Medidas de Tendencia Central

Prévia do material em texto

1
Medidas de Tendência Central
2
• Informam o valor em torno do qual os dados se distribuem.
• Tem por objetivo representar os dados de uma forma mais condensada que
uma tabela, localizando a maior concentração de valores em torno de uma
distribuição.
Medidas de Tendência Central
Medidas de Tendência Central
Média Mediana Moda
3
Média
  média populacional 
x  média amostral
 xi  soma dos elementos
N  número de elementos da população 
n  número de elementos da amostra
4
Média Aritmética Simples
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
• A média é a soma de todos os valores analisados, dividida pela 
quantidade de valores analisados.
x 
x1  x2  ...  xn
n
Ex: Suas notas em um teste seletivo foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. 
Considerando que todas têm o mesmo peso, calcule sua média.
Quantas pessoas foram atendidas em média?
X 
63  74  55  56  52 64  71 59  61 70

625
10 10
X  62,5  63 pessoas
Como essa informação ajuda na tomada de decisões?
Montar a escala de plantão na emergência;
Provisionar um estoque mínimo de medicamentos que serão 
usados nos plantões;
Dimensionar o número de leitos necessários.
Os atendimentos realizados na emergência de um PA nos últimos 
dez dias foram: 63 – 74 – 55 – 56 – 52 – 64 – 71 – 59 – 61 – 70.
7
2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
Média Aritmética Ponderada
• Média de um conjunto de dados cujos valores têm pesos diferentes.
Para calcular a média, multiplicamos a variável pela sua respectiva 
frequência.
Para o cálculo da média, somam-se essas multiplicações e divide pelo 
somatório das frequências.
8
• Em uma classe com 20 meninas e 30 meninos foi realizada uma 
prova; a média dos rapazes foi 7,0 e das meninas foi 8,0. A 
média da classe foi:
a) 7,2
b) 7,4
c) 7,8
d) 7,6
Exemplo
10
Atividade
Uma pesquisa realizada com 27 estudantes relacionou a nota dada a prestação
de serviço no transporte público com o respectivo número de pessoas que a
responderam. Qual a nota média dada a esse serviço?
Para calcular a média, multiplicamos a 
pontuação pela sua respectiva frequência. 
Para o cálculo da média, somam-se essas 
multiplicações e divide pelo somatório das 
frequências.
A tabela apresenta as notas obtidas por um aluno em quatro das cinco
provas realizadas e os pesos estabelecidos pelo professor para cada
prova. Se o aluno foi aprovado com média de 7,3, qual a nota obtida na
prova IV?
7,3 =
1.(6,5) + 2.(7,3) + 3.(7,5) + 2.x + 2.(6,2)
1 + 2 + 3 + 2 + 2
56 + 2x = 73  x = 8,5
Nota 8,5
Prova I II III IV V
Nota 6,5 7,3 7,5 ? 6,2
Peso 1 2 3 2 2
Agora é a sua vez!
O RH de uma empresa constatou que 55% dos funcionários eram do sexo
masculino, com média salarial mensal de R$ 3.400,00. A média salarial
mensal dos funcionários do sexo feminino era de R$ 3.800,00. A média
salarial mensal de todos os funcionários que participaram desse
levantamento estatístico foi de:
a) R$ 3.950,00
b) R$ 3.750,00
c) R$ 3.650,00
d) R$ 3.450,00
e) R$ 3.580,00
55.3400 + 45.3800
100
X = = 3.580
Para verificar a satisfação dos usuários de um posto de saúde de um município, a
prefeitura realizou uma pesquisa com 550 pessoas. As notas sugeridas aos
entrevistados compreendem as notas inteiras entre 1 a 10, onde 1 significa que o
usuário está muito insatisfeito e 10 que está muito satisfeito com os serviços
prestados pelo posto. Os resultados são apresentados na tabela. Calcule a média
dada pelos usuários ao atendimento recebido nesse posto de saúde.
Nota (xi ) fi xi.fi
1 2 1 . 2 = 2
5,70
2 5 2 . 5 = 10
3 18 3 . 18 = 54
4 98 4 . 98 = 392
5 132 5 . 132 = 660
6 139 6 . 139 = 834
7 105 7 . 105 = 735
8 23 8 . 23 = 184
9 16 9 . 16 = 144
10 12 10 . 12 = 120
Total ∑ 550 ∑ 3.135
14
3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
ponto médio média
ponderada.
i
xi = ponto médio
limsup + liminf
x =
2
15
Altura (cm) fi xi xi.fi X
150├ 154 4 152 608
161
154├ 158 9 156 1760
158├ 162 11 160 1404
162├ 166 8 164 1312
166├ 170 5 168 840
170├ 174 3 172 516
Total 40 6440
Calcule a altura média na tabela abaixo:
Cuidado com as médias!!!
Aparências 
podem enganar!
Maior problema da média: 
Maldição dos extremos!
Valores extremos (outlier) 
distorcem a média!
Solução para o problema … 
Remover os extremos!
A média é afetada por valores extremos. O que isso quer
dizer? Para calcular a média, é necessário somarmos
todos os dados da série, ou seja, essa medida leva em
conta todas as observações. Por isso, quando temos uma
situação em que aparecem alguns valores, ou muito baixo,
ou muito alto, se comparados com os demais elementos
da série, a média é influenciada por eles.
30
Moda (Mo)
• Valor que aparece mais vezes, ou seja, apresenta a maior frequência.
•Pode ocorrer de dois ou mais valores apresentarem a mesma
frequência, nestes casos, teremos distribuições bimodais (duas
modas), trimodais ou multimodais.
•Também é possível acontecer que todos os elementos tenham 
apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso 
significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou. Dessa 
forma, o conjunto é, então, chamado amodal.
•Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que 
pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais.
Moda (Mo): Valor que ocorre com maior frequência.
2 3 4 7 9 10
2 3 4 7 7 9 10
2 3 4 7 7 9 10 10
Amodal
Unimodal
Bimodal ou 
multimodal
32
2 3 4 7 7 9 10 Mo = 7
Tipo 
sanguíneo
Indivíduos 
(fi)
O 717
A 414
B 165
AB 53
Mo = 717
1º Caso: Para dados não agrupados ou organizados em tabelas
ponto médio
Altura (cm) fi Mo
150├ 154 4
160
154├ 158 9
158├ 162 11
162├ 166 8
166├ 170 5
170├ 174 3
Total 40
Mo =
liminf + limsup
2
Mo =
158 + 162
=
320
= 160
2 2
2º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
Mediana (Md)
•Definida como o valor que ocupa a posição central em um
conjunto de dados ordenados.
•A mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela
é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no
conjunto ordenado.
•Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados
estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em
relação aos n elementos ordenados desse conjunto.
• É o termo central do rol.
• Se o rol tiver um número par de termos, a mediana será o 
ponto médio entre os dois valores centrais
2 5 6 9 10
2 5 6 9 10 12 Md =
6 + 9 = 15 = 7,5
2 2
Md = 6
1º Caso: Para dados isolados ou não tabelados
Filhos fi Fi
0 2 2
1 6 8
2 10 18
3 12 30
4 4 34
Total 34
Distribuição das famílias segundo o número de filhos
Md =
Σfi
=
34
= 17 
2 2
A frequência acumulada imediatamente superior 
a 17 é Fi = 18.
Logo Md = 2 filhos.
2º Caso: Para dados organizados em uma tabela de frequências.
27
Idade fi Fi
12 1 1
14 2 3
15 1 4
16 2 6
17 1 7
20 1 8
Total 8
Tabela: Idade dos Alunos
i
2
Se F 
fi
A Mediana será a média aritmética entre 
o valor da variável correspondente a 
essa frequência acumulada e a seguinte.
i
f 8
2 2
  4 F3
Md 
1516

31
15,5
2 2
Md 15,5 anos
Determinar as frequências acumuladas e calcular fi
2
 Identificar a classe mediana correspondente a frequência 
acumulada imediatamente superior a fi
2
Usar a fórmula:
li = limite inferior da classe
Fant: frequência acumulada simples anterior 
fi = frequência simples da classe
h = amplitude da classe
3º Caso: Para dados agrupados em intervalos de classe
29
Altura (cm) fi Fi
150├ 154 4 4
154├ 158 9 13
158├ 162 11 24
162├ 166 8 32
166├ 170 5 37
170├ 174 3 40
Total 40
Altura de 40 alunos do IFES
2 2
fi 
40
 20
Md = 160,54
3
6
Medidas
de posição
Vantagens Desvantagens Usar quando
Média Reflete cada valor 
usado na distribuição
É influenciada por 
valores extremos
Deseja-se a medida 
de posição com 
maior estabilidade
Mediana Menos sensível a 
valores extremos do 
que a média.
Difícil de determinar 
para uma grande 
quantidade de dados
Deseja-se o ponto 
quedivide o 
conjunto em partes 
iguais
Moda Maior quantidade de
valores concentrados
nesse ponto.
Não se presta a 
análise Matemática. 
Nem sempre a 
distribuição possui 
moda
Deseja-se uma 
medida rápida e 
aproximada da 
posição. A medida 
de posição deve ser 
o valor mais típico 
da distribuição.
Medidas de Tendência Central
EXERCÍCIOS
1) Determine a média, moda e mediana do 
seguinte conjunto de dados:
A = {2, 5, 1, 8, 12, 9, 10, 2}
EXERCÍCIOS
A média é a soma dos valores e dividido pelo total deles:
Média = (2 + 5 + 1 + 8 + 12 + 9 + 10 + 2) / 8 = 49 / 8 = 
6,125
A moda é o valor que aparece mais vezes:
Moda = 2
A mediana é o valor central do conjunto de dados:
Mediana = 1, 2, 2, 5, 8, 9, 10, 12 = (5 + 8)/2 = 6,5
Primeiro ordenamos os dados e depois pegamos os dois 
valores centrais, pois o total de elementos do conjunto é 
par e fizemos a média dos dois valores centrais
EXERCÍCIOS
2-Os dados da tabela abaixo são referentes as idades dos 
alunos de uma determinada disciplina.
Calcule a média das idades, a mediana das idades e a idade 
modal dos alunos da disciplina.
Idade Frequência Absoluta
16 5
15 16
14 10
18 9
17 10
EXERCÍCIOS
Idade Média = ((16 . 5) + (15 . 16) + (14 . 10) + 
(18 . 9) + (17 .10)) / 50 = 792 / 50 = 15,84
Idade Mediana = (15 + 15) / 2 = 30 / 2 = 15
Idade Modal = 15
MEDIDAS SEPARATRIZES
São números que dividem a seqüência ordenada
de dados em partes que contêm a mesma
quantidade de elementos da série.
Desta forma, a mediana que divide a
seqüência ordenada em dois grupos, cada um
deles contendo 50% dos valores da seqüência, é
também uma medida separatriz.
Além da mediana, as outras medidas
separatrizes que destacaremos são: quartis,
quintis, decis e percentis.
QUARTIS
Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma
ficará com seus 25% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são chamados de
quartis.
Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a
seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e
75% de seus valores à direita.
O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a seqüência
ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus
valores à direita.
Note que o Q2 é a Mediana da série.
O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores.
Q1 Q2 Q3 Q4
25% 25% 25% 25%
QUINTIS
Se dividirmos a série ordenada em cinco partes, cada
uma ficará com seus 20% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de quintis.
Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1,
separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valores
à esquerda e 80% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros quintis.
20% 20% 20% 20% 20%
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5
DECIS 
Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cada
uma ficará com seus 10% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de decis.
Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1,
separa a seqüência ordenada deixando 10% de seus valores
à esquerda e 90% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros decis.
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 D10
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
PERCENTIS
Se dividirmos a série ordenada em cem partes,
cada uma ficará com 1% de seus elementos.
Os elementos que separam estes grupos são
chamados de centis ou percentis.
Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por
P1, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seus
valores à esquerda e 99% de seus valores à direita.
De modo análogo são definidos os outros
percentis.
P1 P2 A P100
1
%
99%
PERCENTIS
Se observarmos que os quartis, quintis e decis são
múltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula de
cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser
identificadas como percentis. Ou seja:
QUARTIS- PERCENTIS QUINTIS-PERCENTIS DECIS - PERCENTIS
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
K1 = P20
K2 = P40
K3 = P60
K4 = P80
D1 = P10
D2 = P20
D3 = P30
D4 = P40
D5 = P50
D6 = P60
D7 = P70
D8 = P80
D9 = P90
DADOS NÃO-AGRUPADOS
Identificamos à medida que queremos obter com o percentil
correspondente, Pi.
Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil i
no Rol, ou seja:
i x n
100
Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta
posição.
Note que se o elemento for um número inteiro, então Pi que
estamos procurando identificar é um dos elementos da seqüência
ordenada.
Se não for um número inteiro, isto significa que Pi é um
elemento intermediário entre os elementos que ocupam as
posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado.
Neste caso, Pi é definido como sendo a média dos valores que
ocupam estas posições aproximadas.
DADOS NÃO-AGRUPADOS - EXEMPLOS
Dada a série de valores, Calcule Q1
1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.
Solução: Q1 = P25.
Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série 
obtendo: 
25 x 12 = 3
100
Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é o
terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol
obtém-se 5.
Portanto Q1 = P25 = 5.
Interpretação: 25% dos valores desta sequência são valores
menores que 5 e 75% dos valores desta sequência são valores
maiores ou iguais a 5.
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
Identificamos à medida que queremos obter com o
percentil correspondente, Pi.
Calculamos i% de n(Σfi) para localizar a posição do
percentil i no Rol, ou seja:
i x Σfi
100
xi fi Fi
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σfi = 24
Exemplo: Calcule o D4 para a série
xi fi Fi
2
4
5
7
10
3
5
8
6
2
3
8
16
22
24
Σfi = 24
Solução: D4 = P40.
Calculamos 40% de 24 que é o
número de elementos da série
obtendo:
40 x 24 = 9,6
100
Este valor indica a
posição do P40 é um valor
compreendido entre o nono e o
décimo elemento da série.
Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim:
D4 = 5
Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menores
ou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valores
maiores ou iguais que 5.
DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALOS DE CLASSE
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis,
vamos generalizar a fórmula de mediana:
i x n - F(ant) x h
Pi = li + 100
fi
Sendo:
Pi – Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);
li - limite inferior da classe que contém o percentil;
n – número de elementos da série (Σfi);
F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe
que contém o percentil;
fi - freqüência simples da classe que contém o percentil;
h - amplitude do intervalo da classe mediana
Exemplo: Calcule o Q3 para a série.
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
i Intervalo de Classe fi Fi
1
2
3
4
5
0 ⌐ 10
10 ⌐ 20
20 ⌐ 30
30 ⌐ 40
40 ⌐ 50
16
18
24
35
12
16
34
58
93
105
Solução: Q3 = P75.
75 x 105 = 78,75
100
A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na 
série é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.
Substituindo os valores na fórmula obtém-se:
DADOS AGRUPADOS COM INTERVALOS DE CLASSE
75 x 105 - 58 x 10
P75 = 30 + 100 = 35,93
35
Portanto Q3 = P75 = 35,93.
Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são
valores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos
valores desta seqüência são valores maiores ou
iguais que 35.93.