cap 9 - Introdução ao método das forças - 29Mai21

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1 
 
9 INTRODUÇÃO AO MÉTODO DAS FORÇAS 
Quando uma estrutura é hiperestática as condições de equilíbrio não são suficientes para 
determinar todas as reacções de apoio e todos os esforços nas barras. No método das forças a 
estrutura hiperestática a analisar é substituída por uma outra, isostática, equivalente, 
denominada de estrutura-base. Esta equivalência é feita impondo que a estrutura-base tenha a 
mesma distribuição de esforços (equivalência estática) e deformações (equivalência 
cinemática) que a estrutura hiperestática que lhe terá dado origem. 
Para ilustrar o procedimento, considere-se a viga encastrada-apoiada ilustrada na Figura 9-1. 
As três equações de equilíbrio que a estática dispõe são insuficientes para calcular as quatro 
reacções de apoio. Só é possível determinar os valores das reacções de apoio quando se 
admite que uma reacção é conhecida. Por exemplo, se aceitarmos que a reacção do apoio 
móvel, �� é igual a p (Figura 9-2 e Figura 9-3), temos os seguintes valores para as reacções 
de encastramento: 
 �� = 0�� = −  + �<�� =  < − �<�/2. (9-1) 
 
Figura 9-1 
q
BA
L
1 2 
 
2 
 
 
Figura 9-2 
 
Figura 9-3 
 
Figura 9-4 
 
Figura 9-5 
L
q
B 
A
1 2
p d 
L
BA 
1 2
q
d 
q
B
A
L
1 2 
p
B A
L
1 2
�� ��
f �� �� 
q
 
3 
 
 
Figura 9-6 
A consola é uma estrutura isostática, isto é, os esforços em qualquer secção podem ser 
determinados recorrendo apenas às equações da estática. Aplicando a condição de equilíbrio 
 q = Qf� (9-2) 
estudada no capítulo 4, à estrutura-base solicitada pelas cargas p e q (Figura 9-3), obtém-se: 
q = ������ = ~��0 � = �  < − �<�/20 � = �< − <
�20 0 � ~ �� 
ou 
q = ������ = ~<0�   + �− �<
�20 �. 
As deformações independentes correspondentes aos esforços q são calculadas a partir das 
relações de elasticidade 
 � = Hq + �� (9-3) 
estudada no capítulo 7, obtendo-se 
� = �"�"�� = �
<3�� <6��<6�� <3��� �
����� + rss
t �<�24���<�24��uv
vw 
q
BA 
L
1 2 
d   = �� 
 
4 
 
se se admitir que a rigidez à flexão é constante e igual a EI, ou 
� = �"�"�� = �
<3�� <6��<6�� <3��� �
 < − �<�/20 � + rss
t �<�24���<�24��uv
vw = rss
t −�<�8�� +  <�3��− �<�24�� +  <�6��uv
vw. 
O vector das deformações é, então, igual a 
 
� = �"�"�� = rss
t −�<�8�� +  <�3��− �<�24�� +  <�6��uv
vw. (9-4) 
Como se sabe, quando se conhecem as deformações independentes podem-se aplicar as 
condições de compatibilidade 
 � = �f�. (9-5) 
estudada no capítulo 7, para obter qualquer deslocamento nos nós da estrutura. 
O deslocamento correspondente à força  , obtido explorando a relação de dualidade entre a 
estática e a cinemática, é igual a 
 n¡o = ~<0�h �"�"�� = n< 0o �"�"�� (9-6) 
pois, a condição de equilíbrio (9-2) quando a estrutura é solicitada apenas pela força p é 
q = ������ = ~<0� n o. 
Substituindo (9-4) na expressão (9-6), obtém-se: 
 
5 
 
 
n¡o = n< 0o rss
t −�<�8�� +  <�3��− �<�24�� +  <�6��uv
vw = �−�<�8�� +  <�3���. (9-7) 
Como anteriormente se referiu, é necessário verificar que haja equivalência entre a estrutura-
base e a estrutura hiperestática que lhe dá origem tanto a nivel estático como a nível 
cinemático. Se se atribuir para p o valor da reacção de apoio que se desenvolve no apoio 
móvel da viga encastrada-apoiada (Figura 9-6) a consola tornar-se-á estaticamente 
equivalente a viga encastrada-apoiada (Figura 9-4). Por outro lado, quando retiramos o apoio 
móvel da viga encastrada-apoiada, dando origem a consola, o deslocamento vertical do ponto 
B deixa de ser nulo e passa a ser uma função da força indeterminada p (Figura 9-5): 
¡ = −�<�8�� +  <�3��. 
Para que a consola seja cinematicamente equivalente à viga encastrada-apoiada é necessário 
escolher o valor de   de tal modo que também na consola seja nulo o deslocamento vertical 
de B (Figura 9-6). 
 ¡ = 0. (9-8) 
A condição de equivalência cinemática, equação (9-8), permite determinar o valor da força 
indeterminada p: 
−�<�8�� +  <�3�� = 0. 
Desta condição, obtém-se 
   = 3�<8 , (9-9) 
ficando assim levantada indeterminação estática da estrutura. Substituindo (9-9) em (9-1) 
vem: 
 
6 
 
�� = 0�� = 5�</8�� = − �<�8 . 
Determine-se agora a rotação da secção B. Para   = 3�</8 as deformações independentes 
(9-4) são iguais a 
 
� = rss
t −�<�8�� +  <�3��− �<�24�� +  <�6��uv
vw = � 0�<�48��� (9-10) 
e a rotação pretendida l é igual a 
 l = n1 1o � 0�<�48��� = �<
�48��. (9-11) 
9.1 A equação do Método das forças 
No caso geral de uma estrutura com vários graus de hiperestaticidade, começa-se por 
transformar a estrutura hiperestática em estudo em isostática, retirando tantas ligações quanto 
o seu grau de hiperestaticidade. À estrutura-base resultante, aplicam-se, para além das cargas 
dadas, as forças indeterminadas   correspondentes a cada uma das libertações introduzidas. 
Estas forças são organizadas no vector das forças hiperestáticas, ou indeterminadas, ¢: 
 
¢ =
rss
sst
 � �… I… �uv
vvv
w. (9-12) 
A cada uma destas forças  I corresponde um deslocamento ¡I. Estes deslocamentos são 
organizados no vector das descontinuidades, £: 
 
7 
 
 
£ =
rss
sst
¡�¡�…¡I…¡�uv
vvv
w. (9-13) 
Os valores de ¢ são determinados impondo a condição de equivalência cinemática entre a 
estrutura-base e a estrutura hiperestática que lhe dá origem; isto é, deve-se impor que os 
deslocamentos £, correspondentes ao conjunto dos esforços libertados ¢, que se verificam na 
estrutura-base, sejam iguais aos que se verificam na estrutura hiperestática, £�, que lhe terá 
dado origem: 
 £ = £� (9-14) 
onde 
 
£� = �¡̅�¡̅�…¡̅��. (9-15) 
Como a estrutura-base é estaticamente determinada, os esforços independentes são calculados 
recorrendo as equações de equilíbrio (9-2), onde, devido a presença das forças hiperestáticas, 
pode-se distinguir duas parcelas 
 q = qf + qm. (9-16) 
A parcela 
 qf = Qf�. (9-17) 
é designada solução particular, e corresponde aos esforços independentes que equilibram o 
carregamento dado (na ausência das forças hiperestáticas ¢). Nesta parcela f é um vector que 
contém as cargas dadas (veja a definição (4-27)). A parcela 
 qm = Q¢. (9-18) 
é designada por solução complementar, e corresponde aos esforços independentes que 
equilibram as forças indeterminadas ¢. A matriz de equilíbrio dos esforços B é, portanto, 
determinada recorrendo-se a seguinte definição: 
 
8 
 
D 9-1. A coluna i da matriz de equilíbrio dos esforços B contém os esforços que se 
desenvolvem na estrutura-base para equilibrar a força hiperestática 1=ip quando as outras 
são nulas ( 0=jp , ij ≠ ), assim como o carregamento ( 0=f ). 
As deformações independentes �, correpondentes aos esforços q, determinam-se aplicando a 
equação (9-3), que ao se introduzir (9-16) obtém-se 
� = H&Qf� + Q¢' + �� 
ou 
 � = HQ¢ + &HQf� + ��'. (9-19) 
Como os deslocamentos £ são correspondentes a ¢, a condição de compatibilidade (9-5) toma 
a forma 
 £ = Qh�. (9-20) 
Introduzindo (9-19) em (9-20) obtém-se 
£ = Qh&H&Qf� + Q¢' + ��' 
ou 
 £ = QhHQ¢ + Qh&HQf� + ��' (9-21) 
que ao impor a condição (9-14), obtém-se um sistema de equações 
 QhHQ¢ + Qh&HQf� + ��' = £� (9-22) 
que permite determinar as forças hiperestáticas. 
Na expressão (9-19) podemos identificar duas parcelas 
 � = �f + �m (9-23) 
em que 
 �f = HQf� + �� = Hqf + �� (9-24) 
 
9 
 
e 
 �m = HQ¢. (9-25) 
A parcela �f contém as deformações independentes que se verificam na estrutura-base 
quando esta é solicitada pelas cargas dadas, na ausência das forças indeterminadas ¢; A 
parcela �m inclui as deformações que surgem na estrutura-base quando as cargas ¢ solicitam 
a estrutura, na ausência das cargas dadas. 
Na expressão (9-21) também se pode distinguir duas parcelas: 
 £ = £f + £m . (9-26) 
A primeira parcela, 
 £f = Qh&HQf� + ��' = Qh�f (9-27) 
representa os deslocamentos correspondentes às forças hiperestáticas que surgem na 
estrutura-base quando só as cargas dadas solicitam a estrutura-base. A segunda parcela, 
 £m = QhHQ¢ (9-28) 
representaos deslocamentos correspondentes às forças hiperestáticas que surgem na 
estrutura-base quando só actuam as forças hiperestáticas. 
Na expressão (9-28), a matriz 
 H¤1 = QhHQ (9-29) 
representa a matriz de flexibilidade da estrutura-base. H¤1 é simétrica H¤1h = H¤1 
e não singular, isto é, existe uma matriz H¤1�� tal que H¤1��H¤1 = ¥ 
Com base nas definições feitas anteriormente, pode-se rescrever (9-22), obtendo-se a seguinte 
expressão para equação do método das forças: 
 £f + H¤1¢ = £�. (9-30) 
 
10 
 
Exemplo 9-1. Determine as reacções dos apoios da viga ilustrada na Figura 9-7, assumindo-
se que as duas barras tem rigidez à flexão igual a EI. 
A estrutura é duas vezes exteriormente hiperestática e interiormente isostática. Para torná-la 
globalmente isostática é necessário introduzir duas libertações. Pode-se, por exemplo, 
introduzir uma articulação na secção do encastramento e uma rótula na secção B, obtendo-se 
a estrutura-base ilustrada na Figura 9-8. As incógnitas hiperestáticas são, portanto, o 
momento flector no nó B,  �, e o momento nó de encastramento,  �. 






=
2
1
p
p
p 
 
Figura 9-7 
 
Figura 9-8 
 
Figura 9-9 
L
A B C1 2 3 4 
L
"�
A
A "� = ¡�"� 
1 2¡�"�
L L
q
A B C  � � 
L L
q
A B
C
 
11 
 
Os deslocamentos correspondentes as forças 1p e 2p são a rotação relativa entre as secções 3 
e 4, 1v , e rotação do nó de encastramento, 2v : 






=
2
1
v
v
v . 
Escolhendo como esforços independentes os momentos flectores actuantes nas extremidades 
das barras obtém-se 












=
4
3
2
1
M
M
M
M
x , 
de acordo com a discretização adoptada, ilustrada na Figura 9-9. O vector das deformações 
indepedentes é, portanto, dado por 












=
4
3
2
1
θ
θ
θ
θ
u , 
Conforme anteriormente estudado, podem distinguir-se duas parcelas nos vectores dos 
esforços independentes. Os esforços independentes associados a solução particular são 
obtidos do esquema da Figura 9-10: 












=
0
0
0
0
0x , 
Para a solução complementar os esforços independentes são obtidos a partir das Figura 9-11 e 
Figura 9-12: 


















=












+












=
2
1
21
10
01
01
00
1
0
0
0
0
1
1
0
p
p
ppcx , 
pelo que a matriz de equilíbrio dos esforços é dada por: 
 
12 
 












=
10
01
01
00
B . 
 
Figura 9-10 
 
Figura 9-11 
 
Figura 9-12 
Tendo os esforços independentes, calculam-se as deformações independentes a partir de 
(9-3). 
Particularizando (7-20) para duas barras, cada uma com comprimento igual a L e rigidez à 
flexão igual a EI, obtém-se a seguinte expressão para a matriz de flexibilidade da estrutura: 
L
A B C1
2 3
4
L
 � 1 2
e: = 1< p� e1 = − 2< p� e2 = 1< p�
L
A B C1 2 3 4
L
 �1 2
e: = 0 e1 = 1<  � e2 = − 1<  � 
q
A B C1 2 3 41 2
e: = qL2 e1 = �< e2 = qL/2L L
 
13 
 












=
2100
1200
0021
0012
6EI
L
F . 
A parcela das deformações independentes associadas à solução particular (veja a Figura 9-13) 
calcula-se a partir de (9-24): 












==












=
1
1
1
1
24
3
4
3
2
1
0
EI
qL
uu
θ
θ
θ
θ
. 
A parcela das deformações independentes associadas a solução complementar (veja a Figura 
9-14) calcula-se a partir de (9-25): 


















=












=
2
1
4
3
2
1
21
12
02
01
6 p
p
EI
L
c
θ
θ
θ
θ
u . 
 
Figura 9-13 
 
e: =  �/< e1 = −2 �/< e2 = 1<  � L
A B C1 
2 3
4
L
"� "� "�"� �1 2
q
A B C1 2 3 41 2 
e: e1 e2"� "� "� "�
L L
 
14 
 
Figura 9-14 
 
Figura 9-15 
Tendo as deformações independentes, calculam-se as descontinuidades. Para a solução 
particular (veja a Figura 9-16) usa-se (9-27): 
 






=
































=
1
2
24
1
1
1
1
241000
0110 33
0
EI
qL
EI
qL
v . (9-31) 
Para a solução complementar (veja a Figura 9-17 e Figura 9-18) usa-se (9-28): 
 












=
2
1
21
14
6 p
p
EI
L
cv . (9-32) 
Para obter os deslocamentos v que se desenvolvem na estrutura-base referentes à acção 
simultânea da carga q e das forças hiperestáticas p sobrepõem-se os resultados (9-31) e 
(9-32), obtendo-se 
 






+











=





=
1
2
2421
14
6
3
2
1
2
1
EI
qL
p
p
EI
L
v
v
v . (9-33) 
L
A B C1 2 3 4
L
AA
p_21 2
e: = 0 e1 =  �/< e2 = − �/< 
 
15 
 
 
Figura 9-16 
 
Figura 9-17 
 
 
Figura 9-18 
As forças hiperestáticas p são obtidas impondo que estes deslocamentos sejam iguais aos que 
se verificam na viga contínua encastrada. Na viga contínua encastrada não há rotação relativa 
da secção 2 em relação a secção 3 (¡� = 0) nem rotação do nó incicialmente encastrado 
(¡� = 0). Impondo estas condições na equação (9-33), obtém-se a equação: 
L
A B C1
2 
3 4 
L
p_2 
9�� = <3��
9�� = <6��
1 2
LL
A B C1
2 3
4 
9�� = 2<3��
 �
9�� = <6��
1 2 
q
A B C1 2 3 41 2
¡f,� = �<�12�� ¡f,� = �<�24��< < 
 
16 
 






=





+











0
0
1
2
2421
14
6
3
2
1
EI
qL
p
p
EI
L
 
que permite levantar a indeterminação estática 
2
1 28
3
qLp −= e 22 14
1
qLp −= . 
Note-se que quando p é conhecido, qualquer esforço, deslocamento ou deformação pode ser 
determinado sobrepondo-se uma parcela associado a solução particular (estrutura-base 
solicitada pelas cargas dadas) e outra associada a solução complementar (estrutura-base 
solicitada pelas forças hiperestáticas). As reacções dos apoios, por exemplo, podem ser 
obtidas por sobreposição das soluções particular e complementar: 
28
13
32
11
14
1
28
3
/1/1
/1/2
0/1
2/
2/
2
2
0
qL
qL
qL
LL
LL
L
qL
qL
qL
V
V
V
r
C
B
A










=










−
−










−
−+










=+=










= pBrr . 
9.2 Montagem da equação do método das forças 
É desejável, obter H¤1 sem formar a matriz H. 
 
H¤1 = QhHQ = nQ�h Q�h … Q�ho �H�Q�H�Q�…H�Q��. (9-34) 
ou 
 H¤1 = 7 QIhHIQI¨© . (9-35) 
Montagem da equação do método das forças 
1. Determine os graus de indeterminação estática interna, externa e global da estrutura; 
 
17 
 
2. Escolha as incógnitas hiperestáticas p , definindo a estrutura-base e o vector dos 
deslocamentos correspondentes £�; 
3. Discretize a estrutura e numerar e orientar as barras; 
4. Identifique para cada barra os esforços e as deformações que considerar como 
independentes, organizando os respectivos vectores, x e u , de acordo com as definições 
(7-17) e (7-18), respectivamente; 
5. Resuma num quadros as constantes geométricas e elásticas de cada barra; 
6. Obtenha para cada barra i a matriz de flexibilidade iF e o vector de deformações devido 
a cargas de vão, iu ; 
7. Obtenha para cada barra a matriz de equilíbrio B correspondente às forças hiperestáticas 
e o vector 0x correspondente à solução particular; 
8. Obtenha o vector das deformações internas 0u correspondente à solução particular; 
9. Obtenha a matriz de flexibilidade da estrutura-base EBF através da definição (9-35) e o 
vector dos deslocamentos devido às cargas exteriores 0v através da definição (9-27); 
10. Escreva a equação matricial do Método das Forças (9-30) e calcule o vector p das 
incógnitas hiperestáticas. 
Exemplo 9-2. Resolva a estrutura hiperestática da Figura 9-19 usando o procedimento acima 
descrito. Utilize as constantes elásticas definidas no quadro abaixo indicado, em que W =4800�/<� com < = 4m. 
i 
iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 E I A 
2 E I A 
3 E I A 
 
 
18 
 
 
Figura 9-19 
 
Figura 9-20 
A
B
C D 
1 
2 3 4 5
6
1
2
3 
 �
4.0 m
6.0 m
10 kN / m 10 kN /m 
30 kN
 �  �
A
C D
4.0 m
6.0 m 
10 kN / m10 kN / m
30 kN
B
E
 
19 
 
 
Figura 9-21 
 
Figura 9-22 
Passo 1. A estrutura é interiormente isostática e 3 vezes exteriormente hiperestática. A 
estrutura é, portanto, três vezes globalmente hiperestática. 
Passo 2. Pode-se escolher como forças hiperestáticas o momento no encastramento em A, o 
momento no encastramento em B e a reacção horizontal do apoio em B (veja a Figura 9-23). 
Da numeração das forças hiperestáticas ilustrada na figura, define-se o vector das forças 
hiperestáticas: 










=
3
2
1
p
p
p
p . 
A
B
C D 
1 
2 3 4 5
6
1
2
3 
 �
4.0 m
6.0 m
 �  �{: 
e1e:
A B
C D 
1 
2 3 4 5
6 
1
2
34.0 m 
6.0 m
10 kN / m 10 kN / m 
30 kN
{: 
e: e1
 
20 
 
Os deslocamentos correspondentes as forças p na estrutura dada são todos nulos: 










=










=
0
0
0
3
2
1
v
v
v
v . 
 
Figura 9-23 
 
Figura 9-24 
A B 
C D
1
2 3 4 5 
6
1
2
3
H_A = 0
V_A = -0.25 V_B = 0.25
1 
6.0 m
A
B 
C D
1
2 3 4 5
6 
1
2
3
 �
4.0 m
10 kN / m 
30 kN
 �  � 
 
21 
 
 
Figura 9-25 
 
Figura 9-26 
Passo 3. A discretização da estrutura e numeração e orientação dos elementos resultantes está 
ilustrada na Figura 9-23. 
Passo 4. As três barras serão consideradas como elementos de pórtico plano. Os vectores dos 
esforços e das deformações independentes ficam, então, definidos como: 
C
A B 
D
1
2 3 4 5 
6
1
2
3 
1 
V_A = 0 V_B = 0
1 
A B
C D
1 
2 3 4 5
6
1 
2
3
H_A = 0 
V_A = 0.25 V_B = -0.25
1
 
22 
 




























=
6
6
5
4
4
3
2
2
1
N
M
M
N
M
M
N
M
M
x , 




























=
6
6
5
4
4
3
2
2
1
e
N
e
θ
θ
θ
θ
θ
θ
u . 
Passo 5. As constantes geométricas e elásticas a considerar em cada barra estão definidas no 
tabela abaixo: 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 4 E I A 
2 6 E I A 
3 4 E I A 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior na definição (7-10) obtém-se 
as seguintes matrizes de flexibilidade: 










=
















==
045.000
021
012
6
4
03.0
00
0
3
4
6
4
0
6
4
3
4
31
EI
EI
EIEI
EIEI
FF , 










=
















=
045.000
021
012
6
6
045.0
00
0
3
6
6
6
0
6
6
3
6
2
EI
EI
EIEI
EIEI
F . 
Os vectores das deformações iu são determinadas recorrendo a tabelas para as cargas mais 
habituais. Os vectores das deformações correspondentes a cada barra têm as seguintes 
expressões (veja o Exemplo 7-2 a Figura 7-10): 
 
23 
 










=
0
0
0
1u , 
















=
0
90
90
2
EI
EI
u , 
















−
−
=
0
30
30
3
EI
EI
u . 
Passo 7. O vector dos esforços independentes associado a solução particular, 0x , é 
determinado solicitando-se a estrutura-base só com as cargas dadas (veja o Exemplo 4-7 e a 
Figura 9-21): 




























−
−
=
40
0
60
30
60
120
20
120
0
0x . 
A matriz de equilíbrio associado às forças hiperestáticas, B , determina-se aplicando a 
definição D 9-1 (veja o Exemplo 4-7, a Figura 9-22 a Figura 9-24, a Figura 9-25 e a Figura 
9-26): 
 
24 
 




























−
−
=
06/16/1
010
410
100
410
401
06/16/1
401
001
B . 
Passo 8. As deformações independentes associadas à solução particular, 0u , são as que se 
desenvolvem na estrutura-base quando só actuam as cargas dadas (veja o Exemplo 7-2 e a 
Figura 9-21): 




























−
−
=




























=
2.1
10
50
35.1
330
390
6.0
160
80
1
6
6
5
4
4
3
2
2
1
0
EI
e
e
e
θ
θ
θ
θ
θ
θ
u . 
Passo 9. Para evitar a formação da matriz de flexibilidade da estrutura, definição (7-20), 
determina-se EBF com base na definição (9-35): 
=










−



















−=
06/16/1
401
001
045.000
021
012
6
4
040
6/100
6/111
111
EI
T BFB
 










−
−
=
33.21.0000.8
.00008333.00008333.0
000.80008333.0001.4
1
EI
, 
 
25 
 
=






























=
100
410
401
045.000
021
012
6
6
144
010
001
222
EI
T BFB
 










=
045.9600.12000.12
12000.2000.1
000.12000.1000.2
1
EI
, 
=










−


















 −
=
06/16/1
010
410
045.000
021
012
6
4
004
6/111
6/100
333
EI
T BFB
 










−
−
=
33.21000.8.0
000.8001.40008333.0
.00008333.00008333.0
1
EI
, 










=++=
7.13800.2000.20
00.20002.69983.0
00.209983.0002.6
1
333222111
EI
TTT
EB BFBBFBBFBF . 
O vector das descontinuidades 0v contém os deslocamentos correspondentes às forças 
hiperestáticas que se desenvolvem na estrutura-base quando só as cargas dadas actuam (veja 
a definição (9-27) e a Figura 9-21): 










=




























−
−




























−
−
=
.3721
9.389
1.630
1
2.1
10
50
35.1
330
390
6.0
160
80
1
06/16/1
010
410
100
410
401
06/16/1
401
001
0
EIEI
T
v . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados do Passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 
 
26 
 










=










+




















0
0
0
.3721
9.389
1.630
1
7.13800.2000.20
00.20002.69983.0
00.209983.0002.6
1
3
2
1
EI
p
p
p
EI
,
 
obtendo-se: 
N
04.33
m55.45
m457.2
k










−
−
=p . 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se desenvolvem na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 
kN
m00.32
55.45
61.26
m041.3
61.26
62.14
m00.28
62.14
457.2
04.33
m55.45
m457.2
06/16/1
010
410
100
410
401
06/16/1
401
001
40
0
60
30
60
120
20
120
0




























−
−
−
−
−
−
−
−
=










−
−




























−
−
+




























−
−
=x . 
Passo 12. As restantes reacções dos apoios são obtidas sobrepondo a solução particular 
(Figura 9-21) e a solução complementar (Figura 9-22): 
kN
00.32
00.28
044.3
04.33
m55.45
m457.2
06/16/1
06/16/1
100
40
20
30
0










=










−
−










−
−+










=










=+=
B
A
A
c
V
V
H
rrr . 
Exemplo 9-3. Resolva a estrutura do Exemplo 9-2 desprezando as deformações axiais das 
barras. 
Passo 1. O mesmo que no exemplo anterior. 
Passo 2. O mesmo que no exemplo anterior. 
Passo 3. O mesmo que no exemplo anterior. 
 
27 
 
Passo 4. Como as deformações axiais são desprezíveis, as três barras serão consideradas 
como elementos de viga. Os vectores dos esforços e das deformações independentes da 
estrutura são, portanto, 




















=
6
5
4
3
2
1
M
M
M
M
M
M
x , 




















=
6
5
4
3
2
1
θ
θ
θ
θ
θ
θ
u . 
Passo 5. 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) 
1 4 E I 
2 6 E I 
3 4 E I 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior na definição (7-12) obtém-se 






==
21
12
6
4
31
EI
FF , 






=
21
12
6
6
2
EI
F . 
Os vectores das deformações iu , na forma (7-11), são determinadas recorrendo a tabelas paraas cargas mais habituais. Os vectores das deformações correspondentes a cada barra têm as 
seguintes expressões (determinados no Exemplo 7-2): 






=
0
0
1u , 










=
EI
EI
90
90
2u , 
 
28 
 










−
−
=
EI
EI
30
30
3u . 
Passo 7. O vector dos esforços independentes associado a solução particular, 0x , é 
determinado solicitando-se a estrutura-base só com as cargas dadas (veja o Exemplo 4-7 e a 
Figura 9-21): 




















=
0
60
60
120
120
0
0x . 
A matriz de equilíbrio associado às forças hiperestáticas, B , determina-se aplicando a 
definição D 9-1 (veja o Exemplo 4-7, a Figura 9-22, a Figura 9-24, a Figura 9-25 e a Figura 
9-26): 




















=
010
410
410
401
401
001
B . 
Passo 8. As deformações independentes associadas à solução particular, 0u , são as que se 
desenvolvem na estrutura-base quando só actuam as cargas dadas (veja o Exemplo 7-2 e a 
Figura 9-21): 




















=




















=
10
50
330
390
160
80
1
6
5
4
3
2
1
0
EI
θ
θ
θ
θ
θ
θ
u . 
 
29 
 
Passo 9. Para evitar a formação da matriz de flexibilidade da estrutura (7-20), determina-se 
EBF com base na definição (9-35): 
=

















=
401
001
21
12
6
4
401
001
111
EI
T BFB
 










=
33.21.0000.8
.000
000.80000.4
1
EI
, 
=





















=
410
401
21
12
6
6
44
10
01
222
EI
T BFB
 










=
9600.12000.12
000.12000.2000.1
000.12000.1000.2
1
EI
, 
=





















=
010
410
21
12
6
4
04
11
00
333
EI
T BFB
 










=
33.21000.8.0
000.8000.40
.000
1
EI
, 










=++=
7.13800.2000.20
00.20000.6000.1
00.20000.1000.6
1
333222111
EI
TTT
EB BFBBFBBFBF . 
O vector das descontinuidades 0v contém os deslocamentos correspondentes às forças 
hiperestáticas que se desenvolvem na estrutura-base quando só as cargas dadas actuam (veja 
a definição (9-27) e a Figura 9-21). 
 
30 
 










=








































==
.3720
0.390
0.630
1
10
50
330
390
160
80
1
010
410
410
401
401
001
0
EIEI
T
v . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados do Passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 










=










+




















0
0
0
.3720
0.390
0.630
1
7.13800.2000.20
00.20000.6000.1
00.20000.1000.6
1
3
2
1
EI
p
p
p
EI
 
obtendo-se 
N
05.33
m56.45
m437.2
k










−
−
=p . 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se desenvolvem na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 
Nm
5625.45
625.26
625.26
625.14
625.14
4375.2
N
05.33
m5625.45
m4375.2
010
410
410
401
401
001
0
60
60
120
120
0
kk




















−
−
−
−
−
=










−
−




















+




















=x . 
Os esforços normais independentes actuantes na estrutura dada podem ser determinados 
sobrepondo a solução particular (Figura 9-21) e a solução complementar (Figura 9-22): 
N
00.32
047.3
00.28
05.33
5625.45
4375.2
06/16/1
100
06/16/1
40
30
20
0 k
N
N
N
BD
DC
CA
c










−
−
−
=










−
−










−
−
+










−
−
=










=+= eee . 
 
31 
 
Passo 12. As restantes reacções dos apoios são obtidas sobrepondo as soluções particular 
(Figura 9-21) e complementar (Figura 9-22): 
N
00.32
00.28
047.3
N
05.33
m56.45
m4375.2
06/16/1
06/16/1
100
40
20
30
0 kk
V
V
H
B
A
A
c










=










−
−










−
−+










=










=+= rrr . 
Exemplo 9-4. Dado o pórtico da Figura 9-27, determine usando método das forças os 
esforços nas barras e traçe os diagramas de esforços na barra BC. Considere:
28 N/mk 102.1 = ×E , 4cm 32000 =I e 2BD cm 4 = A . Despreze a deformação axial de todas 
as barras excepto a da barra BD. 
 
Figura 9-27 
Passo 1. A estrutura é uma vez interiormente hiperestática e uma vez exteriormente 
hiperestática. Portanto, a estrutura é duas vezes globalmente hiperestática. 
Passo 2. Pode-se escolher como incógnitas hiperestáticas o esforço axial da barra BD e a 
reacção horizontal do apoio em E (Figura 9-28). O vector das forças hiperestáticas é, então, 
dado por 
25 kN / m
6.0 
2.0
30°
4.0 
15 kN
30 kN
A 
B
C 
D
E
E, I
E, I E, I 
E, I 
E, A 
 
32 
 






=
2
1
p
p
p . 
As discontinuidades (deslocamentos correspondentes às forças hiperestáticas na estrutura-
base) são nulas: 






=





=
0
0
2
1
v
v
v . 
 
Figura 9-28 
Passo 3. A discretização da estrutura e numeração e orientação dos elementos resultantes está 
ilustrada na Figura 9-28. 
Passo 4. As barras AB, BC, CD e DE serão consideradas como elementos de viga enquanto 
que a barra DB será considerada como elemento de treliça. Os vectores dos esforços e das 
deformações independentes ficam, então, definidos como: 
25 kN / m
15 kN 
30 kN
A
B
C 
D 
E
1 
15 kN 
A 
B
2 3
5 
4 1
2
25 kN / m
x_1
x_2
C 
p_2
p_1 
p_2 
 
33 
 




























=




























=
BD
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
BD
ED
DE
DC
CD
CB
BC
BA
AB
eN
M
M
M
M
M
M
M
M
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
ux ; . 
Passo 5. 
2
8
4
m25.1
1032000
104 −
−
−
=
×
×
=
I
A
 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 6 E I - 
2 6.928 E I - 
3 6.928 E I - 
4 6 E I - 
5 12 E - 2m25.1 −I 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior nas definições (7-12) e (7-14) 
obtém-se as seguintes matrizes de flexibilidade: 






==
21
121
41
EI
FF , 






==
21
12
6
6.928
32
EI
FF , 



=


=
EIEI
6.9
25.1
12
5F . 
Os vectores das deformações iu , na forma (7-11) e (7-13), são determinadas recorrendo a 
tabelas para as cargas mais habituais (Figura 9-29). As deformações da barra AB têm as 
seguintes expressões: 
 
34 
 
EIEIEI
AB
33.33
3
100
=
66
6)+(44215
=
××
×××
=θ , 
EIEIEI
BA
67.26
3
80
=
66
6)+(24215
=
××
×××
=θ . 
As deformações da barra BC e CD têm as seguintes expressões: 
( ) ( )
EIEI
DCCDCBBC
8.259
24
30cos/630cos25 32
=
×
==== θθθθ . 
O vector das deformações independentes devidos às cargas de vão é, então, igual a 




























=
0
0
0
8.259
8.259
8.259
8.259
33.33
33.33
1
EI
u . 
 
35 
 
 
Figura 9-29 
Passo 7. O vector dos esforços independentes associado a solução particular, 0x , é 
determinado solicitando-se a estrutura-base só com as cargas dadas (Figura 9-30). Da 
imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção A1 obtém-se 
0=ABM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção A2 obtém-
se 
210415645 =×−×=BAM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB3 obtém-
se 
210415645 =×−×=BCM . 
15 kN 
A 
B
1
2 3
5 
4 
B
C 
D
E
18.75 kN / m 18.75 kN / m
r_BC
r_CB r_CD
r_DC
D
D
B
 
36 
 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB4 obtém-
se 
658.9kNm65.1323625)30tan64(15)30tan66(45 =×+××−×+×−×+×=CBM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção ABC5 
obtém-se658.9kNm65.1323625)30tan64(15)30tan66(45 =×+××−×+×−×+×=CDM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 6DE obtém-
se 
0=DCM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 7E obtém-se 
0=DEM . 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 8E obtém-se 
0=EDM . 
O vector dos esforços independentes 0x é, então, 




























=
0
0
0
0
923.658
923.658
00.210
00.210
0
0x . 
 
37 
 
 
Figura 9-30 
A matriz de equilíbrio associado às forças hiperestáticas, B , determina-se aplicando a 
definição D 9-1 (Figura 9-31, Figura 9-32 e Figura 9-33); isto é, a primeira coluna de B
determina-se com base no sistema da Figura 9-32 enquanto que a segunda coluna determina-
se usando o sistema da Figura 9-33. 
Considere-se o sistema da Figura 9-32. Da condição de somatório nulo dos momentos das 
forças que actuam na porção A1 obtém-se 
0=ABM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção A2 obtém-se 
m661 =×=BAM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB3 obtém-
se 
m661 =×=BCM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB4 obtém-
se 
25 kN / m
15 kN 
30 kN
A 
B
C 
D 
E
1 
15 kN
A
B 
45 kN 45 kN
2 3 
5 
4 1 
2
25 kN / m
x_1,0
x_2,0
C
V_A,0=132.5 kN 167.5 kN V_A,0=132.5 kN
 
38 
 
m464.9)30tan66(1 =×+×=CBM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção ABC5 
obtém-se 
m464.9)30tan66(1 =×+×=CDM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 6DE obtém-
se 
m661 =×=DCM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 7E obtém-se 
m661 =×=DEM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 8E obtém-se 
0=EDM . 
A primeira coluna da matriz B é, portanto, 




























0
0
6
6
464.9
464.9
6
6
0
. 
Considere-se agora o sistema da Figura 9-33. Da condição de somatório nulo dos momentos 
das forças que actuam na porção A1 obtém-se 
0=ABM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção A2 obtém-se 
 
39 
 
0=BAM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB3 obtém-
se 
0=BCM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção AB4 obtém-
se 
m464.3)30tan6(1 −=××−=CBM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção ABC5 
obtém-se 
m464.3)30tan6(1 −=××−=CDM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 6DE obtém-
se 
0=DCM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 7E obtém-se 
0=DEM . 
Da condição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na porção 8E obtém-se 
0=EDM . 
A segunda coluna da matriz B é, então, 
 
40 
 




























−
−
0
0
0
0
464.3
464.3
0
0
0
. 
A matriz B é, por conseguinte, dada por 




























−
−
=
10
00
06
06
464.3464.9
464.3464.9
06
06
00
B . 
 
Figura 9-31 
A 
B
C 
D
E
1 
A
B 
2 3
5 
4 1
2
x_1,c
x_2,c 
C 
p_2
p_2 
V_A,c=0V_E=0V_A=0 
p_1 p_1 p_1 
 
41 
 
 
Figura 9-32 
 
Figura 9-33 
Passo 8. As deformações independentes associadas à solução particular, 0u , são determinadas 
a partir da definição (9-24) (veja Figura 9-30): 






=+=
3/1340
3/7301
,0,0
EI
ABABABAB uXFu , 






=+=
3/.2024
.15061
,0,0
EI
BCBCBCBC uXFu , 
A
B
C
D 
E
1
A
B
2 3
5
4 1
2
x_1,2
x_2,2
C
p_2=1
p_2=1
V_A,2=0V_E=0V_A=0 
A
B 
C
D 
E
1 
A 
B
2 3
5 
4 1
2
x_1,1
x_2,1
C
1 1 1
V_A=0 V_E=0 V_A,1=0 
 
42 
 






=+=
.1021
.17821
,0,0
EI
CDCDCDCD uXFu , 






=+=
0
0
,0,0 DEDEDEDE uXFu , 
[ ] [ ]0,0 =BDu . 
O vector 0u é, então, dado por 




























=
0
0
0
1021
1782
.2024
.1506
7.446
3.243
1
EI
0u . 
Passo 9. A matriz de flexibilidade da estrutura-base, EBF , é determinada com base na 
definição (9-35): 
 
5/480
001
71.277.99
71.991.4212
00
0722






+





−
−
+





== ∑
EIEIEIi
i
T
iEB BFBF 






−
−
=
65.024.199
4.1993.9861
EI
EBF . 
O vector das descontinuidades 0v contém os deslocamentos correspondentes às forças 
hiperestáticas que se desenvolvem na estrutura-base quando só as cargas dadas actuam: 
 
43 
 






−
=
























































−
−
=
13180
538501
0
0
0
1021
1782
.2024
.1506
7.446
3.243
1
10
00
06
06
464.3464.9
464.3464.9
06
06
00
0
EIEI
T
v . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados do Passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 






=





−
+











−
−
0
0
13180
538501
65.024.199
4.1993.9861
2
1
EIp
p
EI
. 
obtendo-se: 
N
84.92
83.35
k




−
=p , 
levantando-se, assim, a indeterminação estática da estrutura. 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se desenvolvem na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 




























−
−
−
−
−
−
=




−




























−
−
+




























=
84.92
0
0.215
0.215
801.1
801.1
987.4
987.4
0
84.92
83.35
10
00
06
06
464.3464.9
464.3464.9
06
06
00
0
0
0
0
923.658
923.658
00.210
00.210
0
x . 
 
44 
 
Passo 12. Visto que os momentos flectores BCM ( iM ) e CBM ( jM ) da barra BC são 
conhecidos, o esforço transverso e o momento flector numa secção arbitrária da barra podem 
ser determinados a partir da análise estática da viga simplesmente apoiada. A distribuição dos 
esforços normais só será possível determinar quando se conhecer o esforço normal CBN ( jN
). 
Os esforços internos na secção C da barra BC serão, numa primeira fase, calculados em 
relação aos eixos da estrutura, por sobrepozição a solucão particular (Figura 9-30) e a solução 
complementar (Figura 9-31, Figura 9-32, Figura 9-33). O esforço normal e o esforço 
transverso são depois obtidos por rotação de eixos. 
Do equilíbrio de forças que actuam na porção ABC (Figura 9-30) obtém-se 
N3015450,1 kx =−= , 
N5.171505.1326250,0,2 kVx B =+−=⋅+−= . 
Do equilíbrio de forças que actuam na porção ABC (Figura 9-32) obtém-se 
11,1 =x , 
01,2 =x . 
Do equilíbrio de forças que actuam na porção ABC (Figura 9-33) obtém-se 
12,1 −=x , 
02,2 =x . 
Sobrepondo os efeitos tem-se 
22,111,10,11 pxpxxx ++= , 
22,211,20,22 pxpxxx ++= . 
ou na forma matricial 
 
45 
 












+





=





=
2
1
1,21,2
2,11,1
0,2
0,1
2
1
p
p
xx
xx
x
x
x
x
x 
ou 





−
=




−





 −
+





=





=
17.5
67.98
84.92
83.35
00
11
5.17
30
2
1
x
x
x . 
Para obter os esforços em relação ao eixos locais da barra, o esforço normal e o esforço 
transverso, é necessário rodar os eixos (Figura 9-34): 
N70.7630sin30cos 21 kxxNCB −=+= . 
N49.6430cos30sin 21 kxxTCB −=−= . 
 
Figura 9-34 
 
B
2
q_T = 18.75 kN / m
q_N = 10.83 kN / m
C
M_BC = -4.987
M_CB = -1.801
N_CB = -76.70 
T_CB
T_BC
N_BC
x_1
x_2
B
N_CB
T_CB
30°
1
C 
 
46 
 
Figura 9-35 
Da imposição de somatório nulo das projecções das forças na direcção do eixo da barra, 
obtém-se 
N7.151928.683.107.76 kLqNN NCBBC =⋅−−=−= . 
Da imposição de somatório nulo do somatório dos momentos das forças que actuam na barra, 
obtém-se0
2
928.6
75.18928.6
2
=⋅−−+⋅ CBBCBC MMT , 
donde 
41.65=BCT kN. 
Da imposição de somatório nulo dos momentos das forças que actuam na barra obtém-se 
0
2
928.6
75.18928.6
2
=⋅+−+⋅ CBBCCB MMT , 
donde 
49.64−=CBT kN. 
A equação dos momentos flectores do troço BC é, então, 
2/75.1841.654.987- 2/M )( 22BC xxxqxTxM TBCBC −+=−+= . 
O momento máximo ocorre quando o esforço transverso é igual a zero, isto é, 
0 =)( =−= xqxTxT TBCBC , 
donde 
m489.3/ == TBC qTx . 
O momento máximo é, então, igual a 
 
47 
 
kNm1.109 2/489.3489.3M )489.3( 2BC =×−×+= TBCBC qTM . 
Com estes valores traçam-se os diagramas dos esforços internos ilustrados na Figura 9-36. 
 
Figura 9-36 
Exemplo 9-5. Determine o vector dos esforços independentes da estrutura da Figura 7-37 
para uma variação uniforme de temperatura CT °+=∆ 15 em BC. Considere: secção 
4.02.0 × ; 27 mN/103 kE ×= ; C/10 5 °= −α . 
Primeira alternativa de estrutura-base 
Passo 1. A estrutura é interiormente isostática e uma duas vezes exteriormente hiperestática. 
A estrutura é, portanto, duas vezes globalmente hiperestática. 
Passo 2. Nesta alternativa de estrutura-base escolhe-se como incógnitas hiperestáticas a 
reacção horizontal do nó C e a reacção vertical do nó C (veja a Figura 9-37). O vector das 
forças hiperestáticas é definido na forma 
-4.987
1.801
109.1
64.49
65.41
76.7
151.7
dN[kN]
dT[kN]
dM[kNm]
C
B 
 
48 
 






=
2
1
p
p
p . 
Os deslocamentos correspondentes às forças p na estrutura dada são todos nulos: 






=





=
0
0
2
1
v
v
v . 
 
Figura 9-37 
Passo 3. A discretização da estrutura e numeração e orientação dos elementos resultantes está 
ilustrada na Figura 9-37. 
Passo 4. As duas barras são consideradas como elementos de pórtico plano. Os vectores dos 
esforços e das deformações ficam, então, definidos como 




















=




















=
CB
CB
BC
BA
BA
AB
CB
CB
BC
BA
BA
AB
e
e
N
M
M
N
M
M
θ
θ
θ
θ
ux ; . 
Passo 5. 
2
3
m75
12/4.02.0
4.02.0 −=
×
×
=
I
A
 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iI (
4m ) iA (
2m ) 
1 5 E I 2m75 −I 
2 4 E I 2m75 −I 
3.0 
A 
B C
4.0m 4.0 
0.2
0.4 
DT=15
Secção da barra BC
p_1
p_2
2
1 
 
49 
 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior na definição (7-10) obtém-se 
as seguintes matrizes de flexibilidade: 










=
7500
03/56/5
06/53/5
1
1
EI
F , 










=
7500
03/46/4
06/43/4
1
2
EI
F . 
Os vectores das deformações iu , na forma (7-11), são determinadas recorrendo a tabelas para 
as cargas mais habituais. As deformações nas duas barras têm as seguintes expressões: 
0==== CBBCBAAB θθθθ 
0=BAe 
m10615410 45 −− ×=××=BCe 
O vector das deformações independentes devidos às cargas de vão é, então, igual a 




















×
=
− m106
0
0
0
0
0
4
u . 
Passo 7. O vector dos esforços independentes da estrutura associado à solução particular, 0x , 
é nulo; pois variações de temperatura não introduzem esforços nas estruturas isostáticas (veja 
a Figura 9-38): 
 
50 
 




















=
0
0
0
0
0
0
0x . 
 
Figura 9-38 
A matriz de equilíbrio B é determinada recorrendo-se a definição D 9-1 (veja a Figura 9-39): 




















−
−
=
01
00
40
6.08.0
40
83
B . 
 
Figura 9-39 
A 
B C p_1
p_2
2 
1
A 
B C 
0.2 
0.4 
DT=15
Secção da barra BC 
2 
1
 
51 
 
Passo 8. Como 0x é nulo temos que uu =0 (veja a definição (9-24)). O vector das 
deformações independentes da estrutura base é, então, dado por: 




















×
=
− m106
0
0
0
0
0
4
0u . 
Passo 9. A matriz de flexibilidade da estrutura-base, EBF , determina-se com base na definição 
(9-35): 






== ∑ 024.208968.49
968.49096.151
EIi
i
T
iEB BFBF . 
As descontinuidades 0v são calculadas usando a definição (9-27): 





−
=




















×



















−
−
=
−
0
0006.0
m106
0
0
0
0
0
1
01
00
40
6.08.0
40
83
4
0
EI
T
v . 
Passo 10. Com a informação do passo 2 e os resultados do Passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 






=




−
+











0
0
0
0006.0
024.208968.49
968.49096.151
2
1
p
p
EI
 
obtendo-se: 
N
491.1
206.6
00004659.0
0001940.0
kEI 





−
=





−
=p . 
 
52 
 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se verificam na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 
N
206.6
0
m963.5
860.5
m963.5
m693.6
491.1
206.6
01
00
40
6.08.0
40
83
0
0
0
0
0
0
k




















−
−
−
−
=





−




















−
−
+




















=x . 
Segunda alternativa de estrutura-base 
Passo 1. A estrutura é interiormente isostática e uma duas vezes exteriormente hiperestática. 
A estrutura é, portanto, duas vezes globalmente hiperestática. 
Passo 2. Nesta alternativa de esrutura-base escolhe-se como incógnitas hiperestáticas o 
momento flector na secção do encastramento e o momento flector no nó B (veja a Figura 
9-40). O vector das forças hiperestáticas é definido na forma 






=
2
1
p
p
p . 
Os deslocamentos correspondentes as forças p na estrutura dada são todos nulos: 






=





=
0
0
2
1
v
v
v . 
 
Figura 9-40 
A
B C 
4.0m 4.0 
0.2
0.4 
DT=15
3.0 
Secção da barra BC
1 
2
p_2 
p_1
 
53 
 
Passo 3. Adoptar-se-á a mesma discretização que na primeria alternativa de estrutura-base 
(Figura 9-40). 
Passo 4. O mesmo que na primeira alternativa de estrutura-base. 
Passo 5. Como a discretização da estrutura é a mesma que na primeira alternativa de 
estrutura-base, as características geométicas e elásticas dos elementos resultantes da 
discretização são as que foram resumidas na primeira alternativa de estrutura-base. 
Passo 6. Como a discretização da estrutura é a mesma que na primeira alternativa de 
estrutura-base as matrizes de flexibilidade iF e o vector das deformações independentes 
devidos às cargas de vão, iu , são as que foram determinadas na primeira alternativa de 
estrutura-base. 
Passo 7. Porque variações de temperatura não introduzem esforços em estruturas isostáticas o 
vector dos esforços independentes da estrutura associados à solução particular, 0x , é nulo 
(veja a Figura 9-41): 




















=
0
0
0
0
0
0
0x . 
 
Figura 9-41 
A matriz de equilíbrio B é determinada recorrendo-se a definição D 9-1 (veja a Figura 9-42): 
A 
B C 
0.2
0.4 
DT=15
Secção da barra BC 
1
2 
 
54 
 




















−
−
=




















−
−
=
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
3/23/1
00
10
60/4115/4
10
01
B . 
 
Figura 9-42 
Passo 8. Como 0x é nulo temos que uu =0 (veja a definição (9-24)). O vector das 
deformações independentes da estrutura base é, então, dado por 




















×
=
− m106
0
0
0
0
0
4
0u . 
Passo 9. A matriz de flexibilidade da estrutura-base, EBF , determina-se com base na definição 
(9-35): 






== ∑ 055.38093.0
8093.0678.11
EIi
i
T
iEB BFBF . 
As descontinuidades 0v são calculadas usando a definição (9-27): 
A 
B C
1
2
p_2 
p_1 
 
55 
 





−
=




















×



















−
−
=
−
0004.0
0002.0
m106
0
0
0
0
0
1
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
4
0
EI
T
v . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados no Passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 






=



−
+











0
0
0004.0
0002.0
055.38093.0
8093.0678.11
2
1
p
p
EI
, 
donde obtém-se 
Nm
963.5
929.6
2
1
k
p
p






−
=





. 
Passo 11. Os esforços nas extremidades das barras são, desta forma, dados por 
N
206.6
0
m963.5
860.5
m963.5
m693.6
963.5
929.6
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
0
0
0
0
0
0
k




















−
−
−
−
=





−




















−
−
+




















=x . 
Exemplo 9-6. Determine o vector dos esforços independentes da estrutura da Figura 7-43 
para uma variação diferencial de temperatura CTTT is °+=∆−∆=∆ 15' em BC. Considere: 
secção 4.02.0 × ; 27 mN/103 kE ×= ; C/10 5 °= −α . 
 
56 
 
 
Figura 9-43 
Primeira alternativa de estrutura-base 
Na definição (9-30), a matriz de flexibiliade da estrutura-base, EBF , e o vector das 
descontinuidades da estrutura dada, v , já são conhecidos (veja o Exemplo 9-5). O vector 0v 
tem de ser calculado novamente, por se ter mudado a solicitação na barra BC. A única 
solicitação na estrutura-base é a variação de temperatura na barra BC, que, como se sabe, não 
gera esforços nas estruturas isostáticas: 




















=
0
0
0
0
0
0
0x . 
Como 0x é nulo, uu =0 (veja a definição (9-24)). Na barra AB as três deformações são 
nulas. Na barra 2 as deformações BCθ e CBθ e BAe são dadas por 
0015.0
4.0
15410 5
−=
××
−==
−
CBBC θθ . 
0=BAe . 
Tem-se, então, que 
3.0 
A
B C 
4.0m 4.0
0.2 
0.4m
DT_s=7.5
Secção da barra BC
DT_i=-7.5
 
57 
 




















−
−
==
0
0015.0
0015.0
0
0
0
0 uu . 
As descontinuidades 0v são calculadas usando a definição (9-27), onde B foi determinado 
no Exemplo 9-5: 






−
=




















−
−




















−
−
=
0060.0
0
0
0015.0
0015.0
0
0
0
01
00
40
6.08.0
40
83
0
T
v . 
Tem-se, portanto, que a equação que permite levantar a indeterminação estática da estrutura é 






=





−
+











0
0
0060.0
0
024.208968.49
968.49096.151
2
1
p
p
EI
, 
obtendo-se 
N
504.4
91.14
00004659.0
0001940.0
kEI 




−
=





−
=p . 
Os esforços independentes da estrutura são, portanto, 
N
91.14
0
m02.18
63.14
m02.18
m693.8
504.4
91.14
01
00
40
6.08.0
40
83
0
0
0
0
0
0
k



















−
=




−




















−
−
+




















=x . 
Segunda alternativa de estrutura-base 
 
58 
 
Na equação do método das forças, definição (9-30), EBF e v foram determinados Exemplo 
9-5. Como se tem novas solicitações, 0v tem de ser recalculado. Como a variação de 
temperatura não gera esforços nas estruturas isostáticas, tem-se que 




















=
0
0
0
0
0
0
0x . 
Como 0x é nulo, uu =0 (veja a definição (9-24)). Na barra AB as três deformações são 
nulas. Na barra 2 as deformações BCθ e CBθ e BAe são dadas por 
0015.0
4.0
15410 5
−=
××
−==
−
CBBC θθ . 
0=BAe . 
Tem-se, então, que 




















−
−
==
0
0015.0
0015.0
0
0
0
0 uu . 
As descontinuidades 0v são calculadas usando a definição (9-27), onde B foi determinado 
no Exemplo 9-5: 






−
=




















−
−




















−
−
=
0015.0
0
0
0015.0
0015.0
0
0
0
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
0
T
v . 
 
59 
 
A equação que permite determinar as forças hiperestáticas é, então, dada por: 






=





−
+











0
0
0015.0
0
055.38093.0
8093.06777.11
2
1
p
p
EI
. 
donde 





−
=





02.18
693.8
2
1
p
p
. 
O vector dos esforços independentes do sistema dado é, então, dado por: 
N
91.14
0
m02.18
63.14
m02.18
m693.8
02.18
693.8
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
0
0
0
0
0
0
k



















−
=




−




















−
−
+




















=x . 
Exemplo 9-7. Determine o vector dos esforços independentes da estrutura da Figura 7-43 
para um assentamento do apoio em C de 0.5cm (como a única solicitação na estrutura). 
Nesta alternativa de estrutura-base as forças hiperestáticas que foram escolhidas são as 
indicadas na Figura 9-37. 






=
2
1
p
p
p . 
Na equação (9-30), EBF e v são conhecidos. v são as descontinuidades correspondentes às 
forças hiperestáticas p na estrutura dada, isto é, 






−
=





=
005.0
0
2
1
v
v
v . 
As descontinuidades na estrutura-base devidas às cargas dadas, 0v , são nulas, por não haver 
qualquer solicitação dada na estrutura-base: 
 
60 
 






=
0
0
0v . 
Deste modo, a equação (9-30) tem a forma 






−
=





+











005.0
0
0
0
024.208968.49
968.49096.151
2
1
p
p
EI
. 
donde 






−
=





753.3
42.12
2
1
p
p
. 
O vector dos esforços independentes da estrutura é, então, igual a 
N
42.12
0
m01.15
19.12
m01.15
m244.7
753.3
42.12
01
00
40
6.08.0
40
83
0
0
0
0
0
0
k




















−
−
−
−
=





−




















−
−
+




















=x , 
onde B foi determinado no Exemplo 9-5. 
Segunda alternativa de estrutura-base: 
Nesta alternativa de estrutura-base, EBF e v são conhecidos. Os vectores 0x e u são nulos. 
Como 0x e u são nulos também será nulo o vector 0u (veja a definição (9-24)): 




















=
0
0
0
0
0
0
0u . 
 
61 
 
Como o apoio que assenta não está incluído na estrutura-base, no cálculo de 0v é necessário 
estender as definições de x e u para incluir, respectivamente, a reacção ao apoio que assenta 
e o assentamento do apoio: 
 






















−
=





−
=






















=





=
Cr
CB
CB
BC
BA
BA
AB
r
C
CB
CB
BC
BA
BA
AB
u
e
e
V
N
M
M
N
M
M
,
** ;
θ
θ
θ
θ
u
u
u
r
x
x . 
De acordo com a definição de *x a matriz *B , com B foi determinado no Exemplo 9-5, é 






















−
−
=





=
25.00
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
*
rB
B
B . 
De acordo com a definição de *u o vector *0u é 






















−−
=





−
=
)005.0(
0
0
0
0
0
0
0*
0
ru
u
u . 
O vector das descontinuidades, 0v , será, então, 
 
62 
 






=






















−−





















−
−
==
00125.0
0
)005.0(
0
0
0
0
0
0
25.00
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
*
0
*
0
T
T
uBv . 
A equação que permite determinar as forças hiperestáticas é, deste modo, 






=





+











0
0
00125.0
0
055.38093.0
8093.0678.11
2
1
p
p
EI
. 
donde 
Nm
01.15
244.7
2
1
k
p
p






−
=





. 
O vector dos esforços independentes da estrutura é, então, 
N
42.12
0
m01.15
19.12
m01.15
m244.7
01.15
244.7
6667.03333.0
00
10
6833.026667.0
10
01
0
0
0
0
0
0
k




















−
−
−
−
=





−




















−
−
+




















=x . 
Exemplo 9-8. Calcule os esforços nas estacas do maciço representado na Figura 9-44.Assuma que todas as barras têm a mesma rigidez axial, igual a EA . 
 
63 
 
 
Figura 9-44 
Passo 1. A estrutura é 4 vezes interiormente hipoestática e uma 5 vezes exteriormente 
hiperestática. A estrutura é, portanto,uma vez globalmente hiperestática. 
Passo 2. Pode-se escolher como incógnitas hiperestáticas o esforço normal da barra CG, 
Figura 9-45. O vector das forças hiperestáticas é, portanto, definido na forma 
[ ]1p=p . 
Os deslocamentos correspondentes as forças p na estrutura dada são todos nulos: 
[ ] [ ]01 == vv . 
2.5m 2.5 
1.5
15°
A B C 
D E F G
500 kN
150 kN
600 kNm
1 
6.0 
 
64 
 
 
Figura 9-45 
 
Figura 9-46 
2.5m 2.5 
1.5
15° 
A B C 
D E F G
500 kN
150 kN
600 kNm
432 1
2.5m 2.5 
1.5
15° 
A B C 
D E F G
500 kN
150 kN
600 kNm
432 1
p_1 
 
65 
 
 
Figura 9-47 
Passo 3. A discretização da estrutura e numeração e orientação dos elementos resultantes está 
ilustrada na Figura 9-45. 
Passo 4. As quatro estacas serão consideradas como elementos de treliça. Os vectores dos 
esforços e das deformações independentes são, portanto, 












=












=
CG
BF
AE
AD
CG
BF
AE
AD
e
e
e
e
M
N
N
N
ux ; . 
Passo 5. 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iA (
2m ) 
1 6.212 E A 
2 6 E A 
3 6 E A 
4 6 E A 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior na definição (7-14) obtém-se 
as seguintes matrizes de flexibilidade: 
2.5m 2.5
1.5
15° 
A B C 
D E F G
4321
p_1 
 
66 
 



=
EA
212.6
1F , 



=
EA
6
2F , 



=
EA
6
3F , 



=
EA
6
4F . 
Os vectores das deformações iu , na forma (7-11), são determinadas recorrendo a tabelas para 
as cargas mais habituais. Como não há solicitações de vão os vectores iu são nulos. 
Passo 7. O vector dos esforços independentes associado à solução particular, 0x , obtém-se 
através do sistema ilustrado na Figura 9-46: 












−
−
=
.0
.830
8.229
6.579
0x . 
A matriz de equilíbrio B é determinada recorrendo-se a definição D 9-1 (veja a Figura 9-47): 












−
=
1
2
1
0
B . 
Passo 8. O vector das deformações independentes associado à solução particular, 0u , é 
determinado usando a definição (9-24): 












−
−
=












×
−×
−×
×
=












=
0
4980
1379
3600
1
06
)830(6
)8.229(6
6.579212.6
1
,0
,0
,0
,0
0
EAEA
CGCG
BFBF
AEAE
ADAD
XF
XF
XF
XF
u . 
 
67 
 
Passo 9. A matriz de flexibilidade da estrutura-base, EBF , é determinada com base na 
definição (9-35): 



== ∑
EAi
i
T
iEB
36
BFBF . 
O vector das descontinuidades 0v obtém-se usando a definição (9-27): 



−=












−
−












−
=
EAEA
T
8581
0
4980
1379
3600
1
1
2
1
0
0v . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados no passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 
[ ] [ ]0858136 1 =


−+



EA
p
EA
 
obtendo-se: 
[ ] N4.238 k−=p . 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se desenvolvem na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 
[ ] N
4.238
3.353
2.468
6.579
4.238
1
2
1
0
.0
.830
8.229
6.579
k












−
−
−
=−












−
+












−
−
=x . 
Exemplo 9-9. Determine os esforços normais na treliça da Figura 9-48. Todas as barras são 
do mesmo material e têm a mesma secção tranversal. 
 
68 
 
 
Figura 9-48 
Passo 1. A estrutura é 1 vezes interiormente hiperestática e uma 1 vezes exteriormente 
hiperestática. A estrutura é, portanto, duas vezes globalmente hiperestática. 
Passo 2. Pode-se escolher como incógnitas hiperestáticas a reacção do apoio em B e o esforço 
normal na barra AD (veja a Figura 9-49). O vector das forças hiperestáticas é, então, definido 
na forma 






=
2
1
p
p
p . 
Os deslocamentos correspondentes as forças p na estrutura dada são todos nulos: 






=





=
0
0
2
1
v
v
v . 
A 
L
B
C D
L
2P 
P
 
69 
 
 
Figura 9-49 
Passo 3. A discretização da estrutura e numeração e orientação dos elementos resultantes está 
ilustrada na Figura 9-49. 
Passo 4. As seis baras serão consideradas como elementos de treliça. Os vectores dos 
esforços e das deformações independentes da estrutura são, então, 




















=




















=
BC
AD
AC
CD
BD
AB
BC
AD
AC
CD
BD
AB
e
e
e
e
e
e
N
N
N
N
N
N
ux ; . 
Passo 5. 
i 
iL ( m) iE (
2mkN ) iA (
2m ) 
1 L E A 
2 L E A 
3 L E A 
4 L E A 
5 2L E A 
6 2L E A 
 
Passo 6. Substituindo as constantes definidas no passo anterior na definição (7-14) obtém-se 
as seguintes matrizes de flexibilidade: 
A 
L
B 
C D 
L
2P
P
p_1
p_1
p_21 
4 2
5 
3 
6
 
70 
 



====
EA
L
4321 FFFF , 






==
EA
L 2
65 FF . 
Os vectores das deformações iu são nulos porque não há cargas de vão aplicadas à estrutura. 
Passo 7. O vector dos esforços independentes da estrutura associado à solução particular, 0x , 
é determinado com base na Figura 9-50: 




















−
−
=
2
0
.2
0
1
1
0 Px . 
A matriz de equilíbrio B é determinada recorrendo-se a definição D 9-1 (veja a Figura 9-51): 




















−
−
−−
−
=




















−
−
−−
−
=
414.11
01
07071.0
07071.0
17071.0
07071.0
21
01
02/2
02/2
12/2
02/2
B . 
 
71 
 
 
Figura 9-50 
 
Figura 9-51 
Passo 8. O vector das deformações independentes associado à solução particular, 0u , é 
determinado usando a definição (9-24): 




















−
−
=




















=
2
0
2
0
1
1
,0
,0
,0
,0
,0
,0
0
EA
PL
BCBC
ADAD
ACAC
CDCD
BDBD
ABAB
xF
xF
xF
xF
xF
xF
u . 
A 
L
B
C D
L
p_1 
p_1
p_21
4 2
5 
3
6 
A
L
B
C D
L
2P 
P 1
4 2
5 
3 
6 
 
72 
 
Passo 9. A matriz de flexibilidade da estrutura-base, EBF , é determinada com base na 
definição (9-35): 
 
828.3707.2
707.2828.4
2212/22
2/2222






=





++
++
== ∑
EA
L
EA
L
ii
T
iEB BFBF 
O vector das descontinuidades 0v obtém-se usando a definição (9-27): 






−
−
=





−−
−
=




















−
−




















−
−
−−
−
==
828.3
2
221
2
2
0
2
0
1
1
21
01
02/2
02/2
12/2
02/2
0
EA
PL
EA
PL
EA
PL
T
Bv . 
Passo 10. Com a informação no passo 2 e os resultados no passo 9 monta-se a equação 
(9-30): 






=





−−
−
+











++
++
0
0
221
2
2212/22
2/22222
2
1
EA
PL
p
p
EA
L
, 
obtendo-se: 





−
=





+
−−
+
=
172.1
2426.0
21012
42
2811
P
P
p . 
Passo 11. Os valores dos esforços independentes que se desenvolvem na estrutura dada são 
obtidos através da definição (9-16): 




















+−
+−
+
+
+
=





+
−−
+




















−
−
−−
−
+




















−
−
=
0
)24(
)21421(
221
0
2102
281121012
42
2811
21
01
02/2
02/2
12/2
02/2
2
0
.2
0
1
1
PP
Px . 
 
73 
 
ou 




















−
−
=
0
2426.0
828.1
1716.0
0
172.1
Px . 
9.3 Problemas 
Exercício 9-1. Calcule os esforços nas barras da estrutura articulada dada na Figura 9-52. 
Considere: MPa10*2.1= 5E , 2cm 10==A=AA CDADAC , 
2cm 20=BDBC=AA . [Resposta: 
kN58.72== CDAC NN , kN4.227−=DBN , kN65.102−=DBN e kN06.67=ADN ] 
 
Figura 9-52 
Exercício 9-2. A barra BE da estrutura articuladaindicada na Figura 9-53 tem menos 3 mm 
que o devido. Aqueceu-se a barra para se fazer a montagem. Quais são os esforços na 
estrutura? Considere: MPa102.1= 5×E e 2cm 15= A . [Resposta: kN621.3=ADN , 
ADDE NN = , ADAC NN = , kN97.34−=EFN , EFFB NN = , EFBC NN = , kN122.5−=CDN , 
CDAE NN = , kN46.49=BEN , BECF NN = , kN35.31−=ECN ] 
C
4.0m
D
A B 
4.0
180kN
120 kN
 
74 
 
 
Figura 9-53 
Exercício 9-3. Dado o pórtico esquematizado na Figura 9-54, determine as reacções de apoio 
e trace os diagramas dos esforços transversos e dos momentos flectores na barra DE. 
Despreze a deformação axial das barras. [Resposta: kN05.94=AV (para cima), 
kN0.106=BV (para cima), kN15=BH (para a esquerda), kNm378.6=BM (horário), 
kNm8.134=DEM (horário), kNm88.88=EDM (horário), o diagrama dos esforços 
transversos e dos momentos flectores está ilustrado na Figura 9-55] 
 
Figura 9-54 
3.5m 4.5
A 
B 
C
D E
10kN/m
25kN/m
2.0
1.5 
2.0
E, I
E, I
E, I
E, I 
E
4.0m 
D
A B 
4.0
4.0 
C 
F
 
75 
 
 
Figura 9-55 
Exercício 9-4. Calcule as componentes horizontal e vertical da reacção em A e os momentos 
flectores nas extremidades das barras. Despreze a deformação axial das barras [Resposta: 
k5=AV (para cima), k40.3=AH (para a direita), kft34.6 ⋅=CAM (horário), 
kft34.6 ⋅=CEM (antihorário), kft20.6 ⋅=ECM (horário)] 
 
Figura 9-56 
12' 20' 
5'
6' 
2k
4k
A
B
C D 
E 
16' 
I=200in^4 
2I
6.543
106.0
134.8
88.88
135.7
ED dM[kNm]
dT[kN]ED
 
76 
 
Exercício 9-5. Determine os componentes das reacções dos apoios e os esforços 
independentes da estrutura [Resposta: k75.3=AH (para a direita), k34.16=AV (para cima), 
kft44.32 ⋅=AM (horário), k25.6=FH (direita), k66.3=FV (para cima), 
kft77.40 ⋅=FM (horário), k44.32=ABM (horário), kft56.42 ⋅=BAM (horário), 
k34.16−=BAN , kft56.42 ⋅=BDM (antihorário), kft77.15 ⋅=DBM (horário), k75.3−=DBN , 
kft77.15 ⋅=DFM (antihorário), kft77.40 ⋅=FDM (horário), k66.3−=FDN ] 
 
Figura 9-57 
20k
10k 
20' 
20'
10'
5'
A
B D 
E
F
C