Equilíbrio dos corpos rígidos

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DESCRIÇÃO
Aplicação das equações matemáticas no estudo do equilíbrio estático de um corpo rígido em termos translacionais e rotacionais.
PROPÓSITO
Compreender os conceitos e as equações do equilíbrio estático do corpo rígido para o aprendizado do dimensionamento de estruturas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar os principais vínculos de uma estrutura bidimensional
MÓDULO 2
Reconhecer os sistemas de forças e as condições de equilíbrio de um corpo rígido
MÓDULO 3
Esquematizar o diagrama do corpo livre (DCL)
MÓDULO 4
Reconhecer as reações nos vínculos de uma estrutura bidimensional
MÓDULO 1
 Identificar os principais vínculos de uma estrutura bidimensional
INTRODUÇÃO
Boas-vindas ao estudo do equilíbrio dos corpos rígidos.
No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, a primeira fase consiste em reconhecer os vínculos da estrutura. As estruturas bidimensionais ou
tridimensionais em equilíbrio estático sempre estão presas a apoios que restringem um ou mais tipos de movimentos (translação ou rotação): são os
vínculos. Por exemplo, um vínculo pode restringir os movimentos de translação nas direções x e y e permitir a rotação em torno do eixo z (grau de
liberdade). Observe nas figuras 1 e 2 um vínculo (apoio) do tipo engaste em que três restrições são impostas à estrutura: as translações vertical e
horizontal e a rotação.
 
 Figura 1 - Apoio do tipo engaste. Fonte: Autor
 
 Figura 2 - Restrições. Fonte: Autor
VÍNCULOS EM ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS
ESTUDO QUALITATIVO DOS VÍNCULOS
Toda estrutura em equilíbrio estático apresenta-se “presa” a apoios ou vínculos. Dessa forma, restrições são impostas ao seu movimento. Imagine uma
mesa no jardim de uma pequena cidade. Ela encontra-se em equilíbrio estático e impedida de realizar qualquer movimento de translação ou de
rotação em virtude de estar “presa” por intermédio de vínculos. Inicialmente, a abordagem do tema será para estruturas bidimensionais, por exemplo,
localizadas no plano xy do papel, com carregamento também nesse plano.
Quando se é realizado o estudo do equilíbrio estático de uma estrutura bidimensional, surgem três classes de apoios cujas denominações remetem-se
diretamente ao número de restrições que elas impõem ao movimento, seja o de translação ou o de rotação. No plano, três são as possibilidades de
restrição:
Uma translação
Duas translações
Duas translações e uma rotação
Sendo assim, naturalmente surgem os nomes para os apoios (vínculos): 1º, 2º ou 3º gêneros.
APOIO (VÍNCULO) DE PRIMEIRO GÊNERO
Quando a estrutura se encontra presa a um apoio de primeiro gênero, ela é impedida (restrição) de transladar em única direção (eixo). A esse vínculo,
associa-se uma força de reação na direção desse eixo.
APOIO (VÍNCULO) DE SEGUNDO GÊNERO
Quando o apoio que suporta a estrutura é do segundo gênero, duas restrições perpendiculares são impostas, impedindo translações nos dois eixos.
Da mesma maneira que no vínculo de primeiro gênero, são utilizadas forças para representar as restrições impostas. Nesse caso, também é possível
supor o mesmo número de incógnitas (duas): a direção e o módulo da força de reação sobre o vínculo.
APOIO (VÍNCULO) DE TERCEIRO GÊNERO
No apoio denominado de terceiro gênero, também popularmente conhecido como “engaste” ou “engastamento”, são impostas duas restrições à
translação e uma à rotação. Fisicamente, essas restrições são representadas por forças (translação) e momento (rotação). As três incógnitas que
surgem no engaste podem ser observadas sobre outro prisma, um momento e uma força (direção e módulo desconhecidos).
A figura 3 ilustra a representação mais comum para os três apoios citados. Observe que existem rótulas na parte superior dos apoios de primeiro e
segundo gênero, não restringindo movimentos de rotação. Observe, ainda, na figura 3, as representações desses vínculos.
 
 Figura 3 - Apoios de 1º, 2º e 3º gêneros. Fonte: Autor
REAÇÕES NOS VÍNCULOS DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS
Na análise dos problemas de estática, um dos primeiros passos é o desenho do diagrama do corpo livre (DCL), a ser estudado com detalhes ainda
neste módulo. Nesse desenho, todos os carregamentos ou forças devem ser representados. O acréscimo ou a falta de algum comprometerá o estudo
do equilíbrio do corpo rígido. Seguindo essa linha de raciocínio, no desenho do DCL, todos os apoios que estão na estrutura devem ser substituídos
por forças ou momentos, dependendo do tipo de restrição que cada um impõe (translação ou rotação). Faremos uma análise simples dessa troca de
forças/momentos.
Na figura 4, os três principais apoios estudados anteriormente estão dispostos com as respectivas substituições por força ou momento, concernentes
às restrições impostas. Como os apoios de primeiro e segundo gêneros restringem translação, os entes físicos utilizados nessa substituição são forças
e, no caso do apoio de terceiro gênero, ocorrem restrições a translações e à rotação. Nesse vínculo, os entes físicos utilizados na substituição são
forças e momento. É comum denominar as forças e os momentos associados aos vínculos de reações nos apoios.
 
 Figura 4 - Reações em apoios de 1º, 2º e 3º gêneros. Fonte: Autor
 SAIBA MAIS
Os apoios de terceiro gênero também são conhecidos por permitirem que a estrutura se mantenha “em balanço”, ou seja, uma das extremidades livre
e a outra engastada numa parede, por exemplo. Possivelmente, o exemplo mais presente em nosso dia a dia seja a marquise, em que uma pequena
laje apresenta uma extremidade presa (engastada) à estrutura de um prédio e a outra extremidade livre, remetendo diretamente à ideia que a
denomina “em balanço”.
A figura 5 apresenta uma representação esquemática de uma marquise. Note que uma de suas extremidades apresenta-se presa à estrutura, com
restrições à translação e à rotação, enquanto a outra extremidade encontra-se livre. A ideia do balanço fica bem explícita nesse elemento.
 
 Figura 5 - Exemplo real de vínculo de 3º gênero. Fonte: Autor
GRAUS DE LIBERDADE
Em sua obra, Curso de Mecânica, o autor Adhemar Fonseca apresenta o conceito de grau de liberdade que será, de forma sucinta, abordado neste
tópico.
 EXEMPLO
Supondo um sistema com resultante das forças igual a , ela tende a provocar a translação ao longo de um eixo e, similarmente, uma rotação em
torno de um eixo, o vetor momento resultante . Tratando os vetores e no espaço xyz, é possível a decomposição de cada um deles em até
três componentes. Assim, no espaço, a estrutura tem até 6 graus de liberdade (não restrição), sendo 3 translações e 3 rotações. Para estruturas no
plano, a resultante terá duas componentes e o momento apenas uma, num eixo perpendicular ao plano das forças. Em consequência, são 3 os graus
de liberdade possíveis.
A FUNÇÃO DO VÍNCULO É RESTRINGIR ALGUNS GRAUS DE LIBERDADE. PORTANTO, OS
VÍNCULOS EM ESTRUTURAS (EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO) PODEM SER CLASSIFICADOS EM
FUNÇÃO DO NÚMERO DE GRAUS DE LIBERDADE EXISTENTES.
No caso espacial, de 0 a 5 graus de liberdade e, na situação do plano, de 0 a 2 graus de liberdade. Como exemplo, é possível citar o vínculo
denominado junta universal apresentado na figura 6. Observe que é um vínculo com dois graus de liberdade (rotações em torno de y e z) ou ainda,
quatro restrições (três translações em x, y e z e uma rotação em torno de x).
 
 Figura 6 - Junta universal. Fonte: Autor
TEORIA NA PRÁTICA
Na Engenharia, a presença de estruturas equilibradas e com diversos tipos de apoios está muito presente no dia a dia. Como foi visto neste módulo,
três classes são possíveis para os vínculos. Para que você possa perceber isso na prática, alguns exemplos de situações reais serão apresentados
neste tópico.
Inicialmente, imagine um carrinho de compras. As rodinhas traseiras (com seu sistema de fixação ao carrinho) comportam-se como um apoio de
primeiro gênero.Uma restrição é imposta, a da translação no eixo y, ou seja, ∆y = 0. Contudo, não há impedimento de outros dois movimentos:
translação no eixo x (∆x ≠ 0) e rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Observe a figura a seguir de um esboço de um carrinho de compras.
 
 Rodas traseiras de um carrinho de compras (apoio de 1º gênero). Fonte: Autor
Outra possibilidade de vínculo estudado e com aplicação na prática é o apoio de segundo gênero, cujas translações nos eixos x e y são impedidas (∆x
= 0 e ∆y = 0), mas não a rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Veja na figura seguinte o exemplo de uma estrutura composta por uma viga presa em
uma das extremidades pelo apoio de segundo gênero e na outra extremidade por um cabo de aço. A extremidade unida ao vínculo apresenta restrição
aos movimentos vertical e horizontal da viga, mas a rotação é possível. Observe o esquema da figura.
→
R
−→
M
→
R
−→
M
 
 Sistema preso a um apoio articulado de segundo gênero. Fonte: Autor
Neste módulo, foi visto o apoio de terceiro gênero, o que impõe as três restrições, as duas translações nos eixos x e y (∆x = 0 e ∆y = 0) e, também, a
rotação em torno do eixo z (∆θz = 0). Exemplos clássicos são as varandas e as marquises. Na figura seguinte, uma estrutura em balanço é
apresentada na forma de uma pequena varanda.
 
 Varandas/sacadas em um prédio (apoio de 3º gênero). Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
Vínculos em estruturas bidimensionais - exemplos reais.
MÃO NA MASSA
1. EM MUITAS ESTRUTURAS DE PONTES, É COMUM A UTILIZAÇÃO DAS VIGAS GERBER (DENTES DE GERBER),
QUE PERMITEM A “TRANSMISSÃO” DO MOMENTO DE UMA REGIÃO DA ESTRUTURA PARA OUTRA. NA FIGURA A
SEGUIR, TEM-SE UM ESQUEMA DA VIGA GERBER EM DESTAQUE. 
 FONTE: AUTOR
CONSIDERANDO APENAS A VIGA GERBER (EM VERDE), O APOIO DESTACADO PODE SER CLASSIFICADO COMO
UM APOIO DE QUE GÊNERO?
A) Apoio de segundo gênero.
B) Apoio de terceiro gênero.
C) Um misto de apoios de segundo e terceiro gêneros.
D) Um misto de apoios de primeiro e terceiro gêneros.
2. UM ESTUDANTE, REFLETINDO SOBRE OS VÍNCULOS DE UMA ESTRUTURA, PENSOU SOBRE A DEFINIÇÃO DO
GRAU DE LIBERDADE DESSE VÍNCULO NA ESTRUTURA EM QUESTÃO. SUPONHA QUE “N” SEJA O NÚMERO DE
RESTRIÇÕES IMPOSTAS POR UM VÍNCULO DE UMA ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL, EM QUE “N” É UM NÚMERO
NATURAL E “G” O GRAU DE LIBERDADE DO VÍNCULO. É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) 2 ≤ n + g ≤ 6
B) 0 ≤ g ≤ 3 e 0 ≤ n ≤ 3
C) Para alguns vínculos, n = g = 3.
D) É possível que a relação entre n e g seja dada por .
3. NO ESTUDO DOS VÍNCULOS DE UMA ESTRUTURA, É POSSÍVEL COMPREENDER PERFEITAMENTE SUAS
ATUAÇÕES FAZENDO UMA ANÁLISE DOS GRAUS DE LIBERDADE. SUPONHA QUE O VÍNCULO DA FIGURA A
SEGUIR (UM MANCAL COM ATRITO) PERTENÇA A UMA ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO.
AVALIE AS RESTRIÇÕES POSSÍVEIS E RESPONDA O GRAU DE LIBERDADE DO VÍNCULO. 
 FONTE: AUTOR
A) 1 grau de liberdade.
B) 2 graus de liberdade.
C) 3 graus de liberdade.
D) 4 graus de liberdade.
4. CONSIDERE UMA ESTRUTURA EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO SOB UM CARREGAMENTO PLANO. NA ILUSTRAÇÃO
A SEGUIR, PARTE DESSA ESTRUTURA É REPRESENTADA COM UM DE SEUS VÍNCULOS. 
  =  4
n+g
g
 FONTE: AUTOR
A RESPEITO DO APOIO, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ↗
B) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ↙
C) É do primeiro gênero e a reação na estrutura poderá ser representada pelo vetor ↗
D) É do primeiro gênero e a reação na estrutura é obrigatoriamente representada pelo vetor ⟶
5. A DEFINIÇÃO DE UM VÍNCULO PODE SER REALIZADA A PARTIR DO GRAU DE LIBERDADE OU DAS
RESTRIÇÕES IMPOSTAS POR ELE. SUPONHA UM VÍNCULO NUMA ESTRUTURA TRIDIMENSIONAL COM
CARREGAMENTO GENÉRICO. SEJAM P E Q, RESPECTIVAMENTE, O GRAU DE LIBERDADE DO VÍNCULO E O
NÚMERO DE RESTRIÇÕES QUE ELE IMPÕE À ESTRUTURA A QUE PERTENCE. É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) p e q são números naturais, sendo que p – q = 6
B) É possível que os valores de p e q sejam tais que p = 4.q
C) p e q são números naturais e p + q = 6
D) Nunca p e q serão números naturais iguais.
6. UM APOIO DE PRIMEIRO GÊNERO É AQUELE QUE RESTRINGE UMA TRANSLAÇÃO EM UM EIXO, POR EXEMPLO
Y, PERMITINDO A TRANSLAÇÃO NO OUTRO EIXO, O X. EM SUA PARTE SUPERIOR EXISTE UMA RÓTULA QUE NÃO
RESTRINGE A ROTAÇÃO. SUPONHA QUE UMA ESTRUTURA TENHA ALGUNS APOIOS METÁLICOS DESSE TIPO E
QUE ELA ESTEJA LOCALIZADA PRÓXIMO A UM AMBIENTE DE ATMOSFERA CORROSIVA. EM VIRTUDE DISSO, UM
DESSES VÍNCULOS É AFETADO PELA OXIDAÇÃO E A RÓTULA FICA EMPERRADA. DESSA FORMA, É POSSÍVEL
AFIRMAR QUE ESSE VÍNCULO:
A) Continuará a apresentar apenas 1 restrição, no eixo y.
B) Passará a ter 2 restrições, pois também impedirá a translação no eixo x.
C) Passará a ter 2 restrições, pois continuará a impedir a translação no eixo y, mas também a rotação.
D) Passará a impedir apenas a rotação.
GABARITO
1. Em muitas estruturas de pontes, é comum a utilização das vigas Gerber (dentes de Gerber), que permitem a “transmissão” do momento
de uma região da estrutura para outra. Na figura a seguir, tem-se um esquema da viga Gerber em destaque. 
 Fonte: Autor
Considerando apenas a viga Gerber (em verde), o apoio destacado pode ser classificado como um apoio de que gênero?
A alternativa "A " está correta.
 
As vigas tipo Gerber comportam-se como rótulas nas estruturas a que pertencem, não restringindo, assim, o movimento de rotação. Contudo, uma
análise da figura permite concluir que não são possíveis translações na horizontal e na vertical. Sendo assim, existem duas restrições de translação,
ou seja, o apoio é do segundo gênero.
2. Um estudante, refletindo sobre os vínculos de uma estrutura, pensou sobre a definição do grau de liberdade desse vínculo na estrutura
em questão. Suponha que “n” seja o número de restrições impostas por um vínculo de uma estrutura tridimensional, em que “n” é um
número natural e “g” o grau de liberdade do vínculo. É correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Na situação extrema, um vínculo apresenta grau de liberdade (g) igual a 0, impondo apenas 6 restrições (n). Assim, é verdade que n + g = 6. Ao se
pensar em todas as possibilidades, é possível concluir que um vínculo como a rótula, por exemplo, permite 3 rotações (g) e impede 3 translações (n).
Então, é possível que n = g. Quanto à razão (n+g)/g=4, como n + g = 6, tem-se que 6/g=4, ou ainda 6/4=g, o que implica que g = 1,5, logo, não é
possível porque g é um número natural.
3. No estudo dos vínculos de uma estrutura, é possível compreender perfeitamente suas atuações fazendo uma análise dos graus de
liberdade. Suponha que o vínculo da figura a seguir (um mancal com atrito) pertença a uma estrutura tridimensional em equilíbrio estático.
Avalie as restrições possíveis e responda o grau de liberdade do vínculo. 
 Fonte: Autor
A alternativa "A " está correta.
 
Determinação do grau de liberdade dos vínculos.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
4. Considere uma estrutura em equilíbrio estático sob um carregamento plano. Na ilustração a seguir, parte dessa estrutura é representada
com um de seus vínculos. 
 Fonte: Autor
05:33
A respeito do apoio, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
O apoio restringe o movimento da estrutura apenas na direção perpendicular à sua base. Não é possível, a priori, definir o sentido dessa reação,
apenas a direção. Após a realização dos cálculos oriundos das equações de equilíbrio é que se pode chegar à conclusão sobre o sentido da reação.
Valor positivo indica que o sentido arbitrado para a reação está correto, e negativo indica que o sentido arbitrado deve ser invertido.
5. A definição de um vínculo pode ser realizada a partir do grau de liberdade ou das restrições impostas por ele. Suponha um vínculo numa
estrutura tridimensional com carregamento genérico. Sejam p e q, respectivamente, o grau de liberdade do vínculo e o número de restrições
que ele impõe à estrutura a que pertence. É correto afirmar que:A alternativa "C " está correta.
 
Relação entre o grau de liberdade de um vínculo e suas restrições.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
6. Um apoio de primeiro gênero é aquele que restringe uma translação em um eixo, por exemplo y, permitindo a translação no outro eixo, o
x. Em sua parte superior existe uma rótula que não restringe a rotação. Suponha que uma estrutura tenha alguns apoios metálicos desse
tipo e que ela esteja localizada próximo a um ambiente de atmosfera corrosiva. Em virtude disso, um desses vínculos é afetado pela
oxidação e a rótula fica emperrada. Dessa forma, é possível afirmar que esse vínculo:
A alternativa "C " está correta.
 
O problema cita um apoio de 1º gênero (ver figura), ou seja, apresenta uma restrição (direção y) e 2 graus de liberdade (translação em x e rotação em
torno de z). Com a oxidação da rótula, haverá mais uma restrição imposta, visto que não será permitida a rotação em torno do eixo z. Assim, o total de
restrições é 1 + 1 = 2.
 Fonte: Autor
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE PARTE DE UMA ESTRUTURA INDICADA NA FIGURA E SUPONHA UM CARREGAMENTO SOBRE ELA.
AS HASTES QUE COMPÕEM A ESTRUTURA ESTÃO VINCULADAS ENTRE SI POR MEIO DE PARAFUSOS
06:06
(EQUIVALENTE A SOLDAS) E A UMA GRANDE CHAPA DE AÇO, DE TAL FORMA QUE É POSSÍVEL ASSOCIAR CADA
UNIÃO FEITA PELOS PARAFUSOS AO TIPO DE APOIO: 
 ESTRUTURA RÍGIDA COM BARRAS UNIDAS POR PARAFUSOS. FONTE: AUTOR
A RESPEITO DO APOIO, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Do primeiro gênero, uma vez que impede apenas uma translação (∆x > 0, 0, ∆y = 0 e ∆θz = 0).
B) Do segundo gênero, uma vez que impede duas translações (∆x > 0, ∆y < 0 e ∆θz = 0).
C) Do terceiro gênero, uma vez que impede duas translações e uma rotação (∆x = 0, ∆y = 0 e ∆θz = 0).
D) Dependendo do carregamento, de qualquer um dos três gêneros (∆x, ∆y e ∆θz podem assumir quaisquer valores).
2. PARTE DE UM SISTEMA MECÂNICO EM EQUILÍBRIO ENCONTRA-SE REPRESENTADO NA FIGURA, ONDE É
POSSÍVEL VISUALIZAR DOIS VÍNCULOS: A E B. EM RELAÇÃO A ESSES VÍNCULOS, É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 VIGA BIAPOIADA. FONTE: AUTOR
A) Nos dois apoios, translações vertical e horizontal são impedidas.
B) Nos dois apoios, apenas translações verticais são impedidas.
C) No apoio A, translações vertical e horizontal são impedidas e, no apoio B, translação horizontal.
D) No apoio A, translações vertical e horizontal são impedidas e, no apoio B, translação vertical.
GABARITO
1. Considere parte de uma estrutura indicada na figura e suponha um carregamento sobre ela. As hastes que compõem a estrutura estão
vinculadas entre si por meio de parafusos (equivalente a soldas) e a uma grande chapa de aço, de tal forma que é possível associar cada
união feita pelos parafusos ao tipo de apoio: 
 Estrutura rígida com barras unidas por parafusos. Fonte: Autor
A respeito do apoio, é correto afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Observando o plano anterior, é possível perceber que a ligação da barra é feita com um grande parafuso, impedindo, assim, translações e rotação (∆x
= 0, ∆y = 0 e ∆θz = 0). Logo, apoio de terceiro gênero.
2. Parte de um sistema mecânico em equilíbrio encontra-se representado na figura, onde é possível visualizar dois vínculos: A e B. Em
relação a esses vínculos, é correto afirmar que: 
 Viga biapoiada. Fonte: Autor
A alternativa "D " está correta.
 
Observando os vínculos, percebe-se que apresentam pinos que permitem rotação (∆θz ≠ 0). O apoio B apresenta a possibilidade de translação na
horizontal (∆x ≠ 0, ∆y = 0 e ∆θz ≠ 0). Assim, o apoio A apresenta 2 restrições e 1 grau de liberdade (rotação), enquanto o apoio B apresenta 1 restrição.
MÓDULO 2
 Reconhecer os sistemas de forças e as condições de equilíbrio de um corpo rígido
INTRODUÇÃO
No estudo do equilíbrio de um corpo rígido, os dois entes físicos que caracterizam esse estado são a resultante das forças e a soma dos momentos
 aplicados por elas. Quando e são simultaneamente nulos, está garantido o equilíbrio, que é dividido em estático e dinâmico. No primeiro,
além das condições para e , sua velocidade é zero. No equilíbrio dinâmico, a diferença é que o sistema apresenta movimento retilíneo uniforme
(MRU), ou seja, velocidade constante.
→
R
−→
M
→
R
−→
M
→
R
−→
M
CONCEITOS DE FORÇA E DE MOMENTO DE UMA FORÇA
No módulo 1, foram citados dois conceitos: o de força e o de momento de uma força. No dia a dia, esses dois entes físicos apresentam-se com
bastante frequência, mas é fundamental para o futuro engenheiro conhecê-los com profundidade. Inicialmente, a abordagem será qualitativa. Veja as
duas situações a seguir:
SITUAÇÃO 1
Suponha a situação em que uma pessoa movimente a cadeira para sentar-se à mesa. Mesmo não conhecendo o conceito oficial de força, é bastante
intuitiva a ideia de que foi necessário atuar na cadeira para que ela se movimentasse. Relacionado a essa situação, surge o juízo popular do ente
físico força.
SITUAÇÃO 2
Se a situação imaginada for a de trocar o pneu furado de um carro, será preciso atuar de tal forma na retirada dos parafusos que ocorra uma rotação
deles. Surge a ideia do momento provocado por uma força, associando-o à rotação provocada por esta.
É claro que os conceitos de força e de momento se conservam mesmo em situações complexas da Engenharia. A ponte que liga o Rio de Janeiro a
Niterói apresenta uma série de exemplos em que forças atuam em sua estrutura e que provocam momentos. Uma diferença bastante perceptível é a
quantidade desses elementos nessas estruturas complexas.
CONCEITO MATEMÁTICO DE FORÇA
A FORÇA É UMA GRANDEZA VETORIAL (REPRESENTADA POR UM VETOR) E, POR ISSO,
APRESENTA AS SEGUINTES CARACTERÍSTICAS: MÓDULO (OU INTENSIDADE), DIREÇÃO (LINHA
DE AÇÃO DA FORÇA) E SENTIDO.
Associada a esses atributos, segue-se uma unidade que pode ser kgf (quilograma-força), N (newton), dyn (dina) etc. A figura 6 mostra a representação
de uma força e seus atributos.
 
 Figura 6 – Representação de uma grandeza vetorial (força) e seus atributos. Fonte: Autor
 VOCÊ SABIA
No Sistema Internacional de Unidades (S.I.), a força é apresentada em newtons (N), em homenagem aos brilhantes trabalhos do físico Isaac Newton
(1642-1727) na Mecânica Clássica.
FORÇAS (CARGAS) CONCENTRADA E DISTRIBUÍDA
Na Engenharia, é importante salientar a diferença entre os conceitos de força concentrada e força distribuída.
→
F
javascript:void(0)
javascript:void(0)
No caso da força concentrada, existe um único ponto de aplicação sobre a estrutura. Para exemplificar, suponha uma pessoa de pé em um
apartamento. A força que ela faz sobre a laje é considerada uma força concentrada. Observe a figura 7 que, de maneira esquemática, apresenta a
situação descrita.
 
 Figura 7 – Representação de uma força (carga) concentrada. Fonte: Autor
 
 Figura 8 – Representação de uma força (carga) distribuída. Fonte: Autor
A força ou carga distribuída apresenta atuação ao longo de um comprimento. Um exemplo clássico na Engenharia de força distribuída é a parede de
um apartamento. Observe o esquema apresentado na figura 8 em que a representação gráfica de uma carga distribuída é mostrada.
 ATENÇÃO
É importante ressaltar que, no S.I., a força concentrada é apresentada em N e a força (carga) distribuída, em N/m.
FORÇA ESCRITA EM FUNÇÃO DE SUAS COMPONENTES
RETANGULARES
A FORÇA É UMA GRANDEZA VETORIAL E, POR ISSO, PODE SER REPRESENTADA POR SUAS
COMPONENTES RETANGULARES X, Y E Z.
Para uma compreensão gradual do tema, abordaremos uma força localizada no plano xy e, depois, a situação em que a força se encontra no espaço
xyz.
FORÇA NO PLANO ESCRITA EM FUNÇÃO DE SUAS COMPONENTES
RETANGULARES
Suponha o plano xy do papel e considere um sistema submetido a uma força oblíqua , conforme a representação da figura 9.
 
 Figura 9 – Representação de uma força no plano xy atuando em um sistema. Fonte: Autor
Tomando-se como referência o par de eixos cartesianos x e y, qualquer vetor no plano pode ser escrito a partir de suas componentesretangulares Fx e
Fy, que representam seus módulos nas direções x e y, respectivamente. Além disso, são utilizados os vetores unitários i (1,0) e j (0,1). No caso do
vetor que representa a força , pode-se escrevê-lo conforme a equação 1:
→
F
→
F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 1
A figura 10 mostra a representação geométrica da decomposição da força em suas componentes retangulares Fx e Fy.
 
 Figura 10 – Decomposição de uma força no plano xy. Fonte: Autor
A partir das relações trigonométricas no triângulo retângulo, é possível escrever as equações matemáticas 2 e 3 para as componentes retangulares da
força e sua direção θ :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 3
A partir das equações 1 e 2 e utilizando os vetores unitários i e j, é possível reescrever a força conforme a equação 4.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 4
Ainda utilizando as ferramentas matemáticas da geometria plana, é possível perceber, na figura 10, um triângulo retângulo cujos catetos são as
componentes Fx e Fy e a hipotenusa F. A partir da relação matemática conhecida como teorema de Pitágoras, é verdade a relação entre os módulos
de Fx, Fy e F, mostrados na equação 5.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 5
→
F =  Fx .  i  +  Fy .  j
→
F
→
F
Fx  =  F  .   cos θ e Fy  =  F  .  senθ
tgθ  =     →  θ  =  arctg ( )
Fy
Fx
Fy
Fx
→
F
→
F   =   F  .   cos θ .  i  +  F  .  senθ .  j
Fx
2  +  Fy
2  =  F 2
ATIVIDADE
Seja a força apresentada na figura e o par de eixos xy. O módulo da força é 100N e o ângulo θ que o vetor força forma com o eixo x é tal que o seno
vale 0,6 e o cosseno, 0,8. Escreva a força F em coordenadas retangulares.
 
 Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
A partir da equação 2, é possível determinar as projeções da força F sobre os eixos x e y, ou seja:
Utilizando a equação 4, a força F pode ser escrita na forma retangular.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FORÇA NO ESPAÇO ESCRITA EM FUNÇÃO DE SUAS COMPONENTES
RETANGULARES
Generalizando uma força como um vetor no R3, além dos eixos x e y, deve-se utilizar o eixo z para a decomposição da força em coordenadas
retangulares. Além disso, os vetores unitários serão (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1) que representam, respectivamente, os sentidos dos eixos x, y e
z.
A figura 11 representa esquematicamente a força no espaço e os eixos x, y e z. Além disso, são mostrados os ângulos θx,θy e θz que a força 
forma com os eixos. Ainda é possível perceber as projeções da força nos eixos x, y e z, ou seja, Fx, Fy e Fz.
Fx  =  F  .   cos θ e Fy  =  F  .  senθ
Fx  =  100 .  0, 8  =  80N  e Fy  =  100 .  0, 6  =  60N
→
F   =  F  .  cosθ .  i  +  F  .  senθ .  j
→
F   =  80 .  i  +  60 .  j
→
F
i j k
→
F
→
F
 
 Figura 11 – Representação da força no espaço e suas componentes retangulares. Fonte: Autor
A partir da figura 11, observando triângulos retângulos e utilizando a definição da função trigonométrica cosseno, é possível escrever as relações
matemáticas descritas nas equações 6, 7 e 8.
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Equação 6
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Equação 7
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Equação 8
Onde , e são denominados cossenos diretores.
 ATENÇÃO
É possível mostrar que + + = 1.
A partir das equações anteriores, é possível reescrever a força , em termos de suas coordenadas retangulares, e os vetores unitários , e ,
conforme a equação 9:
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→
F
cos θx  =     →  Fx  =  F  .   cos θx
Fx
F
cos θy  =     →  Fy  =  F  .   cos θy
Fy
F
cos θz  =     →  Fz  =  F  .   cos θz
Fz
F
cos θx cos θy cos θz
cos2 θx cos
2 θy cos
2 θz
→
F i j k
→
F    =  F  .   cos θx .  i  +  F  .   cos θy .  j  +  F  .   cos θz .  k
Equação 9
ATIVIDADE
Suponha que uma força de intensidade atue de tal forma em uma estrutura que seus cossenos diretores valham . O
engenheiro precisa escrever essa força em coordenadas retangulares e solicita que seu estagiário resolva.
RESOLUÇÃO
Inicialmente, o estagiário transformou a unidade e encontrou para o módulo da força o valor de . A partir das equações 6, 7 e 8, ele
determinou as componentes da força F nas direções dos eixos x, y e z.
Utilizando a equação 9, conseguiu determinar a força F em coordenadas retangulares, ou seja:
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RESULTANTE DE FORÇAS
Seja uma estrutura em que atue um conjunto com “n” forças. Por razões simplificadoras matemáticas, é possível fazer a substituição desse conjunto
de forças por uma única, denominada resultante das forças ou, simplesmente, resultante. Essa substituição matemática não altera a consequência
física. A figura 12 apresenta uma estrutura em que agem quatro forças coplanares e a substituição delas pela força resultante.
 
10kN  ,    e 
√2
2
3.√2
10
2√2
5
10. 000N
Fx  =  F  .   cos θx   →  Fx  =  10000 .     =  7071N
√2
2
Fy  =  F  .   cos θy   →  Fy  =  10000 .     =  4243N
3.√2
10
Fz  =  F  .   cos θz   →  Fz  =  10000 .     =  5657N
2√2
5
→
F    =  F  .   cos θx .  i  +  F  .   cos θy .  j  +  F  .   cos θz .  k
→
F    =  7071 .  i  +  4243 .  j  +  5657 .  k
 Figura 12 – Sistema de forças em uma estrutura e sua resultante. Fonte: Autor
A resultante das forças que agem sobre um corpo é a soma vetorial dessas forças. É possível fazer a decomposição retangular das várias forças e
agrupar “os termos semelhantes” (em i, em j e em k). A equação 10 mostra essa descrição.
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Equação 10
 ATENÇÃO
Para duas forças de módulos F1 e F2, é verdade que o módulo da resultante R entre elas está no seguinte intervalo:
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ATIVIDADE
Suponha que um corpo esteja sob a ação de várias forças nas direções dos eixos ortogonais x, y e z, conforme a figura. Determine a resultante das
forças.
 
 Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
Inicialmente, deve-se observar os eixos desenhados e suas respectivas orientações positivas (setas). Após identificar as resultantes em cada eixo, é
possível aplicar a equação 10 para determinar a resultante no corpo.
→
R   =  ∑ 
→
Fi  →
→
R   =  (∑  Fx) .  i  +  (∑  Fy) .  j  +  (∑  Fz) .  k 
| F1 − F2 |  ≤  R  ≤  | F1 + F2 |
→
R   =  ∑ 
→
Fi   →
→
R   =  (∑  Fx) .  i  +  (∑  Fy) .  j  +  (∑  Fz) .  k 
∑  Fx  =  20  −  50  =   − 30N
Substituindo na equação 10, tem-se:
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MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO
Considere um sistema e uma força atuando sobre ele no ponto A, conforme a figura 13. Suponha que no ponto O exista um vínculo de segundo
gênero. O vetor que liga os pontos O e A é denominado vetor posição (ver figura 13). Nas condições anteriormente apresentadas, é
intuitivo imaginar que a força fará o corpo girar. Essa rotação do corpo é o momento provocado pela força em relação ao ponto O.
Observando a figura 13, é possível perceber que o vetor momento é perpendicular ao plano formado pela força e o vetor posição . Além
disso, é possível observar que ele apresenta um sentido de rotação.
 
 Figura 13 – Momento da força F em relação ao ponto O. Fonte: Autor
O momento de uma força em relação a um ponto é dado por um produto vetorial, conforme mostra a equação 11.
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Equação 11
Escrevendo os vetores posição (rx, ry e rz) e a força (Fx, Fy e Fz) em coordenadas retangulares,obtém-se o vetor momento a partir do
determinante a seguir.
∑  Fy  =  80  −  20  =  60N
∑  Fz  =  40N
→
R   =   − 30 .  i  +  60 .  j  + 40 .  k
→
F
→
r   =  
−−→
OA
→
F
−→
M
→
F
→
r
−→
M   =  
→
r   ×  
→
F
→
r
→
F
−→
M
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 ATENÇÃO
O vetor momento estará escrito em função das coordenadas retangulares.
O QUE ACONTECE QUANDO A FORÇA E O VETOR POSIÇÃO SÃO COPLANARES?
O módulo do momento aplicado por essa força, em relação a um ponto, pode ser determinado pelo produto da força pela distância do ponto à linha de
ação da força (M = F . d). Observe o esquema a seguir.
 
 Fonte: Autor
Na primeira figura, a força faz a barra girar em torno do ponto O no sentido anti-horário, então o momento é positivo. Na segunda, o sentido é horário,
logo, o momento é negativo.
ATIVIDADE
Suponha que uma força F (10, 20, 30), em N, seja aplicada num ponto A de coordenadas (1, 2, 5). Determine o momento dessa força em relação à
origem O (0, 0, 0) dos eixos x, y e z.
RESOLUÇÃO
O vetor posição
.
A força F já se encontra escrita com suas coordenadas. Assim, aplicando-se o produto vetorial , da equação 11, é possível
determinar o vetor momento.
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EQUILÍBRIO ESTÁTICO DE UM CORPO RÍGIDO
−→
M   =  
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
i j k
rx ry rz
Fx Fy Fz
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
 
→
r   =  
−−→
OA   =  A −  O =  (1,  2,  5)  −  (0,  0,  0)  =  (1,  2,  5)
−→
M   =  
→
r   ×  
→
F
−→
M   =  
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
i j k
1 2 5
10 20 30
∣
∣ 
∣ 
∣
∣
   =  60i  +  20k +  50j −  20k −  30j  −  100i  =   − 40i  +  20j  +  0k
Suponha um corpo rígido tridimensional com carregamento genérico (várias forças concentradas/distribuídas e momentos). Para garantir o equilíbrio
estático de um corpo rígido, os movimentos de translação e rotação não devem existir. Assim, estarão restritas as translações e as rotações
concernentes aos três eixos cartesianos x, y e z. A fim de garantir que a translação e a rotação de um sistema sejam nulas, a resultante das forças e a
resultante dos momentos devem ser iguais a zero. A equação 12 traduz o descrito de maneira matemática.
 E 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Equação 12
Como foi visto nos itens anteriores, é possível escrever a resultante das forças, assim como o momento resultante, em função de suas componentes
retangulares. Para garantir o equilíbrio estático do sistema, basta que cada uma das componentes retangulares seja igual a zero. Surgem, dessa
maneira, seis equações para o equilíbrio:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, as seis equações supracitadas são necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio estático do corpo rígido.
Quais equações de equilíbrio estático utilizar em diferentes situações?
PARA GARANTIR A NÃO TRANSLAÇÃO
PARA GARANTIR A NÃO ROTAÇÃO
QUANDO O CARREGAMENTO FOR NO PLANO
→
R   =  ∑ 
→
Fi  =  
→
0
−→
M   =  ∑   
−→
M i  =  
→
0
∑  Fx  =  0
∑  Fy  =  0
∑  Fz  =  0
∑  Mx  =  0
∑  My  =  0
∑  Mz  =  0
∑  Fx  =  0 ;  ∑  Fy  =  0 e ∑  Fz  =  0 
∑  Mx  =  0 ;  ∑  My  =  0 e ∑  Mz  =  0 
∑  Fx  =  0 ;  ∑  Fy  =  0 e ∑  Mz  =  0 
Obs.: Para escrever uma força a partir de dois pontos A (xA, yA, zA) e B (xB, yB, zB) de sua linha de ação, deve-se inicialmente escrever o vetor
unitário e depois multiplicá-lo pelo módulo dessa força. Segue a sequência desses passos:
 
 Fonte: Autor
DETERMINAÇÃO DO VETOR UNITÁRIO NA DIREÇÃO 
onde,
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MULTIPLICAÇÃO DO MÓDULO DE PELO VETOR UNITÁRIO. ASSIM, 
Exemplo: Considere uma força de intensidade que passe pelos pontos A (1, 3, 5) e B (4, 3, 9), tal que seu sentido seja do vetor .
Determine a força em coordenadas retangulares.
Solução: Determinação do vetor unitário na direção do vetor 
Mas,
Assim,
−−→
AB
λ−−→
AB
  =     =  B − A∣
∣
−−→
AB
∣
∣
( xB − xA; yB − yA; zB − zA)
∣
∣
−−→
AB
∣
∣
∣
∣
−−→
AB
∣
∣  =  √( xB  −  xA)
2 + (yB  −  yA)
2  +  (zB  −  zA)
2
→
F
→
F   =  λ−−→
AB
 .  F
F 100N
−−→
AB
−−→
AB
λ−−→
AB
  =     =  B − A∣
∣
−−→
AB
∣
∣
( xB − xA; yB − yA; zB − zA)
∣
∣
−−→
AB
∣
∣
λ−−→
AB
  =     =  
( 4, 3, 9) − (1, 3, 5)
∣
∣
−−→
AB
∣
∣
( 3, 0, 4)
∣
∣
−−→
AB
∣
∣
∣
∣
−−→
AB
∣
∣  =  √( xB  −  xA)
2 + (yB  −  yA)
2  +  (zB  −  zA)
2  =  √(3)2 + (0)2  +  (4)2  =  √9
λ−−→
AB
  =  
(3, 0, 4)
5
Para determinar o vetor F, basta utilizar a equação a seguir:
TEORIA NA PRÁTICA
Na Engenharia, o equilíbrio das estruturas é muito presente. Não faltam exemplos práticos, como torres de transmissão, estruturas treliçadas (Linha
Vermelha no Rio de Janeiro, por exemplo), dentre tantos outros. Em linhas gerais, o equilíbrio translacional e o rotacional devem ser garantidos nessas
estruturas. Um exemplo simplificado, porém, que não deixa de auxiliar na aplicação das equações do equilíbrio em casos práticos, será realizado. A
seguir, tem-se uma questão apresentada em um concurso.
(FCM-PB – 2015) O guindaste (também chamado de grua e, nos navios, pau de carga) é um equipamento utilizado para a elevação e a movimentação
de cargas e materiais pesados, assim como a ponte rolante a partir do princípio da Física, segundo o qual uma ou mais máquinas simples criam
vantagem mecânica para mover cargas além da capacidade humana. São comumente empregados nas indústrias, terminais portuários e
aeroportuários, onde se exige grande mobilidade no manuseio de cargas e transporte de uma fonte primária (embarcação, trem ou elemento de
transporte primário, ou mesmo avião) para uma fonte secundária (um veículo de transporte ou depósitos locais). Podem descarregar e carregar
contêineres, organizar material pesado em grandes depósitos, efetuar a movimentação de cargas pesadas na construção civil, e as conhecidas pontes
rolantes, ou guindastes móveis, são muito utilizadas nas indústrias de laminação e de motores pesados.
 
 Fonte: Concurso vestibular da FCM-PB
Um aluno, de posse de um simulador, projeta a grua acima com as seguintes características: o braço maior da grua tem comprimento de 16m, o braço
menor, 4m; o contrapeso na extremidade do braço menor tem uma massa equivalente a 0,5 toneladas, e o centro de massa coincide com a
extremidade do braço menor. A barra horizontal possui massa de 200kg, uniformemente distribuída, e a barra vertical está rigidamente fixada. De
acordo com o projeto descrito, qual o peso máximo que essa grua poderá levantar sem tombar?
RESOLUÇÃO
Equilíbrio rotacional de uma grua.
→
F   =  λ−−→
AB
 .  F
→
F   =    .  100  =  (3,  0 ,  4) .  20  =  (60,  0,  80)N(3, 0, 4)5
MÃO NA MASSA
1. EM MUITAS SITUAÇÕES DA ENGENHARIA, HÁ A NECESSIDADE DE SE CALCULAR A RESULTANTE DE ALGUMAS
FORÇAS CONCENTRADAS QUE ATUAM NUM SISTEMA. PARA SIMPLIFICAR, SUPONHA QUE DUAS FORÇAS 
 E ATUEM EM UM PONTO. DOS VALORES ABAIXO, ASSINALE O ÚNICO QUE NÃO É
POSSÍVEL PARA O MÓDULO DA RESULTANTE ENTRE E .
A) .
B) 
C) 
D) 
2. SEJA UMA VIGA AB HOMOGÊNEA DE MASSA LINEAR DE Μ KG/M ENGASTADA A UMA PAREDE E PRESA A UM
CABO DE AÇO CONSIDERADO IDEAL (INEXTENSÍVEL E SEM MASSA), CONFORME A FIGURA. O CABO DE AÇO
FORMA UM ÂNGULO Θ COM A VIGA, DISPOSTA HORIZONTALMENTE. SUPONDO O EQUILÍBRIO, DETERMINE A
TRAÇÃO (EM N) NO CABO DE AÇO EM TERMOS DE COMPONENTES RETANGULARES, SENDO O MÓDULO DA
TRAÇÃO 13KN. 
 
 FONTE: AUTOR
A) 
B) 
C) 
D) 
−→
F1  =  500N
−→
F2  =  600N
R
−→
F1
−→
F2
R = 100N
R = 400N
R = 800N
R = 1200N
→
T   =   − 5000i  +  12000j
→
T   =  12000i  +  5000j
→
T   =   − 12000i  −  5000j
→
T   =   − 12000i  +  5000j
3. CONSIDERE UMA ESTRUTURA EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO. UMA DAS FORÇAS QUE AGE NA ESTRUTURA É
DADA POR . SEJA UM PONTO A DA ESTRUTURA COM COORDENADAS (1,0,1).
DETERMINE O VETOR DO MOMENTO DA FORÇA EM RELAÇÃO À ORIGEM DOS EIXOS (0, 0, 0).
A) 
B) 
C) 
D) 
4. SEJA UMA VIGA DE 4M QUE FAZPARTE DE UMA ESTRUTURA MAIOR EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO. SENDO A VIGA
DE SEÇÃO RETANGULAR HOMOGÊNEA, DISPOSTA HORIZONTALMENTE, DE PESO 1200N E APOIADA SOBRE DOIS
APOIOS (UM DO 1º GÊNERO E OUTRO DO 2º GÊNERO). SUPONDO UMA FORÇA DE MÓDULO 400N, APLICADA
VERTICALMENTE, CONFORME A FIGURA, DETERMINE AS REAÇÕES NOS APOIOS A E B ESCRITAS EM
COORDENADAS RETANGULARES. 
 
 FONTE: AUTOR
A) 
B) 
C) 
D) 
5. SEJA UMA ANTENA DE TRANSMISSÃO CUJO PESO É 3000N PRESA VERTICALMENTE NO CHÃO E ANCORADA
POR QUATRO CABOS DE AÇO IDEAIS, CONFORME A FIGURA. SUPONHA QUE EM CADA CABO ATUE UMA FORÇA
DE TRAÇÃO CUJO MÓDULO VALHA 1000N. QUAL O VALOR DA REAÇÃO NA BASE DA ANTENA?
→
F   =  200i  +  400j  −  500k 
→
F
−→
M   =  400i  +  700j  +  400k 
−→
M   =  400i  −  700j  +  400k 
−→
M   =   − 400i  +  700j  +  400k 
−→
M   =   − 400i  −  700j  +  400k 
→
F
−−→
FA  =  900j e 
−−→
FB    =  700j
−−→
FA  =  700j e 
−−→
FB    =  900j
−−→
FA  =  800j e 
−−→
FB    =  800j
−−→
FA  =  900j e 
−−→
FB    =   − 700j
 FONTE: AUTOR
A) 
B) 
C) 
D) 
6. CONSIDERE A VIGA BIAPOIADA EM A E B, APOIOS DE SEGUNDO E PRIMEIRO GÊNEROS, RESPECTIVAMENTE.
DETERMINE OS MÓDULOS DAS REAÇÕES EM A E B, CONSIDERANDO QUE O PESO DA VIGA SEJA DESPREZÍVEL
E ELA ENCONTRE-SE EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO.
 FONTE: AUTOR
A) 600N e 600N
B) 650N e 550N
C) 900N e 700N
D) 1000N e 200N
GABARITO
1. Em muitas situações da Engenharia, há a necessidade de se calcular a resultante de algumas forças concentradas que atuam num
sistema. Para simplificar, suponha que duas forças e atuem em um ponto. Dos valores abaixo, assinale o único
que não é possível para o módulo da resultante entre e .
A alternativa "D " está correta.
→
F   =  4500j
→
F   =  5400j
→
F   =  2400j
→
F   =  5000j
−→
F1  =  500N
−→
F2  =  600N
R
−→
F1
−→
F2
 
A resultante das forças é a soma vetorial delas.
Dois vetores apresentam duas situações limites caso somados vetorialmente: quando apresentam a mesma direção e sentidos opostos e quando
apresentam a mesma direção e o mesmo sentido. No primeiro caso, a resultante é a diferença entre os módulos de , no segundo caso, a
soma dos módulos de . Sendo assim, é verdadeira a relação . No exercício, 
, ou ainda . Assim, o único valor fora desse intervalo é .
2. Seja uma viga AB homogênea de massa linear de μ kg/m engastada a uma parede e presa a um cabo de aço considerado ideal
(inextensível e sem massa), conforme a figura. O cabo de aço forma um ângulo θ com a viga, disposta horizontalmente. Supondo o
equilíbrio, determine a tração (em N) no cabo de aço em termos de componentes retangulares, sendo o módulo da tração 13kN. 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "D " está correta.
 
Na figura, tem-se um triângulo retângulo ABC de hipotenusa BC. Utilizando o teorema de Pitágoras, é possível determinar que BC = 13m. A partir das
definições das funções trigonométricas seno e cosseno, é possível escrever que e .
O módulo da tração é 13kN, ou ainda 13.000N. Assim, |T|= 13.000N
 (sentido oposto ao de i, logo – 12.000)
 (mesmo sentido de j, logo 5.000)
Assim, 
3. Considere uma estrutura em equilíbrio estático. Uma das forças que age na estrutura é dada por . Seja um
ponto A da estrutura com coordenadas (1,0,1). Determine o vetor do momento da força em relação à origem dos eixos (0, 0, 0).
A alternativa "C " está correta.
 
Determinação do vetor momento de uma força.
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
4. Seja uma viga de 4m que faz parte de uma estrutura maior em equilíbrio estático. Sendo a viga de seção retangular homogênea, disposta
horizontalmente, de peso 1200N e apoiada sobre dois apoios (um do 1º gênero e outro do 2º gênero). Supondo uma força de módulo
05:47
−→
F1 e 
−→
F2 
−→
F1 e 
−→
F2  | F1 −  F2|  ≤  R  ≤  | F1 +  F2|
|500 −  600|  ≤  R  ≤  |500  +  600| 100N   ≤  R  ≤  1100N 1200N
senθ  =   5
13
cos θ  =   12
13
Tx  =  T .   cos θ  =  13000 .     =  12000N
12
13
Ty  =  T .  senθ  =  13000 .     =  5000N
5
13
→
T   =  Txi  +  Tyj  →  
→
T   =   − 12000i  +  5000j
→
F   =  200i  +  400j  −  500k 
→
F
→
F
400N, aplicada verticalmente, conforme a figura, determine as reações nos apoios A e B escritas em coordenadas retangulares. 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "A " está correta.
 
Equilíbrio de um corpo rígido – viga biapoiada. Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
5. Seja uma antena de transmissão cujo peso é 3000N presa verticalmente no chão e ancorada por quatro cabos de aço ideais, conforme a
figura. Suponha que em cada cabo atue uma força de tração cujo módulo valha 1000N. Qual o valor da reação na base da antena?
 Fonte: Autor
A alternativa "B " está correta.
 
Determinação das forças de tração em cada um dos quatro cabos:
Cabo 1: (8,-6,0)/10 = (0,8; -0,6; 0) → = 1000. (0,8; -0,6; 0) = 800.i – 600j
Cabo 2: (0,-6,-8)/10 = (0; -0,6; -0,8) → = 1000. (0; -0,6; -0,8) = -600j – 800k
Cabo 3: (-8,-6,0)/10 = (-0,8; -0,6; 0) → = 1000. (-0,8; -0,6; 0) = -800i – 600j
Cabo 4: (0,-6,8)/10 = (0; -0,6; 0,8) → = 1000. (0; -0,6; 0,8) = -600j + 800k
Determinação da força peso: = -3000j
08:02
−→
T1 
−→
T2 
−→
T3 
−→
T4 
→
P  
Considere a força que age na base da antena.
Equilíbrio translacional:
Substituindo os valores das trações e do peso na equação anterior, tem-se:
 + 800.i – 600j - 600j – 800k - 800i – 600j - 600j + 800k – 3000j = 0
 = 5400j
Equilíbrio rotacional: Como todas as forças são concorrentes, o momento delas em relação a esse ponto é nulo. Assim, a soma dos momentos é
zero, garantindo o equilíbrio rotacional.
6. Considere a viga biapoiada em A e B, apoios de segundo e primeiro gêneros, respectivamente. Determine os módulos das reações em A e
B, considerando que o peso da viga seja desprezível e ela encontre-se em equilíbrio estático.
 Fonte: Autor
A alternativa "C " está correta.
 
Inicialmente será feita a “troca” da carga distribuída (q = 600N/m) pela concentrada equivalente F = 600 (N/m) x (2m) = 1200N atuando no ponto médio
da base do retângulo. Em seguida, será desenhado o DCL do corpo atentando para o fato de ele estar apoiado sobre A, apoio de segundo gênero,
duas reações (vertical e horizontal) e sobre o apoio B, apenas uma reação (vertical), pois trata-se de um apoio de primeiro gênero.
 
 
 Fonte: Autor
Equações para a condição de equilíbrio de um corpo no plano:
Resultante na direção x nula:
→
F  
→
R  =  0  →  
→
F   +  
→
T1  +  
→
T2  +  
→
T3  +  
→
T4  +  
→
P    =  
→
0 
→
F  
→
F  
∑  Fx  =  0,  ∑  Fy  =  0
 
 e ∑  Mz  =  0
Resultante na direção y nula:
Soma dos momentos em relação ao ponto A igual a zero (sentido anti-horário positivo):
Como . Substituindo-se o valor de na equação anterior, tem-se que , logo 
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (VUNESP – 2015 – ADAPTADA) EM UMA ACADEMIA DE GINÁSTICA, HÁ UM EQUIPAMENTO DE MUSCULAÇÃO
COMO O ESQUEMATIZADO NA FIGURA. 
 
UM PESO P É ATADO À EXTREMIDADE DE UM CABO FLEXÍVEL, INEXTENSÍVEL E DE PESO DESPREZÍVEL, QUE
PASSA PELO SULCO DE UMA ROLDANA PRESA A UMA BASE SUPERIOR. A OUTRA EXTREMIDADE DO CABO É
ATADA AO PONTO B DE UMA ALAVANCA RÍGIDA AC, DE PESO DESPREZÍVEL, ARTICULADA NA EXTREMIDADE C;
O PONTO C É FIXADO EM UM SUPORTE PRESO À BASE INFERIOR DO APARELHO. A PESSOA PRATICANTE DEVE
EXERCER UMA FORÇA VERTICAL APLICADA EM A. SÃO DADOS OS VALORES: P = 400N, CB = 20CM E AB = 60CM.
∑  Fx   =  0  →  Ax  =  0
 
∑  Fy   =  0  →  Ay  +  By  −  1200  −  400  =  0  →  Ay  +  By  =  1600
 
∑  Mz   =  0  →   − 1200 .  1  −  400 .  4  +  By .  4  =  0  →  4 .  By  =  2800N  
 
→  By  =     = 700N
2800
4
Ay  +  By  =  1600 By Ay  +  By  =  1600
Ay  =  1600  −  700  =  900N
A INTENSIDADE DA FORÇA VERTICAL APLICADA PELO PRATICANTE EM A PARA MANTER O SISTEMA EM
EQUILÍBRIO NA POSIÇÃO MOSTRADA DEVE SER DE:
A) 100N, dirigida para cima.
B) 100N, dirigida para baixo.
C) 200N, dirigida para cima
D) 200N, dirigida para baixo.
2. (CESGRANRIO – PETROBRAS – 2017) A VIGA ABC, MOSTRADA NA FIGURA, ESTÁ SOB A AÇÃO DE UMA FORÇAF, CONFORME INDICADO. 
 
 
PELA AÇÃO DA FORÇA F, A FORÇA REATIVA NO APOIO B TEM O SENTIDO DO EIXO Y, ENQUANTO AS DUAS
COMPONENTES DA FORÇA REATIVA NO APOIO A TÊM DIREÇÕES PARALELAS AOS EIXOS X E Y, SENDO UMA NO
SENTIDO DO EIXO:
A) x positivo e outra no sentido do eixo y negativo.
B) x negativo e outra no sentido do eixo y negativo.
C) x positivo e outra no sentido do eixo y positivo.
D) y negativo e outra nula, relativa ao eixo x.
GABARITO
1. (VUNESP – 2015 – adaptada) Em uma academia de ginástica, há um equipamento de musculação como o esquematizado na figura. 
 
Um peso P é atado à extremidade de um cabo flexível, inextensível e de peso desprezível, que passa pelo sulco de uma roldana presa a uma
base superior. A outra extremidade do cabo é atada ao ponto B de uma alavanca rígida AC, de peso desprezível, articulada na extremidade
C; o ponto C é fixado em um suporte preso à base inferior do aparelho. A pessoa praticante deve exercer uma força vertical aplicada em A.
São dados os valores: P = 400N, CB = 20cm e AB = 60cm. A intensidade da força vertical aplicada pelo praticante em A para manter o
sistema em equilíbrio na posição mostrada deve ser de:
A alternativa "B " está correta.
 
Desenhar o diagrama do corpo livre da barra não esquecendo de nenhuma força (tração, forças no apoio e força que o praticante exerce em A).
Aplicar a condição para que a barra não gire, ou seja, a soma dos momentos em relação ao ponto C é igual a zero. Observe o DCL da estrutura.
 Fonte: Autor
Equações do equilíbrio:
Soma dos momentos em relação ao ponto C igual a zero (sentido anti-horário positivo): 400 x 20 + F x 80 = 0. Logo, 80F = - 8000 → F = -
8000/80 → F = - 100N. O sinal negativo indica que o sentido da força é oposto ao adotado no DCL. Logo, F tem intensidade 100N e é vertical
para baixo.
2. (CESGRANRIO – Petrobras – 2017) A viga ABC, mostrada na figura, está sob a ação de uma força F, conforme indicado. 
 
 
Pela ação da força F, a força reativa no apoio B tem o sentido do eixo y, enquanto as duas componentes da força reativa no apoio A têm
direções paralelas aos eixos x e y, sendo uma no sentido do eixo:
A alternativa "A " está correta.
 
Desenhar o diagrama do corpo livre da barra não esquecendo de projetar a força F (Fy vertical para baixo e Fx horizontal para esquerda). Equilíbrio em
x, Ax será oposta a Fx, ou seja, horizontal para a direita (x positivo). Equilíbrio rotacional em relação ao ponto B. Para que a soma dos momentos de Fy
e de Ay seja nula, Ay deve ser vertical para baixo (y negativo). Observe o DCL da barra.
 Fonte: Autor
Fazendo a projeção da força F nos eixos x e y, tem-se:
 Fonte: Autor
Equilíbrio translacional em x: Ax = Fx (sentido positivo do eixo x)
Equilíbrio translacional em y: B = Ay + Fy
Equilíbrio rotacional: Momento em relação ao ponto B igual a zero. As forças Ax e Fx não exercem momento, pois suas linhas de ação passam pelo
ponto B. Assim, para que os módulos dos momentos das forças Fy e Ay sejam iguais, Ay deve ser vertical para baixo (sentido negativo de y).
MÓDULO 3
 Esquematizar o diagrama do corpo livre (DCL)
INTRODUÇÃO
As estruturas bidimensionais ou tridimensionais em equilíbrio estático sempre estão presas a apoios (vínculos) que restringem um ou mais tipos de
movimentos (translação ou rotação). Para realizar o estudo do equilíbrio do corpo rígido, há a necessidade de substituir os apoios pelas reações que
eles provocam, além dos carregamentos externos. Esse desenho representa o diagrama do corpo livre (DCL).
 
 Fonte: Autor
SISTEMA DE CORPOS RÍGIDOS
No estudo da Mecânica Clássica, um sistema pode ser composto por um ou mais corpos rígidos que estão unidos por meio de vínculos, transmissões,
contato, campos etc. A análise matemática pode ser realizada considerando o conjunto ou parte dele. Neste módulo, não abordaremos a parte
dinâmica da Mecânica, apenas a parte estática, ou seja, os equilíbrios translacional e rotacional.
DIAGRAMA DO CORPO LIVRE (DCL)
Na resolução dos problemas de Mecânica (estática), dois aspectos igualmente importantes devem ser utilizados:
Relações matemáticas do equilíbrio
É necessário ter domínio sobre os aspectos matemáticos para desenvolver o problema.

Desenho do diagrama do corpo livre
Neste caso, os aspectos físicos são fundamentais.
Qualquer dúvida a respeito do desenho do DCL implicará equações incorretas e, consequentemente, erros na solução de um problema. Sem
hierarquizar a importância de um ou de outro aspecto, é fundamental compreender perfeitamente o DCL para, depois, escrever as equações do
equilíbrio e, por fim, resolver o problema proposto.
MUITOS AUTORES DENOMINAM O DIAGRAMA DO CORPO LIVRE COMO “ISOLAR” O CORPO DO
SISTEMA. INDEPENDENTEMENTE DA NOMENCLATURA, É IMPORTANTE QUE, AO DESENHAR O
DIAGRAMA (OU ISOLAR O CORPO), VOCÊ CONSIGA REPRESENTAR POR MEIO DE FORÇAS OU
MOMENTOS OS VÍNCULOS QUE SÃO RETIRADOS NESSE ISOLAMENTO DO CORPO.
Nesse ponto, é ratificada a importância do estudo inicial dos vínculos e das reações associadas. Mais um aspecto relevante é a terceira lei de Newton,
presente na separação dos corpos no sistema. Para que você relembre o conceito da terceira lei de Newton, o próximo tópico fará uma rápida
abordagem do tema.
TERCEIRA LEI DE NEWTON
A TERCEIRA LEI DE NEWTON, TAMBÉM CONHECIDA COMO LEI DA AÇÃO E REAÇÃO, AFIRMA
QUE, QUANDO DOIS CORPOS INTERAGEM, ELES “TROCAM” FORÇAS. ESSAS FORÇAS
APRESENTAM A MESMA DIREÇÃO, O MESMO MÓDULO (INTENSIDADE) E SENTIDOS OPOSTOS.
AS FORÇAS DE AÇÃO E DE REAÇÃO ATUAM EM CORPOS DISTINTOS, PORTANTO, NÃO SE
ANULAM.
A figura 14 representa a descrição anterior.
 
 Figura 14 – Ação e reação – terceira lei de Newton. Fonte: Autor
As forças e constituem um par ação e reação e, portanto, apresentam mesma direção, mesma intensidade e sentidos opostos. A
nomenclatura indica a força que o corpo A faz no corpo B.
DESENHANDO O DCL
Para entender como desenhar o diagrama do corpo livre é fundamental perceber como os corpos ligados ao que será separado interagem com ele e
de que maneira as forças reativas (dos vínculos) atuam sobre esse corpo. Essa é a “fase física” do problema. Esse estudo deve ser extremamente
cuidadoso e talvez valha a pena “gastar” parte do tempo nessa análise para que eventuais erros não se propaguem na “fase matemática” da solução.
A figura 15 apresenta um sistema simples, mas que ajudará no início do entendimento do desenho do DCL.
A figura 15 é um sistema composto por uma alavanca homogênea de peso , um cabo de aço suposto ideal (inextensível e sem massa) e dois
vínculos denominados B e O. O objetivo é isolar a alavanca do sistema, ou seja, enxergá-la isoladamente de forma abstrata. Em outras palavras,
desenhar seu diagrama do corpo livre. Inicialmente, deve-se perceber que a barra está “interagindo” com o cabo de aço e com o apoio O, de segundo
gênero. Além disso, existe a força exercida pelo campo gravitacional da Terra, o peso. Observe o diagrama do corpo livre dessa alavanca na figura 16.
−−→
fAB
−−→
fBA
−−→
fAB
→
P
 
 Figura 15 - Sistema alavanca cabo. Fonte: Autor
 
 Figura 16 – DCL da alavanca do sistema da figura 15. Fonte: Autor
Analisando o DCL da figura 16 é possível perceber a presença de três forças:
A força peso ( ) exercida pelo campo gravitacional da Terra.
A força de tração ( ) exercida pelo cabo de aço.
A forca exercida pelo apoio de segundo gênero.
 ATENÇÃO
Nesse momento do estudo, cabem duas observações importantes. A primeira é que a força pode ser decomposta em duas componentes, sendo
uma vertical e a outra horizontal (restrições de translações nesses eixos). A segunda é que, se um corpo está em equilíbrio sob a ação de 3 forças
coplanares, ou essas forças são concorrentes (figura 16) ou são paralelas.
Observe a figura 17 em que um braço treliçado mantém em equilíbrio um corpo suspenso. Note que G é o centro de massa do braço, e A e B os
vínculos de primeiro e segundo gêneros, respectivamente.
→
P
→
T
→
F
→
F
 
 Figura 17 – Sistemacomposto por braço treliçado. Fonte: Autor
Analisando o DCL da figura 17, é possível perceber a presença de algumas forças:
A força peso do braço treliçado ( treliça) exercida pelo campo gravitacional da Terra.
A força de tração ( ) exercida pelo cabo de aço.
O peso ( ) e as reações nos apoios A e B.
 ATENÇÃO
O braço treliçado está vinculado nos apoios A e B e sua extremidade C sustenta um corpo suspenso.
Para facilitar a análise do DCL do braço, será feito simultaneamente o DCL do corpo suspenso. Observe a figura 18, em que são desenhados os DCLs
do braço treliçado e do corpo suspenso.
 
 Figura 18 – DCLs do braço treliçado e do corpo suspenso. Fonte: Autor
Analisando a figura 18, perceba que o corpo suspenso está sob a ação de duas forças indicadas:
Peso ( )
Tração ( )
E em relação aos DCLs?
As duas forças em destaque ( ) constituem um par ação-reação.
→
P
→
T
→
P
→
P
→
T
→
T
O peso do braço treliçado treliça atua em seu centro de massa (G) e surgem as reações nos vínculos A e B.
A força de tração ( ) atua na extremidade C do braço treliçado.
Uma vez que o vínculo B é do segundo gênero, ele impõe duas restrições, representadas pelas forças Bx e By.
O vínculo A, de primeiro gênero, só impõe uma restrição, por isso apenas a força Ax é indicada no DCL.
Quando você estiver dominando o desenho do diagrama do corpo livre, poderá avançar para a próxima etapa, as equações do equilíbrio e, assim,
determinar as incógnitas que aparecem no DCL. No último exemplo, são elas: Ax, Bx e By.
TEORIA NA PRÁTICA
Nos projetos de engenharia, várias são as fases até a concepção final de um produto. Neste tópico, veremos uma etapa importante em qualquer
projeto de engenharia, do mais simples ao mais complexo: o diagrama do corpo livre. Qualquer imperfeição no DCL acarretará equações de equilíbrio
erradas, o que levará a resultados diferentes dos reais.
Em qualquer situação na Engenharia, as estruturas estarão sob ação de efeitos diversos que se resumirão a dois entes físicos principais: forças e
momentos. Para a determinação dessas forças e desses momentos, dois importantes aspectos deverão ser considerados: o desenho do diagrama do
corpo livre (DCL) e as equações do equilíbrio bidimensional
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ou tridimensional
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para efeito de simplicidade no entendimento inicial do tópico, utilizaremos uma estrutura bidimensional para a análise de seu DLC. Considere o pórtico
da figura a seguir que sustenta uma carga de peso P. Os pesos das barras que constituem o pórtico serão desprezados e os pontos A, B, C, D, e F
apresentam pinos. Ratificando o que já foi estudado no módulo 1, perceba a presença de dois vínculos. Em A um apoio de segundo gênero e, em D,
um apoio de primeiro gênero.
 
 Fonte: Autor
→
P
→
T
(∑  Fx  =  0,  ∑  Fy  =  0  e∑  Mz  =  0)
(∑  Fx  =  0,  ∑  Fy  =  0,  ∑  Fz  =  0,  ∑  Mx  =  0,  ∑  My  =  0 e∑  Mz  =  0)
Na análise inicial do DCL será considerado o pórtico integralmente. As forças que agem são a tração no cabo ideal (em módulo, equivale ao peso do
corpo suspenso) e as forças reativas nos apoios A e D.
No apoio de segundo gênero, as translações nos eixos x e y são impedidas (∆x= 0 e ∆y= 0), mas não a rotação em torno do eixo z (∆θz ≠ 0). Dessa
forma, as forças Ax e Ay são marcadas no DCL. No apoio de primeiro gênero D, apenas a translação horizontal é impedida, sendo permitidas a
translação em y e a rotação em z. Matematicamente, ∆x = 0, ∆y ≠ 0 e ∆θz ≠ 0. Em termos de reações, apenas a força horizontal Dx aparece no DCL.
 
 Fonte: Autor
No segundo momento, as hastes que compõem o pórtico são separadas e seus DCLs são traçados. Os valores associados não são o objetivo desta
análise, apenas as forças de maneira genérica (os sentidos são arbitrários nesse primeiro momento). Vale a pena ressaltar a presença da terceira lei
de Newton (ação e reação). Observe o ponto B, que é a união de duas barras. Em um dos DCLs (na barra vertical), as forças que atuam são: uma
vertical para cima e uma horizontal para a direita. De acordo com a terceira lei de Newton, na barra oblíqua, as forças terão sentidos opostos
(mantendo constantes os módulos e as direções). Essa mesma análise pode ser observada em vários outros pontos de união das barras. Observe a
figura a seguir.
 
 Fonte: Autor
RESOLUÇÃO
Diagrama do corpo livre em um pórtico e aplicação da terceira lei de Newton.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UM CORPO RÍGIDO EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO SOB A AÇÃO DE APENAS TRÊS FORÇAS
COPLANARES. DESENHANDO-SE O DCL DESSE CORPO, É POSSÍVEL AFIRMAR QUE:
A) Apresentam o mesmo módulo e formam, duas a duas, ângulos de 120°.
B) São forças concorrentes em que os módulos devem ser diferentes.
C) Podem ser forças concorrentes com módulos de valores distintos ou não.
D) São forças paralelas em que os módulos de duas somados devem ser iguais ao módulo da terceira.
2. CONSIDERE UMA TORRE VIGA TRELIÇADA APOIADA EM DOIS APOIOS A E B E COM MASSA DE 120KG.
SUPONHA QUE O PESO DA TORRE SE CONCENTRE NO PONTO G E A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE LOCAL G =
10M/S2. ALÉM DISSO, O PONTO G ENCONTRA-SE NA LINHA VERTICAL QUE PASSA PELO PONTO MÉDIO DA
DISTÂNCIA ENTRE OS APOIOS. QUANTO AOS APOIOS A E B, É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 
 FONTE: AUTOR
A) Ambos os apoios são de primeiro gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600N.
B) Ambos os apoios são de segundo gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600N.
C) O apoio A é de primeiro gênero e o apoio B de segundo gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600N.
D) O apoio A é de segundo gênero e o apoio B de primeiro gênero, e as forças que atuam sobre eles são verticais e iguais a 600N.
3. (CESGRANRIO – 2011 – PETROBRAS – ADAPTADA) 
 
UMA CHAPA TRIANGULAR PLANA, DE PESO DESPREZÍVEL, É FIXADA A UMA ESTRUTURA POR MEIO DE TRÊS
PINOS POSICIONADOS EM P, Q E R, CONFORME A FIGURA. SE AS FORÇAS DOS PINOS P E Q SOBRE A CHAPA
SÃO, RESPECTIVAMENTE, PARALELA A PQ E PERPENDICULAR A QR, UMA DAS CONDIÇÕES QUE GARANTEM O
EQUILÍBRIO ESTÁTICO DA CHAPA É O FATO DE A FORÇA DO PINO R TER A DIREÇÃO:
A) Perpendicular ao segmento PR.
B) Perpendicular ao segmento PQ.
C) Paralela ao segmento PR.
D) Paralela ao segmento QR.
4. CONSIDERE UMA VIGA HOMOGÊNEA DE PESO 1,2KN ENGASTADA EM UMA PAREDE. SEU COMPRIMENTO É DE
4M E EM SUA EXTREMIDADE LIVRE EXISTE UMA FORÇA VERTICAL F DE 300N DIRIGIDA PARA BAIXO, DE
MANEIRA QUE A VIGA SE ENCONTRA EM EQUILÍBRIO ESTÁTICO. OBSERVE A FIGURA A SEGUIR. A RESPEITO
DAS REAÇÕES QUE OCORREM NO VÍNCULO QUE PRENDE A VIGA À PAREDE, É CORRETO AFIRMAR QUE: 
 
 FONTE: AUTOR
A) Existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação (momento). As forças são horizontal e vertical e apresentam
módulo igual a 1500N.
B) Existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação (momento). A força é vertical e apresenta módulo igual a 1500N.
C) Existe uma reação que impede a translação (força) e uma que impede a rotação (momento). A força é horizontal e apresenta módulo igual a 1500N.
D) Existem duas reações que impedem a translação (forças) e uma que impede a rotação (momento). As forças são horizontal e vertical e apresentam
módulo igual a 750N.
5. CONSIDERE UMA VIGA AC ENGASTADA EM UMA DE SUAS EXTREMIDADES (A) E COM O CARREGAMENTO
DISTRIBUÍDO TRIANGULAR QUE VARIA DE 10 KN/M ATÉ 0, CONFORME MOSTRADO NA FIGURA. SUPONHA QUE
ESSA VIGA TENHA PESO DESPREZÍVEL E QUE AC = 6M E BC = 4M. 
 
 VIGA ENGASTADA “EM BALANÇO”. FONTE: AUTOR
AO SE DESENHAR O DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DESSA VIGA, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) No ponto A, atuarão duas forças (uma vertical e outra horizontal). A carga distribuída será trocada por uma força concentrada de módulo 60kN no
ponto médio da viga, ou seja, a 3m do ponto A.
B) No ponto A, atuará apenas uma força (vertical). A carga distribuída serátrocada por uma força concentrada de módulo 60kN localizada no ponto B,
ou seja, a 2m do ponto A.
C) No ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será trocada por uma força concentrada de módulo 30kN no ponto
médio da viga, ou seja, a 3m do ponto A.
D) No ponto A, atuarão uma força (vertical) e um momento. A carga distribuída será trocada por uma força concentrada de módulo 30kN no ponto B da
viga, ou seja, a 2m do ponto A.
6. (CESGRANRIO – 2010 – PETROBRAS – ADAPTADA) 
 
 FONTE: AUTOR
A FIGURA ACIMA ILUSTRA UMA BARRA HOMOGÊNEA ARTICULADA EM A, QUE ESTÁ MANTIDA EM EQUILÍBRIO,
NA HORIZONTAL, SUSTENTADA POR UM CABO INEXTENSÍVEL E DE MASSA DESPREZÍVEL. CONSIDERE QUE A
BARRA TENHA PESO 200N E O ÂNGULO Θ VALHA 30O. FAZENDO O DESENHO DO CORPO LIVRE, É POSSÍVEL
AFIRMAR QUE:
A) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são necessariamente concorrentes e seus módulos são todos iguais a
200N.
B) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são necessariamente concorrentes e seus módulos são todos iguais a
200N.
C) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) são necessariamente concorrentes e os módulos de T e F somam 200N.
D) As forças de tração (T), do peso da barra (P) e da reação no apoio A (F) não são necessariamente concorrentes e os módulos de T e F somam
200N.
GABARITO
1. Considere um corpo rígido em equilíbrio estático sob a ação de apenas três forças coplanares. Desenhando-se o DCL desse corpo, é
possível afirmar que:
A alternativa "C " está correta.
 
Em um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de apenas três forças coplanares, duas condições geométricas são possíveis para essas forças: ou elas
são concorrentes, ou paralelas (teorema). Observe a figura a seguir.
 Fonte: Autor
2. Considere uma torre viga treliçada apoiada em dois apoios A e B e com massa de 120kg. Suponha que o peso da torre se concentre no
ponto G e a aceleração da gravidade local g = 10m/s2. Além disso, o ponto G encontra-se na linha vertical que passa pelo ponto médio da
distância entre os apoios. Quanto aos apoios A e B, é correto afirmar que: 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "C " está correta.
 
Diagrama do corpo livre e equilíbrio do corpo bidimensional. Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
3. (CESGRANRIO – 2011 – Petrobras – adaptada) 
 
Uma chapa triangular plana, de peso desprezível, é fixada a uma estrutura por meio de três pinos posicionados em P, Q e R, conforme a
figura. Se as forças dos pinos P e Q sobre a chapa são, respectivamente, paralela a PQ e perpendicular a QR, uma das condições que
garantem o equilíbrio estático da chapa é o fato de a força do pino R ter a direção:
A alternativa "D " está correta.
 
Aplicação do teorema das três forças coplanares em corpos em equilíbrio. 
Assista ao vídeo para conferir a solução da questão.
4. Considere uma viga homogênea de peso 1,2kN engastada em uma parede. Seu comprimento é de 4m e em sua extremidade livre existe
uma força vertical F de 300N dirigida para baixo, de maneira que a viga se encontra em equilíbrio estático. Observe a figura a seguir. A
respeito das reações que ocorrem no vínculo que prende a viga à parede, é correto afirmar que: 
 
06:30
06:11
 Fonte: Autor
A alternativa "B " está correta.
 
A viga está engastada na parede, conforme a figura da questão. Esse apoio (engaste) impede a translação (representada por força) e a rotação
(representada por momento). O DCL da viga apresenta-se na figura a seguir:
 Fonte: Autor
Equações para a condição de equilíbrio de um corpo no plano:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultante na direção x nula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resultante na direção y nula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Soma dos momentos em relação ao engaste igual a zero (sentido anti-horário positivo):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Considere uma viga AC engastada em uma de suas extremidades (A) e com o carregamento distribuído triangular que varia de 10 kN/m
até 0, conforme mostrado na figura. Suponha que essa viga tenha peso desprezível e que AC = 6m e BC = 4m. 
 
∑  Fx  =  0,  ∑  Fy  =  0,  ∑  Mz  =  0
∑  Fx  =  0  →  H  =  0
∑  Fy  =  0  →   − F   −  P   +  V   =  0  →   − 300  −  1200  =   − V   →  V   =  1500N
∑  Mz  =  0  →  M −  1200 .  2  −  300 .  4  =  0  →  M   −  2400  −  1200  =  0 
→  M   =  3600N . m
 Viga engastada “em balanço”. Fonte: Autor
Ao se desenhar o diagrama de corpo livre dessa viga, é correto afirmar que:
A alternativa "D " está correta.
 
 Fonte: Autor
No engaste (ponto A), podem surgir três reações associadas às restrições (duas forças e um momento). Como o carregamento da barra é apenas
vertical, não há tendência ao movimento na horizontal e, portanto, a força associada é igual a zero.
No carregamento distribuído triangular, a carga concentrada equivalente corresponde à área do triângulo e localiza-se a
1/3 do ângulo reto do triângulo, isto é, do ponto A. Nesse caso, como a base tem 6m de comprimento, a carga se localizará a 2m
do ponto A, ou seja, no ponto B. Além disso, surge uma reação de momento no engaste A.
6. (CESGRANRIO – 2010 – Petrobras – adaptada) 
 
 Fonte: Autor
A figura acima ilustra uma barra homogênea articulada em A, que está mantida em equilíbrio, na horizontal, sustentada por um cabo
inextensível e de massa desprezível. Considere que a barra tenha peso 200N e o ângulo θ valha 30o. Fazendo o desenho do corpo livre, é
possível afirmar que:
(   =     =  30  kN  )b . h
2
6 . 10
2
(  .  6m  =  2m)1
3
A alternativa "A " está correta.
 
Diagrama do corpo livre da barra:
 
 
 Fonte: Autor
Como a barra está em equilíbrio sob a ação de três forças coplanares, essas são concorrentes ou paralelas. Pelo DCL, é possível afirmar que elas são
concorrentes.
 Fonte: Autor
O ângulo que as forças P e T formam vale 60o e, pela simetria do DCL, o triângulo acima é equilátero (todos os lados são congruentes), ou seja, os
módulos de T, F e P são iguais a 200N.
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE UMA SEMIESFERA DE RAIO R E CENTRO O APOIADA EM UM PLANO HORIZONTAL E UMA BARRA
AB DE COMPRIMENTO L < 2R. A CONFIGURAÇÃO DE EQUILÍBRIO É MOSTRADA NA FIGURA. DESCONSIDERANDO
O ATRITO ENTRE A BARRA E A SEMIESFERA, É CORRETO AFIRMAR SOBRE A BARRA QUE: 
 
 FONTE: AUTOR
A) A força exercida na barra, no ponto A, nunca terá linha de ação passando pelo centro O.
B) A força exercida na barra, no ponto B, nunca terá linha de ação passando pelo centro O.
C) A barra deverá ser homogênea para o equilíbrio mostrado na figura.
D) A barra nunca poderá ser homogênea para o equilíbrio mostrado na figura.
2. CONSIDERE A FIGURA ABAIXO EM QUE O SISTEMA É FORMADO POR UMA BARRA AO, DOIS APOIOS O E B E
UM CABO IDEAL. AS PROJEÇÕES DAS FORÇAS QUE AGEM NA BARRA, NO PONTO O, TÊM MÓDULOS 15N (NA
HORIZONTAL) E 20N (NA VERTICAL). 
 
 SISTEMA ALAVANCA-CABO. FONTE: AUTOR
A PARTIR DO DCL DA BARRA, É VERDADE QUE NO APOIO O AS FORÇAS QUE AGEM SÃO:
A) Uma vertical para cima, de módulo 20N, e uma horizontal para a direita, de módulo 15N.
B) Uma vertical para baixo, de módulo 20N, e uma horizontal para a esquerda, de módulo 15N.
C) Apenas uma força vertical para cima, de módulo 20N.
D) Apenas uma força horizontal para a direita, de módulo 15N.
GABARITO
1. Considere uma semiesfera de raio R e centro O apoiada em um plano horizontal e uma barra AB de comprimento L < 2R. A configuração
de equilíbrio é mostrada na figura. Desconsiderando o atrito entre a barra e a semiesfera, é correto afirmar sobre a barra que: 
 
 Fonte: Autor
A alternativa "D " está correta.
 
Desenhar o diagrama do corpo livre da barra, conforme figura abaixo. Como não existe atrito, as forças em A e B serão normais e, portanto,devem
passar pelo centro da semiesfera. Como a barra está em equilíbrio sob a ação de três forças (seu próprio peso), elas devem ser concorrentes. Assim,
a linha de ação da força peso não passará pelo centro geométrico da barra, ou seja, ela não será homogênea.
 
 
 Fonte: Autor
2. Considere a figura abaixo em que o sistema é formado por uma barra AO, dois apoios O e B e um cabo ideal. As projeções das forças que
agem na barra, no ponto O, têm módulos 15N (na horizontal) e 20N (na vertical). 
 
 Sistema alavanca-cabo. Fonte: Autor
A partir do DCL da barra, é verdade que no apoio O as forças que agem são:
A alternativa "B " está correta.
 
Inicialmente, serão desenhados o DCL da barra e as projeções das forças nos apoios, conforme a figura.
 Fonte: Autor
A partir da terceira lei de Newton, se na extremidade O da barra agem duas forças: uma vertical para cima e uma horizontal para a direita, no apoio O
as forças apresentam direções e módulos iguais às que agem na barra e sentidos opostos, isto é, uma vertical para baixo e uma horizontal para a
esquerda. Segundo a terceira lei de Newton, as forças do par ação e reação apresentam mesmo módulo. Dessa forma, os módulos das forças que
agem no apoio serão iguais a 15N (horizontal) e 20N (vertical).
MÓDULO 4
 Reconhecer as reações nos vínculos de uma estrutura bidimensional
INTRODUÇÃO
Nos módulos anteriores, os vínculos (apoios) foram apresentados gradativamente para que alguns conceitos começassem a ser entendidos. Neste
módulo, aprofundaremos esse estudo. Lembre-se sempre de que desenhar o diagrama do corpo livre é uma etapa primordial na resolução de
problemas e, para tanto, é necessário o perfeito conhecimento dos vínculos e das suas reações.
VÍNCULOS
Quando se imagina uma estrutura em equilíbrio estático, deve-se fazer uma associação a vínculos que a mantêm “presa”. De forma mais técnica,
apoios restringem movimentos de um corpo rígido ou de um sistema de corpos rígidos. São seis possibilidades, portanto. O impedimento de
translações nas direções dos eixos cartesianos x, y e z e o impedimento de rotações em torno desses mesmos eixos. A situação ora exposta é a mais
genérica possível e pode ocorrer para corpos com carregamentos tridimensionais. Uma abordagem mais simples, porém não menos importante e
muito frequente na Engenharia, é o carregamento bidimensional. Dessa forma, faremos a releitura de alguns tópicos já apresentados, mas
acrescentando novos conceitos.
 RELEMBRANDO
No estudo do equilíbrio estático de uma estrutura com carregamento no plano que vimos no módulo 1, é possível classificar os apoios em três classes.
Antes de continuar o estudo, é importante relembrar que, sendo o carregamento das forças no plano xy, os momentos gerados por elas serão vetores
com a direção do eixo z (perpendicular ao plano xy). A explicação surge da definição de momento de uma força, que é o produto vetorial entre os
vetores posição e força.
 RESUMINDO
Em resumo, para o carregamento bidimensional, as forças reativas estarão no plano xy (podendo ser decompostas em suas projeções Fx e Fy) e os
momentos estarão perpendiculares ao plano xy, podendo o vetor estar “entrando” ou “saindo” desse plano.
A partir dos aspectos descritos, faremos uma classificação dos apoios em estruturas bidimensionais e associação das reações (forças/momentos). A
classificação é apenas uma ferramenta didática. O importante é que você reconheça o tipo de vínculo e saiba substituí-lo pelas restrições que ele
promove à estrutura.
OS VÍNCULOS E SUAS REAÇÕES
Com as premissas impostas no estudo de estruturas com carregamento bidimensional, é fácil concluir que três são os graus de liberdade dessa
estrutura quando desconectada de um ou mais vínculos: translação no eixo x, translação no eixo y e rotação em torno do eixo z.
APOIO DE PRIMEIRO GÊNERO
Neste vínculo, a ação da força é previamente conhecida. Contudo, o seu módulo é uma incógnita a ser descoberta. Em sua obra, os autores Beer e
Johnston (1976) citam alguns exemplos desse tipo de apoio: roletes, balancins, superfícies lisas, cabos curtos, bielas, cursores e pinos deslizantes.
Obs.: Você pode encontrar os apoios citados nas obras indicadas no Explore +.
A figura 19 mostra alguns desses vínculos e a reação que determina a restrição, com sua linha de ação. Como regra, o sentido da força reativa é
indefinido. Após o cálculo, valores positivos ratificam a escolha do sentido desenhado no DLC e valores negativos informam que o sentido arbitrado
inicialmente é oposto ao real.
Observando a figura 19, perceba a transição entre a estrutura e o desenho do diagrama do corpo livre. Por exemplo, uma estrutura que possua um
vínculo do tipo balancim, quando seu DCL for desenhado, deverá ser feita a troca por uma força única perpendicular à superfície. De maneira análoga,
o procedimento é repetido para os demais vínculos. Fica explícita a importância de identificar o vínculo por sua representação geométrica e saber
efetuar a troca pela reação correta no desenho do diagrama do corpo livre.
 
 Figura 19 – Apoios de primeiro gênero. Fonte: Autor
APOIO DE SEGUNDO GÊNERO
Neste vínculo, tanto a linha de ação da força como o seu módulo são desconhecidos. São duas incógnitas a serem descobertas. Muitas vezes, faz-se
a opção de substituir essa força com linha de ação desconhecida por suas projeções ortogonais. Em sua obra, os autores Beer e Johnston (1976)
citam alguns exemplos desse apoio: os pinos regulares em orifícios ajustados, rótulas e superfícies rugosas.
Obs.: Você pode encontrar os apoios citados nas obras indicadas no Explore +.
A figura 20 mostra esses vínculos e as reações que impõem à restrição. Da mesma maneira que explicado no item (a), o sentido das forças reativas é
indefinido. Após o cálculo, valores ratificam ou não a escolha do sentido desenhado no DLC. Valores positivos confirmam a escolha inicial e valores
negativos informam que o sentido arbitrado inicialmente é oposto ao real.
 
 Figura 20 – Apoios de segundo gênero. Fonte: Autor
APOIO DE TERCEIRO GÊNERO
Neste vínculo, as restrições impostas não são apenas de translação como nos dois primeiros tipos de vínculos. Soma-se uma restrição, a rotação.
Sendo assim, a ação da força, seu módulo e o momento são desconhecidos. São três incógnitas a serem descobertas. É comum utilizar as duas
projeções ortogonais da força reativa e o momento na troca do vínculo ao se desenhar o diagrama do corpo livre. Assim como explicado nos itens (a) e
(b), os sentidos são inicialmente arbitrados e depois ratificados ou não pelos valores positivo ou negativo encontrados. O exemplo clássico desse apoio
é o engaste, mostrado na figura 21. Observe o DCL e o número de restrições.
 
 Figura 21 – Apoios de terceiro gênero. Fonte: Autor
TEORIA NA PRÁTICA
As estruturas em equilíbrio estático na Engenharia apresentam-se vinculadas. Considerando um carregamento bidimensional, vimos as possibilidades
de apoios. Um exemplo que reflete uma tendência atual na engenharia civil é o das pontes estaiadas, cuja beleza é incontestável. Vários são os
exemplos pelo mundo. A de Millau, na França, as das cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo etc.
Esquematicamente, a figura seguinte representa uma ponte estaiada e seus vários apoios, evidenciando algumas reações nos vínculos. É possível
perceber os três gêneros de apoios. Além disso, os cabos apresentam papel estrutural na fixação dos tabuleiros das pontes estaiadas.
 
 Esboço de uma ponte estaiada e as reações nos apoios. Fonte: Autor
Na figura, são colocadas de maneira genérica (os sentidos das forças e dos momentos são meramente ilustrativos) as reações que podem surgir nos
diversos apoios, todas em função do grau de liberdade que cada apoio proporciona, ou ainda, das restrições impostas por eles. Genericamente, após
o desenho do DCL, devem ser aplicadas as equações do equilíbrio, ou seja,
,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∑  Fx  =  0,  ∑