Aplicações de Equações Diferenciais CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

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DESCRIÇÃO
Aplicações para as equações diferenciais em sistemas elétricos, mecânicos e físicos e para transformadas de Laplace.
PROPÓSITO
Apresentar aplicações das equações diferenciais de primeira ordem, de segunda ordem e da transformada de Laplace em
diversos sistemas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 2
Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
MÓDULO 3
Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
MÓDULO 1
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
As equações diferenciais de primeira ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações com alguns exemplos em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas, em problemas de sistemas elétricos, para resolução de
circuitos elétricos do tipo RC e do tipo RL.
O circuito RC é o circuito que contém um resistor e um capacitor em série e o circuito RL é o que possui um resistor e um
indutor em série, como podemos ver nas imagens a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL.
CIRCUITO RL
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
v(t) - Ri(t) - L
di ( t )
dt = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, conhecendo a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtemos a função i(t), que fornece o valor da
corrente elétrica em cada instante de tempo. A equação é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e
não homogênea.
Reescrevendo a equação:
di ( t )
dt +
R
L i(t) =
1
Lv(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a expressão de i(t), podemos obter a tensão no indutor pela equação:
vL(t) = L
di ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RC
Para o caso do circuito RC, usamos a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
v ( t ) -vc ( t )
R = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, podemos obter a dependência da tensão no
capacitor com o tempo, vc(t).
Reescrevendo a equação a ser resolvida:
dvc ( t )
dt +
vc ( t )
RC =
v ( t )
RC
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obtermos a expressão de vc(t), pode ser obtida a corrente da malha i(t) pela equação:
i(t) = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é fornecida através de uma fonte
contínua de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente e a tensão no capacitor após t segundos.
RESOLUÇÃO
O modelo do circuito RC será dado por:
v ( t ) -vc ( t )
R = C
dvc ( t )
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema:
50 -vc ( t )
200 = 0,5
dvc ( t )
dt →
dvc ( t )
dt +
1
100vc(t) =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo:
dvc ( t )
dt + a(t)dvc(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t) =
1
100 e b(t) =
1
2
Agora temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp ∫
1
100 dt = e
1
100 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e
1
100 t.
1
2 dt = 50 e
1
100 t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t) =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e100t
50 e
1
100 t + k , K real
vc(t) = 50 + ke
-
1
100 t V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
t = 0s
, então,
vc(t) = 0
.
Desse modo,
0 = 50 + k → k = - 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t) = 50 1 - e
-
1
100 t A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obtermos a corrente
i(t)
, podemos fazer
i(t) = C
dvc ( t )
dt = 0, 5
dvc ( t )
dt
i(t) = 0,5 50
1
100e
-
1
100 t = 0,25 e -
1
100 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
( )
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
(BALANCEAMENTO)
Vamos exemplificar, agora, a utilização de equações diferencial de primeira ordem na solução de problemas relacionados
a sistemas químicos.
O exemplo prático será relacionado a uma mistura de uma solução ou balanço de massa.
MISTURA DE SOLUÇÕES (BALANÇO DE MASSA)
Um problema de mistura de soluções está relacionado com um recipiente de capacidade fixa em que se mistura uma
substância em um líquido. A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa, e a mistura realizada no
interior do tanque sai dele também com uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada.
 
Imagem: Shutterstock.com
Seja um recipiente de volume VT contendo inicialmente um líquido com volume V e uma quantidade inicial de substância s0.
A taxa de variação da quantidade de substância no recipiente com o tempo será dada por
ds
dt . Essa taxa será dada pela
diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, da substância no tanque:
DS
DT = TE - TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas a substância entra no tanque misturada ao líquido, assim:
TE = CQE
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que:
c – concentração da substância na mistura de entrada.
QE – Vazão de entrada (volume pelo tempo).
Isso é a taxa de entrada dada pela vazão de entrada do líquido, QE, que é volume pelo tempo vezes a concentração da
substância na mistura de entrada, medida em massa por volume.
Por exemplo, a mistura entra com uma vazão de 20L/min com uma concentração de substância de 10kg/L. Assim, a taxa de
entrada será de 10kg/L · 20L/min = 200kg de substância por minuto.
De forma semelhante:
TS =
S
V QS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que QS é a vazão de saída da mistura, também medida em volume por tempo.
Repare que a mistura que vai sair terá uma concentração da substância que se encontra no recipiente. Considere que a
substância misturada não muda o volume do líquido.
Por exemplo, no instante de saída encontramos 2.000kg de substância e 10.000L no recipiente, com uma vazão de saída
de 20L/min. Assim, a taxa de saída da substância será:
2000
10000 
KG
L . 20L /MIN = 4KG /MIN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar o caso mais simples em que a vazão de entrada QE é igual à vazão de saída QS, assim, o volume do
líquido V não varia com o tempo.
EXEMPLO 2
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água
salgada), com uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada
completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que
permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo instante de tempo. Seja
s(t)
a quantidade de sal,em kg, depois de
t
minutos. Para
t = 0
, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial. Em nosso exemplo, 200kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por 
ds ( t )
dt . Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada,
TE
, e a taxa de saída,
TS,
do sal no tanque:
ds ( t )
dt = TE - TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, a taxa de entrada seria dada por 0,5kg/L vezes 50L/min, então,
TE = 25kg /min
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, em nosso exemplo de 50L/min, o recipiente sempre fica com sua
capacidade fixa, de 10.000L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/10.000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total vezes
a vazão de saída de 50L/min. Assim,
TS = s(t)/200kg /min
ds ( t )
dt = 25 - 
s
200 =
5000 -s
200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim:
ds
5000 -s =
1
200dt → ∫
ds
5000 -s = ∫
1
200dt + C, C real
- ln|5000 - s| =
t
200 + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
t = 0
, temos
s = 200kg
- ln|5000 - 200| =
0
200 + C → C = - ln4800
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
- ln|5000 - s| =
t
200 - ln4800
5000 - s = exp ln4800 -
t
200 = 4800 exp -
t
200
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
s(t) = 5000 - 4800exp -
t
200 , com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante
t
. Além disso, podemos até determinar qual a máxima quantidade de sal haverá no recipiente.
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, assim,
smax = 5000kg
.
Vamos, agora, analisar o caso quando as vazões de entrada e de saída são diferentes.
Nesse caso, ocorre uma variação do volume do líquido no tanque dada pela diferença de vazão:
DV ( T )
DT = QE - QS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que QE e QS são as vazões de entrada e saída, respectivamente, do líquido no tanque, que está misturado com a
substância.
Se QE < QS, o líquido irá aumentar de volume no tanque até transbordar em determinado instante.
Assim, o volume do líquido usado na taxa de saída da substância varia com o tempo. Esse volume será solução da
equação diferencial 
dV ( t )
dt = QE - QS.
De modo semelhante, a variação da quantidade da substância no recipiente será dada por:
( ) ( )
( )
DS
DT = TE - TS = CQE -
S
V QS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a diferença que
V
varia com tempo.
Iremos ver o exemplo da solução desse tipo de problema no Teoria na Prática deste módulo.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS NEWTONIANOS
Em vários problemas da Física, encontramos soluções por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Iremos
estudar alguns a seguir.
Vamos iniciar por um problema da cinemática relacionado à queda livre com resistência do ar.
QUEDA LIVRE SUJEITA À RESISTÊNCIA DO AR
Na Física, estudamos a segunda Lei de Newton, que relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e
sua aceleração em m/s2, por meio da equação:
→
F = M
→
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas lembre-se de que, enquanto a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, a aceleração é a
primeira derivada da velocidade em relação ao tempo. Desse modo, a aceleração será a segunda derivada da posição
pelo tempo:
A =
DV ( T )
DT =
D 2S ( T )
DT2
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No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso e a
aceleração será constante e igual à aceleração da gravidade, não necessitando de uma equação diferencial para modelar
o problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força proporcional a sua velocidade, assim,
Far = Kv = K
ds(t)
dt
,
K
é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente.
Um objeto em queda livre de massa m, medida em kg, estará sujeito ao peso empurrando o objeto para baixo e à
resistência do ar, contrário ao peso.
FR = P - FAR = MA
MG - K
DS ( T )
DT = M
D 2S ( T )
DT2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que g é aceleração da gravidade.
Assim, conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo. Porém, temos uma equação diferencial de
segunda ordem, que não é objeto deste módulo.
Podemos, então, modelar a velocidade com o tempo:
MG - KV(T) = M
DV ( T )
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Organizando a equação:
DV ( T )
DT +
K
M V(T) = G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a solução:
V(T) =
MG
K 1 - E
-
K
M T M /S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
V(T) =
DS ( T )
DT → S(T) = ∫
T
0V(T) DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
S(T) = ∫T0
MG
K 1 - E
-
K
M T DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
S(T) =
MG
K T -
M
K 1 - E
-
K
M T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do
ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a
aceleração da gravidade como 10m/s2.
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
( )
( )
[ ( )]
mg - Kv = m
dv
dt →
dv
dt + 0,2 v = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com
dv
dt
+ a(t)v = b(t)
.
Então,
a(t) = 0, 2
e
b(t) = 10
. 
Agora, temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp(∫0,2 dt) = e0,2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e0,2t10 dt = 50 e0,2t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
v(t) =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e0 , 2t
50e0 , 2t + k , k real
v(t) = 50 + ke -0 ,2 tm /s , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
t
tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero e a velocidade chega ao seu valor máximo de 50m/s2. 
Como o objeto saiu do repouso:
v(0) = 50 + ke -0 ,2.0 = 0 → 0 = 50 + k → k = - 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a expressão da velocidade pelo tempo é obtida por:
v(t) = 50 1 - e -0,2t m /s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, tratar de um problema relacionado à temperatura, denominado Lei de Newton do Resfriamento.
( )
( )
LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO
Imagine um sólido de determinado material a uma temperatura
T1
colocado em um grande recipiente cujo líquido tem uma temperatura
T2 > T1
. O líquido irá transmitir calor para a esfera, que aumentará a sua temperatura.
A equação que regerá a variação da temperatura do sólido será dada por:
1
Μ
DT
DT = T2 - T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Μ =
HA
MCSEG
- 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com m sendo a massa do sólido, A sendo a área de contato do sólido com o líquido, c o calor específico do sólido e h o
coeficiente de transmissão de calor por convenção entre o líquido e o sólido.
O inverso de
μ
é denominado de constante de tempo do aquecimento ou desaquecimento.
EXEMPLO 4
Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante
de tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera após 30 seg.
RESOLUÇÃO
1
μ
dT
dt = T2 - T → 10
dT
dt = 100 - T
dT
100 -T = 0,1 dt → ∫
dT
100 -T = ∫0,1 dt
- ln(100 - T) = 0,1t + C , C real
( )
100 - T = exp(-0,1t + C) → T = 100 - exp(C)exp( - 0,1t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
T = 100 - k exp(-0,1t), k real positivo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para
t = 0
, temos
T = 300C
.
T(0) = 100 – ke -0 , 1 . 0 = 100 - k = 30 → k = 70
T(t) = 100 – 70e -0 , 1t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
T(30) = 100– 70e -0 , 1 . 30 = 100– 70e -3 = 96, 510C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outros exemplos de aplicações podem ser encontrados nas obras listadas nas referências no fim do tema.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM CIRCUITO RL EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 20Ω E INDUTOR DE 2H. A
TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE 200V QUE É LIGADA EM T =
0S. DETERMINE A CORRENTE LIMITE QUE OCORRERÁ NO CIRCUITO.
A) 5A
B) 10A
C) 15A
D) 20A
E) 25A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 10KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,5NS2/M. O OBJETO
SAI DO REPOUSO. DETERMINE A EXPRESSÃO DA VELOCIDADE, EM FUNÇÃO DO TEMPO,
OBTIDA POR ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE
COMO 10M/S2. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) v(t) = 50 1 - e -0,1t m /s 
B) v(t) = 100 1 - e -0,5t m /s 
C) v(t) = 200 1 - e -0,5t m /s 
D) v(t) = 100 1 - e -0,05t m /s 
E) v(t) = 200 1 - e -0,05t m /s 
3. UMA ESFERA COM 500C DE TEMPERATURA É COLOCADA TOTALMENTE EM UM LÍQUIDO
QUE ESTÁ A 1000C. SABENDO QUE A CONSTANTE DE TEMPO DE AQUECIMENTO VALE
100SEG., DETERMINE A TEMPERATURA DA ESFERA, EM 0C, APÓS 1 SEG.
A) Entre 60 e 70
B) Entre 70 e 80
C) Entre 80 e 90
D) Entre 90 e 100
E) Entre 100 e 110
4. SEJA UM CIRCUITO
RC
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
100Ω
E CAPACITOR DE
X
, MEDIDO EM
F
. A TENSÃO É FORNECIDA POR MEIO DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
( )
( )
( )
( )
( )
50V
LIGADA EM
T = 0S
. DETERMINE O VALOR DE
X
SABENDO QUE APÓS
10S
A CORRENTE NO CAPACITOR VALE 0, 5 E - 1A.
A) 0,5F
B) 0,4F
C) 0,3F
D) 0,2F
E) 0,1F
5. SEJA UM RECIPIENTE QUE CONTÉM, INICIALMENTE, 1000L DE ÁGUA E 20KG DE SAL. É
INSERIDA NO RECIPIENTE UMA SOLUÇÃO (ÁGUA SALGADA), COM UMA CONCENTRAÇÃO
DE 5KG DE SAL POR LITRO DE ÁGUA, A UMA TAXA FIXA DE 25L/MIN. ESSA SOLUÇÃO É
MISTURADA COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA TAXA DE
25L/MIN. DETERMINE A QUANTIDADE DE SAL QUE PERMANECE NO RECIPIENTE APÓS 600S
DO INÍCIO DO PROCESSO.
A) Entre 801 e 900kg
B) Entre 901 e 1000kg
C) Entre 1001 e 1100kg
D) Entre 1101 e 1200kg
E) Entre 1201 e 1300kg
6. EM UM PROBLEMA DE BALANÇO DE MASSA, A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA É A
MESMA. UM RECIPIENTE CONTÉM 2.000L DE UM LÍQUIDO COM 100KG INICIAIS DE UMA
SUBSTÂNCIA. A CONCENTRAÇÃO DA ENTRADA É DE 10KG/L DE LÍQUIDO. SABE-SE QUE A
CONCENTRAÇÃO DE SUBSTÂNCIA NO RECIPIENTE, 500 MIN APÓS O INÍCIO DO PROCESSO,
É DE 17.910,5KG. DETERMINE A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA.
A) Entre 9L/min e 10L/min
B) Entre 19L/min e 20L/min
C) Entre 29L/min e 30L/min
D) Entre 39L/min e 40L/min
E) Entre 49L/min e 50L/min
GABARITO
1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é fornecida através de uma
fonte contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente limite que ocorrerá no circuito.
A alternativa "B " está correta.
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
di ( t )
dt +
R
L i(t) =
1
Lv t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema:
di ( t )
dt +
20
2 i(t) =
1
2200 →
di ( t )
dt + 10i(t) = 100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
di ( t )
dt + a(t)i(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
a(t) = 10
e
b(t) = 100
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp(∫10 dt) = e10t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e10t100 dt = 10 e10t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
i t =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e10t
10e10t + k , k real
( )
( ) ( )
i t = 10 + ke -10tA , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
t = 0s
, então,
i(0) = 0
. Desse modo,
0 = 10 + k → k = - 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
i(t) = 10 1 - e -10t A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t → ∞ temos:
lim
t → ∞
i(t) = 10(1 - 0) = 10A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da
resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade, em função do
tempo, obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a
constante de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg.
( )
( )
A alternativa "C " está correta.
1
μ
dT
dt = T2 - T → 100
dT
dt = 100 - T
dT
100 -T = dt → ∫
dT
100 -T = ∫ dt
- ln(100 - T) = t - C , C real
100 - T = exp(- t + C) → T = 100 - exp(C)exp( - t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
T = 100 - kexp(- t), k real positivo
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para
t = 0
, temos
T = 500C
.
T 0 = 100– ke -0 = 100 - k = 50 → k = 50
T t = 100– 50e - t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
T 1 = 100– 50e -10 = 81, 60C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um circuito
RC
em série com resistência de
100Ω
e capacitor de
x
, medido em
F
. A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de
50V
ligada em
t = 0s
( )
( )
( )
. Determine o valor de
x
sabendo que após
10s
a corrente no capacitor vale 0, 5 e -1A.
A alternativa "E " está correta.
O modelo do circuito RC será dado por
v t -vc t
R = C
dvc t
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema
50 -vc t
100 = x
dvc t
dt →
dvc t
dt +
1
100xvc(t) =
1
2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
dvc ( t )
dt + a(t)dvc(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então Então a t =
1
100x e b t =
1
2x .
Agora tem que se obter o fator integrante
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp ∫
1100x dt = e
1
100x t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo agora a integral
∫P(t)b(t)dt = ∫e
1
100x t.
1
2x dt = 50 e
1
100x t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
vc t =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e -100xt
50 e -100x t + k , k real
vc(t) = 50 + ke
-
1
100x t V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
t = 0s,
então vc(t) = 0. Desta forma
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0 = 50 + k → k = - 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
vc(t) = 50 1 - e
-
1
100x t A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a corrente
i(t)
pode fazer i(t) = C
dvc t
dt
i(t) = x 50
1
100xe
-
1
100x t = 0,5 e -
1
100x t
i(10) = 0,5 e -
1
100x . 10 = 0,5 e -1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
-
1
100x . 10 = - 1 → C = 0,1 F
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É inserida no recipiente uma
solução (água salgada), com uma concentração de 5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa
solução é misturada completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a
quantidade de sal que permanece no recipiente após 600s do início do processo.
A alternativa "D " está correta.
ds
dt = TE - TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 5kg/L vezes 25L/min, então,
TE = 125kg /min
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, sendo 25L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de
1.000L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/1000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes
a vazão de saída de 25 L/min. Assim,
TS = s(t)/40kg /min.
ds
dt = 125 - 
s
40 =
5000 -s
40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
( )
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
ds
5000 -s =
1
40dt → ∫
ds
5000 -s = ∫
1
40dt + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
- ln|5000 - s| =
t
40 + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
t = 0
, temos
s = 20kg
- ln|5000 - 20| =
0
40 + C → C = - ln4980
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
- ln|5000 - s| =
t
40 - ln 4980
5000 - s = exp ln 4980 -
t
40 = 4980 exp -
t
40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
s(t) = 5000 - 4980 exp -
t
40 , com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 600
s = 10min
.
Assim,
s(t) = 5000 - 4980 exp -
1
4 = 1121,57kg
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. Um recipiente contém 2.000L
de um líquido com 100kg iniciais de uma substância. A concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se
que a concentração de substância no recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine a
vazão de entrada e de saída.
A alternativa "A " está correta.
( ) ( )
( )
( )
ds
dt = TE - TS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 10kg/L vezes Q L/min, então,
TE = 10Qkg /min
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 2.000L.
A taxa de saída da substância será de s(t)/2000 (kg/L) vezes a vazão de saída de Q L/min. Assim,
TS = Qs(t)/2000kg /min.
ds
dt = 10Q - 
s Q
2000 = Q
20000 -s
2000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
ds
20000 -s =
Q
2000dt → ∫
ds
20000 -s = ∫
Q
2000dt + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
- ln|20000 - s| =
Qt
2000 + C, C real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
t = 0
, temos
s = 100kg
- ln|20000 - 100| = 0 + C → C = - ln 19.900
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
- ln|20.000 - s| =
Qt
2000 - ln 19.900
20 .000 - s = exp ln 19 .900 -
Qt
2000 = 19 .900 exp -
Qt
2000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
s(t) = 20. 000 - 19. 900 exp -
Qt
2000 , com t em minutos
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
t = 500min
( ) ( )
( )
, temos
s(10) = 17.910, 5
.
Assim,
17.910,5 = 20.000 - 19.900 exp -
Q
4
19.900 exp -
Q
4 = 2089,5 → exp -
Q
4 = 0,105
-
Q
4 = ln(0,105) = - 2,25 → Q ≈ 9L/min
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um tanque com um volume máximo de 280L que contém inicialmente 10kg de uma substância dissolvida em um
volume de 180L de um líquido. Suponha que a vazão de entrada no recipiente ocorra a uma taxa de 12L/min, contendo uma
concentração de 0,25kg/L da substância. A mistura é retirada do líquido com uma taxa de 8L/min. Determine a quantidade
de substância no recipiente quando o líquido começar a transbordar.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS
QUÍMICOS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
( ) ( )
1. SEJA UM CIRCUITO
RC
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
2000Ω
E CAPACITOR DE
1F
. A TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
100V
LIGADA EM
T = 0S
. DETERMINE A TENSÃO NO CAPACITOR APÓS
100S
.
A) 10 1 - e -
1
10 A
B) 200 1 - e -
1
10 A
C) 10 1 - e -
1
20 A
D) 100 1 - e -
1
20 A
E) 200 1 - e -
1
200 A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 2KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 1NS2/M. O OBJETO
SAI DO REPOUSO. DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA ATINGIDA POR ELE DURANTE SUA
QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2.
A) 10m/s
B) 15m/s
C) 20m/s
( )
( )
( )
( )
( )
D) 25m/s
E) 30m/s
GABARITO
1. Seja um circuito
RC
em série com resistência de
2000Ω
e capacitor de
1F
. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de
100V
ligada em
t = 0s
. Determine a tensão no capacitor após
100s
.
A alternativa "D " está correta.
 
O modelo do circuito RC será dado por:
v t -vc t
R = C
dvc t
dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema,
100 -vc t
2000 = 1
dvc t
dt →
dvc t
dt +
1
2000vc(t) =
1
20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
dvc ( t )
dt + a(t)dvc(t) = b(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
a t =
1
2000eb t =
1
20 .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
Agora, temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp ∫
1
2000 dt = e
1
2000 t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
∫P(t)b(t)dt = ∫e
1
2000 t.
1
20 dt = 100 e
1
2000 t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc t =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e2000t
100 e
1
2000 t + k , k real
vc(t) = 100 + ke
-
12000 t V , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
t = 0s
, então, vc(t) = 0. Desse modo,
0 = 100 + k → k = - 100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
vc(t) = 100 1 - e
-
1
2000 t A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
vc(100) = 100 1 - e
-
1
2000 100 A
vc(100) = 100 1 - e
-
1
20 A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da
resistência do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima atingida por ele durante
sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2.
A alternativa "C " está correta.
 
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
mg - Kv = m
dv
dt →
dv
dt + 0,5 v = 10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com 
dv
dt + a(t)v = b(t).
Então,
a(t) = 0, 5
e
b(t) = 10
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
P(t) = exp(∫a(t)dt) = exp(∫0,5 dt) = e0,5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral,
∫P(t)b(t)dt = ∫e0,5t10 dt = 20 e0,5t 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
v(t) =
1
P ( t ) (∫P(t)b(t)dt + k ) =
1
e0 , 5t
20 e0 , 5t + k , k real
v t = 20 + ke -0,5tm /s , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto
t
tende ao infinito, a exponencial tende a zero e a velocidade chega em seu valor máximo de 20m/s.
MÓDULO 2
 Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
( )
( )
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
SEGUNDA ORDEM
As equações diferenciais de segunda ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações, com alguns exemplos, em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS
Estudamos a resolução de circuitos elétricos RC e RL por meio de equações diferenciais de primeira ordem. Quando
surgem problemas com circuitos RLC, ou seja, um resistor em série com capacitor e indutor, a solução irá requerer uma
solução de uma equação diferencial de segunda ordem.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RLC.
Considere que a carga do capacitor no instante t é representada por Q(t), assim, a corrente elétrica do circuito será dada
por:
I(T) =
DQ ( T )
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a equação de malha no circuito RLC, teremos:
L
DI ( T )
DT + RI(T) +
Q ( T )
C = V(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor da derivada da corrente:
L
D 2Q T
DT2
+ R
DQ ( T )
DT +
Q ( T )
C = V(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem de coeficientes constantes.
Para resolvermos esse problema de valor inicial, necessitamos de duas informações que normalmente serão o valor da
corrente e da carga do capacitor no instante
( )
t = 0
. Lembre-se de que
i(t) = Q ′(t)
, assim, teremos
Q(0)
e
Q ′(0) = i(0).
Se derivarmos a equação diferencial em ambos os lados:
L
D 3Q ( T )
DT 3
+ R
DI
DT +
1
C
DQ ( T )
DT = V'(T)
L
D 2I ( T )
DT 2
+ R
DI ( T )
DT +
1
C I(T) = V'(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando a corrente ao tempo.
EXEMPLO 5
Determine o valor da carga de um capacitor
Q(t)
em um circuito
RLC
sabendo que R = 40Ω, C = 16 · 10 – 4 F,
L = 1H
e
v(t) = 50cos(5t).
Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
t = 0
são nulas.
RESOLUÇÃO
Montando o modelo para carga do capacitor:
L
d 2Q t
dt 2
+ R
dQ ( t )
dt +
Q ( t )
C = v(t) →
d 2Q ( t )
dt 2
+ 40
dQ ( t )
dt + 625Q(t) = 50 cos 5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada:
q '' + 40q ' + 625q = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica
k2 + 40k + 625 = 0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
k =
-b ±√b 2-4ac
2a =
-40 ±√402 -4.1 . 625
2 =
-40 ±√ -900
2 = - 20 ± 15j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
qH = ae
-20tcos(15t) + be -20tsen 15t , a e b reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando o termo não homogêneo
50 cos(5t)
, vamos tentar uma solução particular do tipo
m1 sen(5t) + m2 cos 5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
qp = m1 sen(5t) + m2cos(5t) → q
,
p = 5m1 cos(5t) - 5m2 sen 5t →
q , ,p = - 25m1 sen(5t) - 25m2 cos 5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO (Equação Diferencial Ordinária ) :
-25m1 sen(5t) - 25m2 cos(5t) + 40 5m1 cos(5t) - 5m2 sen 5t +
+625 m1 sen(5t) + m2cos(5t) =
= -25m2 + 200m1 + 625m2 cos(5t) + -25m1 - 200m2 + 625m1 sen(5t) =
= 200m1 + 600m2 cos(5t) + -200m2 + 600m1 sen(5t) = 50 cos 5t
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ( ))
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
200m1 + 600m2 = 50
-200m2 + 600m1 = 0
→ 200m1 + 600. 
600
200m1 = 2000m1 = 50 → m1 =
1
40
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E
m2 = 3m1 =
3
40
Assim,
Q(t) = qh + qP = a e
-20tcos(15t) + be -20tsen(15t) + 0,025 sen(5t) + 0,075cos(5t), 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
a
e
b
são números pertencente aos conjuntos dos números reais.
Mas Q(0) = a + 0, 075 = 0 → a = - 0, 075
i(t) =
dQ ( t )
dt = Q
'(t) = - 20 ae -20tcos(15t) - 15ae -20tsen(15t) - 20be -20tsen(15t) 
+15be -20tcos(15t) + 0,125cos(5t) - 0,125sen 5t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q’(0) = - 20a + 15b + 0, 125 = 0 → 15b = - 0, 125 + 20a = - 0, 125 + 20. (-0, 075)
15b = 1,625 → b = 0,108
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Q(t) = 0,075 e -20tcos(15t) + 0,108 e -20tsen(15t) + 0,025 sen(5t) + 0,075cos(5t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que na expressão existem termos que tendem a zero quando o tempo tende ao infinito. Esses termos são os
multiplicados pelo exponencial.
Quando t tende ao infinito, teremos:
Q(T) = 0,025 SEN(5T) + 0,075COS(5T)
{
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que será a própria solução particular e será denominado de solução de estado ou regime permanente ou solução
de estado ou regime estacionário. A solução geral é denominada solução em estado ou regime transitório.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
Vamos estudar uma aplicação em Mecânica Quântica na solução da equação de Schrödinger independente do tempo.
A Mecânica Quântica surgiu para analisar o movimento das partículas que, por serem bastante pequenas, não atendiam à
mecânica de Newton, denominada Mecânica Clássica. Nessa linha, analisamos a equação de Schrödinger que determina
a função de onda de uma partícula.
A solução geral que depende do tempo é uma equação diferencial parcial, não sendo assunto de nosso estudo, assim,
iremos analisar a equação que depende apenas da posição x, independente do tempo, que é resolvida pela solução de
uma EDO de segunda ordem.
Seja
φ(x)
a função de onda que depende da posição
x.
A equação unidimensional de Schrödinger é dada por:
-
H2
8Π2M
D 2Φ
DX2
+ V(X)Φ = EΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
m é a massa da partícula;
E é a energia total da partícula;
V(x) é a energia potencial no ponto x;
h é a constante de Plank que vale aproximadamente 6,626 10-34
Vamos estudar o caso simples com
V(x) = 0
.
Assim, a equação se transforma:
-
H2
8Π2M
D 2Φ
DX2
= EΦ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Seja uma partícula de massa
m
. Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula.
Sabe-se, também, que φ(0) = a e φ(L) = 0.
RESOLUÇÃO
Temos que resolver o seguinte modelo:
-
h2
8π2m
d 2φ
dx2
= Eφ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar, vamos substituir
h2
8π2m
= μ
, assim,
-μ
d 2φ
dx2
= Eφ → μ
d 2φ
dx2
+ Eφ = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
μk2 + E = 0 → k = ± -
E
μ = ± i 
E
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
φ = A cos
E
μ
x + B sen
E
μ
x
.
Como
φ(0) = a → A.1 + B.0 = a → A = a
√
( ) ( )
Como
φ(L) = 0 → a cos
E
μ
L + B sen
E
μ
L = 0 → B = − a ctg
E
μ
L
Assim,
φ(x) = a cos
E
μ x + -a ctg
E
μ L sen
E
μ x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS
Neste item de aplicação de equação do segundo grau em sistemas físicos, realizaremos um estudo sobre vibrações em um
sistema massa-mola.
Seja um objeto de massa m preso na extremidade de uma mola, com constante de elasticidade k > 0, na vertical. Na outra
extremidade, a mola é presa em um ponto fixo no teto. Vide a imagem ao lado.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Se não tivermos nenhum corpo preso na mola, ela não estará esticada ou comprimida, estará em seu estado natural.
Quando esticamos ou comprimimos a mola, por um espaçamento
x
medido em metros, ela apresentará uma força de resistência:
→
F = - K→X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consideremos
→x
( ) ( ) ( )
( ) [ ( )] ( )
positivo quando se estica a mola e
→x
negativo quando se comprime a mola. Vamos considerar o primeiro caso de não existir nenhuma resistência ou
amortecimento ou outra força qualquer além da força da mola e do peso do corpo. Esse caso será denominado de
vibrações sem amortecimento.
VIBRAÇÕES SEM AMORTECIMENTO
Ao prendermos um corpo na extremidade da mola, ela estará em equilíbrio estático regido pela equação:
→
P = M →G = K
→
L →
→
L =
M
K
→G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a mola estará parada, esticada por um espaçamento
→
L
.
Vamos, agora, causar um distúrbio, retirando essa mola do seu equilíbrio, esticando ou comprimindo-a, em relação ao
ponto de equilíbrio estático, de
→x
.
Assim, a força da mola será, agora:
→
FM = - K
→X +
→
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei de Newton nos indica que:
→
FR =
→
FM -
→
P = M→A = M
D 2X
DT 2
( )
→
FR = - KX = M
D 2X
DT 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
M
D 2X
DT2
+ FR = 0
M
D 2X
DT2
+ KX = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear. O movimento a que o corpo estará sujeito nessas
condições será denominado de Movimento Harmônico Simples. Nesse caso, por não existir resistência ao movimento, a
mola fica comprimindo e esticando sempre com a mesma amplitude.
EXEMPLO 7
Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k = 128N/m. Um corpo de 6,4kg é
preso em sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é
esticada para uma distância total de 0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g =
10m/s2.
RESOLUÇÃO
Repare que no estado de equilíbrio teremos: 
→
P = m→g
= K
→
L →
→
L =
m
K
→g =
6,4.10
128 = 0,5m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,7m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. Esse movimento será regido por
uma EDO de segunda ordem dada por:
m
d2x
dt2
+ Kx = 0
2
d2x
dt2
+ 128x = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
2u2 + 128 = 0 → u2 = - 64 → u = ± 8i
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x = m1cos(8t) + m2sen 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m1 e m2. A primeira condição é que x(0) = 0,2 m.
Em outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de 0,7 – 0,5 = 0,2m. A segunda
condição é que largamos a mola em x = 0,2m do repouso, assim v(0) = x’(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
x = m1cos(8t) + m2sen(8t) → x
' = - 8m1sen(8t) + 8m2cos 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x 0 = m1 = 0, 2
x’ 0 = 8m2 = 0 → m2 = 0
Assim,
x(t) = 0,2cos(8t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o movimento harmônico de vibração acontecerá com uma amplitude de 0,2m, que é o esticamento extra que
foi aplicado.
Vamos, agora, analisar o caso com uma força de resistência ou amortecimento.
VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO
Considere o caso de se ter uma força de resistência, como o ar, ou um amortecimento por meio de um dispositivo externo.
Essa força de resistência é oposta ao movimento e proporcional à velocidade, assim,
→
FAM = - CV = - C
DX
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A constante c é denominada de constante de amortecimento. Agora, seguindo a lei de Newton, a força resultante será dada
pela força da mola extra mais o amortecimento.
( )
( )
( )
( )
→
FR = M
D 2X
DT2
= MG - KXT - C
DX
DT
M
D 2X
DT 2
= MG - K X + L - C
DX
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que apenas com o corpo
m
, a mola fica em equilíbrio estático em
L
, assim,
mg = kL
.
M
D 2X
DT2
= KL - K(X + L) - C
DX
DT = - KX - C
DX
DT
OU
M
D 2X
DT 2
+ C
DX
DT + KX = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que também é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Esse movimento amortecido tem três tipos diferentes.
Veja!
A equação característica da EDO será:
( )
MU2 + CU + K = 0
U =
- C±√C2 - 4MK
2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CASO 1
SUPERAMORTECIMENTO OU SOBREAMORTECIMENTO:
C2 - 4MK > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação dois números reais
r1
e
r2
.
Como
c
,
m
e
k
são positivos: c2 - 4mk < 0.
Assim,
r1 =
-c + √c2 -4mk
2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
r2 =
-c -√c2 -4mk
2m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Serão número negativos. Nesse caso, o movimento
x
será regido pela equação
x = m1e
r1t + m2e
r2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá a zero quanto t tender ao infinito e não ocorrerá nenhuma oscilação.
CASO 2
AMORTECIMENTO CRÍTICO:
C2 - 4MK = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação um númeroreal:
r1 = r1 = r =
-c
2m < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O movimento
x
será regido pela equação:
x = m1 + m2t e
rt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá também a zero quando
t
tende ao infinito, porém, em um tempo de amortecimento menor do que o caso anterior. Nesse caso, tampouco ocorrerá a
oscilação.
CASO 3
SUBAMORTECIMENTO:
( )
C2 - 4MK < 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos como raízes da equação dois números complexos
a + ± bi
.
Com
a =
−c
2m
e
b =
√4mk − c2
2m
Nesse caso, o movimento
x
será regido pela equação:
x = e -
c
2m t m1cos(bt) + m2sen bt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento será um movimento oscilatório, porém, com as amplitudes diminuindo com o tempo. Assim, tenderá
também a zero quando t tende ao infinito.
O caso 3 é o único em que existirá oscilação antes da parada total do sistema massa-mola.
EXEMPLO 8
Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é retirado do ar e colocado em um fluido
que contém uma constante de amortecimento
c = 68
. Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio
x = 0, 5m
, porém, com uma velocidade inicial provocada de
0, 6m /s
.
RESOLUÇÃO
( ) ( ( ))
A equação que modelará o sistema será:
m
d 2x
dt 2
+ c
dx
dt + kx = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados:
2
d 2x
dt 2 + 68
dx
dt + 128x = 0
d 2x
dt 2
+ 34
dx
dt + 64x = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica da EDO será:
u2 + 34u + 64 = 0
u =
-34 ±√1156 -4.64
2 =
-34 ± 30
2 =
-32
-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos um movimento sobreamortecido com equação:
x(t) = m1e
-32t + m2e
-2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições de contorno
x(0) = 0
e
v(0) = x ′(0) = 0, 6
.
x '(t) = - 32m1e
-32t - 2m2e
-2t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x 0 = m1 + m2 = 0
x’ 0 = – 32 m1 – 2 m2 = 0, 6
Resolvendo
m2 = – m1 → - 32m1 + 2m1 = 0, 6 → m1 = -
0 , 6
30 = - 0, 02
m2 = – m1 = 0, 02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x(t) = 0,02 e -2t - e -32t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
( )
( )
( )
ESSES CASOS SÃO DENOMINADOS MOVIMENTOS LIVRES,
POIS NÃO EXISTE OUTRA FORÇA AGINDO NO SISTEMA.
Caso haja uma força externa, além da mola e peso, agindo no sistema, denominamos vibrações forçadas. As vibrações
forçadas resultarão em batimentos ou ressonâncias, conforme ocorrerem ou não amortecimentos. Esse tipo de vibração
não será objeto de estudo deste módulo, mas pode ser encontrado nas obras listadas nas referências no fim do conteúdo.
Outro ponto é que estudamos a mola na vertical, mas o estudo análogo pode ser feito para a mola na horizontal sobre uma
superfície. Outros exemplos de aplicações, além dos que aqui foram apresentados, também podem ser encontrados nas
referências no fim do conteúdo.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM SISTEMA MASSA-MOLA NA VERTICAL PRESO A UM AMORTECEDOR COM
CONSTANTE DE AMORTECIMENTO
C = 32
. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA DE
K
E O CORPO PRESO A ELA TEM MASSA DE 4KG. O SISTEMA ESTÁ EM EQUILÍBRIO COM UM
ESPAÇAMENTO DA MOLA DE 0,4M. APÓS ESTICAR O CORPO E LARGAR O SISTEMA EM UM
ESTICAMENTO DA MOLA TOTAL DE 0,8M, O SISTEMA ENTRARÁ EM MOVIMENTO. 
 
MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A
K
SABENDO QUE O MOVIMENTO SERÁ DO TIPO SUBAMORTECIDO.
A) k = 32
B) k = 64
C) k > 64
D) k < 64
E) k < 32
2. SEJA UMA PARTÍCULA DE MASSA M TAL QUE 
H2
8Π2M
= 9. A PARTÍCULA SE ENCONTRA EM
UMA REGIÃO COM ENERGIA POTENCIAL NULA E UMA ENERGIA TOTAL EM TODOS OS
PONTOS IGUAIS A
E = 1J
. SABE-SE TAMBÉM QUE Φ(0) = 0 E Φ(Π) = 4. DETERMINE SUA FUNÇÃO DE ONDA
UNIDIMENSIONAL:
A) φ(x) =
8√3
3 cos
1
3x
B) φ(x) =
8√3
3 sen
1
3x
C) φ(x) = 8 sen
1
6x
D) φ(x) = 8 sen
1
3x
E) φ(x) = 8 cos
1
3x
3. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE
UM CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR V(T) = SEN(T). SABE-SE QUE
R = 1Ω,
C = 1F
E
L = 2H.
A) i(t) = sen(t) - cos(t)
B) i(t) = -
1
2sen(t) +
1
2cos t
C) i(t) = -
1
2sen(t) -
1
2cos t
D) i(t) =
1
2sen(t) +
1
2cos t
E) i(t) =
1
2sen(t) -
1
2cos t
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
4. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 2KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 200N/M.
DETERMINE A EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO. O CORPO É LARGADO COM UMA
VELOCIDADE INICIAL DE 1M/S NA POSIÇÃO DE 0,8M. CONSIDERE
G = 10M /S2
. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) x(t) = - 0,1cos(10t) + 0,4 sen(10t)
B) x(t) = 0,4cos(10t) - 0,1 sen(10t)
C) x(t) = 0,4cos(10t) + 0,4 sen(10t)
D) x(t) = 0,7cos(10t) + 0,1 sen(10t)
E) x(t) = 0,1cos(10t) + 0,7 sen(10t)
5. DETERMINE O VALOR DA CARGA DE UM CAPACITOR
Q(T)
EM UM CIRCUITO RLC, SABENDO QUE R = 20Ω, C = 2 · 10 –3 F,
L = 1H
E
V(T) = 12V
. SABE-SE QUE A CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA PARA
T = 0
SÃO NULAS. 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) Q(t) = - 12 e -10tcos(20t) + 6 e -10tsen(20t) + 12
B) Q(t) = 12 e -10tcos(20t) - 6 e -10tsen(20t) + 0,024
C) Q(t) = - 12 e -10tcos(20t) + 6 e -10tsen(20t) + 0,024
D) Q(t) = - 12 e -10tsen 20t + 6 e -10tcos(20t) + 0,024( )
E) Q(t) = 12 e -20tcos(20t) + 6 e -20tsen(20t) + 12
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL QUE SE ENCONTRA DENTRO DE UM
FLUIDO COM CONSTANTE DE AMORTECIMENTO
C = 16.
O CORPO PENDURADO À MOLA TEM PESO DE 40N, E A CONSTANTE DA MOLA É DE
272N/M. DETERMINE O MOVIMENTO EXECUTADO PELO SISTEMA SABENDO QUE SAI DA
POSIÇÃO DE
X = 0, 647M ,
PORÉM, COM UMA VELOCIDADE INICIAL PROVOCADA DE 4,6M/S. CONSIDERE
G = 10M /S2.
 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) x(t) = e -2t(0,5cos(8t) + 0,7 sen(8t))
B) x(t) = e -2t(0,7cos(8t) + 0,5 sen(8t))
C) x(t) = e -8t(0,5cos(2t) + 0,7 sen(2t))
D) x(t) = e -8t(0,5cos(2t) + 0,5 sen(2t))
E) x(t) = e -2t(0,5cos(8t) - 0,7 sen(8t))
GABARITO
1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de amortecimento
c = 32
. A mola tem constante elástica de
k
e o corpo preso a ela tem massa de 4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m.
Após esticar o corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o sistema entrará em
movimento. 
 
Marque a alternativa verdadeira relacionada a
k
sabendo que o movimento será do tipo subamortecido.
A alternativa "C " está correta.
A equação que modelará o movimento será:
m
d 2x
dt 2 + c
dx
dt + kx = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
4
d 2x
dt 2
+ 32
dx
dt + kx = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o movimento ser subamortecido, a equação característica terá raízes complexas.
Assim,
c2 - 4mk < 0 → 322 - 4.4. k < 0 → 16k > 1024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
k > 64
.
2. Seja uma partícula de massa m tal que 
h2
8π2m
= 9. A partícula se encontra em uma região com energia potencial
nula e uma energia total em todos os pontos iguais a
E = 1J
. Sabe-se também que φ(0) = 0 e φ(π) = 4. Determine sua função de onda unidimensional:
A alternativa "B " está correta.
Temos que resolver o seguinte modelo:
-
h2
8π2m
d 2φ
dx2
= Eφ → - 9
d 2φ
dx2
= φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equaçãocaracterística associada será:
9k2 + 1 = 0 → k = ± -
1
9 = ± i 
1
√9
= ± i
1
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
φ = A cos
1
3x + B sen
1
3x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
φ(0) = 0 → A. 1 + B. 0 = 0 → A = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
√
( ) ( )
Como
φ
π
3 = 4 → B sen
1
3π = 4 → B
√3
2 = 4 → B =
8
√3
=
8√3
3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
φ(x) =
8√3
3 sen
1
3x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de
sinal dada por v(t) = sen(t). Sabe-se que
R = 1Ω,
C = 1F
e
L = 2H.
A alternativa "E " está correta.
Montando o modelo apresentado na teoria:
L
d 2i t
dt 2
+ R
di ( t )
dt +
1
C i t = v'(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
2
d 2i t
dt 2
+
di ( t )
dt + i(t) = ( sen(t))
' = cos(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular. Agora, analisando o termo não homogêneo
cos(t)
, vamos tentar uma solução particular do tipo m1 sen(t) + m2 cos t
Se
ip = m1 sen(t) + m2cos(t) → i
,
p = m1 cos(t) - m2 sen t →
i ''p = - m1 sen(t) - m2 cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
2
d 2i t
dt 2
+
di ( t )
dt + i(t) = cos t
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2 - m1 sen(t) - m2 cos t + m1 cos(t) - m2 sen t + m1 sen(t) + m2cos(t) =
- m1 - m2 sen(t) + m1 - m2 cos(t) = cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m1 = - m2 e m1 = 1 + m2
Portanto, m1 =
1
2 e m2 = -
1
2
Assim, a solução particular será a solução em estado estacionário:
i(t) =
1
2sen(t) -
1
2cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 2kg e tem uma
constante de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que rege o movimento. O corpo é largado com uma
velocidade inicial de 1m/s na posição de 0,8m. Considere
g = 10m /s2
. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
No estado de equilíbrio, temos:
P = mg = kL → L =
m
k g =
2.10
200 = 0,1m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,8 m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. O valor da posição inicial de
x = 0, 8– 0, 1 = 0, 7m
. Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
m
d 2x
dt 2
+ kx = 0
2
d 2x
dt 2
+ 200x = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
2u2 + 200 = 0 → u2 + 100 = 0 → u2 = - 10 → u = ± 10i
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x = m1cos(10t) + m2sen 10t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
( ( )) ( ( )) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
m1
e
m2
.
A primeira condição é que
x(0) = 0, 7m.
Em outras palavras, em
t = 0,
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
0, 8– 0, 1 = 0, 7m.
A segunda condição é que largamos a mola em
x = 0, 7m
com velocidade 1m/s, assim,
v(0) = x ′(0) = 1.
Aplicando as condições de contorno:
x = m1cos(10t) + m2sen(10t) → x
' = - 10m1sen(8t) + 10m2cos 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x 0 = m1 = 0, 7
x’ 0 = 10m2 = 1 → m2 = 0, 1
Assim,
x(t) = 0,7cos(10t) + 0,1 sen(10t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da carga de um capacitor
Q(t)
em um circuito RLC, sabendo que R = 20Ω, C = 2 · 10 – 3 F,
L = 1H
e
v(t) = 12V
. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
t = 0
( )
( )
( )
são nulas. 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Montando o modelo, apresentado na teoria, para carga do capacitor
L
d 2Q t
dt 2 + R
dQ ( t )
dt +
Q ( t )
C = v(t) →
d 2Q ( t )
dt 2 + 20
dQ ( t )
dt + 500 Q(t) = 12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada
2q , , + 20q , + 500q = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica k2 + 20k + 500 = 0
Então
k =
-b ±√b 2-4ac
2a =
-20 ±√202 -4.1 . 500
2 =
-20 ±√ -1600
2 = - 10 ± 20j
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
qH = a e
-10tcos(20t) + be -10tsen 20t , a e b reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora analisando o termo não homogêneo (12), vamos tentar uma solução particular do tipo
m
Se
qp = m → q
,
p = 0 → q
, ,
p = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO
0 + 0 + 500m = 12 → m = 0,024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Q(t) = qh + qP = a e
-10tcos(20t) + be -10tsen(20t) + 0,024, a e b reais 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q(0) = a + 12 = 0 → a = - 12
i(t) =
dQ ( t )
dt = Q
, (t) = - 10 a e -10tcos(20 t) - 20a e -10tsen(20t) - 10be -10tsen(20t) 
( )
( )
+20be -10tcos(20t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Q’(0) = - 10a + 20b = 0 → 2b = a = - 12 → b = - 6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
Q(t) = - 12 e -10tcos(20t) + 6 e -10tsen(20t) + 0,024
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com constante de
amortecimento
c = 16.
O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento
executado pelo sistema sabendo que sai da posição de
x = 0, 647m,
porém, com uma velocidade inicial provocada de 4,6m/s. Considere
g = 10m /s2.
 
 
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO SEGUNDA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um pêndulo simples de comprimento
L = 5m
está preso em um ponto fixo no teto segurando um corpo de massa
m
. Esse pêndulo é levado a uma posição de α em relação à vertical e é largado seguindo um movimento de oscilação.
Determine a equação do movimento do pêndulo sabendo que ele é largado com velocidade nula em um ângulo
α = 0, 2 rd
.
Utilize a aproximação de
senα = α
para ângulos pequenos.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO DA EDO SEGUNDA ORDEM NO ESTUDO DO
PÊNDULO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE
UM CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR V(T) = COS(T). SABE-SE QUE
R = 1Ω
,
C = 1F
E
L = 2H.
A) i(t) = sen(t) - cos(t)
B) i(t) = -
1
2sen(t) +
1
2cos t
C) i(t) =
1
2sen(t) +
1
2cos t
D) i(t) = -
1
2sen(t) -
1
2cos t
E) i(t) =
1
2sen(t) -
1
2cos t
2. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 1KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 100N/M.
DETERMINE A EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO SABENDO QUE O SISTEMA É
LARGADO, SEM VELOCIDADE, DE UMA POSIÇÃO 0,5M. CONSIDERE
G = 10M /S2
.
A) x(t) = 0 ,4 cos(10t)
B) x(t) = 0 ,4 sen(10t)
C) x(t) = 0 ,4 cos(10t) + 0 ,4 sen(10t)
D) x(t)= 0 ,5 cos(10t)
E) x(t) = 0 ,5 sen(10t)
GABARITO
1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de
sinal dada por v(t) = cos(t). Sabe-se que
R = 1Ω
,
C = 1F
e
L = 2H.
( )
( )
( )
( )
A alternativa "C " está correta.
 
Montando o modelo apresentado na teoria:
L
d 2i t
dt 2
+ R
di ( t )
dt +
1
C i t = v' t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
2
d 2i t
dt 2
+
di ( t )
dt + i(t) = (cos(t))
' = - sen t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular.
Agora analisando o termo não homogêneo
−sen(t)
, vamos tentar uma solução particular do tipo
m1 sen(t) + m2 cos(t).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
ip = m1 sen(t) + m2cos(t) → i
,
p = m1 cos(t) - m2 sen t →
i , ,p = - m1 sen(t) - m2 cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
2
d 2i t
dt 2
+
di ( t )
dt + i(t) = - sen t
2 - m1 sen(t) - m2 cos t + m1 cos(t) - m2 sen t + m1 sen(t) + m2cos(t) =
- m1 - m2 sen(t) + m1 - m2 cos(t) = - sen t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, m1 = m2 e m1 = 1 - m2
Portanto, m1 =
1
2 e m2 =
1
2
A solução particular será a solução em estado estacionário:
i(t) =
1
2sen(t) +
1
2cos t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ( )) ( ( )) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 1kg e tem uma
constante de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que rege o movimento sabendo que o sistema é
largado, sem velocidade, de uma posição 0,5m. Considere
g = 10m /s2
.
A alternativa "A " está correta.
 
No estado de equilíbrio, teremos:
P = mg = kL → L =
m
k g =
1.10
100 = 0,1m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola
0, 5m
e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá um movimento.
O valor da posição inicial de
x = 0, 5– 0, 1 = 0, 4m.
Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
m
d 2x
dt 2
+ kx = 0
d 2x
dt 2 + 100x = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
u2 + 100 = 0 → u2 = - 10 → u = ± 10i
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
x = m1cos(10t) + m2sen 10t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
m1
e
m2
.
A primeira condição é que
x(0) = 0, 4m.
( )
Em outras palavras, em
t = 0,
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
0, 5– 0, 1 = 0, 4m.
A segunda condição é que largamos a mola em
x = 0, 4m
do repouso, assim
v(0) = x ′(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
x = m1cos(10t) + m2sen(10t) → x
' = - 10m1sen(8t) + 10m2cos 8t
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x 0 = m1 = 0, 4
x’ 0 = 10m2 = 0 → m2 = 0
Assim,
x(t) = 0,4 cos(10t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
( )
( )
( )
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADAS DE LAPLACE
A transformada de Laplace tem diversas aplicações na análise de sistemas de controle, circuitos elétricos, vibrações
mecânicas, entre outras. As saídas desses sistemas apresentam dois tipos de regimes quanto à sua variação com o
tempo: transitório e o permanente. Neste módulo, apresentaremos aplicações da transformada de Laplace na análise de
sistemas em regime transitório e em regime permanente para sistemas de primeira e segunda ordem.
CONCEITOS INICIAIS
Na busca da melhor solução, usamos modelos que definem o funcionamento de um sistema. Assim, com o modelo, ao
inserirmos uma entrada, obteremos a resposta ou a saída desse sistema, isso é, o resultado que estamos estudando. Essa
resposta, quando analisada no tempo, consistirá em dois regimes distintos: transitório e permanente.
A RESPOSTA TRANSITÓRIA É AQUELA QUE VAI DO ESTADO
INICIAL ATÉ O ESTADO FINAL. A RESPOSTA PERMANENTE
OU ESTACIONÁRIA É AQUELA QUE PERMANECE QUANDO O
VALOR DO TEMPO TENDE AO INFINITO.
Na análise de um sistema, utilizamos como entrada alguns sinais de teste que vão examinar o comportamento desse
sistema. Esses sinais normalmente são função senoidal ou cossenoidal, função degrau unitário, função impulso e função
rampa.
Considerando as transformadas de Laplace das funções seno e cosseno, temos:
L[SEN AT] =
A
S2 + A2
 E L[COS AT] =
S
S2 + A2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, examinar as transformadas de Laplace nas três outras entradas utilizadas para analisar o sistema.
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO EM
T = A
F(T) = UA(T) =
0, T < A
1, T ≥ A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
F(S) = L[F(T)] = ∫∞0E
- STUA T DT = ∫
A
0E
- ST. 0 DT + ∫∞AE
- ST. 1 DT = -
1
SE
- ST
∞
A
L UA T =
E -AS
S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
a = 0:L u0(t) =
1
s
{
( ) [ ]
[ ( )]
[ ]
FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO EM
T = A
F(T) = ΔA(T - A) =
0, T ≠ A
1, T = A E ∫
∞
- ∞Δ(T - A)DT = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Essa função pode ser analisada do seguinte modo:
Δ(T) = LIM
Τ→0
DΤ T COM DΤ(T) =
1
2Τ , - Τ < T < Τ
0 OUTROS CASOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
∫ ∞- ∞Δ(T - A)G(T)DT = G(A)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
{
( ) {
ℒ[Δ(T - A)] = E - AS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
a = 0:L[δ(t)] = 1
A função impulso também é denominada de Delta de Dirac.
FUNÇÃO RAMPA
F(T) = R(T) =
0, T < 0
T, T ≥ 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
F(S) = ℒ[F(T)] = ∫∞0E
- STR T DT = ∫∞0E
- ST. T DT
ℒ[F(T)] = -
T
SE
- ST -
1
S2
E - ST
∞
0
=
1
S2
{
( )
[ ]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Vamos estudar sistemas de primeira ordem pela análise de um circuito elétrico. Considere um circuito RL, representado na
imagem a seguir. Esse circuito pode ser modelado por meio da seguinte equação diferencial:
DI ( T )
DT +
R
L I(T) =
1
LV T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RL modelado por uma EDO.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
L
DI ( T )
DT +
R
L I(T) = L
1
LV T
SI(S) + I(0) +
R
L I(S) =
1
LV(S)
( )
[ ] [ ( )]
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
i(0) = 0
SI(S) +
R
L I(S) =
1
LV(S) →
SL+ R
L I(S) =
1
LV(S)
I(S) =
1
LS+ RV(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que variando a entrada, obtemos a saída, analisando, assim, o sistema. Veja os exemplos.
EXEMPLO 9
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
t = 0
por um degrau de amplitude
V
.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude
V
centrado em
t = 0
. Assim, se
v(t)
é um degrau de amplitude
V
, temos
V(s) =
V
s
[ ]
.
Desse modo,
I(s) =
1
Ls + R 
V
s =
1
L
s +
R
L
V
s =
V
L
1s +
R
L
1
s =
V
L 
L
R
s -
L
R
s +
R
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
i(t) =
V
RL
-1 1
s -
1
s +
R
L
=
V
RL
-1 1
s -
V
RL
-1 1
s +
R
L
=
V
R 1 - e
-
R
L t , t > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e cresce exponencialmente
até
i(t) =
V
R
.
Portanto, em regime permanente, a saída seria
i(t) =
V
R
EXEMPLO 10
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
t = 0
por uma rampa.
RESOLUÇÃO
Vamos, agora, realizar a análise considerando como entrada uma rampa em
t = 0
.
Assim,
V(s) =
1
s2
Desse modo,
⌈ ⌉
[ ] [ ] [ ] ( )
I(s) =
1
Ls + R 
1
s2
=
1
L
s +
R
L
1
s2
=
1
L
1
s +
R
L
1
s2
=
1
L 
L
R
s2
-
L2
R2
s +
L2
R2
s +
R
L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
i(t) =
1
LL
-1
L
R
s2
-
L2
R2
s +
L2
R2
s +
R
L
=
1
RL
-1 1
s2
-
L
R2
L -1
1
s +
L
R2
L -1
1
s +
R
L
i(t) =
1
R t +
L
R2
e -
R
L t - 1 , t > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e no regime permanente o
sinal tende a
i(t) =
1
R t -
L
R2
≈
1
R t.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V centrada em
t = 0
.
RESOLUÇÃO
Temos, agora, um circuito RC.
⌈ ⌉
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Circuito RC modelado por uma EDO.
Esse circuito é modelado pela equação:
v t -vc t
R = C
dvc t
dt
dvc t
dt +
1
RCvc(t) =
1
RCv(t)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que
i(t) = C
dvc(t)
dt
Nesse caso, a entrada será
v(t)
e a saída
vc(t)
que permite calcular
i(t)
.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
L
dvc t
dt +
1
RCvc(t) = L
1
RCv t
sVc(s) + vc(0) +
1
RCVc(s) =
1
RCV(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
( ) ( ) ( )
( )
[ ( ) ] [ ( )]
vc(0) = 0
sVc(s) +
1
RCVc(s) =
1
RCV(s) →
sRC+ 1
RC I(s) =
1
RCV(s)
Vc(s) =
1
RCs + 1V(s)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude
V
centrado em
t = 0.
Assim,
V(s) = V
Vc(s) =
1
RCs + 1 V =
1
RC
s +
1
RC
V
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
vc(t) =
V
RC L
-1 1
s +
1
RC
=
V
RCe
-
1
RC t. t > 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta em regime transitório do sistema.
Repare que
vc(t)
começa em
V
RC
e quando
t
tende ao infinito
vc(t)
tenderá a zero.
Caso se deseje analisar a corrente do circuito:
i(t) = C
dvc t
dt = C
V
RC -
1
RC e
-
1
RC t = -
V
R2C
e -
1
RC t, t > 0
[ ]
[ ]
( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui foram apresentados exemplos com circuitos elétricos de primeira ordem. Mas qualquer sistema que apresente um
modelo de primeira ordem pode seguir a mesma análise.
S(S) =
1
AS+ BE(S)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função que multiplica E(s) para se obter S(s) é denominada de função de transferência do sistema.
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Para analisar os sistemas de segunda ordem, vamos ver o exemplo de um sistema massa-mola presa no teto, ou seja, na
vertical. A mola tem constante elástica
k
. Vamos considerar, no primeiro caso, um sistema sem amortecimento. Quando o sistema está em equilíbrio estático, o
corpo estará na posição
x = 0
. Vide a imagem a seguir.
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
 Sistema está em equilíbrio estático.
Para retirar esse sistema do equilíbrio, aplicamos uma força externa g(t) vertical, adicional, no corpo m. Assim, pela Lei de
Newton, podemos modelar a posição do corpo pela equação:
M
D 2X
DT 2
= MG + G(T) - K X - X0( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
mg = kx0
M
D 2X
DT2
+ KX = G(T)
D 2X
DT 2
+
K
M X =
1
M G(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que começamos a aplicar g(t) em
t = 0
, assim, para
t = 0
, tanto a posição quanto a velocidade são nulas. Em outras palavras, x(0) = x’(0) = 0.
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
L
D 2X
DT2
+
K
M X = L
1
M G T
S2X(S) - SX(0) - X'(0) +
K
M X(S) =
1
M G S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como x(0) = x’(0) = 0
S2X(S) +
K
M X(S) =
1
M G S
[ ] [ ( )]
( )
( )
MS2 + K
M X(S) =
1
M G(S) → X(S) =
1
MS2 + K
G S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, nossa saída X(s) é determinada pela entrada G(s).
Vamos fazer um exemplo para uma função g(t).
EXEMPLO 12
Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força
g(t)
externa, agindo a partir de
t = 0.
Considere a força
g(t)
um impulso unitário aplicado em
t = 0.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função impulso unitário em
t = 0.
Assim,
G(s) = 1.
X(s) =
1
ms2 + k
=
1
m
s2 +
k
m
=
1
m
m
k
k
m
s2 +
k
m
=
1
mk
k
m
s2 +
k
m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
x(t) =
1
mk L
-1
k
m
s2 +
k
m
=
1
mk sen
k
m t , t > 0
[ ] ( )
√
√
√
√
√ [ √ ] √ (√ )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, as respostas transitória e permanente serão as mesmas, sendo uma oscilação senoidal.
Vamos, agora, estudar um caso mais complexo, com o sistema apresentando um amortecimento contrário ao aumento da
velocidade. Com uma constante de amortecimento dada por c, o modelo agora será dado por:
D 2X
DT2
+
C
M
DX
DT +
K
M X =
1
M G(T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
L
D 2X
DT 2
+
C
M
DX
DT +
K
M X = L
1
M G T
S2X(S) - SX(0) - X' 0 +
C
M SX(S) -
K
M X 0 +
K
M X(S) =
1
M G S
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
x(0) = x ′(0) = 0
S2X(S) +
C
M SX(S) +
K
M X(S) =
1
M G S
MS2 + CS+ K
M X(S) =
1
M G(S) → X(S) =
1
MS2 + CS+ K
G(S)
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[ ] [ ( )]
( ) ( ) ( )
( )
[ ]
O sistema apresentará sobremortecido, amortecimento crítico ou Subamortecimento, quando, respectivamente, 
c2 - 4mk > 0, c2 - 4mk = 0 ou c2 - 4mk < 0.
Veja o exemplo.
EXEMPLO 13
Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força
g(t)
externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força
g(t)
um degrau unitário. Analise o caso quando, pelos valores de
c
e
k
, o sistema seja subamortecido.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função degrau unitária em
t = 0.
Assim,
G(s) =
1
s
.
X(s) =
1
ms2 + cs + k
 
1
s =
1
m
s2 +
c
ms +
k
m
 
1
s
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Vamos analisar o caso do subamortecimento, em que as raízes da equação do segundo grau serão números complexos
conjugados:
s2 +
c
m s +
k
m = 0 → s =
-c ±√c2 -4mk
2m
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Como c2 - 4mk < 0
s = a ± ib 
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