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Lista de exerćıcios 01
Cálculo Diferencial e Integral I
28 de setembro de 2016
1. Para cada um dos seguintes itens determine todos os valores de x ∈ R que verificam
a condição.
a) 3x+ 3 < x+ 6
b) x− 3 > 3x+ 1
c) 2x− 1 ≥ 5x+ 3
d) x+ 3 ≤ 6x− 2
e) 1− 3x > 0
f) 2x+ 1 ≥ 3x
2. Para cada um dos seguintes itens determine todos os valores de x ∈ R que verificam
a condição dada.
(a) (x+ 3)(2x+ 5) > 0
(b)
2x− 3
3x+ 1
≥ 2
5x+ 3
(c)
3x− 2
7x− 3
<
2x− 4
3x− 1
(d) |7− 4x| < 7
(e) |3− 2x| < |4 + x|
(f)
∣∣∣∣ 151− 2x
∣∣∣∣ ≥ ∣∣∣∣ 105x+ 2
∣∣∣∣
3. Verifique as identidades.
a) x2 − a2 = (x− a)(x+ a)
b) x3 − a3 = (x− a)(x2 + ax+ a2)
c) x4 − a4 = (x− a)(x3 + ax2 + a2x+ a3)
d) x5 − a5 = (x− a)(x4 + ax3 + a2x2 + a3x+ a4)
e) xn−an = (x−a)(xn−1 +axn−2 +a2xn−3 + · · ·+an−2x+an−1) onde n 6= 0 é um natural.
4. Simplifique as expressões.
a)
x2 − 1
x− 1
b)
x3 − 8
x2 − 4
c)
4x2 − 9
2x+ 3
d)
1
x
− 1
x− 1
e)
1
x2
− 1
9
x− 3
f)
1
x2
− 1
p2
x− p
g)
(x+ h)2 − x2
h
h)
(x+ h)3 − x3
h
5. Considere o polinômio do segundo grau ax2 + bx + c, onde a 6= 0, b e c são reais
dados.
a) Verifique que
ax2 + bx+ c = a
[(
x+
b
2a
)2
− ∆
4a2
]
onde ∆ = b2 − 4ac.
b) Conclua do item anterior que, se ∆ ≥ 0, as ráızes de ax2 + bx + c são dadas pela
fórmula
x =
−b±
√
∆
2a
.
c) Sejam x1 =
−b+
√
∆
2a
e x2 =
−b−
√
∆
2a
(∆ ≥ 0) as ráızes de ax2 + bx + c. Verifique
que
x1 + x2 = −
b
a
e x1x2 =
c
a
.
6. Resolva a inequação.
a) x2 − 3x+ 2 < 0
b) x2 − 5x+ 6 ≥ 0
c) 3x2 + x− 2 > 0
d) x2 − 4x+ 4 > 0
7. Considere o polinômio do segundo grau ax2 + bx+ c e suponha que ∆ < 0. Prove
que
a) se a > 0, então ax2 + bx+ c > 0 para todo x.
b) se a < 0, então ax2 + bx+ c < 0 para todo x.
8. Considere um retângulo com base de medida x e peŕımetro 400. Expresse a área A
desse retângulo como função da base. Quando você obtém o retângulo de maior área?
9. Considere um retângulo com base de medida x está inscrito em um ćırculo de raio 4.
Expresse a área A desse retângulo como função da base. Quando você obtém o retângulo
de maior área?
10. Um campo petroĺıfero tem 30 poços e produz 5000 barris por dia. Para cada novo
poço perfurado, a produção diária de cada poço decai de 15 barris. Expresse a produção
diária total do campo como função do número n de novos poços perfurados. Em que
condições a produção atinge o maior valor posśıvel?
11. Considere que uma caixa na forma de um prisma reto retangular de base quadrada,
tenha 450cm3 de volume e base quadrada de lado x cm. O material da base custa R$ 3, 00
por cm2 e o material para a tampa e para os quatro lados custa R$ 2, 50 por cm2. Expresse
o custo total da caixa como função do lado da base.
2
12. Gira-se um retângulo de peŕımetro fixo 45cm em torno de um de seus lados,
gerando-se um cilindro circular reto. Expresse o volume V desse cilindro como função do
comprimento x do lado geratriz.
13. Uma caixa sem tampa será feita com um pedaço retangular de papelão medindo
14cm × 22cm. De cada canto, serão cortados quadrados iguais de lado x e, depois, as
laterais serão levantadas. Expresse o volume V da caixa em função de x.
14. A figura a seguir mostra um retângulo inscrito em um triângulo retângulo isósceles
cuja hipotenusa mede 2 unidades de comprimento.
(a) Expresse a ordenada y, de D em função de x.
(b) Expresse a área do retângulo em função de x.
15. Seja f(x) = 2x2 + 5x− 3, encontre:
(a) f(−2) (b) f(2x2) (c) f(x+ h)− f(x)
h
, h 6= 0.
16. Encontre a inclinação da reta que passa pelos pontos dados e escreva sua equação.
(a) P1 = (2,−3), P2 = (−4, 3) (b) P1 = (5, 2), P2 = (−2,−3)
17. Encontre a equação da reta r que tem inclinação 4 e passa pelo ponto P = (2,−3).
Escreva as equações da reta t paralela a r por O = (0, 0) e da reta s perpendicular a r por
P = (2,−3). Seja Q o ponto de intersecção de t e s. Qual é a área do triângulo OPQ?
18. Encontre a equação da reta r que tem inclinação −2 e passa pelo ponto P =
(4,−3). Escreva as equações da reta t paralela a r por O = (0, 0) e da reta s perpendicular
3
a r por P = (4,−3). Seja Q o ponto de intersecção de t e s e seja A o ponto de intersecção
de r com o eixo Ox. Qual é a área do quadrilátero OAPQ?
19. Encontre a equação da reta r que passa pelo ponto P (−3,−4) e é paralela ao eixo
dos y. Escreva a equação do ćırculo c de centro na origem passando por P . Quais são as
coordenadas do outro ponto de intersecção de r com c?
20. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P (1,−7) e é paralela ao eixo
dos x. Encontre a equação da reta cujo intercepto x é −3 e o intercepto y é 4. Encontre a
equação da reta que passa por P (1, 4) e é paralela à reta cuja equação é 2x− 5y+ 7 = 0.
21. Considere f(x) =
2x+ 3
x− 1
. Faça o esboço do gráfico de f e f−1 em um mesmo
sistema de eixo de coordenadas.
22. Considere as funções f(x) =
√
x2 − 1 e g(x) =
√
x− 1. Defina as funções f + g,
f · g, f ◦ g e g ◦ f , determinando também seus domı́nios.
23. Em cada item a seguir é dada uma função, encontre seu domı́nio.
(a) f(x) =
√
3x+ 1
(b) f(x) =
√
(x+ 1)(x+ 2)
(c) f(x) =
√
x√
4− x2
(d) f(x) =
√
1− x2
x+ 1
(e) f(x) =
√
x2 − 1
(x− 1)(2x+ 3)
24. Use a definição de limite para mostrar que se lim
x→x0
f(x) = L então lim
x→x0
|f(x)| =
|L|.
25. Suponha que lim
x→x0
f(x) = 5 e que lim
x→x0
g(x) = −2. Determine:
(a) lim
x→x0
f(x)g(x)
(b) lim
x→x0
(f(x) + 5g(x))
(c) lim
x→x0
2f(x)g(x)
(d) lim
x→x0
f(x)
f(x)− g(x)
26. Em cada um dos seguintes itens, encontre o valor do limite, e conforme o caso,
indique a propriedade geral que está sendo usada.
(a) lim
x→0
(√
x+ 2−
√
2
x
)
(b) lim
t→2
(
t2 − 5
2t3 + 6
)
(c) lim
x→−1
(
2x+ 1
x2 − 3x+ 4
)
(d) lim
y→−2
(
y3 + 8
y + 2
)
(e) lim
x→2
(√
x2 + 3x+ 4
x3 + 1
)
(f) lim
t→3/2
(√
8t3 − 27
4t2 − 9
)
(g) lim
t→0
(
2−
√
4− t
t
)
(h) lim
h→0
(
3
√
h+ 1− 1
h
)
(i) lim
x→−2
(
x3 − x2 − x+ 10
x2 + 3x+ 2
)
4
27. Em cada um dos seguintes itens determine o valor do limite indicado justificando.
(a) lim
x→−1
(x4 − 3x2 + 2x− 5)
(b) lim
x→1
x4 + 3
x5 + 1
(c) lim
x→−3
x3 + 27
x+ 3
(d) lim
x→−2
x2 − 2x− 8
x2 − 4
28. Seja f a função definida por f(x) =
 2x2 − 1 se x 6= 21 se x = 2 . Trace um esboço do
gráfico de f . Determine lim
x→2
f(x).
29. Seja f(x) =
√
3x− 2.
(a) Calcule lim
x→2
f(x)
(b) Estime os valores de a e b de modo que 1, 8 < f(x) < 2, 2, sendo a < x < b.
30. Se lim
x→−2
f(x)
x2
= 1, calcule
(a) lim
x→−2
f(x) (b) lim
x→−2
f(x)
x
31. Seja f a função definida por f(x) =

2x2 − 1 se x < 2
1 se 2 ≤ x ≤ 4
x+ 1 se x > 4
. Trace um esboço
do gráfico de f . Determine, caso existam
(a) lim
x→2−
f(x)
(b) lim
x→2+
f(x)
(c) lim
x→4−
f(x)
(d) lim
x→4+
f(x)
(e) lim
x→2
f(x)
(f) lim
x→4
f(x)
32. Trace um esboço do gráfico das seguintes equações
(a) y = −2x+ 5
(b) y = −3x− 2
(c) y = 5x2 + 1
(d) x = −3x2 + 2x+ 1
(e) y = |x2 − 5|
33. Determine os seguintes limites (caso existam).
a) lim
x→2
(x2 + 3x+ 2)
b) lim
x→3
x+ 2
x+ 5
c) lim
x→0
x+ 2
x2 + 5
d) lim
x→0
x cos(3x)
34. Seja f(x) = x2 − 3, encontre:
(a) f(2) e f ′(2)
5
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2.
35. Seja f(x) = x2 − 3x+ 1, encontre:
(a) f(1) e f ′(1)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
(c) a equação da reta perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
36. Seja f(x) = x2 + 3x+ 1, encontre:
(a) f(2) e f ′(2)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 2.
(c) a equação da reta perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa 2.
37. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = cos(x)
(b) f(x) = 5 + cos(x)
(c) f(x) = cos(2x)
(d) f(x) = sen(x)
38. Uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 30
m/s a partir de uma altura inicial de 25 m. Nessas condições a funçãoque descreve a
altura em cada instante t é h(t) = 25 + 30t− 4, 9t2, t ≥ 0.
(a) Construir o gráfico de h em função de t.
(b) Determinar a função v que descreve a velocidade em cada instante t, sabendo que
v(t) =
dh
dt
.
(c) Construir o gráfico de v em função de t.
(d) Determinar o valor máximo de h.
(e) Determinar o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posição inicial.
(f) Calcular depois de quanto tempo a pedra atinge o solo.
39. Considere o gráfico da função f(x) = x(x− 5)(x+ 1).
(a) Identifique os intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0.
(b) Identifique os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
6
Figura 1: Gráfico de f(x) = x(x− 5)(x+ 1).
(c) Descreva a função f ′(x). Essa função é constante? Em que intervalos essa função seria
positiva e em que intervalos seria negativa? Em que pontos poderia ser f ′(x) = 0?
40. Use a definição de derivada para determinar a função derivada da função dada.
Depois, determine os valores da derivada conforme especificado.
(a) f(x) = 5− 4x; f ′(−3), f ′(0) e f ′(1).
(b) f(x) = 5− x2; f ′(−3), f ′(0) e f ′(1).
41. Determine a função derivada de f(x) = x3 − 2x2 + 1. Analise o sinal da função
f ′.
42. Maria comprou um terreno retangular. Ao medir suas dimensões percebeu que a
soma entre as medidas do triplo de um dos lados e o dobro do lado adjacente era 750m.
Determine as dimensões do terreno, sabendo que Maria é uma excelente compradora e
compraria o terreno de maior área posśıvel.
43. A parábola de equação y = 2x2 − 13x + 5 tem alguma tangente cujo coeficiente
angular seja −1? Se tem, encontre uma equação para a reta e o ponto de tangência. Se
não tem, por que não?
44. Seja f(x) = x5 − 5x4 + 3x3 − 2x+ 1, encontre:
(a) f(1) e f ′(1).
(b) A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
(c) a equação da reta perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
45. Seja f(x) = (x154 + 2)(x3 − x+ 1), encontre:
(a) f(0) e f ′(0)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 e a equação da reta
perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa 0.
7
46. Sejam f e g funções deriváveis em x0 e suponha que g(x0) 6= 0. Mostre que
(a) A função
1
g
é derivável em x0 e que vale a fórmula
(
1
g
)′
(x0) = −
g′(x0)
g2(x0)
.
(b) A função
f
g
é derivável em x0 e que vale a fórmula
(
f
g
)′
(x0) =
f ′(x0)g(x0)− f(x0)g′(x0)
g2(x0)
.
(c) Determine a derivada da função f(x) =
x+ 1
x2 + 2
.
47. Determine os valores das constantes a, b e c de tal modo que as funções f(x) =
cos(x) e g(x) = a+ bx+ cx2 verifiquem as condições:
f(0) = g(0), f ′(0) = g′(0) e f ′′(0) = g′′(0) .
48.
(a) A partir da identidade a2 − b2 = (a− b)(a+ b) mostre que
u− v = (
√
u−
√
v)(
√
u+
√
v .
(b) Use a definição de derivada para determinar a função derivada da função f(x) =
√
x.
(c) Encontre uma equação para a reta tangente à curva y2 − x = 0 no ponto de coorde-
nadas (1, 1).
49.
(a) A partir da identidade a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) mostre que
u− v = ( 3
√
u− 3
√
v)(
3
√
u2 + 3
√
uv +
3
√
v2) .
(b) Use a definição de derivada para determinar a função derivada da função f(x) = 3
√
x.
(c) Encontre uma equação para a reta tangente à curva y3 − x = 0 no ponto de coorde-
nadas (1, 1).
50. Determine a função derivada de
8
(a) f(x) = 5− x2.
(b) f(x) = x−3 + 2.
(c) f(x) =
1
1− x2
.
(d) f(x) =
x
1 + x
(e) f(x) = x sen(x) + 5 cos(x)
(f) f(x) = tg(x)
51. Seja f uma função tal que −x2 ≤ f(x) ≤ x2 para todo x ∈ [−1, 1].
(a) Mostre que
lim
x→0
f(x)
x
= 0 .
(b) Mostre que f é derivável em x = 0 e determine f ′(0).
(c) Mostre que a função
f(x) =
 x2 sen(
1
x
), x 6= 0
0, x = 0
é derivável em x=0 e determine f ′(0).
52. A curva de equação y = x3+3x+1 tem alguma tangente horizontal? Tem alguma
tangente cujo coeficiente angular seja 1? Se tem, encontre uma equação para a reta e o
ponto de tangência. Se não tem, por que não?
53. Seja f(x) = x5 − 5x4 + 3x3 − 2x+ 1, encontre:
(a) f(−1) e f ′(−1).
(b) A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa −1.
(c) a equação da reta perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa −1.
54. Seja f(x) =
x+ 1
x2 + x+ 1
, encontre:
(a) f(1) e f ′(1)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 e a equação da reta
perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa 1.
(c) Determine, caso existam, todos os pontos do gráfico de f que possuem tangentes
horizontais.
55. Calcule lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
.
56. Determine números a e b de tal modo que lim
x→0
√
ax+ b− 2
x
= 2.
57. Se lim
x→0
[f(x) + g(x)] = −1 e lim
x→0
[f(x)− g(x)] = 1, determine lim
x→0
f(x)g(x).
9
58. Ache as equações das retas que passam pelo ponto (2,−3) e que são tangentes à
parábola y = x2 + x.
59. Esboce o gráfico de uma função f definida em R e tal que f ′(x) > 0 para todo
x ∈ R.
60. Esboce o gráfico de uma função f definida em R e tal que f ′(x) > 0 para todo
x < 1 e f ′(x) < 0 para todo x > 1.
61. Determine números a, b, c e d de tal modo que o gráfico da função cúbica
f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d
tenha tangentes horizontais nos pontos (−2, 6) e (2, 0).
62. A curva gráfico da função f(x) =
x
1 + x2
é denominada serpentina.
(a) Determine a função derivada de f .
(b) Determine os pontos cŕıticos de f .
(c) Determine todos os pontos x ∈ R para os quais f ′(x) < 0 e todos os pontos x ∈ R
para os quais f ′(x) > 0.
(d) Mostre que o valor máximo de f é
1
2
e que o valor mı́nimo de f é −1
2
.
63. Um tanque contém inicialmente 5000 litros de água que escoa pelo fundo em 50
minutos. De acordo com a lei de Torricelli, o volume de água no tanque em cada instante
t é dado por
V (t) = 5000
(
1− t
40
)2
, 0 ≤ t ≤ 40.
Encontre a velocidade com que a água está escoando do tanque depois de 5min., 10min.,
20min. 2 40 min. Em que momento o fluxo é mais rápido?
64. Encontre uma equação da reta tangente à curva y = x cos(x) no ponto (π,−π).
65. Determine a função derivada de
(a) f(x) = (5− x2)4.
(b) f(x) =
√
x3 + 2.
(c) f(x) = cos(1− x2).
(d) f(x) = tg(1 + 6x)
(e) f(x) = x sen(x2) + cos(2 + x3)
(f) f(x) = 3
√
1 + tg(x)
66. Se a equação do movimento de uma part́ıcula for dada por s(t) = A cos(ωt + δ),
dizemos que a part́ıcula está em um movimento harmônico simples.
(a) Encontre a velocidade da part́ıcula no instante t.
10
(b) Quando a velocidade é zero?
67. A curva de equação y = x5 + 3x3 + 4 tem alguma tangente horizontal? Tem
alguma tangente cujo coeficiente angular seja 1? Se tem, encontre uma equação para a
reta e o ponto de tangência. Se não tem, por que não?
68.
(a) Se x2 + y2 = 25, determine
dy
dx
.
(b) Encontre a equação da reta tangente ao ćırculo x2 + y2 = 25 no ponto (3, 4).
(c) A curva de equação y2 = x4 − x2 é chamada kampyle de Eudoxus. Encontre uma
equação da reta tangente a essa curva no ponto de abscissa 2.
69. Seja f(x) = sen(cos(x)), encontre:
(a) f(π/2) e f ′(π/2)
(b) a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa π/2 e a equação da
reta perpendicular ao gráfico de f no ponto de abscissa π/2.
(c) Determine, caso existam, todos os pontos do gráfico de f que possuem tangentes
horizontais.
70. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(5 +
1
x
+
3
x2
).
(b) lim
x→+∞
2x+ 1
x+ 3
.
(c) lim
x→−∞
2x+ 1
x+ 3
.
(d) lim
x→+∞
x2 − 2x+ 3
3x2 + x+ 1
.
(e) lim
x→+∞
3
√
5 +
2
x
.
(f) lim
x→+∞
5x4 − 2x+ 1
4x4 + 3x+ 2
.
71. Calcule:
(a) lim
x→+∞
(x4 − 3x+ 2)
(b) lim
x→−∞
(x4 − 3x+ 2)
(c) lim
x→−∞
(3x3 + 2x+ 1)
(d) lim
x→+∞
5x3 − 6x+ 1
x4 − 2x+ 3
(e) lim
x→+∞
x+ 1
x2 − 2
(f) lim
x→3+
5
3− x
(g) lim
x→3−
4
x− 3
(h) lim
x→1−
2x+ 3
x2 − 1
(i) lim
x→0+
sen(x)
x3 − x2
11
72. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico.
(a) f(x) = x+
1
x
.
(b) f(x) = x+
1
x2
.
(c) f(x)= x2 +
1
x
.
(d) f(x) = 3x5 − 5x3.
73. Prove que a equação x3 − 3x2 + 6 = 0 possui uma única raiz real. Prove que a
equação x3 + x2 − 5x + 1 = 0 possui três ráızes reais distintas. Determine a para que a
equação x3 + 3x2 − 9x+ a = 0 possua uma única raiz real.
74. Seja f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 6= 0. Prove que f admite um único ponto de
inflexão.
75. Esboce o gráfico das seguintes funções:
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x.
(b) f(x) = x3 − x2 + 1.
(c) f(x) =
√
x2 − 4.
(d) f(x) =
x2
x+ 1
.
(e) f(x) =
x3
x2 + 4
.
(f) f(x) =
x2
x2 − x− 2
.
76. Para cada uma das seguintes funções determine, caso existam, os pontos de
máximo e mı́nimo locais.
(a) f(x) =
x
1 + x2
.
(b) f(x) = sen(x) + cos(x), x ∈ [0, π].
(c) f(x) = 3
√
x3 − x2.
(d) f(x) =
x
1 + x tg(x)
, x ∈ [0, π/2[.
77. r é uma reta que passa pelo ponto (1, 2) e intersecta os eixos nos pontos A = (a, 0)
e B = (0, b), com a > 0 e b > 0. Determine r de modo que a distância de A a B seja a
menor posśıvel.
78. Determine um ponto M no gráfico de y = x3, 0 ≤ x ≤ 1, de modo que a área do
triângulo de vértices (0, 0), (1, 1) e M seja máxima.
79. Determine o ponto da parábola y = x2 que se encontra mais próximo da reta
y = x− 2.
80. Considere o triângulo isósceles ABC, com AB = BC. Seja H o ponto médio de
AC. Determine P no segmento HB de modo que a soma das distâncias de P aos pontos
A, B e C seja a menor posśıvel.
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81. Determine os pontos cŕıticos da função dada e classifique-os (máximo ou mı́nimo
local ou ponto de inflexão).
1. f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1.
2. f(x) = x4 − 4x3 + 6x2 − 4x+ 1.
3. f(x) = 3
√
x3 − 2x+ 1.
4. f(x) =
1
x4 + 2x3 + x2 + 1
.
82. Seja g uma função que tem derivada em todos os pontos do intervalo fechado
[a, b]. Suponha que g′(a) < 0 e que g′(b) > 0.
(a) Mostre que o valor mı́nimo, g(c), de g em [a, b] é tal que g(c) < g(a) e que g(c) > g(b).
(b) Conclua, a partir do item anterior, que existe um ponto x0 ∈]a, b[, tal que g′(x0) = 0.
Interprete geometricamente.
83. Seja f : [−2, 3]→ R definida pela expressão: f(x) = x
4
4
−x3−2x2 +3. Determine
os valores máximos e mı́nimos de f .
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