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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA ANALÍTICA
(MATEMÁTICA)
2011/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
NEAD
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
GEOMETRIA ANALÍTICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 Represente no Plano Cartesiano Ortogonal os seguintes pontos:
a) A (3,0)
b) P(5,0)
c) M(-2,0)
d) B(2,3)
e) C(-1,3)
R.:
2 Dê as coordenadas dos pontos assinalados no plano cartesiano a seguir:
R.: A (3, 4); B(-3, 0); C(0, 2); D(4, 0); E(0, -4); F(-2, -3).
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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3 Em que quadrante se encontra cada um dos seguintes pontos:
a) (2,-5): IV quadrante.
b) (-1,3): II quadrante.
c) (4,4): I quadrante.
d) (-5,-1): III quadrante.
e) (0,-3): sobre o eixo 0y.
f) (2,0): sobre o eixo 0x.
g) (-1,1): II quadrante.
4 Determine o valor de k, sabendo que o ponto A (2k-1, - k+2) pertence à 
bissetriz dos quadrantes ímpares.
R.: k = 1.
5 O ponto P(3k+6, -k+2) pertence à bissetriz dos quadrantes pares, pergunta-
se:
a) Qual a ordenada do ponto P?
b) Em que quadrante se encontra o ponto P?
R.: k = - 4, o ponto é P(-6 6).
a) A ordenada do ponto P é 6.
b) O ponto P se encontra no segundo quadrante.
TÓPICO 2
1 Encontre a distância entre os pontos A(-3, 1) e B(4, 3).
R.: d(A, B) ≅7,28
2 A distância entre os pontos A(-2, y) e B(6, 7) é 10. Encontre o valor de y.
R.: Pode ser (-2, 13) ou (-2, 1), ambos estão a 10 unidades de distância do 
ponto B.
3 Encontre o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A (2,-1) 
e B(6, 3).
R.: Assim, o ponto C(0, 5)
4 Sendo A(1, 3) e B(7, 13) as extremidades do segmento AB, encontre seu 
ponto médio.
R.: M(4, 8)
5 Sendo A(-5, 2) uma das extremidades do segmento de reta AB e M(-2,4) 
o seu ponto médio, 
calcule as coordenadas do ponto B.
R.: B(1, 6)
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6 Calcule a área do triângulo de vértices A(1,1), B(7,8) e C(1,10).
R.: 27 unidades quadradas.
7 Encontre o valor de x para que os pontos A(x,0), B(3,1) e C(-4,2) sejam 
colineares.
R.: x = 10
8 Encontre os três pontos de simetria do ponto A(-1,6).
R.: (-1, -6); (1, 6); (1, -6).
9 Num sistema de coordenadas cartesianas, com suas unidades em 
centímetros, localizamos três pontos: A(-2, 3), B(3, -3) e C (6, 3). Una os três 
pontos, formando um triângulo e calcule sua área em cm².
R.: O triângulo tem 24 cm² de área.
TÓPICO 3
1 Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos:
a) A (-1, 3) e B(-4, -3): 2.
b) C(2, -5) e D(2, 5): não existe.
c) E (9, -4) e F(1, -4): zero.
d) G(-5, -3) e H(-4, 3): 6.
2 Encontre o valor de a para que a declividade (m) da reta que passa pelos 
pontos A(a, 5) e B(3, 8) seja 3.
R.: a = 2.
3 Dado α = 120o, obter o coeficiente angular da reta r.
R.: 3− ou – 1,7
TÓPICO 4
1 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto P(4, 10) e tem coeficiente 
angular 3.
R.: 1. 3x – y – 2 = 0
2 Sabendo que uma reta tem uma inclinação de 45o e passa pelo ponto P(5, 
-3), determine sua equação.
R.: x – y – 8 = 0
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3 Dados os pontos A (2, 3) e B(8, 5), determine a equação da reta que passa 
por estes dois pontos.
R.: Primeiro, encontramos o valor de m = 1/3, depois, calculamos a equação 
da reta: x – 3y + 7 = 0.
4 Encontre a equação geral da reta com coeficiente angular m = - 4 e passa 
pelo ponto P (2, -5). 5
R.: 4x + 5y + 17 = 0
5 Encontre a equação reduzida da reta que passa pelo ponto A (-3, 7) e tem 
coeficiente angular igual a 2.
R.: y = 2x + 13
6 Obtenha a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A (2, 1) e B 
(4, 6).
R.: y = 
2
5
 
x – 4
7 Dada a equação da reta: 2x – 3y + 5 = 0, escreva-a na forma reduzida.
R.: y = 2 x + 5 
 3 3
8 Dada a equação da reta 2x + 3y -6 = 0, determine seu coeficiente angular 
e linear.
R.: m = 
3
2−
; n = 2
9 Considere a equação 3x + 4y – 12 = 0 de uma reta r. Escreva esta equação 
na sua forma segmentária.
R.: x + y = 1 
 4 3
10 Encontre a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A (3, 2) 
e B (-1, - 6) e faça seu gráfico.
R.: x - y = 1, cujo gráfico é:
 2 4
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TÓPICO 5
1 Determine a posição da reta r, de equação: 6x + 7y + 3 = 0, em relação à 
reta s, de equação: 
12x + 14y – 21 = 0.
R.: As retas r e s são paralelas.
2 Qual a posição da reta r, de equação: 2x – y + 5 = 0, em relação à reta s, 
de equação 5x + 2y – 10 = 0.
R.: As retas r e s são concorrentes, pois possuem coeficientes angulares 
diferentes.
3 Considere as equações r e s de equações: x + 5y – 35 = 0 e 3x + ky –27 
= 0, respectivamente. Encontre o valor de k para que as retas r e s sejam 
concorrentes.
R.: k ≠ 15
4 Encontre a equação da reta que passa pelo ponto A (11, 2) e é paralela à 
equação 2x – 3y + t = 0.
R.: 2x – 3y –16 = 0
5 Dados dois pontos A (1, 3) e B (-3, 7), calcule a equação da reta que passa 
pelo ponto médio do segmento AB, e pela intersecção das retas r e s de 
equações: 2x + y – 10 = 0 e x – y – 2 = 0, respectivamente.
R.: 3x + 5y – 22 = 0
6 Verifique se as retas 7x – 4y + 5 = 0 e 4x + 7y – 9 = 0 são perpendiculares.
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R.: Sim, as retas são perpendiculares.
7 Calcule o valor de k para que as retas 3x – 3y + 7 = 0 e kx + 12y – 15 = 0 
sejam perpendiculares.
R.: k = 12.
8 Determine a equação da reta s que passa pelo ponto P (-1, -6) e é 
perpendicular à reta r de equação: x – 3y – 8 = 0.
R.: 3x + y + 9 = 0.
TÓPICO 6
1 Calcule a distância do ponto P(2, 6) à reta 3x – 4y – 2 = 0.
R.: dpr = 4
2 Determine a distância do ponto A (2, 3) à reta r de equação 3x – y – 17= 0.
R.: dpr = 7 √10
 5
3 Qual o valor positivo de k para que a distância do ponto P (0, 1) à reta de 
equação 12x + 16y + k = 0 seja 4,5?
R.: k = 74 
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UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a equação reduzida da circunferência de centro C e raio R.
a) b) 
R.: A equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) e raio R é 
dada por:
a) 
b)
2 Determine a equação reduzida da circunferência de centro em (3, 5) e raio 
igual a 4.
a) 
3 Determine a equação geral da circunferência de centro C(3, 5) e raio r = 4.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por: x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0. 
Esse exercício, em particular, pode ser resolvido de duas formas diferentes: 
ou aplicando diretamente a fórmula acima, ou utilizando a equação reduzida 
encontrada no exercício 2 e desenvolvê-la. Faremos os dois processos.
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(i) Substituição direta dos dados na fórmula:
(ii) Através da equação reduzida:
Vimos, no exercício 2, que a equação reduzida da circunferência de 
centro (3,5) e raio 4 é dada por (x - 3)2 + (y – 5)2 = 16. Vamos desenvolvê-
la para encontrar a equação geral.
4 Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² – 10x + 4y – 20 = 0.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. Assim, para encontrar as coordenadas 
do centro C e do raio r da circunferência cuja equação é x2 + y2 – 10x + 4y – 
20 = 0, basta compará-la com a equação acima.
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 Lembre que o raio é sempre 
positivo, pois é uma distância! 
Portanto, o centro da circunferência descrita pela equação acima é C(5, -2) 
e seu raio é 7.
5 Determine o valor de k para que a equação X2 + y2 + 4x – 2y + k = 0 represente 
uma circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dadapor x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. Assim, para encontrar o valor de k 
na equação x2 + y2 + 4x – 2y + k = 0, de tal forma que ela represente uma 
circunferência, vamos compará-la com a equação acima.
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Agora, para que os dados acima representem as coordenadas de uma 
circunferência, o raio precisa ser maior do que zero. Então . 
Portanto, para que a equação represente uma circunferência, k pode 
assumir qualquer valor real menor do que 5.
6 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y + 25 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada 
por x2 + y2 - 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. Assim, para que a equação x2 + y2 
– 6x – 8y + 25 = 0 represente uma circunferência, precisamos compará-la 
com a equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro C e o seu 
raio r que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
Portanto, a equação não é de uma circunferência, pois r = 0.
7 Verifique se a equação x² + y² – 6x – 8y - 49 = 0 é ou não equação de uma 
circunferência.
R.: A equação geral de uma circunferência de centro C(a,b) e raio r é dada por
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0. Assim, para que a equação x2 + y2 – 6x 
– 8y – 49 = 0 represente uma circunferência, precisamos compará-la com a 
equação acima e encontrar as coordenadas do seu centro C e o seu raio r 
que, obrigatoriamente, tem que ser maior do que zero.
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Portanto, a equação descreve uma circunferência de centro C(3,4) e raio √74.
TÓPICO 2
1 Determine as posições dos pontos P (1, 1); Q (-2, 3) e R (-1, 1) em relação 
à circunferência cuja equação é x2 + y2 + 5x + 7y – 14 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas dos pontos P, Q e R na equação da 
circunferência e observar o resultado.
O ponto P pertence à circunferência, porque satisfaz a equação – a 
distância das coordenadas de P ao centro da circunferência é igual ao raio.
O ponto Q é exterior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro 
da circunferência é maior do que o raio.
O ponto R é interior, porque a distância das coordenadas de Q ao centro 
da circunferência é menor do que o raio.
2 Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência (x – 1)2 
+(y-1)2 = 4?
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
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O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro 
da circunferência é 5, ou seja, maior do que o raio r = 4.
3 Encontre a posição do ponto A (1, √2) em relação à circunferência de 
equação: x² + y² – 4x – 4y + 4 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto A na equação da circunferência 
e observar o resultado.
O ponto A é interior, porque a distância das coordenadas de A ao centro 
da circunferência é menor do que o raio.
4 Determine p de modo que o ponto A (7, 9) seja exterior à circunferência de 
equação x² + y² – 2x – 2y – p = 0.
R.: Vamos encontrar o valor de p para que o ponto A seja exterior à 
circunferência, ou seja, a distância entre o seu centro C e o ponto A tem que 
ser maior do que o raio. Para isso, temos que ter a seguinte situação: 
Portanto, p pode assumir qualquer valor real menor do que 98. 
5 Determine a posição do ponto P (-1, - 4) em relação à circunferência x² + 
y² – 6x + 4y + 3 = 0.
R.: Vamos substituir as coordenadas do ponto P na equação da circunferência 
e observar o resultado.
O ponto P é exterior, porque a distância das coordenadas de P ao centro 
da circunferência é maior do que o raio.
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TÓPICO 3
1 Determine a posição da reta y = x + 5 em relação à circunferência de 
equação X2 + y2 – 6y +5 = 0.
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
O sistema possui duas soluções distintas e, portanto, a 
circunferência e a reta são secantes, já que possuem dois 
pontos em comum.
2 Qual é a posição da reta 4x + 3y = 0 em relação à circunferência x² + y² + 
5x – 7y – 1 = 0?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
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Substituindo y em λ,
Multiplicando os dois lados da igualdade por 9,
Vamos calcular :∆
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0>∆ , segue que 
o sistema apresenta duas soluções distintas. Portanto, a circunferência e a 
reta possuem dois pontos em comum, implicando serem secantes.
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3 Qual é a posição da reta 5x + 12y + 8 = 0 em relação à circunferência x² 
+ y² – 2x = 0?
R.: Para saber a posição relativa de uma reta r em relação a uma circunferência 
λ, temos que resolver o sistema composto pelas duas equações e observar 
as soluções: se houver duas soluções, r é secante à λ, pois a intercepta em 
2 pontos distintos; se houver apenas uma solução, r é tangente à λ, pois a 
intercepta em apenas um ponto; se não houver solução, r é exterior à λ, pois 
não há ponto em comum.
Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 144,
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Vamos calcular :∆
Mesmo sem resolver completamente o sistema, como 0=∆ , segue que 
o sistema apresenta duas soluções iguais. Portanto, a circunferência e a reta 
possuem apenas um ponto em comum, implicando serem tangentes.
4 Encontre as coordenadas dos pontos onde a circunferência x² + y² + 2x + 
4y – 8 = 0 intercepta a reta cuja equação é 3x + 2y + 7 = 0.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo y em λ,
Multiplicando ambos os lados da igualdade por 4,
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Vamos calcular :∆
Assim,
Substituindo agora os valores encontrados para x em y, 
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Portanto, os pontos em que a reta r intercepta a circunferência λ são (1, -5) 
e (-3, 1).
5 Determine o comprimento da corda determinada pela reta x – y = 0 sobre 
a circunferência (x + 3)2 +(y-3)2 =36. 
R.: Para determinar o comprimento da corda de uma reta r sobre uma 
circunferência λ, precisamos primeiramente encontrar os pontos em que r 
intercepta λ. Feito isso, calculamos a distância entre esses pontos.
Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
Substituindo x em λ,
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Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A(-3,-3) e B(3,3). Vamos 
agora determinar a distância entre eles.
Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de 6√2.
6 Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção da reta x – 2y = 0 com 
a circunferênciax² + y² = 5.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas:
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Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (-2, -1) e B(2,1). 
7 Dada a reta x + y – 5 = 0 e a circunferência x² + y² = 25, obtenha os pontos 
de intersecção entre reta e circunferência e calcule o comprimento da corda 
que a reta determina sobre a circunferência.
R.: Para encontrar os pontos onde a circunferência λ é interceptada pela reta 
r, precisamos resolver o sistema formado pelas equações de ambas: 
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Substituindo x em λ,
Substituindo agora os valores encontrados para y em x, 
Encontramos os dois pontos onde r intercepta λ: A (5,0) e B (0,5). Vamos 
agora determinar o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ. Para isso, basta calcularmos a distância entre os pontos 
A e B.
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Portanto, o comprimento da corda determinada pela reta r sobre a 
circunferência λ é de 5√2.
1 Determine a posição relativa da circunferência x² + y² – 4x – 6y – 3 = 0 em 
relação à circunferência x² + y² + 6x + 2y + 1 = 0.
R.: Para determinar a posição relativa entre uma circunferência λ1 em 
relação a uma circunferência λ2 precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros C1(a1, b1) e C2(a2,b2) e compará-la com a soma dos 
raios r1 e r2. 
d(C1, C2) <r1 + r2 λ1 secante em relação à λ2;
d(C1, C2) = r1 + r2 λ1 tangente externamente à λ2;
d(C1, C2) = |r1 - r2| tangente internamente à λ2;
d(C1, C2) > r1 + r2 λ1 e λ2 não possuem pontos em comum.
Vamos então encontrar os centros C1(a1, b1) e C2(a2,b2) e os raios r1 e 
r2 de λ1 e λ2, respectivamente. Para isso, precisamos comparar as equações 
de ambas com a equação geral da circunferência: x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 
+ b2 – r2 = 0. 
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← Lembre que o raio é sempre positivo, pois é uma distância!
←
Calculemos agora a distância entre os centros ( )3,21C e ( )1,32 −−C : 
Note que:
 2121 r),( 734< 4,6 rCCd +<⇒=+ . 
Portanto, 1λ secante em relação à 2λ .
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2 Determine as coordenadas dos pontos comuns, se existirem, entre as 
circunferências x² + y² – 16x + 48 = 0 e x2 + y2 – 4x =0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a λ1 e λ2, basta 
resolver o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e, depois, somá-la à segunda 
equação:
Substituindo x na segunda equação,
Portanto, as duas equações só possuem um ponto em comum, de 
coordenadas (x,y)=(4, 0).
3 Qual é a posição relativa das circunferências x² + y² = 49 e x² + y² –6x – 
8y + 21 = 0?
R.: Para determinar a posição relativa entre uma circunferência λ1 em 
relação a uma circunferência λ2, precisamos calcular a distância entre os 
seus respectivos centros C1(a1,b1) e C2(a2, b2) e compará-la com a soma dos 
raios r1 e r2. 
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d(C1,C2) <r1 + r2 λ1 secante em relação à λ2; 
d(C1,C2) = r1 + r2 λ1 tangente externamente à λ2;
d(C1,C2) = |r1 - r2| λ1 tangente internamente à λ2;
d(C1,C2) > r1 + r2 λ1 e λ2 não possuem pontos em comum. 
Vamos então encontrar os centros C1 (a1, b1) e C1 (a1, b1) e os raios r1 e 
r2 de λ1 e λ2, respectivamente. Para isso, precisamos comparar as equações 
de ambas com a equação geral da circunferência: x2 + y2 – 2ax – 2bx + a2 
+ b2 – r2 = 0 .
← Lembre que o raio é sempre positivo, 
pois é uma distância!
←
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Calculemos agora a distância entre os centros C1 (0,0) e C2(3, 4):
Note que:
 
 
Por outro lado, .
Portanto, as circunferências são internamente tangentes.
4 Encontre os pontos de intersecção das circunferências x² + y² – 2x – 3= 0 
e x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0.
R.: Para determinar as coordenadas dos pontos comuns a e , basta resolver 
o sistema formado pelas suas equações.
Vamos multiplicar a primeira equação por -1 e depois somá-la à segunda 
equação:
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Substituindo x na primeira equação:
Visto que x = y - 1, segue:
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Determine a equação da elipse de focos F1 (3, 0) e F2 (-3, 0) e vértices, 
que são as extremidades do eixo maior A1 (5,0) e A2 (-5,0). 
R.: A equação de uma elipse de centro C (x0,y0), eixo maior a e eixo menor 
2b é dada por 
Quando não temos os valores de a e b, podemos determiná-los, tendo 
os dois focos F1 e F2, os vértices (extremidades dos eixos maiores) A1 e A2 e 
as extemidades dos eixos menores B1 e B2, 
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 Vamos determinar a equação da elipse:
Assim, a equação da elipse é dada por:
2 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das elipses 
de equações:
a) x2 + y2 = 1
 25 16
R.: Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma geral:
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Pelas contas feitas anteriormente, temos que o eixo maior A1A2 da elipse 
mede 10 unidades de medida, enquanto que o eixo menor B1B2 da elipse 
mede 8 unidades de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos F1 e F2.
O fato de o centro da elipse ser a origem e os focos, nesta elipse, estarem 
no eixo OX, implicam as abscissas de F1 e F2 serem zero. Além disso, como 
a distância do centro da elipse até F1 é igual à distância do centro até F2, 
basta determinarmos uma das ordenadas: se F1(x,0), automaticamente, 
F1(-x,0). Logo:
Por outro lado, sabemos que d(F1,F2) = 2c. Desta forma, encontrando o 
valor de c, encontraremos as abscissas de ambos os focos:
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(- 3, 0) e F2(3, 0).
b) 4x2 +3y2 = 12
R.: Vamos comparar a equação da elipse dada com a equação na forma 
geral. Para isso, temos que reescrever a equação dada de uma maneira 
mais conveniente:
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Note que o número que aparece dividindo x2 é menor do que o número que 
divide y2. Isso significa que o eixo maior se encontra no eixo das ordenadas 
e, portanto, os focos estão no eixo OY:
Pelas contas feitas anteriormente, o eixo maior da elipse é A1A2 e mede 
4 unidades de medida, enquanto o eixo menor é B1B2 e mede 2√3 unidades 
de medida.
Vamos determinar a seguir as coordenadas dos focos F1 e F2.
O fato de o centro da elipse ser a origem e de, nesta elipse, os focos 
ficarem no eixo VERTICAL, implicam as ordenadas de F1 e F2 serem zero. 
Além disso, como a distância do centro da elipse até F1 é igual à distância 
do centro até F1, basta determinarmos uma das abscissas: se F1(0,y), 
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automaticamente, F1(0,-y). Logo:
Por outro lado, sabemos que d(F1,F2) = 2c . Desta forma, encontrando o 
valor de c, encontraremos as ordenadas de ambos os focos.
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1( 0,-1) e F2(0,1).
3 Calcule a excentricidade (e = ) das elipses: 
a) 
b) 
R.: Para calcular a excentricidade de uma elipse, precisamos determinar os 
valores c e a.
a) 
Neste caso:
c
a
Agora, podemos determinar a excentricidade desta elipse:
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Neste caso:
Agora, podemosdeterminar a excentricidade desta elipse:
4 Em uma elipse, o centro é (-2, 4), um dos focos é (-2, 7) e uma das 
extremidades do eixo menor é (-3, 4). Determine a equação dessa elipse.
R.: A equação de uma elipse de centro C(x0,y0), eixo maior 2a e eixo menor 
2b é dada por
 
 
dependendo da posição da elipse.
O exercício nos fornece o centro da elipse (C(-2,4)), um de seus focos 
(F(-2,7)) e a extremidade do eixo menor (B(-2,4)). Com esses dados, podemos 
esboçar a elipse:
ou ,
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Neste caso, o eixo maior da elipse é paralelo ao eixo OY. Logo, utilizaremos 
a equação:
Dado que o centro é ( )4,2−C , temos: 
Quando não temos os valores de a e b, podemos determiná-los. 
Tendo uma das extremidades do eixo menor B, podemos encontrar a 
distância de B ao centro C, que é exatamente o valor de b:
Já conhecemos o centro da elipse e encontramos o valor de b. Para 
exibirmos a equação, falta-nos encontrar o valor de a: a distância da 
extremidade do eixo maior até o centro. Não foi dado pelo problema a 
extremidade do eixo maior A. Por outro lado, tendo um dos focos F, podemos 
encontrar a distância de F ao centro C, que é exatamente o valor de c:
De posse desse valor, usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a:
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Assim, a equação da elipse é dada por:
TÓPICO 2
1 Calcule a distância focal de uma hipérbole cujos eixos medem 30 cm e 
16 cm.
R.: O exercício nos fornece as medidas dos eixos real 2a e imaginário 2b 
da hipérbole (30 cm e 16 cm), sem especificar quem é cada um. Para esse 
exercício, essa informação não será importante, uma vez que, para calcular 
a distância focal 2c, utilizaremos o teorema de Pitágoras:
Assim c = 17 cm e, portanto, a distância focal é igual a 34 cm.
2 A distância focal de uma hipérbole mede 58 mm e seu eixo imaginário mede 
42 mm. Calcule a medida do semieixo real.
R.: O exercício nos fornece as medidas do eixo imaginário 2b da hipérbole (42 
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mm) e da distância focal 2c (58 mm). Vamos calcular a medida do semieixo 
real a através do teorema de Pitágoras:
3 Calcule a excentricidade de uma hipérbole cujos eixos, real e imaginário, 
medem 4 cm e 6 cm, respectivamente.
R.: Vamos calcular a excentricidade da hipérbole de eixos real 4 cm e 
imaginário 6 cm. Para isso, precisamos determinar a distância focal:
Como a excentricidade é dada pela fórmula e = c, segue que e = √13
 a 2
4 A excentricidade de uma hipérbole é igual a 3/2 e a medida de seu eixo 
imaginário é 6√5. 
Calcule a medida do eixo real dessa hipérbole.
R.: Se a excentricidade da hipérbole é igual a 3, segue que:
 2
Queremos determinar o valor do eixo real dessa hipérbole 2a. O problema 
não nos fornece o valor da distância focal 2c, mas sim o eixo imaginário 2b, 
que é igual a 6√5. Assim:
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Observe que temos duas equações com duas incógnitas. Vamos então 
resolver o sistema formado por elas:
Substituindo o valor de c na segunda equação:
Note que nem precisamos encontrar o valor da variável a , uma vez que 
estamos procurando exatamente o valor de a . Portanto, o semieixo real da 
hipérbole mede 6 unidades de medida.
5 Determine as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das hipérboles 
de equações:
R.: Vamos encontrar as medidas dos eixos e as coordenadas dos focos das 
hipérboles a seguir, mas antes, faremos uma pequena recapitulação sobre 
o assunto. 
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Uma hipérbole com eixo real horizontal possui equação geral x2 - y2 = 1, 
 a2 b2
onde a é o semieixo real e b é o semieixo imaginário.
Podemos determinar a distância focal 2c através da fórmula c2 = a2 + b2.
O fato de 2c ser a distância focal significa que d (F1, F2) = 2c.
O ponto médio dessa distância é exatamente o centro da hipérbole. 
Assim, se o centro for exatamente a origem (C(0,0)), segue que d (F1,C) = 
d(C,F2) = c. Mais: 
Ainda, se a hipérbole tem eixo real horizontal, o valor da ordenada de F 
é o mesmo da ordenada de C, neste caso, 
Segue que: 
a)
Esta hipérbole tem eixo real horizontal. Logo, o eixo real mede 2a = 2.2 
= 4 e o eixo imaginário mede 2b = 2√3. 
Vamos determinar as coordenadas dos focos F1 (-c,0) F2 (c,0). 
Logo, as coordenadas dos focos são: F1(- 7 , 0) e F2( 7 , 0).
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b) 
Note que esta hipérbole possui o eixo real vertical. Nesse caso, e sabendo 
que esta hipérbole também está centrada na origem do plano cartesiano, os 
focos possuem ordenada nula. Repetindo o procedimento feito no início do 
exercício (tente repetir os passos!), podemos concluir que:
Segue que 


 −
⇒==+=+=
),0(
),0(
0
2
122222
cF
cF
xyyyxc
Os eixos real e imaginário são dados automaticamente pela equação: 
Eixo real: 2a = 2√2
Eixo imaginário: 2b = 2√5
Coordenadas dos focos: para determiná-las, precisamos encontrar o 
valor de c 
Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(0,- 7 ) e F2(0, 7 ).
c) 4y2 - 5x2 = 20 
Vamos reescrever a equação acima de uma maneira mais conveniente:
Agora sim! Essa hipérbole também possui o eixo real vertical. Logo:
Eixo real: 2a = 2√5 
Eixo imaginário: 2b = 2.2 = 4 
Coordenadas dos focos: 
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Portanto, as coordenadas dos focos são: F1(0, -3) e F2(0, 3).
TÓPICO 3
1 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0, -2) e cuja diretriz 
é a reta y = 2.
R.: Parábola de foco F(0,-2) e diretriz y=2:
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2 Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,-5) e cuja diretriz 
é a reta y = 5.
R.: Parábola de foco F(0,-5) e diretriz y=5
3 Obtenha a equação da parábola de foco F(-3, 0) e vértice V(0, 0).
R.: Parábola de foco F(-3,0) e vértice V(0,0):
Como a parábola tem o vértice na origem, segue que a diretriz da parábola 
é a reta x=3 (a distância da diretriz ao vértice é a mesma distância do foco 
ao vértice).
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4 Encontre as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola de 
equação x2 – 8y = 0.
R.: Sabemos que, definindo o foco da parábola de vértice na origem como 
F(P,0), a sua diretriz será x = - P e sua equação será y2 = 2px. Por outro
 2 2 
lado, se o foco da parábola for F(0,P), a sua diretriz será y = - P e sua equação
 2 2
será x2 = 2py. 
Equação da parábola: x2 - 8y = 0 
Reescrevendo-a de uma maneira mais conveniente, temos: 
Portanto, as coordenadas do foco são (0, 2) e a equação da diretriz é y = -2.
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5 Determine as coordenadas do foco e a equação da diretriz de cada uma 
das seguintes parábolas de equações:
a) x2 = 10y
R.: 
Portanto, as coordenadas do foco são 





2
5,0F e a equação da diretriz é 
y = - 5.
 2
b) y2 = -7x
R.:
Portanto, as coordenadas do foco são 




− 0,
4
7F e a equação da diretriz 
é x = 7.
 4
c) y2 – 6x = 0
R.: 
Portanto, as coordenadas do foco são 



 0,
2
3F e a equação da diretriz é x 
= - 3.
 2
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TÓPICO 4
1 Escolha um sistema de eixos coordenados adequado e resolva, usando 
a Geometria Analítica, o seguinte problema de Geometria Plana: obtenha o 
raio da circunferência inscrita num triângulo retângulo cujos catetos medem 
3 cm e 4 cm. (Dica: coloque o vértice do ângulo reto do triângulo retângulo 
na origem.) 
R.: Apresentamos uma forma de resolução. Nada impede que você utilize 
outra, desde que o valor do raio da circunferência seja o mesmo que o 
encontrado a seguir:
Vamos chamar os lados do triângulo retângulo de a, b e c, onde a e b são 
os catetos e c é a hipotenusa. O problema nos dá os valores de a e b. Vamos 
determinar o valor de c através do Teorema de Pitágoras:
Assim, o perímetro do triângulo é dado por P=a+b+c=3+4+5=12. Chamamos 
de semiperímetro a p = P/2.
O raio da circunferência inscrita pode ser calculado pela fórmula:
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