Aplicações de Equações Diferenciais

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DESCRIÇÃO
Aplicações para as equações diferenciais em sistemas elétricos, mecânicos e físicos e para transformadas de Laplace.
PROPÓSITO
Apresentar aplicações das equações diferenciais de primeira ordem, de segunda ordem e da transformada de Laplace em
diversos sistemas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 2
Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
MÓDULO 3
Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
MÓDULO 1
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA
ORDEM
As equações diferenciais de primeira ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações com alguns exemplos em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas, em problemas de sistemas elétricos, para resolução de
circuitos elétricos do tipo RC e do tipo RL.
O circuito RC é o circuito que contém um resistor e um capacitor em série e o circuito RL é o que possui um resistor e um indutor
em série, como podemos ver nas imagens a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL.
CIRCUITO RL
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, conhecendo a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtemos a função i(t), que fornece o valor da corrente
elétrica em cada instante de tempo. A equação é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e não homogênea.
Reescrevendo a equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a expressão de i(t), podemos obter a tensão no indutor pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RC
Para o caso do circuito RC, usamos a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, podemos obter a dependência da tensão no capacitor
com o tempo, vc(t).
Reescrevendo a equação a ser resolvida:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obtermos a expressão de vc(t), pode ser obtida a corrente da malha i(t) pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
v(t)−Ri(t)−L = 0
di ( t )
dt
+ i(t)= v(t)
di ( t )
dt
R
L
1
L
vL(t)= L
di ( t )
dt
= C
v ( t ) −vc ( t )
R
dvc ( t )
dt
+ =
dvc ( t )
dt
vc ( t )
RC
v ( t )
RC
i(t)=  C
dvc ( t )
dt
EXEMPLO 1
Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua
de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente e a tensão no capacitor após t segundos.
RESOLUÇÃO
O modelo do circuito RC será dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, e 
Agora temos que obter o fator integrante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
, então,
.
Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
= C
v ( t ) −vc ( t )
R
dvc ( t )
dt
= 0,5 → + vc(t)=
50−vc ( t )
200
dvc ( t )
dt
dvc ( t )
dt
1
100
1
2
+ a(t)dvc(t)= b(t)
dvc ( t )
dt
a(t)= 1
100
b(t)= 1
2
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫  dt)= e t1
100
1
100
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e t.  dt = 50 e t 
1
100
1
2
1
100
vc(t)= (∫ P(t)b(t)dt + k )= (50 e t + k ),   K real1P ( t )
1
e100t
1
100
vc(t)= 50 + ke
− t V  ,   k real
1
100
t = 0s
vc (t) = 0
0 = 50 + k → k = −50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obtermos a corrente
, podemos fazer
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
(BALANCEAMENTO)
Vamos exemplificar, agora, a utilização de equações diferencial de primeira ordem na solução de problemas relacionados a
sistemas químicos.
O exemplo prático será relacionado a uma mistura de uma solução ou balanço de massa.
MISTURA DE SOLUÇÕES (BALANÇO DE MASSA)
Um problema de mistura de soluções está relacionado com um recipiente de capacidade fixa em que se mistura uma substância
em um líquido. A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa, e a mistura realizada no interior do tanque
sai dele também com uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada.
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja um recipiente de volume VT contendo inicialmente um líquido com volume V e uma quantidade inicial de substância s0.
A taxa de variação da quantidade de substância no recipiente com o tempo será dada por . Essa taxa será dada pela diferença
entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, da substância no tanque:
vc(t)= 50(1 − e− t)A
1
100
i(t)
i(t)=  C = 0, 5
dvc ( t )
dt
dvc ( t )
dt
i(t)= 0,5(50 e− t)= 0,25 e− t1
100
1
100
1
100
ds
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas a substância entra no tanque misturada ao líquido, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que:
 – concentração da substância na mistura de entrada.
 – Vazão de entrada (volume pelo tempo).
Isso é a taxa de entrada dada pela vazão de entrada do líquido, QE, que é volume pelo tempo vezes a concentração da
substância na mistura de entrada, medida em massa por volume.
Por exemplo, a mistura entra com uma vazão de 20L/min com uma concentração de substância de 10kg/L. Assim, a taxa de
entrada será de de substância por minuto.
De forma semelhante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é a vazão de saída da mistura, também medida em volume por tempo.
Repare que a mistura que vai sair terá uma concentração da substância que se encontra no recipiente. Considere que a
substância misturada não muda o volume do líquido.
Por exemplo, no instante de saída encontramos 2.000kg de substância e 10.000L no recipiente, com uma vazão de saída de
20L/min. Assim, a taxa de saída da substância será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar o caso mais simples em que a vazão de entrada QE é igual à vazão de saída QS, assim, o volume do líquido V
não varia com o tempo.
EXEMPLO 2
= TE − TS
ds
dt
TE = cQE
c
QE
10 kg /L ⋅ 20L/min = 200 kg
TS = QS
s
V
QS
  .  20L/min = 4kg/min200010000
kg
L
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada), com
uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada completamente e tem
uma saída do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo instante de tempo. Seja
a quantidade de sal, em kg, depois de
minutos.Para
, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial. Em nosso exemplo, 200kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por . Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada,
, e a taxa de saída,
do sal no tanque:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, a taxa de entrada seria dada por 0,5kg/L vezes 50L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, em nosso exemplo de 50L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade
fixa, de 10.000L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/10.000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total vezes a
vazão de saída de 50L/min. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
s(t)
t
t = 0
ds ( t )
dt
TE
TS,
= TE − TS
ds ( t )
dt
TE = 25kg/min
TS = s(t)/200kg/min
= 25 −   =
ds ( t )
dt
s
200
5000−s
200
= dt → ∫ = ∫ dt + C,   C realds
5000−s
1
200
ds
5000−s
1
200
−ln|5000 − s|= + C,   C  realt
200
t = 0
s = 200kg
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante
. Além disso, podemos até determinar qual a máxima quantidade de sal haverá no recipiente.
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, assim,
.
Vamos, agora, analisar o caso quando as vazões de entrada e de saída são diferentes.
Nesse caso, ocorre uma variação do volume do líquido no tanque dada pela diferença de vazão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que e são as vazões de entrada e saída, respectivamente, do líquido no tanque, que está misturado com a
substância.
Se QE < QS, o líquido irá aumentar de volume no tanque até transbordar em determinado instante.
Assim, o volume do líquido usado na taxa de saída da substância varia com o tempo. Esse volume será solução da equação
diferencial .
De modo semelhante, a variação da quantidade da substância no recipiente será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a diferença que
varia com tempo.
Iremos ver o exemplo da solução desse tipo de problema no Teoria na Prática deste módulo.
−ln|5000 − 200|= + C → C = −ln48000
200
−ln|5000 − s|= − ln 4800t
200
5000 − s = exp(ln 4800 − )= 4800 exp(− )t
200
t
200
s(t)= 5000 − 4800exp(− ),    com t em minutost
200
t
smax = 5000kg
   = QE − QS
dV ( t )
dt
QE QS
= QE − QS
dV ( t )
dt
= TE − TS  =  cQE − QS
ds
dt
s
V
V
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS NEWTONIANOS
Em vários problemas da Física, encontramos soluções por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Iremos estudar
alguns a seguir.
Vamos iniciar por um problema da cinemática relacionado à queda livre com resistência do ar.
QUEDA LIVRE SUJEITA À RESISTÊNCIA DO AR
Na Física, estudamos a segunda Lei de Newton, que relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua
aceleração em m/s2, por meio da equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas lembre-se de que, enquanto a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, a aceleração é a primeira
derivada da velocidade em relação ao tempo. Desse modo, a aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso e a
aceleração será constante e igual à aceleração da gravidade, não necessitando de uma equação diferencial para modelar o
problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força proporcional a sua velocidade, assim,
,
é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente.
Um objeto em queda livre de massa m, medida em kg, estará sujeito ao peso empurrando o objeto para baixo e à resistência do
ar, contrário ao peso.
→
F = m
→
a
a = =
dv ( t )
dt
d s ( t )2
dt2
Far = Kv = K
ds (t)
dt
K
FR = P − Far = ma
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é aceleração da gravidade.
Assim, conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo. Porém, temos uma equação diferencial de segunda
ordem, que não é objeto deste módulo.
Podemos, então, modelar a velocidade com o tempo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Organizando a equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a solução:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
mg − K   = m
ds ( t )
dt
d s ( t )
2
dt2
g
mg − Kv(t)= m
dv ( t )
dt
+ v(t)= g
dv ( t )
dt
K
m
v(t)= (1 − e− t) m/smg
K
K
m
v(t)= → s(t)= ∫ t0 v(t) dt
ds ( t )
dt
s(t)= ∫ t0 (1 − e
− t)dtmg
K
K
m
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de
1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da
gravidade como 10m/s2.
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com
.
Então,
e
. 
Agora, temos que obter o fator integrante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
s(t)= [t − (1 − e− t)]mg
K
m
k
K
m
mg − Kv = m → + 0,2 v = 10dv
dt
dv
dt
+ a (t) v = b (t)
dv
dt
a(t) = 0, 2
b(t) = 10
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫ 0,2 dt)= e0,2t
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e0,2t10 dt = 50 e0,2t 
v(t)= (∫ P(t)b(t)dt + k )= (50e0,2t + k ),   k real1
P ( t )
1
e0,2t
v(t)= 50 + ke−0,2tm/s ,   k real
Quando
tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero e a velocidade chega ao seu valor máximo de 50m/s2. 
Como o objeto saiu do repouso:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a expressão da velocidade pelo tempo é obtida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, tratar de um problema relacionado à temperatura, denominado Lei de Newton do Resfriamento.
LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO
Imagine um sólido de determinado material a uma temperatura
colocado em um grande recipiente cujo líquido tem uma temperatura
. O líquido irá transmitir calor para a esfera, que aumentará a sua temperatura.
A equação que regerá a variação da temperatura do sólido será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sendo a massa do sólido, sendo a área de contato do sólido com o líquido, o calor específico do sólido e o
coeficientede transmissão de calor por convenção entre o líquido e o sólido.
O inverso de
é denominado de constante de tempo do aquecimento ou desaquecimento.
t
v(0)= 50 + ke−0,2.0 = 0 → 0 = 50 + k → k = −50
v(t)= 50(1 − e−0,2t)m/s
T1
T2 > T1
= T2 − T
1
μ
dT
dt
μ =   (seg−1)hA
mc
m A c h
μ
EXEMPLO 4
Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante de
tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera após 30 seg.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para
, temos
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outros exemplos de aplicações podem ser encontrados nas obras listadas nas referências no fim do tema.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM CIRCUITO RL EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 20Ω E INDUTOR DE 2H. A TENSÃO É
FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE 200V QUE É LIGADA EM T = 0S. DETERMINE
A CORRENTE LIMITE QUE OCORRERÁ NO CIRCUITO.
A) 5A
B) 10A
= T2 − T → 10 = 100 − T
1
μ
dT
dt
dT
dt
= 0,1 dt → ∫ = ∫ 0,1 dtdT
100−T
dT
100−T
−ln(100 − T )= 0,1t + C ,  C real
100 − T = exp(−0,1t + C)→ T = 100 − exp(C)exp(−0,1t)
T = 100 − k  exp(−0,1t),  k  real positivo
t = 0
T = 300C
T (0)= 100 – ke−0,1.0 = 100 − k = 30 → k = 70
T (t)= 100 – 70e−0,1t
T (30)= 100– 70e−0,1.30 = 100– 70e−3 = 96, 510C
C) 15A
D) 20A
E) 25A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 10KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,5NS2/M. O OBJETO SAI
DO REPOUSO. DETERMINE A EXPRESSÃO DA VELOCIDADE, EM FUNÇÃO DO TEMPO, OBTIDA
POR ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. UMA ESFERA COM 500C DE TEMPERATURA É COLOCADA TOTALMENTE EM UM LÍQUIDO QUE
ESTÁ A 1000C. SABENDO QUE A CONSTANTE DE TEMPO DE AQUECIMENTO VALE 100SEG.,
DETERMINE A TEMPERATURA DA ESFERA, EM 0C, APÓS 1 SEG.
A) Entre 60 e 70
B) Entre 70 e 80
C) Entre 80 e 90
D) Entre 90 e 100
E) Entre 100 e 110
4. SEJA UM CIRCUITO
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
E CAPACITOR DE
, MEDIDO EM
v(t)= 50(1 − e−0,1t)m/s 
v(t)= 100(1 − e−0,5t)m/s 
v(t)= 200(1 − e−0,5t)m/s 
v(t)= 100(1 − e−0,05t)m/s 
v(t)= 200(1 − e−0,05t)m/s 
RC
100Ω
x
F
. A TENSÃO É FORNECIDA POR MEIO DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
LIGADA EM
. DETERMINE O VALOR DE
SABENDO QUE APÓS
A CORRENTE NO CAPACITOR VALE 
A) 0,5F
B) 0,4F
C) 0,3F
D) 0,2F
E) 0,1F
5. SEJA UM RECIPIENTE QUE CONTÉM, INICIALMENTE, 1000L DE ÁGUA E 20KG DE SAL. É
INSERIDA NO RECIPIENTE UMA SOLUÇÃO (ÁGUA SALGADA), COM UMA CONCENTRAÇÃO DE
5KG DE SAL POR LITRO DE ÁGUA, A UMA TAXA FIXA DE 25L/MIN. ESSA SOLUÇÃO É MISTURADA
COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA TAXA DE 25L/MIN. DETERMINE A
QUANTIDADE DE SAL QUE PERMANECE NO RECIPIENTE APÓS 600S DO INÍCIO DO PROCESSO.
A) Entre 801 e 900kg
B) Entre 901 e 1000kg
C) Entre 1001 e 1100kg
D) Entre 1101 e 1200kg
E) Entre 1201 e 1300kg
6. EM UM PROBLEMA DE BALANÇO DE MASSA, A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA É A MESMA.
UM RECIPIENTE CONTÉM 2.000L DE UM LÍQUIDO COM 100KG INICIAIS DE UMA SUBSTÂNCIA. A
CONCENTRAÇÃO DA ENTRADA É DE 10KG/L DE LÍQUIDO. SABE-SE QUE A CONCENTRAÇÃO DE
SUBSTÂNCIA NO RECIPIENTE, 500 MIN APÓS O INÍCIO DO PROCESSO, É DE 17.910,5KG.
DETERMINE A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA.
A) Entre 9L/min e 10L/min
B) Entre 19L/min e 20L/min
C) Entre 29L/min e 30L/min
D) Entre 39L/min e 40L/min
50V
t = 0s
x
10s
0, 5 e−1A.
E) Entre 49L/min e 50L/min
GABARITO
1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é fornecida através de uma fonte
contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente limite que ocorrerá no circuito.
A alternativa "B " está correta.
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
e
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
, então,
+ i(t)= v(t)di(t)
dt
R
L
1
L
+ i(t)= 200 → + 10i(t)= 100
di(t)
dt
20
2
1
2
di(t)
dt
+ a(t)i(t)= b(t)
di ( t )
dt
a(t) = 10
b(t) = 100
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫ 10 dt)= e10t
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e10t100 dt = 10 e10t 
i(t) = (∫ P(t)b(t)dt + k )= (10e10t + k ),    k real1
P(t)
1
e10t
i(t) = 10 + ke−10tA ,  k real
t = 0s
i(0) = 0
. Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da
resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade, em função do tempo,
obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante
de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg.
A alternativa "C " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
0 = 10 + k → k = −10
i(t)= 10(1 − e−10t)A
t → ∞
lim
t→∞
i(t)= 10(1 − 0)= 10A
= T2 − T → 100 = 100 − T
1
μ
dT
dt
dT
dt
=  dt → ∫ = ∫  dtdT
100−T
dT
100−T
−ln(100 − T )= t − C ,  C real
100 − T = exp(−t + C)→ T = 100 − exp(C)exp(−t)
T = 100 − k exp(−t),    k real positivo
Mas para
, temos
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um circuito
em série com resistência de
e capacitor de
, medido em
. A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de
ligada em
. Determine o valor de
sabendo que após
a corrente no capacitor vale 
A alternativa "E " está correta.
O modelo do circuito RC será dado por
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
t = 0
T = 500C
T(0) = 100– ke−0 = 100 − k = 50 → k = 50
T(t) = 100– 50e−t
T(1) = 100– 50e−10 = 81, 60C
RC
100Ω
x
F
50V
t = 0s
x
10s
0, 5 e−1A.
= C
v(t)−vc(t)
R
dvc(t)
dt
= x → + vc(t)=
50−vc(t)
100
dvc(t)
dt
dvc(t)
dt
1
100x
1
2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então Então e 
Agora tem que se obter o fator integrante
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo agora a integral
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalComo circuito é ligado em
então Desta forma
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a corrente
pode fazer 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água
salgada), com uma concentração de 5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa solução é misturada
completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a quantidade de sal que permanece no
recipiente após 600s do início do processo.
+ a(t)dvc(t)= b(t)
dvc ( t )
dt
a(t) = 1
100x
b(t) = .1
2x
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫  dt)= e t1
100x
1
100x
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e t.  dt = 50 e t 
1
100x
1
2x
1
100x
vc(t) = (∫ P(t)b(t)dt + k )= (50 e−100x t + k ),   k real1P(t)
1
e−100xt
vc(t)= 50 + ke
− t V  ,   k real
1
100x
t = 0s,
vc(t)= 0.
0 = 50 + k → k = −50
vc(t)= 50(1 − e− t)A
1
100x
i(t)
i(t)=  C
dvc(t)
dt
i(t)= x(50 e− t)= 0,5 e− t1
100x
1
100x
1
100x
i(10)= 0,5 e− .10 = 0,5 e−1
1
100x
− . 10 = −1 → C = 0,1 F1
100x
A alternativa "D " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 5kg/L vezes 25L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, sendo 25L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 1.000L.
Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/1000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a
vazão de saída de 25 L/min. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
= TE − TS
ds
dt
TE = 125kg/min
TS = s(t)/40kg/min.
= 125 −   =ds
dt
s
40
5000−s
40
= dt → ∫ = ∫ dt + C,  C realds
5000−s
1
40
ds
5000−s
1
40
−ln|5000 − s|= + C,C realt
40
t = 0
s = 20kg
−ln|5000 − 20|= + C → C = −ln49800
40
−ln|5000 − s|= − ln  4980t
40
5000 − s = exp  (ln  4980 − )= 4980 exp(− )t
40
t
40
s(t)= 5000 − 4980 exp(− ),   com t em minutost
40
t = 600
s = 10min
.
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. Um recipiente contém 2.000L de um
líquido com 100kg iniciais de uma substância. A concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se que a
concentração de substância no recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine a vazão de
entrada e de saída.
A alternativa "A " está correta.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 10kg/L vezes Q L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 2.000L.
A taxa de saída da substância será de s(t)/2000 (kg/L) vezes a vazão de saída de Q L/min. Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
s(t)= 5000 − 4980  exp(− )= 1121,57 kg1
4
= TE − TS
ds
dt
TE = 10Qkg/min
TS = Qs(t)/2000kg/min.
= 10Q −   = Qds
dt
s Q
2000
20000−s
2000
= dt → ∫ = ∫ dt + C,  C realds
20000−s
Q
2000
ds
20000−s
Q
2000
−ln|20000 − s|= + C,C real
Qt
2000
t = 0
s = 100kg
−ln|20000 − 100|= 0 + C → C = − ln  19.900
−ln|20.000 − s|= − ln  19.900
Qt
2000
20 .000 −s = exp (ln 19 .900 − )= 19 .900  exp (− )Qt
2000
Qt
2000
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
, temos
.
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um tanque com um volume máximo de 280L que contém inicialmente 10kg de uma substância dissolvida em um volume de
180L de um líquido. Suponha que a vazão de entrada no recipiente ocorra a uma taxa de 12L/min, contendo uma concentração
de 0,25kg/L da substância. A mistura é retirada do líquido com uma taxa de 8L/min. Determine a quantidade de substância no
recipiente quando o líquido começar a transbordar.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS QUÍMICOS
s(t)= 20. 000 − 19. 900 exp(− ),  com t em minutosQt
2000
t = 500min
s(10) = 17.910, 5
17.910,5 = 20.000 − 19.900 exp(− )Q
4
19.900 exp(− )= 2089,5 → exp(− )= 0,105Q
4
Q
4
− = ln(0,105)= −2,25 → Q ≈ 9L/ min
Q
4
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UM CIRCUITO
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
E CAPACITOR DE
. A TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
LIGADA EM
. DETERMINE A TENSÃO NO CAPACITOR APÓS
.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UM OBJETO COM MASSA DE 2KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA CONSTANTE
DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 1NS2/M. O OBJETO SAI DO REPOUSO.
DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA ATINGIDA POR ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2.
A) 10m/s
B) 15m/s
C) 20m/s
D) 25m/s
E) 30m/s
RC
2000Ω
1F
100V
t = 0s
100s
10(1 − e− )A
1
10
200(1 − e− )A
1
10
10(1 − e− )A
1
20
100(1 − e− )A
1
20
200(1 − e− )A
1
200
GABARITO
1. Seja um circuito
em série com resistência de
e capacitor de
. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de
ligada em
. Determine a tensão no capacitor após
.
A alternativa "D " está correta.
 
O modelo do circuito RC será dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, temos que obter o fator integrante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RC
2000Ω
1F
100V
t = 0s
100s
= C
v(t)−vc(t)
R
dvc(t)
dt
= 1 → + vc(t)=
100−vc(t)
2000
dvc(t)
dt
dvc(t)
dt
1
2000
1
20
+ a(t)dvc(t)= b(t)
dvc ( t )
dt
a(t) = eb(t) = .1
2000
1
20
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫  dt)= e t1
2000
1
2000
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e t.  dt = 100 e t 
1
2000
1
20
1
2000
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
, então, . Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constantede proporcionalidade da resistência
do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima atingida por ele durante sua queda.
Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2.
A alternativa "C " está correta.
 
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com 
Então,
e
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral,
vc(t) = (∫ P(t)b(t)dt + k )= (100 e t + k ),  k real1P(t)
1
e2000t
1
2000
vc(t)= 100 + ke
− t V  ,  k real
1
2000
t = 0s
vc(t)= 0
0 = 100 + k → k = −100
vc(t)= 100(1 − e− t)A
1
2000
vc(100)= 100(1 − e− 100)A
1
2000
vc(100)= 100(1 − e− )A
1
20
mg − Kv = m → + 0,5 v = 10dv
dt
dv
dt
+ a(t)v = b(t).dv
dt
a(t) = 0, 5
b(t) = 10
P(t)= exp(∫ a(t)dt)= exp(∫ 0,5 dt)= e0,5t
∫ P(t)b(t)dt = ∫ e0,5t10 dt = 20 e0,5t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto
tende ao infinito, a exponencial tende a zero e a velocidade chega em seu valor máximo de 20m/s.
MÓDULO 2
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA
ORDEM
As equações diferenciais de segunda ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
v(t)= (∫ P(t)b(t)dt + k )= (20 e0,5t + k ),  k real1
P(t)
1
e0,5t
v(t) = 20 + ke−0,5tm/s ,  k real
t
Neste módulo, apresentaremos aplicações, com alguns exemplos, em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS
Estudamos a resolução de circuitos elétricos RC e RL por meio de equações diferenciais de primeira ordem. Quando surgem
problemas com circuitos RLC, ou seja, um resistor em série com capacitor e indutor, a solução irá requerer uma solução de uma
equação diferencial de segunda ordem.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RLC.
Considere que a carga do capacitor no instante t é representada por Q(t), assim, a corrente elétrica do circuito será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a equação de malha no circuito RLC, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor da derivada da corrente:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
i(t)=
dQ ( t )
dt
L + Ri(t)+ = v(t)
di ( t )
dt
Q ( t )
C
L + R + = v(t)
d Q(t)2
dt2
dQ(t)
dt
Q ( t )
C
Que é uma equação diferencial de segunda ordem de coeficientes constantes.
Para resolvermos esse problema de valor inicial, necessitamos de duas informações que normalmente serão o valor da corrente
e da carga do capacitor no instante
. Lembre-se de que
, assim, teremos
e
Se derivarmos a equação diferencial em ambos os lados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando a corrente ao tempo.
EXEMPLO 5
Determine o valor da carga de um capacitor
em um circuito
sabendo que 
e
Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
são nulas.
RESOLUÇÃO
t = 0
i(t) = Q′(t)
Q(0)
Q′(0) = i(0).
L + R + = v'(t)
d Q ( t )
3
dt3
di
dt
1
C
dQ ( t )
dt
L + R + i(t)= v'(t)
d i ( t )2
dt2
di ( t )
dt
1
C
Q(t)
RLC
R = 40Ω, C = 16 ⋅ 10 – 4 F ,
L = 1H
v(t) = 50cos(5t).
t = 0
Montando o modelo para carga do capacitor:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO (Equação Diferencial Ordinária ) :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E
L + R + = v(t)→ + 40 + 625Q(t)= 50  cos(5t)d Q(t)
2
dt 2
dQ(t)
dt
Q ( t )
C
d Q ( t )
2
dt 2
dQ ( t )
dt
q '' + 40q ' + 625q = 0
k2 + 40k + 625 = 0.
k = = = = −20 ± 15j
−b±√b −4ac2
2a
−40±√402−4.1.625
2
−40±√−900
2
qH = ae
−20t cos(15t)+be−20tsen(15t),  a e b reais
50 cos(5t)
m1 sen(5t)+m2 cos(5t)
qp = m1 sen(5t)+m2 cos(5t)→ q
,
p = 5m1 cos(5t)−5m2 sen(5t) →
q
,,
p = −25m1 sen(5t)−25m2 cos(5t)
−25m1 sen(5t)−25m2 cos(5t)+40(5m1 cos(5t)−5m2 sen(5t))+
+625(m1 sen(5t)+m2 cos(5t))=
=(−25m2 + 200m1 + 625m2)cos(5t)+(−25m1 − 200m2 + 625m1)sen(5t)=
=(200m1 + 600m2)cos(5t)+(−200m2 + 600m1)sen(5t)= 50  cos(5t)
{ 200m1 + 600m2 = 50
−200m2 + 600m1 = 0
→ 200m1 + 600.   m1 = 2000m1 = 50 → m1 =
600
200
1
40
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
e
são números pertencente aos conjuntos dos números reais.
Mas 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que na expressão existem termos que tendem a zero quando o tempo tende ao infinito. Esses termos são os
multiplicados pelo exponencial.
Quando t tende ao infinito, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que será a própria solução particular e será denominado de solução de estado ou regime permanente ou solução de
estado ou regime estacionário. A solução geral é denominada solução em estado ou regime transitório.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
Vamos estudar uma aplicação em Mecânica Quântica na solução da equação de Schrödinger independente do tempo.
A Mecânica Quântica surgiu para analisar o movimento das partículas que, por serem bastante pequenas, não atendiam à
mecânica de Newton, denominada Mecânica Clássica. Nessa linha, analisamos a equação de Schrödinger que determina a
m2 = 3m1 =
3
40
Q(t)= qh + qP = a e−20t cos(15t)+be−20t sen(15t)+0,025  sen(5t)+0,075 cos(5t),  
a
b
Q(0) = a + 0, 075 = 0 → a = −0, 075
i(t)= = Q'(t)= −20 ae−20tcos(15t)−15ae−20tsen(15t)−20be−20tsen(15t) 
dQ(t)
dt
+15be−20t cos(15t)+0,125 cos(5t)−0,125sen(5t)
Q’(0) = −20a + 15b + 0, 125 = 0 → 15b = −0, 125 + 20a = −0, 125 + 20.(−0, 075)
15b = 1,625 → b = 0,108
Q(t)= 0,075 e−20t cos(15t)+0,108 e−20t sen(15t)+0,025  sen(5t)+0,075 cos(5t)
Q(t)= 0,025  sen(5t)+0,075 cos(5t)
função de onda de uma partícula.
A solução geral que depende do tempo é uma equação diferencial parcial, não sendo assunto de nosso estudo, assim, iremos
analisar a equação que depende apenas da posição x, independente do tempo, que é resolvida pela solução de uma EDO de
segunda ordem.
Seja
a função de onda que depende da posição
.
A equação unidimensional de Schrödinger é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
 é a massa da partícula;
 é a energia total da partícula;
 é a energia potencial no ponto x;
 é a constante de Plank que vale aproximadamente 6,626 10-34
Vamos estudar o caso simples com
.
Assim, a equação se transforma:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Seja uma partícula de massa
φ (x)
x
− + V (x)φ = Eφh
2
8π2m
d φ
2
dx2
m
E
V (x)
h
V (x)= 0
− = Eφh
2
8π2m
d φ
2
dx2
m
. Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se,
também, que e .
RESOLUÇÃO
Temos que resolver o seguinte modelo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar, vamos substituir
, assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
.
Como
Como
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS
Neste item de aplicação de equação do segundo grau em sistemas físicos, realizaremos um estudo sobre vibrações em um
sistema massa-mola.
Seja um objeto de massa m preso na extremidade de uma mola, com constante de elasticidade k > 0, na vertical. Na outra
extremidade, a mola é presa em um ponto fixo no teto. Vide a imagem ao lado.
φ(0)= a φ(L)= 0
− = Eφh
2
8π2m
d φ
2
dx2
= μ
h2
8π2m
−μ = Eφ → μ + Eφ = 0
d φ
2
dx2
d φ
2
dx2
μk2 + E = 0 → k = ±√− = ±i Eμ
E
μ
φ = A cos( x) + B sen( x)E
μ
E
μ
φ (0) = a → A.1 + B.0 = a → A = a
φ (L) = 0 → a cos( L) + B sen( L) = 0 → B = −a ctg( L)E
μ
E
μ
E
μ
φ(x)= a cos( x)+[−a ctg( L)] sen( x)Eμ
E
μ
E
μ
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Se não tivermos nenhum corpo preso na mola, ela não estará esticada ou comprimida, estará em seu estado natural. Quando
esticamos ou comprimimos a mola, por um espaçamento
medido em metros, ela apresentará uma força de resistência:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consideremos
positivo quando se estica a mola e
negativo quando se comprime a mola. Vamos considerar o primeiro caso de não existir nenhuma resistência ou amortecimento
ou outra força qualquer além da força da mola e do peso do corpo. Esse caso será denominado de vibrações sem
amortecimento.
VIBRAÇÕES SEM AMORTECIMENTO
Ao prendermos um corpo na extremidade da mola, ela estará em equilíbrio estático regido pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a mola estará parada, esticada por um espaçamento
.
x
→
F = −k
→
x
→x
→x
→
P = m
→
g = K
→
L →
→
L =
→
gm
k
→L
Vamos, agora, causar um distúrbio, retirando essa mola do seu equilíbrio, esticando ou comprimindo-a, em relação ao ponto de
equilíbrio estático, de
.
Assim, a força da mola será, agora:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei de Newton nos indica que:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear. O movimento a que o corpo estará sujeito nessas
condições será denominado de Movimento Harmônico Simples. Nesse caso, por não existir resistência ao movimento, a mola
fica comprimindo e esticando sempre com a mesma amplitude.
EXEMPLO 7
Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k = 128N/m. Um corpo de 6,4kg é preso em
sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma
→x
→
F M = −K(→x +
→
L)
→
F R =
→
F M −
→
P = m
→
a = m d x
2
dt2
→
F R = −kx = m
d x
2
dt2
m + FR = 0
d x
2
dt2
m + kx = 0d x
2
dt2
distância total de 0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10m/s2.
RESOLUÇÃO
Repare que no estado de equilíbrio teremos: 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,7m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. Esse movimento será regido por uma
EDO de segunda ordem dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m1 e m2. A primeira condição é que x(0) = 0,2 m. Em
outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de 0,7 – 0,5 = 0,2m. A segunda condição é que
largamos a mola em x = 0,2m do repouso, assim v(0) = x’(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o movimento harmônico de vibração acontecerá com uma amplitude de 0,2m, que é o esticamento extra que foi
aplicado.
Vamos, agora, analisar o caso com uma força de resistência ou amortecimento.
VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO
→
P = m
→
g
= K
→
L →
→
L =
→
g = = 0,5mm
K
6,4.10
128
m + Kx = 0d
2x
dt2
2 + 128x = 0
d2x
dt2
2u2 + 128 = 0 → u2 = −64 → u = ±8i
x = m1 cos(8t)+m2sen(8t)
x = m1 cos(8t)+m2sen(8t)→ x
' = −8m1sen(8t)+8m2 cos(8t)
x(0) = m1 = 0, 2
x’(0) = 8m2 = 0 → m2 = 0
x(t)= 0,2 cos(8t)
Considere o caso de se ter uma força de resistência, como o ar, ou um amortecimento por meio de um dispositivo externo. Essa
força de resistência é oposta ao movimento e proporcional à velocidade, assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A constante c é denominada de constante de amortecimento. Agora, seguindo a lei de Newton, a força resultante será dada pela
força da mola extra mais o amortecimento.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que apenas com o corpo
, a mola fica em equilíbrio estático em
, assim,
.
OU
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que também é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
→
F am = −cv = −c
dx
dt
→
F R = m = mg − kxT − c
d x
2
dt2
dx
dt
m = mg − k(x + L) − cd x
2
dt2
dx
dt
m
L
mg = kL
m = kL − k(x + L)−c = −kx − cd x
2
dt2
dx
dt
dx
dt
m + c + kx = 0d x
2
dt2
dx
dt
Esse movimento amortecido tem três tipos diferentes.
Veja!
A equação característica da EDO será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CASO 1
SUPERAMORTECIMENTO OU SOBREAMORTECIMENTO:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação dois números reais
e
.
Como
,
e
são positivos: .
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
mu2 + cu + k = 0
u =
−c±√c2−4mk
2m
c2 − 4mk > 0
r1
r2
c
m
k
c2 − 4mk < 0
r1 =
−c+√c2−4mk
2m
r2 =
−c−√c2−4mk
2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Serão número negativos. Nesse caso, o movimento
será regido pela equação
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá a zero quanto t tender ao infinito e não ocorrerá nenhuma oscilação.
CASO 2
AMORTECIMENTO CRÍTICO:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação um número real:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O movimento
será regido pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá também a zero quando
tende ao infinito, porém, em um tempo de amortecimento menor do que o caso anterior. Nesse caso, tampouco ocorrerá a
oscilação.
CASO 3
SUBAMORTECIMENTO:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x
x = m1e
r1t + m2e
r2t
c2 − 4mk = 0
r1 = r1 = r = < 0
−c
2m
x
x =(m1 + m2t)e
rt
t
c2 − 4mk < 0
Teremos como raízes da equação dois númeroscomplexos
.
Com
e
Nesse caso, o movimento
será regido pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento será um movimento oscilatório, porém, com as amplitudes diminuindo com o tempo. Assim, tenderá também a
zero quando t tende ao infinito.
O caso 3 é o único em que existirá oscilação antes da parada total do sistema massa-mola.
EXEMPLO 8
Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é retirado do ar e colocado em um fluido que
contém uma constante de amortecimento
. Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio
, porém, com uma velocidade inicial provocada de
.
RESOLUÇÃO
A equação que modelará o sistema será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
a + ±bi
a =
−c
2m
b =
√4mk − c2
2m
x
x = e
−( ) t(m1 cos(bt)+m2 sen(bt))
c
2m
c = 68
x = 0, 5m
0, 6m/s
m + c + kx = 0d x
2
dt 2
dx
dt
2 + 68 + 128x = 0d x
2
dt 2
dx
dt
+ 34 + 64x = 0d x
2
dt 2
dx
dt
A equação característica da EDO será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos um movimento sobreamortecido com equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições de contorno
e
.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESSES CASOS SÃO DENOMINADOS MOVIMENTOS LIVRES, POIS
NÃO EXISTE OUTRA FORÇA AGINDO NO SISTEMA.
Caso haja uma força externa, além da mola e peso, agindo no sistema, denominamos vibrações forçadas. As vibrações forçadas
resultarão em batimentos ou ressonâncias, conforme ocorrerem ou não amortecimentos. Esse tipo de vibração não será objeto
de estudo deste módulo, mas pode ser encontrado nas obras listadas nas referências no fim do conteúdo.
Outro ponto é que estudamos a mola na vertical, mas o estudo análogo pode ser feito para a mola na horizontal sobre uma
superfície. Outros exemplos de aplicações, além dos que aqui foram apresentados, também podem ser encontrados nas
referências no fim do conteúdo.
u2 + 34u + 64 = 0
u = = ={−32
−2
−34±√1156−4.64
2
−34±30
2
x(t)= m1e
−32t + m2e
−2t
x(0) = 0
v(0) = x′(0) = 0, 6
x'(t)= −32m1e
−32t − 2m2e
−2t
x(0)  =  m1  +  m2  =  0
x’(0)  =   –  32 m1 –  2 m2  =  0, 6
m2 =–m1 → −32m1 + 2m1 = 0, 6 → m1 = − = −0, 02
0,6
30
m2  =  –  m1  =  0, 02
x(t)= 0,02(e−2t − e−32t)
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM SISTEMA MASSA-MOLA NA VERTICAL PRESO A UM AMORTECEDOR COM
CONSTANTE DE AMORTECIMENTO
. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA DE
E O CORPO PRESO A ELA TEM MASSA DE 4KG. O SISTEMA ESTÁ EM EQUILÍBRIO COM UM
ESPAÇAMENTO DA MOLA DE 0,4M. APÓS ESTICAR O CORPO E LARGAR O SISTEMA EM UM
ESTICAMENTO DA MOLA TOTAL DE 0,8M, O SISTEMA ENTRARÁ EM MOVIMENTO. 
 
MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A
SABENDO QUE O MOVIMENTO SERÁ DO TIPO SUBAMORTECIDO.
A) k = 32
B) k = 64
C) k > 64
D) k < 64
E) k < 32
2. SEJA UMA PARTÍCULA DE MASSA M TAL QUE . A PARTÍCULA SE ENCONTRA EM UMA
REGIÃO COM ENERGIA POTENCIAL NULA E UMA ENERGIA TOTAL EM TODOS OS PONTOS IGUAIS
A
. SABE-SE TAMBÉM QUE E . DETERMINE SUA FUNÇÃO DE ONDA
UNIDIMENSIONAL:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
c = 32
k
k
= 9h
2
8π2m
E = 1J
φ(0)= 0 φ(π)= 4
φ(x)=  cos( x)8√3
3
1
3
φ(x)=  sen( x)8√3
3
1
3
φ(x)= 8 sen( x)1
6
φ(x)= 8 sen( x)1
3
φ(x)= 8 cos( x)1
3
3. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE UM
CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR . SABE-SE QUE
E
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 2KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 200N/M. DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO. O CORPO É LARGADO COM UMA VELOCIDADE INICIAL DE
1M/S NA POSIÇÃO DE 0,8M. CONSIDERE
. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DETERMINE O VALOR DA CARGA DE UM CAPACITOR
EM UM CIRCUITO RLC, SABENDO QUE , ,
E
v(t)= sen(t)
R = 1Ω,
C = 1F
L = 2H.
i(t)= sen(t)− cos(t)
i(t)= − sen(t)+ cos(t)1
2
1
2
i(t)= − sen(t)− cos(t)1
2
1
2
i(t)= sen(t)+ cos(t)1
2
1
2
i(t)= sen(t)− cos(t)1
2
1
2
g = 10m/s2
x(t)= −0,1 cos(10t)+0,4  sen(10t)
x(t)= 0,4 cos(10t)−0,1  sen(10t)
x(t)= 0,4 cos(10t)+0,4  sen(10t)
x(t)= 0,7 cos(10t)+0,1  sen(10t)
x(t)= 0,1 cos(10t)+0,7  sen(10t)
Q(t)
R = 20Ω C = 2 ⋅ 10–3 F
L = 1H
v(t) = 12V
. SABE-SE QUE A CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA PARA
SÃO NULAS. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL QUE SE ENCONTRA DENTRO DE UM FLUIDO
COM CONSTANTE DE AMORTECIMENTO
O CORPO PENDURADO À MOLA TEM PESO DE 40N, E A CONSTANTE DA MOLA É DE 272N/M.
DETERMINE O MOVIMENTO EXECUTADO PELO SISTEMA SABENDO QUE SAI DA POSIÇÃO DE
PORÉM, COM UMA VELOCIDADE INICIAL PROVOCADA DE 4,6M/S. CONSIDERE
 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de amortecimento
. A mola tem constante elástica de
t = 0
Q(t)= −12 e−10t cos(20t)+6 e−10t sen(20t)+12
Q(t)= 12 e−10t cos(20t)−6 e−10t sen(20t)+0,024
Q(t)= −12 e−10t cos(20t)+6 e−10t sen(20t)+0,024
Q(t)= −12 e−10t sen(20t) + 6 e−10t cos(20t)+0,024
Q(t)= 12 e−20t cos(20t)+6 e−20t sen(20t)+12
c = 16.
x = 0, 647m,
g = 10m/s2.
x(t)= e−2t(0,5 cos(8t)+0,7 sen(8t))
x(t)= e−2t(0,7 cos(8t)+0,5 sen(8t))
x(t)= e−8t(0,5 cos(2t)+0,7 sen(2t))
x(t)= e−8t(0,5 cos(2t)+0,5 sen(2t))
x(t)= e−2t(0,5 cos(8t)−0,7 sen(8t))
c = 32
e o corpo preso a ela tem massa de 4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m. Após
esticar o corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o sistema entrará em movimento. 
 
Marque a alternativa verdadeira relacionada a
sabendo que o movimento será do tipo subamortecido.
A alternativa "C " está correta.
A equação que modelará o movimento será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o movimento ser subamortecido, a equação característica terá raízes complexas.
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
.
2. Seja uma partícula de massa m tal que . A partícula se encontra em uma região com energia potencial nula e
uma energia total em todos os pontos iguais a
. Sabe-se também que e . Determine sua função de onda unidimensional:
A alternativa "B " está correta.
Temos que resolver o seguinte modelo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
k
k
m + c + kx = 0d x
2
dt 2
dx
dt
4 + 32 + kx = 0d x
2
dt 2
dx
dt
c2 − 4mk < 0 → 322 − 4.4. k < 0 → 16k > 1024
k > 64
= 9h
2
8π2m
E = 1J
φ(0)= 0 φ(π)= 4
− = Eφ → −9 = φ
h2
8π2m
d φ
2
dx2
d φ
2
dx2
9k2 + 1 = 0 → k = ±√− = ±i  = ±i1
9
1
√9
1
3
φ = A cos( x)+B sen( x)1
3
1
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dadapor . Sabe-se que
e
A alternativa "E " está correta.
Montando o modelo apresentado na teoria:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular. Agora, analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo 
Se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, e 
φ(0)= 0 → A. 1 + B. 0 = 0 → A = 0
φ( )= 4 → B sen( π)= 4 → B = 4 → B = =π
3
1
3
√3
2
8
√3
8√3
3
φ(x)=  sen( x)8√3
3
1
3
v(t)= sen(t)
R = 1Ω,
C = 1F
L = 2H.
L + R + i(t) = v'(t)d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
1
C
2 + + i(t)= ( sen(t))
'
=   cos(t)
d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
cos(t)
m1 sen(t)+m2 cos(t)
ip = m1 sen(t)+m2 cos(t)→ i
,
p = m1 cos(t)−m2 sen(t) →
i''p = −m1 sen(t)−m2 cos(t)
2 + + i(t)= cos(t)d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
2(−m1 sen(t)−m2 cos(t)) + (m1 cos(t)−m2 sen(t)) +(m1 sen(t)+m2 cos(t))=
(−m1 − m2) sen(t)+(m1 − m2) cos(t)= cos(t)
m1 = −m2 m1 = 1 + m2
Portanto, e 
Assim, a solução particular será a solução em estado estacionário:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 2kg e tem uma constante
de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que rege o movimento. O corpo é largado com uma velocidade inicial
de 1m/s na posição de 0,8m. Considere
. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
No estado de equilíbrio, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,8 m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. O valor da posição inicial de
. Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
e
.
A primeira condição é que
Em outras palavras, em
m1 =
1
2
m2 = −
1
2
i(t)= sen(t)− cos(t)1
2
1
2
g = 10m/s2
P = mg = kL → L = g = = 0,1mm
k
2.10
200
x = 0, 8– 0, 1 = 0, 7m
m + kx = 0d x
2
dt 2
2 + 200x = 0d x
2
dt 2
2u2 + 200 = 0 → u2 + 100 = 0 → u2 = −10 → u = ± 10i
x = m1 cos(10t)+m2sen(10t)
m1
m2
x(0) = 0, 7m.
t = 0,
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
A segunda condição é que largamos a mola em
com velocidade 1m/s, assim,
Aplicando as condições de contorno:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da carga de um capacitor
em um circuito RLC, sabendo que , ,
e
. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
são nulas. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Montando o modelo, apresentado na teoria, para carga do capacitor
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica 
Então
0, 8– 0, 1 = 0, 7m.
x = 0, 7m
v(0) = x′(0) = 1.
x = m1 cos(10t)+m2sen(10t)→ x' = −10m1sen(8t)+10m2 cos(8t)
x(0)  =  m1  =  0, 7
x’(0) = 10m2 = 1 → m2 = 0, 1
x(t)= 0,7 cos(10t)+0,1  sen(10t)
Q(t)
R = 20Ω C = 2 ⋅ 10–3 F
L = 1H
v(t) = 12V
t = 0
L + R + = v(t)→ + 20 + 500 Q(t)= 12
d Q(t)
2
dt 2
dQ(t)
dt
Q ( t )
C
d Q ( t )
2
dt 2
dQ ( t )
dt
2q ,, + 20q , + 500q = 0
k2 + 20k + 500 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora analisando o termo não homogêneo (12), vamos tentar uma solução particular do tipo
Se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com constante de amortecimento
O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento executado pelo
sistema sabendo que sai da posição de
porém, com uma velocidade inicial provocada de 4,6m/s. Considere
k = = = = −10 ± 20j
−b±√b −4ac2
2a
−20±√202−4.1.500
2
−20±√−1600
2
qH = a e
−10t cos(20t)+be−10t sen(20t),   a e b reais
m
qp = m → q
,
p = 0  → q
,,
p = 0
0 + 0 + 500m = 12 → m = 0,024
Q(t)= qh + qP = a e
−10t cos(20t)+be−10t sen(20t)+0,024,    a e b reais 
Q(0) = a + 12 = 0 → a = −12
i(t)= = Q,(t)= −10 a e−10tcos(20 t)−20a e−10tsen(20t)−10be−10tsen(20t) 
dQ(t)
dt
+20be−10t cos(20t)
Q’(0) = −10a + 20b = 0 → 2b = a = −12  → b = −6
Q(t)= −12 e−10t cos(20t)+6 e−10t sen(20t)+0,024
c = 16.
x = 0, 647m,
g = 10m/s2.
 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO SEGUNDA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um pêndulo simples de comprimento
está preso em um ponto fixo no teto segurando um corpo de massa
. Esse pêndulo é levado a uma posição de α em relação à vertical e é largado seguindo um movimento de oscilação. Determine a
equação do movimento do pêndulo sabendo que ele é largado com velocidade nula em um ângulo
.
Utilize a aproximação de
para ângulos pequenos.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO DA EDO SEGUNDA ORDEM NO ESTUDO DO
PÊNDULO
L = 5m
m
α = 0, 2 rd
senα = α
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE UM
CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR . SABE-SE QUE
,
E
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 1KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 100N/M. DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO SABENDO QUE O SISTEMA É LARGADO, SEM VELOCIDADE,
DE UMA POSIÇÃO 0,5M. CONSIDERE
.
A) 
B) 
C) 
D) 
v(t)= cos(t)
R = 1Ω
C = 1F
L = 2H.
i(t)= sen(t)− cos(t)
i(t)= − sen(t)+ cos(t)1
2
1
2
i(t)= sen(t)+ cos(t)1
2
1
2
i(t)= − sen(t)− cos(t)1
2
1
2
i(t)= sen(t)− cos(t)1
2
1
2
g = 10m/s2
x(t)= 0 ,4  cos(10t)
x(t)= 0 ,4  sen(10t)
x(t)= 0 ,4 cos(10t)+0 ,4  sen(10t)
x(t)= 0 ,5  cos(10t)
E) 
GABARITO
1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dada
por . Sabe-se que
,
e
A alternativa "C " está correta.
 
Montando o modelo apresentado na teoria:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular.
Agora analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagemhorizontal
Assim, e 
x(t)= 0 ,5  sen(10t)
v(t)= cos(t)
R = 1Ω
C = 1F
L = 2H.
L + R + i(t) = v'(t)d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
1
C
2 + + i(t)= (cos(t))' =   − sen(t)d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
−sen(t)
m1 sen(t)+m2 cos(t).
ip = m1 sen(t)+m2 cos(t)→ i
,
p = m1 cos(t)−m2 sen(t) →
i
,,
p = −m1 sen(t)−m2 cos(t)
2 + + i(t)= −sen(t)d i(t)
2
dt 2
di(t)
dt
2(−m1 sen(t)−m2 cos(t)) + (m1 cos(t)−m2 sen(t)) +(m1 sen(t)+m2 cos(t))=
(−m1 − m2) sen(t)+(m1 − m2) cos(t)= −sen(t)
m1 = m2 m1 = 1 − m2
Portanto, e 
A solução particular será a solução em estado estacionário:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 1kg e tem uma constante
de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que rege o movimento sabendo que o sistema é largado, sem
velocidade, de uma posição 0,5m. Considere
.
A alternativa "A " está correta.
 
No estado de equilíbrio, teremos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola
e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá um movimento.
O valor da posição inicial de
Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
e
.
A primeira condição é que
m1 =
1
2
m2 =
1
2
i(t)= sen(t)+ cos(t)1
2
1
2
g = 10m/s2
P = mg = kL → L = g = = 0,1mm
k
1.10
100
0, 5m
x = 0, 5– 0, 1 = 0, 4m.
m + kx = 0d x
2
dt 2
+ 100x = 0d x
2
dt 2
u2 + 100 = 0 → u2 = −10 → u = ± 10i
x = m1 cos(10t)+m2sen(10t)
m1
m2
x(0) = 0, 4m.
Em outras palavras, em
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
A segunda condição é que largamos a mola em
do repouso, assim
Aplicando as condições de contorno:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADAS DE LAPLACE
t = 0,
0, 5– 0, 1 = 0, 4m.
x = 0, 4m
v(0) = x′(0) = 0.
x = m1 cos(10t)+m2sen(10t)→ x' = −10m1sen(8t)+10m2 cos(8t)
x(0)  =  m1  =  0, 4
x’(0) = 10m2 = 0 → m2 = 0
x(t)= 0,4  cos(10t)
A transformada de Laplace tem diversas aplicações na análise de sistemas de controle, circuitos elétricos, vibrações mecânicas,
entre outras. As saídas desses sistemas apresentam dois tipos de regimes quanto à sua variação com o tempo: transitório e o
permanente. Neste módulo, apresentaremos aplicações da transformada de Laplace na análise de sistemas em regime transitório
e em regime permanente para sistemas de primeira e segunda ordem.
CONCEITOS INICIAIS
Na busca da melhor solução, usamos modelos que definem o funcionamento de um sistema. Assim, com o modelo, ao inserirmos
uma entrada, obteremos a resposta ou a saída desse sistema, isso é, o resultado que estamos estudando. Essa resposta,
quando analisada no tempo, consistirá em dois regimes distintos: transitório e permanente.
A RESPOSTA TRANSITÓRIA É AQUELA QUE VAI DO ESTADO
INICIAL ATÉ O ESTADO FINAL. A RESPOSTA PERMANENTE OU
ESTACIONÁRIA É AQUELA QUE PERMANECE QUANDO O VALOR
DO TEMPO TENDE AO INFINITO.
Na análise de um sistema, utilizamos como entrada alguns sinais de teste que vão examinar o comportamento desse sistema.
Esses sinais normalmente são função senoidal ou cossenoidal, função degrau unitário, função impulso e função rampa.
Considerando as transformadas de Laplace das funções seno e cosseno, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, examinar as transformadas de Laplace nas três outras entradas utilizadas para analisar o sistema.
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO EM
L [sen   at]=    e   L [cos   at]=a
s2+a2
s
s2+a2
t = a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO EM
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
f(t)= ua(t)={
0,  t < a
1,  t ≥ a
F(s)= L [f(t)]= ∫ ∞0 e
−stua(t)dt = ∫
a
0 e
−st. 0 dt + ∫ ∞
a
e−st. 1 dt = [− e−st]
∞
a
1
s
L [ua(t)]=
e−as
s
a = 0 : L [u0(t)] =
1
s
t = a
f(t)= δa(t − a)={
0,  t ≠ a
1,  t = a
  e   ∫ ∞−∞ δ(t − a)dt = 1
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Essa função pode ser analisada do seguinte modo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
A função impulso também é denominada de Delta de Dirac.
FUNÇÃO RAMPA
δ(t)= lim
τ→0
dτ(t)   com   dτ(t)={
,   − τ < t < τ
0 outros casos
1
2τ
∫ ∞−∞ δ(t − a)g(t)dt = g(a)
L [δ(t − a)]= e−as
a = 0 : L [δ (t)] = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Vamos estudar sistemas de primeira ordem pela análise de um circuito elétrico. Considere um circuito RL, representado na
imagem a seguir. Esse circuito pode ser modelado por meio da seguinte equação diferencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
f(t)= r(t)={ 0,  t < 0
t,  t ≥ 0
F(s)= L [f(t)]= ∫ ∞0 e
−str(t)dt = ∫ ∞0 e
−st. t dt
L [f(t)]= [− e−st − e−st]
∞
0
=t
s
1
s2
1
s2
+ i(t)= v(t)di(t)
dt
R
L
1
L
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL modelado por uma EDO.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que variando a entrada, obtemos a saída, analisando, assim, o sistema. Veja os exemplos.
EXEMPLO 9
L [ + i(t)]= L [ v(t)]di(t)
dt
R
L
1
L
sI(s)+i(0)+ I(s)= V (s)R
L
1
L
i(0) = 0
sI(s)+ I(s)= V (s)→[ ]I(s)= V (s)R
L
1
L
sL+R
L
1
L
I(s)= V (s)1
Ls+R
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
por um degrau de amplitude
.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude
centrado em
. Assim, se
é um degrau de amplitude
, temos
.
Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e cresce exponencialmente até
Portanto, em regime permanente, a saída seria
EXEMPLO 10
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
por uma rampa.
t = 0
V
V
t = 0
v(t)
V
V (s) =
V
s
I(s)=   = = =  ⌈ − ⌉1
Ls+R
V
s
1
L
s+ R
L
V
s
V
L
1
s+ R
L
1
s
V
L
L
R
s
L
R
s+ R
L
i(t)= L −1[ − ]= L −1[ ]− L −1[ ]= (1 − e− t) ,  t  >  0V
R
1
s
1
s+ R
L
V
R
1
s
V
R
1
s+ R
L
V
R
R
L
i(t) = .
V
R
i(t) =
V
R
t = 0
RESOLUÇÃO
Vamos, agora, realizar a análise considerando como entrada uma rampa em
.
Assim,
Desse modo,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitóriodo sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e no regime permanente o sinal
tende a
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V centrada em
.
RESOLUÇÃO
Temos, agora, um circuito RC.
t = 0
V (s) =
1
s2
I(s)=   = = =  ⌈ − + ⌉1
Ls+R
1
s2
1
L
s+
R
L
1
s2
1
L
1
s+
R
L
1
s2
1
L
L
R
s2
L2
R2
s
L2
R2
s+
R
L
i(t)= L −1[ − + ]= L −1[ ]− L −1[ ]+ L −1[ ]1
L
L
R
s2
L2
R2
s
L2
R2
s+ R
L
1
R
1
s2
L
R2
1
s
L
R2
1
s+ R
L
i(t)= t + (e− t − 1),  t > 01
R
L
R2
R
L
i(t)= t − ≈ t.1
R
L
R2
1
R
t = 0
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC modelado por uma EDO.
Esse circuito é modelado pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que
Nesse caso, a entrada será
e a saída
que permite calcular
.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
= C
v(t)−vc(t)
R
dvc(t)
dt
+ vc(t)= v(t)
dvc(t)
dt
1
RC
1
RC
i (t) =  C
dvc(t)
dt
v(t)
vc(t)
i(t)
L [ + vc(t)]= L [ v(t)]
dvc(t)
dt
1
RC
1
RC
sVc(s)+vc(0)+ Vc(s)= V (s)
1
RC
1
RC
vc(0) = 0
sVc(s)+ Vc(s)= V (s)→[ ]I(s)= V (s)1RC
1
RC
sRC+1
RC
1
RC
Vc(s)= V (s)
1
RCs+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude
centrado em
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta em regime transitório do sistema.
Repare que
começa em
e quando
tende ao infinito
tenderá a zero.
Caso se deseje analisar a corrente do circuito:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui foram apresentados exemplos com circuitos elétricos de primeira ordem. Mas qualquer sistema que apresente um modelo
de primeira ordem pode seguir a mesma análise.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função que multiplica E(s) para se obter S(s) é denominada de função de transferência do sistema.
V
t = 0.
V (s) = V
Vc(s)=  V = V
1
RCs+1
1
RC
s+
1
RC
vc(t)= L
−1[ ]= e− t.   t > 0V
RC
1
s+
1
RC
V
RC
1
RC
vc (t)
V
RC
t
vc (t)
i(t)=  C = C (− )e− t = − e− t,   t > 0dvc(t)
dt
V
RC
1
RC
1
RC
V
R2C
1
RC
S(s)= E(s)1
as+b
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Para analisar os sistemas de segunda ordem, vamos ver o exemplo de um sistema massa-mola presa no teto, ou seja, na
vertical. A mola tem constante elástica
. Vamos considerar, no primeiro caso, um sistema sem amortecimento. Quando o sistema está em equilíbrio estático, o corpo
estará na posição
. Vide a imagem a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Sistema está em equilíbrio estático.
Para retirar esse sistema do equilíbrio, aplicamos uma força externa g(t) vertical, adicional, no corpo m. Assim, pela Lei de
Newton, podemos modelar a posição do corpo pela equação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que começamos a aplicar g(t) em
, assim, para
k
x = 0
m = mg + g(t)−k(x − x0)d x
2
dt2
mg = kx0
m + kx = g(t)d x
2
dt2
+ x = g(t)d x
2
dt2
k
m
1
m
t = 0
, tanto a posição quanto a velocidade são nulas. Em outras palavras, 
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, nossa saída X(s) é determinada pela entrada G(s).
Vamos fazer um exemplo para uma função g(t).
EXEMPLO 12
Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de
Considere a força
um impulso unitário aplicado em
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função impulso unitário em
t = 0
x(0)  = x’(0)  =  0.
L [ + x]= L [ g(t)]d x
2
dt2
k
m
1
m
s2X(s)−sx(0)−x'(0)+ X(s)= G(s)k
m
1
m
x(0)  =  x’(0)  =  0
s2X(s)+ X(s)= G(s)km
1
m
[ ]X(s)= G(s)→ X(s)= G(s)ms
2+k
m
1
m
1
ms2+k
g(t)
t = 0.
g(t)
t = 0.
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, as respostas transitória e permanente serão as mesmas, sendo uma oscilação senoidal.
Vamos, agora, estudar um caso mais complexo, com o sistema apresentando um amortecimento contrário ao aumento da
velocidade. Com uma constante de amortecimento dada por c, o modelo agora será dado por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
t = 0.
G(s) = 1.
X(s)= = = √ = √1
ms2+k
1
m
s2+ k
m
1
m
m
k
√ k
m
s2+ k
m
1
mk
√ k
m
s2+ k
m
x(t)= √ L−1[ ]= √ sen(√ t),   t > 01
mk
√ k
m
s2+
k
m
1
mk
k
m
+ + x = g(t)d x
2
dt2
c
m
dx
dt
k
m
1
m
L [ + + x]= L [ g(t)]d x
2
dt2
c
m
dx
dt
k
m
1
m
s2X(s)−sx(0)−x'(0) + sX(s)− x(0) + X(s)= G(s)c
m
k
m
k
m
1
m
x(0) = x′(0) = 0
s2X(s)+ sX(s)+ X(s)= G(s)c
m
k
m
1
m
[ ]X(s)= G(s)→ X(s)= G(s)ms
2+Cs+k
m
1
m
1
ms2+Cs+k
O sistema apresentará sobremortecido, amortecimento crítico ou Subamortecimento, quando, respectivamente, , 
 ou 
Veja o exemplo.
EXEMPLO 13
Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força
um degrau unitário. Analise o caso quando, pelos valores de
e
, o sistema seja subamortecido.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função degrau unitária em
Assim,
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar o caso do subamortecimento, em que as raízes da equação do segundo grau serão números complexos
conjugados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
e
c2 − 4mk > 0
c2 − 4mk = 0 c2 − 4mk < 0.
g(t)
g(t)
c
k
t = 0.
G(s) = .
1
s
X(s)=   =  1
ms2+cs+k
1
s
1
m
s2+ s+
c
m
k
m
1
s
s2 + s + = 0 → s =cm
k
m
−c±√c2−4mk
2m
c2 − 4mk < 0
s = a ± ib 
a = −
c
2m
b =
√4mk − c2
2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira inversa é simples:
Para o segundo termo, precisamos completar quadrados:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo é a inversa da função cosseno vezes uma exponencial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos continuar com o segundo termo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, reunindo as informações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta no regime transitório apresentando uma oscilação amortecida.
Para quando
tende ao infinito
sendo a resposta permanente.
X(s)=   = −
1
m
s2+ s+c
m
k
m
1
s
m
k
s
s+m
k
c
k
s2+ s+c
m
k
m
x(t)= L −1[ ]−L −1[ ]m
k
1
s
s+m
k
c
k
s2+ s+c
m
k
m
L
−1
[ ] =m
k
1
s
m
k
= = =
s+
m
k
c
k
s2+ s+cm
k
m
s+
m
k
c
k
( s2+ s+… )+c
m
k
m
s+
m
k
c
k
( s2+ s+ )+ −cm