2019-01-21 Estatística Teste Final PL - Resolução

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Estatística
Teste �nal � Resolução
21 de janeiro de 2019 � Duração: 90 minutos
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adicional poderá utilizar a última página do enunciado. Não desagrafe as folhas.
Nome: Número:
1. O Professor Eleutério desloca-se todos os dias de autocarro para a universidade. Infelizmente (6.0)
o percurso feito pelo autocarro tem muitas vezes trânsito, resultando num atraso no horário de
chegada. Este atraso pode ser de�nido por uma variável aleatória com distribuição Normal de
valor esperado 12 minutos e desvio padrão 5.
(a) Determine a percentagem de dias em o Professor Eleutério chega mais de 10 minutos atra- (1.5)
sado.
P (X > 10) = 1− P (X ≤ 10)
= 1− Φ
(
10− 12
5
)
= 1− Φ(−0.4)
= 0.6554
(b) Determine a probabilidade do atraso ser inferior a 15 minutos, num dia em que o autocarro (2.0)
partiu pelo menos 5 minutos atrasado.
P (X < 15|X ≥ 5) = P (5 ≤ X < 15)
P (X ≥ 5)
=
Φ(0.6)− Φ(−1.4)
1− Φ(−1.4)
=
0.7257− (1− 0.9192)
0.9192
= 0.7016
(c) Ao �nal do dia, o Professor volta para casa também de autocarro. Nessa altura o trânsito (2.5)
está mais calmo e os atrasos podem ser de�nidos como uma variável aleatória Normal de
valor esperado 3 minutos e desvio padrão 0.5. Qual a probabilidade de num determinado
dia, o percurso total feito pelo Professor sofrer um atraso superior a 20 minutos?
Pela aditividade da distribuição Normal, o atraso total do dia é também uma variável
aleatória (T ) com distribuição normal de valor esperado µ = 12 + 3 = 15 e variância
σ2 = 52 + 0.52 = 25.25. Logo,
P (T > 20) = 1− Φ
(
20− 15√
25.25
)
= 1− Φ(1)
= 1− 0.8413
= 0.1587
2. É já sabido que toda a gente adora o Professor Eleutério! A sua popularidade entre alunos e (7.0)
colegas levou-o a ser candidato à presidência do Conselho Pedagógico da universidade. Para
conhecer as suas hipóteses de ganhar, o Professor levou a cabo um pequeno estudo junto de 30
dos seus colegas tendo veri�cado que, destes, 17 iriam seguramente dar-lhe o seu voto.
(a) Construa um intervalo de con�ança a 90% para a proporção de votos que o Professor irá (4.5)
receber na eleição.
• Variável aleatória fulcral
Pretende-se determinar um intervalo de con�ança para uma proporção, logo
X̄ − θ√
X̄(1−X̄)
n
a∼ N (0, 1)
• Quantis de probabilidade
aα = −bα = −1.645
• Inversão das desigualdades
P
aα < X̄ − θ√
X̄(1−X̄)
n
< bα
 = 0.9⇔
P
(
aα
√
X̄(1− X̄)
n
< X̄ − θ < bα
√
X̄(1− X̄)
n
)
= 0.9⇔
P
(
aα
√
X̄(1− X̄)
n
− X̄ < −θ < bα
√
X̄(1− X̄)
n
− X̄
)
= 0.9⇔
P
(
X̄ − bα
√
X̄(1− X̄)
n
< θ < X̄ − aα
√
X̄(1− X̄)
n
)
= 0.9
• Concretização
IC95%(θ) =
]
17
30
± 1.645
√
0.567(1− 0.567)
30
[
=]0.4178, 0.7155[
(b) Determine o número de colegas que deveria ter sido inquirido pelo Professor para que a sua (2.5)
eleição fosse garantida, isto é, para que fosse receber pelo menos 50% dos votos.
Queremos determinar n tal que o limite inferior do intervalo de con�ança seja pelo menos
0.5:
17
30
− 1.645
√
0.567(1− 0.567)
n
≥ 0.5⇔ −0.8152√
n
≥ 0.5− 17
30
⇔
√
n ≥ 12.2262
⇔ n ≥ 149.481
Deveriam ser inquiridos pelo menos 150 professores.
3. O Professor Eleutério é agora o presidente do Conselho Pedagógico! Na primeira semana de (7.0)
trabalho quis inteirar-se dos problemas que mais incomodavam os alunos e veri�cou que um deles
era o preço das refeições na cantina. Ao reunir com o responsável da cantina, foi informado que
os alunos conseguiam fazer uma refeição completa por, no máximo 7 euros.
Este valor foi imediatamente contestado pelos representantes da associação de estudantes que
a�rmaram que no último mês, um grupo de 51 alunos gastou em média, em cada refeição 8.3
euros.
(a) Assumindo que o valor pago por uma refeição na cantina é uma variável aleatória Normal de (4.5)
variância 4.3. O que pode concluir acerca das queixas dos alunos a um nível de signi�cância
de 1%?
• Hipóteses
H0 : µ = 7 H1 : µ > 7
• Estatística de teste
Estamos na presença de uma distribuição Normal com variância conhecida logo,
X̄ − µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1)
• Valor observado da estatística de teste
tobs =
8.3− 7√
4.3/51
= 4.48
• Região crítica
RC = [2.326,+∞[
• Decisão
Visto que 4.48 ∈ RC, rejeitamos H0 para α = 1%, ou seja, os alunos têm razões
para reclamar.
(b) O valor-p do teste anterior é aproximadamente 0. O que pode concluir com base neste valor? (2.5)
O valor-p é o nível mínimo de signi�cância que leva à rejeição deH0. Neste caso, podemos
concluir que iremos sempre rejeitar H0, ou seja, os alunos têm mesmo razão.
Formulário
• Estatística Descritiva
� Regra de Sturges:
∗ Número de classes: k tal que 2k > n
∗ Amplitude das classes: h = max(xj)−min(xj)
k
� Medidas de localização:
∗ Média:
· Dados não agrupados: x̄ = 1
n
∑n
j=1 xj
· Dados agrupados: x̄ = 1
n
∑m
j=1 Fjxj
· Dados agrupados em classes: x̄ = 1
n
∑m
j=1 Fjx
′
j
∗ Moda:
· Dados agrupados em classes: m∗ = liminf +
Fm∗ − Fm∗,ant
2Fm∗ − (Fm∗,ant + Fm∗,post)
× h
∗ Mediana:
· Dados não agrupados: M =

x(n+1
2
) se n é ímpar(
x(n2 )
+ x(n+1
2
)) /2 se n é par
· Dados agrupados em classes: M = liminf +
0.5− f∗M,ant
fM
× h
∗ Quantis:
· Dados agrupados em classes: qα = liminf +
α− f∗qα,ant
fqα
× h
� Medidas de dispersão:
∗ Amplitude do intervalo de variação: AIV = x(n) − x(1)
∗ Amplitude do intervalo interquartis: AIQ = q0.75 − q0.25
∗ Variância:
· Dados não agrupados: s2 = 1
n
∑n
j=1(xj − x̄)2 =
1
n
∑n
j=1 x
2
j − x̄2
· Dados agrupados: s2 = 1
n
∑m
j=1 Fj(xj − x̄)2 =
1
n
∑m
j=1(Fjxj
2)− x̄2
· Dados agrupados em classes: s2 = 1
n
∑m
j=1 Fj(x
′
j − x̄)2 =
1
n
∑m
j=1(Fjx
′
j2
)− x̄2
∗ Variância corrigida:
· Dados não agrupados: s′2 = 1
n−1
∑n
j=1(xj − x̄)2 =
1
n−1
(∑n
j=1 x
2
j − nx̄2
)
· Dados agrupados: s′2 = 1
n−1
∑m
j=1 Fj(xj − x̄)2 =
1
n−1
(∑n
j=1 Fjxj2 − nx̄2
)
· Dados agrupados em classes: s′2 = 1
n−1
∑m
j=1 Fj(x
′
j − x̄)2 =
1
n−1
(∑n
j=1 Fjx
′
j2
− nx̄2
)
∗ Desvio padrão: s = +
√
s2
∗ Desvio padrão corrigido: s′ = +
√
s′2
∗ Coe�ciente de variação: CV =
s
x̄
� Outliers:
∗ Outlier severo: xj < q0.25 − 3×AIQ ou xj > q0.75 + 3×AIQ
∗ Outlier moderado: xj < q0.25 − 1.5×AIQ ou xj > q0.75 + 1.5×AIQ
• Noções básicas de probabilidade
� Cálculo combinatório:
∗ Ank =
n!
(n− k)!
∗ αnk = n
k
∗
(n
k
)
= n!
k!(n−k)!
� Leis de De Morgan:
∗ A ∪B = A ∩B
∗ A ∩B = A ∪B
� Propriedades de uma medida de probabilidade:
∗ P (A) ≥ 0
∗ P (Ω) = 1
∗ P (∅) = 0
∗ P (A) = 1− P (A)
∗ Se A ⊂ B então P (A) ≤ P (B)
∗ P (B −A) = P (B)− P (A ∩B)
∗ P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
� Probabilidade condicionada: P (A|B) = P (A∩B)
P (B)
, se P (B) > 0
� Teorema da probabilidade total: Dada uma partição de Ω, {A1, A2, ..., Am}, tem-se para qualquer acontecimento
B, P (B) =
∑m
j=1 P (Aj)P (B|Aj)
� Teorema de Bayes: Dados dois acontecimentos A e B de�nidos no mesmo espaço de resultados tais que P (A) > 0
e P (B) > 0, tem-se que P (B|A) =
P (A|B)P (B)
P (A)
• Variáveis aleatórias
� Função (densidade) de probabilidade:
∗ V.a. discretas: fX(x) ≥ 0;
∑
x fX(x) = 1
∗ V.a. contínuas: fX(x) ≥ 0;
∫+∞
−∞ fX(x) dx = 1
� Função de distribuição:
∗ V.a. discretas: FX(x) = P (X ≤ x) =
∑
j≤x fX(j)
∗ V.a. contínuas: FX(x) = P (X ≤ x) =
∫ x
−∞ fX(t) dt
� Valor esperado:
∗ V.a. discretas: E(X) =
∑
x xfX(x)
∗ V.a. contínuas: E(X) =
∫+∞
−∞ xfX(x) dx
∗ E(k) = k,∀k ∈ R
∗ E(aX + b) = aE(X) + b, ∀a, b ∈ R
∗ Se X e Y forem duas v.a., E(X + Y ) = E(X) + E(Y )
∗ Se X e Y forem duas v.a. independentes, E(XY ) = E(X)E(Y )
� Variância:
∗ V ar(X) = E(X2)− E2(X)
∗ V ar(k) = 0, ∀k ∈ R
∗ V ar(X) ≥ 0
∗ V ar(aX + b) = a2V ar(X),∀a, b ∈ R
∗ Se X e Y forem duas v.a. independentes, V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y )
• Distribuições
� Distribuição Binomial:
∗ fX(x) =
(n
x
)
θx(1− θ)n−x, x = 0, 1, 2, ..., n
∗ E(X) = nθ
∗ V ar(X) = nθ(1− θ)
� Distribuição Binomial negativa:
∗ fX(x) =
(x− 1
r − 1
)
θr(1− θ)x−r, x = r, r + 1, r + 2, ...
∗ E(X) =
r
θ
∗ V ar(X) =
r(1− θ)
θ2
� Distribuição de Poisson:
∗ fX(x) = e
−λλx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
∗ E(X) = λ
∗ V ar(X)= λ
� Distribuição Exponencial:
∗ fX(x) = λe−λx, x ≥ 0
∗ FX(x) = 1− e−λx
∗ E(X) = 1
λ
∗ V ar(X) = 1
λ2
� Distribuição Normal:
∗ E(X) = µ
∗ V ar(X) = σ2
∗ Se X ∼ N (µ, σ2) então
X − µ
σ
∼ N (0, 1)
∗ Dado z > 0, Φ(−z) = 1− Φ(z)
∗ Teorema da aditividade da distribuição normal: Dadas n v.a. independentes tais que Xi ∼ N (µi, σ2i ),
S =
n∑
i=1
αiXi ∼ N (µS , σ2S)
onde µS =
∑n
i=1 αiµi e σ
2
S =
∑n
i=1 α
2
i σ
2
i .
∗ Corolários: Se as v.a. forem i.i.d. então S =
∑n
i=1 Xi ∼ N (nµ, nσ2) e X̄ =
1
n
∑n
i=1Xi ∼ N (µ, σ2/n)
� Teorema do limite central: Dada uma sucessão de v.a. i.i.d. X1, X2, ..., Xn com valor esperado µ e variância σ2,
então, quando n ≥ 30, S =
∑n
i=1 Xi
a∼ N (nµ, nσ2) e X̄ a∼ N (µ, σ2/n)
• Distribuições por amostragem
� População normal com σ2 conhecida: X̄−µ
σ/
√
n
∼ N (0, 1)
� População normal com σ2 desconhecida: X̄−µ
S′/
√
n
∼ tn−1
� População não normal com σ2 conhecida (n ≥ 30): X̄−µ
σ/
√
n
a∼ N (0, 1)
(caso particular da distribuição de Bernoulli: X̄−θ√
θ(1−θ)/
√
n
a∼ N (0, 1))
� População não normal com σ2 desconhecida (n ≥ 30): X̄−µ
S′/
√
n
a∼ N (0, 1)
(caso particular da distribuição de Bernoulli: X̄−θ√
X̄(1−X̄)/
√
n
a∼ N (0, 1))
� População normal:
(n−1)S′2
σ2
∼ χ2n−1
• Primitivas imediatas:
�
∫
k dx = kx+ C
�
∫
f ′(x).f(x)k dx = f(x)
k+1
k+1
+ C, k 6= −1
�
∫
f ′(x).ef(x) dx = ef(x) + C
�
∫
f ′(x).af(x) dx = a
f(x)
ln(a)
+ C
�
∫ f ′(x)
f(x)
dx = ln|f(x)|+ C
�
∫
f ′(x)sen [f(x)] dx = −cos [f(x)] + C
�
∫
f ′(x)cos [f(x)] dx = sen [f(x)] + C