Radiação Gama e Estatística de Poisson (nota 9)

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Radiação Gama e Estatística de Poisson 
Absorção de Raios Gama e Lei da Distância 
 
O objetivo do experimento é verificar se a estatística de Poisson pode ser aplicada para 
analisar a detecção de radiação gama proveniente de uma fonte de cobalto-60. Para a primeira 
parte do experimento foi possível verificar que o fenômeno de emissão de radiação gama pelo 
Cobalto-60 pode ser descrito, de maneira satisfatória, pela estatística de Poisson. 𝜒2 = 95,25, 
𝛿𝑚/𝜎 ≅ 0,82 , √𝑚 ≅ 14,38 e cerca de 84,69% dos resultados estão entre 𝑚 = 205,19 ±
23,90. Para a segunda parte o experimento demonstrou baixa eficácia para a absorção de raios 
gama por materiais de variadas composições, os erros relativos se demonstraram muito maiores 
que o esperado 𝑏 ≅ −0,898 ± 0,039 erro de 55,1%. Para a absorção em função da espessura 
os valores experimentais obtidos foram respectivamente 𝜇𝑎 = 0,0129 ± 0,0028 𝑐𝑚
−1 e 𝜇𝑐 =
0,0272 ± 0,0034 𝑐𝑚−1 e os erros foram respectivamente de 83,5% e 95,6%. 
 
Introdução 
Os raios gama, também chamados de radiação gama, são um tipo de radiação 
eletromagnética de alta frequência, que tem alto poder de penetração na matéria. Produzida 
geralmente por elementos radioativos, processos subatômicos como a aniquilação de um par 
pósitron e elétron. 
 
Figura 1: Emissão de raios gama a partir do núcleo atômico 
 Este é um experimento sobre a estatística de eventos aleatórios, ou seja, a ocorrência de 
qualquer evento não afeta a ocorrência de outro. Os eventos estudados serão pulsos de um 
detector de radiação Geiger-Müller exposto a raios-γ de uma fonte radioativa de cobalto-60. 
 Um processo aleatório contínuo é chamado de estacionário com uma taxa média m se 
lim
𝑇→∞
(
𝑁
𝑇
) = 𝑚 (1) 
onde N é o número de eventos acumulados num intervalo de tempo T. 
 Para julgar se um certo processo tem uma taxa que é estacionária na escala de tempo do 
próprio experimento, precisamos fazer medidas repetidas do número de contagens 𝑛𝑖 em 
intervalos de tempo 𝑡𝑖 determinar se há uma tendência nos valores sucessivos de 
𝑛𝑖
𝑡𝑖
 . Como é 
certo que essa taxa flutuará, precisamos conhecer qual é a distribuição do número de contagens 
num intervalo fixo de tempo. Essa distribuição é a distribuição de Poisson, definida pela 
equação 
𝑝𝑚,𝑛 =
𝑚𝑛. 𝑒−𝑚
𝑛!
 (2) 
que é a probabilidade de registrar n contagens (sempre um inteiro) quando m (geralmente um 
não-inteiro) for o número esperado, isto é, a taxa média vezes o intervalo de tempo de contagem. 
Para grandes valores de m pode se usar a aproximação gaussiana para a expressão de Poisson: 
lim
𝑚→∞
𝑝𝑚,𝑛 = (2𝜋𝑚)
−1/2 . 𝑒−(𝑛−𝑚)
2/2𝑚 (3) 
Neste experimento, um contador Geiger-Müller será exposto à radiação gama de uma fonte 
radioativa de Co-60 e registrará a frequência de contagens em intervalos iguais de tempo. As 
distribuições experimentais e seus desvios padrões serão comparados com distribuições e 
desvios padrões teóricos. 
 
Figura 2: Esquema de um contador Geiger-Müller. 
 O objetivo desse trabalho é aplicar a estatística de Poisson para analisar a detecção de 
radiação gama proveniente de uma fonte de cobalto-60. 
 A lei do inverso do quadrado é demonstrada com a radiação gama pela preparação do 
𝐶𝑜60 , a metade do valor da espessura e o coeficiente de absorção de vários materiais 
determinados pelo sistema de feixe estreito e a atenuação de massa correspondente calculada. 
O isótopo do cobalto 𝐶𝑜27
60 tem meia-vida de 5,26 anos e sofre decaimento beta para produzir o 
isótopo estável de níquel 𝑁𝑖28
60 , representado na figura 3. 
 
Figura 3: Diagrama do 𝐶𝑜27
60 . 
Como ocorre com a maioria dos emissores beta, a desintegração leva inicialmente a 
núcleos filhos em um estado excitado, que mudam para o estado fundamental com a emissão 
de gama quanta. 
Considerando que os níveis de energia dos elétrons beta podem assumir qualquer valor 
até o máximo por causa dos antineutrinos envolvidos, os gamas quanta que participam do 
mesmo processo de transição possuem energia uniforme, com o resultado que o espectro gama 
consiste em dois discretos, linhas agudas. 
A taxa de contagem de impulso �̇�(𝑟) por área A em torno de um ponto-fonte diminui 
na proporção inversa ao quadrado da distância, desde que os gama quanta possam se espalhar 
em linhas retas e não sejam desviados de sua trilha por interações. 
𝑟2 = 2𝑟1 𝐴2 = 4𝐴1 
𝐴2 = 𝐴1. (
𝑟2
𝑟1
)
2
 (4) 
 A razão para isso é que, como mostra a figura 4, a área de uma esfera ao redor da fonte 
com a passagem de um feixe de raios aumenta com o quadrado da distância r. 
 
Figura 4: Lei da distância relativa aos raios que se propagam em linha reta a partir de uma fonte pontual. 
 A atenuação dos raios gamas após passarem por um absorvedor de espessura d é 
expressa pela lei exponencial: 
�̇�(𝑑) = �̇�(𝑜). 𝑒−𝜇𝑑 (5) 
Onde �̇�(𝑑) é a taxa de contagem de impulso após a absorção no absorvedor, �̇�(𝑜) é a taxa de 
contagem de impulso quando nenhuma absorção ocorre, 𝜇 é o coeficiente de absorção do 
material absorvente e depende da energia do quantum gama. 
A absorção dos raios gama é provocada por três efeitos independentes: o efeito Compton, o 
efeito fotoelétrico e a formação de pares. As contribuições relativas desses três efeitos para a 
absorção total dependem principalmente da energia dos quanta e do número atômico do 
absorvedor. 
 
Procedimento Experimental 
 Parte 1 
 O aparato experimental a ser utilizado neste experimento está ilustrado na figura 5. Ele 
consiste de um detector Geiger-Müller, uma fonte radioativa de cobalto-60 e uma capela com 
suporte para a fonte e o tubo do contador. 
 
Figura 5: Aparato experimental utilizado nesta experiência. 
 Foi montado, no interior da capela e usando o suporte apropriado, a fonte de Co-60 e o 
tubo do contador Geiger-Müller. Após isto foi ajustada a distância entre eles para obter uma 
taxa de contagens de aproximadamente 200 cpm (contagens por minuto) e foram realizadas 100 
medidas com tempo de contagem fixo de um minuto. 
 Parte 2 
 Utilizando uma fonte radioativa de Co-60, um tijolo de chumbo com um orifício no 
centro, um contador Geiger-Müller, duas placas com diferentes espessuras feitas de acrílico e 
chumbo, foram realizadas as seguintes etapas: mediu-se a radiação de fundo com o contador 
Geiger-Müller durante 10 minutos, após isto usando a fonte de Co-60 mediu-se a absorção. 
Primeiro mediu-se a absorção em função da distância para 14 valores com aumento de 1 cm, 
medidos durante 2 minutos para cada aumento. A segunda e terceira medição foram feitas em 
função da espessura, segunda do acrílico e terceira do chumbo, ambas medidas por 2 minutos 
para 7 diferentes valores de espessura, variando de 5 em 5 mm. 
 
Resultados e Discussão 
Parte 1 
 Com os dados da tabela 1, foi calculada a média acumulada 𝑟𝑐(𝑗) a partir da seguinte 
expressão: 
𝑟𝑐(𝑗) =
∑ 𝑐𝑖
𝑗
𝑖=1
∑ 𝑡𝑖
𝑗
𝑖=1
 (6) 
 
Tabela 1: Medidas de contagem 
 O gráfico da média acumulada em função do número sequencial j da contagem pode ser 
visto no gráfico a seguir: 
 
Gráfico 1: Gráfico da média acumulada pelo o número de contagens. 
Evento Contagem Evento Contagem Evento Contagem Evento Contagem
1 196 27 192 52 202 77 176
2 230 28 200 53 207 78 193
3 183 29 239 54 190 79 202
4 205 30 182 55 233 80 206
5 197 31 190 56 215 81 210
6 215 32 204 57 226 82 214
7 218 33 178 58 184 83 198
8 230 34 217 59 213 84 197
9 180 35 190 60 218 85 222
10 210 36 202 61 232 86 232
11 207 37 196 62 173 87 211
12 194 38 204 63 219 88 207
13 232 39 185 64 222 89 202
14 222 40 205 65 215 90 199
15 220 41 221 66 211 91 198
16 198 42 187 67 205 92 230
17 197 43 203 68 191 93 220
18 216 44 206 69 186 94 218
19 199 45 208 70 234 95 204
20 210 46 191 71 213 96 209
21 209 47 193 72 191 97 242
22 228 48 186 73 227 99 214
23 229 49 214 74 190 100 232
24 218 50 186 75 191
25 19851 201 76 210
Experimento – Estatística de Poisson
185
190
195
200
205
210
215
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97
Média Acumulada
 A forma de descobrir se o sistema detecção contador Geiger-Müller está funcionando 
bem, que na verdade é verificar se o resultado obedece a estatística de Poisson, é por meio do 
teste do 𝜒2. Para a distribuição de Poisson o 𝜒2 é dado pela equação 7: 
𝜒2 = ∑
(𝑟𝑖 − 𝑚)
2
𝑚
 (7) 
Onde m é o valor médio da taxa de contagem dos 81 primeiros termos, que é definido da 
seguinte forma: 
𝑚 =
1
𝑗
∑ 𝑐𝑖
𝑗
𝑖=1
 (8) 
 O valor que encontramos foi: 𝑚 = 205,19 ± 23,90. 
 O valor considerado satisfatório para o 𝜒2 seria se o mesmo estivesse entre 64,3 e 96,6, 
que corresponde respectivamente à probabilidade de 90% e 10%. O valor obtido do 𝜒2 para as 
81 primeiras medidas foi de 95,25, o que é um valor razoável e, portanto, o contador é 
satisfatório para a detecção da radiação gama emitida pela fonte radioativa de Cobalto-60. 
 Usando o valor médio de todos os 98 valores (inicialmente eram 100, mas 2 foram 
descartados pelo teste de Chauvenet), foi calculado o desvio padrão e o desvio médio, definidos 
respectivamente pelas equações 9 e 10. 
𝜎 = √
∑ (𝑟𝑖 − 𝑚)2
𝑛
𝑖=1
(𝑛 − 1)
 (9) 
𝛿𝑚 =
∑ |𝑐𝑖 − 𝑚|
𝑛
𝑖=1
𝑛
 (10) 
 Os valores encontrados foram: 𝜎 ≅ 15,65 e 𝛿𝑚 ≅ 12,82. Cerca de 84,69% dos 
resultados estão entre 𝑚 = 205,19 ± 23,90, que é um valor superior aos 68,3% teórico. A 
razão 𝛿𝑚/𝜎 ≅ 0,82 que é um valor próximo da razão 4/5 que também é um dos indicadores 
que a contagem obedece a distribuição de Poisson. Na distribuição de Poisson ao se extrair a 
raiz da média deve se encontrar um valor próximo do desvio padrão, foi encontrado o valor 
√𝑚 ≅ 14,38, valor satisfatoriamente próximo de 𝜎. 
 Na tabela 2 estão as contagens e seus respectivos desvios do valor médio. 
 
Tabela 2: Desvio do valor médio das contagens. 
 Foi realizado um histograma da contagem, agrupando de 5 em 5 as ocorrências, 
juntamente com o ajuste de Poisson. O gráfico 2 é o histograma onde é possível se perceber que 
a distribuição experimental, se comportou levemente próxima do modo esperado com relação 
a distribuição de Poisson. 
 
Desvio Contagem Desvio Contagem Desvio Contagem Desvio Contagem
-10,68 196 -14,68 192 -4,68 202 -30,68 176
23,32 230 -6,68 200 0,32 207 -13,68 193
-23,68 183 32,32 239 -16,68 190 -4,68 202
-1,68 205 -24,68 182 26,32 233 -0,68 206
-9,68 197 -16,68 190 8,32 215 3,32 210
8,32 215 -2,68 204 19,32 226 7,32 214
11,32 218 -28,68 178 -22,68 184 -8,68 198
23,32 230 10,32 217 6,32 213 -9,68 197
-26,68 180 -16,68 190 11,32 218 15,32 222
3,32 210 -4,68 202 25,32 232 25,32 232
0,32 207 -10,68 196 -33,68 173 4,32 211
-12,68 194 -2,68 204 12,32 219 0,32 207
25,32 232 -21,68 185 15,32 222 -4,68 202
15,32 222 -1,68 205 8,32 215 -7,68 199
13,32 220 14,32 221 4,32 211 -8,68 198
-8,68 198 -19,68 187 -1,68 205 23,32 230
-9,68 197 -3,68 203 -15,68 191 13,32 220
9,32 216 -0,68 206 -20,68 186 11,32 218
-7,68 199 1,32 208 27,32 234 -2,68 204
3,32 210 -15,68 191 6,32 213 2,32 209
2,32 209 -13,68 193 -15,68 191 35,32 242
21,32 228 -20,68 186 20,32 227 7,32 214
22,32 229 7,32 214 -16,68 190 25,32 232
11,32 218 -20,68 186 -15,68 191
-8,68 198 -5,68 201 3,32 210
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0
2
4
6
8
10
12
14
Histograma das Contagens
Contagem poisson
Gráfico 2: Histograma da frequência de ocorrências. 
 Como procedimento final de análise de dados, utilizou-se o critério de Chauvenet para 
avaliar qual das medidas de contagem poderiam ser descartadas. Para isso utilizou-se a seguinte 
equação: 
𝑡 =
|𝑥𝑠𝑢𝑠 − �̅�|
𝜎
 (11) 
Caso t exceda 2,81 a medida 𝑥𝑠𝑢𝑠 poderá ser descartada. Neste caso foram descartadas duas 
medidas 𝑐26 = 160 e 𝑐98 = 262. Com o conjunto final de dados composto por 98 elementos, 
obtivemos o resultado final da contagem média e desvio padrão: 
𝑟 = 207 ± 16 
Parte 2 
 As contagens de radiação em função da distância e dos valores de absorção de raios 
gama em função das espessuras do acrílico e chumbo, estão descritos nas tabelas 3 e 4. 
 
 
Tabela 3: Radiação em função da distância 
 
 
Tabela 4: Radiação em função das espessuras. 
 Como foi pedido para a radiação de fundo ser desconsiderada, já que com a mesma 
haveriam números negativos que não permitiriam a execução do logaritmo. A construção do 
gráfico de 𝑁(𝑑) em escala logarítmica, utilizando uma regressão linear aplicada a expressão 
exponencial obteve uma reta com inclinação 𝑏 ≅ −0,898 ± 0,039 que é relativamente 
distante do valor teórico de −2. Um erro de 55,1%. 
𝑁(𝑟) = 𝑎𝑟𝑏 (12) 
d (cm) N d (cm) N
3 292 10 95
4 201 11 80
5 179 12 81
6 147 13 74
7 112 14 77
8 102 15 59
9 96 16 62
Lei da distância:
Acrílico Chumbo
x (mm) N N
1 289 197
5 276 162
10 302 122
15 278 115
20 239 100
25 224 95
30 200 86
Absorvedores
 
Gráfico 3: Intensidade da radiação em função da distância (log-log). 
 Para o segundo gráfico temos que 𝜇 = −𝑏, através da seguinte expressão exponencial: 
𝑁(𝑑) = 𝑎𝑒𝑏𝑑 (13) 
 Os valores teóricos para o acrílico e para o chumbo são respectivamente 𝜇𝑎 =
0,078 𝑐𝑚−1 e 𝜇𝑐 = 0,62 𝑐𝑚
−1, os valores experimentais obtidos foram respectivamente 𝜇𝑎 =
0,0129 ± 0,0028 𝑐𝑚−1 e 𝜇𝑐 = 0,0272 ± 0,0034 𝑐𝑚
−1 e os erros foram respectivamente de 
83,5% e 95,6%. 
 
Gráfico 4: Intensidade de radiação em função da espessura do material – Acrílico (Azul) e Chumbo (Laranja) 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Lo
g[
N
(r
)/
2
m
in
]
Log(r) (cm)
Lei da distância
0
20
40
60
80
100
120
140
160
0 5 10 15 20 25 30 35
N
/2
m
in
x (mm)
Intensidade de radiação
Acrílico - Chumbo
Conclusão 
 Para a primeira parte do experimento foi possível verificar que o fenômeno de 
emissão de radiação gama pelo Cobalto-60 pode ser descrito, de maneira satisfatória, pela 
estatística de Poisson. Essa conclusão foi revelada a partir dos testes realizados que 
demonstraram os seguintes resultados: O valor obtido do 𝜒2 para as 81 primeiras medidas foi 
de 95,25, o que é um valor razoável entre 64,3 e 96,6, que corresponde respectivamente à 
probabilidade de 90% e 10%. A razão 𝛿𝑚/𝜎 ≅ 0,82 que é um valor próximo da razão 4/5. E a 
raiz da média √𝑚 ≅ 14,38, valor satisfatoriamente próximo de 𝜎. Cerca de 84,69% dos 
resultados estão entre 𝑚 = 205,19 ± 23,90. 
Para a segunda parte, após analisar os dados e os gráficos construídos foi possível concluir que 
o experimento demonstrou baixa eficácia para a absorção de raios gama por materiais de 
variadas composições, os erros relativos se demonstraram muito maiores que o esperado, para 
o b relacionado a lei da distância 𝑏 ≅ −0,898 ± 0,039 que é relativamente distante do valor 
teórico de −2. Um erro de 55,1%. Para a absorção em função da espessura os valores teóricos 
para o acrílico e para o chumbo são respectivamente 𝜇𝑎 = 0,078 𝑐𝑚
−1 e 𝜇𝑐 = 0,62 𝑐𝑚
−1, os 
valores experimentais obtidos foram respectivamente 𝜇𝑎 = 0,0129 ± 0,0028 𝑐𝑚
−1 e 𝜇𝑐 =
0,0272 ± 0,0034 𝑐𝑚−1 e os erros foram respectivamente de 83,5% e 95,6%. 
 
Bibliografia 
J.F. CARVALHO, L.J.Q. MAIA, R.C. SANTANA. Física Experimental V (Experimento de 
Física Moderna). IF-UFG, Goiânia, GO, 2020.