AULA - 3

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31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva
31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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CONVERSA INICIAL
Olá, seja bem-vindo(a)!
Nesta aula, você aprenderá a desenhar o diagrama de corpo livre de estruturas mais complexas,
considerando outros tipos de vínculos, e aplicará as equações de equilíbrio, vistas anteriormente, para
o cálculo das reações de apoio. Também aprenderá a determinar as forças nas barras de uma treliça,
estrutura muito comum em várias áreas da engenharia.
TEMA 1 – EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO – DIAGRAMA DE
CORPO LIVRE (DCL)
Neste tema, vamos aplicar as equações de equilíbrio de forças e de momento, vistas
anteriormente, para o cálculo das forças atuantes em diversos tipos de estruturas. Para isso,
precisamos conhecer outros tipos de vínculos que sustentam as estruturas em sua posição estática e
aprender como elaborar o diagrama de corpo livre com esses vínculos.
1. 1 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE
Anteriormente, aprendemos a desenhar o diagrama de corpo livre de elementos simples como
corda, cabo, barra, haste e mola. Aqui, introduziremos outros elementos que apoiam as estruturas.
Para isso, precisamos falar um pouco sobre reações de apoio.
Pela terceira lei de Newton, sabemos que, ao aplicar uma força sobre um objeto em equilíbrio
estático, o objeto devolverá a mesma força aplicada com sentido oposto, mantendo o equilíbrio, ou
seja, as forças de ação e reação possuem a mesma intensidade e direção, porém, com sentidos
opostos. Isso significa que os elementos que seguram uma estrutura em sua posição estão reagindo
à força que a estrutura está fazendo, por exemplo: imagine uma pessoa de pé sobre um chão rígido
como mostra a Figura 1. A pessoa faz uma força empurrando o chão para baixo, sendo que essa força
provém do peso próprio dela, porém, o chão não vai para baixo ou a pessoa não afunda ou atravessa
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o chão, porque o chão reage à força peso aplicada pela pessoa através de uma força de mesma
intensidade e direção, e de sentido oposto, por isso as forças são anuladas.
Figura 1 – Forças de ação e reação proveniente de uma pessoa de pé
Créditos: Shotprime Studio/Shutterstock.
Além dos apoios já estudados nesta disciplina, existem mais três que são muito comuns no nosso
dia a dia e em diversos tipos de estruturas complexas, como torres de transmissão, robôs, pontes,
carros etc., são eles:
Rolete: esse apoio impede a translação de um corpo em determinada direção, fazendo uma
força sobre o corpo nesta direção. Exemplos: o mouse e outros objetos sobre a escrivaninha
(Figura 2a), a ponte sobre um suporte (Figura 2b) etc.
Figura 2 – Objetos apoiados: (a) mouse e teclado e (b) ponte
a) b)
Créditos: Bigpixel Photo/Shutterstock e Alex Bellik/Shutterstock.
Observe que em todos estes casos somente uma direção está restrita ao movimento. A Figura 3a
representa este tipo de apoio para uma viga e a Figura 3b mostra a representação dele no DCL:
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Figura 3 – Apoio do tipo rolete (a) configuração original e (b) DCL
Pino: esse apoio impede a translação em qualquer direção, mas permite a rotação do objeto,
por exemplo: a maçaneta de uma porta, o volante do carro, a roda de uma bicicleta, uma
cancela (Figura 4) etc.
Figura 4 – Cancela apoiada por um pino (a) fechada e (b) aberta
(a) (b) 
Crédito: 3DMAVR/Shutterstock.
Basicamente, esses elementos podem rotacionar, mas têm seus movimentos de translação em x
e y restritos. A Figura 5a representa esse tipo de apoio para uma viga e a Figura 5b mostra a
representação dele no DCL:
Figura 5 – Apoio do tipo pino: (a) configuração original e (b) DCL.
Engaste: esse é o tipo de apoio mais restritivo, pois não permite a translação da estrutura e
nem a rotação, é o famoso “chumbado”, na parede ou no chão ou teto. Exemplos desse tipo de
apoio: os pés de uma torre de transmissão (Figura 6a), as vigas que apoiam o terraço (Figura 6b)
etc.
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Figura 6 – Apoio do tipo engaste (a) para os pés de uma torre de transmissão e (b) para as vigas
de um terraço
(a)  (b) 
Créditos: Arch.Miola/Shutterstock e Evannovostro/Shutterstock.
Note que esses objetos, em seu ponto de fixação, não podem se movimentar em x, nem em y e
nem podem girar. O objetivo é justamente que eles não se movimentem em nenhuma direção. A
representação desse tipo de apoio pode ser vista na Figura 7a e seu DCL pode ser visto na Figura 7b:
Figura 7 – Apoio do tipo engaste (a) configuração original e (b) DCL.
Note que, nesse último caso, além das forças de restrição de translação   e   aparece um
momento  que é uma reação devido ao giro.
Um último ponto a ser tratado aqui sobre DCL é a força peso e o centro de gravidade. Quando
trabalhamos com problemas em que o peso próprio da estrutura é considerado no problema,
devemos inserir essa carga no centro de gravidade da estrutura. Em problemas mais simples, o centro
de gravidade é de fácil obtenção, porém, em problemas mais complexos, é necessário determiná-lo.
Veremos isso posteriormente. Aqui, trabalharemos com problemas em que o enunciado citará o
ponto exato do centro de gravidade na estrutura ou depararemos com situações em que o centro de
gravidade fica no centro geométrico do corpo (no meio).     
Para desenhar o DCL, podemos seguir os passos:
1) Esboce o corpo que deseja analisar de forma que ele fique livre de todos elementos que
o apoiam (sustentam);
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2) Desenhe todas as forças externas (as que estão no desenho original do enunciado do
problema) e momentos conhecidos, a força peso se houver e as reações de apoio que são
forças e/ou momento desconhecidos;
3) Desenhe todas as cotas com as dimensões do problema.
Vamos aos exemplos.
Exemplo 1: Desenhe o DCL da viga uniforme mostrada na figura, sabendo que ela possui uma
massa de 100 kg.
Figura 8 – Exemplo 1
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: Conforme o passo a passo descrito, primeiro temos que desenhar o objeto livre de
todos elementos que o sustentam. A viga mostrada no problema é o objeto que está sendo analisado
e ela está presa à parede, logo, temos que desenhá-la livre, ou seja, sem a parede mantendo-a na
posição. Este primeiro passo pode ser desenhado da seguinte forma:
Figura 9 – Desenho do primeiro passo
Este primeiro passo é bastante simples, pois é a viga livre sem nenhuma força.
O segundo passo é desenhar as forças externas que, no caso aparece no desenho inicial, ou seja,
a força de 1000 N. Também temos que desenhar a força peso  posicionada no
centro de gravidade da viga (no meio da viga, na posição de 3 m) e desenhar as reações de apoio.
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A pergunta que você deve se fazer é: Qual é o tipo de apoio que está segurando a viga na
parede? Lembrando que acabamos de aprender três tipos de apoio: rolete, pino e engaste.   A
resposta é simples, veja que a viga está chumbada na parede, ou seja, ela não pode transladar em
nenhuma direção e nem rotacionar, logo o apoio é do tipo engaste. Note que no lugar da parede que
é o ponto de engaste, teremos que inserir uma força em x, uma em y e um momento, conforme
tínhamos visto na Figura 3b.
As forças de reação e o momento devem ser desenhados de formaa manter a estrutura em
equilíbrio, ou seja, como as forças de 1200 N e 981 N possuem direção vertical e sentido para baixo, a
reação em y deve ser inserida com sentido para cima para garantir o equilíbrio. A mesma ideia deve
ser aplicada para o momento, em que a viga está tendendo a uma rotação no sentido horário em
torno do ponto A (por conta da força externa e da força peso), logo, a reação de momento deve ser
no sentido oposto (anti-horário). Portanto, o segundo passo para desenhar o DCL do problema fica
da seguinte forma:
Figura 10 – Segundo passo
O terceiro passo é colocar as cotas (dimensões) do desenho. Assim, o DCL completo dessa viga é
apresentado na seguinte figura:
Figura 11 – Terceiro passo
Este DCL é um dos passos mais importantes para a solução dos problemas da estática, pois por
meio dele que podemos iniciar os cálculos, por isso é muito importante seguir o passo a passo e
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caprichar no desenho, a fim de que ele possa representar fielmente o problema em análise.
Exemplo 2: Desenhe o DCL do pedal mostrado na Figura 12 (a). O operado aplica uma força
vertical no pedal de modo que a mola é estendida em 40 mm e a força na haste em B é de 100 N
Figura 12 (b).
Figura 12 – Exemplo 2
(a) (b) 
Solução: O objeto que estamos analisando é o pedal. Ele está sendo sustentado por uma haste,
uma mola e um pino em A.
Seguindo o passo a passo apresentado anteriormente, temos que desenhar este pedal livre de
todos os elementos que o estão prendendo, logo, temos o seguinte:
Figura 13 – Solução (1)
O próximo passo é desenhar as forças externas e as forças de reação dos apoios. A força externa
é a aplicada pelo pé do operador, , já as reações são àquelas que estão sustentando o pedal, ou
seja, a força da haste, da mola e do pino em A.
Como o movimento natural do pedal é girar em torno do pino em A com a aplicação da força ,
o sentido das reações de apoio deve considerar esse movimento.
Figura 14 – Solução (2)
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Com essa consideração, a haste e a mola fazem com que o pedal volte à sua posição original,
logo, esses elementos exercem forças na direção deles (horizontal) e o sentido é para direita
(puxando o pedal para a posição original) conforme Figura 15.
Figura 15 – Solução (3)
As forças de reação no pino em A devem ser desenhadas a fim de manter o equilíbrio do objeto.
Como visto anteriormente, o pino exerce uma força de reação na direção x e uma outra na direção y.
Como as duas forças na direção x estão apontadas para direita, a força de reação do pino, em x, será
para esquerda e como a força que o operador aplica sobre o pedal é para baixo, a reação no pino
será para cima. Assim, o segundo passo para construir o DCL se resume ao seguinte desenho:
Figura 16 – Solução (4)
O passo 3, para finalizar o DCL, requer que desenhemos as cotas com as distâncias entre as
forças e os pontos, logo, temos o seguinte DCL final:
Figura 17 – Solução (5)
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No livro, você encontrará outros exemplos resolvidos sobre esse tema e muitos exercícios
aplicados para exercitar. Note que, por enquanto, não calculamos nenhuma força. Faremos isso no
próximo tema.
TEMA 2 – EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
Vimos, anteriormente, como aplicar as equações de equilíbrio  e  para resolver
um problema simples de equilíbrio no plano.
Nesta aula, desenvolveremos as equações que são necessárias e suficientes para o equilíbrio de
um corpo rígido, logo, além do somatório de forças iguais a zero, também temos que considerar o
somatório de momento igual a zero (  e ).
Considerando incialmente problemas no plano x-y, um dos conjuntos de equações mais
aplicados é dado por:
Anteriormente, aprendemos a aplicar essas equações, agora vamos utilizá-las em problemas mais
complexos.
Existem outros conjuntos de equações que podem ser aplicados aos problemas de equilíbrio, são
eles:
Conjunto 2
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Conjunto 3
Conjunto 4
Em que o conjunto mais comum corresponde ao representado pelas Equações 1a, 1b e 1c.
Para resolvermos os problemas a seguir de equilíbrio de corpo rígido, podemos seguir o seguinte
passo a passo:
1) Desenho o DCL (veja o passo a passo descrito no tema anterior);
2) Comece aplicando a equação de equilíbrio de momento  em relação ao ponto
de interseção das linhas de ação de duas forças desconhecidas. Assim, os momentos dessas
forças desconhecidas não entrarão nesse cálculo, pois elas estão sobre o ponto;
3) Aplique as equações de equilíbrio de força  e .
Observação: Se a solução der um resultado negativo, isto significa que a força foi desenhada
com sentido oposto ao real no DCL. Corrija o sentido no DCL e assuma o resultado como positivo
para dar sequência aos demais cálculos.
Exemplo 3: Para o problema apresentado no Exemplo 1, determine as reações de apoio ,  e
.
Solução: Com base no DCL esboçado anteriormente, podemos ir para o passo 2 aplicando
, lembrando que o momento é dado por 
Figura 18 – Exemplo 3
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Em que o sinal do momento   é positivo, pois está desenhado no sentido anti-horário e os
sinais dos momentos provocados pelas forças de 1.200 N e 981 N são negativos, pois provocam uma
rotação da viga no sentido horário em relação ao ponto A, logo
Aplicando o passo 3, temos:
porque a única força que está em x (na horizontal) é , logo, para satisfazer a equação de
equilíbrio, seu valor só pode ser zero, e
Está feito! Calculamos as três reações de apoio do problema.
Exemplo 4: Para o problema apresentado no Exemplo 2, determine as reações de apoio no pino
A  e .
Solução: Novamente, o DCL já foi esboçado anteriormente.
Figura 19 – Solução
O enunciado do Exemplo 2 menciona que após a aplicação da força no pedal a mola se desloca
(estica) 40 mm (ou 0,04 m no SI) e na Figura (b) observa-se a rigidez da mola  Com estas
informações, podemos aplicar a Equação 5 vista em aulas anteriores, ou seja, , assim temos:
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O passo 2 requer que apliquemos a Equação 1c para determinar alguma força desconhecida. O
ponto de intersecção de duas forças desconhecidas é o ponto A. Então, vamos ao somatório dos
momentos em relação a este ponto:
Lembre-se do macete explicado em aulas anteriores: se a força está na direção x (horizontal),
devemos utilizar a distância em y (vertical) entre a força e o ponto; se a força está na direção y
(vertical), devemos utilizar a distância em x (horizontal) entre a força e o ponto, logo
O passo 3 requer que apliquemos as Equações 1a e 1b ao problema, assim, temos que
como , podemos substituí-lo na equação acima, ficando
Até aqui conseguimos aplicar os conceitos vistos neste tema nos dois exemplos do tema
anterior. Agora vamos aos novos exemplos, com um nível um pouco maior de complexidade.
Exemplo 5: Calcule as forças de reação sobre a viga mostrada na figura. Despreze o peso da
viga.
Figura 20 – Exemplo 5
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: O primeiro passo é desenhar o DCL, onde o objeto analisado é a viga. Seguindo o
passo a passo descrito no Tema 1, vamos desenhar a viga livre de seus vínculos e forças, ficando da
seguinte forma:
Figura 21 – Solução (1)
O próximo passo é desenhar as forças externas e as reações de apoio. Para esta última, temos
que tomar bastante atenção analisando quetipo de apoio está sustentando esta viga e que tipo de
força temos que utilizar para representá-lo.
Observe que, no ponto A, a viga está apenas apoiada no chão sem restrição de movimento na
direção horizontal, logo o único movimento restringido é o da viga se deslocar além do chão,
portanto, temos um apoio do tipo rolete em A e a força de reação é vertical e para cima
(representando a reação que o chão faz sobre a viga).
No ponto B está mais fácil de identificar que há um pino mantendo a viga naquela posição. O
pino permite que a viga rotacione ao redor dele, porém restringe a translação na direção x e y. Estas
são as forças de reação que teremos que desenhar no ponto B substituindo o pino. Este segundo
passo para representação do DCL fica da seguinte forma:
Figura 22 – Solução (2)
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Note que as forças de reação foram desenhadas de forma a manter o equilíbrio da estrutura.
O terceiro passo para o esboço do DCL é inserir as cotas, assim, temos:
Figura 23 – Solução (3)
Finalizamos a etapa um para a solução deste exemplo. A etapa 2 é calcular o momento no ponto
que tem duas forças incógnitas. Este é o ponto B, pois não conhecemos os valores das forças  e ,
assim temo que
Tivemos de decompor a força de 600 N em x e em y para determinar o momento que cada
componente provoca em relação ao ponto B. A força de 200 N está na vertical e alinhada com o
ponto B, logo, não possui distância horizontal e não gera momento em B. Continuando os cálculos,
temos:
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Aplicando o passo 3 para a solução do problema, temos:
Em que , logo:
Veja como é importante construir o diagrama de corpo livre adequadamente, pois é por meio
dele que conseguimos identificar todas as cargas envolvidas no problema e, assim, resolvê-lo. Vamos
à solução de um último exemplo para este tema.
Exemplo 6: A rampa do caminhão mostrada na Figura 24 (a) possui um peso de 1600 N aplicado
no centro de gravidade G e está conectada por pinos à carroceria do caminhão em cada lado e
mantida na posição mostrada pelos dois cabos laterais. Determine a força de tração nos cabos. A
representação das dimensões da rampa e sua direção são mostradas na Figura 24 (b).
Figura 24 – Exemplo 6
(b) 
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: Já sabemos que o primeiro passo é desenhar o DCL. Note que a rampa é uniforme e
simétrica, logo, podemos analisar somente um dos lados como mostra a Figura (b). Vamos ao passo a
passo para o desenho do DCL.
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Passo 1:
Figura 25 – Solução (1)
Passo 2: Lembre-se que para representar a força do cabo temos que desenhar uma força na
mesma direção dele e com sentido que o tracione. Além disso, a força peso é dividida por dois, pois
são dois cabos e dois pinos que estão sustentando a rampa, portanto, para cada “conjunto”, temos
metade da carga.
Figura 26 – Solução (2)
Passo 3:
Figura 27 – Solução (3)
O DCL está pronto, agora vamos aplicar o passo 2, fazendo o somatório de momentos no ponto
de intersecção de duas forças desconhecidas. Neste exemplo, este ponto corresponde ao A. Como as
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forças   e 1600 N não são perpendiculares à rampa, teremos que decompô-las. A representação
desses componentes pode ser visualizada na seguinte figura:
Figura 27 – Solução (4)
Note que o ângulo que está entre a força   e a direção da rampa é obtido analisando a
inclinação da rampa e a inclinação desta força, logo 30 – 20 = 10°.
Vamos ao cálculo!
Portanto, a força de tração em cada cabo é 
TEMA 3 – EQUILÍBRIO EM TRÊS DIMENSÕES
Para resolver problemas de equilíbrio tridimensionais, também é necessário esboçar o diagrama
de corpo livre.
Alguns elementos vistos anteriormente podem ter um número maior de restrições, porém apoios
do tipo cabo, haste, mola e rolete mantem a mesma quantidade de força de restrição de movimento.
A Tabela 1 mostra os apoios mais comuns aplicados aos problemas tridimensionais:
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Tabela 1 – Suportes para corpos rígidos tridimensionais
Fonte: Hibbeler, 2011.
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As duas condições para o equilíbrio de um corpo rígido são:  e , ou seja:
Como as componentes ,   e   são independentes, podemos reescrever as equações acima da
seguinte forma:
O seguinte passo a passo é sugerido para resolver este tipo de problema:
1. Desenhe o DCL;
2. Se as componentes de momento x, y e z parecem fáceis de determinar, aplique as seis
equações de equilíbrio mostradas anteriormente (3a a 3f), caso contrário, use as equações
vetoriais (2a e 2b);
3. Não é necessário que o conjunto de eixos escolhidos para a soma de forças seja o
mesmo que o conjunto de eixos escolhido para a soma de momentos. Pode-se escolher um
eixo em uma direção qualquer para somar as forças e momentos;
Para a soma de momentos, escolha a direção de um eixo de modo que este intercepte as linhas
de ação do maior número de forças conhecidas. Note que os momentos de forças passando por
pontos neste eixo e os momentos de forças que são paralelas ao eixo serão zero.
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Exemplo 7: Calcule as componentes da reação que a junta esférica em A, o mancal radial liso em
B e o apoio de rolete em C exercem sobre o sistema mostrado na figura.
Figura 28 – Exemplo 7
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: O primeiro passo é desenhar o DCL. O apoio em A é uma junta esférica e, conforme
Tabela 1, este apoio restringe a translação nas três direções. O apoio em B é um mancal liso, logo, só
possui restrição de translação nas direções x e z e o rolete em C possui restrição de translação em z
somente, logo o DCL fica da seguinte forma:
Figura 29 – Solução (1)
Fonte: Hibbeler, 2011.
Algumas equações não nos traz a solução imediata, então vale a pena analisar qual das equações
vamos aplicar, de forma que ao utilizá-la obtenhamos o resultado de alguma força. Vamos começar
com a Equação 3b para obter o valor da força , assim temos que:
Note que boa parte do sistema analisado está na direção y. Logo, as forças que estão sobre essa
direção não provocam momento em y (Passo 4). Vamos fazer esse cálculo aplicando a Equação 3e. A
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figura a seguir mostra as forças que geram momento em torno do eixo y e seus sentidos:
Figura 30 – Solução (2)
Com o resultado dessa força, podemos aplicar a Equação 3d para obter a força , onde a
seguinte figura mostra todas as forças que geram momento em torno do eixo x:
Figura 31 – Solução (3)
Note que o resultado negativo indica que esta força foi desenhada com o sentido oposto. O
correto é desenhá-la com sentido para baixo. Observe também que a força   não entrou neste
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cálculo, pois é paralela ao eixo x, logo, não gera momento em relação a este eixo.
A força  pode ser determinada por meio da Equação 3f, assim, temos que:
Em que a figura mostra a aplicação deste momento em z.
Figura 32 – Solução (4)
Observe que as forças 900 N,  e  não entraram neste cálculo, pois são forças paralelas ao
eixo z (não geram momento neste eixo).
Só falta determinarmos as forças  e  e isto pode ser feito utilizando as Equações 3a e 3c,
logo
Percebaque mantivemos o sentido da força  no DCL e por isso seu sinal também foi mantido.
Exemplo 8: A barra com junta esférica é usada para sustentar o vaso de 375 N como mostra a
figura. Determine as forças de tração nos cabos  e .
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Figura 33 – Exemplo 8
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: O primeiro passo é esboçar o DCL. Como o problema envolve elementos do tipo cabos
e uma junta esférica o DCL fica da seguinte forma:
Figura 34 – Solução (1)
Fonte: Hibbeler, 2011.
Vamos utilizar a análise vetorial para resolver este problema. Para isso, precisamos descobrir os
vetores  e , orientados ao longo das retas AB e AC, respectivamente. Estas forças podem ser
obtidas aplicando a Equação 12a desenvolvida em aulas anteriores , mas para
aplicá-la, precisamos dos vetores posição  e , logo:
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Aplicando a Equação 12a de aulas anteriores, temos:
Fazendo o somatório dos momentos em torno do ponto O, eliminamos os efeitos de momentos
que as forças ,  e  provocam, logo, aplicando a Equação , temos:
Em que  é o vetor peso do vaso, ou seja, . Somando cada componente
dos vetores  e , ficamos com:
.
Fazendo o produto vetorial, ficamos com:
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Observação: poderíamos ter montado a matriz vista em aulas anteriores para calcular o produto
vetorial, porém, como o vetor posição só possui uma componente ( ), fica mais fácil realizar o
produto vetorial como uma “distributiva”, na qual temos que , ,
, ,  e .
Da primeira equação , temos que:
Sabendo disso, vamos substituir o  da terceira equação  por , ficando com:
Portanto, como , assim,  e 
Este é um tema de maior complexidade. Em nosso livro-texto, você encontrará outros exemplos
resolvidos que te auxiliarão na compreensão desse conteúdo. Não deixe de conferir.
TEMA 4 – TRELIÇAS: MÉTODO DOS NÓS
Neste tema vamos aprender a determinar as forças em um tipo muito comum de estrutura, as
treliças. Estas estruturas podem ser vistas em torres de transmissão (Figura 35a), pontes (Figura 35b),
telhados (Figura 35c) etc.
Figura 35 – Estruturas treliçadas: (a) torre de transmissão, (b) ponte e (c) telhado
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(a)
(b)
(c) 
Créditos: Serdthongchai/Shutterstock; Sbworldphotography/Shutterstock e Charles
Bowman/Shutterstock.
As treliças são estruturas compostas por barras conectadas por pinos (nós) formando triângulos.
São muito empregadas comercialmente, pois são estruturas leves e resistentes.
Para se projetar uma treliça, é necessário conhecer os esforços atuantes em cada barra, assim, é
possível determinar o diâmetro das barras utilizadas na estrutura, por exemplo. Mas, para isso, vamos
considerar algumas hipóteses de projeto:
Todas as forças são aplicadas nos nós da treliça. Essa é uma situação real em pontes e telhados.
Além disso, o peso próprio da estrutura pode ser considerado na análise e essa força deve ser
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inserida no nó central (centro geométrico) ou em dois nós de uma barra central, dividindo a
carga para cada nó;
As barras da treliça são conectadas por pinos lisos. Isso significa que as barras podem girar em
torno do pino evitando a flexão das barras. Com essa premissa, sabemos que as barras sofrerão
apenas cargas de tração ou compressão. Sabemos que, na prática, as conexões normalmente
são formadas aparafusando ou soldando as extremidades das barras em uma placa comum,
como mostra a Figura 36a, ou simplesmente unindo todas as barras através de um parafuso ou
pino grande (Figura 36b). Assumimos que essas conexões atuam como pinos lisos, pois as
linhas centrais das barras são concorrentes.
Figura 36 – Conexão das barras (a) por uma placa de ligação e (b) por um parafuso
(a) (b) 
Fonte: Hibbeler, 2011.
Nesta aula, dois métodos serão apresentados. O primeiro é o que trabalharemos neste tema,
chamado método dos nós. Esse método se baseia no fato de que se a treliça está em equilíbrio, logo
cada nó também está em equilíbrio. Consequentemente, podemos aplicar as equações de equilíbrio
para cada nó considerando as forças desenhadas no diagrama de corpo livre do nó.
Considerando problemas de treliça plana, as equações de equilíbrio de força  e 
 precisam ser satisfeitas para o equilíbrio.
Podemos seguir o passo a passo para a solução de problemas de cálculo de forças em treliças
planas via método dos nós:
1) Desenhe o DCL de um nó contendo pelo menos uma força conhecida e no máximo duas
forças incógnitas. Se esse nó estiver em um dos apoios, será necessário calcular as reações de
apoio (para isso, veja o Tema 2 desta aula);
2) Oriente os eixos x e y sobre o nó a fim de facilitar o processo de decomposição das
forças;
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3) Calcule as duas forças incógnitas através das equações:  e ;
4) Verifique se a força é de tração ou compressão. Para isso, analise o efeito que ela faz
sobre o nó. Se estiver “apertando” o nó, a força é de compressão; se estiver “puxando” o nó, a
força é de tração;
5) Escolha o próximo nó para fazer o DCL considerando os mesmos requisitos do passo 1
(pelo menos uma força conhecida e no máximo duas forças incógnitas) e continue a solução a
partir do passo 2.
Exemplo 9: Calcule as forças em cada barra da treliça mostrada na figura e indique se estas
estão sendo tracionadas ou comprimidas:
Figura 37 – Exemplo 9
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: Analisando a treliça do problema em tela, é possível notar que o ponto (ou nó) A está
apoiado por um pino e o ponto C por um rolete, logo, o nó A possui duas reações de apoio sendo
uma em x e uma em y e o nó C possui uma reação em y para cima. Lembrando que essas reações são
forças desconhecidas e se optarmos em iniciar os cálculos por um destes dois nós teríamos que
determinar as forças de reação neles. No entanto, não precisamos fazer isso nesse exemplo. Podemos
escolher o nó B que atende aos requisitos do passo 1, ou seja, o nó B possui uma força conhecida de
500 N e duas forças incógnitas que são as que conectam esse nó (  e ), portanto, o DCL do nó B
fica da seguinte forma:
Figura 38 – Solução (1)
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Note que a força  está na direção inclinada a 45° e sentido para cima e para esquerda, a fim
de equilibrar a força de 500 N, que está para direita, e a força  possui direção vertical e sentido
para baixo para equilibrar a força  que tem componente para cima.
Escolhendo os eixos x e y sobre o nó B, podemos determinar as forças  e   aplicando as
equações de equilíbrio, logo:
O fato de os resultados serem positivos indica que desenhamos o sentido correto das forças no
DCL. Logo, podemos analisar o efeito que cada força faz sobre o nó para sabermos se a força é de
tração ou compressão.
A força   está “puxando” o nó para baixo, logo é uma força de tração e a força   está
“apertando ou empurrando” o nó, por isso é uma força de compressão.
Para finalizar o exemplo, precisamos determinar a força . Essa força está entre o nó C e o nó
A. Portanto, temos que escolher um desses nós para determinar essa força. A pergunta é, qual deles?
De forma geral, aconselhamos a escolher o nó mais fácil, ou seja, com menos incógnitas ou que te
proporcione a solução de forma direta.
Sabemos que o nó C está apoiado por um rolete, logo ele só possui uma reação de apoio em y.
Já o nó A está apoiado por um pino, contendoduas reações de apoio. Consequentemente, o nó mais
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fácil para trabalharmos é o C.
O DCL do nó C fica da seguinte forma:
Figura 39 – Solução (2)
Observação: Note que a força  está direcionada de forma a comprimir o nó C, ou seja, temos
que manter o efeito da força que é de compressão. Por isso a força  possui sentido para esquerda,
a fim de equilibrar a força  que tem componente para direita e a força de reação do rolete 
 possui sentido para cima, equilibrando a componente para baixo da força .
Aplicando somente a equações de equilíbrio , conseguiremos obter a força , logo:
A força  está puxando o nó C, logo é uma força de tração.
Exemplo 10: Calcule as forças em cada barra da treliça mostrada na figura e indique se elas
estão sendo tracionadas ou comprimidas:
Figura 40 – Exemplo 10
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Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: O primeiro passo é escolher um nó que contenha pelo menos uma força conhecida e
no máximo duas forças incógnitas. Os nós B e F possuem uma força conhecida (400 N e 600 N,
respectivamente), porém, estão conectados a três barras, ou seja, três forças incógnitas, logo eles não
nos atendem neste primeiro momento. Teremos que escolher entre o nó A e o nó C, porém ambos
possuem reações de apoio. O nó A está apoiado por um rolete, logo possui uma força de reação na
vertical com sentido para cima e o nó C está apoiado por um pino, tendo duas reações de apoio, uma
em x e uma em y. Nesta situação, teremos que calcular a reação de apoio antes de fazer o DCL do nó
e, para isso, precisamos do DCL da treliça completa, como mostra a figura a seguir:
Figura 41 – Solução (1)
Fonte: Hibbeler, 2011.
Podemos calcular somente a reação  para darmos continuidade na obtenção das forças nas
barras da treliça. Para isso, vamos fazer o somatório de momentos no nó C (este é o passo 2, descrito
no Tema 2 desta aula):
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Agora vamos ao DCL do nó A:
Figura 42 – Solução (2)
Perceba como foram inseridas as direções das forças de modo a equilibrar o nó. O ângulo 
 pode ser obtido por trigonometria através do seguinte triângulo da treliça:
Figura 43 – Solução (3)
A relação trigonométrica que contém o cateto oposto (4 m) sobre o cateto adjacente (3 m) é a
tangente, logo:
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Como conhecemos a intensidade da força , podemos começar aplicando a equação de
equilíbrio do somatório das forças em y, logo:
Aplicando o somatório das forças em x, temos:
Analisando os efeitos que essas forças produzem sobre o nó A, podemos ver que a força  está
comprimindo (apertando) o nó A e a força  está tracionando-o (puxando-o).
Finalizada essa etapa, temos que escolher o próximo nó que nos dará condições de determinar
as outras forças nas barras da treliça. Esse nó tem que ser “adjacente” ao nó que acabamos de
trabalhar, ou seja, tem que ser um nó que conecta uma das barras que já determinamos as forças.
Nesse caso, as opções são os nós B ou D. Os dois são promissores, então tanto faz qual vamos
escolher. Vamos optar pelo nó D, logo seu DCL fica da seguinte forma:
Figura 44 – Solução (4)
Aplicando as equações de equilíbrio de força, temos:
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Note que a força   está puxando o nó D, logo é uma força de tração e a força   está
empurrando o nó, logo é de compressão.
Para finalizar o exercício, precisamos determinar a força na barra BC. Para isso, podemos calculá-
la através do DCL do nó B ou C, porém, o nó C contém as duas reações de apoio devido ao pino e
nós não as calculamos, portanto, vamos escolher o nó B para desenharmos o DCL:
Figura 45 – Solução (5)
Como a força    está na direção x, o somatório de forças em x nos trará a solução para esta
força, assim temos
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Em que essa força está comprimindo o nó B.
Esse é um método simples de resolução, porém para treliças maiores com um número elevado
de barras pode ser muito exaustivo trabalhar com ele. Vamos aprender no próximo tema um método
mais direto chamado Método das Seções.
TEMA 5 – TRELIÇAS: MÉTODO DAS SEÇÕES
Neste tema, veremos o método das seções para o cálculo das forças em treliças planas. Trata-se
de um método frequentemente utilizando quando se deseja conhecer as forças em apenas algumas
barras da treliça. Ele se baseia no princípio de que se a treliça está em equilíbrio, logo todas as barras
dessa treliça também estão em equilíbrio.
Esse método recebe este nome, pois utiliza de uma seção sobre as barras que se deseja
determinar as forças, ou seja, a treliça é “cortada” e dividida, onde será analisada apenas uma das
partes que foi seccionada. O seguinte procedimento é proposto para a determinação das forças em
treliças pelo método das seções:
1) Faça um traço sobre as barras que serão calculadas as forças;
2) Antes de cortar a treliça (sobre o traço feito no passo 1), pode ser necessário determinar
alguma reação de apoio. Se for este o caso, aplique as equações de equilíbrio vistas no Tema 2
para determiná-la;
3) Seccione a treliça sobre o traço feito no passo 1 e escolha uma das partes para analisar.
Desenhe o DCL da parte escolhida (dê preferência a parte mais simples com o menor número
de forças);
4) Aplique a equação de equilíbrio de momento em relação ao nó que intersecciona as
linhas de ação de duas forças desconhecidas;
5)    Aplique as equações de equilíbrio de força   e   ou o somatório de
momentos em um outro ponto (se for o caso);
6) Verifique se a força é de tração ou compressão analisando o efeito que ela faz sobre a
barra. Se estiver saindo da barra, a força é de tração; se estiver entrando na barra, a força é de
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compressão.
Exemplo 11: Calcule as forças nas barras BC, BD e AD da treliça do Exemplo 10 e indique se
estas barras estão sendo tracionadas ou comprimidas.
Solução: Fazendo um traço sobre as barras que queremos determinar as forças, temos o
seguinte:
Figura 46 – Solução (1)
Fonte: Elaborado com base em Hibbeler, 2011.
Perceba que, tanto do lado esquerdo desse traço como do lado direito, existem apoios, logo
temos que determinar a reação de um desses apoios. Não é necessário calcular as reações para os
dois apoios, pois vamos escolher um dos lados do corte para trabalhar. O lado esquerdo parece mais
simples, pois está apoiado por um rolete que tem apenas uma reação de apoio. Na resolução do
exemplo 10, já calculamos essa reação, sendo . Podemos ir para o passo 3, desenhando o
DCL do lado esquerdo da seção:
Figura 47 – Solução (2)
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Perceba que não é tão fácil afirmar qual deve ser o sentido de cada força, por isso sugerimos que
você arbitre o sentido e se o resultado der negativo, significa que o sentido arbitrado está incorreto.
Veja que as forças nas barras foram desenhadas aproximadamente no meio delas (no corte).
O passo 4 sugere a aplicação do somatório de momentos em relação ao nó que intersecciona as
linhas de ação de duas forças desconhecidas. Neste DCL, existem dois nós que podem ser escolhidos,
são eles: nó B que intersecciona as forças  e   e o nó D que intersecciona as forças  e .
Vamos escolher o nó B, logo, aplicando a Equação 1c, temos:
Veja que as forças que estão sobre o nó B(  e  ) não entraram neste cálculo, pois a
distância delas para o nó é zero. Continuando, temos:
O passo 5 sugere a aplicação das equações de equilíbrio de forças:   e .
Começaremos pelo somatório de forças em y, pois somente a força incógnita  possui componente
nesta direção, logo:
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O último passo é verificar se as forças são de tração ou compressão e isso pode ser feito
analisando o efeito que a força faz sobre sua respectiva barra. Analisando o DCL anterior, note que as
forças  e  estão saindo da barra, logo são forças de tração e a força  está entrando na barra,
consequentemente é uma força de compressão.
Exemplo 12: Calcule as forças nas barras GF, CF e CD da treliça mostrada na figura e indique se
estas barras estão sendo tracionadas ou comprimidas. Considere as conexões das barras como sendo
pinos (segunda premissa vista no tema anterior para treliças).
Figura 48 – Exemplo 12
Fonte: Hibbeler, 2011.
Solução: O primeiro passo é fazer um traço sobre as barras que queremos determinar as forças,
logo, temos o seguinte:
Figura 49 – Solução (1)
Fonte: Elaborado com base em Hibbeler, 2011.
Como tanto do lado esquerdo deste traço quanto do lado direito existem apoios, devemos
determinar a reação de um desses apoios. Não precisamos calcular as reações para os dois apoios,
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pois vamos escolher um dos lados do corte para trabalhar. Como o lado direito ao traço é mais
simples, pois está apoiado por um rolete que tem apenas uma reação de apoio, vamos determinar
somente esta reação , mas para isso precisamos do DCL da treliça inteira, com as forças de
reação nos apoios em A e em E:
Figura 50 – Solução (2)
Fonte: Elaborado com base em Hibbeler, 2011.
Aprendemos a determinar as reações de apoio no Tema 2 desta aula, logo, aplicando o
somatório de momentos em A podemos obter a força de reação , dada por:
Conhecendo essa reação de apoio, podemos partir para o passo 3 cortando a treliça sobre o
traço a-a e escolhendo o lado direito para fazer o DCL, assim, temos o seguinte DCL:
Figura 51 – Solução (3)
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Note que nesse exemplo fica um pouco difícil afirmar qual é o sentido de cada força ao desenhar
o DCL, neste caso você pode arbitrar o sentido e se der um resultado negativo, significa que o
sentido desenhado está incorreto.
O passo 4 sugere a aplicação do somatório de momentos em relação ao nó que intersecciona as
linhas de ação de duas forças desconhecidas. Neste DCL, existem dois nós que podem ser escolhidos,
são eles: nó C que intersecciona as forças  e    e o nó F que intersecciona as forças  e .
Podemos escolher qualquer um deles. Vamos escolher o nó F, pois será um pouco mais fácil já que as
duas foças inclinadas estão sobre este nó, logo, temos que:
Observe que as forças  e  não entraram nesse cálculo, pois são forças que estão sobre este
nó, logo, não geram momento nele e a força de 3 kN também não gera momento em F, pois é uma
força que passa pela linha do ponto, ou seja, a força está na vertical, logo, para gerar momento teria
que ter uma distância horizontal entre a força e o ponto, mas não existe esta distância, pois a força
está na direção do ponto. Continuando o cálculo, temos:
O passo 5 implica na aplicação das equações de equilíbrio de  e  ou o somatório
de momentos em um outro ponto (se for o caso). Realmente ainda não é interessante utilizar o
 e nem , pois as duas forças incógnitas  e  possuem componentes nas direções
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x e y, logo, faremos o somatório de momentos em relação ao ponto C (não conseguimos fugir deste
cálculo). Antes temos que determinar os ângulos de inclinação das forças (   e ), onde o ângulo
, pois é um triângulo retângulo de lados iguais (4 m cada lado) e o ângulo  é obtido por:
 Assim, temos:
Agora podemos aplicar o somatório de forças em x ou em y para obter a força . Considerando
, temos:
Para finalizar, vamos verificar se essas forças são de tração ou compressão analisando o efeito
que cada uma faz sobre a barra. A força  está saindo da barra, logo, é de tração. Já as forças  e
 estão entrando em suas respectivas barras, portanto, são forças de compressão.
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FINALIZANDO
     Nesta aula, você viu como desenhar o diagrama de corpo livre de estruturas mais complexas,
bem como determinar as forças das reações de apoio em problemas bi e tridimensionais.
Você também conheceu as estruturas do tipo treliça e aprendeu a determinar as forças em suas
barras.
Não deixe de praticar por meio dos exemplos exercícios propostos no livro Estática – Mecânica
para Engenharia, de Hibbeler (2011). Nele, você encontrará outros tipos de problemas e situação que
irão ampliar seu conhecimento nos temas vistos nesta aula. Bons estudos!
REFERÊNCIAS
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 12. ed. Pearson, 2011.