Física I - Aula 16

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CIÊNCIAS DA NATUREZA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Professor(a): Paulo lemos
assunto: Dinâmica Do movimento circular
frente: Física i
OSG.: 120123/17
AULA 16
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Dinâmica do movimento circular
Neste estudo, analisaremos as forças envolvidas nos movimentos circulares descritos por corpos, em determinado plano.
Ro
st
is
la
v 
G
lin
sk
y/
12
3R
F/
Ea
sy
pi
x
Si
m
on
 E
va
ns
/1
23
RF
/E
as
yp
ix
Aceleração tangencial e centrípeta
a
t
a
n
a
→
→→
No movimento circular de uma partícula, veja figura acima, o vetor aceleração apresenta duas componentes: uma componente na 
direção tangente à curva, chamada de aceleração tangencial e uma componente perpendicular à aceleração tangencial, dirigida para o centro 
da circunferência chamada de aceleração normal ou aceleração centrípeta.
A aceleração tangencial é representada por (aT

) e aceleração normal por (aN

). A aceleração tangencial surge devido à variação da 
velocidade escalar em um determinado intervalo de tempo e é caracterizada por possuir a direção do vetor velocidade. Se o valor da velocidade 
aumentar, o sentido da aceleração tangencial terá o mesmo sentido do vetor velocidade e contrário se o módulo da velocidade diminuir. 
A componente normal da aceleração surgirá quando houver variação da direção do vetor velocidade num dado intervalo de tempo, apresenta 
sentido dirigido para o centro da circunferência, sendo perpendicular ao vetor velocidade.
No caso do movimento ser circular uniforme só existe a componente da aceleração que é perpendicular ao vetor velocidade, isto é, 
aceleração centrípeta.
Nos movimentos retilíneos variados, como não ocorre mudança de direção do vetor velocidade, a aceleração só apresenta a componente 
tangencial. No caso particular do movimento retilíneo e uniforme, como não existe variação do vetor velocidade, ou seja, não variam nem 
o valor nem a direção do vetor velocidade, as duas componentes do vetor aceleração, tangencial e centrípeta, são nulas.
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Módulo de estudo
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Força tangencial e centrípeta
Em uma partícula que realiza movimento circular uniformemente 
variado, podemos observar a atuação de duas forças, uma componente 
tangencial (responsável pela variação do módulo da velocidade) sempre 
tangente à trajetória e outra de componente centrípeta (responsável 
pela variação da trajetória). Num sistema onde existem força centrípeta 
e força tangencial, a decomposição da força resultante é dada como 
mostra abaixo.
R
F
F
t
 F
cpa
a
t acp
Resultante tangencial
Resultante das forças tangentes à trajetória da partícula em 
movimento uniformemente variado, responsável pela variação do 
módulo de sua velocidade.
Módulo da força tangencial
De acordo com a 2a lei de Newton, temos:
F m aRT T= ⋅
Resultante centrípeta
Resultante das forças orientadas para o centro da trajetória 
descrita pela partícula em movimento uniformemente variado, 
responsável pela variação de trajetória.
Módulo da força centrípeta
De acordo com a 2a lei de Newton, temos:
F m acp cp= ⋅
Como a aceleração centrípeta é dada por:
a = 
v
cp
2
R
, substituindo esta expressão na equação acima, 
teremos:
F = m a F = m cp cp cp⋅ → ⋅
v
R
2
ou F = m R cp ⋅ ω2 pois, v = ω.R
Onde:
F
cp
 → intensidade da força de atrito.
m → massa da partícula.
V → velocidade escalar.
ω → velocidade angular escalar
R → raio da trajetória circular.
Força centrípeta em 
diversas situações
Carro passando no ponto mais baixo de uma 
depressão
N
P
Note que para o carro encurvar para cima é necessário que 
a intensidade da força normal deva ser maior que a intensidade da 
força-peso, ou seja:
N P>
Logo, a resultante centrípeta será dada por:
F N Pep = −
Carro passando no ponto mais alto de uma 
lombada
N
P
Note que para o carro encurvar para baixo é necessário que 
a intensidade da força normal deva ser menor que a intensidade da 
força-peso, ou seja:
N P<
Logo, a resultante centrípeta será dada por:
F P Ncp = −
Curva plana e horizontal
Neste tipo de curva plana e horizontal, a única força atuante no 
carro que evita que o mesmo sai pela tangente e consequentemente 
consiga fazer a curva é a força de atrito, pois a força normal anula a 
força peso, portanto:
F Fcp at=
P
�
R
N
F
c
 = F
at
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Módulo de estudo
Curva sobrelevada
Centro Fc
N
P
θ
θ
Nesse tipo de situação, em que temos o movimento de um 
carro em uma pista curva sobrelevada, para o carro conseguir fazer 
a curva é necessário que a resultante das forças aponte para o centro 
da curva. Podemos verificar, através da figura acima, o esquema do 
diagrama de forças.
Globo da morte
Na posição mais alta ocupada pela moto, no interior do globo 
da morte, figura abaixo, a resultante das forças orientadas para o 
centro da curva, responsável pela mesma é a força centrípeta, que 
neste caso é dada pela soma vetorial das forças peso e normal, ou seja:
F P Ncp = +
V
P
R
N
Importante: 
A velocidade mínima da moto, na posição mais alta, ocorrerá 
quando a moto, nesta posição passar no limiar de perder o contato 
com o piso interno do globo, ou seja, a força normal tende a zero 
neste ponto. Portanto:
F Pcp =
Força centrífuga
A força inercial centrífuga é uma pseudoforça, não sendo uma 
força na definição do termo, percebida apenas por observadores 
solidários a referenciais não inerciais animados de movimento de 
rotação em relação a um referencial inercial.
X
y
m
x
y
ω
F
cp
F
cf
Z,z
Exercícios
01. (UFPR) Convidado para substituir Felipe Massa, acidentado nos 
treinos para o grande prêmio da Hungria, o piloto alemão Michael 
Schumacker desistiu após a realização de alguns treinos, alegando 
que seu pescoço doía, como consequência de um acidente sofrido 
alguns meses antes, e que a dor estava sendo intensificada pelos 
treinos. A razão disso é que, ao realizar uma curva, o piloto deve 
exercer uma força sobre a sua cabeça, procurando mantê-la 
alinhada com a vertical.
 Considerando que a massa da cabeça de um piloto mais o capacete 
seja de 6,0 kg e que o carro esteja fazendo uma curva de raio 
igual a 72 m a uma velocidade de 216 km/h, assinale a alternativa 
correta para a massa que, sujeita à aceleração da gravidade, dá 
uma força de mesmo módulo.
A) 20 kg. B) 30 kg.
C) 40 kg. D) 50 kg.
E) 60 kg.
02. (Mack–SP) Na figura, o fio ideal prende uma partícula de massa m a 
uma haste vertical acoplada a um disco horizontal que gira com 
velocidade angular ω constante. Sabendo que a distância do eixo 
de rotação do disco ao centro da partícula é igual a 0,10 3 m e 
que g = 10 m/s², calcule a velocidade angular do disco.
ω
60° m
g
03. (Fuvest) Uma estação espacial foi projetada com formato cilíndrico, 
de raio R igual a 100 m, como ilustra a figura abaixo.
R
ω
 Para simular o efeito gravitacional e permitir que as pessoas 
caminhem na parte interna da casa cilíndrica, a estação gira 
em torno de seu eixo, com velocidade angular constante ω. 
As pessoas terão sensação de peso, como se estivessem na Terra, 
se a velocidade ω for de, aproximadamente.
Note e adote:
A aceleração gravitacional na superfície da terra é g = 10 m/s2.
A) 0,1 rad/s B) 0,3 rad/s
C) 1 rad/s D) 3 rad/s
E) 10 rad/s
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Módulo de estudo
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04. (UFV-MG) Um corpo de massa M (círculo preto), suspenso por 
um fio inextensível e de massa desprezível, está ligado a um 
dinamômetro através de uma roldana, conforme ilustrado na 
figura (I) adiante.
DINAMÔMETRO DINAMÔMETRO
( I ) ( II )
 Se o corpo é posto a girar com uma frequência angular constante, 
conforme ilustrado na figura (II) acima, e desprezando qualquer 
tipo de atrito, é correto afirmar que, comparada com a situação 
I, o valor da leitura do dinamômetro:
A) será menor.
B) não se altera.
C) será maior.
D) será nulo.
05.(Cesgranrio/2011) Uma esfera de massa igual a 3 kg está amarrada 
a um fio inextensível e de massa desprezível. A esfera gira com 
velocidade constante em módulo igual a 4 6
15
m/s, formando um 
cone circular imaginário, conforme a figura a seguir.
α
 O fio permanece esticado durante todo o movimento, fazendo 
um mesmo ângulo α com a vertical, cuja tangente é 8/15. 
A componente horizontal da tração no fio vale 16 N e é a força 
centrípeta responsável pelo giro da esfera. O volume do cone 
imaginário, em cm3, é:
A) 280 π B) 320 π
C) 600 π D) 960 π
E) 1800 π
06. Um ponto material em MCU, sobre a mesa horizontal, sem 
atrito, preso a uma mola, está representado na figura abaixo. 
Determine a constante elástica K, sabendo-se que m = 2 kg, 
w = 5 rad/s, l = 0,6 m (comprimento natural da mola) e 
R = 0,8 m (raio).
θ
07. (Fuvest) Um carro percorre uma pista curva superelevada 
(tg q = 0,2) de 200 m de raio. Desprezando o atrito, qual a 
velocidade máxima sem risco de derrapagem?
θ
g = 10 m.s–2
A) 40 km · h–1 B) 48 km · h–1
C) 60 km · h–1 D) 72 km · h–1
E) 80 km · h–1
08. A figura representa um ponto material preso a um fio em MCU 
no plano vertical. Determine, através da figura, a tração no fio 
no ponto mais baixo da trajetória, sabendo-se que v = 5 m/s, 
g = 10 m/s², m = 2 kg e R = 1 m.
v
09. (PUC-SP-2010) Um automóvel de massa 800 kg, dirigido por um 
motorista de massa igual a 60 kg, passa pela parte mais baixa 
de uma depressão de raio = 20 m com velocidade escalar de 
72 km/h. Nesse momento, a intensidade da força de reação que 
a pista aplica no veículo é: (Adote: g = 10 m/s2).
r = 20 m
A) 231512 N B) 215360 N
C) 1800 N D) 25800 N
E) 24000 N
10. (CFTCE) Uma esfera de massa 1,2 kg, presa a uma mola de 
1,0 m de comprimento e constante elástica 25 N/m, descreve 
uma trajetória circular num plano horizontal sobre uma mesa 
perfeitamente polida, como mostra a figura. Determine a energia 
mecânica, em relação à mesa, associada ao sistema massa-mola 
nas condições citadas.
r = 1,2 m
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Módulo de estudo
11. (UFF-RJ) Uma pequena moeda está na iminência de se deslocar 
sobre uma plataforma horizontal circular, devido ao movimento 
dessa plataforma, que gira com velocidade angular de 2,0 rad/s. 
O coeficiente de atrito estático entre a moeda e a plataforma é 
0,80. (Dado: g = 10 m/s2)
 Logo, a distância da moeda ao centro da plataforma é:
A) 2,0 m
B) 6,4 m
C) 4,0 m
D) 3,2 m
E) 8,0 m
12. Uma pedra de 3 N de peso, amarrada a um cordel de 2,5 m 
de comprimento, descreve uma circunferência horizontal de 
2 m de raio. O cordel, fixo em uma das extremidades, gera uma 
superfície cônica. Determine: 
 Dado: g = 10 m/s2.
A) a força de tração do fio, em newtons.
B) a frequência f de rotação, em Hz.
13. Um carrinho percorre o trilho, da figura a seguir, com velocidade 
escalar constante. O trilho pertence a um plano vertical e o trecho 
que contém o ponto A é horizontal. Os raios de curvatura nos 
pontos B e C são iguais.
 Sendo F
A
, F
B
 e F
C
, respectivamente, as intensidades das forças de 
reação normal do trilho sobre o carrinho nos pontos A, B e C, 
podemos concluir que:
A
C
B
A) F
A
 = F
B
 = F
C
B) F
C
 > F
A
 > F
B
C) F
B
 > F
A
 > F
C
D) F
A
 > F
B
 > F
C
E) F
C
 > F
B
 > F
A
14. (UFMG) Daniel está brincando com um carrinho, que corre por 
uma pista composta de dois trechos retilíneos – P e R – e dois 
trechos em forma de semicírculos – Q e S –, como representado 
nesta figura:
P
R
QS
 O carrinho passa pelos trechos P e Q, mantendo o módulo de sua 
velocidade constante. Em seguida, ele passa pelos trechos R e S 
aumentando sua velocidade.
 Com base nessas informações, é correto afirmar que a resultante 
das forças sobre o carrinho:
A) é nula no trecho Q e não é nula no trecho R.
B) é nula no trecho P e não é nula no trecho Q.
C) é nula nos trechos P e Q.
D) não é nula em nenhum dos trechos marcados.
15. (Olimpíada Brasileira de Física) Um carro movimenta-se com 
velocidade constante (módulo) num trecho circular de uma estrada 
plana conforme a figura abaixo. A força F representa a resistência 
que o ar exerce sobre o carro.
F
F
D
F
E
F
C
F
B
F
A
 Qual das outras forças, mostradas na figura, melhor representa 
a ação da estrada no pneu do automóvel?
A) FA B) FB
C) FC D) FD
E) FE
Resoluções
01. Dados:
 v = 216 km/h = 60 m/s; m = 6 kg; r = 72 m
 Cálculo da resultante centrípeta:
 
R
mv
r
R NC C= =
( )
= ⇒ =
2 26 60
72
3600
12
300 .
 Cálculo da massa:
 
m
P
g
m kg= = ⇒ =
300
10
30 .
Resposta: B
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Módulo de estudo
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02. 
 
60º
F
cp
P
T
 
tg
F
P
tg
m R
m g
cp60
60
3
0 10 3
10
10
2
2
º
º
,
=
=
⋅
=
=
ω
ω
ω rad/s
Resposta: 10 rad/s
03. N R P m R m g
g
r
rad s
cent= = ⇒ = ⇒
⇒ = = = ⇒ =
ω
ω ω
2
10
100
1
10
0 3, / .
 Resposta: B
04. 
 
T
1
→
P
1
→
Fig. I
 Como o corpo está em repouso, temos: T
1
 = P
 
T
2
→
P
1
→
F
cp
θ
T
2
→
P
→F
cp
θ
→
Fig. II
cos
cos
θ
θ
= ⇒ =P
T
T
P
2
2
2
 Quanto maior for o ângulo q, maior será a Tração T
2
. 
Portanto T
2
 > T
1
Resposta: C
05. Observe.
α
T
y
 = mgα
T
x
 = mV
2
R
tg
mV R
mg
V
Rg R R
R
α = = → =




→ =
×
→
→ =
×
2 2
2
2
8
15
4 6
15
10
8
15
96
15 10
96 15
/
880 15
0 08 8
8
15
8
15
1
3
1
3
15 32
2
2 2
×
= =
= → = → =
= = ⋅ ⋅ =
, m cm
tg
R
h h
h cm
V R h
α
π π 8 00 3π cm
Resposta: B
06. Represente as forças-peso, reação normal e a força elástica.
n
P
fel
 Como a força elástica está direcionada para o centro da curvatura, 
ela é igual à força centrípeta.
 F Fcp el
 
=
 m ⋅ w² R = K ⋅ Dx Dx = R – 1 = 0,2 m
 2 ⋅ 5² ⋅ 0,8 = K ⋅ 0,2 ∴ k = 200 N/m
Resposta: k = 200 N/m
07. Para que não ocorra risco de derrapagem, vamos considerar apenas 
as forças peso e normal de contato com a pista. Vamos decompor 
a força normal de
θ
N N
y
θ
N
x
P
 
contato com a pista 
e ass im encontrar 
suas componentes. 
A componente na 
direção horizontal será 
a resultante centrípeta 
e a c o m p o n e n t e 
vertical equilibrará o 
peso.
 Da figura, podemos 
concluir que:
 
N F Nsen
m
R
N P N mg
x cp
y
= ⇒ =
= ⇒ =
θ
ν
θ
2
cos
 Onde: R = 200 m. Agora, dividindo a primeira equação pela 
segunda, e utilizando a tg q, teremos, então:
 
Nsen
N
m
m
tg
m s
km
θ
θ
ν
θ
ν
ν ν
ν
cos
,
= ⇒ =
⋅ = ∴ = ⋅
=
−
2
2
2 1
200
10 2000
0 2 2000 20
72 ⋅⋅ −h 1
Resposta: D
08. Represente as forças-peso e de tração.
 p
T
fel
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Módulo de estudo
 Determine a força-peso:
 
 
P m g= ⋅ ∴ P = 20 N
 Faça operação vetorial e determine a resultante centrípeta. 
 F
CP
 = T – P
 
m
V
R
T
T
⋅ = −
⋅ = − ∴
2
2
20
2
5
1
20 T = 70 N
Resposta: T = 70 N
09. As forças que atuam sobre o (automóvel
r =
 2
0 
m
N
P
 
+ motorista) estão indicadas na figura 
→ a força resultante centrípeta é vertical 
e para cima, pois é dirigida para o centro 
da circunferência e tem intensidade F
c
 = 
m V 2 / R → 
N – P = mV2/R → 
 N = 860 ⋅ 10 + 860 ⋅ (20)2/20 → 
→ N = 25800 N.
Resposta: D
10. E
(mecânica)
 = E
(cinética)
 + E
(elástica)
 E = m · v2/2 + k · x2/2
 E = Rkx/2 + k · x2/2
 E = 1,2 · 25 · 0,2/2 + 25 · (0,2)2/2
 E = 3 + 0,5 = 3,5 J
Resposta: 3,5 J
11. Representando as forças:
R
N
P
f
at
f F N m
v
R
P m
w R
R
mg mw R
R
R m
at ep= → =
=
=
⋅ =
=
µ
µ
µ
2
2 2
2
20 8 10 2
2
,
Resposta: A
12. Dados:
 P N

= 3
 l = 2,5 m
 r = 2 m
 g = 10 m/s2
(I)
,
,
( )
,
l

2 2 2
26 25 4
15
3 10
0 3
= +
= +
=
= ⋅ ⇒
= ⋅ ⇒
=
r h
h
h m
II P m g
m
m kg
r = 2m
h = ?
T ⋅ cos 
T ⋅ cos 
� = 2,5 m

 T
�
 A) T P T T N
   
⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =cos
,
,
α
15
2 5
3 5
 B) T sen F T sen
m R
R
R
R
p
  
⋅ = ⇒ ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅( )
⇒
⋅ =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⇒
α α
π
π
Re
,
,
2 7
5
2
2 5
0 3 4 7
2
2 2 2
44 0 3 4 7
10 3 7 2 7 0 4
2 2
2 2
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ≅
,
, ,
π
π
R
Hz
 Resposta: A T N
B
)
) , Hz

=
≅
5
7 0 4
13. 
(I) No ponto A: F PA
 
=
(II) No ponto B, considerando P

 e raio constante:
 F P F F P Fep B B ep
     
= − = −
(III) No ponto C, considerando P

 e raio constante:
 
F F P F F Pep c c ep
     
= − = +
 F
c
 > F
A
 > F
B
Resposta: B
14. Lembrando as Leis de Newton:
 Repouso ou MRU ⇒ EQUILÍBRIO (1ª Lei de Newton) ⇒ F
R
 = 0
 F m aR
 
= ⋅
 Precisa-se de força para provocar aceleração, seja aceleração 
centrípeta, seja aceleração tangencial, e, em movimento, o único 
caso em que a resultante é nula é no MRU.
 Assim, o único trecho da questão em que a resultante é nula é 
no trecho P. Nos trechos Q e S tem uma resultante centrípeta, 
para fazer a curva, e além disto no trecho R tem uma resultante 
tangencial, para acelerar o carro, aumentando sua velocidade.
Resposta: B
15. A resultante entre a força que a estrada exerce no pneu e a força 
de resistência do ar F
( ) deve ser centrípeta. Por isso, a força que 
melhor representa a ação da estrada no pneu é FB

.
 centro
resultante
centrípeta
F
�
aF
�
Resposta: B SUPERVISOR/DIRETOR: Marcelo Pena – AUTOR: Paulo LemosDIG.: Robert – 11/10/17 – REV.: Karlla