Prova CN 1983-1984 (Resolução M)

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X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares Renato Madeira 
 
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Sumário 
INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 2 
CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS ........................................................................................................... 3 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1984/1985 .................................................. 3 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1983/1984 ................................................ 10 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – FAIXA BÔNUS ...................................... 16 
CAPÍTULO 2 ....................................................................................................................................... 25 
RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES ..................................................................... 25 
QUADRO RESUMO DAS QUESTÕES DE 1984 A 2016 ........................................................ 28 
CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES POR ASSUNTO ........................................................... 29 
CAPÍTULO 3 ....................................................................................................................................... 33 
ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES ..................................................................................................... 33 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1984/1985 ................................................ 33 
NOTA 1: PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO .............................................................. 50 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1983/1984 ................................................ 64 
NOTA 2: ÁREAS DE REGIÕES CIRCULARES ...................................................................... 80 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – FAIXA BÔNUS ...................................... 90 
NOTA 3: RELAÇÕES MÉTRICAS EM UM TRIÂNGULO QUALQUER .............................. 91 
NOTA 4: PROBLEMAS TIPO TORNEIRA ............................................................................ 118 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Esse livro é uma coletânea com as questões das Provas de Matemática do Concurso de Admissão ao 
Colégio Naval (CN) dos anos de 1984 a 2016, mais uma “faixa bônus” com 40 questões anteriores a 
1984, detalhadamente resolvidas e classificadas por assunto. Na parte G serão apresentadas as provas 
de 1984, 1985 e a Faixa Bônus, totalizando 90 questões. 
No capítulo 1 encontram-se os enunciados das provas, para que o estudante tente resolvê-las de 
maneira independente. 
No capítulo 2 encontram-se as respostas às questões e a sua classificação por assunto. É apresentada 
também uma análise da incidência dos assuntos nesses 35 anos de prova. 
No capítulo 3 encontram-se as resoluções das questões. É desejável que o estudante tente resolver as 
questões com afinco antes de recorrer à sua resolução. 
Espero que este livro seja útil para aqueles que estejam se preparando para o concurso da Colégio 
Naval ou concursos afins e também para aqueles que apreciam Matemática. 
 
Renato de Oliveira Caldas Madeira é engenheiro aeronáutico pelo Instituto Tecnológico de 
Aeronáutica (ITA) da turma de 1997 e Mestre em Matemática Aplicada pelo Fundação Getúlio Vargas 
(FGV-RJ); participou de olimpíadas de Matemática no início da década de 90, tendo sido medalhista 
em competições nacionais e internacionais; trabalha com preparação em Matemática para concursos 
militares há 20 anos e é autor do blog “Mademática”. 
 
AGRADECIMENTOS 
 
Gostaria de agradecer aos professores que me inspiraram a trilhar esse caminho e à minha família pelo 
apoio, especialmente, aos meus pais, Cézar e Sueli, pela dedicação e amor. 
Gostaria ainda de dedicar esse livro à minha esposa Poliana pela ajuda, compreensão e amor durante 
toda a vida e, em particular, durante toda a elaboração dessa obra e a meus filhos Daniel e Davi que 
eu espero sejam futuros leitores deste livro. 
 
Renato Madeira 
 
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volumes da coleção X-MAT! 
Volumes já lançados: 
Livro X-MAT Volume 1 EPCAr 2011-2015 
Livro X-MAT Volume 2 AFA 2010-2015 
Livro X-MAT Volume 3 EFOMM 2009-2015 
Livro X-MAT Volume 4 ESCOLA NAVAL 2010-2015 
Livro X-MAT Volume 6 EsPCEx 2011-2016 
 
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ENUNCIADOS CN 1984-1985 
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CAPÍTULO 1 - ENUNCIADOS 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1984/1985 
 
 
1) Dado dois conjuntos A e B tais que: 
- O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250 . 
- B tem 15 subconjuntos não vazios. 
O produto cartesiano de A por B tem 
(A) 8 elementos 
(B) 12 elementos 
(C) 16 elementos 
(D) 28 elementos 
(E) 32elementos 
 
2) O valor da expressão 
1
23 0
1 2 1
0,666
6 3 1,333

 
         
     
 é: 
(A) 
2
5
 
(B) 
2
5
 
(C) 
5
2
 
(D) 
5 2
2
 
(E) 
2 5
5
 
 
3) Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Severino constrói 15 
cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 
horas por dia, produzirão 250 cadeiras em: 
(A) 15dias 
(B) 16 dias 
(C) 18 dias 
(D) 20 dias 
(E) 24 dias 
 
4) A soma de todas as raízes da equação       3x 12 x 2 x 2 3x 12 x 6       é: 
(A) 3 
(B) 1 
(C) 0 
(D) 1 
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(E) 3 
 
5) Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do 
ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendido entre 
(A) 70 e 80 . 
(B) 100 e 120 . 
(C) 120 e 130 . 
(D) 140 e 150 . 
(E) 150 e 160 . 
 
6) Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B. 45% dos empregados da empresa trabalham 
na matriz M e 25% dos empregados trabalham na filial A. De todos os empregados dessa empresa, 
40% optaram por associarem-se a um clube classista, sendo que 25% dos empregados da matriz M e 
45% dos empregados da filial A se associaram ao clube. O percentual dos empregados da filial B que 
se associaram ao clube é de: 
(A) 17,5% 
(B) 18,5% 
(C) 30% 
(D) 
1
58 %
3
 
(E) 
2
61 %
3
 
 
7) Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm e 6 cm . O terceiro lado é um número expresso por 
2x 1 , onde x  . O seu perímetro é: 
(A) 13 cm . 
(B) 14 cm . 
(C) 15 cm . 
(D) 16 cm . 
(E) 20 cm . 
 
8) Se 
2
1
x 3
x
 
  
 
, então 3
3
1
x
x
 é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
9) O sistema 
mx 5y 3
3x ky 4
 

 
 é equivalente ao sistema 
2x y 4
3x y 1
 

 
. Logo, pode-se afirmar que: 
(A) m k 8   
(B) mk 1  
(C) k
1
m
7
 
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(D) 
7
m k
2
  
(E) m k 8  
 
10) Considere a soma de n parcelas 
15 15 15S n n n   . Sobre as raízes da equação 
24 S 13n 36  podemos afirmar que 
(A) seu produto é 36 . 
(B) sua soma é nula. 
(C) sua soma é 5 . 
(D) seu produto é 18 . 
(E) seu produto é 36 . 
 
11) José e Pedro constituíram uma sociedade, onde José entrou com Cr$ 2.000.000,00 e Pedro com 
Cr$ 2.500.000,00 . Após 8 meses, Joséaumentou seu capital para Cr$ 3.500.000,00 e Pedro diminuiu 
seu capital para Cr$1.500.000,00 . No fim de 1 ano e 6 meses houve um lucro de Cr$ 344.000,00 . 
A parte do lucro que coube a José foi de: 
(A) Cr$140.000,00 
(B) Cr$144.000,00 
(C) Cr$186.000,00 
(D) Cr$ 204.000,00 
(E) Cr$ 240.000,00 
 
12) Num triângulo equilátero de altura h , seu perímetro é dado por 
(A) 
2h 3
3
 
(B) h 3 
(C) 2h 3 
(D) 6h 
(E) 6h 3 
 
13) O menor valor inteiro da expressão 25n 195n 1  ocorre para n igual a: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 25 
(E) 30 
 
 
 
 
 
 
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14) O círculo de centro O da figura abaixo tem 6 cm de raio. Sabendo que PA é tangente à 
circunferência e que a medida do segmento PC é igual a 6 cm , a área hachurada é, em 2cm , 
aproximadamente, igual a 
 
(A) 10 
(B) 10,5 
(C) 11 
(D) 11,5 
(E) 12 
 
15) Sendo 2x 343 , 3 2y 49 e 6 5z 7 , o algarismo das unidades simples do resultado de 
24
xy
z
 
 
 
 é: 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
(E) 9 
 
16) O pentágono ABCDE da figura abaixo é regular e de lado . Sabendo que o segmento AF tem 
medida igual a , pode-se afirmar que o ângulo BFE mede: 
 
(A) 36 
(B) 45 
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(C) 54 
(D) 60 
(E) 72 
 
17) Sejam r e s as raízes da equação 
2x 3 3x 7 0   . O valor numérico da expressão 
  r s 1 r s 1    é 
(A) 
2
7
 
(B) 
3
7
 
(C) 
9
7
 
(D) 
4
3
 
(E) 2 
 
18) Considere os conjuntos   A 1, 1 ,2 e   B 1,2, 2 e as cinco afirmações: 
I)  A B 1  
II)    2 B A  
III)  1 A 
IV)   A B 1, 2, 1, 2  
V)   B A 2  
Logo, 
(A) todas as afirmações estão erradas. 
(B) só existe uma afirmação correta. 
(C) as afirmações ímpares estão corretas. 
(D) as afirmações III e V estão corretas. 
(E) as afirmações I e IV são as únicas incorretas. 
 
19) O coeficiente do termo de 2 grau do produto entre o quociente e o resto, resultantes da divisão de 
3 4x 3x x 7   por 22 x é: 
(A) 22 
(B) 11 
(C) 10 
(D) 1 
(E) 1 
 
20) Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3 cm . 
O perímetro do círculo circunscrito ao triângulo mede: 
(A) 4 cm 
(B) 6 cm 
(C) 8 cm 
(D) 12 cm 
(E) 16 cm 
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21) Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um quadrilátero L , obtém-se um losango. Pode-
se afirmar que L 
(A) é um retângulo. 
(B) tem diagonais perpendiculares. 
(C) é um trapézio isósceles. 
(D) é um losango. 
(E) tem diagonais congruentes. 
 
22) Considere os conjuntos M dos pares ordenados  x, y que satisfazem à equação 
   1 1 1 2 2 2a x b y c a x b y c 0      e N dos pares ordenados  x, y que satisfazem o sistema 
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
a x b y c 0
  

  
. Sendo 1 1 1 2 2 2a b c a b c 0      , pode-se afirmar que : 
(A) M N 
(B) M N M  
(C) M N  
(D) M N N  
(E) M N  
 
23) A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi desenhada na escala 1:100 . A área real da 
sala é: 
 
(A) 
220 cm 
(B) 228,5 cm 
(C) 
22850 cm 
(D) 228,5 m 
(E) 280, 4 m 
 
 
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24) Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os segmentos CD e GH são colineares. A 
razão entre a área de um deles e a área do triângulo EMN é igual a: 
 
 
(A) 6 
(B) 9 
(C) 12 
(D) 16 
(E) 18 
 
25) Sabendo-se que a média aritmética e a harmônica entre dois números naturais valem, 
respectivamente, 10 e 
32
5
, pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a: 
(A) 3, 6 
(B) 6 
(C) 6, 4 
(D) 8 
(E) 9 
 
 
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1) Num colégio verificou-se que 120 alunos não têm pai professor; 130 alunos não têm mãe professora 
e 5 têm pai e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos 
possuem pelo menos um dos pais professor e que não existem alunos irmãos? 
(A) 125 
(B) 135 
(C) 145 
(D) 155 
(E) 165 
 
2) O resto da divisão por 11 do resultado da expressão 20 32 261211 9119 343  é: 
(A) 9 
(B) 1 
(C) 10 
(D) 6 
(E) 7 
 
3) Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e 
b números inteiros positivos quaisquer, tem-se: 
 
I – média harmônica dos números a e b a) a b 
II – média ponderada dos números a e b 
b) 
a
b
 
III – média proporcional entre os números a e b 
c) 
a b
2

 
IV – o produto do máximo divisor comum pelo 
mínimo múltiplo comum de a e b 
 
d) 
2ab
a b
 
V – a média aritmética simples entre a e b e) a b 
 
(A) (I; b); (II; c); (IV; e) 
(B) (II; c); (III; a); (IV; e) 
(C) (I; d); (II; c); (V; c) 
(D) (III; a); (IV; e); (V; b) 
(E) (I; d); (III; a); (IV; e) 
 
4) Uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas P e T e inversamente proporcional ao 
quadrado da grandeza W . Se aumentarmos P de 60% do seu valor e diminuirmos T de 10% do seu 
valor, para que a grandeza X não se altere, devemos: 
(A) diminuir W de 35% do seu valor; 
(B) aumentar W de 35% do seu valor; 
(C) diminuir W de 20% do seu valor; 
(D) aumentar W de 20% do seu valor; 
(E) aumentar W de 25% do seu valor. 
 
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5) Seja o número  
 
 2
2
N 10.000


 , o número de divisores positivos de N é: 
(A) 6 
(B) 13 
(C) 15 
(D) 4 
(E) 2 
 
6) Calcule a diferença y x , de forma que o número: 
x 4 y2 3 26  possa ser expresso como uma 
potência de base 39 . 
(A) 8 
(B) 0 
(C) 4 
(D) 2 
(E) 3 
 
7) A , B e C são respectivamente os conjuntos dos múltiplos de 8 , 6 e 12 , podemos afirmar que o 
conjunto  A B C  é o conjunto dos múltiplos de: 
(A) 12 
(B) 18 
(C) 24 
(D) 48 
(E) 36 
 
8) Sendo P 3 , podemos afirmar que o trinômio 2y 2x 6x P   : 
(A) se anula para dois valores positivos de x ; 
(B) se anula para dois valores de x de sinais contrários; 
(C) se anula para dois valores negativos de x ; 
(D) não se anula para valores de x reais; 
(E) tem extremo positivo. 
 
9) No sistema 
   
3 2 2 3
2 2 2 2
x 3x y 3xy y 8
x y . x 2xy y 12
    

   
 a soma dos valores de x e y é: 
(A) 1 
(B) 
3
4
 
(C) 
2
3
 
(D) 
4
3
 
(E) 
3
2
 
 
 
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10) O valor de a , para que a soma dos quadrados das raízes da equação  2x 2 a x a 3 0     seja 
mínima, é: 
(A) 1 
(B) 9 
(C) 2 
(D) 1 
(E) 9 
 
11) A soma das raízes da equação 
2 2x 6x 9 4 x 6x 6     , é: 
(A) 6 
(B) 12 
(C) 12 
(D) 0 
(E) 6 
 
12) Efetuando o produto   100 99 98 97 2x 1 x x x x x x 1        , encontramos: 
(A) 100x 1 
(B) 200x 1 
(C) 101 50x x 1  
(D) 1002x 2 
(E) 101x 1 
 
13) Seja  4 2P x 2x 5x 3x 2    e   2Q x x 3x 1   ; se    P x Q x determina um quociente 
 Q x e um resto  R x , o valor de    Q 0 R 1  é: 
(A) 0 
(B) 28 
(C) 25 
(D) 17 
(E) 18 
 
14) Sabendo que 3x y 10z 0   e que x 2y z 0   , o valor de 
3 2
2 3
x x y
xy z


 sendo z 0 , é: 
(A) 18 
(B) 9 
(C) 6 
(D) 1 
(E) 0 
 
15) Simplificando a expressão n
n 2 2n 2
600
25 5 
 para  n 0,1  , temos: 
(A) 5 
(B) 15 
(C) 
25 
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(D) 25 
(E) 05 
 
16) A equação 2 2k x kx k 2k 8 12x     é impossível para: 
(A) um valor positivo de k ; 
(B) um valor negativo de k ; 
(C) três valores distintos de k ; 
(D) dois valores distintos de k ; 
(E) nenhum valor de k . 
 
17) A soma dos valores inteiros de x , no intervalo 10 x 10   , e que satisfazem a inequação 
  2 2x 4x 4 x 1 x 4     é: 
(A) 42 
(B) 54 
(C) 54 
(D) 42 
(E) 44 
 
18) A secante  r a uma circunferência de 6 cm de raio determina uma corda AB de 8 2 cm de 
comprimento. A reta  s é paralela à  r e tangencia a circunferência no menor arco AB . A distância 
entre  r e  s é de: 
(A) 6 cm 
(B) 10 cm 
(C) 5 cm 
(D) 4 cm 
(E) 7 cm 
 
19) Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo escaleno de área S por uma paralela a um dos lados 
do triângulo que passa pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é: 
(A) 
5
S
9
 
(B) 
4
S
9
 
(C) 
2
S
3
 
(D) 
1
S
3
 
(E) 
1
S
2
 
 
 
 
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20) Um triângulo ABC está inscrito em um círculo e o arco BC mede 100º . Calcular a medida do 
ângulo ˆBEC , sendo E o ponto de interseção da bissetriz externa relativa a B̂ com o prolongamento 
do segmento CM , onde M é o ponto médio do arco menor AB 
(A) 15º 
(B) 25º 
(C) 20º 
(D) 40º 
(E) 50º 
 
21) A roda de um veículo tem 50 cm de diâmetro. Este móvel, em velocidade constante, completa 10 
voltas em cada segundo, com um gasto de um litro de combustível por 10 km rodados. Sabendo-se 
que o veículo fez uma viagem de 6 h , o número que mais se aproxima da quantidade de litros gastos 
na viagem é: 
(A) 52 
(B) 40 
(C) 30 
(D) 34 
(E) 20 
 
22) Num triângulo ABC de lado AC de medida 6 cm , traça-se a ceviana AD que divide internamente 
o lado BC nos segmentos BD de medida 5 cm e DC de medida 4 cm . Se o ângulo B̂ mede 20 e 
o ângulo Ĉ mede 130 , então o ângulo ˆBAD mede: 
(A) 30 
(B) 25 
(C) 20 
(D) 15 
(E) 10 
 
23) As retas PA e PB são tangentes à circunferência de raio R nos pontos A e B, respectivamente. Se 
PA 3x e x é a distância do ponto A à reta PB , então R é 
A)  3 3 2 2 x  
(B)  3 3 2 2 x  
(C) 3x 
(D)  2 2 3 3 x  
(E) x 
 
 
 
 
 
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24) Num triângulo ABC , a medida do lado 
___
AB é o dobro da medida do lado 
___
AC . Traça-se a mediana 
___
AM e a bissetriz 
___
AD ( M e D pertencentes a 
___
BC ). Se a área do triângulo ABC é S , então a área do 
triângulo AMD é: 
(A) 
S
3
 
(B) 
S
4
 
(C) 
S
6
 
(D) 
3S
8
 
(E) 
S
12
 
 
25) Na figura, o diâmetro AB mede 8 3 cm e a corda CD forma um ângulo de 30° com AB. Se E é o 
ponto médio de AO, onde O é o centro do círculo, calcule a área da região sombreada, em 2cm . 
 
(A) 8 3 3 
(B) 8 2 3 
(C) 4 3 3 
(D) 4 2 3 
(E)  4 3  
 
 
 
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PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – FAIXA BÔNUS 
 
 
1) (1983-3) Na figura: AC 3AF e BC 3CE , sendoS a área do triângulo ABC , a área do triângulo 
AGF é: 
 
(A) 
S
3
 
(B) 
S
7
 
(C) 
S
9
 
(D) 
S
21
 
(E) 
S
18
 
 
2) (1983-7) O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41 . Um desses polígonos tem dois lados 
a mais que o outro. O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor mede: 
(A) 120º 
(B) 135º 
(C) 140º 
(D) 144º 
(E) 150º 
 
3) (1983-8) O valor de 
   
2
51 5
3 12 32 2
2 10 3
3
1 2 0,333... 5
2 3 5
5


  
    
             
 é: 
(A) 139 
(B) 120 
(C) 92 
(D) 121 
(E) 100 
 
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4) (1983-9) Em um triângulo ABC , o ângulo  é o dobro do ângulo B̂ , AB 9 cm e AC 4 cm . O 
lado BC mede: 
(A) 9 13 cm 
(B) 3 13 cm 
(C) 4 13 cm 
(D) 6 13 cm 
(E) 2 13 cm 
 
5) (1983-11) Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R . O segmento de tangente ao 
círculo tirado do vértice A mede 4cm . Se o lado oposto a esse vértice mede 5cm , a área do triângulo 
ABC , é: 
(A) 220R cm 
(B) 210R cm 
(C) 25R cm 
(D) 29R cm 
(E) 24R cm 
 
6) (1983-14) A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação: 
3
2 11 10
( x 3)
0
(x x 2) (5 x) (2x 8)
 

     
 é: 
(A) 11 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 2 
 
7) (1983-15) O número de divisores naturais de N , sendo N igual ao produto de K números primos 
distintos, é: 
a) 2K 
b) 2K 
c) K 
d) K2 
e) K 2 
 
8) (1983-17) Se 
2 2 2 x y z 8
x y z yz xz xy 3
      e x y z 16   , o produto x y z  é: 
(A) 192 
(B) 48 
(C) 32 
(D) 108 
(E) 96 
 
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9) (1983-20) Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 
operários cada uma delas. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que 
enquanto uma turma avançou 
2
3
 na sua obra, a outra avançou 
4
5
 da sua. Quantos operários deve-se 
retirar de uma e pôr na outra, para que as duas obras fiquem prontas ao mesmo tempo? 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 8 
(E) 10 
 
10) (1983-23) 3 33 2 2 2 3 2 2 2   , é igual a: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
11) (1983-25) A soma dos cubos das raízes da equação 2x x 3 0   é: 
(A) 10 
(B) 8 
(C) 12 
(D) 6 
(E) 18 
 
12) (1982-3) Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses 
dois algarismos, N aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 
algarismos na parte não periódica. A soma dos algarismos de N é: 
(A) 5 
(B) 7 
(C) 8 
(D) 9 
(E) 11 
 
13) (1982-4) Seja 4 5 6N 2 3 5   . O número de divisores naturais de N que são múltiplos de 10 é: 
(A) 24 
(B) 35 
(C) 120 
(D) 144 
(E) 210 
 
14) (1982-5) Efetuando 
2 3 2 3
2 3 2 3
 

 
, obtém-se: 
(A) 4 
(B) 3 
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(C) 2 
(D) 
2
3
 
(E) 1 
 
15) (1982-8) Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvesse 
três herdeiros a mais, cada lote diminuiria de 220 m e se houvesse quatro herdeiros a menos, cada lote 
aumentaria de 250 m . O número de metros quadrados da área do terreno todo é: 
(A) 1600 
(B) 1400 
(C) 1200 
(D) 1100 
(E) 900 
 
16) (1982-10) Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N , verificamos que o resto era o maiorpossível e igual a 126 . A soma dos algarismos de N é: 
(A) 11 
(B) 9 
(C) 8 
(D) 7 
(E) 6 
 
17) (1982-14) O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação 
2x mx m 1 0    , é: 
(A) 2 
(B) 1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) 2 
 
18) (1982-20) Um polígono ABCD é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e 
C formam um ângulo de 72º . O número de lados desse polígono é: 
(A) 7 
(B) 10 
(C) 12 
(D) 15 
(E) 20 
 
19) (1982-21) O segmento da bissetriz do ângulo reto de um triângulo vale 4 2 cm . Um dos catetos 
vale 5 cm . A hipotenusa vale, em cm : 
(A) 17 
(B) 4 17 
(C) 5 17 
(D) 6 17 
(E) 7 17 
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20) (1982-25) A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2 cm , mede, em cm : 
(A) 5 2 
(B) 5 2 
(C) 5 
(D) 5 1 
(E) 5 1 
 
21) (1981-2) Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência 
nos pontos M e N de maneira que PM x 1  e PN 3x . Do mesmo ponto P tiramos outra secante 
que corta a mesma circunferência em R e S de maneira que PR 2x e PS x 1  . O comprimento 
do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P , se todos os segmentos estão 
medidos em cm é: 
a) 40 cm 
b) 60 cm 
c) 34 cm 
d) 10 cm 
e) 8 cm 
 
22) (1981-9) Duas circunferências são tangentes exteriores em P . Uma reta tangencia essas 
circunferências nos pontos M e N respectivamente. Se PM 4 cm e PN 2 cm , o produto dos raios 
dessas circunferências dá: 
(A) 28 cm 
(B) 24 cm 
(C) 25 cm 
(D) 210 cm 
(E) 29 cm 
 
23) (1981-13) Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1 . Levando-
se este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algarismos, o 
novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é: 
(A) 100.006 . 
(B) múltiplo de 11. 
(C) múltiplo de 4 . 
(D) múltiplo de 180.000 . 
(E) divisível por 5 . 
 
24) (CN 1980-16) A soma das soluções da equação 3 62x 1 4 2x 1 3 2x 1 0      dá um número: 
(A) nulo. 
(B) par entre 42 e 310 . 
(C) ímpar maior que 160. 
(D) irracional. 
(E) racional. 
 
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25) (1980-21) Em um problema de regra de três composta, entre as variáveis X , Y e Z , sabe-se que, 
quando o valor de Y aumenta, o de X também aumenta; mas, quando Z aumenta, o valor de X 
diminui, e que para X 1 e Y 2 , o valor de Z 4 . O valor de X , para Y 18 e Z 3 é: 
(A) 6,75 
(B) 0,333... 
(C) 15 
(D) 12 
(E) 18 
 
26) (CN 1979-6) Se a distância do ponto P ao centro de um círculo aumentar de 
2
5
 de sua medida 
 x a potência do ponto P em relação ao círculo aumentará de: 
a) 220% de x 
b) 242% de x 
c) 296% de x 
d) 286% de x 
e) 292% de x 
 
27) (CN 1979-10) Em um círculo as cordas 
___
AB e 
___
CD são perpendiculares e se cortam no ponto I . 
Sabendo que
___
AI 6 cm , 
___
IB 4 cm e 
___
CI 2 cm , podemos dizer que a área do círculo é de: 
a) 2144 cm 
b) 2100 cm 
c) 
2120 cm 
d) 260 cm 
e) 250 cm 
 
28) (CN 1978-8) Se na equação 2ax bx c 0   , a média harmônica das raízes é igual ao dobro da 
média aritmética destas raízes, podemos afirmar que: 
a) 22b ac 
b) 2b ac 
c) 2b 2ac 
d) 2b 4ac 
e) 2b 8ac 
 
29) (CN 1978-9) A soma dos cubos das raízes da equação 2 3 3x 3x 9 0   é: 
(A) 3 
(B) 12 
(C) 9 
(D) 12 
(E) 6 
 
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30) (1978-16) Se 30 operários gastaram 18 dias, trabalhando 10 horas por dia, para abrir um canal de 
25 metros, quantos dias de 12 horas de trabalho 10 operários, que têm o triplo da eficiência dos 
primeiros, gastarão para abrir um canal de 20 metros, sabendo-se que a dificuldade do primeiro está 
para a do segundo como 3 está para 5? 
(A) 20 dias 
(B) 24 dias 
(C) 60 dias 
(D) 25 dias 
(E) 13 dias 
 
31) (1978-22) Na solução do sistema 
3 2 2 3 2 2
2 2 2 2
x 3x y 3xy y 2x 4xy 2y
2x 4xy 2y x y
      

   
, encontramos, para 
x e y , valores tais que x y é igual a: 
(A) 4 
(B) 2 
(C) 1 
(D) 5 
(E) 3 
 
32) (1977-16) A soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação: 
2 3ax 8x a 0   , onde a é um número real positivo, dá: 
a) 
24 a
a

 
b) 
24 a
a
 
 
c) 
28 a
a

 
d) 
24 a
a

 
e) 5 
 
33) (1977-20) Simplificando 
  
4 4
2 22 2 2 2
a b 2ab
a ba b 2ab a b 2ab


   
 para b a  obtém-se: 
a) 1 
b) 
a b
a b


 
c) 
b
a
 
d) 
a b
a b


 
e) 
a
b
 
 
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34) (1977-22) Uma das raízes da equação 2 x 2 x 2    
(A) 3 
(B) 5 
(C) 3 
(D) 2 
(E) 6 
 
35) (1976-13) Sobre os lados de um hexágono regular de 4 cm de lado, e exteriormente a ele, 
constroem-se quadrados, de modo que cada quadrado tenha um lado em comum com o hexágono. 
Calcular a área do dodecágono cujos vértices são os vértices dos quadrados que não são vértices do 
hexágono: 
(A)   248 3 2 cm 
(B)   250 3 2 cm 
(C)   224 3 4 cm 
(D) 2192 cm 
(E) 236 cm 
 
36) (1976-21) O valor mínimo do trinômio 2y 2x bx p   ocorre para x 3 . Sabendo que um dos 
valores de x que anulam esse trinômio é o dobro do outro, dar o valor de p . 
a) 32 
b) 64 
c) 16 
d) 128 
e) 8 
 
37) (1976-24) Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo 
inferior a outra em 30 minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 
minutos, determine em quanto tempo a primeira torneira esvazia 60% do recipiente. 
(A) 18 minutos 
(B) 30 minutos 
(C) 15 minutos 
(D) 20 minutos 
(E) 12 minutos 
 
38) (1975-6) Dois números inteiros positivos têm soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar 
o maior dos dois números sabendo que o produto deles deve ser o maior possível. 
(A) 48 
(B) 84 
(C) 60 
(D) 72 
(E) 36 
 
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39) (1975-8) Um composto A leva 20% de álcool e 80% de gasolina e um composto B leva 30% de 
álcool e 70% de gasolina. Quantos litros devemos tomar do composto A para, complementando com 
o composto B, preparar 5 litros de um composto com 22% álcool e 78% de gasolina? 
(A) 2 litros 
(B) 3 litros 
(C) 2,5 litros 
(D) 3,5 litros 
(E) 4 litros 
 
40) (1975-24) Calcular o menor valor positivo de K, para que a raiz real da equação 
3 34 x K 1   
seja um número racional inteiro 
(A) 1 
(B) 60 
(C) 27 
(D) 37 
(E) 40 
 
 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
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CAPÍTULO 2 
RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL 1984/1985 
 
1) d (Conjuntos) 
2) a (Potências e raízes) 
3) b (Problemas tipo torneira) 
4) e (Equação do 2° grau) 
5) e (Polígonos – angular) 
6) d (Porcentagem) 
7) c (Desigualdade triangular) 
8) a (Produtos notáveis e fatoração) 
9) d (Sistemas lineares) 
10) c (Equação biquadrada) 
11) d (Regra de sociedade) 
12) c (Relações métricas no triângulo) 
13) c (Função quadrática)14) d (Áreas de regiões circulares) 
15) a (Potências e raízes) 
16) c (Polígonos – angular) 
17) e (Equação do 2° grau) 
18) d (Conjuntos) 
19) c (Polinômios) 
20) c (Áreas) 
21) e (Quadriláteros) 
22) b (Sistemas lineares) 
23) d (Sistema métrico) 
24) e (Áreas) 
25) d (Médias) 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL 1983/1984 
 
1) d (Conjuntos) 
2) b (Divisibilidade e congruência) 
3) e (Médias) 
4) d (Razões e proporções) 
5) d (Potências e raízes) 
6) a (Potências e raízes) 
7) c (Múltiplos e divisores) 
8) b (Função quadrática) 
9) e (Sistemas não lineares) 
10) a (Equação do 2° grau) 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
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11) c (Equações irracionais) 
12) e (Produtos notáveis e fatoração) 
13) b (Polinômios) 
14) b (Sistemas lineares) 
15) c (Potências e raízes) 
16) b (Equação do 1° grau) 
17) e (Inequação produto-quociente) 
18) d (Relações métricas na circunferência) 
19) a (Áreas) 
20) b (Ângulos na circunferência) 
21) d (Razões e proporções) 
22) e (Semelhança de triângulos) 
23) a (Relações métricas na circunferência) 
24) c (Áreas) 
25) a (Áreas de regiões circulares) 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – FAIXA BÔNUS 
 
1) d (Áreas) 
2) c (Polígonos – ângulos e diagonais) 
3) a (Potências e raízes) 
4) e (Triângulos – semelhança e relações métricas) 
5) d (Áreas) 
6) e (Inequações produto quociente) 
7) d (Múltiplos e divisores) 
8) e (Produtos notáveis e fatoração) 
9) c (Regra de três) 
10) b (Racionalização e radical duplo) 
11) a (Equação do 2° grau) 
12) c (Números racionais) 
13) d (Múltiplos e divisores) 
14) a (Racionalização e radical duplo) 
15) c (Equação do 1° grau e problemas do 1º grau) 
16) b (Operações com números naturais e inteiros) 
17) d (Equação do 2° grau) 
18) b (Polígonos – ângulos e diagonais) 
19) c (Triângulos – semelhança e relações métricas) 
20) e (Quadriláteros) 
21) b (Circunferência – relações métricas e potência de ponto) 
22) c (Circunferência – posições relativas e segmentos tangentes) 
23) b (Sistemas de numeração) 
24) e (Equações e inequações irracionais) 
25) d (Regra de três) 
26) c (Circunferência – relações métricas e potência de ponto) 
27) e (Circunferência – relações métricas e potência de ponto) 
28) c (Equação do 2° grau) 
29) e (Equação do 2° grau) 
30) a (Regra de três) 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
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31) b (Sistemas não lineares e problemas relacionados) 
32) d (Equação do 2° grau) 
33) d (Produtos notáveis e fatoração) 
34) a (Equações e inequações irracionais) 
35) a (Áreas) 
36) c (Função quadrática) 
37) a (Problemas tipo torneira) 
38) c (MDC e MMC) 
39) e (Misturas) 
40) d (Equações e inequações irracionais) 
 
 
 
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RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
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QUADRO RESUMO DAS QUESTÕES DE 1984 A 2016 
 
 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES POR ASSUNTO 
 
 
ARITMÉTICA 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO: 2016-10; 2002-14; 2001-1; 2001-6; 1994-20; 1991-2; 
 
CONJUNTOS: 2016-19; 2014-4; 2012-10; 2011-11; 2008-15; 2007-6; 2006-3; 2001-15; 1999-4; 
1998-9; 1998-17; 1995-18; 1992-4; 1991-3; 1989-14; 1988-5; 1987-6; 1986-1; 1986-2; 1985-1; 1985-
18; 1984-1 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS NATURAIS E INTEIROS: 2013-12; 2013-15; 2010-14; 2009-13; 
2005-2; 1996-14; 1992-1; 1991-1; FB-16 
 
NÚMEROS RACIONAIS: 2015-7; 2015-9; 2014-1; 2013-2; 2013-18; 2004-8; 2000-4; 1998-20; 
1997-11; 1996-19; 1996-20; 1995-16; 1992-13; 1987-7; FB-12 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS E NÚMEROS REAIS: 2012-11; 2008-20; 1999-10; 1999-15; 1994-11; 
1988-1; 1988-2 
 
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: 2016-3; 2016-12; 2013-4; 2010-3; 2010-13; 2008-5; 2003-18; 2000-
3; 1997-3; 1992-6; 1990-9; 1988-3; FB-23 
 
MÚLTIPLOS E DIVISORES: 2016-17; 2016-18; 2014-10; 2014-17; 2014-19; 2013-6; 2013-8; 2012-
14; 2011-4; 2010-8; 2009-18; 2007-11; 2007-17; 2005-10; 2004-4; 2002-6; 2002-11; 1996-11; 1992-
14; 1991-4; 1990-11; 1986-4; 1984-7; FB-7; FB-13 
 
DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA: 2015-14; 2013-11; 2012-1; 2012-15; 2012-20; 2011-5; 2010-
5; 2010-15; 2005-13; 2005-16; 2004-9; 2001-19; 1996-18; 1994-9; 1987-2; 1984-2 
 
FUNÇÃO PARTE INTEIRA: 2011-8; 
 
MDC E MMC: 2015-8; 2013-7; 2009-4; 2009-14; 2008-11; 2006-2; 2006-9; 2004-5; 2003-4; 2002-2; 
2002-4; 2001-3; 1994-5; 1990-8; 1987-4; FB-38 
 
RAZÕES E PROPORÇÕES: 2015-2; 2010-19; 2008-12; 2008-18; 2006-12; 2004-16; 2003-13; 2001-
5; 2000-5; 1998-7; 1998-15; 1996-6; 1996-17; 1991-6; 1989-9; 1987-1; 1984-4; 1984-21 
 
REGRA DE TRÊS: 2016-4; 1996-16; FB-9; FB-25; FB-30 
 
PORCENTAGEM: 2009-10; 2009-15; 2007-4; 2004-6; 2001-16; 2000-19; 1997-2; 1995-3; 1992-20; 
1985-6 
 
DIVISÃO EM PARTES PROPORCIONAIS E REGRA DE SOCIEDADE: 2008-14; 2007-10; 2005-
14; 1986-11; 1985-11 
 
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OPERAÇÕES COM MERCADORIAS: 2011-10; 2006-19; 2003-15; 2001-11; 1998-6; 1997-4; 1996-
12; 1994-16; 1990-16; 1989-8; 1986-6 
 
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS: 2008-4; 2006-15; 1999-8; 1995-8; 1994-3; 1991-7; 1990-6; 
1988-4 
 
MISTURAS: 2013-13; 2010-7; 2002-7; 1999-3; 1987-3; FB-39 
 
MÉDIAS: 2016-5; 2007-19; 2002-9; 2001-9; 1995-14; 1990-10; 1985-25; 1984-3 
 
CONTAGEM E CALENDÁRIO: 2014-3; 2014-11; 2008-9; 2003-1; 2003-9; 1997-5; 1992-5; 1987-9 
 
PROBLEMAS TIPO TORNEIRA: 2008-16; 2007-3; 2006-14; 1994-10; 1985-3; FB-37 
 
SISTEMA MÉTRICO: 1997-10; 1996-10; 1994-13; 1989-13; 1986-13; 1985-23 
 
 
ÁLGEBRA 
 
POTÊNCIAS E RAÍZES: 2016-11; 2015-10; 2014-7; 2013-1; 2013-19; 2012-7; 2012-16; 2010-18; 
2009-8; 2007-7; 2005-9; 2004-11; 2004-14; 2001-4; 2001-13; 2001-14; 2000-6; 2000-9; 2000-11; 
1999-5; 1998-16; 1997-15; 1995-12; 1991-5; 1990-2; 1989-5; 1988-7; 1987-16; 1987-24; 1986-7; 
1985-2; 1985-15; 1984-5; 1984-6; 1984-15; FB-3 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO: 2015-1; 2015-18; 2013-16; 2012-3; 2012-4; 2009-12; 
2008-1; 2008-3; 2007-8; 2007-9; 2007-12; 2006-16; 2005-12; 2005-15; 2001-7; 1999-12; 1998-10; 
1998-14; 1996-3; 1996-15; 1994-19; 1992-8; 1991-13; 1989-10; 1988-14; 1987-17; 1986-16; 1985-8; 
1984-12; FB-8; FB-33 
 
RACIONALIZAÇÃO E RADICAL DUPLO: 2013-17; 2012-13; 2009-19; 2005-11; 2003-3; 2002-5; 
1999-2; 1997-18; 1994-8; 1991-10; 1990-14; 1989-11; 1988-6; 1987-5; 1986-9; FB-10; FB-14 
 
EQUAÇÃO DO 2° GRAU: 2015-11; 2014-12; 2010-6; 2009-20; 2008-8; 2005-3; 2005-19; 2004-12; 
2002-15; 2000-15; 1999-20; 1996-4; 1995-2; 1995-15; 1991-12; 1990-4; 1989-7; 1988-8; 1988-11; 
1987-20; 1986-3; 1985-4; 1985-17; 1984-10; FB-11; FB-17; FB-28; FB-29; FB-32 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA: 2010-12; 2009-16; 2007-14; 2006-6; 2005-17; 2003-10; 2003-14; 1999-
18; 1998-19; 1994-2; 1990-18; 1989-17; 1988-13; 1987-21; 1985-13; 1984-8; FB-36 
 
EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS: 2013-10; 2012-2; 2011-20; 2009-3; 2002-17; 1992-12; 
 
EQUAÇÕES BIQUADRADAS E REDUTÍVEIS AO 2° GRAU: 2014-5; 2008-10; 2006-20; 2004-15; 
2002-19; 2000-17; 1998-3; 1998-8; 1997-14; 1995-17; 1995-20; 1994-15; 1992-10; 1992-11; 1992-
16; 1992-18; 1986-15; 1985-10 
 
EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES IRRACIONAIS: 2015-3; 2014-9; 2012-5; 2011-12; 2009-7; 2007-13; 
2004-2; 2003-16; 1997-7; 1995-7; 1991-8; 1989-12; 1984-11; FB-24; FB-34; FB-40 
 
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POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS: 2016-9; 2015-16; 2013-14; 2011-2; 2011-13; 2005-
4; 2004-19; 1995-4; 1990-20; 1988-12; 1987-14; 1987-25; 1986-8; 1986-10; 1986-14; 1985-19; 1984-
13 
 
SEQUÊNCIAS: 2012-12; 
 
FUNÇÃO DO 1° GRAU: 2012-17; 2003-19; 1986-12 
 
EQUAÇÃO DO 1° GRAU E PROBLEMAS DO 1º GRAU: 2015-15; 2002-18; 2000-7; 2000-10; 
1998-4; 1997-1; 1994-14; 1990-7; 1984-16; FB-15 
 
SISTEMAS LINEARES E PROBLEMAS RELACIONADOS: 2016-2; 2015-12; 2010-4; 2009-1; 
2007-1; 2006-11; 2004-1; 2004-17; 2003-8; 2002-3; 2001-18; 2000-16; 1999-11; 1999-17; 1997-17; 
1995-11; 1994-12; 1992-17; 1989-4; 1989-15; 1988-10; 1985-9; 1985-22; 1984-14 
 
SISTEMAS NÃO LINEARES E PROBLEMAS RELACIONADOS: 2014-18; 2011-15; 2011-16; 
2011-18; 2009-2; 2007-16; 2003-5; 1991-9; 1990-19; 1989-6; 1988-9; 1986-5; 1984-9; FB-31 
 
INEQUAÇÕES: 2011-17; 2003-2; 1997-12; 1995-9; 1994-18; 
 
INEQUAÇÕES PRODUTO QUOCIENTE: 2016-1; 2014-20; 2010-9; 2006-8; 2005-6; 1998-18; 
1991-11; 1990-3; 1989-20; 1987-8; 1987-13; 1986-21; 1984-17; FB-6 
 
DESIGUALDADES: 2011-19; 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
 
FUNDAMENTOS E ÂNGULOS: 2008-2 
 
TRIÂNGULOS – ÂNGULOS, CONGRUÊNCIA, DESIGUALDADES: 2013-20; 2006-1; 2002-12; 
2001-17; 2001-20; 2000-12; 2000-20; 1999-19; 1998-12; 1997-19; 1996-1; 1995-19; 1991-16; 1986-
18; 1985-7 
 
TRIÂNGULOS – PONTOS NOTÁVEIS: 2016-13; 2014-13; 2014-14; 2011-14; 2010-11; 2004-3; 
1999-1; 1997-13; 1996-7; 1995-5; 
 
TRIÂNGULOS RETÂNGULOS: 2016-6; 2014-8; 2009-17; 2006-17; 2005-18; 1999-16; 1996-9; 
1994-4; 1992-7; 1989-1; 
 
TRIÂNGULOS – SEMELHANÇA E RELAÇÕES MÉTRICAS: 2015-6; 2015-17; 2010-10; 2008-7; 
2006-18; 2004-10; 2004-20; 1999-9; 1999-14; 1998-2; 1992-19; 1990-1; 1989-16; 1988-15; 1987-12; 
1987-22; 1986-22; 1986-25; 1985-12; 1984-22; FB-4; FB-19 
 
QUADRILÁTEROS: 2013-3; 2013-5; 2012-8; 2011-9; 2010-17; 2009-6; 2007-5; 2005-5; 2004-13; 
2001-2; 1997-20; 1995-1; 1992-9; 1989-3; 1988-20; 1986-19; 1986-20; 1985-21; FB-20 
 
POLÍGONOS – ÂNGULOS E DIAGONAIS: 2012-18; 2006-7; 2006-13; 2001-10; 1998-11; 1997-6; 
1995-10; 1994-7; 1991-14; 1990-5; 1988-18; 1987-11; 1985-5; 1985-16; FB-2; FB-18 
X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares Renato Madeira 
RESPOSTAS E CLASSIFICAÇÃO DAS QUESTÕES 
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POLÍGONOS – RELAÇÕES MÉTRICAS: 2007-2; 2006-4; 2006-10; 2004-18; 2000-13; 1999-6; 
1996-5; 1994-1; 1991-18; 1990-12; 1986-23 
 
CIRCUNFERÊNCIA – POSIÇÕES RELATIVAS E SEGMENTOS TANGENTES: 2011-6; 2010-1; 
2009-9; 2008-17; 2007-18; 2004-7; 2003-7; 1999-13; 1996-13; 1994-17; 1991-15; 1986-17; FB-22 
 
ARCO CAPAZ, ÂNGULOS E COMPRIMENTOS NA CIRCUNFERÊNCIA: 2016-7; 2014-6; 2014-
15; 2012-9; 2010-16; 2009-5; 2008-6; 2003-6; 2003-17; 2001-12; 2000-18; 1997-8; 1992-3; 1991-19; 
1988-17; 1987-18; 1984-20 
 
CIRCUNFERÊNCIA – RELAÇÕES MÉTRICAS E POTÊNCIA DE PONTO: 2005-20; 2003-11; 
2002-20; 1998-1; 1998-5; 1996-8; 1995-13; 1990-15; 1989-19; 1984-18; 1984-23; FB-21; FB-26; FB-
27 
 
ÁREAS: 2016-8; 2016-14; 2016-15; 2016-16; 2016-20; 2015-4; 2015-5; 2015-13; 2015-19; 2015-20; 
2014-2; 2014-16; 2013-9; 2012-6; 2012-19; 2011-1; 2011-3; 2011-7; 2010-2; 2010-20; 2009-11; 
2008-13; 2008-19; 2007-15; 2007-20; 2006-5; 2005-1; 2005-7; 2005-8; 2003-12; 2003-20; 2002-1; 
2002-8; 2002-10; 2002-13; 2002-16; 2001-8; 2000-1; 2000-2; 2000-8; 2000-14; 1999-7; 1998-13; 
1997-9; 1997-16; 1996-2; 1995-6; 1994-6; 1992-2; 1992-5; 1991-17; 1991-20; 1990-13; 1990-17; 
1989-2; 1989-18; 1988-16; 1988-19; 1987-10; 1987-15; 1987-19; 1987-23; 1986-24; 1985-14; 1985-
20; 1985-24; 1984-19; 1984-24; 1984-25; FB-1; FB-5; FB-35 
 
 
 
X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares Renato Madeira 
RESOLUÇÃO CN 1984-1985 
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CAPÍTULO 3 
ENUNCIADOS E RESOLUÇÕES 
 
 
PROVA DE MATEMÁTICA – COLÉGIO NAVAL – 1984/1985 
 
 
1) Dado dois conjuntos A e B tais que: 
- O número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250 . 
- B tem 15 subconjuntos não vazios. 
O produto cartesiano de A por B tem 
(A) 8 elementos 
(B) 12 elementos 
(C) 16 elementos 
(D) 28 elementos 
(E) 32elementos 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
Sejam  n A e  n B as quantidades de elementos dos conjuntos A e B , respectivamente. 
O número de subconjuntos do conjunto A é 
 n A2 . A única potência de 2 compreendida entre 120 e 
250 é 72 128 . Logo, 
   n A 72 128 2 n A 7    . 
O número de subconjuntos do conjunto B é 
 n B2 . Se B tem 15 subconjuntos não vazios, então B 
tem no total 15 1 16  subconjuntos. Logo, 
   n B 42 16 2 n B 4    . 
O produto cartesiano de A por B tem    n A n B 7 4 28    elementos. 
 
 
2) O valor da expressão 
1
23 0
1 2 1
0,666
6 3 1,333

 
         
     
 é: 
(A) 
2
5
 
(B) 
2
5
 
(C) 
5
2
 
(D) 
5 2
2
 
(E) 
2 5
5
 
 
X-MAT: Superpoderes Matemáticos para Concursos Militares Renato Madeira 
RESOLUÇÃO CN 1984-1985 
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RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
6 2
0,666
9 3
  
13 1 12 4
1,333
9 9 3

   
 
1
1 1
23 0 2 2
3 3 3
1 1 1
2 2 24 2 2
1 2 1 2 3 2 1
0,666 6 1 2 3
6 3 1,333 3 4 3 4
1 1 25 2 2
2 3 2 3
2 2 2 25 5

 
  
                           
         
     
                 
 
 
 
3) Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Severino constrói 15 
cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 
horas por dia, produzirão 250 cadeiras em: 
(A) 15dias 
(B) 16 dias 
(C) 18 dias 
(D) 20 dias 
(E) 24 dias 
 
RESPOSTA: B 
 
RESOLUÇÃO: 
Como Antônio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia, então em 1 hora ele 
constrói 
20 5
3 4 3


 cadeiras. 
Como Severino constrói 15 cadeiras do mesmo tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia, então 
em 1 hora ele constrói 
15 15
8 2 16


 cadeiras. 
Trabalhando juntos, eles constroem 
5 15 125
3 16 48
 
  
 
 cadeiras em 1 hora. Para produzir 250 cadeiras, 
são necessárias 
250
96
125
48
 horas. Como eles trabalham no ritmo de 6 horas por dia, então devem 
trabalhar 
96
16
6
 dias. 
 
 
 
 
 
 
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4) A soma de todas as raízes da equação       3x 12 x 2 x 2 3x 12 x 6       é: 
(A) 3 
(B) 1 
(C) 0 
(D) 1 
(E) 3 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
             
          2
2
3x 12 x 2 x 2 3x 12 x 6 3x 12 x 2 x 2 3x 12 x 6 0
3x 12 x 2 x 2 x 6 0 3 x 4 x x 10 0
x 4 0 x x 10 0
               
            
      
 
A soma das raízes da equação 2x x 10 0   é 1
1
1
1

    . Assim, a soma de todas as raízes da 
equação original é  4 1 3   . 
Observe ainda que a equação do 2 grau 2x x 10 0   tem discriminante 
 21 4 1 10 41 0,        o que implica que ela possui duas raízes reais distintas. 
 
 
5) Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do 
ângulo interno do referido polígono está, em graus, compreendido entre 
(A) 70 e 80 . 
(B) 100 e 120 . 
(C) 120 e 130 . 
(D) 140 e 150 . 
(E) 150 e 160 . 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
Se o gênero do polígono regular é par, o número de diagonais que não passam pelo centro é 
   
NC
n n 3 n n n 4
D
2 2 2
 
   . Já se o polígono regular tem gênero ímpar, nenhuma diagonal passa 
pelo centro e NCD0 . 
Dessa forma, o polígono em questão deve ter gênero par e teremos: 
 
2
NC
n n 4
D 70 n 4n 140 0 n 10 n 14
2

           . 
Como o gênero do polígono n deve ser um número inteiro maior ou igual a 3 , então n 14 . 
Portanto, o ângulo interno desse polígono é 
   
i
180 n 2 180 14 2 1080 2
A 154
n 14 7 7
   
    que 
está compreendido entre 150 e 160 . 
 
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6) Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B. 45% dos empregados da empresa trabalham 
na matriz M e 25% dos empregados trabalham na filial A. De todos os empregados dessa empresa, 
40% optaram por associarem-se a um clube classista, sendo que 25% dos empregados da matriz M e 
45% dos empregados da filial A se associaram ao clube. O percentual dos empregados da filial B que 
se associaram ao clube é de: 
(A) 17,5% 
(B) 18,5% 
(C) 30% 
(D) 
1
58 %
3
 
(E) 
2
61 %
3
 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
Dispondo as informações do enunciado em uma tabela, temos: 
 
 associados não-associados total 
matriz M 25% 45% 11,25%  45% 11,25% 33,75%  45% 
filial A 45% 25% 11,25%  25% 11,25% 13,75%  25% 
filial B 40% 11, 25% 11, 25%
17,5%
 

 
60% 33,75% 13,75%
12,5%
 

 
100% 45% 25%
30%
 

 
total 40% 100% 40% 60%  100% 
 
O percentual de empregados da filial B associados ao clube é 
17,5% 1
58 %
30% 3
 . 
 
 
7) Dois lados de um triângulo são iguais a 4 cm e 6 cm . O terceiro lado é um número expresso por 
2x 1 , onde x  . O seu perímetro é: 
(A) 13 cm . 
(B) 14 cm . 
(C) 15 cm . 
(D) 16 cm . 
(E) 20 cm . 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
Pela desigualdade triangular, temos: 
2 2x 1 4 6 x 9     
2 2x 1 6 4 x 1     
Assim, temos: 2 2 21 x 9 1 x 3 x 2 x 1 2 1 5 cm            . 
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Portanto, o perímetro do triângulo é 2p 4 6 5 15 cm    . 
 
 
8) Se 
2
1
x 3
x
 
  
 
, então 3
3
1
x
x
 é igual a: 
(A) 0 
(B) 1 
(C) 2 
(D) 3 
(E) 4 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
Lembrando da fatoração “soma de cubos” dada por   3 3 2 2a b a b a ab b     , temos: 
3 2
3 2
1 1 1
x x x 1
xx x
  
      
  
. 
Vamos desenvolver a expressão 
2
1
x 3
x
 
  
 
: 
2
2 2
2 2
1 1 1 1
x 3 x 2 x 3 x 1
x x x x
 
           
 
 
Portanto,  3 2
3 2
1 1 1 1
x x x 1 x 1 1 0
x xx x
    
            
    
. 
 
 
9) O sistema 
mx 5y 3
3x ky 4
 

 
 é equivalente ao sistema 
2x y 4
3x y 1
 

 
. Logo, pode-se afirmar que: 
(A) m k 8   
(B) mk 1  
(C) k
1
m
7
 
(D) 
7
m k
2
  
(E) m k 8  
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
Inicialmente, deve-se resolver o sistema 
2x y 4
3x y 1
 

 
. 
   2x y 3x y 4 1 5x 5 x 1         
3x y 1 3 1 y 1 y 2         
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Portanto, a solução do sistema 
2x y 4
3x y 1
 

 
 é    x, y 1, 2  . 
Se os dois sistemas apresentados no enunciado são equivalentes, então eles possuem a mesma solução, 
ou seja,    x, y 1, 2  também é solução do sistema 
mx 5y 3
3x ky 4
 

 
. Assim, temos: 
 
 
m 1 5 2 3 1
m 7 k
23 1 k 2 4
     
     
    
, que satisfaz  
1 7
m k 7
2 2
 
      
 
. 
 
 
10) Considere a soma de n parcelas 
15 15 15S n n n   . Sobre as raízes da equação 
24 S 13n 36  podemos afirmar que 
(A) seu produto é 36 . 
(B) sua soma é nula. 
(C) sua soma é 5 . 
(D) seu produto é 18 . 
(E) seu produto é 36 . 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
415 15 15 15 16 16 44
n parcelas
S n n n n n n S n n          
2 4 2 4 24
2 2
S 13n 36 n 13n 36 n 13n 36 0
n 4 n 9 n 2 n 3
        
         
 
Como n é a quantidade de parcelas da soma S , então n deve ser um número natural positivo. 
Portanto, o conjunto solução da equação é  2,3 e a soma das raízes é 5 . 
 
 
11) José e Pedro constituíram uma sociedade, onde José entrou com Cr$ 2.000.000,00 e Pedro com 
Cr$ 2.500.000,00 . Após 8 meses, José aumentou seu capital para Cr$ 3.500.000,00 e Pedro diminuiu 
seu capital para Cr$1.500.000,00 . No fim de 1 ano e 6 meses houve um lucro de Cr$ 344.000,00 . 
A parte do lucro que coube a José foi de: 
(A) Cr$140.000,00 
(B) Cr$144.000,00 
(C) Cr$186.000,00 
(D) Cr$ 204.000,00 
(E) Cr$ 240.000,00 
 
RESPOSTA: D 
 
 
 
RESOLUÇÃO: 
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José investiu Cr$ 2.000.000,00 durante 8 meses e Cr$ 3.500.000,00 durante 10 meses. 
Pedro investiu Cr$ 2.500.000,00 durante 8 meses e Cr$1.500.000,00 durante 10 meses. 
A parcela do lucro recebida por cada um deles é proporcional ao produto do capital pelo tempo. Sejam 
x e y as parcelas do lucro que cabe a José e a Pedro, respectivamente, então, temos: 
x y x y x y 344000
4000
2000 8 3500 10 2500 8 1500 10 51 35 51 35 86

     
      
 
x 204000 y 140000    
Logo, a parte do lucro que coube a José foi R$ 204.000,00 . 
 
 
12) Num triângulo equilátero de altura h , seu perímetro é dado por 
(A) 
2h 3
3
 
(B) h 3 
(C) 2h 3 
(D) 6h 
(E) 6h 3 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
A altura de um triângulo equilátero de lado é 
3 2h
h
2 3
   . 
Logo, o perímetro do triângulo equilátero é 
2h
2p 3 3 2h 3
3
     . 
 
 
13) O menor valor inteiro da expressão 25n 195n 1  ocorre para n igual a: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 25 
(E) 30 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
O trinômio do 2º grau 2y 5n 195n 1   apresenta valor mínimo 
  2
min
195 4 5 1 20 38025
y 1900,25
4 5 4 5
     
   
 
 quando 
 195
n 19,5
2 5
 
 

. 
Assim, o menor valor inteiro ocorre para n 19 ou n 20 (os inteiros mais próximos e equidistantes 
do vértice) quando y 1899  . 
 
 
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14) O círculo de centro O da figura abaixo tem 6 cm de raio. Sabendo que PA é tangente à 
circunferência e que a medida do segmento PC é igual a 6 cm , a área hachurada é, em 2cm , 
aproximadamente, igual a 
 
(A) 10 
(B) 10,5 
(C) 11 
(D) 11,5 
(E) 12 
 
RESPOSTA: D 
 
RESOLUÇÃO: 
 
No triângulo retângulo AOP , temos: 
AO AO 6 1ˆ ˆsen P P 30
OP OC PC 26 6
     
 
. 
O ângulo ˆAOB é ângulo externo do AOP , então ˆAOB 90 30 120   . 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AOP , temos: 
   
2 2
2 2 2 2AP OA OP AP 2 6 6 18 AP 3 2        . 
Portanto, a área sombreada é igual à área de um setor circular de 120 e raio 6 mais a área do 
triângulo retângulo AOP . Assim, temos: 
 
 
2
2 26 6 3 2S 2 3 3 cm 11,5 cm
3 2
 
     . 
 
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15) Sendo 2x 343 , 3 2y 49 e 6 5z 7 , o algarismo das unidades simples do resultado de 
24
xy
z
 
 
 
 é: 
(A) 1 
(B) 3 
(C) 5 
(D) 7 
(E) 9 
 
RESPOSTA: A 
 
RESOLUÇÃO: 
2 3x 343 7  
 
2
3 2 2 4y 49 7 7   
   
 
   
 
128 12 824 2 324 24 3 4 36 32
48
24 4 4 20
6 5
x yxy x y 7 7 7 7
7
z z 7z 7
   
     
 
 
Vamos analisar as potências de 7 módulo 10 : 
 
 
 
 
 
0
1
2
3
4
7 1 mod10
7 7 mod10
7 9 mod10
7 3 mod10
7 1 mod10





 
Assim, conclui-se que os restos das potências de 7 módulo 10 repetem-se em períodos de tamanho 4. 
Como 48 4 12  , então  48 07 7 1 mod10  , ou seja, o algarismo das unidades simples de 
24
48xy 7
z
 
 
 
 é 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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16) O pentágono ABCDE da figura abaixo é regular e de lado . Sabendo que o segmento AF tem 
medida igual a , pode-se afirmar que o ângulo BFE mede: 
 
(A) 36 
(B) 45 
(C) 54 
(D) 60 
(E) 72 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
O ângulo ˆBAE é um ângulo interno do pentágono regular, então 
 180 5 2ˆBAE 108
5
 
  . 
O ângulo ˆAEF é um ângulo externo do pentágono regular, então ˆAEF 180 108 72   . 
Como AF AE  , então o AEF é isósceles, ˆ ˆAFE AEF 72  e ˆEAF 180 2 72 36    . 
Como AF AB  , então ABF é isósceles e 
180 144ˆ ˆABF AFB 18
2

   . 
Portanto, ˆ ˆ ˆBFE AFE AFB 72 18 54     . 
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17) Sejam r e s as raízes da equação 
2x 3 3x 7 0   . O valor numérico da expressão 
  r s 1 r s 1    é 
(A) 
2
7
 
(B) 
3
7
 
(C) 
9
7
 
(D) 
4
3
 
(E) 2 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
Na equação do 2 grau 2x 3 3x 7 0   , a soma das raízes é 1
3
r s 3
3

      e o produto 
das raízes é 2
7 21
r s
33
 
     . 
Assim, o valor numérico da expressão é dado por 
      
22 2r s 1 r s 1 r s 1 3 1 3 1 2             . 
Observe que utilizamos o produto notável “diferença de quadrados”:    2 2x y x y x y    , onde 
adotamos x r s  e y 1 . 
 
 
18) Considere os conjuntos   A 1, 1 ,2 e   B 1,2, 2 e as cinco afirmações: 
I)  A B 1  
II)    2 B A  
III)  1 A 
IV)   A B 1, 2, 1, 2  
V)   B A 2  
Logo, 
(A) todas as afirmações estão erradas. 
(B) só existe uma afirmação correta. 
(C) as afirmações ímpares estão corretas. 
(D) as afirmações III e V estão corretas. 
(E) as afirmações I e IV são as únicas incorretas. 
 
RESPOSTA: D 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
I) FALSA, pois   A B 1  
II) FALSA, pois           B A 2 2 B A 2 B A        
III) VERDADEIRA, pois  1 é um subconjunto de A . Note que  1 também é um elemento de A . 
Assim, também é verdade que  1 A e   1 A . 
IV) FALSA, pois     A B 1,2, 1 , 2  . 
V) VERDADEIRA, pois B A é um conjunto formado pelos elementos de B que não são elementos 
de A , ou seja,   B A 2  . 
 
 
19) O coeficiente do termo de 2 grau do produto entre o quociente e o resto, resultantes da divisão de 
3 4x 3x x 7   por 22 x é: 
(A) 22 
(B) 11 
(C) 10 
(D) 1 
(E) 1 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
Vamos efetuar a divisão dos polinômios pelo “método dos coeficientes a determinar”. 
O dividendo   4 3D x x x 3x 7    é do 4 grau, o divisor   2d x 2 x  é do 2 grau, então o 
quociente é do 2 grau e o resto no máximo do 1 grau (um grau a menos do que o divisor). 
Observe que D d q     e maxr d 1    , onde o símbolo  indica o grau do polinômio. 
Assim, podemos escrever o quociente da forma   2q x ax bx c   e o resto da forma  r x mx n.  
Pelo algoritmo da divisão de Euclides, temos: 
            
     
4 3 2 2
4 3 4 3 2
D x d x q x r x x x 3x 7 2 x ax bx c mx n
x x 3x 7 ax bx 2a c x 2b m x 2c n
            
            
 
Como se trata de uma identidade, os polinômios de ambos os lados devem possuir os mesmos 
coeficientes. Assim, temos: 
 
 
 
a 1 a 1
b 1 b 1
2a c 0 c 2a 2 1 2
2b m 3 2 1 m 3 m 1
2c n 7 2 2 n 7 n 11
    

    


        
            

         
 
Assim, o quociente da divisão é   2q x x x 2    e o resto é  r x x 11   . 
Portanto, o produto entre o quociente e o resto é 
       2 3 2q x r x x x 2 x 11 x 10x 9x 22            cujo coeficiente do termo do 2 grau é 
10 . 
 
 
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20) Dois lados de um triângulo medem 4 cm e 6 cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3 cm . 
O perímetro do círculo circunscrito ao triângulo mede: 
(A) 4 cm 
(B) 6 cm 
(C) 8 cm 
(D) 12 cm 
(E) 16 cm 
 
RESPOSTA: C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Calculando a área do triângulo ABC de duas formas diferentes, temos: 
ABC
BC AH AB AC BC AB AC 4 6
S R 4 cm
2 4R 2 AH 2 3
    
     
 
. 
Portanto, o perímetro do círculo circunscrito ao triângulo ABC é 2p 2 R 2 4 8 cm      . 
 
 
21) Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de um quadrilátero L , obtém-se um losango. Pode-
se afirmar que L 
(A) é um retângulo. 
(B) tem diagonais perpendiculares. 
(C) é um trapézio isósceles. 
(D) é um losango. 
(E) tem diagonais congruentes. 
 
RESPOSTA: E 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Seja ABCD um quadrilátero qualquer e M , N , P e Q os pontos médios de seus lados. 
 
Os segmentos MN , NP , PQ e MQ são bases médias dos triângulos ABC , BCD , ACD e ABD , 
respectivamente. Dessa forma, temos: 
MQ BD NP e 
BD
MQ NP
2
  
MN AC PQ e 
AC
MN PQ
2
  
Note que para qualquer quadrilátero ABCD , o quadrilátero MNPQ possui lados opostos paralelos e 
iguais e, portanto, é um paralelogramo. 
No caso do enunciado, o quadrilátero MNPQ é um losango, então todos os lados são iguais, ou seja, 
BD AC
MQ NP MN PQ BD AC
2 2
       . 
Assim, isso ocorre quando o quadrilátero ABCD tem diagonais congruentes. 
 
 
22) Considere os conjuntos M dos pares ordenados  x, y que satisfazem à equação 
   1 1 1 2 2 2a x b y c a x b y c 0      e N dos pares ordenados  x, y que satisfazem o sistema 
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
a x b y c 0
  

  
. Sendo 1 1 1 2 2 2a b c a b c 0      , pode-se afirmar que : 
(A) M N 
(B) M N M  
(C) M N  
(D) M N N  
(E) M N  
 
RESPOSTA: B 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
As soluções da equação    1 1 1 2 2 2a x b c a x b y c 0      são os valores de  x, y tais que 
1 1 1a x b y c 0   ou 2 2 2a x b y c 0   . 
As soluções do sistema de equações 
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
a x b y c 0
  

  
 são os valores de  x, y tais que 
1 1 1a x b y c 0   e 2 2 2a x b y c 0   . 
Sejam A o conjunto solução da equação 1 1 1a x b y c 0   e B o conjunto solução de 
2 2 2a x b y c 0   , então o conjunto solução da equação    1 1 1 2 2 2a x b c a x b y c 0      é 
M A B  e o conjunto solução do sistema de equações 
1 1 1
2 2 2
a x b y c 0
a x b y c 0
  

  
 é N A B  . 
Como A B A B   , então N M , o que implicaM N M  . 
 
 
23) A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi desenhada na escala 1:100 . A área real da 
sala é: 
 
(A) 220 cm 
(B) 228,5 cm 
(C) 22850 cm 
(D) 228,5 m 
(E) 280, 4 m 
 
RESPOSTA: D 
 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 
Na figura acima, todas as medidas de comprimento foram convertidas para centímetros. 
A área da figura pode ser calculada somando-se a área do retângulo ABGF com o trapézio retângulo 
CDEG . Assim, temos: 
 
2
ABGF CDEG
1 2 3
S S S 6 4 24 4,5 28,5 cm
2
 
        . 
A escala da planta é 1:100 o que significa que os comprimentos reais são 100 vezes os apresentados 
na planta. No caso da área devemos multiplicar o valor obtido na planta por 2100 . Logo, a área total 
da sala é dada por: 
2 2 2 2S 28,5 cm 100 285.000 cm 28,5 m    . 
Note que 1 m 100 cm e 2 2 21 m 100 cm . 
 
 
24) Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os segmentos CD e GH são colineares. A 
razão entre a área de um deles e a área do triângulo EMN é igual a: 
 
 
(A) 6 
(B) 9 
(C) 12 
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(D) 16 
(E) 18 
 
RESPOSTA: E 
 
RESOLUÇÃO: 
 
Seja x a medida dos lados dos dois hexágonos regulares congruentes, então: 
FN AF FN x x
FN JI AFN AJI FN
JI AJ x 3x 3
        
KM AK KM 2x x
KM LI AKM ALI KM
LI AL x 4x 2
        
Comparando a área dos triângulos EMN e AKF , temos: EMN
EKF
x 2x
S EM EN 12 3
S EK EF x x 3


  
 
. 
Mas a área do triângulo equilátero EKF é um sexto da área de cada um dos hexágonos, então 
EMN EMN hex.
hex.EKF EMN
S S S1 1
18
SS 3 3 S
6
     . 
 
 
25) Sabendo-se que a média aritmética e a harmônica entre dois números naturais valem, 
respectivamente, 10 e 
32
5
, pode-se dizer que a média geométrica entre esses números será igual a: 
(A) 3, 6 
(B) 6 
(C) 6, 4 
(D) 8 
(E) 9 
 
RESPOSTA: D 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
Sejam x, y os números do enunciado, então temos: 
x y
MA 10 x y 20
2

     
2xy 32 2xy 32
MH xy 64
x y 5 20 5
     

 
MG xy 64 8   
 
NOTA 1: PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
Essa nota é referente à questão 8. 
 
Fatorar uma expressão é transformála num produto de fatores de menor grau que a expressão 
original. 
 
Produtos notáveis são expressões de forma conhecida que são memorizadas para facilitar o 
desenvolvimento de expressões algébricas e o processo de fatoração. 
 
Para se realizar uma fatoração, duas técnicas são importantíssimas, a saber: 
 
Evidenciação: consiste em aplicar a propriedade distributiva da multiplicação em expressões cujos 
termos tenham fatores comuns: 
 
 a b a c a b c      
 
Exemplo:  2 23a b 6ab 3ab a 2b   
 
Agrupamento: consiste em realizar seguidas evidenciações. 
 
       a b a c b d c d a b c d b c b c a d                 
 
Exemplos:       3 2 2 2x x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 x 1           
 
Vamos agora apresentar alguns produtos notáveis e fatorações úteis na resolução de problemas. 
 
Produto de Stevin: 
 
       2x y x z x y z x yz        
 
Diferença de quadrados: 
 
   2 2a b a b a b     
 
 
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Quadrado da soma e da diferença: 
 
 2 2 2a b a 2ab b    
 
 2 2 2a b a 2ab b    
 
 2 2 2 2a b c a b c 2ab 2ac 2bc        
 
   
2 2 2 2 2
1 2 k 1 2 k 1 2 1 3 1 k i i jk 1 ka a a a a a 2a a 2a a 2a a 2a a 2 a a                
 
Esses produtos notáveis são obtidos com auxílio da distributividade da multiplicação em relação à 
adição. 
 
         2 2 2 2 2a b a b a b a a b b a b a ab ba b a 2ab b                  
 
A fórmula do quadrado da diferença pode ser obtida facilmente a partir da fórmula do quadrado da 
soma da seguinte forma:         
22 22 2 2a b a b a 2 a b b a 2ab b              . 
 
A mesma ideia é útil para calcular o quadrado da soma de três números quando há sinais negativos. 
 
                 22 2 22
2 2 2
a b c a b c a b c 2a b 2a c 2 b c
a b c 2ab 2ac 2bc
                   
     
 
 
Identidades de Legendre: 
 
     2 2 2 2a b a b 2 a b     
 
   2 2a b a b 4ab    
 
     4 4 2 2a b a b 8ab a b     
 
Teorema: O trinômio da forma 2ax bx c  é o quadrado de um binômio do primeiro grau se, e 
somente se, 2b 4ac . 
 
Cubo da soma e da diferença: 
 
   3 3 2 2 3 3 3a b a 3a b 3ab b a b 3ab a b         
 
   3 3 2 2 3 3 3a b a 3a b 3ab b a b 3ab a b         
 
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 
   
  
     
3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 2
3 3 3
3 3 3
3 3 3 2 2 2
a b c a b c 3a b 3a c 3b a 3b c 3c a 3c b 6abc a 3 a b 6abc
a b c 3 a b b c c a
a b c a b c ab bc ca 3abc
a b c 3a b c 3b a b 3c a b 6abc
               
      
        
         
 
 
Soma de cubos:   3 3 2 2a b a b a ab b     
 
Diferença de cubos:   3 3 2 2a b a b a ab b     
 
 
Identidade trinômica ou identidade de Argand: 
 
   2 2 4 2x x 1 x x 1 x x 1        
 
  2 2 2 2 4 2 2 4x xy y x xy y x x y y       
 
  2m m n 2n 2m m n 2n 4m 2m 2n 4nx x y y x x y y x x y y       
 
Binômio de Newton: 
 
 
nn n n 1 1 n 2 2 1 n 1 n p n p
p 0
n n n n
a b a a b a b a b b b a
1 2 n 1 p
   

       
               
       
 
 
Os coeficientes do desenvolvimento são chamados números binomiais e calculados da seguinte 
maneira: 
 
 
n n!
p p! n p !
 
 
 
 
 
onde    k! k k 1 k 2 3 2 1         , com k . 
 
Esses coeficientes podem ser obtidos no diagrama abaixo chamado de “Triângulo de Pascal”, no qual 
o valor de 
n
p
 
 
 
 é o  p 1 -ésimo elemento da linha correspondente a n. 
 
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Dessa forma, podemos escrever os seguintes desenvolvimentos. 
 
 4 4 3 2 2 3 4a b a 4a b 6a b 4ab b      
 
 5 5 4 3 2 2 3 4 5a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b       
 
 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6a b a 6a b 15a b 20a b 15a b 6ab b        
 
 
A seguir vamos apresentar algumas outras fatorações úteis. 
 
  n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1n : a b a b a a b a b a b ab b                
 
  n n n 1 n 2 n 3 2 2 n 3 n 2 n 1n e n ímpar : a b a b a a b a b a b ab b               
 
Essa última fatoração é obtida a partir da anterior, substituindo b por  b . 
 
Identidades de Gauss: 
 
          2 2 23 3 3 2 2 2 1a b c 3abc a b c a b c ab ac ab a b c a b a c b c
2
                      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Demonstração: 
   
       
  
  
       
3 3 3
3 2 2 3 3 2 2
3 3
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
a b c 3abc
a 3a b 3ab b c 3a b 3ab 3abc
a b c 3ab a b c
a b c a b a b c c 3ab a b c
a b c a 2ab b ac bc c 3ab
a b c a b c ab ac ab
1
a b c a b a c b c
2
   
        
      
            
         
        
          
 
 
      a b b c c a abc a b c ab bc ca         
 
Identidade de Sophie - Germain:   4 4 2 2 2 2a 4b a 2b 2ab a 2b 2ab      
 
Identidade de Lagrange:       22 2 2 2 2ac bd ad bc a b c d     
 
Teorema de D’Alembert: 
Outro teorema muito útil para efetuar fatorações é o Teorema de D’Alembert: “O resto de um 
polinômio  P x por  x a é  P a . 
 
Um corolário desse teorema é: “Se um polinômio  P x se anula para x a , então ele contém o fator 
 x a .” 
 
Exercícios relacionados 
 
1) (CMRJ 2011) Dados os números reais a , b , c diferentes de zero e a b c 0   , para que a 
igualdade 
1 1 1 1
a b c a b c
  
 
 sempre se verifique, devemos ter, necessariamente 
a) a b 2c  
b) a b 2c   
c) a b ou b c ou a c 
d) 
a c
b
2

 
e) a b  ou b c  ou a c  
 
RESPOSTA: e 
 
RESOLUÇÃO: 
     
1 1 1 1
bc a b c ac a b c ab a b c abc
a b c a b c
            
 
 
2 2 2 2 2 22abc b c bc a c ac a b ab 0        
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           22 2 2 2b a c ac a c b a 2ac c 0 b a c ac a c b a c 0               
        2a c b ac b a c 0 a c b a b c 0           
a c a b b c         
 
 
2) (CMRJ 2000) Simplificando a fração algébrica 
3 2
4 3 2
2x 3x 27
2x 3x 9x 27x 81
 
   
, encontramos 
a) x + 3 
b) 
1
x 3
 
c) x – 3 
d) 
1
x 3
 
e) 
x 3
x 3


 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
      
3 2 3 2
4 3 2 4 3 3 2
3 2 3 2
3 2 3 2 3 2
2x 3x 27 2x 3x 27
2x 3x 9x 27x 81 2x 3x 27x 6x 9x 81
2x 3x 27 2x 3x 27 1
x 3x 2x 3x 27 3 2x 3x 27 x 3 2x 3x 27
   
 
        
   
  
       
 
 
 
3) (CMRJ 2001) Se 
3 2
2
x 3x 3x 1
M
5x 10x 5
  

 
 e 
3x 1
N
5x 10



, o valor de 
N
M
 para x 2 é: 
a) 
4 2
5

 
b) 
1 2
7

 
c) 4 2 
d) 
4 2
5

 
e) 
4 2
7

 
 
RESPOSTA: e 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO: 
 
 
33 2
2 2
x 3x 3x 1 x 1 x 1
M
55x 10x 5 5 x 1
    
  
  
 
  
 
3 2x 1 x 1 x x 1
N
5x 10 5 x 2
   
 
 
 
  
 
 
   22 2
x 1
M x 1 5 x 2 x 25
N 5 x x 1x 1 x x 1 x 1 x x 1
5 x 2

  
   
      

 
  
  2
M x 2 2 2 2 2 2 2 3 2 4 2
x 2
N 72 2 1 3 2x x 1 3 2 3 2
     
      
     
 
 
 
4) (EPCAR 2010) Considere os números a , b e x tais que a b x  , 1a b x  e a b 0  . O valor 
da expressão 
  
  
2 2 3 3
2 2 2 2
2
a 2ab b a b
a b a ab b
y
a ab
2a
  
  

 
 
 
 é 
a) 2 
b) 22x 
c) 2x 
d) 
2x
2
 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
  
       
     
 
 
2 2 3 3
2 2 22 2 2 2
2
12 2 2
a 2ab b a b
a b a b a ab b 2a 2 a b 2xa b a ab b
y . 2x
a a b a b xa ab a b a b a ab b
2a

  
      
    
      
 
 
 
 
 
5) (IME 2008) Seja x um número real ou complexo para o qual 
1
x 1
x
 
  
 
. O valor de 6
6
1
x
x
 
 
 
 é: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
RESPOSTA: b 
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RESOLUÇÃO: 
  2 2 2
3 3
1
x 1 x 1 x x x 1 0 x 1 x x 1 0
x
x 1 0 x 1
 
               
 
     
 
 
 
 
 
2 26 3
6 2 2
3
1 1 1
x x 1 2
x 1x
 
       
  
 
 
 
6) Fatorando 5 4x x 1  em dois fatores de menor grau, um dos fatores obtidos é: 
a) 2x x 1  
b) 2x x 1  
c) 2x x 1  
d) 3x x 1  
e) 3x x 1  
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
     
  
3 2 35 4 5 4 3 2 2 2
2 3
2x x 1 x x 1 x x x 1 1 x x 1 x x x 1
x x 1
x x
x x
x
1
x x x                
 
    


 
 
 
 
7) Sabendo que 2 3x y 1  e 
4 6x y 2  , o valor de  
2
2 3 4 2 3 6x y x 2x y y    é 
a) 0 
b) 1 
c) 1 
d) 2 
e) 2 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
Identidade de Legendre:    
2 2
a b a b 4ab    
     
2 2 2
2 3 4 2 3 6 2 3 2 3 2 3x y x 2x y y x y x y 4x y           
 
2
2 3 2 3 2 4 2 3 6x y 1 x y 1 x 2x y y 1         (*) 
Substituindo 4 6x y 2  em (*), temos 2 3 2 32 2x y 1 2x y 1     
     
2
2 3 4 2 3 6 2 3 2 3x y x 2x y y 4x y 2 2x y 2 1 2               
 
 
 
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8) Considere as afirmativas: 
1.          2 2 2 2 2 2a b b c c a 2 a b c 2 ab bc ac           
2.        3 3 3 3a b c a b c 3 a b b c c a         
3.        
2 2 2 3 3 31 a b c a b b c c a a b c 3abc
2
           
 
 
Assinale: 
a) Se somente as afirmativas (1) e (2) forem verdadeiras. 
b) Se somente as afirmativas (1) e (3) forem verdadeiras. 
c) Se somente as afirmativas (2) e (3) forem verdadeiras. 
d) Se todas as afirmativas forem verdadeiras. 
e) Se todas as afirmativas forem falsas. 
 
RESPOSTA: d 
 
RESOLUÇÃO: 
1. V 
     
   
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
a b b c c a a 2ab b b 2bc c c 2ac a
2 a b c 2 ab bc ac
              
     
 
2. V 
   
     
 
3 3 3 3
2 2 2 2 2 2 2
2 2
a b c a b c
b c a b c 2ab 2ac 2bc a ab ac a b c b bc c
b c 3a b
     
               
   2c 23ab 3ac 2bc b    2bc c  
      23 b c a ab ac bc 3 a b b c c a

        
 
3. V 
       
2 2 21 1
a b c a b b c c a
2 2
        
 
 a b c 2    2 2 2
3 2
a b c ab ac bc
a ab
     
  2ac 2a b 2a c 2abc a b  3 2b bc  2ab 2abc b c  2a c 2b c
3 2c abc ac

   2bc 3 3 3a b c 3abc   
 
 
 
9) Analise as igualdades a seguir: 
I) 
a b c
0
(a b).(a c) (b c).(b a) (c a).(c b)
  
     
 
II) 
2 2 2 2 2 2
2
(x+y) (y+z) (z+x) (x y z )
1
(x+y+z)
    
 
III) 
2 b c 2 c a 2 a b
1
b c (c a).(a b) c a (a b).(b c) a b (b c).(c a)
  
     
        
 
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IV) 
2 2 2 3
3 3 3 3 2 2
a ab a ab+b 2a 2ab b
1 1
a+b a ba b a b a ab+b
    
              
 
A quantidade de igualdades verdadeiras é: 
a) 4 
b) 3 
c) 2 
d) 1 
e) 0 
 
RESPOSTA: b 
 
RESOLUÇÃO: 
I) VERDADEIRA 
     
     
a b c a b c b a c c a b
(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) a b a c b c
ab
    
   
             

ac ab bc ac bc
     
0
a b a c b c

    
 
II) VERDADEIRA 
        
 
2 2 2 2 2 2
2
2
(x+y) (y+z) (z+x) (x y z )
(x+y+z)
x y z x y z x y z x y z x y z x y z
(x+y+z)
x y z x y z
    

              
 