Prova temas estatistica

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Instituto de Pesquisas 
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Serviço de Radioproteção 1
01) Durante o levantamento radiométrico de uma instalação,
um determinado ponto exibiu os seguintes valores para as
medições, expressos em Gy (microgray):
X1 = 1,35; X2 = 1,30; X3 = 1,29; X4 = 1,10; X5 = 1,40; e
X6 = 0,90
O resultado expresso pelo valor médio e pelo desvio padrão
(X  S) será:
a) 1,22  0,50 Gy
b) 1,22  0,19 Gy
c) 1,22  0,08 Gy
d) 1,22  0,03 Gy
e) 1,04  0,25 Gy
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Serviço de Radioproteção 2
Pode-se trabalhar com a contagem média realizando a soma
de todas as contagens dividindo-a pelo número de vezes em
que a contagem foi realizada de acordo com
N
n
n

=
X1 = 1,35; X2 = 1,30; X3 = 1,29; X4 = 1,10; X5 = 1,40; e X6 = 0,90
22,1
6
34,7
===

N
n
n
Desvio padrão é uma maneira de avaliar a incerteza de um
valor pela quantificação da largura de uma curva de
distribuição. Um desvio padrão pequeno significa que tanto os
dados como o valor médio calculado para os dados é muito
mais confiável.
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Serviço de Radioproteção 3
Determinação do Desvio Padrão para uma Série de Medidas
de Contagem
Os dados são mais confiáveis se for apresentada uma série de
medidas para a mesma amostra. Neste caso, o valor médio é
obtido fazendo a soma das leituras de contagem dividida pelo
número de contagens e assim o cálculo do desvio padrão torna-se
mais complexo.
 
1 N
 2)n - (n
 = 
−


X1 = 1,35; X2 = 1,30; X3 = 1,29; X4 = 1,10; X5 = 1,40; e X6 = 0,90
22,1=x
{(1,35-1,22)2 + (1,30 – 1,22)2 + (1,29 – 1,22)2 + (1,22 – 1,10)2
+ (1,40 – 1,22)2 + (1,22 – 0,90)2}
= {0,0169 + 0,0064 + 0,0049 + 0,0144 + 0,0324+ 0,1024} = 
= 0,1774
188,003548,0
5
0,1774
 
1 N
 2)n - (n
 = ===
−


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02) Um detector proporcional, com eficiência de 18%, analisa
uma amostra e obtém as seguintes contagens em um
minuto:
215; 230; 217; 222; 228; 224; 228; e 234.
Sabendo que a atividade da fonte é 23 Bq, calcule o percentual
do desvio da exatidão.
a) 0,387
b) 0,431
c) 1,03
d) 10,14 
e) 4,30
75,224
8
1798
===

N
n
n
52,6 
1 N
 2)n - (n
 = =
−


Bq
xEt
n
AL 81,20
8,10
75,224
18,060
75,224
.
====
Exatidão = Grau de concordância entre o resultado da
medição e o valor verdadeiro convencional da grandeza
medida. O uso do termo precisão no lugar de exatidão deve
ser evitado.
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Serviço de Radioproteção 5
Incerteza = Estimativa caracterizando a faixa de valores
dentro da qual se encontra o valor verdadeiro da grandeza
medida. A incerteza da medição compreende, em geral,
muitos componentes. Alguns desses componentes podem ser
estimados com base na distribuição estatística dos resultados
das séries de medições e caracterizados por um desvio padrão
experimental. A estimativa dos outros componentes somente
pode ser avaliada com base na experiência ou em outras
informações.
Percentual do desvio da exatidão.
095,0905,01
23
81,20
11 =−=−=−=
A
A
E L
E% = 0,095 x 100 = 9,5%
Erro Relativo
• O erro relativo é utilizado para definir a precisão de uma
medida.
• Pode ser medido pela razão da incerteza pelo valor verdadeiro.
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Serviço de Radioproteção 6
03) Um detector marca as contagens radioativas de uma fonte
a cada minuto. Os valores dessas contagens são bem
definidos, representados estatisticamente por uma
distribuição:
a) do qui-quadrado, pois a distribuição dos valores não é
simétrica em relação à média;
b) normal, uma vez que os valores das contagens representam
uma distribuição contínua;
c) binomial, pois dada a meia vida do elemento químico,
sabemos a probabilidade do mesmo desintegrar-se a cada
minuto;
d) de poisson, pois os valores da contagem são uma distribuição
discreta e não conhecemos o número de átomos da
amostra;
e) exponencial em função da desintegração radioativa.
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Serviço de Radioproteção 7
Distribuição Gaussian ou Normal (também pode ser
relacionada com os termos ‘distribuição binomial’ ou
‘distribuição de Poisson’. Para medidas de radioatividade, estas
formas de distribuição também podem ser consideradas desde
que as contagens sejam maiores que 30).
A distribuição de Poisson
a) é definida somente para números inteiros não negativos
b) é simétrica em relação à média
c) possui dois parâmetros livres
d) é aproximadamente igual a uma distribuição Gaussiana
quando a média é maior que 100
e) é apropriada para contagem de fontes puntiformes e
fontes extensas.
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Serviço de Radioproteção 8
DISTRIBUIÇÃO GAUSSIAN
• Uma distribuição Gaussian está relacionada com uma curva
em formato de sino, a qual é uniformemente distribuída ao
redor do valor médio como função do desvio padrão.
• A distribuição Gaussian é uma distribuição de dados ideal.
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
• Uma distribuição Poisson está relacionada com uma
distribuição de dados que produz uma curva em formato de
sino que pode não ser exatamente simétrica ao redor do valor
médio.
• Os resultados de múltiplas medidas de amostras num
dispositivo de detecção operando corretamente originará uma
distribuição Poisson.
• Todos os dados das amostras colhidos num experimento
nuclear são considerados pertencerem a uma distribuição
Poisson.
• O desvio padrão de uma distribuição Poisson é importante
devido as seguintes relações:
• 68% de todas as medidas estarão dentro do intervalo  1
• 95% de todas as medidas estarão dentro do intervalo de  2
• 99% de todas as medidas estarão dentro de  3
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Serviço de Radioproteção 9
Distribuição Binomial
• A distribuição (1) com p+q=1 é denominada distribuição
binomial.
• O número esperado, ou médio, de desintegrações no tempo t é
dado pelo valor médio m:

=
−
= −
==
N
n
nNn
n
N
n
qp
nNn
N
nPnm
00 )!(!
!
• O resultado da somatória é:
m=N p
• Observações repetidas de muitas séries de N átomos idênticos
durante um tempo t é esperada dar a distribuição
probabilística binomial Pn para o número de desintegrações n.
• Nas condições N>>1, N>>n, e p<<1 a distribuição binomial é
melhor representada com boa aproximação pela distribuição de
Poisson:
!n
em
P
mn
n
−
=
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Serviço de Radioproteção 10
• Geralmente, a distribuição de Poisson descreve o número de
sucessos para qualquer processo aleatório cuja probabilidade é
pequena e constante.
• A distribuição Binomial e Poisson torna-se indistinguível para
pequenos p.
Distribuição Normal
• Quando a probabilidade de decaimento p torna-se pequena e N
torna-se grande, as distribuições binomial e Poisson tendem a
aproximar-se da forma de uma distribuição normal.
• A distribuição Normal, definida para uma variável contínua, é
uma aproximação exata da distribuição binomial e Poisson N
grande, p pequeno, e |x-m|/m<<1.
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Serviço de Radioproteção 11
04) Uma fonte radioativa é contada por 1 minuto e registra
561 contagens. A fonte é removida e a contagem da
radiação de fundo registra 410 contagens em 1 minuto.
Qual é a taxa de contagem líquida devido somente a
fonte radioativa, e qual é o desvio padrão associado?
a) 151±12,3
b) 971±31,2
c) 151±31,2
d) 971±12,3
e) 971±151
cpm
t
N
Rcpm
t
N
R
b
b
b
sc
sc
sc 410561 ====
RL= Rsc – Rb = 561 – 410 = 151 cpm 
69,23
1
561
 
t
 R
 
sc
sc
===sc 25,20
1
410
 
t
 R
 
b
b
===b
16,3141056122 bscsclíquido =+=+= 
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Serviço de Radioproteção 12
Uma fonte é contada durante 1 minuto, resultando em 561
contagens. A contagem de fundo é de 410 contagens, no
mesmo período de tempo. O desvio padrão da contagem
líquida em 1 minuto será?
a) 24 contagens
b) 20 contagens
c) 12 contagens
d) 31 contagens
e) 42 contagens
cpm
t
N
Rcpm
t
N
R
b
b
b
sc
sc
sc 410561 ====
RL= Rsc – Rb = 561 – 410 = 151 cpm 
69,23
1
561
 
t
 R
 
sc
sc
===sc 25,20
1
410
 
t
 R
 
b
b
===b
16,31410561 22 bscsclíquido =+=+= 
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Serviço de Radioproteção 13
05) A contagem de uma amostra radioativa durante 10 minutos
foi de 1410, enquanto que a contagem da radiação de
fundo por 1 hora foi de 1980. Qual é a taxa de contagem
líquida, em cpm, devida somente a amostra radioativa e o
seu respectivo desvio padrão?
a) 108 ± 13,2
b) 108 ± 10,4
c) 141 ± 11,9
d) 108 ± 3,8
e) 108 ± 6,1
cpm
t
N
Rcpm
t
N
R
b
b
b
sc
sc
sc 33
60
1980
141
10
1410
======
RL= Rsc – Rb = 141 – 33 = 108 cpm 
75,31,14
10
141
 
t
 R
 
sc
sc
====sc 74,055,060
33
 
t
 R
 
b
b
====b
83,365,1655,01,14 22 bscsclíquido ==+=+= 
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Serviço de Radioproteção 14
A taxa de contagem de uma amostra radioativa, incluindo a
radiação de fundo é 1200 cpm. A taxa de contagem para a
radiação de fundo é 400 cpm. Qual é o desvio padrão
percentual da taxa de contagem líquida?
a) 2,5
b) 3,0
c) 3,5
d) 5,0
e) 6,8
cpm
t
N
Rcpm
t
N
R
b
b
b
sc
sc
sc 400
1
400
1200
1
1200
======
RL= Rsc – Rb = 1200 – 400 = 800 cpm 
64,341200
1
1200
 
t
 R
 
sc
sc
====sc 204001
400
 
t
 R
 
b
b
====b
4016004001200 22 bscsclíquido ==+=+= 
%5100
800
40
100 == xx
RL
sclíquido
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Serviço de Radioproteção 15
Determinação do Desvio Padrão da Amostra para uma 
Única Medida da Taxa de Contagem Corrigido para 
Radiação de Fundo
Quando determinamos a taxa de contagem de uma amostra
radioativa devemos levar em conta a taxa de contagem da
radiação de fundo de ocorrência natural. Portanto, quando for
determinar o desvio padrão líquido será necessário considerar
o desvio padrão para ambas as taxas de contagem, amostra e
radiação de fundo. Para fazer isto, primeiro necessita-se
determinar o desvio padrão associado com cada uma das taxas
de contagem para depois determinar o desvio padrão
acumulado. Isto é determinado do seguinte modo:
22
bscsclíquido  +=
 
t
 R
 
sc
sc
=sc 
t
 R
 
b
b
=b
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Serviço de Radioproteção 16
06) Uma amostra radioativa forneceu as seguintes 15
contagens:
Amostra (cps)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
400 410 395 390 430 450 350 370 380 440 420 340 360 435 405
Pergunta-se: Quais valores das contagens acima que se
encontram fora do intervalo (grau) de confiança de
95%?
a) 340, 350, 360, 370, 420, 430, 435, 440, 450
b) 340, 350, 360, 370, 440, 450
c) 340, 350, 360, 435, 440, 450
d) 340, 350, 440, 450
e) Todas as contagens se encontram dentro do intervalo de
confiança de 95%.
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Serviço de Radioproteção 17
Nível de Confiança e Erro Padrão
Quando estamos tratando de medidas de materiais radioativo, é
importante ter em conta a possibilidade de ocorrência de erros na
medida. Isto é feito apresentando a medida para um certo nível
de confiança que está baseado nos diferentes números de desvio
padrão. Por exemplo, se apresentarmos a medida dentro de um
desvio padrão, temos a confiança que a medida estará dentro
deste intervalo 68% do tempo. Assim, este intervalo é conhecido
como o nível de confiança de 68% (ou 1). Este nível de
confiança de 68% também é conhecido como o erro padrão da
média já que ele é o erro associado com um desvio padrão.
Níveis de Confiança
Nível de Confiança
(%)
Número de Desvios 
Padrões
50 0,7
68 1,0
90 1,6
95 2,0
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Amostra (cps)
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15
400 410 395 390 430 450 350 370 380 440 420 340 360 435 405
33,398
15
5975
===

N
n
n 62,33 
1 N
 2)n - (n
 = =
−


62,33233,3982%95 xx == 
331,09 até 465,57
Menor valor nas 15 medidas = 340
Maior valor nas 15 medidas = 450
Todos no intervalo de 2
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Serviço de Radioproteção 19
07) O seguinte conjunto de medidas foi obtido 65, 68, 64, 59,
68, 61, 59, 64, 64, 62. Determine a média e o erro dado
para o nível de confiança de 95%.
a) 63  2
b) 63  3
c) 92  1
d) 92  3
e) 63  1
Se for feita mais que uma medida o valor do erro padrão
será diminuído quanto mais medidas forem feitas dando
um resultado mais próximo da média verdadeira. Neste
caso, o erro padrão (isto é, para o nível de confiança de
68% ou 1) é dado por:
N
E

=
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Serviço de Radioproteção 20
N
n
=n
 
1 N
 2)n - (n
 = 
−

 N
E

=
n 65 68 64 59 68 61 59 64 64 62
1,6 4,6 0,6 -4,4 4,6 -2,4 -4,4 0,6 0,6 -1,4
2,56 21,16 0,56 19,36 21,16 5,76 19,36 0,36 0,36 1,96
nn −
( )2nn−
( )
( )
02,2
16,3
4,6
10
4,62
4,62
2,3
1
4,92
4,63
2
2
====
=
=
−
−
=
=−
=


N
E
N
nn
nn
n



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Serviço de Radioproteção 21
08) Uma fonte radioativa é contada por 2 minutos e registra
1232 contagens. A fonte é removida e a contagem da
radiação de fundo registra 316 contagens em 1 minuto.
Qual é a taxa líquida devida somente à fonte radioativa e
qual o desvio padrão associado?
a) 299  35
b) 300  17
c) 300  35
d) 916  30
e) 916  17
cpm
t
N
Rcpm
t
N
R
b
b
b
sc
sc
sc 316
1
316
616
2
1232
======
RL= Rsc – Rb = 616 – 316 = 300 cpm 
55,17308
2
616
 
t
 R
 
sc
sc
====sc 77,173161
316
 
t
 R
 
b
b
====b
98,24624316308 22 bscsclíquido ==+=+= 
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Serviço de Radioproteção 22
09) Quanto tempo uma amostra cuja taxa de contagem é 300
cpm deve ser contada para proporcionar um desvio
padrão para taxa de contagem total de 1%?
a) 3,5 minutos
b) 17 minutos
c) 30 minutos
d) 33 minutos
e ) 65 minutos
%1100 =x
RL
sclíquido
sc=300x1/100 = 3
utost
tt
sc
sc
min33,33
9
300
300
9
300
t
300
 
t
 R
 
2
==
==
==


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Serviço de Radioproteção 23
10) Das seguintes assertivas qual dela não se aplica a uma
distribuição de Poisson?
a) simétrica
b) os experimentos separados são independentes
c) quando o tamanho do intervalo fica menor a probabilidade dos
sucessos se aproxima de zero.
d) em algumas circunstâncias a distribuição de Poisson pode
aproximar-se da distribuição binomial
e) a probabilidade de sucessos num intervalo é igual entre
intervalos de mesmo tamanho e proporcional ao tamanho do
intervalo.
A distribuição de Poisson é assimétrica para valores médios
pequenos, e quase simétrica para valores médios grandes.
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Serviço de Radioproteção 24
A distribuição de Poisson se aplica a experimentos que envolvem
a contagem, onde a medida n é o número de ocorrências de um
certo evento. Por exemplo, n poderia representar o número de
raios gama medidos possuindo uma energia entre E e E+E.
Estas ocorrências são verdadeiramente aleatórias e não
dependem do histórico de medidas anteriores, este é o caso do
decaimento radioativo.
A distribuição de Poissonpode ser usada por aproximação por
uma distribuição binomial desde que o número de eventos n > 100
e np < 10. Ou seja, o número de eventos independentes deve ser
grande e a probabilidade de sucesso deve ser pequena.
A distribuição de Poisson se aproxima de uma distribuição
Gaussian ou Normal especialmente em contagens acumuladas
muito grandes.
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Serviço de Radioproteção 25
Exigências para uma distribuição Binomial 
1. O procedimento tem que ter número de eventos fixos
2. Os eventos devem ser independentes
3. Cada evento deve possuir todas as entradas classificadas em duas
categorias
4. As probabilidades devem permanecerem constantes para cada
evento
Distribuição de Poisson 
É uma distribuição probabilística discreta que é aplicada a
ocorrências de eventos durante um intervalo especifico.
A variável aleatória x é um número de ocorrências do evento
durante o intervalo.
O intervalo pode ser dimensionado em termos de tempo, distância,
área, volume ou unidades similares.
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Serviço de Radioproteção 26
Exigências para uma distribuição de Poisson
Variável aleatória x é o número de ocorrências do evento num
certo intervalo;
A ocorrência deve ser aleatória;
As ocorrências devem ser independentes uma em relação a
outra;
As ocorrências devem estar distribuídas uniformemente no
intervalo usado;
A média é ;
O desvio padrão é
A distribuição de Poisson varia em relação a uma distribuição
binomial como segue:
A binomial é afetada pelo tamanho da amostra n e pela
probabilidade p, já a Poisson é afetada somente pela média 
Na binomial, os valores possíveis da variável aleatória x são
0, 1,…n; já na Poisson, os valores possíveis de x são 0, 1,
2,…sem nenhum limite superior.
 =
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