AULA - 5

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31/03/2021 UNINTER - PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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PRINCÍPIOS DE MECÂNICA E
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
AULA 5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.a Francielly Elizabeth de Castro Silva
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CONVERSA INICIAL
Olá, seja bem-vindo(a) a esta aula. Nela, você aprenderá a determinar algumas propriedades
geométricas de grande importância no estudo da mecânica, como: centro de gravidade e centroide
de um corpo, o momento de inércia de área e de massa de um corpo simples ou composto.
TEMA 1 – CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE
Sabemos que todo objeto possui um determinado tamanho e massa. A força peso desse objeto
pode ser facilmente medida com uma balança ou melhor ainda, por meio de um dinamômetro
(equipamento que mede força). Porém, o ponto aqui é conhecer precisamente o ponto de equilíbrio
que posiciona esta força no objeto.
A Figura 1 mostra um sistema em equilíbrio. Sabemos que se deslocarmos qualquer uma das
pedras um pouco para a direita ou para a esquerda, todo o conjunto será desequilibrado, ou seja,
para o equilíbrio, a posição das forças no sistema são de extrema relevância na modelagem dos
problemas.
Figura 1 – Equilíbrio de um conjunto de pedras
Créditos: BILLION PHOTOS/Shutterstock.
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Anteriormente, vimos como obter o centro de gravidade de figuras geométricas simples como
retângulos. Neste tema, aprenderemos a obter essa propriedade para quaisquer tipos de geometria.
Para exemplificar a importância deste estudo, suponha a aeronave mostrada na Figura 2a. Para
posicionar o trem de pouso, é necessário fazer um estudo das forças atuantes na aeronave, pois o
posicionamento incorreto geraria um desequilíbrio e assim a aeronave poderia tombar para trás
encostando sua calda no chão, o que geraria um certo prejuízo à empresa que projetou essa
máquina. Logo, conhecer a força resultante gerada pela força peso do avião e sua posição na
fuselagem (centro de gravidade) é fundamental para a determinação da posição do trem de pouso
(Figura 2b).
Figura 2 – (a) Aeronave e (b) trem de pouso
Créditos: FENSKEY/Shutterstock; FRANK_PETERS/Shutterstock.
Outros exemplos de aplicação do cálculo do centro de gravidade estão no estudo de
barragens/comportas (Figura 3a), flutuadores offshore (Figura 3b), guindastes (Figura 3c) etc., em que
é importante conhecer não somente a força resultante devido à pressão da água ou do peso da
estrutura ou dos elementos sobre a estrutura, mas a posição dessa força resultante de forma a
manter o sistema em equilíbrio.
Figura 3 – (a) Barragem, (b) flutuador offshore e (c) guindaste
(a)
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(b)
Créditos: PHOTO APS/Shutterstock; KLDY/Shutterstock; ZORANORCIK/Shutterstock.
1.1 CENTRO DE GRAVIDADE
Um corpo é formado por um número elevado de partículas com diversos tamanhos e massa,
logo, cada partícula terá um peso  e estará localizada em um determinado ponto , ,  no espaço
(Figura 4). A soma de todas as massas dessas partículas nos resulta em uma massa total que pode ser
transformada na força peso multiplicando-a pela aceleração da gravidade. Essa força peso, , passa
por um único ponto, de coordenadas , , , denominado centro de gravidade (Figura 4).
Figura 4 – Centro de gravidade de uma partícula e de um corpo e suas respectivas posições no
espaço
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Fonte: Hibbeler, 2018.
O peso total do corpo, ,  é obtido aplicando o somatório das forças peso de todas as partículas
pertencentes ao corpo, dada por:
A localização da força  (o centro de gravidade ) é obtida com o equilíbrio de momentos. Para
cada eixo coordenado, temos:
em que , ,   correspondem às coordenadas de cada partícula no corpo e , ,   são as
coordenadas do centro de gravidade, , do corpo.
Além do centro de gravidade, existem também o centro de massa, o centroide de volume,
centroide de área e centroide de linha, sendo que a palavra centroide indica o centro geométrico de
um corpo. Aqui, vamos estudar com maior dedicação o centroide de área, que é muito aplicado na
engenharia.
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1.2 CENTROIDE DE ÁREA
 Se uma área se encontra no plano  e for delimitada por uma função   (Figura 5),
então seu centroide estará neste mesmo plano e é determinado aplicando as seguintes integrais:
Figura 5 – Função genérica para o cálculo do centroide de área
Fonte: Hibbeler, 2018.
Essas integrais podem ser resolvidas de duas formas: aplicando o elemento infinitesimal de área
na horizontal (Figura 6a) ou na vertical (Figura 6b).
Figura 6 – Elemento infinitesimal de área posicionado (a) na horizontal e (b) na vertical
(a)
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(b)
Fonte: Hibbeler, 2018.
Na primeira situação, observe que o elemento infinitesimal de área é dado pelo cálculo da área
do retângulo descrita por , com centroide em  e  Já no segundo caso, a área
do elemento infinitesimal é  e o centroide está em  e . Vamos aos exemplos!
Exemplo 1: Calcule o centroide de área  e  da seguinte figura.
Fonte: Hibbeler, 2018.
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Solução: Como o elemento infinitesimal de área (retângulo cinza) está na vertical, sua área é
 e seu centroide é  e , logo, substituindo  e  na Equação 3a e  e  na
Equação 3b, temos:
Na figura do exemplo, a função que descreve a área demarcada é . Substituindo  por 
 nas equações acima, ficamos com:
Como a função está variando com o , pois no termo da integral temos , logo, os limites de
integração correspondem à posição em que começa a função (   e onde termina a função (
. Logo, esses são os limites inferior e superior de integração e podem ser substituídos na
equação acima, assim, a equação toma a seguinte forma:
Resolvendo as integrais de polinômio conforme regra vista na Equação 3, vista anteriormente,
temos:
Substituindo os limites superior e inferior, ficamos com:
As divisões acima podem ser resolvidas multiplicando a divisão que está no numerador pelo
inverso da divisão do denominador, ou seja:
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Exemplo 2: Calcule o centroide de área  do triângulo mostrado:
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: Vamos aplicar a Equação 3, logo, precisamos definir a área do elemento infinitesimal.
Note que o elemento infinitesimal está na horizontal, logo sua área é   e seu centroide é
  e   como mostra a figura. A nossa integral será em função de , pois no termo da
integral temos . Logo, devemos isolar o  da função  como segue:
 
Substituindo o valor acima de  na área do elemento infinitesimal, temos:
e substituindo  e  na Equação 3b, temos:
No termo do numerador, podemos fazer a distributiva, ficando:
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Note que há uma soma tanto no numerador, como no denominador, logo, podemos separar em
duas integrais, ficando:
 
Vamos resolver cada uma dessas quatro integrais. Os limites de integração estão associados ao
intervalo inferior e superior que este triângulo pode variar em . Ele está desenhado iniciando em
  e terminando em   (em que   é a altura do triângulo). Substituindo os limites de
integração na equação acima, temos:
Observeque como a integral varia em função de , tudo o que não é   (como   e ) é
considerado como constante e pode sair da integral, logo, reescrevendo a equação acima tirando as
constantes para fora das integrais, ficamos com:
Aplicando a regra de integração de polinômio, temos:      
Substituindo os limites de integração no lugar do , ficamos com:
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Simplificando alguns termos, temos:
Extraindo o m.m.c. do numerador e denominador, ficamos com:
A divisão acima pode ser resolvida multiplicando a divisão que está no numerador pelo inverso
da divisão do denominador, ou seja:
Simplificando, temos:
Obs.: Este resultado vale para qualquer triângulo retângulo e indica que o centroide está
localizado a um terço da altura medida a partir da base do triângulo.
O centroide em  também poderia ser obtido e resulta em , resultado que utilizamos em
conteúdos anteriores.
TEMA 2 – CENTRO DE GRAVIDADE E CENTROIDE PARA CORPOS
COMPOSTOS
Em muitos problemas da engenharia, a estrutura é feita com elementos de geometria simples
(Figura 7a) como retângulo, círculo, triângulo, semicírculo etc., ou um composto de geometrias
simples (Figura 7b):
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Figura 7 – (a) Estrutura com vigas e colunas de geometria simples e (b) coluna composta de
geometrias simples
(a)
 (b)
Créditos: BQMENG/Shutterstock; STEPHAN LANGHANS/Shutterstock.
Quando o elemento estrutural consiste em uma geometria composta por segmentos simples,
podemos dividi-lo de forma a separar tais segmentos simples e obter o centroide de cada segmento
em relação a um ponto de referência. Por exemplo, considere a estrutura apresentada na Figura 8a.
Observe que cada viga e coluna são do tipo I ou H (Figura 8b) e este tipo de geometria pode ser
subdividido em 3 retângulos como mostra a Figura 8c:
Figura 8 – (a) Estrutura composta por vigas e colunas do tipo I ou H, (b) viga I ou H e (c) divisão da
viga em três segmentos retangulares
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Créditos: Zhengzaishuru/Shutterstock; Nattakit Jeerapatmaitree/Shutterstock; Blojfo/Shutterstock.
Como as figuras que compõem a viga são simples, sabemos determinar facilmente sua área.
Logo, a área total corresponde à soma da área de cada segmento.
Considerando problemas bidimensionais para o cálculo do centroide de figuras simples e
compostas, o centroide nas direções em  e  são dadas por:
em que   e   correspondem ao centroide de cada segmento em relação a um ponto de
referência e  é a área de cada segmento.
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O seguinte passo a passo pode ser seguido para o cálculo do centroide de peças compostas por
segmentos simples:
1. Divida a peça em segmentos (figuras) geométricos conhecidos (utilize o menor número
possível para facilitar);
2. Defina um eixo de referência fixo ( );
3. Calcule o centroide  e/u  de cada segmento em relação ao eixo de referência;
4. Calcule a área de cada segmento;
5. Calcule o centroide da peça completa,  e/ou , por meio das Equações 4a e 4b.
Exemplo 3: Localize o centroide  da área da seção transversal da viga:
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: Seguindo o passo a passo descrito, podemos dividir a seção transversal da viga em dois
segmentos de retângulo:
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Fonte: Hibbeler, 2018.
O eixo de referência  já está definido conforme figura, em que o eixo  passa pela base da
peça e o eixo  passa pelo centro da peça.
O terceiro passo indica que devemos calcular o centroide de cada segmento em relação ao eixo
de referência . Como no enunciado pede somente o centroide em , precisamos do  de cada
segmento em relação ao eixo  como mostra a seguinte figura:
Fonte: Hibbeler, 2018.
O centroide do primeiro segmento, , em relação ao eixo de referência  é obtido dividindo a
altura do primeiro segmento por 2, pois o centroide de um retângulo fica no centro dele, ou seja:
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O centroide do segundo segmento, , em relação ao eixo de referência  é obtido somando a
altura do primeiro segmento com a altura do segundo segmento dividida por 2, ou seja:
O cálculo da área de cada segmento é muito simples, pois são dois retângulos, logo:
O último passo é aplicar a Equação 4b. Assim temos:
portanto, .
Cálculos semelhantes podem ser feitos considerando a massa, ou o peso de elementos que
compõem uma determinada estrutura. Vamos compreender melhor esta questão nos próximos
exemplos.
Exemplo 4: Localize o centro de massa para o sistema de montagem de compressor. O centro
de massa de cada componente e suas respectivas posições são mostradas na figura.
Fonte: Hibbeler, 2018.
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Solução: Como já foram fornecidas a massa e a localização do centro de massa de cada
componente do sistema, vamos obter a localização do centro de massa em relação aos eixos de
referência  pré-definidos como mostra a seguinte figura:
Ajustando as Equações 4a e 4b para o problema envolvendo o centro de massa, temos:
em que   corresponde à massa de cada elemento conforme a figura inicial do problema, ou
seja, , , ,   e , logo, as equações acima
resultam em:
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TEMA 3 – MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA
Para iniciar este tema, gostaria que você refletisse sobre a seguinte pergunta: Se uma força  for
aplicada no centro de uma régua, ela resistirá melhor a essa força na posição deitada (Figura 9a) ou
“de pé” (Figura 9b)?
Figura 9 – Régua submetida à uma força
 na posição (a) deitada e (b) de pé
A resposta é óbvia. Na posição deitada, ela tem uma resistência menor à flexão, logo, ela
abaulará com maior facilidade (Figura 10a), e dependendo da intensidade da força , ela poderá até
quebrar. Já na posição “de pé”, ela resiste (suporta) uma força muito maior do que a do primeiro caso
e é muito difícil de flexioná-la (abaulá-la), conforme pode ser observado na Figura 10b:
Figura 10 – Flexão de uma régua na posição (a) deitada e (b) de pé
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Mais uma pergunta para você refletir. Por que isso que acabamos de observar acontece? O
motivo é o momento de inércia de área. Esta é uma propriedade geométrica da seção transversal dos
elementos estruturais e está relacionada com a resistência à flexão. A régua na posição de pé possui
um momento de inércia muito maior do que na posição deitada, por isso resiste muito mais a esse
tipo de carregamento.
Este tema é muito importante no estudo de vigas como vãos de ponte (Figura 11a), eixo de
transmissão (Figura 11b) e qualquer estrutura sob carregamento de flexão. Vamos aprender
inicialmente o equacionamento para o desenvolvimento dos cálculos de momento de inércia de
geometrias quaisquer, e no Tema 4, você verá como determinar o momento de inércia de estruturas
com geometrias simples, como o exemplo da régua.
Figura 11 – (a) Vãos de ponte e (b) eixo de transmissão do carro
(a)
 (b)
Créditos: Jason Finn/Shutterstock; M181/Shutterstock.
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 3.1 MOMENTO DE INÉRCIA DE ÁREA – ABORDAGEM GERAL
Considerando uma seção transversal qualquer como mostra a Figura 12, os momentos deinércia
de uma área diferencial  em relação aos eixos  e , respectivamente, são:  e 
.
Figura 12 – Seção transversal qualquer para o desenvolvimento das equações de momento de
inércia de área
Fonte: Hibbeler, 2018.
Integrando ambos os lados da equação anterior, ficamos com:
Em problemas envolvendo torção, como é o caso de eixos em geral, a resistência ao torque é
função do momento polar de inércia, ou seja, quanto maior o momento polar de inércia, mais torque
o eixo resistirá. Esse parâmetro é dado por:
O seguinte procedimento é indicado para o cálculo do momento de inércia:
Se a função que descreve a área for expressa na forma de , um elemento diferencial
retangular deverá ser desenhado de modo que ele tenha um comprimento finito  ou ) e uma
largura diferencial  ou ). Esse elemento deverá ser desenhado de modo a cruzar a função
em um ponto qualquer , ).
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Oriente o elemento de modo que o seu comprimento fique paralelo ao eixo sobre o qual o
momento de inércia será calculado. Por exemplo, se for calcular o , o elemento diferencial
deverá ser desenhado na horizontal, ou quando calcular o  , deverá posicioná-lo na vertical.
Exemplo 5: Determine o momento de inércia de área do retângulo mostrado em relação aos
eixos (   que passam por seu centroide e calcule o momento polar de inércia passando pelo
centroide .
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: A área do elemento diferencial de área , representado pelo retângulo cinza da figura,
é calculada multiplicando a base desse retângulo por sua altura. A base corresponde à  e a
altura é igual a . Logo,   , em que o apóstrofo ( ) é apenas uma representação para
mostrar que estamos considerando o eixo de referência  e não o  ou . Substituindo este valor na
Equação 6, vamos determinar o momento de inércia em relação ao eixo  que passa pelo centroide
desse retângulo, dado por:
Esta integral será avaliada no intervalo correspondente à altura do retângulo completo, pois a
integral varia com o . Em relação ao eixo  que passa pelo centroide do retângulo, o intervalo
inferior é  e o intervalo superior é . Logo, a integral acima pode ser reescrita como:
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O termo   corresponde à base do retângulo que pode assumir qualquer valor, logo, é uma
constante e pode sair da integral, ficando:
Resolvendo a integral de polinômio, conforme trabalhado em exercícios anteriores, temos:
Substituindo os limites de integração, ficamos com:
A unidade é sempre de comprimento à quarta (metros, milímetros, polegadas, pés etc.).
Fazendo o mesmo processo para o cálculo do momento de inércia de área que passa pelo
centroide , colocando o elemento diferencial na posição vertical e substituindo os limites de
integração por  e , temos a seguinte integral a ser resolvida:
Aplicando a mesma metodologia descrita para o cálculo do , o resultado da integral acima é:
Como visto na Equação 7, o momento polar de inércia é obtido pela soma dos momentos de
inércia  e , logo:
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3.2  TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS
Até agora, vimos como determinar o momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo
centroide do corpo. Mas se o objetivo for determinar o momento de inércia de uma peça que passa
por um eixo qualquer paralelo ao eixo que passa centroide, podemos utilizar o teorema dos eixos
paralelos, definido como:
em que  e  correspondem ao momento de inércia em relação aos eixos  e  que passam
pelo centróide,  é o momento polar de inércia em relação ao centroide,  é a área da peça,  é a
distância entre os eixos paralelos   e ,   é a distância entre os eixos paralelos   e , e
.
Vamos aplicar esta ideia ao exemplo anterior.
Exemplo 6: Calcule o momento de inércia de área  em relação ao eixo que passa pela base do
retângulo (
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Fonte: Adaptado Hibbeler, 2018.
Solução: No exemplo anterior, descobrimos o momento de inércia em relação ao eixo  que
passa pelo centroide da peça. Agora, vamos aplicar a Equação 8a para obter o momento de inércia
que passa pelo eixo da base da peça, ou seja, o eixo , em que ,  e  é a distância
entre os eixos  e , logo, .
 
extraindo o m.m.c., temos:
Neste tema, vimos como determinar o momento de inércia de área de funções quaisquer e de
figuras simples. No exemplo anterior, obtivemos o momento de inércia em relação ao eixo que passa
pelo centroide de um retângulo. A partir de agora, podemos utilizar esses resultados quando nos
depararmos com um problema com figuras retangulares, como uma viga I ou H.
Para figuras circulares, o momento de inércia de área em relação ao eixo centroidal é:
em que  corresponde ao raio da circunferência. O momento polar de inércia é:
Se a peça for um tubo, seu momento de inércia de área é dado por:
em que   corresponde ao raio externo e   ao raio interno do tubo, e o momento polar de
inércia é descrito como:
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No projeto de vigas, utilizamos o momento de inércia para determinar a tensão de cisalhamento
transversal, de flexão e a carga crítica de flambagem.
TEMA 4 – MOMENTO DE INÉRCIA PARA ÁREAS COMPOSTAS
É muito comum, na engenharia, encontrar elementos estruturais feitos com geometrias
compostas (Figura 13), ou seja, geometrias que podem ser divididas em elementos simples como
retângulos, círculos, triângulos etc.
Figura 13 – Tipos de seção de elementos estruturais
Créditos:HENNADII H/Shutterstock.
Quando nos depararmos com uma seção de áreas compostas, podemos seguir o seguinte passo
a passo para determinar seu momento de inércia:
1. Divida a seção em segmentos de geometria simples e obtenha a distância perpendicular
entre o centroide dos segmentos e o eixo de referência (  e ;
2. Calcule o momento de inércia em relação ao centroide de cada segmento (  e ). Para
figuras retangulares, temos a seguinte equação para o momento de inércia:        e       
. Para figuras circulares, o momento de inércia é dado por: ;
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3. Determine a área ( ) de cada segmento;
4. Determine a distância entre o centroide de cada segmento e um eixo ou ponto de
referência;
5. Calcule o momento de inércia (  e )  de cada segmento em relação ao centroide da
peça por meio das Equações 8a e 8b.
6. Calcule do momento de inércia total pela soma dos momentos de inércia de cada
segmento. Obs.: se algum segmento for um furo, o momento de inércia dele deverá ser
subtraído.
Exemplo 7: Calcule o momento de inércia de área da peça mostrada na figura em relação ao
eixo .
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: esta peça pode ser dividida em dois segmentos, um retângulo de base igual a 100 mm
e altura de 150 mm (75 + 75) e uma circunferência de raio igual a 25 mm. Note que essa
circunferência é um furo, logo, ela retira inércia da peça.
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A distância entre o centroide desses segmentos e o eixo de referência   é   e
O próximo passo é calcular o momento de inércia de cada segmento em relação ao centroide,
assim temos:
O passo três sugere o cálculo da área de cada segmento, logo, temos que:
Agora, vamos calcular a distância entre o centroide de cada segmento e o eixo referência que no
caso é o próprio eixo . Portanto, essa distância é dada por:
Finalmente, o cálculo do momento de inércia em relação ao eixo  é obtido aplicando o teorema
dos eixos paralelos, logo:O momento de inércia total é:
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Observe que o momento de inércia da circunferência entrou no cálculo como um valor negativo,
pois é um furo.
Exemplo 8: Calcule o momento de inércia de área da peça mostrada na figura em relação ao
eixo que passa pelo centroide .
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: O primeiro passo é dividir essa peça em segmentos. Podemos dividi-la de duas formas:
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(a) (b) 
Vamos considerar a primeira divisão (Figura a), pois a resolução com a segunda divisão (Figura b)
é apresentada no nosso livro texto. Assim, você poderá ver que, para ambos os casos, o resultado é o
mesmo. Temos as seguintes distâncias a serem consideradas neste exemplo:
Fonte: Hibbeler, 2018.
O eixo de referência foi posicionado sobre o centroide da peça. Logo, as distâncias dos
centroides de cada segmento em relação ao eixo de referência ), são:
, , pois o centroide do segmento 2 está sobre o
centroide da peça ( ,   e ,
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, pois o centroide do segmento 2 está sobre o centroide da peça (   e
.
O próximo passo é calcular o momento de inércia de cada segmento em relação ao seu
centroide. Como os três segmentos são retangulares, as equações dos momentos de inércia em
relação aos eixos  e , foram obtidas no Exemplo 5 e são definidas, respectivamente, por:
Para cada segmento, temos:
O passo três nos orienta a calcular a área de cada segmento. Assim, temos que:
Agora vamos ao cálculo das distâncias entre o centroide de cada segmento e o eixo referência,
que no caso é o próprio eixo que passa pelo centroide da peça,  logo:
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Perceba que os sinais entre  e ; e  e  são opostos, pois estão posicionados de forma
“espelhada” na peça. Mas na prática, essa diferença de sinal não importa, pois esses termos serão
elevados ao quadrado nas Equações 8a e 8b, assim temos:
,
Por fim, o momento de inércia total em cada direção é obtido pela simples soma do momento
de inércia de cada segmento, assim temos:
Vamos resolver um exercício retirado do livro Resistência dos Materiais do auto Hibbeler. Neste
exercício, vamos aplicar os conhecimentos vistos nesta aula sobre centroide de área e momento de
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inércia. Trata-se de um problema para o cálculo da tensão de cisalhamento de uma viga. Vamos ao
enunciado:
Exemplo 9: se a força  equivale a , determine a tensão de cisalhamento máxima na seção
crítica da viga. Os apoios A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga.
(a)
(b)
Fonte: Hibbeler, 2010.
Solução: A equação da tensão de cisalhamento máxima é descrita como:
em que   é a força cortante máxima, obtida com o diagrama de força cortante,   é uma
propriedade geométrica denominada momento de terceira ordem,   corresponde ao momento de
inércia de área e  corresponde à espessura da seção em que ocorre o cisalhamento máximo.
Neste problema, vamos nos ater somente ao cálculo do momento de inércia de área, . Mas para
isso, é necessário determinar o centroide de área da viga, pois a seção transversal não é de uma
geometria simétrica na direção y, somente na direção x, ou seja, sabemos que o centroide em x passa
pelo centro da figura, porém em y, nós teremos que calcular.
Seguindo o passo a passo descrito no Tema 2, vamos obter  desta peça iniciando pela divisão
da peça em segmentos geométricos conhecidos. Para isso, existem duas possibilidades representadas
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na seguinte figura:
(a)
(b)
Tanto faz a escolha da divisão dos segmentos. Vamos escolher a primeira opção.
O segundo passo sugere a definição de um eixo de referência fixo ( ). Como sabemos que a
figura é simétrica na direção x, desenharemos o eixo y de forma que passe no meio da peça e o eixo x
pode ser desenhado na base da peça, assim, temos a seguinte figura:
O terceiro passo sugere o cálculo do centroide   de cada segmento em relação ao eixo de
referência. Esses centroides são representados na seguinte figura:
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As distâncias  e  são iguais, pois os retângulos são equivalentes, logo, seu valor corresponde
a   e a distância entre o centroide do segundo segmento e o eixo de
referência  é 
O quarto passo sugere o cálculo da área de cada segmento, logo:
Por fim, podemos aplicar os resultados obtidos anteriormente no quinto passo por meio da
Equação 4b, assim temos que:
portanto, .
Essa informação nos será útil no cálculo do momento de inércia, pois será necessário aplicar o
teorema dos eixos paralelos.
Conforme o passo a passo para o cálculo do momento de inércia, podemos partir do passo 2, ou
seja, o cálculo do . Como todas as figuras são retangulares, temos que , logo:
O passo 3 já foi feito e o passo 4 sugere o cálculo da distância entre o centroide de cada
segmento e um eixo ou ponto de referência, em que, neste exemplo, o ponto de referência é o ponto
crítico que passa pelo centroide da peça, , assim temos:
Aplicando a Equação 8a para o cálculo do momento de inércia de cada segmento em relação ao
centroide da peça, temos:
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Por fim, o momento de inércia da peça completa é dado pela soma dos momentos de inércia de
cada segmento, assim temos:
Concluímos a etapa desejada, mas note que a solução do exemplo não está completa. É
necessário determinar os demais parâmetros da equação para conseguir determinar a tensão de
cisalhamento máxima, mas vamos deixá-la para uma próxima oportunidade. Se você desejar, você
pode obter a força de cisalhamento máxima, , utilizando a metodologia desenvolvida em
conteúdos anteriores ou simplesmente utilizando a ferramenta vigas online.
Note que à medida que trabalhamos com conceitos mais amplos, a quantidade de cálculos
aumenta consideravelmente. Portanto, para projetar a viga do Exemplo 9, é necessário o
conhecimento de muitos conceitos envolvidos no problema, tais como: DCL, reações de apoio,
redução de um sistema simples de cargas distribuídas, diagrama de força cortante, centroide de área,
momento de inércia de área e momento de terceira ordem.
TEMA 5 – MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA 
Para explicar o conceito de momento de inércia de massa, gostaria que você refletisse sobre as
Figuras 14a e 14b. É fácil dizer que quando deslocamos (transladamos) um objeto de um ponto a
outro, a força que aplicamos é proporcional à massa do objeto, por isso é muito mais tranquilo
empurrar uma bike do que um carro.
Figura 14 – Homem empurrando (a) uma bicicleta e (b) um carro
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(a)
  
(b)
Créditos: BBERNARD/Shutterstock; TONG_STOCKER/Shutterstock.
Agora ao invés de pensar no movimento de translação, vamos pensar na rotação. Algo
semelhante acontece. Note na Figura 15 que o balanço exerce um movimento de rotação em torno
do eixo envolto pelas “alças” do balanço.
Figura 15 – Criança e adulto em um balanço
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Créditos:OLESIA BILKEI/Shutterstock.
A pergunta que pode te ajudar a compreender melhor este tema é: qual das duas pessoas é mais
fácilde empurrar, a criança ou o adulto? A resposta é óbvia, não é mesmo? É muito mais fácil
empurrar a criança no balanço, pois seu momento de inércia de massa é muito menor em relação ao
do adulto.
Por definição, o momento de inércia de massa expressa o grau de dificuldade (resistência) em se
alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Considere o corpo rígido representado na
Figura 16. O momento de inércia de massa do corpo em relação ao eixo z é definido como:
em que  é a distância perpendicular do eixo até um elemento diferencial de massa arbitrário 
.
Figura 16 – Corpo rígido aplicado ao estudo de momento de inércia de massa
 
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Em muitas situações, é comum utilizar a densidade do corpo, , no problema. Nesse caso, a
relação entre a densidade e a massa é dada por , em que  corresponde a um elemento
diferencial de volume.
O Apêndice C.5 do nosso livro texto contém o momento de inércia de massa de algumas
geometrias, como mostra a figura a seguir:
Figura 17 – Apêndice C.5 - momento de inércia de massa
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Exemplo 10: A chapa mostrada na figura possui uma densidade de 8000 kg/m² e uma espessura
de 10 mm. Determine o momento de inércia desta chapa em relação ao eixo perpendicular ao plano
que passa pelo centro de massa .
Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: Podemos considerar a chapa como duas partes compostas, o disco de raio de 0,25 m
menos o furo de raio de 0,125 m.
Inicialmente, vamos tomar o disco como se ele não tivesse o furo para determinar o momento de
inércia de massa, e depois podemos descontar o momento de inércia de massa do disco vazado (do
furo).      
A massa do disco maciço é calculada considerando a densidade e o volume desse disco, ou seja:
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Considerando o momento de inércia de massa para disco circular, conforme figura 17, temos a
seguinte equação para o cálculo do momento de inércia de massa em torno do eixo perpendicular ao
plano do disco:
 
.
A massa do furo é calculada considerando a densidade e o volume do material que foi retirado
do disco, ou seja:
O momento de inércia de massa do furo em relação ao ponto  e o eixo z é dado por:
.
Portanto, o momento de inércia de massa do disco vazado em relação ao eixo z localizado no
ponto  é, portanto,
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Essas aplicações são para problemas em que o eixo de giro passa pelo centro de massa, , do
corpo. Porém, se o objetivo for o de determinar o momento de inércia de massa em relação a um
outro eixo, então é necessário utilizar o teorema dos eixos paralelos.
5.1 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS: MOMENTO DE INÉRCIA DE MASSA
Se o momento de inércia de massa em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do corpo
é conhecido, então o momento de inércia de massa em relação à um eixo qualquer paralelo pode ser
determinado utilizando o teorema dos eixos paralelos que é definido por:
em que   corresponde ao momento de inércia de massa em relação ao eixo que passa pelo
centro de massa do corpo,  é a massa do corpo e  é a distância entre os eixos paralelos.
Exemplo 11: considerando o Exemplo 10, determine o momento de inércia desta chapa em
relação ao eixo perpendicular ao plano que passa pelo ponto .
Solução: Como o ponto   não está sobre o centro de massa do disco, temos que aplicar o
teorema dos eixos paralelos para resolvê-lo (Equação 14).
O momento de inércia de massa do disco maciço em relação ao eixo z’ que passa pelo ponto  é
dado por:
em que  é a distância entre os eixos paralelos, ou seja, a distância entre o ponto  e o ponto ,
logo,
Esse mesmo resultado pode ser obtido pela aplicação da equação  apresentada na Figura 17
com as equações para o cálculo do momento de inércia de massa de um disco circular fino, assim
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temos:
O momento de inércia da parte vazada do disco em relação ao eixo z’ que passa pelo ponto  é
dado por:
Por fim, o momento de inércia do disco em relação ao eixo z’ que passa pelo ponto   é
calculado por:
Vamos resolver mais um exemplo para consolidar este assunto.
Exemplo 12: o pêndulo mostrado na figura a seguir consiste em duas barras finas com massa de
9 kg cada. Calcule o momento de inércia de massa do pêndulo em relação ao eixo perpendicular ao
plano do pêndulo e que passa através (a) do pino em  e (b) do centro de massa  do pêndulo.
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Fonte: Hibbeler, 2018.
Solução: Como são dois elementos de barra delgados, vamos tratar cada um de forma separada.
(a)  Conforme a Figura 17, para elementos esbeltos temos as seguintes equações para o cálculo
do momento de inércia de massa em relação ao eixo que passa pelo centroide e em relação ao eixo
que passa pela base:
O trecho de barra , está posicionado de forma que o ponto   passa por sua base, e é
justamente sobre este ponto que vamos determinar o momento de inércia de massa do pêndulo.
Logo, podemos utilizar a segunda forma da equação. Note que tanto faz escolhermos o eixo  ou ,
pois ambos são perpendiculares ao eixo longitudinal z, e perceba que as equações são as mesmas
para ambos os eixos. Sendo assim, vamos considerar que o eixo que está saindo do plano do pêndulo
é o eixo , com isso, o momento de inércia de massa do trecho  em relação ao ponto  é:
Lembre-se que a primeira equação também pode ser aplicada, porém será necessário utilizar o
teorema dos eixos paralelos.
O trecho  também é uma haste delgada, porém vamos aplicar a primeira equação (momento
de inércia de massa em relação ao centro de massa da haste, ) e o teorema dos eixos paralelos, pois
a barra está à uma certa distância paralela ao eixo que passa pelo ponto , assim temos:
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em que  corresponde ao comprimento da barra  e  é a distância entre os eixos paralelos,
ou seja, a distância entre o eixo que passa pela haste  e o eixo que passa pelo ponto , assim
temos:
Portanto, o momento de inércia de massa do pêndulo em relação ao eixo que corta o ponto  é
dado por:
(b)  A segunda parte da solução deste exercício envolve a aplicação do Tema 2 desta aula, o
cálculo do centro de massa, . A vista frontal do pêndulo nos mostra duas hastes com geometria
retangular e ambas de massa equivalente a 9 kg, logo, o centro de massa é dado pela aplicação da
Equação 5, ou seja:
O nosso ponto de referência está sobre o ponto , logo, as distâncias dos centros de massas de
cada haste serão em relação à este ponto. A seguinte figura ilustra essas distâncias:
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Analisando a figura acima, observamos que  e . Note que  é um valor
aproximado, pois não foi fornecida a altura exata da barra . Aplicando a equação anterior para o
cálculo do centro de massa, temos:
O momento de inércia em torno do ponto   é obtido mediante a aplicação da Equação 14
(teorema dos eixos paralelos), assim temos que:
em que  é o momento de inércia de massa em relação ao ponto ,  corresponde à distância
entre o centro de massa  e o ponto , ou seja,  e  é a massa total do pêndulo, ou
seja, 18 kg. Resolvendo a equação acima, temos:
isolando  ficamos com:
FINALIZANDO
     Nesta aula, você conheceu alguns parâmetros como: centro de gravidade, centro demassa,
centro de área, momento de inércia de área e momento de inércia de massa, que são fundamentais
no projeto de estruturas sob flexão, torção, cisalhamento, flambagem de colunas e problemas
dinâmicos.
O nosso livro texto possui outros exemplos resolvidos e muitos exercícios que certamente são
úteis para o seu aprendizado. Não deixe de praticar e de tirar suas dúvidas com seu professor tutor.
Bons estudos!
REFERÊNCIAS
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HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 14. ed. Pearson, 2018.
_____. Resistência dos Materiais. 7. ed. Pearson, 2010.