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Exerćıcios para a Apostila
GET00143 - Teoria das Probabilidade II
Profa: Jessica Kubrusly
Caṕıtulo 1: Variáveis Aleatórias
1.1. Considere o seguinte experimento: dispositivos eletrônicos são selecionados, de forma
sequencial e ao acaso, e testados até que seja encontrado um cujo tempo de funcionamento
seja menor que 10 minutos, nesse momento o experimento é encerrado. Em cada item a
seguir uma variável aleatória é definida baseada neste experimento. Para cada uma delas
defina a sua imagem e em seguida classifique a variável aleatória como discreta ou não.
(a) X é o número de dispositivos testados.
(b) Y é o número de dispositivos que duraram mais de 30 min, entre todos os testados.
(c) Z é o maior tempo de funcionamento (em minutos) entre os dispositivos testados.
(d) W é igual a 1 se foram testados mais de 100 dispositivos e 0 caso contrário.
(e) Defina uma outra v.a., indique a sua imagem e classifique-a como discreta ou não.
1.2. Considere o experimento de lançar uma moeda 3 vezes.
(a) Defina um espaço amostral para esse experimento.
(b) Determine a probabilidade associada à cada elemento do espaço amostral.
Para esse experimento considere a variável aleatória X como a diferença entre o número
de caras e o número de coroas.
(c) Defina Im(X) e classifique X como v.a. discreta ou não.
(d) Encontre a função de distribuição de X e esboce seu gráfico.
1.3. Cada item a seguir apresenta a função de distribuição de alguma variável aleatória. Para
cada item faça o seguinte: (i) Defina Im(X); (ii) Diga se X é discreta ou não, justifique
sua resposta; (iii) Diga se X é cont́ınua ou não, justifique sua resposta.
(a) F (x) =

0 , x < −3;
1/3 , −3 ≤ x < −2;
2/3 , −2 ≤ x < 1;
1 , x ≥ 1.
(b) F (x) =

0 , x < 0;
x , 0 ≤ x < 1;
1 , x ≥ 1.
(c) F (x) =

0 , x < 0;
x/3 , 0 ≤ x < 1;
(x+ 1)/3 , 1 ≤ x < 2;
1 , x ≥ 2.
(d) F (x) =

0 , x < 0;
0, 2 , 0 ≤ x < 1/3;
0, 5 , 1/3 ≤ x < 2/3;
0, 8 , 2/3 ≤ x < 1;
1 , x ≥ 1.
1.4. Seja X uma variável aleatória com função distribuição definida por:
FX(x) =

0 , x < 0;
x2 , 0 ≤ x < 1;
1 , x ≥ 1.
(a) Desenhe o gráfico de FX e verifique as propriedades da função de distribuição.
(b) Classifique X como variável aleatória discretas ou cont́ınua.
(c) Defina a imagem da variável aleatória X.
(d) Calcule P(X > 0.3), P(X ≥ 0.3), P(X = 0.3), P(0.3 ≤ X ≤ 0.8).
1.5. Seja X uma variável aleatória com função distribuição definida por:
FX(x) =

0 , x < 1/2;
1/3 , 1/2 ≤ x < 1;
2/3 , 1 ≤ x < 3/2;
1 , x ≥ 3/2.
(a) Desenhe o gráfico de FX e verifique as propriedades da função de distribuição.
(b) Classifique X como variável aleatória discretas ou cont́ınua.
(c) Defina a imagem da variável aleatória X.
(d) Calcule P(X > 1), P(X ≥ 1), P(X = 1), P(1 ≤ X ≤ 2).
1.6. ([Magalhães, 2011] - Exerćıcio 5 - Seção 2.2)
Determine as constantes a e b, para que a função G seja função de distribuição de alguma
variável aleatória cont́ınua.
G(x) =

a− 2b , x < 0;
ax , 0 ≤ x < 1;
a+ b(x− 1) , 1 ≤ x < 2;
1 , x ≥ 2.
1.7. Seja Y v.a. com função de distribuição G definida no exerćıcio 1.6. acima.
(a) Esboce o gráfico de G.
(b) Defina a imagem da variável aleatória Y .
(c) Calcule P(Y > 1, 5) e P(0 < Y < 1, 5).
1.8. ([Magalhães, 2011] - Exerćıcio 7 - Seção 2.2)
A variável X tem função de distribuição dada por:
F (x) =

0, x < −1;
1/2, −1 ≤ x < 1/2;
3/4, 1/2 ≤ x < 2;
1, x ≥ 2.
(a) Classifique a variável X.
(b) Expresse P(X ≥ 0) e P(X > 0) em termos de F e calcule seus valores.
(c) Expresse P(X ≥ −1) e P(X > −1) em termos de F e indique os valores obtidos.
Comente sobre as diferenças em relação ao resultado do item (b).
1.9. ([Magalhães, 2011] - Exerćıcio 9 - Seção 2.2)
A variável X tem função de distribuição dada por:
F (x) =

0, x < 1;
1
c (1− e
−(x−1)), 1 ≤ x < 2;
1
c (1− e
−1 + e−2 − e−2(x−1)), x ≥ 2.
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Classifique a variável X.
(c) Determine P(X ≥ 32 | X < 4).
1.10. Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas. Prove as suas respostas.
(a) Se F é função de distribuição, então 2F também é.
(b) Se F é função de distribuição, então F 2 também é.
Caṕıtulo 2: Variáveis Aleatórias Discretas
2.1. ([Ross, 2010] - Probelma 4.1 - Caṕıtulo 4)
Duas bolas são selecionadas, de forma aleatória e sem reposição, de uma urna contendo 8
bolas brancas, 4 bolas pretas e 2 laranjas. Suponha que ganhamos R$ 2,00 por cada bola
preta selecionada e perdemos R$ 1,00 por cada bola branca. Seja X valor arrecadado
(ou perdido) depois de retirar as duas bolas. Quais os posśıveis valores de X e quais as
probabilidades associadas a cada um desses valores?
2.2. ([Ross, 2010] - Problema 4.3 - Caṕıtulo 4)
Três dados são lançados. Assumindo que cada uma das 63 = 216 sáıdas são igualmente
prováveis, encontre a função de probabilidade da variável aleatória X definida pela soma
dos valores dos três dados.
2.3. ([Ross, 2010] - Problemas 4.7 e 4.8 - Caṕıtulo 4)
Suponha o experimento de jogar dois dados. Para cada variável aleatória definida a seguir
determine a sua imagem, a sua função de probabilidade e a sua função de distribuição.
(a) X é o valor máximo entre as duas sáıdas.
(b) Y é a soma das duas sáıdas.
2.4. ([DeGroot e Schervish, 2012] - Exemplo 9 - pág.100)
Suponha que uma variável aleatória X tenha distribuição discreta dada pela função de
probabilidade
pX(x) =
{ c
2x
, x = 0, 1, 2, ...,
0, caso contrário.
Determine o valor da constante c.
2.5. ([Farias e Laurencel, 2008] - Exemplo 1.11 - pág.30)
O tempo T , em minutos, necessário para um operário processar certa peça é uma v.a.
discreta com função de probabilidade definida na tabela abaixo.
t 2 3 4 5 6 7
pT (t) 0, 1 0, 1 0, 3 0, 2 0, 2 0, 1
Para cada peça processada, o operário ganha um fixo de 2 u.m. (unidade monetária)
mas, se ele processa a peça em menos de 6 minutos, ganha 0, 50 u.m. por cada minuto
poupado. Encontre a função de distribuição da v.a. G = quantia (em u.m.) ganha por
peça.
2.6. Considere uma urna com 2 bolas brancas e 1 bola preta. Suponha o experimento de
retirar, com reposição, 4 bolas dessa urna. Seja X = número de bolas brancas nas quatro
retiradas.
(a) Encontre a função de probabilidade da v.a. X, isto é, pX .
(b) Calcule E(X).
Defina Y = número de bolas pretas nas quatro retiradas.
(c) Escreva Y como função de X e, usando as propriedades do valor esperado, calcule
E(Y ).
(d) Encontre, a partir de pX , a função de probabilidade da v.a. Y , isto é, pY .
(e) Encontre novamente E(Y ), agora a partir de pY .
(f) Encontre Var(X) e Var(Y ).
2.7. ([Magalhães, 2011] - Exerćıcio 4 - Seção 4.2)
Determine E(X), sendo a função de distribuição da variável X é dada por:
F (x) =

0, x < −2;
1/2, −2 ≤ x < 0;
5/8, 0 ≤ x < 1;
7/8, 1 ≤ x < 2;
1, x ≥ 2.
2.8. Seja X variável aleatória com função distribuição
F (x) =

0, x ≤ −1
1/8, −1 ≤ x < −1/2
3/8, −1/2 ≤ x < 0
1/2, 0 ≤ x < 1/2
3/4, 1/2 ≤ x < 1
1, x ≥ 1.
(a) Calcule E(X).
(b) Calcule E(X2) a partir da distribuição de X.
(c) Calcule E(X2) a partir da distribuição de X2.
(d) Calcule Var(X).
2.9. ([Ross, 2010] - Problema 20 - Caṕıtulo 4)
Um livro sobre jogos de azar recomenda a seguinte estratégia para o jogo de roleta.
O jogador aposta R$ 1,00 no vermelho. Se sair um vermelho (probabilidade 18/38 de
ocorrer), o jogador deve pegar seu dinheiro (R$ 1,00 da aposta mais R$ 1,00 de lucro)
e sair do jogo. Se não sair o vermelho (probabilidade 20/38 de ocorrer), para as duas
rodadas seguintes o jogador deve fazer apostas adicionais de R$ 1,00 no vermelho e então
sair do jogo. Seja X o ganho (ou perda, no caso de ganho negativo) do jogador depois
que ele saiu do jogo.
(a) Encontre P(X > 0).
(b) Você está convencido de que essa estratégia é realmente uma estratégia de vitória?
Explique sua resposta?(c) Encontre E(X).
2.10. ([Ross, 2010] - Problemas 21 e 37 - Caṕıtulo 4)
Quatro ônibus escolares transportam 148 alunos. Os números de alunos por ônibus são:
40, 33, 25 e 50. Considere o experimento de escolher de forma aleatória um entre os 148
alunos. Seja X o número de alunos no ônibus do aluno escolhido. Agora suponha que
um entre os quatro motoristas é escolhido, também de forma aleatória. Seja Y o número
de alunos no ônibus do motorista escolhido.
(a) Quem você acha que e maior, E(X) ou E(Y )? Por quê?
(b) Calcule E(X) e E(Y ).
(c) Calcule Var(X) e Var(Y ).
2.11. Em uma urna existem 5 bolas, entre as quais 2 são vermelhas. Suponha que bolas sejam
retiradas, uma a uma e sem reposição, até que as duas vermelhas sejam observadas. Isto
é, quando as duas vermelhas aparecerem termina o experimento. Encontre o número
esperado de bolas retiradas dessa urna.
2.12. Um laptop de 3000 reais está sendo rifado. O responsável pela rifa está vendendo 10000
números que custam 1 real cada. Se você compra um número, qual é o seu ganho esperado?
Se você compra 100 números, qual é o seu ganho esperado? Encontre a variância do seu
ganho em ambos os casos.
2.13. ([Ross, 2010] - Problema 38 - Caṕıtulo 4)
Se E(X) = 1 e Var(X) = 5, encontre
(a) E((2 +X)2);
(b) Var(4 + 3X).
2.14. Decida se a afirmação a seguir é falsa ou verdadeira. Demonstre se ela for verdadeira ou
apresente um contra-exemplo no caso dela ser falsa.
“Seja X uma variável aleatória, então E(1/X) = 1/E(X).”
2.15. ([Ross, 2010] - Problema 30 - Caṕıtulo 4) - Paradoxo de São Petersburgo
Uma pessoa lança uma moeda justa até aparecer coroa pela primeira vez. Se a coroa
aparecer no n-ésimo lançamento, a pessoa ganha 2n reais. Seja X o ganho dessa pessoa.
(a) Mostre que E(X) =∞.
(b) Você pagaria R$ 1 milhão para jogar esse jogo uma única vez?
(c) Você pagaria R$ 1 milhão por cada partida se você pudesse jogar quantas partidas
quisesse e só pagasse a conta no final, quando parasse de jogar?
Caṕıtulo 3: Algumas Distribuições
Discretas
3.1. Suponha uma urna com 10 bolas, entre as quais 4 são brancas. Para cada item a se-
guir determine a variável aleatória em questão, identifique o modelo adequado para essa
variável aleatória e calcule a probabilidade pedida.
(a) Se forem retiradas 8 bolas, com reposição, qual a probabilidade de sáırem pelo menos
3 bolas brancas?
(b) Se forem retiradas 8 bolas, sem reposição, qual a probabilidade de sáırem mais de 3
bolas brancas?
(c) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da terceira bola
branca sair ser na 8a retirada?
(d) Se as bolas forem retiradas com reposição, qual a probabilidade da primeira bola
branca sair depois da 8a retirada?
(e) E se a urna tivesse 1000 bolas, entre as quais 4 fossem brancas. Qual a probabilidade
aproximada de sáırem 3 bolas brancas entre 80 retiradas com reposição?
3.2. Suponha que itens são inspecionados, um a um, numa linha de montagem e que a proba-
bilidade de que um dado item tenha que ser reparado, devido a algum tipo de defeito, seja
de 1/30. Imagine que a linha de montagem vai entrar em operação em breve. Pergunta-se:
(a) Qual é a quantidade esperada de itens adequados que são encontrados antes que
cinco voltem para reparo?
(b) Qual é a probabilidade que o primeiro item com defeito apareça depois de que os 10
primeiro itens sejam considerados adequados.
3.3. ([Farias e Laurencel, 2008] - ex.2.5 pág.61)
Um supermercado faz a seguinte promoção: o cliente, ao passar pelo caixa, lança um
dado. Se sair face 6 tem um desconto de 30% sobre o total de sua conta. Se sair face 5 o
desconto é de 20%. Se sair face 4 o desconto é de 10% e se ocorrerem faces 1, 2 ou 3, o
desconto é de 5%. Seja X = desconto concedido.
(a) Encontre a função de distribuição de probabilidade de X.
(b) Calcule o desconto médio concedido.
(c) Calcule a probabilidade de que, num grupo de 5 clientes, pelo menos um consiga
um desconto maior que 10%.
(d) Calcule a probabilidade de que o quarto cliente seja o primeiro a receber 30% de
desconto.
3.4. Na Lotofácil são sorteados 15 entre os 25 números existentes. O apostador pode escolher
15, 16, 17 ou 18 números para apostar. O apostador ganha o prêmio máximo se entre os
números escolhidos por ele estiverem os 15 números sorteados. Calcule a probabilidade
de um apostador ganhar o prêmio máximo apostando em:
(a) 15 números; (b) 16 números; (c) 17 números; (d) 18 números.
3.5. Considere o jogo da Lotofácil descrita no exerćıcio anterior. Nesse tipo de jogo o apostador
gasta R$ 1,50, R$ 24,00, R$ 204,00 ou R$ 1.224,00 para apostar, respectivamente, em 15,
16, 17 ou 18 números. Desconsiderando ganhos diferente do prêmio máximo, calcule o
ganho médio do apostador para cada tipo de aposta, supondo que o prêmio máximo para
o próximo sorteio seja de R$ 1.700.000,00.
3.6. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3)
(a) Se X ∼ Binomial(n, p), qual é o modelo de Y = n−X?
(b) Se X ∼ Geométrica(p), qual é o modelo de Y = X − 1?
3.7. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3)
Dentre os estudantes João, Pedro e Manoel, o professor escolhe ao acaso um deles para
fazer uma pergunta. Suponha que esse procedimento (sortear um estudante e fazer uma
pergunta) seja repetido 5 vezes. Qual a probabilidade de:
(a) Manoel nunca ser escolhido?
(b) Um (qualquer) dos estudantes não ter sido escolhido para responder sequer uma
pergunta?
3.8. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3)
Uma vacina, com taxa de imunização de 80% segundo o fabricante, foi aplicada num
conjunto de crianças de um certo bairro. As autoridades de saúde desejam se certificar
se a taxa de imunização tem efetivamente o valor indicado. Para tal, 20 crianças foram
sorteadas dentre as que receberam a vacina e foram submetidas a testes rigorosos para
avaliar a sua imunização.
(a) Sendo a afirmação do fabricante verdadeira, qual seria a probabilidade de obter 3
crianças não imunizadas no grupo de 20 crianças?
(b) Se você fosse encarregado de decidir sobre a aceitação ou não da afirmação do
fabricante, que critério você estabeleceria?
3.9. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3)
O número de chegadas a um posto de informações tuŕısticas é modelado por um modelo
Poisson com taxa de 2 pessoas por hora. Para uma hora qualquer, qual a probabilidade
de ocorrer:
(a) Pelo menos uma chegada?
(b) Mais de duas chegadas, dado que chegaram menos de 5 pessoas?
3.10. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 4)
Uma empresa que produz disquetes sabe que a probabilidade de um disquete ser produzido
com defeito é de 0,01, independente um do outro. A empresa vende os disquetes em caixas
com 10 unidades. Ela garante que o cliente pode devolver uma caixa de disquetes caso
esta contenha mais de um disquete com defeito. Suponha que um cliente comprou 3
caixas de disquete, qual a probabilidade dele devolver exatamente um caixa.
3.11. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.3)
Suponha que uma impressora de alta velocidade cometa erros segundo um modelo de
Poisson com taxa de 2 erros por página.
(a) Qual a probabilidade de encontrar pelo menos um erro em uma página escolhida ao
acado?
(b) Se 5 páginas são sorteadas, ao acaso e de forma independente, qual é a probabilidade
de pelo menos 1 página conter pelo menos 1 erro?
(c) Dentro das condições de (b), considere a variável que conta o número de páginas
com pelo menos um erro. Você identifica o modelo dessa variável?
3.12. Uma moeda não justa é tal que, em média, para sair a 2a cara ela tem que ser jogada
5 vezes. Determine, para essa moeda, a probabilidade de sair cara quando ela é jogada
uma única vez.
3.13. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 4)
Aproximadamente 80.000 casamentos ocorreram na cidade do Rio de Janeiro no último
ano. Calcule, tanto pela forma precisa quanto pela aproximada, a probabilidade em pelo
menos um desses casais
(a) ambos terem nascido no dia 30 de abril;
(b) ambos fazerem aniversário no mesmo dia do ano?
Porque nesse exemplo podemos fazer as contas aproximadas?
3.14. Um distribuidor recebe um lote de 100 peças de um fornecedor. Como não é posśıvel
verificar todas as 100 peças o distribuidor realiza uma inspeção por amostragem, isto
é, o distribuidor seleciona aleatoriamente 10 peças do lote e verifica se cada uma delas
apresenta defeito. O lote será aceito pelo distribuidor se não houver peças com defeito na
amostra.
(a) Considerando que a amostra é recolhida com reposição calcule a probabilidade de
um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor.
(b) Considerando que a amostra é recolhida sem reposição calcule a probabilidade de
um lote com 6 peças com defeito ser aceito pelo distribuidor.
(c) Para cada um dos itens acima qual deveria ser o tamanho da amostra (menor
posśıvel) para garantir que a probabilidade do distribuidor aceitar um lote com
6 peças seja menor que 0,10?
3.15. Para cada item a seguir primeiro mostre que pX é função de probabilidade e em seguida
identifique a distribuição de probabilidade da varável aleatória X.
(a) pX(x) =
1
e2
2x
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
(b) pX(x) =
3
2
(
2
5
)x
, x = 1, 2, 3, . . .
(c) pX(x) =
(
10
x
)
1
3x
(
3
4
)10
, x = 0, 1, 2, . . . , 10.
(d) pX(x) = 4(x− 1)
(
1
3
)x
, x = 2, 3, 4, 5, . . .
Caṕıtulo 4: Variáveis Aleatórias
Cont́ınuas
4.1. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Seja X uma variável aleatória com função densidade definida por:
fX(x) =
{
C(1− x2) , −1 < x < 1
0 , caso contrário
(a) Determine o valor de C.
(b) Determine FX , isto é, a função de distribuição de X.
(c) Qual a probabilidade de X assumir valores positivos e menores que 12?
4.2. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5)
Obtenha o valor (ou valores) de c, para que as expressões abaixo sejam funções densidade.
(a) f(x) =

0 , x ≤ −1;
−cx , −1 < x ≤ 0;
ce−6x , x > 0.
(b) f(x) = cx2I(−c,c)(x).
(c) f(x) = (c+ 1)f1(x)− cf2(x), x ∈ R e f1 e f2 são densidades.
4.3. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5)
Seja X uma variável aleatória cont́ınua com função de distribuição:
FX(x) =

0 , x ≤ 0
x2/2 , 0 < x ≤ 1/2;
x3 , 1/2 < x ≤ 1;
1 , x > 1.
(a) Verifique que F satisfaz as propriedades de função distribuição.
(b) Obtenha a função de densidade de X.
4.4. Para a variável aleatória do exerćıcio (4.3.) acima faça o que se pede:
(a) Esboço os gráficos de F e f e determine a imagem de X.
(b) Calcule P(1/3 < X < 2/3) e P(X > 1/3 | X < 2/3).
(c) Encontre E(X), E(2X + 1) e E(2/X).
(d) Encontre Var(X), Var(1− 3X) e Var(X2).
4.5. ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1)
O tempo, em minutos, de digitação de um texto por secretárias experientes é uma variável
aleatória cont́ınua X. Sua densidade é apresentada a seguir.
fX(x) =

1
4 , se 0 ≤ x < 2
1
8 , se 2 ≤ x < 6
0 , caso contrário.Determine:
(a) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar mais de 3 minutos
para digitar o texto.
(b) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar entre 1 e 4 minutos
para digitar o texto.
(c) A probabilidade de uma secretária experiente qualquer demorar menos de 3 minutos
para digitar o texto, dado que ela já está digitando o texto a 1 minuto.
(d) Um número b tal que P(X > b) = 0, 6.
(e) O valor esperado e a variância de X.
4.6. ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1)
A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma
cidade do interior é representada pela variável aleatória Y com densidade dada por:
fY (y) =
8
9
y − 4
9
, 0, 5 ≤ y < 2.
(a) Qual a probabilidade de se gastar menos de 0,8 milhões em um ano na manutenção
do asfalto nesta cidade?
(b) Sabendo que já foram gastos mais de 1 milhão na manutenção do asfalto nesta
cidade, qual a probabilidade deste gasto ser menor que 1,5 milhões?
(c) Determine o valor esperado e a variância de Y .
(d) Determine a mediana de Y .
OBS: a mediana m de uma v.a. Y é tal que P(Y < m) = P(Y > m) = 1/2.
4.7. ([Magalhães e de Lima, 2002] - Seção 6.1)
Numa certa região, fósseis de pequenos animais são frequentemente encontrados e um ar-
queólogo estabeleceu o seguinte modelo probabiĺıstico para o comprimento, em cent́ımetros,
desses fósseis.
f(x) =

x/40 , 4 ≤ x < 8;
−x/20 + 3/5 , 8 ≤ x < 10;
1/10 , 10 ≤ x < 11;
0 , caso contrário.
(a) Faça o gráficos da função de densidade.
(b) Para um fóssil encontrado nessa região, determine a probabilidade do comprimento
ser inferior a 6cm. Determine também a probabilidade do comprimento ser superior
a 5cm e inferior a 10,5cm.
(c) Encontre o comprimento médio dos fósseis dessa região.
4.8. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.2 pág.22)
A demanda diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável
aleatória com função de densidade de probabilidade
fX(x) =

2x/3 , 0 ≤ x < 1;
−x/3 + 1 , 1 ≤ x < 3;
0 , caso contrário.
(a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso?
(b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diaria-
mente para que não falte arroz em 95% dos dias?
4.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.1.4 pág.25) Calcule E(X) e Var(X) da variável aleatória
X com função de distribuição acumulada FX dada por
FX(x) =

0 , x ≤ 0
x5 , 0 < x < 1
1 , x ≥ 1.
4.10. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Suponha que o tempo de vida, em horas, de um certo componente eletrônico seja uma
variável aleatória cont́ınua com função de densidade definida por:
fX(x) =
{
10
x2
, se x > 10;
0 , se x ≤ 10;
(a) Qual a probabilidade de um desses componentes eletrônicos durar mais de 20 horas?
(b) Encontre a função distribuição de X.
(c) Qual a probabilidade de, entre 6 desses componentes eletrônicos, pelo menos 3 fun-
cionarem por pelo menos 15 horas? Quais hipóteses é preciso assumir?
4.11. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Um posto de gasolina recebe combust́ıvel uma vez por semana. Sua venda semanal, em
milhares de galões de combust́ıvel, pode ser definida como uma variável aleatória cont́ınua
com função densidade definida por:
fX(x) =
{
5(1− x)4 , se 0 < x < 1;
0 , caso contrário.
Qual o tamanho do tanque desse posto para que a probabilidade dele ficar vazio antes de
acabar a semana seja menor que 0.01?
4.12. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Encontre E(X) se X tem função densidade dada por:
(a) f(x) =
{
1
4xe
−x/2 , x > 0;
0 , caso contrário.
(b) f(x) =
{
c(1− x2) , −1 < x < 1;
0 , caso contrário.
(c) f(x) =
{
5/x2 , x > 5;
0 , x ≤ 5.
4.13. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.5)
Para X com densidade f(x) = |1− x|I(0,2)(x), obtenha:
(a) A função de distribuição de X. (Dica: faça primeiro o gráfico de f)
(b) P(X > 1/2).
(c) P(X < 2/3 | X > 1/2).
(d) E(X) e Var(X).
4.14. Seja X variável aleatória cont́ınua com função de distribuição dada por:
FX(x) =

0 , x < 2;
x
2 − 1 , 2 ≤ x ≤ 4
1 , x > 4
Determine:
(a) P(1 ≤ X ≤ 3) (b) P(−1 ≤ X ≤ 1) (c) P(X > 3 | X > 2.5)
(d) E(X) e Var(X) (e) E(3X − 2) e Var(3X − 2) (f) E(X3 + 1) e Var(X3 + 1)
4.15. Suponha que X seja uma variável aleatória de média 10 e variância 25. Para quais valores
de a e b a variável aleatória Y = aX + b terá média 0 e variância 1?
Caṕıtulo 5: Algumas Distribuições
Cont́ınuas
5.1. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Em uma estação, trens partem para a cidade A de 15 em 15 minutos, começando às
7:00h; e trens partem para a cidade B de 15 em 15 minutos, começando às 7:05h. Se
um passageiro chega na estação em um instante uniformemente distribúıdo entre 7:00h e
8:00h, e pegar o primeiro trem que chegar, qual a probabilidade dele ir para a cidade A?
5.2. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Você chega em um ponto de ônibus às 10:00h e sabe que o instante em que o ônibus chega
é uniformemente distribúıdo entre 10:00h e 10:30h.
(a) Qual a probabilidade de você ter que esperar o ônibus por mais de 10 minutos?
(b) Se até às 10:15h o ônibus ainda não tiver chegado, qual a probabilidadede você ter
que esperar pelo menos por mais 10 minutos?
5.3. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Uma pessoa, que tenta acertar um alvo, recebe 10 pontos se o seu tiro for a 1 polegada do
alvo, 5 pontos se for entre 1 e 3 polegadas do alvo, e 3 pontos se for entre 3 e 5 polegadas
do alvo. Encontre o número esperado de pontos marcados, se a distância entre o tiro e o
alvo for uniformemente distribúıda entre 0 e 10.
5.4. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4)
Seja X ∼ U(−α, α), determine o valor do parâmetro α de modo que:
(a) P(−1 < X < 2) = 3/4.
(b) P(|X| < 1) = P(|X| > 2).
5.5. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
O tempo (em horas) que uma máquina leva para ser consertada é uma variável aleatória
exponencial com média de 2 horas.
(a) Qual a probabilidade do tempo de reparo ultrapassar de 2 horas?
(b) Qual a probabilidade do tempo de reparo ser no máximo de 10 horas, dado que sua
duração já excedeu 9 horas?
(c) Encontre o tempo de conserto para o qual podemos afirmar com 90% de certeza que
a máquina vai ser consertada antes desse tempo?
5.6. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
O número de anos que um rádio funciona pode ser considerado uma variável aleatória
exponencial com média de 8 anos. Se João comprou um rádio usado, qual a probabilidade
dele durar por mais 8 anos? E se a distribuição não fosse exponencial, ainda é posśıvel
de fazer as contas? Por quê? Comente as respostas baseado na propriedade de “falta de
memória” da distribuição exponencial.
5.7. Considere que o número de ligações que chegam em uma central telefônica segue um
modelo de Poisson com média de 50 ligação por hora. Faça os itens a seguir usando
primeiro a distribuição de Poisson e depois usando uma distribuição cont́ınua.
(a) Qual a probabilidade da 1a ligação do dia demorar mais de 5 minutos para chegar?
(b) Qual a probabilidade da 1a ligação do dia chegar nos primeiros dois minutos de
funcionamento?
5.8. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Seja X variável aleatória exponencial com média 1/λ e k um inteiro positivo. Mostre que
E(Xk) =
k!
λk
.
5.9. Suponha que o tempo (em horas) até a ocorrência de um problema na n-ésima bomba de
combust́ıvel de um certo tipo de aeronave seja uma variável aleatória cont́ınua com dis-
tribuição Gama(α = n, λ = 1/100). Se ocorre problema em uma bomba, esta é desligada
e outra bomba é automaticamente acionada.
Em uma dessas aeronaves foram instaladas duas bombas de combust́ıvel. Quando ocorre
um problema na primeira bomba, a segunda bomba é automaticamente acionada. Se
ocorrer um problema na segunda bomba durante um voo não há mais bombas para serem
acionadas e por isso é necessário realizar um pouso de emergência.
Considerando que essa aeronave irá realizar um voo com duração de 50 horas, responda:
(a) Qual a probabilidade do voo terminar sem que a segunda bomba tenha sido acio-
nada?
(b) Qual a probabilidade de ser necessário realizar um pouso de emergência devido a
problemas com a bomba de combust́ıvel?
(c) Qual o tempo médio de voo dessa aeronave (com duas bombas) desde a sua decola-
gem até a realização de um pouso de emergência?
(d) Quantas bombas deveriam ter a aeronave para que a probabilidade de realizar um
pouso de emergência devido a problemas com a bomba de combust́ıvel seja menor
que 1%?
5.10. Seja X ∼ Gama(α, λ) e fX a sua função de densidade. Para cada um dos três casos a
seguir, faça os itens i, ii e iii.
(a) α < 1; (b) α = 1; (c) α > 1.
i. Encontre limx→0 fX(x) e limx→∞ fX(x);
ii. Verifique o sinal de ddxfX(x), ∀ x > 0;
iii. Com as informações acima faça um esboço do gráfico de fX .
5.11. A umidade relativa, quando medida um determinado local, pode ser considerada uma
variável aleatória com função densidade dada por
f(y) =
{
ky3(1− y)2 , se 0 ≤ y ≤ 1
0 , caso contrário.
(a) Encontre o valor de k para que f seja realmente função de probabilidade.
(b) Qual o modelo probabiĺıstico adotado para a variável umidade relativa? Porque esse
modelo é adequado para esse tipo de variável?
(c) Sabe-se que se a umidade relativa ficar abaixo de 30%, a localidade entra em estado
de atenção. Calcule a probabilidade da localidade entrar em estado de atenção,
segundo o modelo proposto.
5.12. O custo de reparação semanal, para uma determinada máquina, em centenas de reais, é
uma variável aleatória com distribuição beta de parâmetros α = 1 e β = 3. Qual a quantia
que deve ser reservado para os custos de reparação, por semana, de forma a garantir que
em apenas 10% das semanas o custo de reparação semanal exceda o montante reservado?
5.13. Expresse os itens a seguir em termos da função Gama. Quando posśıvel encontre a
resposta numérica. Quando isso não for posśıvel, reduza ao máximo o argumento da
função Gama.
(a)
∫ ∞
0
x3e−2xdx (b)
∫ ∞
0
x−
1
3 e−
x
4 dx (c)
∫ ∞
0
x
9
2 e−
1
2
xdx
(d) Γ
(
5
2
)
B
(
3
2
, 1
)
(e)
B
(
7
2 ,
7
2
)
B
(
5
2 ,
11
2
) (f) ∫ 1
0
x
1
2 (1− x)
3
2dx
5.14. Seja X ∼ Beta(α, α).
(a) Mostre que a função de densidade de X é simétrica em torno de 1/2.
(b) Sem fazer contas, encontre E(X).
(c) Esboce o gráfico da função de densidade de fX para: α < 1, α = 1 e α > 1. Antes de
esboçar o gráfico determine, para cada caso: limx→0 fX(x), limx→1 fX(x) e o sinal
de ddxfX(x), para 0 < x < 1.
5.15. A mediana de uma variável aleatória cont́ınua X é o valor m tal que P(X < m) = P(X >
m) = 1/2. Encontre a mediana de X para:
(a) X ∼ U(a, b);
(b) X ∼ Exp(λ).
(c) X ∼ Pareto(α, b).
5.16. Cada item a seguir apresenta uma função de densidade. Identifique o modelo proba-
biĺıstico da v.a. com essa distribuição, assim como o valor dos parâmetros.
(a) fX(x) = 1/2, −1 < x < 1.
(b) fX(x) =
e−x/3
3 , x > 0.
(c) fX(x) = 4x
2e−2x, x > 0.
(d) fX(x) =
4
9
(1−x)
3√
x2
, 0 < x < 1.
(e) fX(x) =
32
x3
, x ≥ 4.
(f) fX(x) =
e−x√
πx
, x > 0.
(g) fX(x) =
1
2xe
−x2/4, x > 0.
Caṕıtulo 6: Funções de Variáveis Aleatórias
Cont́ınuas
6.1. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Se X é uma variável aleatória exponencial com parâmetro λ = 1, encontre a função
densidade de probabilidade da variável aleatória Y definida por Y = ln(X).
6.2. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Se X ∼ U(0, 1), encontre a função de densidade de Y = eX .
6.3. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Se X ∼ U(a, b) e Y ∼ U(0, 1), quais os valores α e β tais que Y = αX + β?
6.4. ([Bussab e Morettin, 2002] - pág.186)
Suponha X com f.d.p. definida a seguir. Seja Y = e−X . Determine a f.d.p. de Y .
fX(x) =
{
3x2
2 ,−1 < x < 1;
0 , caso contrário.
6.5. Seja X um variável aleatória cont́ınua com distribuição de Pareto de parâmetros α e b.
Mostre que Y = ln(X/b) ∼ Exp(α).
6.6. Seja X variável aleatória cont́ınua com função densidade fX(x) = kxI(0,2)(x). Encontre
a densidade Y = X(2−X) (Dica: primeiro encontre o valor de k).
6.7. Seja X ∼ Beta(α, 1). Mostre que − ln(X) ∼ Exp(α).
Para o exerćıcios 6.8. - 6.11. a seguir considere X v.a. cont́ınua com função de densidade
fX(x) =
{
2x , se 0 < x < 1
0 , caso contrário.
6.8. Seja Y = 1/X. Encontre fY e faça seu gráfico.
6.9. Seja Y = (X − 1/2)2. Encontre fY e faça seu gráfico.
6.10. Seja Y = |X − 1/4|. Encontre fY e faça seu gráfico.
6.11. Seja Y = min(3X2, 1−X2). Encontre fY e faça seu gráfico.
6.12. Considere X variável aleatória cont́ınua com função de densidade fX definida a seguir.
Para Y = 2X − 1, encontre fY e faça seu gráfico.
fX(x) =

1
2 , se − 1 < x ≤ 0
x , se 0 < x < 1
0 , caso contrário.
6.13. Encontre a distribuição da variável aleatória dada pela raiz quadrada de uma outra que
tem distribuição Gama de média e variância iguais a 1.
6.14. ([James, 2004] - ex.13 pág.90)
Se X tem densidade fX(x) = e
−2|x|, x ∈ R, qual a densidade de Y = |X|?
6.15. Dê uma repassada em todos os exerćıcios desta lista apontando aqueles que poderiam
ser resolvidos com o Método Jacobiano. Se você ainda não tiver usado esse método na
resolução dos exerćıcios, escolha alguns para usá-loe compare a resposta a partir do
Método do Jacobiano com a resposta a partir do Método da Função de Distribuição.
Caṕıtulo 7: A Distribuição Normal
7.1. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Se X é variável aleatória com parâmetros µ = 10 e σ2 = 36, calcule:
(a) P(X > 5) (b) P(4 < X < 16) (c) P(X < 8) (d) P(X < 20) (e) P(X > 16)
7.2. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Suponha que X seja uma variável aleatória normal com média 5. Se P(X > 9) = 0.2,
aproximadamente quanto vale Var(X)?
7.3. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Seja X variável aleatória normal de média 12 e variância 4. Encontre o valor de c tal que
P(X > c) = 0.10.
7.4. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
A largura da fenda de uma peça forjada de duralumı́nio é (em polegadas) normalmente
distribúıda com µ = 0, 900 e σ = 0, 003. Os limites de especificação dessa fenda foram
dados como 0, 900± 0, 005 polegadas.
(a) Qual porcentagem das peças forjadas são defeituosas, isto é, estão fora da especi-
ficação?
(b) Qual o valor máximo permitido para σ que garante não mais que 1 peça defeituosa
em cada 100 observadas quando a largura da fenda for normalmente distribúıda com
µ = 0, 900 e σ?
7.5. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Se um indiv́ıduo é selecionado de forma aleatória para fazer um teste de QI a sua nota
pode ser considerada uma variável aleatória normal com média 100 e desvio padrão 15.
Qual a probabilidade da nota dessa pessoa ficar
(a) abaixo de 125?
(b) entre 90 e 110?
7.6. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Suponha que o tempo gasto no trajeto da sua casa até universidade seja uma variável
aleatória normal com média 40 minutos e desvio padrão de 7 minutos. Suponha também
que todos os dias da semana sua aula começa às 9:00h.
(a) Se você sair de casa às 08:10h, qual a probabilidade de se atrasar?
(b) Se durante um mês você sair de casa todos os dias às 08:10h, qual a probabilidade
de se atrasar mais de duas vezes? (considere um mês com 20 dias úteis)
(c) Se você quer ter 95% de certeza que não vai se atrasar, qual o horário mais tarde
que você pode sair de casa?
7.7. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
A vida de um certo tipo de pneus automotivos é normalmente distribúıda com média de
34.000 milhas e desvio padrão 4.000 milhas.
(a) Qual a probabilidade desse pneu durar mais de 40.000 milhas?
(b) Qual a probabilidade desse pneu durar entre 30.000 e 35.000 milhas?
(c) Dado que um certo pneu já rodou 30.000 milhas, qual a probabilidade condicional
dele rodar por mais 10.000 milhas?
7.8. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
A quantidade de chuva anual em uma certa cidade é aproximadamente normal com média
40,2 polegadas e desvio padrão de 8,4 polegadas.
(a) Qual a probabilidade de no próximo ano chover mais de 44 polegadas?
(b) Qual a probabilidade de em exatos 3 dos próximos 7 anos chover mais de 44 pole-
gadas?
7.9. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.2 pag.75))
Suponha que os tempos de vida de 2 marcas de aparelhos elétricos sejam variáveis
aleatórias T1 e T2, onde T1 ∼ N(42, 36) e T2 ∼ N(45, 9). Se o aparelho deve ser usado
por um peŕıodo de 45 horas, qual marca deve ser preferida? E se for por um peŕıodo de
49 horas?
7.10. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.3 pag.75))
Numa distribuição normal, 31% dos elementos são menores que 45 e 8% são maiores que
64. Calcular os parâmetros que definem a distribuição.
7.11. ([Farias e Laurencel, 2009] - ex.9 pag.76))
A distribuição dos pesos de coelhos criados em uma granja pode ser representada por uma
distribuição normal com média de 5 kg e desvio padrão de 0,8 kg. Um abatedouro com-
prará 5.000 coelhos e pretende classificá-los de acordo com o peso da seguinte forma: 20%
dos leves como pequenos, os 55% seguintes como médios, os 15% seguintes como grandes
e os 10% mais pesados como extras. Quais os limites de peso para cada classificação?
7.12. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4)
Sendo X ∼ N(µ, σ2), µ > 0, avalie as probabilidades abaixo em função de Φ(z) ou
numericamente, se posśıvel:
(a) P(|X| < µ) (b) P(|X − µ| > 0) (c) P(X − µ < −σ) (d) P(σ < |X − µ| < 2σ)
7.13. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4)
Suponha que o volume, em litros, de uma garrafa de refrigerante seja Normal com
parâmetros µ = 1 e σ2 = 10−4. Se três garrafas forem sorteadas ao acaso, pergunta-
se:
(a) A probabilidade de todas as três terem pelo menos 980ml?
(b) A probabilidade de não mais de uma ficar com volume inferior a 980ml?
7.14. ([Magalhães, 2011] - Seção 2.4)
Seja X ∼ N(µ, σ2) o desempenho de um certo equipamento. Ele será considerado fora
de controle se afastar de µ por mais de 2σ unidades. Todo dia, o equipamento é avali-
ado e, caso esteja fora de controle, será desligado e enviado para manutenção. Admita
independência entre as avaliações diárias. Determine a probabilidade de:
(a) No primeiro dia o equipamento ser desligado.
(b) A primeira manutenção ser no décimo dia.
(c) Você reconhece a variável que conta os dias até a manutenção?
7.15. ([Ross, 2010] - Caṕıtulo 5)
Mostre que Γ(1/2) =
√
π. (Dica: Γ(1/2) =
∫∞
0 e
−xx−1/2dx. Faça a substituição y =
√
2x
e então reconheça a semelhança com a expressão da densidade normal.)
Caṕıtulo 8: Momentos e sua Função
Geradora
8.1. ([Magalhães, 2011] - Seção 5.2)
Para X ∼ U(a, b), obtenha E[Xk], k ∈ N e calcule sua variância.
8.2. ([Meyer, 2011] - ex.4 pág.261)
Suponha X o resultado de uma moeda equilibrada.
(a) Determine a função geradora de momentos de X.
(b) Empregando a função encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(X).
8.3. Seja X uma variável aleatória tal que sua função densidade de probabilidade é dada por:
fX(x) = 3e
−3(x−1) , x > 1.
Determine a função geradora de momentos de X, isto é, MX(t). Em seguida calcule E(X)
a partir de MX .
8.4. ([Meyer, 2011] - ex.6 pág.261)
Suponha X uma v.a. com f.d.p. dada por
fX(x) =
1
2
exp{−|x|}, x ∈ R.
(a) Determine a função geradora de momentos de X.
(b) Empregando a função encontrada no item anterior, calcule E[X] e V ar(X).
8.5. ([Magalhães, 2011] - Seção 5.3)
Considere que a variável X segue o modelo Laplace (ou Exponencial Duplo), isto é, sua
densidade é dada por
fX(x) =
λ
2
exp{−λ|x− µ|}, x ∈ R,
com λ > 0 e −∞ < µ <∞. Determine a média e a variância de X diretamente e através
de sua função geradora de momentos.
8.6. ([Meyer, 2011] - ex.8 pág.261)
Suponha que a função geradora de momentos de uma v.a. X seja da forma
MX(t) = (0, 4e
t + 0, 6)8.
(a) Qual a função geradora de momentos de Y = 3X + 2?
(b) Calcule E[X].
(c) Você pode verificar sua resposta de (b) por algum outro método? Tente “reconhecer”MX(t).
8.7. Para as v.a. dos exerćıcios 8.4. e 8.6., use a função geradora de momentos encontrada
para calcular os coeficientes de assimetria das variáveis.
8.8. Mostre, a partir da função geradora de momentos, que se X ∼ U(a, b) e Y = cX + d
então Y também tem distribuição uniforme. Em qual intervalo?
8.9. ([Meyer, 2011] - ex.11 pág.261)
Uma variável aleatória cont́ınua X tem distribuição Qui-quadrado com n graus de liber-
dade se X ∼ Gama(α = n/2, λ = 1/2). Neste caso usamos a notação X ∼ χ2(n).
Seja X ∼ χ2(n), usando a função geradora de momentos de X, mostre que E[X] = n e
V ar(X) = 2n.
8.10. Uma variável aleatória cont́ınua X tem distribuição Log-Normal com parâmetros µ e σ2
se ln(X) tem distribuição N(µ, σ2). Ou seja, se X = eY com Y ∼ N(µ, σ2). Neste caso
usamos a notação X ∼ Log-Normal(µ, σ2).
Seja X ∼ Log-Normal(µ, σ2). A partir da função geradora de momentos da distribuição
Normal mostre que E(X) = eµ+σ
2/2 e Var(X) = e2µ+2σ
2 − e2µ+σ2 .
OBS: Não é para encontrar a função geradora de momentos de X ∼ Log-Normal(µ, σ2),
pois esta inclusive não existe.
8.11. ([Meyer, 2011] - ex.18 pág.262)
Se uma v.a. X tiver função geradora de momentos MX(t) = 3/(3 − t), qual o desvio
padrão de X?
8.12. Se a função geradora de momentos de alguma variável aleatória existe e é dada pela
expressão MX(t) = e3(et−1), para t ∈ R, então determine P(X ≥ 1).
8.13. Em cada item a seguir identifique o modelo probabiĺıstico da variável aleatória X cuja
função geradora de momento é MX .
(a) ee
t
e−1 (b)
3
3− 4t
, t < 34 (c)
2et
3−et , t < ln(3)
(d) 18
(
et − 1
)3
(e) 3
√
25
(5− t)2
, t < 5 (f) et(2t−3)
8.14. ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.1 pág.358)
Suponha X uma v.a. tal que P (X ≥ 0) = 1 e P (X ≥ 10) = 1/5. Prove que E[X] ≥ 2.
8.15. ([DeGroot e Schervish, 2012] - ex.2 pág.358)
Suponha X uma v.a. tal que E[X] = 10, P (X ≤ 7) = 0, 2 e P (X ≥ 13) = 0, 3. Prove que
V ar(X) ≥ 9/2.
8.16. Um posto distribui senhas de atendimento no ińıcio do dia. Diariamente são distribúıdas
150 senhas e há indiv́ıduos que não recebem senha, estes devem voltar outro dia para
tentar uma nova senha. Considere saber apenas que por dia, em média, 120 indiv́ıduos
buscam uma senha nesse posto.
(a) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 50 indiv́ıduos ficarem
sem senha em um determinado dia.
(b) Encontre uma cota superior para a probabilidade de mais de 100 indiv́ıduos ficarem
sem senha em um determinado dia.
(c) Quantas senhas deveriam ser distribúıdas para garantirmos, com a pouca informação
que temos, que em menos de 40% dos dias vai haver mais de 80 pessoas sem senha?
8.17. Suponha que o diâmetro de um certo tipo de parafuso produzido por uma fábrica seja uma
variável aleatória de média 5mm e desvio padrão de 1,5mm. Segundo as especificações
técnicas, o diâmetro desse tipo de parafuso tem que estar entre 3mm e 7mm, caso contrário
ele é descartado pela fábrica. Apenas com essas informações, encontre uma cota inferior
para a probabilidade de um parafuso estar dentro das especificações técnicas.
Referências Bibliográficas
[Bussab e Morettin, 2002] Bussab, W. e Morettin, P. (2002). Estat́ıstica Básica. Editora Sa-
raiva, 5 edição.
[DeGroot e Schervish, 2012] DeGroot, M. e Schervish, M. (2012). Probability and Statistics.
Pearson, 4 edição.
[Farias e Laurencel, 2008] Farias, A. e Laurencel, L. (2008). Variáveis aleatórias discretas.
[Farias e Laurencel, 2009] Farias, A. e Laurencel, L. (2009). Variáveis aleatórias cont́ınuas.
[James, 2004] James, B. R. (2004). Probabilidade: um curso em ńıvel intermediários. IMPA,
3a edição.
[Magalhães, 2011] Magalhães, M. N. (2011). Probabilidade e Variáveis Aleatórias. Edusp, 3a
edição.
[Magalhães e de Lima, 2002] Magalhães, M. N. e de Lima, A. C. P. (2002). Noções de Proba-
bilidade e Estat́ıstica. Edusp, 5a edição.
[Meyer, 2011] Meyer, P. L. (2011). Probabilidade: aplicações à estat́ıstica. LTC.
[Ross, 2010] Ross, S. (2010). A first course in probability. Prentice Hall, 8a edição.
Gabarito
Caṕıtulo 1
1.1. (a) Im(X) = {1, 2, 3, ...} e X é discreta (b) Im(Y ) = {0, 1, 2, 3, ...} e Y é discreta (c) Im(Z) = (0,∞)
e Z não é discreta (d) Im(W ) = {0, 1} e W é discreta.
1.2. (a) Ω = {(w1, w2, w3) |wi = H,K, para i = 1, 2, 3} (b) 1/8 (c) Im(X) = {−3,−1, 1, 3} e X é
discreta.
1.3. (a) Im(X) = {−3,−2, 1}, X é discreta, X não é cont́ınua (b) (c) (d) Im(X) = {0, 1/3, 2/3, 1}, X é
discreta, X não é cont́ınua.
1.4. (b) X é cont́ınua (c) Im(X) = (0, 1) (d) P(X > 0, 3) = P(X ≥ 0, 3) = 0, 91, P(X = 0, 3) = 0,
P(0, 3 ≤ X ≤ 0, 8) = 0, 55.
1.5. (b) X é discreta (c) Im(X) = {1/2, 1, 3/2} (d) P(X > 1) = 1/3, P(X ≥ 1) = 2/3, P(X = 1) = 1/3,
P(1 ≤ X ≤ 2) = 2/3.
1.6. a = 2/3 e b = 1/3.
1.7. (b) Im(Y ) = [0, 2] (c)
1.8. (a) X é v.a. discreta (b) P(X ≥ 0) = P(X = 0) = 1/2 (c) P(X ≥ 1) = 1 e P(X > 1) = 1/2.
1.9. (a) c = 1 − e−1 + e−2 (b) X é cont́ınua e fX(x) = 0, se x < 1; (1/c)e−(x−1), se −1 ≤ x < 2;
(2/c)e−2(x−1), se x ≥ 2 (c) P(X ≥ 32 | X < 4) = 0, 4856.
Caṕıtulo 2
2.1. Im(X) = {−2,−1, 0, 1, 2, 4} e pX(−2) = 28/91, pX(−116/91) =, pX(0) = 1/91, pX(1) = 32/91,
pX(2) = 8/91, pX(4) = 6/91.
2.2. -
2.3. (a) Im(X) = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; pX(x) = (2x− 1)/36, x ∈ Im(X) (b)
2.4. c = 1/2.
2.5. FG(g) = 0 se g < 2; 0, 3 se 2 ≤ g < 2, 5; 0, 5 se 2, 5 ≤ g < 3; 0, 8 se 3 ≤ g < 3, 50, 9 se 3, 5 ≤ g <
4; 1 se g ≥ 4.
2.6. (a) - (b) E(X) = 21681 (c) Y = 4−X e Esp(Y ) = 4−
216
81 =
108
81 (d) - (e) - (f) Var(X) = Var(Y ) = 0.89.
2.7. E(X) = −0.5.
2.8. (a) E(X) = 0.125 (b) E(X2) = 0.5 (c) - (d) Var(X) = 31/64.
2.9. (a) 0,5918 (b) não (c) -0,108.
2.10. (b) E(X) = 39, 28 e E(Y ) = 37 (c) Var(X) = 82, 2 e Var(Y ) = 84, 5.
2.11. 4.
2.12. Com apenas um número: ganho esperado = -0,7 reais e variância do ganho = 899,91. Com 100
números: ganho esperado = -70 reais e variância do ganho = 89.100,0 .
2.13. (a) 14 (b) 45.
2.14. Falsa.
2.15.
Caṕıtulo 3
3.1. (a) X ∼ Bin(8; 0, 4) e P (X ≥ 3) = 0, 51 (b) X ∼ hiper(10; 4; 8) e P (X > 3) = 0, 34 (c) X ∼
BinNeg(3; 0, 4) e P (X = 8) = 0, 104 (d) X ∼ Geom(0, 4) e P (X > 8) = 0, 016 (e) X ≈ Poisson(0, 32)
e P (X = 3) ≈= 0, 0039.
3.2. (a) 145 (b) 0,712.
3.3. (a) - (b) 12,5% de desconto em média (c) 0,868 (d) 0,02.
3.4. (a) 1/3.268.760 (b) 1/204.297 (c) 1/24.035 (d) 1/4.005.
3.5. -0,9799; -15,6787; -133,2698; -799,5305.
3.6. (a) Y ∼ Bin(n, 1− p) (b) Y é a forma alternativa da geométrica com o mesmo parâmetro p.
3.7. (a) 0,1316 (b) 0,395.
3.8. (a) 0,205 (b) -
3.9. (a) 0,8647 (b) 0,2857.
3.10. 0,0127.
3.11. (a) 0,8647 (b) ≈ 1 (c) B(n = 5, p = 0, 8647).
3.12. 0,4.
3.13. (a) exata: 1 − (1 − 1/3652)80.000 ≈ 0.4514; aproximada: 1 − e−0,6 ≈ 0, 4512 (b) exata: 1 − (1 −
1/365)80.000 ≈ 1; aproximada: 1− e−219,1781 ≈ 1.
3.14. (a) 0,5386151 (b) 0,5223047 (c) 38 e 32.
3.15. (a) X ∼ Poi(λ = 2) (b) X ∼ Geom(p = 3/5) (c) X ∼ B(n = 10, p = 1/4) (d) X ∼ BinNeg(r =
2, p = 2/3).
Caṕıtulo 4
4.1. (a) 3/4 (b)F (x) = 0, se x < −1; (−x3 + 3x+ 2)/4, se −1 ≤ x < 1; 1, se x > 1 (c) 11/32.
4.2. (a)3/2 (b)1,11 (c)c > 0.
4.3. (b) f(x) = x, se 0 < x ≤ 1/2; 3x2, se 1/2 ≤ x < 1; 0, caso contrário.
4.4. (b) 0,24 e 0,81 (c) E(X) = 0, 74, E(2X + 1) = 2, 48 e E(2/X) = 1, 625 (d) V ar(X) = 0, 052,
V ar(1− 3X) = 0, 468 e V ar(X2) = 0.07.
4.5. (a) 3/8 (b) 1/2 (c) 1/2 (d) b = 1, 6 (e) E(X) = 2, 5 e Var(X) = 3, 08.
4.6. (a) 0, 04 (b) 0, 625 (c) E(X) = 1, 5 e Var(X) = 0, 125 (d) Med(X) = 1, 56.
4.7. (a) 0,25 (b) 0,84 (c) 7,45 cm.
4.8. (a) 0,375 (b) 245kg.
4.9. E(X) = 5/6 e V ar(X) = 0, 02.
4.10. (a) 0,5 (b) F (x) = 0, se ; (−10/x) + 1, se x > 10 (c) 2/3.
4.11. 602 galões.
4.12. (a) 4 (b) 0 (c) ∞.
4.13. (a) F (x) = 0, se x < 0; x − (1/2)x2, se 0 ≤ x < 1; 1 − x + (1/2)x2, se 1 ≤ x < 2; 1 se x ≥ 2 (b)
5/8 (c) 1/9 (d) E(X) = 1.
4.14. (a) 1/2 (b) 0 (c) 2/3 (d) E(X) = 3 e Var(X) = 1/3 (e) E(3X − 2) = 7 e Var(3X − 2) = 3 (f)
E(X3 + 1) = 31 e Var(X3 + 1) ≈ 261, 14.
4.15. (a) a = (1/5) e b = −2 ou a = (−1/5) e b = 2.
Caṕıtulo 5
5.1. 2/3.
5.2. (a) 2/3 (b) 1/3.
5.3. 2,6 pontos.
5.4. (a) α = 2 (b) α = 3.
5.5. (a) e−1 ≈ 0.368 (b) e−1/2 ≈ 0.606 (c) 2 ln(10) ≈ 4.6 horas, isto é, 4 horas e 36 minutos.
5.6. P(rádio funcionar por mais 8 anos) = e−1. Se a distribuição não fosse exponencial, não dá pra fazer
as contas.
5.7. (a) e−25/6 (b) 1− e−5/3.
5.9. (a) (b) (c) (d)
5.11. (a) 60 (b) Beta(4, 3) (c) 0.07.
5.12. 0.53
5.13. (a) 3/8 (b) 2 3
√
2Γ(2/3) (c) 945
√
2Γ(1/2) (d) (1/2)Γ(1/2) (e) 224/(189Γ(1/2)) (f) (1/16)(Γ(1/2))2.
5.15. (a) (b+ a)/2 (b) − ln(1/2)/λ (c) 21/αb.
5.16. (a) X ∼ U [−1, 1] (b) X ∼ Exp(λ = 1/3) (c) X ∼ Gama(α = 3, λ = 2) (d) X ∼ Beta(α = 1/3, β =
2) (e) X ∼ Pareto(α = 2, b = 4) (f) X ∼ Gama(α = 1/2, λ = 1) (g) X ∼Weilbull(α = 2, β = 2).
Caṕıtulo 6
6.1. f(y) = e(−e
y)+y, −∞ < y <∞.
6.2. f(y) = 1/y, se 1 < y < e; 0, caso contrário.
6.3. α = 1/(b− a) e β = −a/(b− a) ou α = −1/(b− a) e β = b/(b− a).
6.4. f(y) = 3 ln2(y)/(2y), se 1/e < y < e; 0, caso contrário.
6.6. f(y) = 1/(2
√
1− y),se 0 < y < 1; 0, caso contrário
6.8. f(y) = 2/y3, se y > 1; 0, caso contrário.
6.9. f(y) = 1/
√
y, se 0 < y < 1/4; 0, caso contrário.
6.10. f(y) = 1, se 0 < y < 1/4; (4y + 1)/2, se 1/4 < y < 3/4; 0, caso contrário.
6.11. f(y) = 4/3, se 0 < y < 3/4; 0, caso contrário. Ou seja, Y ∼ U(0, 3/4).
6.12. f(y) = 1/4, se −3 < y < −1 ;(y + 1)/4, se −1 < y < 1; 0, caso contrário.
6.13. f(y) = 2ye−y
2
,se y > 0; 0, caso contrário. Ou seja, Y ∼Weibull(α = 2, β = 1).
6.14. f(y) = 2e−2y, se, y > 0; 0, caso contrário. Ou seja, Y ∼ Exp(λ = 2).
6.15.
Caṕıtulo 7
7.1. (a) 0,7977 (b) 0,6827 (c) 0,3695 (d) 0,9522 (e) 0,1587.
7.2. 22,66.
7.3. c = 14.56.
7.4. (a) 9,5% (b) σ = 0, 0019.
7.5. (a) 0,0478 (b) 0,4950.
7.6. (a) (b) (c) Você deve sair de casa no máximo 8,485 minutos depois das 8:00h.
7.7. (a) 0,0668 (b) 0,44 (c) 0,079.
7.8. (a) 0,3255 (b)
7.9.
7.10.
7.11.
7.12. (a) 0, 5− Φ(−2µ/σ) (b) 1 (c) Φ(−1) = 0, 1587 (d) 2[Φ(2)− Φ(1)] = 0, 2718.
7.13. (a) 0,9331 (b) 0,9984.
7.14. (a) 0,0456 (b) 0,03 (c) Geométrica com p = 0, 0456.
Caṕıtulo 8
8.1. E(Xk) = (bk+1 − ak+1)/(k + 1)(b− 1) e Var(X) = (b− a)2/12.
8.2. MX(t) = (1 + e
t)/2, E(X) = 1/2 e Var(X) = 1/4.
8.3. MX(t) = 3e
t/(3− t) e E(X) = 4/3.
8.4. (a) MX(t) = (1− t2)−1 (b) E(X) = 0 e Var(X) = 2.
8.5. MX(t) =
eµt
1−( tλ )2
E[X] = µ V ar(X) = 2/λ2.
8.6. (a) MY (t) = e
2t(0, 4e3t + 0, 6)8 (b) E(X) = 3, 2 (c) Sim, X ∼ B(n = 8, p = 0, 4) ⇒ E(X) = np.
8.7. 0 e 0, 2.
8.11. 1/3.
8.12. 1− e−3.
8.13. (a) X ∼ Poisson(λ = 1) (b) X ∼ exp(λ = 3/4) (c) X ∼ geo(p = 2/3) (d) X ∼ B(N = 3, p = 1/2)
(e) X ∼ Gama(α = 2/3, λ = 5) (f) X ∼ N(µ = 3, σ2 = 4).
8.16. (a) 0,6 (b) 0,48 (c) 220 senhas.
8.17. P(estar dentro das especificações técnicas) ≥ 0, 4375.
	Variáveis Aleatórias
	Variáveis Aleatórias Discretas
	Algumas Distribuições Discretas
	Variáveis Aleatórias Contínuas
	Algumas Distribuições Contínuas
	Funções de Variáveis Aleatórias Contínuas
	A Distribuição Normal
	Momentos e sua Função Geradora
	Referências Bibliográficas
	Gabarito