AULA - 1

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31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva
31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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CONVERSA INICIAL
Olá, seja bem-vindo(a)!
Esta disciplina dedica-se ao estudo da mecânica de corpos em repouso (estáticos) quando
sujeitos à ação de forças. Estudaremos a mecânica dos corpos rígidos, que é a base para desenvolver
outros estudos na área de projeto mecânico, como pontes, linhas de transmissão de energia elétrica,
robôs, carros e quaisquer outras máquinas e estruturas.
Nesta aula você será apresentado a alguns conceitos e princípios fundamentais que embasam
toda a disciplina. Para tanto, vamos relembrar alguns conceitos e operações vistas na disciplina de
geometria analítica, como produto escalar, norma de um vetor, decomposição de vetores etc., pois
trabalharemos com forças que são vetores.
Ao final da aula, você estará apto a obter a força resultante de um sistema de forças, obter a
direção entre dois vetores e projetar uma força numa determinada direção.
TEMA 1 – PRINCÍPIOS GERAIS
Mecânica é um ramo da ciência que estuda o estado de repouso ou de movimento de um corpo
submetido a um conjunto de forças. Esses assuntos podem ser subdivididos em três áreas: mecânica
dos corpos rígidos, mecânica dos corpos deformáveis e mecânica dos fluidos. Trabalharemos
com a primeira área, especificamente o estudo de corpos estáticos, que trata do equilíbrio desses
corpos.
1.1 IDEALIZAÇÕES
Alguns modelos ou idealizações são usadas na mecânica a fim de simplificar a aplicação da
teoria. A seguir, vamos definir três modelos importantes para nosso estudo: partícula, corpo rígido e
força concentrada.
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1.1.1 PARTÍCULA
Uma partícula, apesar de ter massa em seu tamanho, pode ser desprezada. Por exemplo: o
tamanho do nosso planeta (40.075 quilômetros de perímetro) é insignificante se comparado com o
tamanho de sua órbita (149.597.871 quilômetros) e, por conseguinte, ela pode ser modelada como
partícula em determinados estudos de seu movimento orbital (Figura 1). Isso significa que, quando
modelamos algum sistema como partícula, os princípios gerais da mecânica são muito simplificados,
visto que a geometria daquele sistema não precisa ser incluída na análise. Futuramente
consideraremos essa idealização na solução de problemas.
Figura 1 – Terra orbitando o Sol
Créditos: Johan Swanepoel/Shutterstock.
1.1.2 CORPO RÍGIDO
Corpo rígido é a combinação de uma elevada quantidade de partículas e, mesmo após a
aplicação de uma força, esse corpo não apresentará uma deformação. É como se o objeto tivesse
uma rigidez infinita; logo, ele não se deforma com uma força. Futuramente consideraremos essa
idealização.
1.1.3 FORÇA CONCENTRADA
Uma força concentrada corresponde ao efeito de uma força que supostamente age em um
ponto do objeto de estudo. Por exemplo, vejamos uma pessoa sentada numa cadeira (Figura 2a). Se
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estudarmos as forças na cadeira, podemos simplificar a força peso distribuída em todo o assento
(Figura 2b) considerando apenas uma força concentrada aplicada no meio desse assento (Figura 2c).
Figura 2 – (a) Modelo real, (b) carga distribuída e (c) força concentrada
Créditos: Tynyuk; Francois Poirier/Shutterstock
1.2 LEIS DE NEWTON
As teorias desenvolvidas na mecânica para engenharia tomam como base as três leis do
movimento de Newton. Vamos descrevê-las agora.
1.2.1 PRIMEIRA LEI
Um corpo tende a permanecer em repouso caso a resultante das forças que agem sobre ele seja
nula; ou seja, a soma de todas as forças deve ser igual a zero (Figura 3).
Figura 3 – Primeira Lei de Newton
Fonte: Silva, 2020.
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1.2.2 SEGUNDA LEI
A Segunda Lei afirma que a força resultante que age sobre um corpo equivale ao produto de sua
massa pela aceleração (Figura 4).
Figura 4 – Segunda Lei de Newton
Créditos: Yusufdemirci/Shutterstock.
1.2.3 TERCEIRA LEI
A Terceira Lei afirma que as forças de ação e reação entre duas partículas são de mesma
intensidade e direção, porém com sentidos opostos.
Figura 5 – Terceira Lei de Newton
Créditos: Chaiyapruek Youprasert/Shutterstock.
1.3 UNIDADES DE MEDIDA
As unidades de medida podem ser fornecidas de diversas formas, por exemplo: a unidade de
comprimento pode ser dada em polegadas, metros, pés, jardas etc., e o volume pode ser dado em
litros, galões, metros cúbicos etc. O sistema internacional de unidades (SI) é uma versão atual do
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sistema métrico. A massa, por exemplo, é em quilograma (kg) no SI, a força é em newton (N), e o
comprimento, em metros (m).
Na engenharia, de forma geral, utilizamos alguns prefixos para facilitar a representação de certos
números. Se o número for muito grande ou muito pequeno, utilizamos esses prefixos. Quando
tomamos algum remédio, por exemplo, normalmente tomamos uma dose na ordem de miligramas
(mg); quando viajamos, temos que rodar uma determinada quantia em quilômetros (km). Observe
que o prefixo do primeiro exemplo é o mili, e a unidade é o grama. De forma semelhante, o prefixo
do segundo exemplo é o quilo, e a unidade é o metro. O prefixo sempre vem antes da unidade.
Veja na Tabela 1 os prefixos mais comuns:
Tabela 1 – Prefixos
  Forma exponencial Prefixo Símbolo no SI
Múltiplos
1000000000000 tera T
1000000000 giga G
1000000 Mega M
1000 Quilo k
Submúltiplos
0,001 mili m
0,000001 micro
0,000000001 nano n
0,000000000001 pico p
Observe que, para os prefixos múltiplos, com exceção do quilo (k), todos os demais são escritos
com letra maiúscula.
Exemplo 1: calcule a força peso proveniente de uma massa de 100 kg.
Solução: sabemos da física mecânica que a força peso é dada pelo produto da massa com a
aceleração da gravidade (9,81 m/s²). Logo, a força peso nesse exemplo é:
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ou , pois 
Exemplo 2: calcule (50 kN).(60 nm).
Solução: sabemos que kN corresponde a quilonewton, e nm, a nanômetro. Logo,
, e . O produto desses termos é dado por:
.
Como temos duas bases 10, podemos somar seus expoentes e multiplicar o 50 pelo 60, ficando
 ou como . Logo, o resultado pode ser reescrito como .
Seguindo o mesmo procedimento, somando os expoentes, ficamos com . Como  tem
o prefixo m (mili), ficamos com . Nesse exemplo, o primeiro m se refere ao prefixo mili, e o
segundo m, que multiplica N, se refere à unidade metro.
1.4 ARREDONDAMENTO
O arredondamento é essencial para manter a precisão dos resultados. Em geral, temos como
regra que qualquer algarismo numérico terminado em 5 ou mais é arredondado para cima; caso
contrário, mantém o valor do algarismo da casa decimal desejada para o arredondamento. Por
exemplo, se quisermos arredondar o número 3,5587 considerando duas casas decimais, é o segundo
número após a vírgula que será arredondado para 5 (mantendo o próprio número) ou para 6
(arredondando para cima). Pela regra, como o terceiro número após a vírgula é 8 (maior que 5),
arredondamos o número da segunda casa decimal para cima; ou seja, o número arredondado será
3,56. De igual modo, 0,5896 se torna 0,59, pois o terceiro número é 9 (maior que 5); logo,
arredondamos para cima o valor da segunda casa decimal.
TEMA 2 – VETORES DE FORÇA (PLANO CARTESIANO)
Neste tema, vocêaprenderá a representar uma força e sua posição na forma de um vetor, obter
sua intensidade (módulo) e sua direção, além de resolver problemas da geometria analítica e da
mecânica utilizando a lei dos senos e dos cossenos.
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2.1 ADIÇÃO VETORIAL DE FORÇAS
Como já mencionado, força é uma quantidade vetorial, ou seja, tem intensidade (módulo),
direção (ângulo em relação a um eixo de referência) e sentido, e sua soma pode ser feita seguindo a
lei do paralelogramo e aplicando a lei dos senos e cossenos.
Neste tema, a lei dos senos e a lei dos cossenos serão aplicadas na solução dos problemas. Elas
são obtidas pela análise do triângulo representado na Figura 6 e são descritas, respectivamente, a
seguir:
Figura 6 – Triângulo para aplicar a lei dos senos e cossenos
Fonte: Silva, 2020.
A lei dos senos (Equação 1) mostra que existe uma proporcionalidade entre as arestas do
triângulo e o seno do ângulo oposto a essa aresta. Você pode nomear como quiser as arestas desse
triângulo e seus ângulos. O importante na hora de construir a equação é considerar a aresta e o
ângulo oposto a ela; por exemplo, a aresta “a” é oposta ao ângulo , por isso fica , e assim por
diante.
Na lei dos cossenos há essas três formas de obter uma das arestas do triângulo (Equações 2a, 2b
e 2c), e você também pode escolher outras letras para compor as arestas ou os ângulos. A lógica do
cálculo do valor de determinada aresta, pela lei dos cossenos, é considerar o valor das outras duas
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arestas e o ângulo oposto à aresta que você deseja calcular. Vamos aplicar essas duas leis em dois
exemplos triviais.
Exemplo 3: Calcule o valor de  para o dado triângulo:
Solução: como queremos obter o valor de  e não temos o valor de uma das duas arestas, não
conseguiremos aplicar a lei dos cossenos, mas é possível utilizar a lei dos senos considerando as
duas arestas “dadas” e os dois ângulos fornecidos. A equação pode ser escrita da seguinte forma:
O , que está dividindo o , passa para o outro lado da igualdade multiplicando. Logo:
O resultado é . Lembre-se que, se o ângulo for fornecido em graus, você deve deixar
sua calculadora também em graus (degree) para chegar no resultado.
Você pode tranquilamente obter o valor da outra aresta que não foi nomeada. Podemos chamá-
la de y ou de qualquer outro nome. Mas, para calculá-la, é necessário conhecer o valor do ângulo
oposto a essa aresta. Basta lembrar que o ângulo oposto a ela pode ser determinado facilmente se
considerarmos os dois outros ângulos fornecidos.
Se chamarmos o ângulo que falta de , ele será igual a . Portanto, ,
e 180° vem da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo. Com esse ângulo você encontra o
resultado da força y, que é 3,66. Tente obter esse resultado.
Exemplo 4: calcule o valor de  para o dado triângulo:
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Solução: será que podemos aplicar a lei dos cossenos nesse exemplo? Sim! Porque temos o valor
de duas arestas desse triângulo e o ângulo oposto à aresta . Logo, nossa equação pode ser escrita
assim:
Desenvolvendo cada termo da equação, ficamos com:
Portanto, o resultado da aresta  é 6,08.
Agora vamos determinar a força resultante considerando a lei do paralelogramo com o
seguinte exemplo-base, apresentado na Figura 7:
Figura 7 – Exemplo-base para determinar a força resultante
Fonte: Silva, 2020.
Trata-se de duas forças aplicadas num pino, como se fossem dois cabos puxando o pino. O vetor
força resultante   é dado pela soma dos vetores   e . Graficamente, construímos o
paralelogramo aplicado ao problema traçando retas paralelas às forças, como mostra a Figura 8a, cuja
força resultante corresponde ao vetor representado pela união do vértice que sai das forças  e 
 com o vértice oposto a este. Com o paralelogramo desenhado, retiramos um dos seus triângulos
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para representar o problema (Figura 8b) e, assim, conseguimos obter a força resultante pela lei dos
senos (Equação 1) ou pela lei dos cossenos (Equação 2):
Figura 8 – (a) Paralelogramo aplicado ao exemplo e (b) triângulo com as forças
(a) (b)
Fonte: Silva, 2020.
Para o exemplo-base, se tivéssemos as componentes dos vetores   e , poderíamos
tranquilamente obter o vetor força resultante por  (soma de cada componente do vetor
individualmente). Mas e se for fornecido somente o módulo desses vetores, ou seja, sua intensidade?
Exemplo 5: supondo ,  e  aplicados ao exemplo da Figura 3, calcule
o módulo da força resultante. A representação geométrica do problema é apresentada a seguir:
Solução: veja que não é possível aplicar a lei dos senos incialmente, pois não temos o valor dos
ângulos  e , mas podemos aplicar a lei dos cossenos, definida para esse problema como:
Desenvolvendo cada termo da equação, ficamos com:
Portanto, o resultado da força resultante é 147,89 N. Lembre-se que todo número elevado ao
quadrado se torna um valor positivo.
Saiba mais
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Mais exemplos que aplicam a lei dos senos e cossenos para calcular forças podem ser
encontrados no nosso livro-texto (Capítulo 2.3) ou no material extra disponível pelo(a) professor(a)
tutor(a).
2.2 ADIÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS COPLANARES
Outra forma de calcular a força resultante é com a decomposição das forças em suas
componentes retangulares (x e y). Vamos aplicar esse método no próximo exemplo.
Exemplo 6: determine a intensidade e a direção da força resultante do sistema de forças
mostrado:
Solução: vamos decompor essas forças nas coordenadas x e y. A representação dessas
componentes pode ser observada na seguinte figura:
O processo de decomposição dessas forças é simples: basta aplicar as relações trigonométricas
de seno ou cosseno. O “macete” é verificar se a componente está enCOStando no ângulo. Se estiver,
você vai utilizar o COSseno do ângulo para decompor essa força; caso contrário, utilizará o seno.
Vamos aplicar essa ideia ao nosso exemplo. Para a força de 600 N, devemos considerar o ângulo
de 30°, que é o ângulo que representa a direção desta força em relação ao eixo x. A componente
horizontal da força de 600 N está “enCOStando” no ângulo de 30°, correto? Então, ao decompô-la
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em x, vamos descrevê-la como 600.cos30. Mas a componente y dessa força não está “encostando”;
logo, o valor dessa componente é 600.sen30.
Já vimos como obter as componentes x e y da força de 600 N. Agora vamos repetir o processo
para a força de 400 N. Com as componentes x e y das duas forças (600 N e 400 N), vamos somar a
componente x de cada força e depois repetimos esse processo para a componente y, e assim ficamos
com as seguintes equações:
Dois pontos merecem destaque. Pela convenção de sinais, a força é positiva em x se estiver para
a direita, por isso na primeira equação o sinal da componente x da força de 400 N é negativo (pois
está para a esquerda). O segundo ponto é que, se na primeira equação consideramos cos30 para
obter a componente x da força de 600 N, certamente na equação para obter a componente y
teremos que considerar sen30; isso pode ser feito sem receio. Na outra equação, sempre
consideraremos a outra relação trigonométrica.
Podemos dizer que o vetor força resultante é dado pelo resultado da soma de cada componente;
ou seja, , sendo  e  os versores (vetor unitário) no plano x-y. A intensidade
dessa força resultante é obtida extraindo o módulo desse vetor,dado por:
Por fim, podemos representar as componentes do vetor de força resultante pela seguinte figura:
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A direção da força resultante corresponde ao ângulo que essa força faz com o eixo x . Esse
ângulo pode ser determinado se analisarmos o triângulo formado pelo ângulo  e as forças. Seu valor
é obtido pelo seguinte cálculo:
O valor de  corresponde ao cateto oposto, e , ao cateto adjacente em relação ao
ângulo . Ainda não obtemos o ângulo   da equação anterior, pois temos que a tangente desse
ângulo é igual a 2,46. Portanto, temos que extrair o arco tangente (  ou  de 2,46:
Saiba mais
Veja a notação vetorial cartesiana no nosso livro-texto (Capítulo 2.4). Para problemas no plano, a
notação escalar é semelhante à notação vetorial. Podemos dar mais destaque à notação vetorial para
problemas tridimensionais, como veremos a seguir. Lembre-se que você encontrará outros exemplos
sobre o assunto no nosso livro no Capítulo 2.4, da 12ª edição.
TEMA 3 – VETORES CARTESIANOS (3D)
Representar vetores na forma de um vetor cartesiano facilita a solução de problemas
tridimensionais. Descrevemos um vetor na sua forma cartesiana assim:
Sendo ,   e   as componentes x, y e z do vetor ; e , ,   correspondem aos vetores
cartesianos unitários utilizados para representar as direções dos eixos x, y e z.
A intensidade desse vetor  (módulo) é dada por:
Podemos representar a direção do vetor  ( ,  e ) na Figura 9 e determinar essa direção, em
seus respectivos eixos x, y e z, por:
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Figura 9 – Representação da direção do vetor 
Fonte: Silva, 2020.
Observe na Figura 4 o vetor unitário . Ele pode ser definido assim:
Comparando a Equação 5a com a 6b, observe que o cosseno dos ângulos ,  e  corresponde
às componentes do vetor ; ou seja:
3.1 ADIÇÃO DE VETORES CARTESIANOS
A adição ou subtração de dois ou mais vetores se dá pela soma ou subtração de cada
componente dos respectivos vetores. Retomando a Figura 3b, o vetor força resultante  é obtido
pela soma dos vetores  e . Ou seja:
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Generalizando, temos que:
Vamos aos exemplos!
Exemplo 7: expresse a força  mostrada na figura a seguir como um vetor cartesiano:
Fonte: Silva, 2020.
Solução: na Equação 5a, podemos isolar as componentes x, y e z do vetor   .
Adaptando ao nosso caso, vamos considerar o vetor como  , o módulo desse vetor como ,
as componentes desse vetor como ,  e  e suas respectivas direções como ,   e
. Aplicando a Equação 5a ao exemplo, temos:
Isolando ,  e , temos:
Substituindo os valores dos ângulos e da força, temos:
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Exemplo 8: determine a intensidade e a direção da força resultante que atua sobre o anel da
seguinte figura:
Solução: vimos na Equação 8 que a força resultante é obtida pela soma dos pares de
componentes dos vetores de força  e . Aplicando a Equação 8 ao exemplo em tela, temos:
Portanto, o vetor força resultante é:
Para obtermos a intensidade desse vetor, aplicamos a Equação 4. Dessa equação, temos que ,
 e  correspondem às respectivas componentes do vetor , 50, −40 e 180. Logo:
Resolvendo a última operação da equação, ficamos com .
A direção do vetor força resultante é obtida pela Equação 5b. Aplicando essa equação ao nosso
exemplo, ficamos com:
Vamos ver um último exemplo sobre o assunto para consolidar o conhecimento adquirido e para
você confirmar que o conteúdo não é difícil.
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Exemplo 9: duas forças atuam sobre o gancho mostrado na seguinte figura. Determine a
intensidade do vetor  e sua direção, de modo que a força resultante  atue na direção do eixo y
positivo e tenha intensidade de 800 N.
Solução: a primeira informação a observar é que o vetor força resultante   não tem
componente em x nem em z, sendo sua representação dada por . Como o
objetivo do exercício se associa ao vetor , para obtê-lo, vamos aplicar a Equação  8, em que
. Isolando dessa equação, ficamos com . Já conhecemos o vetor ,
logo, para utilizar a equação anterior, precisamos obter o vetor . Como a figura do exemplo mostra
a direção do vetor , podemos obtê-lo se aplicarmos a Equação  5a, sendo ,   e
. Substituindo esses valores na Equação 5a e sabendo que a intensidade da força  é 300 N,
ficamos com:
Isolando as respectivas componentes do vetor , temos:
Agora vamos resolver  (lembre-se da Equação 8 e de como se soma vetores):
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O enunciado desse exemplo pede a intensidade do vetor . Para isso, aplicamos a Equação 4,
dada por:
Finalmente, o enunciado pede também a direção desse vetor. Já fizemos isso no exemplo
anterior: basta aplicar a Equação 5b ao nosso problema e, assim, ficamos com a seguinte equação:
Saiba mais
Esperamos que este tema tenha sido proveitoso no aprendizado sobre vetores cartesianos.
Você pode ver mais exemplos e exercícios no nosso livro-texto (Capítulo 2.6). Agora vamos falar
um pouco sobre vetores posição.
TEMA 4 – VETORES POSIÇÃO
Neste tema vamos aprender como obter a posição de um vetor, ou seja, suas coordenadas em x,
y e z. É algo que você certamente já fez no ensino médio e em outras disciplinas do seu curso, mas
precisamos relembrar desse assunto a fim de aplicá-lo em problemas subsequentes.
O vetor posição na literatura é representado por  e é definido com um vetor que posiciona um
ponto no espaço em relação a outro. A Figura 10 mostra o vetor posição , que se estende da origem
O até o ponto .
Figura 10 – Representação do vetor posição
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Fonte: Silva, 2020.
O vetor  pode ser expresso por:
Exemplo 10: obtenha os vetores posição dos pontos  e  representados na seguinte figura:
Solução: os vetores posição  e  são representados pela linha que une o ponto de origem 
 aos respectivos pontos  e , conforme segue:
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Para determinar as componentes desses vetores, basta analisar a figura e obter a distância dos
respectivos pontos em relação à origem O. Começando pelo ponto , a distância dele em   em
relação à origem corresponde a 4 m, pois o eixo x é perpendicular ao plano y-z (é o eixo que está
saindo do plano). De forma análoga, analisando a distância em  do ponto  em relação à origem,
temos 2 m (o eixo y corresponde ao eixo horizontal nesse exemplo). Por fim, a distância em   do
ponto  em relação à origem é de −6 m (o eixo z corresponde ao eixo vertical nesse exemplo). Para
esta última, o sinal é negativo pois está abaixo do plano x-y, e nessa situação o eixo z assume valor
negativo. Portanto, o vetor posição  corresponde a:
De forma semelhante, podemos obter o vetor posição . A distância desse ponto na
coordenada   em relação à origem corresponde a 4  m + 2  m = 6  m. De forma semelhante,
analisando a distância em  do ponto  em relação à origem, temos −1 m, cujo sinal é negativo pois
está para a esquerda da origem e do plano x-z. Por fim, a distância em  do ponto  em relação à
origem é de 4 m. Portanto, o vetor posição  corresponde a:
Finalizamos esse exemplo, mas podemos determinar o vetor posição direcionado do ponto 
 para o ponto  no espaço. Para isso, vamos analisar a figura a seguir e as seguintes equações:
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Figura 11 – Soma de vetores posição
Fonte: Silva, 2020.
O vetor posição recebe esse nome pois o subscrito indica o ponto de origem  e o ponto
para o qual está direcionado . O vetor  não é o vetor resultante, portanto, a relação entre esses
vetores é dada por:
Até aqui relembramos alguns conceitos já vistos. Agora vamos aplicá-los em alguns exemplos da
mecânica estática.
Exemplo 11: uma tira de borracha está presa nos pontos  e , como mostra a figura. Determine
seu comprimento e sua direção de  para  .
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Solução: basicamente, queremos obter o vetor . Para isso, basta aplicar a Equação 11b, mas
isso só pode ser feito se conhecermos as componentes do vetor  e . Portanto, o primeiro passo
para solucionar esse exercício é obter as componentes desses vetores e analisar a figura do exemplo.
O ponto  está a uma distância em x de 1 m em relação à origem, de 0 m na direção y (pois está
sobre o plano x-z) e de −3 m na direção z. Portanto, o vetor  pode ser escrito conforme a Equação
10. Logo:
O ponto  está a uma distância em x de −2 m em relação à origem, de 2 m na direção y e de 3 m
na direção z. Portanto, o vetor  pode ser escrito assim:
Agora podemos aplicar a Equação 10b para obter o vetor :
O enunciado pede o comprimento do vetor . Para obtê-lo, vamos utilizar a Equação 4 para
extrair o módulo do vetor, ou seja, seu comprimento.
Portanto, o comprimento do elástico é 7 m.
Para obter a direção desse vetor, aplicamos a Equação 5b ao nosso exemplo. Logo:
Esperamos que até aqui os conceitos vistos estejam claros. Agora vamos aplicar esse conteúdo
no cálculo de uma força orientada ao longo de uma determinada reta.
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4.1 VETOR DE FORÇA ORIENTADO AO LONGO DE UMA RETA
Em problemas de estática tridimensionais, a direção de determinada força pode ser dada por
uma linha definida por dois pontos. Ou seja, aplicando o conceito que acabamos de ver para obter
um vetor posição, podemos obter as componentes de uma força na direção desse vetor.
Matematicamente, temos:
Vamos aplicar esses conceitos em alguns problemas para consolidar o conhecimento adquirido.
Exemplo 12: o homem mostrado na figura a seguir puxa a corda em sua direção com uma força
de 350 N. Represente essa força como um vetor cartesiano e determine sua direção.
Solução: o primeiro passo é obter o vetor posição , mas para isso precisamos obter a posição
dos pontos  e  no espaço (processo muito semelhante ao exercício anterior).
Como o ponto  está encostado no plano y-z, sua coordenada em x é 0. O ponto  está sobre o
eixo z, logo sua coordenada no eixo y também é 0. Esse ponto tem valor apenas para a coordenada z,
correspondendo a 7,5 m. Portanto, o vetor  pode ser escrito conforme a Equação 10:
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O mesmo processo se aplica ao ponto . No eixo x, o ponto  está a 3 m da origem. Já no eixo y,
como está para o lado esquerdo do eixo y em relação à origem, seu valor é negativo e corresponde a
−2 m. Por fim, no eixo z o ponto  está a 1,5 m em relação à origem. Portanto, o vetor  pode ser
escrito assim:
Aplicamos a Equação 10b para obter o vetor :
Aplicando a Equação 12a ou 12b, obtemos o vetor força  aplicado na direção do vetor posição
:
Dividindo cada componente por 7, conforme a equação anterior, temos:
Aplicando a distributiva, temos:
A direção do vetor  é a mesma direção do vetor posição , justamente porque o vetor  está
projetado nessa direção. Portanto, podemos obter essa direção se aplicarmos a Equação 5b ao nosso
problema. Para facilitar, podemos aplicá-la direto ao vetor ; isso pode ser feito para o vetor  sem
problema algum (pois ambos têm a mesma direção). Aplicando a Equação 5b ao exemplo, temos:
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Exemplo 13: a cobertura é sustentada por dois cabos, conforme a figura a seguir. Se os cabos
exercem forças   e   no suporte da parede em , determine o vetor força
resultante que atua em  e calcule sua intensidade.
Solução: suponha que você seja o responsável pelo projeto apresentado e deseje escolher o tipo
de suporte para as cargas apresentadas no exemplo. Para isso, você precisa saber a força resultante
que atua nele, e esse é o objetivo do enunciado do exemplo.
Para obter o vetor força resultante , precisamos aplicar a Equação 8 ( , mas isso
não pode ser feito de forma direta e somando a força   com , pois essas
forças foram fornecidas em módulo, e nós precisamos das componentes x, y e z dessas forças.
Portanto, aplicaremos a mesma ideia do exemplo anterior, ou seja, vamos obter o vetor posição de
cada cabo ) e , e depois vamos obter as componentes dos vetores  e  projetados na
direção dos cabos (processo semelhante ao do exemplo anterior).
Podemos resolver esse exemplo se determinarmos o vetor posição , lembrando que para isso
é necessário obter as componentes x, y e z dos pontos  e  em relação à origem. Nesse exemplo,
seremos mais diretos na obtenção das componentes; portanto, , e
. Aplicando a Equação 10b, determinamos o vetor posição  por:
Calculamos o vetor  aplicando a Equação 11b. Logo:
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As coordenadas do ponto   são: . Logo, o vetor posição   é descrito
assim:
Aplicando o mesmo processo descrito anteriormente para calcular o vetor , temos:
Finalmente, aplicamos a Equação 8 para obter o vetor resultante:
A intensidade desse vetor é obtida pelo cálculo do módulo (Equação 4); ou seja:
Portanto, .
À medida que forças com diferentes direções são adicionadas ao problema, ele se torna mais
trabalhoso. Logo, para problemas grandes, que envolvem muitas forças, é necessário um algoritmo e
uma programação para resolvê-lo de forma rápida. Isso pode ser feito de forma simples, por isso
muitos engenheiros desenvolvem softwares aplicados à engenharia, sendo necessário compreender
os fenômenos físicos envolvidos no problema.
TEMA 5 – PRODUTO ESCALAR
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Chegamos ao último tema da aula. Aqui, aplicaremos o produto escalar ( ) para resolver
problemas tridimensionais que envolvem forças, onde este processo é também uma forma de
projetar um vetor em uma determinada direção, especialmente quando não temos o módulo do
vetor força, ou temos o vetor força projetado em uma direção qualquer e queremos projetá-lo em
uma outra direção.
O produto escalar entre os vetores  e , apresentados na Figura 12, é dado por:
 
Sendo .
A Equação 13 pode ser reescrita assim:
 
Figura 12 – Produto escalar
Fonte: Silva, 2020.
Assim como no Tema 4.1, podemos projetar um vetor sobre uma determinada direção se
utilizarmos o produto escalar. A Figura 13 mostra a projeção do vetor  sobre a direção   e sua
componente perpendicular definida como .
Figura 13 – Projeção do vetor 
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Fonte: Silva, 2020.
A componente do vetor projetada na direção  é dada por:
Sendo  o vetor unitário que define a direção da linha .
A componente perpendicular  pode ser escrita como:
Sendo .
Vamos aos exemplos para compreender a aplicação do produto escalar nos problemas de
engenharia.
Exemplo 14: a estrutura da figura está submetida a uma força horizontal .
Determine a intensidade das componentes dessa força paralelas e perpendiculares à barra .
Solução: poderíamos tranquilamente aplicar o método descrito no Tema  4.1 paraobter a
projeção do vetor na direção da barra , mas o objetivo aqui é aplicar o produto escalar. Portanto,
o primeiro passo é obter o vetor unitário que está sobre a direção da barra . É um processo que já
seguimos antes; basta aplicar a Equação 6a ao nosso problema. Assim, temos:
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Aqui,  é obtido se aplicarmos a Equação 11b e seu módulo ( ) se aplicarmos a Equação 4.
Observe que as coordenadas do ponto  são , pois o ponto está exatamente na
origem.
A projeção do vetor de força  na direção da barra  é obtida se aplicarmos a Equação 15.
Logo:
A equação é resolvida se aplicarmos a Equação 14. Assim, temos para o presente exemplo que:
Veja que o resultado é uma grandeza escalar (número), e o vetor   tem o mesmo sentido e
direção de . Podemos expressar  na forma de um vetor cartesiano se aplicarmos a Equação
12a. Assim, temos:
Aplicando a distributiva, ficamos com:
Para concluir o exemplo, precisamos determinar a componente perpendicular do vetor   (o
). Isso pode ser feito se aplicarmos a Equação 16 ao problema. Portanto, temos:
Obtemos a intensidade desse vetor se aplicarmos a Equação 4. Ou seja:
Vamos resolver mais um exemplo sobre esse tema para consolidar o conhecimento adquirido e
manipular outras equações aplicadas aos problemas de engenharia.
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Exemplo 15: o tubo mostrado na figura a seguir está sujeito à força . Determine o
ângulo  que a força faz com o segmento de tubo  e a projeção dessa força sobre o segmento.
Fonte: Silva, 2020.
Solução: vimos na Figura 7 que o ângulo  é o ângulo entre dois vetores quaisquer  e  e que,
para obtê-lo, podemos fazer uma simples manipulação algébrica da Equação 13; ou seja, vamos isolar
o ângulo  dessa equação. Na sequência, temos o desenvolvimento para isso.
Portanto, para aplicar a equação mostrada, precisamos das componentes do vetor  e  e do
módulo do vetor . Aplicando essa ideia ao nosso problema, os vetores que precisamos obter são
aqueles orientados pelo ângulo , ou seja, o vetor posição   (que direciona a força ) e o vetor
posição  Note que esses vetores são descritos do ponto B para o ponto C, e do ponto B para o
ponto A, por isso as direções são  e . Portanto, a equação pode ser reescrita da seguinte forma:
A operação do numerado é o produto escalar entre os vetores   e   (poderia ser ao
contrário;  e ), e o denominador é uma multiplicação entre o módulo desses vetores.
O vetor posição  (aplicando a Equação 11a) é dado por:
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O módulo do vetor  (aplicando a Equação 4) é:
O vetor posição  é dado por (aplicando a Equação 11a):
O módulo do vetor  (aplicando a Equação 4) é dado por:
Com os vetores ,  e seus respectivos módulos, podemos determinar o ângulo  assim:
Finalizamos a primeira etapa do exemplo. Agora vamos projetar a força   na direção do
segmento de tubo . Para isso, podemos aplicar a Equação 15 considerando o ângulo ; ou seja:
Outra forma de obter esse resultado é adotando um procedimento muito semelhante ao do
exercício anterior. Vamos aplicar a Equação 6a ao nosso problema. Assim, temos:
Precisamos obter as componentes do vetor força . Pela figura, observamos que esse vetor está
na direção ; logo, as componentes dele são obtidas se aplicarmos a Equação 12b, dada por:
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A projeção do vetor de força  na direção da barra  é obtida se aplicarmos o produto escalar
da Equação 15. Logo:
Observe que a diferença entre ambos os valores se dá pelos arredondamentos aplicados.
5.1 EXERCÍCIOS APLICADOS
Agora vamos resolver alguns exercícios a fim de aplicar os conhecimentos adquiridos ao longo
desta aula.
Nos Temas 1 e 2, vimos como determinar a força resultante de um sistema de forças no plano.
Vamos aplicar esses conceitos para resolver o problema a seguir.
Estudo aplicado 1: para puxarmos um carro na direção de x (horizontal), devemos aplicar uma
força resultante de 950 N, porém, nosso sistema de forças é constituído pelas forças  e  aplicadas
nas direções mostradas na figura, sendo . Determine a intensidade das forças  e  a fim de
produzir essa força resultante.
Créditos: VectorsMarket/Shutterstock.
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Solução: podemos resolver esse problema aplicando duas técnicas. A primeira foi vista no Tema
1 (lei dos senos e cossenos), e a segunda se dá pela decomposição das forças, vista no Tema 2. Como
o objetivo é você aprender a solucionar os problemas utilizando as ferramentas que tem em mãos,
vamos aplicar as duas.
Para utilizarmos a lei dos senos e/ou dos cossenos no problema em tela, precisamos traçar o
paralelogramo. É uma tarefa simples: basta traçar retas paralelas às forças  e   com origem nas
extremidades dessas forças, lembrando que a força resultante equivale a 950 N, está disposta ao
longo do eixo x e é o vetor que une os pontos de intersecção das forças  e . Graficamente, temos:
Devemos escolher um dos dois triângulos equivalentes para resolver o problema. Escolhendo o
triângulo superior, nossa solução se dá em torno de:
Para aplicarmos a lei dos senos nesse triângulo, temos que obter o ângulo . É uma tarefa fácil,
pois já sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°; logo,
.
A lei dos senos pode ser aplicada:
Isolando , temos:
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Seguindo o mesmo procedimento para a força , temos:
Isolando , temos:
O exercício está resolvido. Agora vamos aplicar a segunda técnica, vista no Tema 2, considerando
a decomposição de forças.
Temos que obter as forças resultantes aplicadas nos eixos x e y. A figura a seguir apresenta as
forças avaliadas no problema e suas componentes:
Note que 950 é a força resultante e só tem componente em x, por isso entrou após o sinal de
igualdade.
Temos um sistema linear de equações com duas equações e duas incógnitas. Para resolvê-lo,
escolhemos uma das duas equações (a mais simples) e isolamos uma das duas forças. Nesse caso,
vamos escolher a segunda equação e vamos isolar a força . Assim, temos:
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Agora vamos substituir essa equação na primeira equação do nosso sistema de equações ( );
ou seja, no lugar do  da primeira equação, vamos inserir :
Deixando  em evidência, ficamos com:
Resolvendo os termos dentro dos parênteses, temos:
Isolando , ficamos com:
Substituindo o resultado em , obtido anteriormente, temos:
Observação: a pequena diferença entre os valores do primeiro e segundo método se relaciona
diretamente aos arredondamentos feitos na aplicação da segunda técnica.
Estudo aplicado 2: o ponto de contato entre o fêmur e a tíbia está em . Se uma força vertical
de 175 lb for aplicada nesse ponto, determine as componentes ao longo dos eixos x e y. Observe que
a componente y representa a força normal na região de carga de rolamento dos ossos. As
componentes x e y dessa força comprimem o fluido sinovial para fora do espaço de rolamento.
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Créditos: Studiovin/Shutterstock.
Solução: é um exercício simples de decomposição de forças no plano. As unidades estão no
sistema americano de medidas, mas isso não é problema algum. Trabalharemos com os números e as
unidades sem fazer nenhuma transformação, pensando em obter os resultados no sistema de
medidasfornecido no problema.
Vamos aplicar a trigonometria básica para resolvê-lo. A figura a seguir mostra as componentes x
e y da força de 175 lb aplicadas no ponto :
Créditos: Studiovin/Shutterstock.
A inclinação do eixo x é dada pelo triângulo mostrado. O ângulo formado por essa inclinação
pode ser facilmente obtido, porém é possível trabalhar com o triângulo para obter as componentes
de força x e y. Esse processo será explicado na sequência.
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O mesmo triângulo que representa a inclinação do eixo x em relação ao eixo horizontal e ao
vertical (x’ e y’) corresponde à inclinação da força de 175 lb em relação aos eixos x e y, como mostra a
figura.
Para obtermos a componente x, temos que multiplicar a força pelo valor da aresta do triângulo
no eixo x (valor 5) e dividir o resultado pela hipotenusa do triângulo (valor 13) (veja o triângulo
inserido na força):
A componente y pode ser obtida se multiplicarmos a força pelo valor da aresta do triângulo na
direção y (valor 12) e dividir o resultado pelo valor da hipotenusa do triângulo (veja o triângulo
inserido na força):
Nos Temas 3 e 4, vimos como determinar a força resultante de um sistema de forças no espaço.
Vamos aplicar esses conceitos para resolver o problema a seguir.
Estudo aplicado 3: determine a intensidade e a direção da força resultante que age no ponto 
 do poste de luz.
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Solução: é um exemplo semelhante ao Exemplo 13, portanto vamos utilizar o mesmo princípio.
Precisamos determinar os vetores direção dos pontos ,  e . Analisando a figura do problema em
tela, esses pontos são descritos assim:
Os vetores posição  e  são obtidos ao aplicarmos a Equação 11b. Logo:
Os módulos dos vetores  e  são obtidos, respectivamente, se aplicarmos a Equação 4:
Agora aplicamos a Equação 12b ao nosso problema para determinar os vetores de força  e :
Com os vetores coordenados  e , aplicamos a Equação 8 para determinar o vetor resultante:
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O módulo desse vetor é obtido se aplicarmos a Equação 4. Logo:
Para finalizar o exercício, temos que determinar a direção do vetor força resultante, conforme
solicita o enunciado. Para isso, aplicamos a Equação 5b. Assim, temos:
Estudo aplicado 4: represente a força em cada cabo na forma de um vetor cartesiano.
Solução: em exemplos anteriores já trabalhamos com esse tipo de problema. O primeiro passo é
obter os vetores posição  e . Para isso, precisamos conhecer a posição dos pontos ,   e 
 Analisando a figura, esses pontos são dados por:
Os vetores posição  e  são obtidos se aplicarmos a Equação 11b. Logo:
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Os módulos dos vetores  e  são obtidos, respectivamente, se aplicarmos a Equação 4:
Agora aplicamos a Equação 12b ao nosso problema para determinar os vetores de força  e :
 
FINALIZANDO
Nesta aula aprendemos conceitos básicos da mecânica, as principais unidades envolvidas, o que
são forças e como podemos utilizar os vetores para representá-las. Vimos como determinar a força
resultante em problemas bidimensionais, aplicando a lei dos senos e cossenos e decomposição de
forças, vendo também como resolver problemas tridimensionais por meio de notações vetoriais.
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Agora você está apto a aplicar os conhecimentos básicos adquiridos em situações reais e do
cotidiano.
A melhor forma de ampliar seu conhecimento sobre o conteúdo desta aula é praticar os
exercícios propostos no nosso livro-texto, Estática – mecânica para engenharia, do autor Hibbeler,
que apresenta dezenas de situações práticas com as quais nos deparamos no dia a dia.
Bons estudos!
REFERÊNCIAS
HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011.