AULA 13 CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

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Correlação e Regressão
Prof. Erimar dos Santos Oliveira
Estatística
*
Associação &Variáveis Quantitativas
Situação 1: Deseja-se realizar uma investigação sobre a ocorrência de anemia e infecção em uma comunidade. Seria interessante poder estimar a concentração de hemoglobina e a contagem de eritrócitos e leucócitos no sangue pela medida do hematócrito. Para verificar a possibilidade de se usar tal procedimento, é conduzido um estudo-piloto a partir dos resultados da rotina de um laboratório de hematologia.
Como verificar se essas variáveis estão associadas?
Testes de Hipóteses?
	 Estabelecem se existe associação entre duas variáveis, mas...
	 Não quantificam a força da associação; e
	 Não permitem representar a relação existente sob uma forma funcional.
Associação &Variáveis Quantitativas
É possível fazer um gráfico das variáveis de interesse e analisar a existência de uma relação a partir da análise desse gráfico.
Plan1
		Exame		Leucócito		Eritrócito		Hemoglobina		Hematócrito
				(103/mm3)		(106/mm3)		(g/dl)		(%)
		1		6.8		4.50		14.6		41
		2		9.7		5.20		15.6		47
		3		4.3		4.55		14.4		41
		4		7.9		4.65		14.4		41
		5		7.4		4.40		13.8		40
		6		7.6		4.40		14.0		40
		7		2.8		4.30		13.6		40
		8		7.8		4.60		13.8		42
		9		5.5		4.90		15.2		44
		10		4.6		4.10		13.0		39
		11		8.0		5.00		17.0		46
		12		7.0		5.17		16.0		47
		13		7.1		4.20		11.7		35
		...		...		...		...		...
		138		10.5		4.50		13.4		39
		139		6.9		4.50		14.2		40
		140		13.5		4.45		13.6		40
		141		8.3		3.70		11.0		33
		142		7.0		4.30		12.7		38
		143		4.3		4.67		14.0		43
		144		2.7		4.40		12.7		39
		145		11.2		4.40		13.3		38
		147		5.9		4.40		11.9		37
		148		12.3		4.24		10.0		31
Plan2
		
Plan3
		
Associação &Variáveis Quantitativas
Diagrama de Dispersão
	 Representação gráfica que permite a visualização do comportamento conjunto das duas variáveis.
	 É gráfico sobre o qual cada medida individual é representada por um ponto, sendo que a posição de cada ponto é determinada pelos valores observados em um indivíduo, para as duas características medidas (por exemplo, hematócrito e hemoglobina). É denominado, também, de gráfico XY. 
Diagrama de Dispersão
Análise
	 Parece não haver uma relação entre o valor do hematócrito e o valor do leucócito.
Diagrama de Dispersão
Análise
	 Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor de hemoglobina.
	 Esta relação parece ser linear.
Diagrama de Dispersão
Análise
	 Há uma relação crescente entre o valor do hematócrito e o valor do eritrócito.
	 Esta relação parece ser linear.
Diagramas
 de Dispersão
A análise não é alterada, se trocamos as variáveis X e Y, ou seja, a existência ou não da relação não depende de qual variável é considerada independente. 
O modelo matemático, porém, será alterado a depender de quem é X.
Associação &Variáveis Quantitativas
Coeficiente de correlação linear de Pearson 
Valor numérico que mede a intensidade da associação linear existente entre as duas variáveis, medida a partir de uma série de observações.
Karl Pearson
(1857 – 1936) 
Coeficiente de Correlação Linear
Medindo a Força da Associação
Coeficiente de Correlação Linear
Interpretando o valor de r
r - assume valores entre – 1 e + 1 inclusive.
	 r  – 1 associação linear negativa;
x  y 
x  y 
	 r  0 ausência de associação linear;
	 r  + 1 associação linear positiva;
Coeficiente de Correlação Linear
r = +1
r  0
r  + 0,80
r  - 0,80
r = - 1
Relação perfeita
Relação perfeita
Teste de Hipóteses sob o Coeficiente de Correlação Linear
Testamos a hipótese nula: (bicaudal)
A estatística do teste é dada por: 
e sob H0 , t tem distribuição t-Student com (n - 2) graus de liberdade. 
Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses
Exemplo 1: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis hemoglobina e hematócrito.
Há correlação entre hematócrito e hemoglobina.
Para  = 0,05 temos:
Exemplo 2: Vamos calcular o coeficiente de Pearson entre as variáveis leucócito e hematócrito.
Não há correlação entre hematócrito e leucócito.
Coeficiente de Correlação Linear Teste de Hipóteses
Para  = 0,05 temos:
Associação &Variáveis 
Quantitativas
Modelos de Regressão 
	 Modelo matemático para a relação linear analisada.
	 Permite a predição de uma variável em função de outra.
Modelos Lineares
Situação 2: Uma vez verificada a existência de uma relação entre a quantidade de hemoglobina e o número de hematócritos, desejamos desenvolver um modelo para estimar a medida de hemoglobina (variável y) a partir da medida de hematócrito (variável x).
Qual a reta que melhor se ajusta a estes dados?
Modelos Lineares
Equação da Reta
Intercepto y
a
a e b - parâmetros da reta
b
Inclinação da reta
Gráf1
		
Visão Geral
		Livro de Exercícios - Dados sobre Lojas de Remessa de Carga
		Objetivo:		Ponto de partida para os exemplos do Excel das Seções 11.6.2 e 11.7.
				Referência:		Seções 11.6.3, 11.7
		Conteúdo do Livro de Exercícios (duas planilhas):
				Planilha Visão Geral		Resumo deste livro de exercícios.
				Planilha Dados		Dados sobre o número de clientes e vendas semanais para uma amostra
						de 20 lojas de remessa de carga.
						Variável		Intervalo		Valores
						Número da Loja		A2:A21
						Clientes		B2:B21
						Vendas		C2:C21		semanais, em milhares de dólares
&L&F/&A
Dados
		Loja		Clientes		Vendas				Loja		Clientes		Vendas ($1000)				Loja		Clientes		Vendas
		1		907		11.20				1		907		11.20				11		679		7.63
		2		926		11.05				2		926		11.05				12		872		9.43
		3		506		6.84				3		506		6.84				13		924		9.46
		4		741		9.21				4		741		9.21				14		607		7.64
		5		789		9.42				5		789		9.42				15		452		6.92
		6		889		10.08				6		889		10.08				16		729		8.95
		7		874		9.45				7		874		9.45				17		794		9.33
		8		510		6.73				8		510		6.73				18		844		10.23
		9		529		7.24				9		529		7.24				19		1010		11.77
		10		420		6.12				10		420		6.12				20		621		7.41
		11		679		7.63
		12		872		9.43
		13		924		9.46
		14		607		7.64				Loja		Clientes		Vendas ($1000)
		15		452		6.92				11		679		7.63
		16		729		8.95				12		872		9.43
		17		794		9.33				13		924		9.46
		18		844		10.23				14		607		7.64
		19		1010		11.77				15		452		6.92
		20		621		7.41				16		729		8.95
										17		794		9.33
										18		844		10.23
										19		1010		11.77
										20		621		7.41
&L&F/&A
Dados
		
Vendas
Número de clientes
Quantidade de vendas ($1000)
Diagrama de Dispersão - Dados das 20 empresas
Regressão Linear Simples
Método dos Mínimos Quadrados
O objetivo é minimizar a soma do quadrado dos erros:
Obtendo os valores de e que minimizam a equação acima. 
erro 
Regressão Linear Simples
Método dos Mínimos Quadrados
Podemos utilizar a reta de regressão para estimar os valores de .
Reta de Regressão & Estimativa
Estimativa da Medida de Hemoglobina 
Análise
O valor de homoglobina média estimada, para um valor observado de hematócrito igual a 40%, é de 13,97 g/dl.
Suponha que desejemos considerar o hematócrito como variável dependente. Neste caso, podemos calcular outra reta de regressão, pelo método dos mínimos quadrados, considerando a hemoglobina como variável x (independente) e o hematócrito como variável y (dependente).
Reta de Regressão & Estimativa
Estimativa da Medida de Hematócrito 
O valor de hematócrito médio estimado, para um valor observado de hemoglobina Hb = 13,97 g/dl, é de 40,54%. Note que a reta, para Ht, não é a inversa da obtida para Hb.
Exemplo 1:
Encontre a linha de regressão dos mínimos quadrados para os dados sobre renda e gasto com alimentação nos sete domicílios apresentados na tabela abaixo. Utilize renda como uma variável independente e gasto com alimentação como uma variável dependente.
	Renda 
x	Gasto com Alimentação
y	xy	x2
	35	9	315	1225
	49	15	735	2401
	21	7	147	441
	39	11	429	1521
	15	5	75	225
	28	8	224	784
	25	9	225	625
	212	64	21507222
Qualidade do Ajuste na Regressão 
Coeficiente de Determinação
R2 = proporção da variabilidade de y que é 	explicada pelo modelo (reta de regressão)
Se R2 = 0,90 significa que 90% da variação em y pode ser explicada pela equação obtida.
Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação
Quando fazemos uma regressão linear, os valores observados (x,y) estão espalhados ao redor da reta de regressão. Quanto menor for este espalhamento, melhor a reta de regressão representa o conjunto de valores observados. A variância amostral total, como estimador do espalhamento, pode ser decomposta da seguinte forma:
Qualidade do Ajuste na Regressão Coeficiente de Determinação
Exemplo 2:
Para os dados da tabela do exemplo 1, sobre rendas mensais e gastos mensais com alimentação de sete domicílios, calcule o coeficiente de determinação.
b=0,2642
SQxy=211,7143
SQyy=60,8571
ExameLeucócito EritrócitoHemoglobinaHematócrito
(103/mm3)(106/mm3)(g/dl)(%)
16.8 4.50 14.6 41
29.7 5.20 15.6 47
34.3 4.55 14.4 41
47.9 4.65 14.4 41
57.4 4.40 13.8 40
67.6 4.40 14.0 40
72.8 4.30 13.6 40
87.8 4.60 13.8 42
95.5 4.90 15.2 44
104.6 4.10 13.0 39
118.0 5.00 17.0 46
127.0 5.17 16.0 47
137.1 4.20 11.7 35
... ... ... ... ...
13810.5 4.50 13.4 39
1396.9 4.50 14.2 40
14013.5 4.45 13.6 40
1418.3 3.70 11.0 33
1427.0 4.30 12.7 38
1434.3 4.67 14.0 43
1442.7 4.40 12.7 39
14511.2 4.40 13.3 38
1475.9 4.40 11.9 37
14812.3 4.24 10.0 31
(
)
(
)
ú
ú
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20
25
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0
5
10
15
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0510
0
10
20
30
40
50
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5
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15
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,
0289
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0
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t
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2,5%2,5%
0
1,96 
Aceitase .
críticocrítico
t tt
H
=\<
Þ-
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
20040060080010001200
hematócrito
hemoglobina
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a
y
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Se
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g
Hb
Ht
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4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
20040060080010001200
hematócrito
hemoglobina
Hb
Ht
´
+
-
=
9017
,
2
00073
,
0
%
54
,
40
)
/
(
97
,
13
 
Se
=
®
=
Ht
dl
g
Hb
1429
,
9
7
64
2857
,
30
7
212
7222
2150
64
212
2
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y
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x
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7222
7
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2150
2
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b
b
1414
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1
)
2857
,
30
).(
2642
,
0
(
1429
,
9
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-
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a
x
y
2642
,
0
1414
,
1
^
+
=
201R

n
y
y
n
yx
xyb
r
2
2
2















(
)
(
)
92
,
0
8571
,
60
7143
,
211
2642
,
0
2
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r