momento de inercia

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NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LIVRO DIDÁTICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equipe de produção NEAD 
Curso: Física 
Coordenador: Elvio Machado Martins Junior 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 
Prof. Conteudista: Reniene Maria dos Santos Bandeira 
Designer Instrucional: Roberta Prevedello 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Capítulo 5. Momento de Inércia 
 
Para início de conversa… 
Neste capítulo discutiremos o conceito de momento de inércia de uma área, bem 
como determinaremos sua intensidade dentro de uma área geométrica qualquer. 
Poderemos elaborar alguns passos nesse estudo, como: desenvolver o método para 
determinar o momento de inércia e mostrar como determinar os momentos de inércia 
de uma área em relação aos eixos e o momento polar; identificar o momento de 
inércia de uma área composta, levando em conta que o cálculo do momento de inércia 
de uma área pode ser realizado como sendo a adição e/ou a subtração dos momentos 
de inércia de suas subáreas; e, por fim, introduzir um teorema de eixos paralelos 
trabalhando com eixos de referências a fim de definir o momento de inércia. 
Com base nesse conteúdo, você poderá avançar em trabalhos futuros, como a 
determinação da tensão normal a partir de flexão em vigas que apresentam área de 
seção composta, assunto relevante para o estudo de estruturas. 
Então, vamos começar? 
 
 
 
 
 
 
 
 
Objetivos de Aprendizagem 
Assimilar o conceito de Momento de Inércia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Formulação Geral 
 
O nível de dificuldade ou a resistência em se alterar o estado de um corpo denomina-
se de momento de inércia. Esta relação da resistência à rotação com o momento de 
inércia é diretamente proporcional, ou seja, quanto maior o momento de inércia de 
determinado corpo, maior será a dificuldade para girá-lo ou alterar a rotação desse 
corpo. 
O momento de inércia de massa depende da distribuição de massa em torno de um 
eixo de rotação escolhido de forma arbitrária, assim a parcela de massa em que está 
mais afastada do eixo de rotação colabora efetivamente para o valor do momento de 
inércia. 
Vejamos um exemplo: se uma pessoa lança uma bola pequena e uma bola grande 
com um estilingue, com mesma intensidade de força para cada uma, a bola pequena 
lançada terá uma aceleração muito maior do que a bola grande lançada. Assim, o 
momento de inércia de massa é dito como uma resistência oposta por um corpo em 
rotação a uma mudança em sua velocidade de giro, recebendo uma descrição de 
inércia rotacional. 
O momento de inércia de área será detalhado mais à frente neste capítulo. É válido 
aqui ressaltar que, embora a formulação seja semelhante para os dois tipos de 
momento de inércia, os mesmos não podem ser confundidos, uma vez que o 
momento de inércia de massa é utilizado no ensino da rotação de corpos rígidos e o 
momento de inércia de área é utilizado no ensino de resistência à deformação. 
Por descrição, os momentos de inércia de uma área diferencial dA em relação aos 
eixos x e y são dIx=y2 e dIy=x2, respectivamente, em que os mesmos são definidos 
por integração para a área inteira A (Figura 1). 
 
 
 
 
 
Ix = �
A
y2dA 
 
Iy = �
A
x2dA 
 
Figura 1: Área qualquer pertencente ao plano x-y. Fonte: Elaborado pela autora. 
 
Quando se formula essa quantidade para dA em relação ao ‘polo’ O ou eixo z 
estabelece-se o momento de inércia polar, o qual é matematicamente definido como 
dJo = r2dA. Denomina-se r como a distância perpendicular do polo até o elemento dA. 
Dessa maneira, o momento de inércia polar é: 
 
Jo = �
A
r2dA = Ix + Iy 
 
É válido salientar que há uma relação entre Jo e Ix, e Iy sendo admissível porque 
r2=x2+y2 (Figura1). 
As unidades para o momento de inércia serão sempre o comprimento elevado à 
quarta potência. É importante destacar que Jo e Ix, e Iy serão sempre positivos, uma 
vez que envolvem o produto da distância ao quadrado e área. 
 
 
2. Momento de Inércia de Áreas 
 
É uma propriedade de uma superfície plana de um corpo, também denominado de 
Momento de Segunda Ordem de Área. Matematicamente, o momento de inércia de 
uma superfície plana em relação a um eixo de referência é definido como a integral 
de área dos produtos dos elementos de área que compõem a superfície pelas suas 
respectivas distâncias ao eixo de referência elevadas ao quadrado. 
Vamos compreender melhor? Veja o exemplo a seguir. 
 
Exemplo 1: Dada área do retângulo, determine o momento de inércia em relação ao 
eixo x que passa pela sua base. 
 
 
 
 
Figura 2: Identificando o Ix do retângulo a partir de integrais. Fonte: Elaborado pela 
autora. 
 
Solução: 
Baseando-se no elemento diferencial mostrado na Figura 2, temos dA = bdy. 
 
Ix = �
A
y2dA = �
h
0
y2bdy 
Ix = b�
h
0
y2dy = b
y3
3
|h 0 
Ix =
bh3
3
 
Exemplo 2: Dada área do retângulo, determine o momento de inércia em relação ao 
eixo y que passa pela sua base. 
 
 
 
 
Figura 3: Identificando o Iy do retângulo a partir de integrais. Fonte: Elaborado pela 
autora. 
 
Solução: 
Baseando-se no elemento diferencial mostrado na Figura 3, temos dA = b dx. 
 
Iy = �
A
x2dA = �
b
0
x2bdx 
Iy = b�
b
0
x2dx = h
x3
3
|b 0 
Iy =
hb3
3
 
 
Exemplo 3: Dada a área do triângulo, determine o momento de inércia em relação 
ao eixo x que passa pela sua base. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4: Identificando o Ix do retângulo a partir de integrais. Fonte: Elaborado pela 
autora. 
 
Solução: 
 
Observação: 
 
 
 
 
h
b
=
h − y
x
 
 
xh = (h − y)b 
 
x =
(h − y) ∙ b
h
 
 
Figura 5: Semelhança de triângulos para cálculo da base. Fonte: autora. 
 
Baseando-se no elemento diferencial mostrado na Figura 4, temos dA = x dy. 
 
 
 
Ix = �
A
y2dA = �
h
0
y2xdy 
Ix = �
h
0
y2 �
(h − y) ∙ b
h
�dy = �
b ∙ y3
3
−
b ∙ y4
4h
� |h 0 
Ix =
bh3
12
 
 
 
Exemplo 4: Dada a área do triângulo, determine o momento de inércia em relação 
ao eixo y que passa pela sua base. 
 
 
 
 
 
Figura 6: Identificando o Iy do retângulo a partir de integrais. Fonte: Elaborado pela 
autora. 
 
Solução: 
 
Observação: 
 
 
 
h
b
=
h − y
x
 
 
xh = (h − y)b 
 
y = h −
h
b
∙ x 
 
Figura 7: Semelhança de triângulos para cálculo da altura. Fonte: Elaborado pela 
autora. 
 
Baseando-se no elemento diferencial mostrado na Figura 6, temos dA = y dx. 
 
Iy = �
A
x2dA = �
b
0
x2ydx 
Iy = �
b
0
x2 �h −
h
b
∙ x� dx = �
h ∙ x3
3
−
h ∙ x4
4b
� |b 0 
Iy =
hb3
12
 
 
Exemplo 5: Dada a área circular, determine o momento de inércia em relação ao 
eixo x. 
 
 
 
 
 
Figura 8: Identificando o Ix do círculo a partir de integrais. Fonte: Hibbeler, 2017. 
 
Solução: 
 
Na Figura 8 temos uma área circular e para determinar o momento de inércia analisa-
se o elemento diferencial (em cinza). A partir do mesmo encontra-se a área da 
esquerda um dA = 2x dy. 
 
Ix = �
A
y2dA = �
h
0
y22xdy 
Ix = �
a
−a
y2 �2�a2 − y2� dy 
Ix =
πa4
4
 
 
O momento de inércia em relação ao eixo y, para essa área circular, pode ser 
resolvido de maneira análoga e tem como resultado: 
 
Iy =
πa4
4
 
 
 
3. Teorema dos Eixos Paralelos 
 
O teorema dos eixos paralelos pode ser aplicado para estabelecer o momento de 
inércia de uma área com referência a qualquer eixo de rotação que necessariamente 
precisa ser paralelo ao eixo que passa pelo centroide. 
Para compreender esse teorema, considere a Figura 9, que ilustra uma determinada 
área e o objetivo é determinar o momento de inércia em relação ao eixo x. 
 
 
 
 
 
Figura 9: Teorema dos eixos paralelos. Fonte: Elaborado pela autora. 
 
Para iniciar a compreensão, escolhe-se um elemento diferencial dA que está a uma 
distância qualquer y’ do eixo que passa pelo centroide desta área. De acordo com a 
ilustração, dy representa a distância entre os eixos x’ e x, dessa forma, o momento 
de inércia dedA em relação ao eixo x é definido como dIx=(y’+dy)2dA. 
 
Ix = �
A
(y′ + dy)2dA 
Ix = �
A
y′2dA + 2dy�
A
y′dA + (dy)2 �
A
dA 
 
∫A y
′2dA → representa o momento de inércia da área em relação ao eixo que passa 
pelo centroide �Ix�. 
∫A y
′dA → é uma integral nula pois o eixo x’ passa pelo centroide C da área. 
d2y∫A dA → representa a área total, logo, Ix = Ix + A(dy)
2. 
 
O momento de inércia para o eixo y, de forma semelhante, é dado como, Iy = Iy +
A(dx)2. E o momento de inércia polar é representado matematicamente como Jo =
Jc + A(d)2 sendo (d)2 = (dx)2 + (dy)2. 
 
Exemplo 6: Determine o momento de inércia para a área retangular mostrada na 
Figura 9 em relação (Hibbeler, 2011): 
a) Ao eixo centroidal x’. 
b) Ao eixo xb passando pela base do retângulo. 
c) O momento polar que passa pelo centroide C. 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: Momento de Inércia de uma área retangular. Fonte: Hibbeler, 2017. 
 
Solução: 
a) Temos um elemento diferencial na Figura 10 escolhido para aplicar a 
integração. Este elemento está a uma distância y’ do eixo x’, neste caso é 
preciso integrar a partir de y’=-h/2 para y’=h/2. Como dA=bdy’, temos: 
 
Ix′ = �
A
y′2dA = �
h/2
−h/2
y2bdy′ 
Ix′ = b�
h/2
−h/2
y2bdy′ 
Ix′ =
bh3
12
 
 
b) Para determinar o momento de inércia em relação ao eixo passando pela base 
do retângulo podemos utilizar o resultado encontrado em (a) e, assim, aplicar 
o teorema dos eixos paralelos. (Obs: Ix′ = Ix′, porque passa pelo centroide da 
figura geométrica). 
 
Ix = Ix′ + A(dy)2 
 
Ix =
bh3
12
+ bh �
h
2
�
2
 
 
Ix =
1
3
bh3 
 
c) Para determinar o momento de inércia polar em relação ao centroide, é preciso 
primeiramente determinar o Iy′ que, como compreendemos no Exemplo 2, é 
apenas alternar as dimensões b e h no resultado encontrado em Ix′. Assim: 
 
Iy′ =
1
12
hb3 
 
Logo, o momento de inércia polar em relação ao centroide é: 
 
Jc = Ix′ + Iy′ =
1
12
bh(h2 + b2) 
 
 
Os momentos de inércia das Figuras 2, 3, 4, 6 e 8 podem ser encontrados em tabelas, 
uma vez que representam figuras geométricas simples e, muitas das vezes, a área 
que se deseja determinar o momento de inércia é uma área composta. Para calcular 
o momento de inércia de áreas compostas é necessário trabalhar com o teorema dos 
eixos paralelos definido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tabela 1: Momento de inércia de áreas (Hibbeler, 2017). 
 
Uma área composta fundamenta-se em um conjunto de formas “mais simples” 
ligadas, como retângulos, triângulos e círculos, por exemplo. Assim, se é possível 
determinar o momento de inércia de cada uma dessas formas ou puder determinar o 
mesmo em relação a um eixo comum, então, o momento de inércia da área composta 
em relação a esse mesmo eixo será igual à soma algébrica dos momentos de inércias 
de todas as suas formas. 
O procedimento a seguir pode ser determinado para a determinação do momento de 
inércia de uma área composta em relação a um eixo de referência. 
 
Primeiro: divida a área composta em subáreas e identifique a distância perpendicular 
do centroide de cada subárea até o eixo de referência. 
Segundo: verifique se o eixo de cada parte coincide com o eixo de referência. Caso 
contrário é preciso utilizar o teorema dos eixos paralelos para cada subárea. 
Terceiro: para calcular o momento de inércia de toda a área, basta somar os 
resultados de cada subárea em relação ao eixo de referência. 
 
Observação: Caso exista dentro da área composta um vazio, então o momento de 
inércia deve ser subtraído no somatório dos momentos. 
 
Exemplo 7: Analise a área composta e demonstre o momento de inércia em relação 
aos eixos x e y que passa pela sua base. 
 
 
 
 
Figura 11: O momento de inércia da figura composta. Fonte: Ribeiro (2016). 
 
Solução: 
Aplicando o teorema dos eixos paralelos, temos a Figura 11 e 12, que ilustram a 
posição do centroide de cada subfigura, a posição do centroide da figura composta 
(total) e as distâncias de cada centroide de subfigura até o centroide da figura 
composta (dx e dy) em relação ao eixo x-y de referência. 
 
 
Figura 12: Identificando o momento de inércia da figura composta em relação ao eixo x’. 
Fonte: Ribeiro (2016). 
 
O momento de inércia da figura composta total, em relação ao eixo x, é assim 
calculado: 
 
Ix′ = Ix′1 + Ix′2 − Ix′3 
Ix′1 =
b1 h1
3
12
+ (b1 ∙ h1 ) ∙ dy1
2 
 
Ix′2 =
b2 h2
3
12
+ (b2 ∙ h2 ) ∙ dy2
2 
 
Ix′3 =
πr34
4
+ (πr32) ∙ dy3
2 
 
O cálculo das distâncias entre os centroides de cada subfigura e o centroide da figura 
composta total na direção vertical é: 
 
dy1 = yc1 − yc 
 
dy2 = yc − yc2 
 
dy3 = yc − yc3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13: Identificando o momento de inércia da figura composta em relação ao eixo y’. 
Fonte: Ribeiro (2016). 
 
O momento de inércia da figura composta total, em relação ao eixo y, é assim 
calculado: 
 
Iy′ = Iy′1 + Iy′2 − Iy′3 
Iy′1 =
h1 b1
3
12
+ (b1 ∙ h1 ) ∙ dx1
2 
 
Iy′2 =
h2 b2
3
12
+ (b2 ∙ h2 ) ∙ dx2
2 
 
Iy′3 =
πr34
4
+ (πr32) ∙ dx3
2 
 
O cálculo das distâncias entre os centroides de cada subfigura e o centroide da figura 
composta total na direção vertical é: 
 
dx1 = xc1 − xc 
 
dx2 = xc − xc2 
 
dx3 = xc − xc3 
 
 
Exemplo 8: Determine o momento de inércia da área mostrada na Figura 14 em 
relação ao eixo x. 
 
 
 
 
 
Figura 14: Momento de Inércia de uma figura composta (Hibbeler, 2017). 
 
Solução: 
Para iniciar este exercício é preciso dividir a área composta em duas áreas simples 
(retângulo e círculo). Para formar a área, toma-se um retângulo e subtrai-se o círculo 
do mesmo e, para calcular o momento de inércia aplica-se o teorema dos eixos 
paralelos. 
 
Cálculo para o círculo: 
 
Ix = Ix′ + A(dy)2 
 
Ix =
πr4
4
+ (πr32) ∙ dy2 
Ix =
π254
4
+ (π252) ∙ 752 
Ix = 11,4(106)mm4 
 
Cálculo para o retângulo: 
 
Ix = Ix′ + A(dy)2 
Ix =
hb3
12
+ (b ∙ h) ∙ dx2 
Ix =
100 ∙ 1503
12
+ (100 ∙ 150) ∙ 752 
Ix = 112,5(106)mm4 
 
O momento de inércia é: 
 
Ix = 112,5(106)mm4 − 11,4(106)mm4 
Ix = 111(106)mm4 
 
 
Neste capítulo vimos que o momento de inércia está relacionado com a distribuição 
da massa de um corpo em torno de um eixo de rotação pré-determinado. Então, se 
temos dois eixos x e y, por exemplo, teremos dois momentos de inércia 
correspondente. Esse será determinado pela integral de uma área inteira. 
Trabalhamos, também, com o conceito de Teorema dos Eixos Paralelos para nos 
auxiliar no cálculo do momento de inércia de uma área em relação a qualquer eixo de 
forma que esse eixo seja paralelo a um eixo passando pelo centroide da área. 
Assim, a equação matemática diz que o momento de inércia para uma determinada 
área em relação a um eixo é igual ao seu momento de inércia em relação a um eixo 
paralelo, passando pelo centroide da área, mais o produto realizado pela área e o 
quadrado da distância. Lembrando que essa distância deve ser perpendicular entre 
os eixos. Esse Teorema pode ser aplicado também quando se tem áreas compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
 
BEER, F.P.; JOHNSTON, R.E.; MAZUREK, D. F.; EISENBERG, E.R. Mecânica 
vetorial para engenheiros: Estática. Porto Alegre: Bookman, 1994-2012. v.1. (Minha 
Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 12°edição. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall. 2011. (Minha Biblioteca) 
 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia; tradução Daniel Vieira. 
14°edição. São Paulo: Pearson Education do Brasil. 2017. (Biblioteca Virtual) 
 
RIBEIRO, M. A. A. Flexões (Seções Compostas). Resistência dos Materiais. 
Professor do Departamento de Engenharia Civil da Universidade do Grande Rio, 
2016.