FUNDAMENTOS DA ANÁLISE I

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1. Ref.: 263550 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Considere o conjunto dos números naturais: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria 
dos números naturais dos 4 axiomas de Peano. 
O segundo dos axiomas de Peano é P2. 
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que s(m)=s(n)⟹m=n 
 
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que 
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais. 
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes. 
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor. 
 
 (I) e (II) 
 
(II) 
 
(II) e (III) 
 
(III) 
 
(I) e (III) 
 
 
 2. Ref.: 666395 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Para provarmos propriedades dos números naturais, podemos também formular o 
Principio da Indução como: 
Se P é uma propriedade dos números naturais tal que: 
i) P é válida para um número natural n0 ∈∈ N. 
ii) A validade de P para n ∈∈N implica na validade de P para 
o sucessor n + 1 ∈∈ N. 
Então, a propriedade P vale para todos os números naturais n ∈∈N tais que: 
 
 n ≠ n0 
 n < n0 
 n ≥ n0 
 n ≤ n0 
 n > n0 
 
 
 3. Ref.: 620147 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Considere a sequência infinita f:N*→ Q onde f (n) = 1/n . Podemos afirmar que: 
 
 O conjunto imagem da função é enumerável. 
 
f( n+1) ¿ f(n) pode ser positivo. 
 
O menor valor que a função assume é igual a 0,001. 
 
maior valor que a função assume é igual a 2. 
 
O conjunto imagem da função é não enumerável. 
 
 
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 4. Ref.: 662340 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a 
alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado. 
 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4, sim 5. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + 0 = a 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0) 
4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0) 
5, sim 6. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, distrib. 3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
3, fech 4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4. assoc 5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 
5, sim 6. (a . 0) = 0 
 
 fech. 1. a . (0 + 0) = a . 0 
1, distrib. 2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0 
fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
4. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) 
5, sim 5. (a . 0) = 0 
 Suponhamos 1. 0 + 0 = 0 
1, fech. 2. a . (0 + 0) = a . 0 
2, fech 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0) 
3. assoc 4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0) 
4, sim 5. (a . 0) = 0 
 
 
 5. Ref.: 666490 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do 
seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a 
é par. 
 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos 
que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. 
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Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a 
dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos 
que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. 
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a 
dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a 
dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z. 
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 
4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa 
forma, pela definição, a2 é um número ímpar. Isso equivale a dizer que: 
Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par. 
 Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar. 
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento 
de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 
1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar. 
 
 
 6. Ref.: 620317 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então: 
 
 
a é par 
 
a < b 
 
a é ímpar 
 a > b 
 
a = b 
 
 
 7. Ref.: 620341 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Se |x-2| < 3 , podemos afirmar que o valor do número real x pertence : 
 
 
[ - 1 , 5 [ 
 ] -1 , 5 [ 
 
] -1 , 5 ] 
 
{ -1 , 5 } 
 
[ -1 , 5 ] 
 
 
 8. Ref.: 620426 Pontos: 1,00 / 1,00 
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Achar o supremo , caso exista , do conjunto A ={ x∈ R : 3x2 - 10x + 3 < 0}. 
 
 3 
 
- 2 
 
4 
 
1/3 
 
- 5 
 
 
 9. Ref.: 977114 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Analise as afirmativas e assinale a alternativa correta. 
(I) O interior do conjunto A = (0,1] é (0,1). 
(II) O exterior do conjunto A = {1,2} é R - {1,2}. 
(III) Seja B o conjunto dos números irracionais. A 
fronteira de B é Q (conjunto dos números racionais). 
 
 Apenas as afirmativa I e III estão corretas. 
 Apenas a afirmativa I é correta. 
 Apenas a afirmativa II é correta. 
 Apenas as afirmativa II e III estão corretas. 
 Apenas as afirmativa I e II estão corretas. 
 
 
 10. Ref.: 129634 Pontos: 1,00 / 1,00 
 
Considere cada uma das afirmativas abaixo que dizem respeito à noção de vizinhança no 
espaço métrico R. 
 
(I) Uma vizinhança aberta de um ponto x=c em R é um intervalo aberto da forma Vc=(c-
r1,c+r2) onde r1>0 e r2>0 são números reais pequenos. 
 
(II) Uma boa forma para construir uma vizinhança aberta para um ponto x=c, é construir 
um intervalo simétrico centrado em x=c e com raio r, denotado por Vc=(c-r,c+r) onde r>0 é 
pequeno, dependendo da forma como as distâncias são medidas. 
 
(III) A distância entre os números reais x e y pode ser notada por d(x,y)=|x-y|. 
 
Com relação as afirmativas e a teoria de vizinhança no espaço metrico R, é CORRETO 
afirmar 
 
 
I e II somente. 
 
III somente. 
 
I e III somente. 
 
II e III somente. 
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 I, II e III.