Capitulo 3 Portas Logicas e Algebra Booleana

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CAPÍTULO 3
PORTAS LÓGICAS E 
ÁLGEBRA BOOLEANA
• Introdução
• Tabela Verdade
• Operações OR e AND
• Portas OR e AND
• Inversor
• Expressões Algébricas
• Portas NAND e NOR
• Teoremas Booleanos
Introdução
• A álgebra booleana nos permite descrever algebrica-
mente as relações entre as saídas e as entradas dos 
circuitos lógicos.
• As portas lógicas são os blocos fundamentais a partir dos 
quais todos os circuitos digitais são construídos.
• A álgebra booleana é uma ferramenta usada na 
descrição, na análise, no projeto e na implementação dos 
circuitos digitais.
• Bem mais simples que a álgebra convencional. As 
variáveis possuem só dois valores possíveis: 0 e 1. 
(níveis lógicos) e apenas três operações básicas 
(operações lógicas): OR (OU), AND (E) e NOT (NÃO) 
Tabela Verdade
• Exemplo de tabela verdade para: (a) duas entradas, (b) três 
entradas, (c) quatro entradas:
Tabela Verdade
• Técnica que serve para determinar como a saída de um 
circuito lógico depende dos níveis lógicos presentes nas 
entradas do circuito.
• A tabela verdade relaciona todas as possíveis 
combinações para os níveis lógicos presentes nas 
entradas.
• Se o número de entradas de um circuito for �, o número 
de linhas da tabela verdade será 2�.
• Geralmente a tabela verdade é construída com as 
entradas variando em sequência, numa contagem binária 
crescente.
Operação OR (OU) e a Porta OR
• A operação OU de duas entradas A e B produz um nível 
lógico 1 como resultado se a entrada A ou a entrada B 
estiverem em nível lógico 1. 
• A expressão booleana para a operação OU é:
� = � + �
• Para três entradas, teremos:
� = � + � + 	
• Se A, B e C forem 1, teremos � = 1 + 1 + 1 = 1
Operação OR (OU) e a Porta OR
• Uma porta OR é um circuito com duas ou mais entradas 
que implementa a operação OU
Exemplo
• Uso de uma porta OR em um sistema de alarme. O alarme 
deve ser ativado quando a temperatura OU a pressão 
excederem os seus respectivos limites (dados por ��
 e ��
). 
Exemplo
• Determine a saída da porta OR. As entradas A e B variam 
de acordo com o diagrama de tempo mostrado.
A 1
0
B 1
0
saída 1
0
�� �� �� �� �� �� �� ��
tempo
Operação AND (E) e a Porta AND
• A operação AND de duas entradas A e B produz um nível 
lógico 1 como resultado somente se ambas as entradas A 
e B estiverem em nível lógico 1. 
• A expressão booleana para a operação AND é:
� = �. � = ��
• Para três entradas, teremos:
� = �. �. 	 = ��	
Operação AND (E) e a Porta AND
• Uma porta AND é um circuito com duas ou mais entradas 
que implementa a operação E
Exemplo
• Determine a saída da porta AND. As entradas A e B 
variam de acordo com o diagrama de tempo mostrado.
A 1
0
B 1
0
saída 1
0
�� �� �� �� �� �� �� ��
tempo
Exemplo de uso de uma porta AND
• Uma porta AND é muito usada quando se quer habilitar 
(enable) o clock ou um circuito.
Resumo das Operações OR e AND
• A operação OR gera um resultado (saída) 1 sempre que 
qualquer das entradas for 1. Caso contrário a saída é 0.
• Uma porta OR é o circuito que realiza a operação OR
• A expressão � = � + � é lida assim: “x é igual a A OU B”
• A operação AND é realizada da mesma maneira que a 
multiplicação convencional de 1s e 0s.
• Uma porta AND é o circuito lógico que realiza a operação 
AND
• A saída de uma porta AND será 1 apenas quando todas
as entradas forem 1. Para todos os outros casos a saída 
é 0.
Operação NOT (NÃO) ou Inversor
• Diferentemente de AND e OR, a operação NOT pode ser 
realizada sobre uma única variável de entrada. 
Algebricamente escrevemos:
� = �̅
• A barra sobre a variável representa o inversor.
• A expressão significa: “x é igual a A negado”
• Outras alternativas:
• “x é igual ao inverso de A“
• “x é igual ao complemento de A“
• “x é igual a A barrado“
• O inversor sempre tem só uma entrada e seu nível lógico 
da saída é o oposto ao nível lógico da entrada.
• Implementação com Transistor:
Circuito Inversor
A Vout
0V 6V
6V 0V
Resumo das Operações Lógicas 
Booleanas
OR AND NOT
0 + 0 = 0 0 ∙ 0 = 0 0� = 1
0 + 1 = 1 0 ∙ 1 = 0 1� = 0
1 + 0 = 1 1 ∙ 0 = 0
1 + 1 = 1 1 ∙ 1 = 1
• Questões:
• Qual será a tabela verdade de uma porta OR com uma função 
NOT ligada à sua saída?
• E para uma porta AND?
• Você consegue criar uma porta AND através de uma porta OR e 
alguns inversores?
• E criar uma porta OR usando a porta AND e inversores?
Descrevendo Circuitos Lógicos 
Algebricamente
• As portas AND, OR e NOT são os blocos fundamentais 
dos circuitos digitais
• Portanto qualquer circuito pode ser descrito através 
dessas três funções.
• Quando combinamos portas lógicas, uma expressão 
booleana será a variável de entrada de alguma porta 
lógica.
• Ao combinar expressões AND e OR, a operação AND é 
realizada primeiro, como na álgebra comum para a 
operação de multiplicação.
• Parêntesis são usados para se alterar a precedência.
Exemplos
�
�
� ∙ �
	
� = � ∙ � + 	
�
�
� + �
	
� = � + � ∙ 	
�
�
�
�
�̅
� = �̅ + �
� + �
� = � + �
Exercícios
• Nos circuitos abaixo: (a) escreva a expressão booleana para a saída x. 
(b) troque cada porta AND por porta OR e cada porta OR por porta 
AND e escreva novamente a expressão booleana para a saída x para 
os dois circuitos.
�
�
�
	
�
�
�
	
�
�
�
Avaliando a Saída dos Circuitos Lógicos
• Uma vez de posse da expressão Booleana para a saída 
de um circuito, podemos obter o nível lógico da saída 
para qualquer combinação de níveis lógicos de entrada.
• Basta substituir na expressão os 0s e 1s e avaliar o 
resultado. Por exemplo:
• Avaliar � = �̅�	 � + � para o caso em que � = 0, � = 1,
	 = 1	e � = 1
� = �̅�	 � + �
� = 0� ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1
� = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0 + 1
� = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 1�
� = 1 ∙ 1 ∙ 1 ∙ 0
� = 0
Avaliando a Saída dos Circuitos Lógicos
• Outro exemplo: Avaliar � = � + � + � 	 ∙ � para o 
caso em que � = 0, � = 0, 	 = 1, � = 1	 e � = 1
� = � + � + � 	 ∙ �
� = 1 + 0 + 0 ∙ 1 ∙ 1
� = 1 + 0 ∙ 1 ∙ 1
� = 1 + 0� ∙ 1
� = 1 + 1 ∙ 1
� = 1 ∙ 1
� = 1
Determinando o nível lógico da saída a 
partir de um diagrama
�
�
�
	
�
�
�
	
�
�
�
1
0
0
0
00
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(1)
(2)
Exercícios
• Para os circuitos apresentados no slide anterior:
1. Use a expressão do circuito em (1) para determinar a 
saída do circuito para as condições: � = 0, � = 1,
	 = 1	e � = 0.
2. Use a expressão do circuito em (2) para determinar a 
saída do circuito para as condições: A = � = � = 1 e
C = � = 0.
3. Determine as respostas das questões anteriores a 
partir do diagrama.
Implementando circuitos a partir de 
expressões Booleanas
• Podemos desenhar um circuito a partir da expressão 
Booleana.
• Seja, por ex., a expressão Booleana " = �	 + �	̅ + �̅�	
• A expressão possui uma operação OR com três entradas 
que são os termos �	, �	̅ e �̅�	, como abaixo:
�	
�	̅
�̅�	
" = �	 + �	̅ + �̅�	
Implementando circuitos a partir de 
expressões Booleanas
�	
�	̅
�̅�	
" = �	 + �	̅ + �̅�	
	̅
�
	
�
�
�
	
�
	
�̅
Exercícios
Para cada uma das expressões a seguir, desenhe o 
circuito lógico correspondente usando portas AND, OR e 
INVERSORES:
a) � = �� 	 + �
b) � = � + � + 	̅��� + ��	�&
c) � = ( + � + )�*
d) � = , + )*�
e) � = (� ) + �&
f) � = � + � �̅ + ��
Porta NAND e NOR
Porta NAND e NOR
Exemplo
• Implemente o circuito lógico que tem como expressão 
� = �� ∙ 	 � � usando apenas portas NOR e NAND. 
Em seguida determine a saída do circuito para � � � �� 1 e � � 0.
	
�
�
�
	 � �
� � �� ∙ 	 � �
1
11
1
0
0
Teoremas Booleanos (portas AND)
(1) � ∙ 0 � 0
(2) � ∙ 1 � �
(3) � ∙ � � �
(4) � ∙ �̅ � 0
Teoremas Booleanos (portas OR)
(1) � + 0 � �
(2) � � 1 � 1
(3) � � � � �
(4) � � �̅ � 1
Teoremas com mais de uma variável
(9) � + " = " + �
(10) � ∙ " = " ∙ �
(11) � + " + / = � + " + / = � + " + /
(12) x "/ = �" / = �"/
(13a) � " + / = �" + �/
(13b) 1 + � " + / = 1" + �" + 1/ + �/
(14) � + �" = �
(15a) � + �̅" = � + "
(15b) �̅ + �" = �̅ + "
Leis comutativas
Leis associativas
Leis distributivas
Teoremas com mais de uma variável
• Prova do teorema 15a (análogo para o 15b):
� + �̅" =
�("� + ") + �̅" =
�"� + �" + �̅" =
�"� + �" + �" + �̅" =
�("� + ") + "(� + �̅) =
�. 1 + ". 1 =
� + " =
� + �̅" = � + "
Exercícios
Simplifique as expressões booleanas abaixo:
a) " = ���� + ����&
b) / = �̅ + � � + �
c) � = �	� + �̅�	�
d) " = �	̅ + ��	̅ (use o teorema 14, ou 13 e 6)
e) " = �̅��	�& + �̅��	̅�& (use os teoremas 13 e 8)
f) " = ��& + ��� (use os teoremas 13 e 15b)
Teoremas de Demorgan
• Os dois teoremas de Demorgan são extremamente úteis:
(16) � + " = �̅ ∙ "�
(17) � ∙ " = �̅ + "�
Aplicação de Demorgan
Simplifique as expressões abaixo para que elas tenham 
somente variáveis simples invertidas:
a) ��� + 	
b) �̅ + 	 ∙ � + �&
c) � + �� + 	
d) � + �	 ∙ � + �3
Universalidade das portas NAND e NOR
• Equivalência de portas NAND
Universalidade das portas NAND e NOR
• Equivalência de portas NOR
Circuitos Integrados
• As portas lógicas estão disponíveis em Circuitos 
Integrados. Dois exemplos da família TTL são:
HP9845 Desktop (anos 70)
Símbolos Lógicos Padrão IEEE/ANSI
Exercícios
(1) Encontre um circuito equivalente utilizando apenas 
portas NAND. Repita o exercício utilizando somente portas 
NOR
Exercícios
(2) Sabendo que o alarme é ativado quando 4 = 1, 
determine em que combinações de entrada o alarme é 
ativado
Exercícios
(3) Sabendo que o sinal MEM é ativo quando em nível 
lógico 1, determine em que condições de entrada ele é 
ativado.
Exercícios
(4) Determine em que condições o sinal DRIVE assume 
nível lógico alto.
Exercícios
(5) Desenhe o diagrama de tempo com forma de onda da 
saída x.
Exercícios
(6) Obtenha as expressões Booleanas e as Tabelas 
Verdade para os circuitos (a) e (b) abaixo.
Exercícios
(7) Desenhe o diagrama de tempo com forma de onda da 
saída x.
Exercícios
(8) Imagine que os sensores mostrados abaixo monitoram 
um motor. Quando a operação do motor não é normal, 
uma luz de advertência é acesa. Em que circunstâncias ela 
acenderá?
Exercícios
(9) Em que circunstâncias o LED acenderá?
Exercícios
(10) Dado o 
circuito ao lado, 
redesenhe o 
circuito usando 
um menor 
número de 
portas, sem 
restrições 
(AND, OR, 
NAND, NOR e 
INVERSOR). 
Encontre 
também a 
tabela verdade 
para o circuito.