Lista 1 - Confiabilidade

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Universidade Federal do ABC 
 
 
 
 
Disciplina: EN3722 - Confiabilidade de Componentes e Sistemas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor: Pedro Sérgio Lima 
 
 
Lista 1 - Fundamentos de Confiabilidade 
 
 
 
 
Murilo Bondezan Guimarães 11018415 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Santo André -SP 
2020 
 
1 - Enunciado e Dados 
 
O enunciado está transcrito abaixo: 
“Determine o Histograma, a função de densidade de probabilidade, a 
probabilidade de falha acumulada e a confiabilidade para cada uma das 
tabelas de tempo de quebra 1.7 a 1.10. Faça também o gráfico de cada 
uma das funções” 
 ​Tabela 1: Tabela 1.7 fornecida pelo professor 
 ​Tabela 2: Tabela 1.8 fornecida pelo professor 
 ​Tabela 3: Tabela 1.9 fornecida pelo professor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ​ ​Tabela 4: Tabela 1.10 fornecida pelo professor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - Metodologia 
 
A partir do enunciado, foi determinado o que era necessário analisar 
para cada pedido do mesmo. São eles: 
 
2.1 Histograma 
 
Com base nos dados fornecidos, os parâmetros do histograma foram 
setados seguindo a aula teórica. 
O número de classe foi encontrado utilizando a equação 1 
 
 N ≃ √Qtd 
Equação 1: Relação entre número de classes e Quantidade de dados 
 
Com o valor N sendo inteiro e o número de dados sendo 50, a 
aproximação fica com 7 classes no total. 
O maior valor e o menor valor foram encontrados em cada um dos 
intervalos. 
Para determinar o intervalo das classes, o menor valor foi subtraído do 
maior valor e o resultado foi dividido pelo número de classes. Assim 
como mostrado na equação 2. 
 
 
 Intervalo = N
(V máx − V mín) 
 Equação 2: Definição do intervalo 
 
Com o número de classes definido bem como o intervalo, os 
histogramas foram montados separando a quantidade de horas por 
intervalo determinado. 
 
2.2 Probabilidade Intervalar 
 
A probabilidade intervalar foi feita com base no histograma. A 
quantidade de dados por intervalo foi dividida pelo valor total de dados. 
Os resultados mostram a semelhança entre o histograma e a 
probabilidade intervalar. 
 
 
2.3 Densidade de Probabilidade 
 
A densidade de probabilidade foi encontrado pela razão da 
probabilidade intervalar e o valor do intervalo. Com o gráfico da função 
sendo encontrado, a função foi determinada com o auxílio da ferramenta 
do excel. 
As funções que melhor se enquadraram aos pontos do gráfico foram 
funções polinomiais de 6° grau. As funções tiveram conscientes baixos 
devido ao valor da densidade ser baixo. 
O gráfico mostra a semelhança entre a densidade de probabilidade, o 
histograma e a probabilidade intervalar. 
 
2.3 Probabilidade de falha acumulada 
 
A probabilidade de falha acumulada foi feita somando o valor do 
intervalo com o intervalo anterior e acumulando este valor. 
As funções que melhor se enquadraram nos gráfico foram funções 
polinomiais de 3° grau. 
Aproximações com funções lineares tinham um erro pequeno para os 
valores iniciais, mas para valores maiores possuíam um erro 
considerável. 
 
2.4 Confiabilidade 
 
A confiabilidade do item é encontrada subtraindo o erro acumulado de 
100%. Assim, o gráfico fica complementar ao erro acumulado como 
pode ser observado nos resultados. 
As funções foram encontradas de forma similar às funções de erro 
acumulado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 - Resultados e Discussões 
 
A partir da tabela 1.7 os seguintes dados foram encontrados: 
Tabela 5: Dados Obtidos com os valores da Tabela 1.7 
 
 Gráfico 1: Histograma com 7 classes Gráfico 2: Probabilidade de Ocorrência 
 com intervalo de 34 horas de cada classe 
 
 
 
 
 A função de densidade foi encontrada 
com o menor erro como uma função 
polinomial de 6° grau. 
 
 F(x) = 9E-16x6 - 2E-12x5 + 2E-09x4 - 
7E-07x3 + 0.0002x2 - 0.0215x + 1 
 
 
 
Gráfico 3: Densidade de probabilidade x Tempo de quebra[h] h ] [ −1 
 Gráfico 4: Probabilidade de Gráfico 5: Confiabilidade x 
 falha x tempo de quebra [h] tempo de quebra [h] 
As funções de probabilidade de falha acumulada e confiabilidade são as 
seguintes 
 
Falha: F(x) = -7E-08x3 + 7E-05x2 - 0.0236x + 2.3236 
Confiabilidade: F(x) = 7E-08x3 - 7E-05x2 + 0.0236x - 1.3236 
 
Nota-se que as funções possuem diferença apenas nos termos 
independentes. Ambas foram aproximadas utilizando o mesmo método, 
considerando a pequena diferença entre elas, podem ser consideradas 
como complementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da tabela 1.8 os seguintes dados foram encontrados: 
Tabela 6: Dados Obtidos com os valores da Tabela 1.8 
 
 Gráfico 6: Histograma com 7 classes Gráfico 7: Probabilidade de Ocorrência 
 com intervalo de 4 horas de cada classe 
 
 
 
 
 
A função de densidade foi encontrada com 
o menor erro como uma função polinomial 
de 6° grau(Esta apresentou o maior erro de 
todas) 
 
 F(x) = 4E-08x6 - 3E-05x5 + 0.0084x4 - 
1.3446x3 + 120.58x2 - 5758.8x + 114438 
 
 
 
Gráfico 8: Densidade de probabilidade x Tempo de quebra[h] h ] [ −1 
 Gráfico 9: Probabilidade de Gráfico 10: Confiabilidade x 
 falha x tempo de quebra [h] tempo de quebra [h] 
 
As funções de probabilidade de falha acumulada e confiabilidade são as 
seguintes 
 
Falha: F(x) = 1E-07x​3​ + 8E-05x​2​ - 0.0158x 
Confiabilidade: F(x) = -1E-07x​3​ - 0.0003x​2​ + 0.0408x 
 
Ambas as funções possuem o primeiro termo da função com sinais 
trocados, os demais termos são de magnitude diferente. 
Neste caso, as funções não se comportam como compostas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da tabela 1.9 os seguintes dados foram encontrados: 
 
Tabela 7: Dados Obtidos com os valores da Tabela 1.9 
 
 Gráfico 11: Histograma com 7 classes Gráfico 12: Probabilidade de Ocorrência 
 com intervalo de 45 horas de cada classe 
 
 
 
 
 
A função de densidade foi encontrada 
com o menor erro como uma função 
polinomial de 5° grau(A função de sexto 
grau ficou com maior erro). 
 
 F(x) = -1E-17x5 - 4E-12x4 + 3E-09x3 - 
1E-06x2 + 1E-04x 
 
 
 
Gráfico 13: Densidade de probabilidade x Tempo de quebra[h] h ] [ −1 
 Gráfico 14: Probabilidade de Gráfico 15: Confiabilidade x 
 falha x tempo de quebra [h] tempo de quebra [h] 
 
As funções de probabilidade de falha acumulada e confiabilidade são as 
seguintes 
 
Falha: F(x) = -1E-08x3 + 8E-06x2 + 0.0015x 
Confiabilidade: F(x) = 1E-08x3 - 1E-05x2 - 0.0011x + 0.9749 
 
Ambas as funções possuem o primeiro termo da função com sinais 
trocados, os demais termos são de magnitude diferente. 
Estas duas funções foram as mais lineares encontradas. Excluindo o 
último ponto ou aceitando um erro grande, ambas podem ser descritas 
como lineares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da tabela 1.10 os seguintes dados foram encontrados: 
Tabela 8: Dados Obtidos com os valores da Tabela 1.10 
 
 Gráfico 16: Histograma com 7 classes Gráfico 17: Probabilidade de Ocorrência 
 com intervalo de 4.5 horas de cada classe 
 
 
 
 
A função de densidadefoi encontrada com 
o menor erro como uma função polinomial 
de 5° grau(A função de sexto grau ficou 
com maior erro). 
 
F(x) = -4E-08x5 + 5E-06x4 - 0.0002x3 + 
0.0047x2 - 0.0422x + 0.144 
 
 
 
Gráfico 18: Densidade de probabilidade x Tempo de quebra[h] h ] [ −1 
 Gráfico 19: Probabilidade de Gráfico 20: Confiabilidade x 
 falha x tempo de quebra [h] tempo de quebra [h] 
 
As funções de probabilidade de falha acumulada e confiabilidade são as 
seguintes 
 
Falha: F(x) = -3E-05x3 + 0.0021x2 - 0.0165x + 0.0407 
Confiabilidade: F(x) = 3E-05x3 - 0.0021x2 + 0.0165x + 0.9593 
 
Nota-se que as funções possuem diferença apenas nos termos 
independentes. Ambas foram aproximadas utilizando o mesmo método, 
considerando a pequena diferença entre elas, podem ser consideradas 
como complementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 - Fontes 
 
http://en3722.blogspot.com/search?updated-max=2020-05-27T06:11:00
-07:00&max-results=1&start=3&by-date=false​ acessado em 22/09/2020 
às 14:30. 
http://en3722.blogspot.com/search?updated-max=2020-05-27T06:11:00-07:00&max-results=1&start=3&by-date=false
http://en3722.blogspot.com/search?updated-max=2020-05-27T06:11:00-07:00&max-results=1&start=3&by-date=false