RegressaoLinear

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Regressão Linear
Prof. Carlos Roberto Fonseca
Bioestatística
Regressão Linear
Teste estatístico utilizado para testar se 
existe influência de uma variável contínua (X) 
sobre uma outra variável contínua (Y)
X (causa)		Y (efeito)
Y e X são variáveis contínuas
Exemplos:
	Altura (m)
	Peso (kg)
	Umidade (%)
	Temperatura (°C)
	Concentração do Nutriente (mg/kg)
Variável X
Variável Y
0
0
Representação gráfica dos dados
Variável X
Variável Y
0
0
Representação gráfica do modelo
de regressão linear
A reta é o modelo
Variável X
Variável Y
0
0
A reta de regressão sempre passa pelas médias de x e y
Média de y
Média de x
Variável X
Variável Y
b
a
0
0
Equação Linear
(y = bx + a)
Coeficiente angular
Inclinação
Coeficiente da Regressão
Intercepto
Variável X
Variável Y
a
0
0
Equação Linear
(y = bx + a)
Valor de Y quando X = 0
Y = 0x + a, Y = a
Variável X
Variável Y
7
0
0
Equação Linear
(y = bx + 7)
Valor de Y quando X = 0
Y = 0x + a, Y = 7
Variável X
Variável Y
b
0
0
Equação Linear
(y = bx + a)
Taxa de aumento de Y 
em relação a X
Variável X
Variável Y
0.5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Equação Linear
(y = 0.5x + a)
Quantas unidades Y aumenta
por cada 1 unidade de X
1
10
10.5
20
Variável X
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 
Equação Linear
0.5
1
10
10.5
20
4
2
b = 0.5
H0: A variável X não influencia a variável Y.
H1: A variável X influencia a variável Y.
Hipótese nula (H0) e alternativa (H1)
Variável X
Variável Y
Variável Y
Ho: b = 0
H1: b ≠ 0
Hipótese Nula
Hipótese Alternativa
Variável X
Variável X
Variável Y
Variável Y
Ho: b = 0
H1: b ≠ 0
Hipótese Nula
Hipótese Alternativa
Variável X
Na regressão linear
as três regras de ouro 
também valem!
Variável X
Variável Y
0
0
Soma dos Quadrados Total
SQtotal = Σ(Dado-Média de Y)2
Dado
Y
Média de Y
Variável X
Variável Y
0
0
Soma dos Quadrados do Erro
Estimado
Dado
SQerro = Σ(Dado-Estimado)2
Variável X
Variável Y
0
0
Soma dos Quadrados do Modelo
Estimado
SQmodelo = Σ(Estimado-Média de Y)2
Y
Média de Y
Exemplo de Aplicação
HIPÓTESES
Ho: A altura da árvore não afeta o número de frutos produzidos
H1: A altura da árvore afeta o número de frutos produzidos
PROBLEMA: 
Testar se a altura prevê o número de frutos produzidos por uma espécie de árvore
Altura (m)
Número de frutos produzidos
Ho: b = 0
H1: b ≠ 0
Hipótese Nula
Hipótese Alternativa
Altura (m)
Número de frutos produzidos
Os Dados
Visualização dos dados
Encontrando-se 
o coeficiente angular 
(b)
b = Covariância = 
 Variância X
 ∑ (x – x)(y – y) / g.l.
 ∑ (x – x)2 / g.l.
b = ∑ (x – x)(y – y)
 ∑ (x – x)2
Coeficiente angular (b)
b = ∑ (x – x)(y – y)
 ∑ (x – x)2
b = ∑ (x – x)(y – y)
 ∑ (x – x)2
b = 200
 40
b = 5
Coeficiente angular
Ou seja, 
Y aumenta 5 unidades
para cada 1 unidade de X
27
Encontrando-se 
o intercepto 
(a)
Encontrando-se o intercepto (a)
Y
X
Toda regressão passa pelas médias de X e Y
= ponto fixo
A inclinação da reta já foi calculada!
0
a
Podemos deduzir o intercepto!
0
Y
X
a
b.X
a = Y – (b.X)
Encontrando-se o intercepto (a)
0
0
60
4
a = 40
a = Y – (bX)
Encontrando-se o intercepto (a)
bX = 5x4 = 20
0
0
a = y – (bx)
a = 60 – (5 × 4)
a = 40
Intercepto
Equação da Reta
y = 5 x + 40
Achando-se os valores estimados
de cada um dos dados 
pela regressão
Se um dado tem x = 6, 
qual é o valor estimado de y?
y = 5x + 40
Dado
Estimado
6
?
y = 5⸼6 + 40
y = 30 + 40
y = 70
Se um dado tem x = 2, 
qual é o valor estimado de y?
y = 5x + 40
Dado
Estimado
2
?
y = 5⸼2 + 40
y = 10 + 40
y = 50
Encontrando-se a:
 Soma dos Quadrados Totais
 Soma dos Quadrados da Regressão
 Soma dos Quadrados do Erro
Soma dos Quadrados Totais
Soma dos Quadrados da Regressão
Soma dos Quadrados do Erro
Testando-se a 
significância da regressão
F = Variância da Regressão
	 Variância do Erro
	Fonte de Variação	SQ	g.l.	MQ	F
	Regressão	SQreg	1	SQtrat/gltrat	MQtrat/MQerro
	Erro	SQerro	N-2	SQerro/glerro	
	Total	SQtotal	N-1		
Tabela de ANOVA
SQ – Soma dos Quadrados
g.l. – Graus de Liberdade
MQ – Média dos Quadrados
F – Teste F
	Fonte de Variação	SQ	g.l.	MQ	F
	Regressão	1000	1	1000	4,33
	Erro	3000	13	230,77	
	Total	4000	14		
Tabela de ANOVA
SQ – Soma dos Quadrados
g.l. – Graus de Liberdade
MQ – Média dos Quadrados
F – Teste F
Fcalculado = 4,33
g.l. = 1,13
Fcrítico = 4,67
g.l. = 1,13
(α = 0.05)
Como Fcalculado ≤ Fcrítico,
			Ho é aceita e H1 é rejeitada
No R
qf(0.95,1,13)
Ou seja, a altura não afeta o número de frutos!
1-pf(4.33,1,13)
0.12
Para se achar a Probabilidade de um F calculado no R
Fcalculado = 4.33
g.l. = 1,13
F[1,13] = 4.33, P = 0.12, ns
Script
Resposta (P)
Coeficiente de Determinação (r2)
Quanto da variação de Y
foi explicada por X?
r2 = 	Soma dos quadrados da Regressão (SQreg)
	 Soma dos Quadrados Total (SQtotal)
Tabela de ANOVA
r2 = 1000 / 4000 = 0,25
(Ou seja, a altura explica somente 25% da variação do número de frutos)
	Fonte de Variação	SQ	g.l.	MQ	F
	Regressão	1000	1	1000	4,33
	Erro	3000	13	230,77	
	Total	4000	14		
FIM
Amostras
X
Y
1
3
30
2
2
40
3
1
50
4
4
40
5
3
50
6
2
60
7
5
50
8
4
60
9
3
70
10
6
60
11
5
70
12
4
80
13
7
70
14
6
80
15
5
90
0
40
Média X
Média Y
4.00
60.00
X
(X-Mx)(X-Mx
)2
Y
(Y-My)(Y-My)
2
(X-Mx)(Y-My)
13-1.001.00130-30.00900.00130.00
22-2.004.00240-20.00400.00240.00
31-3.009.00350-10.00100.00330.00
440.000.00440-20.00400.0040.00
53-1.001.00550-10.00100.00510.00
62-2.004.006600.000.0060.00
751.001.00750-10.00100.007-10.00
840.000.008600.000.0080.00
93-1.001.0097010.00100.009-10.00
1062.004.0010600.000.00100.00
1151.001.00117010.00100.001110.00
1240.000.00128020.00400.00120.00
1373.009.00137010.00100.001330.00
1462.004.00148020.00400.001440.00
1551.001.00159030.00900.001530.00
TOTAL60SQx =40.00TOTAL900SQy =4000.00Soma dos 200.00
N15 N15 Produtos das
Mx4.00 My60.00 Diferenças
YDadosMy(Y-My)(Y-My)
2
13060.00-30.00900.00
24060.00-20.00400.00
35060.00-10.00100.00
44060.00-20.00400.00
55060.00-10.00100.00
66060.000.000.00
75060.00-10.00100.00
86060.000.000.00
97060.0010.00100.00
106060.000.000.00
117060.0010.00100.00
128060.0020.00400.00
137060.0010.00100.00
148060.0020.00400.00
159060.0030.00900.00
TOTAL900 SQtotal =4000.00
N15
My60.00
YEstimadoMy(Est - My)(Est-My)
2
155.0060.00-5.0025.00
250.0060.00-10.00100.00
345.0060.00-15.00225.00
460.0060.000.000.00
555.0060.00-5.0025.00
650.0060.00-10.00100.00
765.0060.005.0025.00
860.0060.000.000.00
955.0060.00-5.0025.00
1070.0060.0010.00100.00
1165.0060.005.0025.00
1260.0060.000.000.00
1375.0060.0015.00225.00
1470.0060.0010.00100.00
1565.0060.005.0025.00
SQtratamento = 1000.00
YDadosEstimado(Y-Est)(Y-Est)
2
13055.00-25.00625.00
24050.00-10.00100.00
35045.005.0025.00
44060.00-20.00400.00
55055.00-5.0025.00
66050.0010.00100.00
75065.00-15.00225.00
86060.000.000.00
97055.0015.00225.00
106070.00-10.00100.00
117065.005.0025.00
128060.0020.00400.00
137075.00-5.0025.00
148070.0010.00100.00
159065.0025.00625.00
SQerro =3000.00