrizes:�
x
y
�
7!
�
cos' � sin'
sin' cos'
��
x
y
�
; (3.70)
com �
cos' � sin'
sin' cos'
�
2 SO(2); (3.71)
onde SO(2) =
�
R 2 Mat(2;R) j RTR = I; detR = 1
	
é o grupo de rotações
especiais bidimensionais. O grupo de rotações SO(2) é isomorfo ao grupo
unitário U(1). De fato, podemos fazer a seguinte identi�cação. Usando-
se a Eq.(3.44) temos que, dado um número complexo qualquer z 2 U(1),
z = a + bi , com a; b 2 R , sua representação matricial e a de �z são dadas
por
z '
�
a �b
b a
�
, �z '
�
a b
�b a
�
:
Assim, como z�z = 1, temos
z�z '
�
a �b
b a
� �
a b
�b a
�
=
�
a2 + b2 ab� ba
�ab+ ba a2 + b2
�
=
�
1 0
0 1
�
58 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
Então a2 + b2 = 1: Por outro lado, dada uma matriz qualquer, R e sua
transposta RT pertencentes a SO(2), se escrevemos com x; y; z; w 2 R,
R =
�
x y
w z
�
, RT =
�
x w
y z
�
;
temos que RTR = I
RTR =
�
x w
y z
��
x y
w z
�
=
�
x2 + w2 xy + wz
xy + wz y2 + z2
�
=
�
1 0
0 1
�
;
i.e., quando
x2 + w2 = y2 + z2 = 1;
xy + wz = 0:
Resolvendo o sistema, chega-se a conclusão: x = z e y = �w, daí temos
que
RTR =
�
1 0
0 1
�
;
e segue que
detR = x2 + w2 = 1:
As rotações de R2 podem ser representadas pela multiplicação de Cli¤ord:
xe1 + ye2 7! (cos
'
2
+ e12 sin
'
2
)�1(xe1 + ye2)(cos
'
2
+ e12 sin
'
2
); (3.72)
onde (cos '
2
+ e12 sin
'
2
) 2 Spin(2) =
�
s 2 C`+2 j s�s = 1
	
, o grupo spin. O
fato de que dois elementos do grupo Spin(2) representam a mesma rotação
em SO(2) é expresso dizendo-se que Spin(2) é um recobrimento duplo de
SO(2) e escrevemos
Spin(2)=f�1g ' SO(2):
Embora SO(2) e Spin(2) atuem de forma diferente em R2; eles são homo-
morfos como grupos abstratos13.
13No caso especí�co em consideração temos um homomor�smo 2 : 1.
3.10. O GRUPO SPIN(2) 59
Exercício 32 Escreva ~u = hui0 + hui1 � hui2 para u = hui0 + hui1 + hui2 2
C`2; huik 2
Vk R2. De�na o grupo Pin(2) como o conjunto
Pin(2) =
�
u 2 C`+2 j ~uu = 1
	
: R2 �! R2;
x 7! R(x) = uxu�1;
e o grupo O(2) como o conjunto
O(2) = fR 2 Mat(2;R) j RTR = Ig:
Mostre que Pin(2)=f�1g ' O(2)
Solução: O exercício pede para mostrar que dados os grupos Pin(2) e O(2)
temos os seguinte isomor�smo:
Pin(2)=f�1g ' O(2): (3.73)
Iniciamos o exercício recordando que
Pin(2) := fu 2 C`+2 j ~uu = 1g: (3.74)
Seja
u = a+ be1 + ce2 + de12; a; b; c; d 2 R
Então
~u = a+ be1 + ce2 � de12 (3.75)
e
~uu = (a+ be1 + ce2 + de12)(a+ be1 + ce2 � de12)
= a2 + abe1 + ace2 � ade12
+ abe1 + b
2 + bce12 � dbe2
+ cae2 � cbe12 + c2 + cde1
+ ade12 � bde2 + cde1 + d2
= (a2 + b2 + c2 + d2) + (2ab+ 2cd)e1 + (2ac� 2db)e2
+ (�ad+ bc� cb+ ad)e12: (3.76)
Assim,
a2 + b2 + c2 + d2 = 1;
ab+ cd = 0;
ac� db = 0; (3.77)
60 CAPÍTULO 3. NÚMEROS COMPLEXOS
e concluímos que podemos ter as possibilidades
(i) a2 + d2 = 1; b = c = 0;
(ii) b2 + c2 = 1 a = d = 0:
(3.78)
Da possibilidade (i) temos que u 2 Pin(2) tem a forma
u = a+ de12; (3.79)
que pode ser parametrizado como
u = cos'=2 + e12 sin'=2 = exp(
'
2
e12): (3.80)
Da possibilidade (ii) segue ainda que
u = be1 + ce2 2 Pin(2), b2 + c2 = 1 (3.81)
Note que os elementos da forma u = exp('
2
e12) geram rotações e os
elementos u = be1 + ce2 geram re�exões. De fato, u 2 Pin(2) age em
x 2
V1R2 ,! C`2 por
x 7! y = uxu�1: (3.82)
Exemplo 33 (a)Tome, x = e1 + e2 e u = e1. Temos
e1(e1 + e2)e1 = e1 � e2; (3.83)
que corresponde a uma re�exão em relação do eixo determinado por e1.
(b) Tome, por exemplo, x = e1 + e2 e u = e2. Temos
e2(e1 + e2)e2 = �e1 + e2; (3.84)
que corresponde a uma re�exão em relação do eixo determinado por e2.
Observação 34 Da Eq.(3.82) acima �ca óbvio que u e �u determinam a
mesma rotação ou a mesma re�exão.
Agora,
O(2) = fR 2 Mat(2;R) j RTR = 1g (3.85)
Assim,
detR = �1: (3.86)
3.10. O GRUPO SPIN(2) 61
Os elementos que satisfazem detR = 1 são ditos rotações e temos R 2 SO(2)
� O(2). Os elementos que satisfazem detR = �1 correspondem as re�exões,
mas observe do exemplo acima que as re�exões podem ser geradas em R2 por
rotações. Assim temos
Pin(2) 3 u = exp('
2
e12) '
�
cos' � sin'
sin' cos'
�
= R1 2 O(2);
Pin(2) 3 u0 = exp(�'
2
e12) '
�
cos' � sin'
sin' cos'
�
= R1 2 O(2);
Pin(2) 3 u00 = be1 + ce2 '
�
b2 � c2 2cb
2cb �(b2 � c2)
�
= R2 2 O(2);
Pin(2) 3 u000 = �be1 � ce2 '
�
b2 � c2 2cb
2cb �(b2 � c2)
�
= R2 2 O(2);
(3.87)
donde concluímos primeiramente que temos um homomor�smo 2 � 1 entre
Pin(2) e O(2).
De fato, levando em conta que os elementos dePin(2)=f�1g são as classes
de equivalência de�nidas por
u ' v se uxu�1 = vxv�1; (3.88)
i.e., devemos ter
x =(v�1u)�1x(v�1u) (3.89)
e portanto v�1u = �1 2 Pin(2)) u = v ou u = �v. As classes de equivalên-
cia de Pin(2)=f�1g são denotadas por [u]. Note bem que em Pin(2)=f�1g,
u e �u são equivalentes. Assim escrevemos:
Pin(2)=f�1g = f[u]g: (3.90)
e dado que
uxu�1 = (�u)x(�u�1) (3.91)
concluímos que
Pin(2)=f�1g ' O(2); (3.92)
e neste caso temos um isomor�smo entre Pin(2)=f�1g e O(2).
Capítulo 4
Bivetores e a Álgebra Exterior
A exigência de que o produto de dois vetores deveria descrever suas direções
relativas, auxiliou na formulação da de�nição de produto escalar. Mas o
produto escalar não cumpre totalmente aquela exigência, pois falha em não
expressar que duas linhas não paralelas (mas não reversas) determinam um
plano, ou melhor, que dois segmentos orientados não colineares (interpretados
como vetores livres de um espaço a�m) determinam um paralelogramo. A
partir do momento em que um paralelogramo possa ser considerado como
um tipo de produto geométrico de seus lados, a noção de �números�precisa
ser generalizada.
Um paralelogramo pode ser considerado como um fragmento de plano
orientado, descrito por um novo tipo de �número�, chamado de bivetor. Em
analogia a um vetor, um bivetor tem também um �comprimento�, e uma
direção (orientação), mas a palavra direção precisa ser entendida num sentido
mais amplo que o usual.
Um único vetor caracteriza completamente a relação direcional dos pontos
sobre uma linha dada. Um único bivetor caracteriza completamente, a re-
lação direcional dos pontos em um plano dado, isto é, um bivetor não descreve
um conjunto de pontos em um plano e sim a propriedade direcional desse con-
junto de pontos e dizemos que a direção de um bivetor é 2-dimensional para
distinguir tal conceito do conceito de direção 1-dimensional de um vetor.
Assim, uma vez introduzido o conceito de bivetor, a noção de plano como
conjunto de pontos pode ser separada da noção de plano como relação [8].
Em outras palavras, um bivetor descreve a propriedade direcional de um
conjunto de pontos que determinam o plano por eles de�nido. Para aqueles
que já �zeram um curso de Mecânica, �ca aqui a observação de que veloci-
63
64 CAPÍTULO 4. BIVETORES E A ÁLGEBRA EXTERIOR
dade angular, torque, ângulo de rotação, são exemplos de quantidades com
signi�cado físico precisos que são representados por bivetores.
Como já mencionamos anteriormente, a álgebra exterior de Rk é de�nida
como sendo o espaço vetorial
V
Rk equipado com o produto exterior1
^: Escalares, vetores, bivetores e o elemento de volume são elementos de
subespaços de graduação homogênea do espaço vetorial
V
Rk. Assim por
exemplo, temos: