Oppenheim -Processamento em tempo discreto 3 edicao

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Oppenheim -Processamento em tempo discreto 3 edicao.pdf
Processamento 
em tempo discreto
de sinais
3 a edição
INI oppen0512_INI BR.indd 1 1/15/13 5:56 PM
INI oppen0512_INI BR.indd 2 1/15/13 5:56 PM
Processamento 
em tempo discreto
de sinais
Oppenheim • Schafer
Alan V. Oppenheim
Massachusetts Institute of Technology
Ronald W. Schafer
Hewlett-Packard Laboratories
Tradução:
Daniel Vieira
Revisão técnica:
Dr. Marcio Eisencraft
Professor adjunto do Centro de Engenharia, Modelagem e Ciências 
Sociais Aplicadas da Universidade Federal do ABC (UFABC)
Doutor em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo
Dra. Maria D. Miranda
Professora adjunta do Departamento de Telecomunicações e 
Controle da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Doutora em Engenharia Elétrica pela Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo
3 a edição
INI oppen0512_INI BR.indd 3 1/15/13 5:56 PM
©2013 by Pearson Education do Brasil Ltda.
© 2010, 1999, 1989 by Pearson Higher Education, Inc.,
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer 
modo ou por qualquer outro meio, eletrônico ou mecânico, incluindo fotocópia, gravação ou qualquer outro tipo de sistema 
de armazenamento e transmissão de informação, sem prévia autorização por escrito e transmissão de informação, 
da Pearson Education do Brasil.
2013
Direitos exclusivos para a língua portuguesa cedidos à
Pearson Education do Brasil Ltda.,
uma empresa do grupo Pearson Education
Rua Nelson Francisco, 26
CEP 02712-100 – São Paulo – SP – Brasil
Fone: 11 2178-8686 – Fax: 11 2178-8688
vendas@pearson.com
 Diretor editorial e de conteúdo Roger Trimer
 Gerente editorial Kelly Tavares
 Supervisora de produção editorial Silvana Afonso
 Coordenadora de produção gráfica Tatiane Romano
 Coordenador de produção editorial Sérgio Nascimento
 Editor de aquisições Vinícius Souza
 Editora de texto Sabrina Levensteinas
 Editor assistente Marcos Guimarães
 Preparação Beatriz Garcia
 Revisão Adriane Schirmer e Norma Gusukuma
 Capa Sidnei Moura e Solange Rennó
 Projeto gráfico Globaltec Editorial & Marketing
 Diagramação Casa de Ideias
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Oppenheim, Alan V.
 Processamento em tempo discreto de sinais / Alan V. Oppenheim,
Ronald W. Schafer; tradução Daniel Vieira; revisão técnica Marcio
Eisencraft e Maria D. Miranda. – 3. ed. – São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2012.
 Título original: Discrete-time signal processing.
 Bibliografia.
 ISBN 978-85-8143-102-4
1. Análise de sistemas 2. Teoria de sinais (Telecomunicação) I. Título.
12-13205 CDD-621.38223
Índice para catálogo sistemático:
1. Sinais e sistemas : Tecnologia 621.38223
INI oppen0512_INI BR.indd 4 1/24/13 10:05 AM
Para Phyllis, Justine e Jason
Para Dorothy, Bill, Tricia, Ken e Kate 
e em memória de John
INI oppen0512_INI BR.indd 5 1/15/13 5:56 PM
INI oppen0512_INI BR.indd 6 1/15/13 5:56 PM
Sumário
 Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV
 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.1 Perspectiva histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
1.2 Promessas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
 2 Sinais e sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2.1 Sinais de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.2 Sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Sistemas sem memória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Sistemas invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.4 Causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.5 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
2.4 Propriedades dos sistemas lineares invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5 Equações de diferenças lineares com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 Representação no domínio da frequência de sinais e sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.1 Autofunções para sistemas lineares invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.2 Entradas exponenciais complexas abruptamente aplicadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.7 Representação de sequências por transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.8 Propriedades de simetria da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.9 Teoremas da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9.1 Linearidade da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9.2 Teorema do deslocamento no tempo e do deslocamento na frequência . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.9.3 Teorema da reflexão no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.4 Teorema da diferenciação na frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.5 Teorema de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.6 Teorema da convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.9.7 Teorema da modulação ou do janelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.10 Sinais aleatórios de tempo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.11 Resumo . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
 3 A transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1 Transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
INI oppen0512_INI BR.indd 7 1/15/13 5:56 PM
VIII Processamento em tempo discreto de sinais
3.2 Propriedades da RDC para a transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3 A transformada z inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.1 Método da inspeção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.2 Expansão em frações parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.3.3 Expansão em série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Propriedades da transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.4.2 Deslocamento no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.3 Multiplicação por uma sequência exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4.4 Diferenciação de X (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4.5 Conjugação de uma sequência complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.6 Reflexão no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.7 Convolução de sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4.8 Resumo de algumas propriedades da transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.5 Transformadas z e sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6 A transformada z unilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
 4 Amostragem de sinais de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.1 Amostragem periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.2 Representação da amostragem no domínio da frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.3 Reconstrução de um sinal de banda limitada a partir de suas amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.4 Processamento em tempo discreto de sinais de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4.1 Processamento LIT em tempo discreto de sinais de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.4.2 Invariância ao impulso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.5 Processamento em tempo contínuo de sinais de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.6 Mudança da taxa de amostragem usando o processamento em tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6.1 Redução da taxa de amostragem por um fator inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4.6.2 Aumento da taxa de amostragem por um fator inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.6.3 Filtros de interpolação simples e práticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.6.4 Mudança da taxa de amostragem por um fator não inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.7 Processamento multitaxa de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
4.7.1 Comutação da filtragem com compressor/expansor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7.2 Dizimação e interpolação em estágios múltiplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.7.3 Decomposições polifásicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.7.4 Implementação polifásica de filtros de dizimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.7.5 Implementação polifásica de filtros de interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.7.6 Bancos de filtros multitaxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8 Processamento digital de sinais analógicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8.1 Pré-filtragem para evitar aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.8.2 Conversão A/D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.8.3 Análise de erros de digitalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.8.4 Conversão D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.9 Sobreamostragem e formatação do ruído nas conversões A/D e D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9.1 Conversão A/D sobreamostrada com digitalização direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.9.2 Conversão A/D sobreamostrada com formatação do ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
INI oppen0512_INI BR.indd 8 1/15/13 5:56 PM
Sumário IX
4.9.3 Sobreamostragem e formatação do ruído na conversão D/A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.10 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
 5 Análise no domínio transformado de sistemas lineares invariantes no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
5.1 A resposta em frequência de sistemas LIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .166
5.1.1 Fase e atraso de grupo da resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1.2 Exemplo dos efeitos do atraso de grupo e da atenuação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2 Sistemas caracterizados por equações de diferenças com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .172
5.2.1 Estabilidade e causalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.2 Sistemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2.3 Resposta ao impulso para funções de sistema racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.3 Resposta em frequência para funções de sistema racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
5.3.1 Resposta em frequência de sistemas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.3.2 Exemplos com múltiplos polos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
5.4 Relação entre magnitude e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
5.5 Sistemas passa-tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .183
5.6 Sistemas de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .186
5.6.1 Decomposição fase mínima e passa-tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.6.2 Compensação da resposta em frequência de sistemas de fase não mínima . . . . . . . . . . . . 187
5.6.3 Propriedades dos sistemas de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.7 Sistemas lineares com fase linear generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191
5.7.1 Sistemas com fase linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.7.2 Fase linear generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5.7.3 Sistemas causais de fase linear generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.7.4 Relação entre sistemas FIR com fase linear e sistemas de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
 6 Estruturas para sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.1 Representação em diagrama de blocos de equações de diferenças lineares 
com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .223
6.2 Representação em diagrama de fluxo de sinais de equações de diferenças lineares com coeficientes 
constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .227
6.3 Estruturas básicas para sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3.1 Formas diretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3.2 Forma em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.3.3 Forma paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.3.4 Realimentação em sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.4 Formas transpostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.5 Estruturas básicas de rede para sistemas FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.5.1 Forma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.5.2 Forma em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.5.3 Estruturas para sistemas FIR de fase linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.6 Filtros em treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.6.1 Filtros FIR em treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.6.2 Estrutura em treliça só-polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
INI oppen0512_INI BR.indd 9 1/15/13 5:56 PM
X Processamento em tempo discreto de sinais
6.6.3 Generalização dos sistemas em treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
6.7 Visão geral sobre os efeitos numéricos da precisão finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.7.1 Representações numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.7.2 Digitalização na implementação de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.8 Efeitos da digitalização dos coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.8.1 Efeitos da digitalização dos coeficientes em sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.8.2 Exemplo da digitalização dos coeficientes em filtro elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6.8.3 Polos de seções de segunda ordem digitalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.8.4 Efeitos da digitalização dos coeficientes em sistemas FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
6.8.5 Exemplo de digitalização
de um filtro FIR ótimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.8.6 Preservando a fase linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.9 Efeitos do ruído de arredondamento nos filtros digitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9.1 Análise das estruturas IIR na forma direta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.9.2 Fator de escala nas implementações em ponto fixo de sistemas IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.9.3 Exemplo de análise de uma estrutura IIR em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
6.9.4 Análise de sistemas FIR na forma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.9.5 Realizações em ponto flutuante de sistemas de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.10 Ciclos limite de entrada nula em realizações de filtros digitais IIR em ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.10.1 Ciclos limite devido ao arredondamento e truncamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.10.2 Ciclos limite devido ao transbordamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.10.3 Evitando ciclos limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.11 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
 7 Técnicas de projeto de filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.1 Especificações do filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7.2 Projeto de filtros IIR de tempo discreto a partir de filtros de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2.1 Projeto de filtro por invariância ao impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2.2 Transformação bilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.3 Filtros Butterworth, Chebyshev e elípticos de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.3.1 Exemplos de projetos de filtros IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.4 Transformações de frequência de filtros IIR passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
7.5 Projeto de filtros FIR por janelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315
7.5.1 Propriedades de janelas comumente utilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
7.5.2 Incorporação da fase linear generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.5.3 Método do projeto de filtro utilizando a janela de Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
7.6 Exemplos de projetos de filtro FIR pelo método da janela de Kaiser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.6.1 Filtro passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.6.2 Filtro passa-altas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
7.6.3 Diferenciadores de tempo discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
7.7 Aproximações ótimas de filtros FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.7.1 Filtros passa-baixas de Tipo I ótimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
7.7.2 Filtros passa-baixas de Tipo II ótimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
7.7.3 Algoritmo de Parks–McClellan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
7.7.4 Características dos filtros FIR ótimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
7.8 Exemplos da aproximação equiripple FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
7.8.1 Filtro passa-baixas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
INI oppen0512_INI BR.indd 10 1/15/13 5:56 PM
Sumário XI
7.8.2 Compensação para a retenção de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
7.8.3 Filtro passa-faixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
7.9 Comentários sobre filtros de tempo discreto IIR e FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.10 Projeto de um filtro para sobreamostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
7.11 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
 8 A transformada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.1 Representação de sequências periódicas: a série de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
8.2 Propriedades da SFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.2 Deslocamento de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.3 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8.2.4 Propriedades de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.2.5 Convolução periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
8.2.6 Resumo das propriedades de representação por SFD de sequências periódicas . . . . . . . . 373
8.3 Transformada de Fourier de sinais periódicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
8.4 Amostragem da transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
8.5 Representação de Fourier de sequências de duração finita: a TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.6 Propriedades da TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
8.6.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.6.2 Deslocamento circular de uma sequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.6.3 Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.6.4 Propriedades de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
8.6.5 Convolução circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.6.6 Resumo das propriedades da TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.7 Cálculo da convolução linear a partir da TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.7.1 Convolução linear de duas sequências de comprimento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.7.2 Convolução circular como convolução linear com aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.7.3 Implementação de sistemas lineares invariantes no tempo usando a TFD . . . . . . . . . . . . 394
8.8 Transformada de cosseno discreta (TCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.8.1 Definições da TCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8.2 Definição da TCD-1 e da TCD-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
8.8.3 Relação entre a TFD e a TCD-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.8.4 Relação entre a TFD e a TCD-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8.8.5 Propriedade da compactação de energia da TCD-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
8.8.6 Aplicações da TCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
8.9 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
 9 Cálculo numérico da transformada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
9.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
9.1 Cálculo direto da transformada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.1.1 Cálculo direto pela definição da TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
9.1.2 Algoritmo de Goertzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.1.3 Explorando tanto a simetria quanto a periodicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
9.2 Algoritmos de FFT com dizimação no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
9.2.1 Generalização e programação da FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
INI oppen0512_INI BR.indd 11 1/15/13 5:56 PM
XII Processamento em tempo discreto de sinais
9.2.2 Cálculos realizados localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
9.2.3 Formas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
9.3 Algoritmos de FFT com dizimação na frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.3.1 Cálculos realizados localmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.3.2 Formas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.4 Considerações práticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
9.4.1 Indexação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.4.2 Coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.5 Algoritmos de FFT mais genéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.5.1 Algoritmos para valores compostos de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.5.2 Algoritmos de FFT otimizados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
9.6 Implementação da TFD usando convolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
9.6.1 Visão geral do algoritmo de Winograd para a transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 441
9.6.2 Algoritmo da transformada chirp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9.7 Efeitos do comprimento finito do registrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
9.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
 10 Análise de Fourier de sinais usando a transformada de Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
10.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
10.1 Análise de Fourier de sinais usando a TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
10.2 Análise por TFD de sinais senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.2.1 Efeito do janelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
10.2.2 Propriedades das janelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
10.2.3 Efeito da amostragem espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
10.3 Transformada de Fourier dependente do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
10.3.1 Invertibilidade de X [n, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.3.2 Interpretação por banco de filtros de X [n, λ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.3.3 Efeito da janela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
10.3.4 Amostragem no tempo e na frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
10.3.5 Método de reconstrução por sobreposição e soma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
10.3.6 Processamento de sinais baseado na transformada de Fourier dependente do tempo . . . 487
10.3.7 Interpretação da transformada de Fourier dependente do tempo como banco de filtros 488
10.4 Exemplos de análise de Fourier de sinais não estacionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
10.4.1 Análise de Fourier dependente do tempo de sinais de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
10.4.2 Análise de Fourier dependente do tempo de sinais de radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
10.5 Análise de Fourier de sinais aleatórios estacionários: o periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
10.5.1 Periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
10.5.2 Propriedades do periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
10.5.3 Média dos periodogramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.5.4 Cálculo de periodogramas médios usando a TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
10.5.5 Exemplo de análise por periodograma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500
10.6 Análise de espectro de sinais aleatórios usando estimativas de sequência de autocorrelação . . . . . . . . . 502
10.6.1 Cálculo de estimativas da correlação e do espectro de potência usando a TFD . . . . . . . . 504
10.6.2 Estimação do espectro de potência do ruído de digitalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
10.6.3 Estimação do espectro de potência da voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
10.7 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
INI oppen0512_INI BR.indd 12 1/24/13 10:05 AM
Sumário XIII
 11 Modelagem paramétrica de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
11.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
11.1 Modelagem só-polos de sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
11.1.1 Aproximação por mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
11.1.2 Modelo inverso por mínimos quadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 530
11.1.3 Formulação por predição linear da modelagem só-polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
11.2 Modelos de sinais determinísticos e aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
11.2.1 Modelagem só-polos dos sinais determinísticos com energia finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
11.2.2 Modelagem de sinais aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
11.2.3 Erro quadrático médio mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
11.2.4 Propriedade do casamento da autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
11.2.5 Determinação do parâmetro de ganho G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
11.3 Estimação das funções de correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
11.3.1 Método da autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
11.3.2 Método da covariância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
11.3.3 Comparação dos métodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
11.4 Ordem do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
11.5 Análise de espectro só-polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
11.5.1 Análise só-polos de sinais de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
11.5.2 Localização dos polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
11.5.3 Modelagem só-polos dos sinais senoidais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
11.6 Solução das equações normais da autocorrelação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
11.6.1 Recursão de Levinson–Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
11.6.2 Dedução do algoritmo de Levinson–Durbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
11.7 Filtros em treliça . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
11.7.1 Rede em treliça do erro de predição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
11.7.2 Rede em treliça do modelo só-polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
11.7.3 Cálculo direto dos parâmetros k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
11.8 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
 12 Transformadas de Hilbert discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
12.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
12.1 Suficiência das partes
real e imaginária da transformada de Fourier para sequências causais . . . . . . . . . 563
12.2 Teoremas de suficiência para sequências de comprimento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
12.3 Relações entre magnitude e fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
12.4 Relações da transformada de Hilbert para sequências complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
12.4.1 Projeto de transformadores de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
12.4.2 Representação de sinais passa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.4.3 Amostragem passa-banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
12.5 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
 13 Análise cepstral e desconvolução homomórfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
13.0 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
13.1 Definição do cepstrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584
13.2 Definição do cepstrum complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585
13.3 Propriedades do logaritmo complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
13.4 Expressões alternativas para o cepstrum complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
INI oppen0512_INI BR.indd 13 1/15/13 5:56 PM
XIV Processamento em tempo discreto de sinais
13.5 Cepstrum complexo para sequências exponenciais, de fase mínima e de fase máxima . . . . . . . . . . . . . . . 588
13.5.1 Sequências exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
13.5.2 Sequências de fase mínima e fase máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
13.5.3 Relação entre o cepstrum real e o cepstrum complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590
13.6 Cálculo numérico do cepstrum complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
13.6.1 Desfazendo as voltas da fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591
13.6.2 Cálculo numérico do cepstrum complexo usando a derivada logarítmica . . . . . . . . . . . . . 594
13.6.3 Realizações de fase mínima para sequências de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594
13.6.4 Cálculo recursivo do cepstrum complexo para sequências de fase mínima e de 
fase máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
13.6.5 Uso da ponderação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
13.7 Cálculo numérico do cepstrum complexo a partir de raízes de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
13.8 Desconvolução usando o cepstrum complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
13.8.1 Desconvolução homomórfica fase mínima/passa-tudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
13.8.2 Desconvolução homomórfica fase mínima/fase máxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
13.9 Cepstrum complexo para um modelo multipercurso simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
13.9.1 Cálculo do cepstrum complexo por análise com a transformada z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601
13.9.2 Cálculo do cepstrum usando a TFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
13.9.3 Desconvolução homomórfica para o modelo multipercurso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
13.9.4 Decomposição de fase mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
13.9.5 Generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
13.10 Aplicações para processamento de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
13.10.1 Modelo de sinal de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
13.10.2 Exemplo de desconvolução homomórfica de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
13.10.3 Estimando os parâmetros do modelo de voz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
13.10.4 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
13.11 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .614
Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
 A Sinais aleatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
 B Filtros de tempo contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
 C Respostas dos problemas básicos selecionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640
 Índice remissivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
INI oppen0512_INI BR.indd 14 1/15/13 5:56 PM
Esta terceira edição de Processamento em Tempo 
Discreto de Sinais provém de nosso livro-texto original 
Digital Signal Processing, publicado em 1975. Esse texto 
muito bem-sucedido apareceu em um período em que 
a área era nova e apenas começava a se desenvolver ra-
pidamente. Nessa época, o assunto era ensinado apenas 
em nível de pós-graduação e em algumas poucas facul-
dades. Nosso texto de 1975 foi elaborado para esses cur-
sos. Ele ainda é impresso e bem-sucedido em diversas 
faculdades nos Estados Unidos e outros países.
Na década de 1980, o ritmo da pesquisa, da tec-
nologia
de aplicações e da implementação do processa-
mento de sinais deixou claro que o processamento di-
gital de sinais (PDS) alcançaria e superaria o potencial 
que ficara evidente na década de 1970. A importância 
explosiva do PDS justificou nitidamente a revisão e a 
atualização do texto original. Ao organizar essa revisão, 
ficou claro que ocorreram tantas mudanças, tanto na 
área de atuação quanto no nível e no estilo com que o 
tópico era ensinado, que foi mais apropriado desenvol-
ver um novo livro-texto, baseado fortemente em nosso 
texto original, embora tenhamos mantido a publicação 
do texto original. Chamamos o novo livro, publicado 
em 1989 nos EUA, de Processamento em Tempo Discre-
to de Sinais, para enfatizar que a maior parte da teoria 
e das técnicas de projeto do PDS discutidas no texto 
se aplica a sistemas de tempo discreto em geral, sejam 
analógicos ou digitais.
No desenvolvimento de Processamento em Tempo 
Discreto de Sinais, reconhecemos que os princípios bá-
sicos do PDS estavam sendo comumente ensinados em 
nível de graduação, muitas vezes até mesmo como par-
te de um primeiro curso em sistemas lineares de tem-
po discreto, porém, com mais frequência, em um nível 
mais avançado em matérias de terceiro ano, quarto ano 
ou início da pós-graduação. Portanto, foi apropriado 
expandir consideravelmente o tratamento de tópicos 
como sistemas lineares, amostragem, processamento 
multitaxa de sinais, aplicações e análise espectral. Além 
disso, mais exemplos foram incluídos para enfatizar e 
ilustrar conceitos importantes. Em conformidade com 
a importância que colocamos em exemplos bem cons-
truídos e atividades extraclasse, esse novo texto incluiu 
mais de 400 problemas.
Enquanto a área continuava a avançar em teoria 
e em aplicações, grande parte dos fundamentos básicos 
permanecia igual, embora aperfeiçoada em ênfase, in-
terpretação e pedagogia. Consequentemente, a segunda 
edição de Processamento em Tempo Discreto de Sinais 
foi publicada em 1999 nos EUA. Essa nova edição foi 
uma revisão importante, que teve a intenção de tornar o 
assunto de processamento em tempo discreto de sinais 
ainda mais acessível a alunos e engenheiros em exercí-
cio, sem comprometimento na cobertura do que consi-
deramos ser os conceitos essenciais que definem a área.
Esta terceira edição de Processamento em Tempo 
Discreto de Sinais é uma revisão importante de nossa 
segunda edição. A nova edição responde a mudanças 
no modo como o assunto é ensinado e a mudanças no 
escopo dos cursos típicos em nível de graduação e pri-
meiro ano de pós-graduação. Ela dá continuidade à 
tradição de enfatizar a acessibilidade dos tópicos aos 
alunos e engenheiros em exercício, realçando os prin-
cípios fundamentais com ampla aplicabilidade. Uma 
característica importante da nova edição é a incorpora-
ção e a expansão de alguns dos tópicos mais avançados, 
cuja compreensão agora é essencial para o trabalho de 
forma eficaz na área. Cada capítulo da segunda edição 
passou por uma revisão e mudanças significativas, um 
capítulo totalmente novo foi acrescentado e um capítu-
lo foi restaurado e atualizado significativamente a par-
tir da primeira edição. 
À medida que continuávamos a ensinar o assunto 
no decorrer dos dez anos desde a segunda edição, cons-
tantemente criávamos novos problemas para atividades 
extraclasse e provas. Coerentemente com a importância 
que sempre demos a exemplos e atividades extraclasse 
bem construídos, selecionamos mais de 130 dos melho-
res deles para ser incluídos na terceira edição, que agora 
contém mais de 700 problemas extraclasse. 
Como em edições anteriores deste texto, conside-
ramos que o leitor tenha uma base avançada em cálculo, 
bem como um bom conhecimento de elementos de nú-
meros complexos e variáveis complexas. Uma base em 
Prefácio
INI oppen0512_INI BR.indd 15 1/15/13 5:56 PM
XVI Processamento em tempo discreto de sinais
teoria de sistemas lineares para sinais de tempo contí-
nuo, incluindo transformadas de Laplace e Fourier, con-
forme ensinado na maioria dos currículos de engenha-
ria elétrica e mecânica em nível de graduação, continua 
sendo um pré-requisito básico. Agora também é comum, 
na maioria dos currículos de graduação, incluir uma ex-
posição inicial a sinais e sistemas de tempo discreto, 
transformadas de Fourier de tempo discreto e processa-
mento em tempo discreto dos sinais de tempo contínuo.
Nossa experiência no ensino de processamen-
to em tempo discreto de sinais no nível avançado de 
graduação e no nível de pós-graduação confirma que 
é essencial começar com uma revisão cuidadosa desses 
tópicos, para que os alunos prossigam para os tópicos 
mais avançados a partir de uma base de conhecimen-
to sólida e uma familiaridade com uma estrutura de 
notação consistente, usada ao longo de todo o curso e 
que acompanha o livro-texto. Tipicamente, em uma pri-
meira exposição ao processamento em tempo discreto 
de sinais no início dos cursos de graduação, os alunos 
aprendem a realizar manipulações matemáticas, mas é 
revendo os tópicos que eles aprendem a manipular com 
mais desenvoltura os conceitos fundamentais. Portanto, 
nesta edição, retemos a cobertura desses fundamentos 
nos cinco primeiros capítulos, melhorados com novos 
exemplos e uma discussão expandida. Em seções poste-
riores de alguns capítulos são incluídos tópicos adicio-
nais, como ruído de digitalização, que pressupõe conhe-
cimento básico em sinais aleatórios. Uma rápida revisão 
do fundamento essencial para essas seções foi incluída 
no Capítulo 2 e no Apêndice A.
Uma mudança importante no ensino de PDS, que 
ocorreu por volta da última década, é um amplo uso de 
sofisticados pacotes de software, como MATLAB, Lab-
VIEW e Mathematica, que fornecem uma experiência 
interativa e prática para os alunos. A acessibilidade e a 
facilidade de uso desses pacotes de software fornecem 
a oportunidade de associar os conceitos e a matemá-
tica, que são a base para o processamento em tempo 
discreto de sinais, a aplicações envolvendo sinais reais e 
sistemas em tempo real. Esses pacotes de software são 
bem documentados, possuem excelente suporte técnico 
e excelentes interfaces com o usuário, fato que os torna 
facilmente acessíveis aos alunos sem tirar a atenção do 
principal objetivo: o desenvolvimento de ideias e a in-
tuição sobre os fundamentos. Em muitos cursos de pro-
cessamento de sinais, agora é comum que sejam incluí-
dos projetos e exercícios a ser resolvidos com o uso de 
um ou vários dos pacotes de software disponíveis. Cer-
tamente, isso precisa ser feito com cautela, a fim de ma-
ximizar o benefício ao aprendizado do aluno, enfatizan-
do a experimentação dos conceitos, parâmetros e assim 
por diante, em vez de fornecer simplesmente exercícios 
que podem ser resolvidos com uma “receita”. É parti-
cularmente empolgante que, com um desses poderosos 
pacotes de software instalado, o computador portátil de 
cada aluno se torne um laboratório de última geração 
para a experimentação de conceitos de processamento 
em tempo discreto de sinais e de sistemas.
Como professores, procuramos consistentemente 
a melhor maneira de usar os recursos do computador 
para melhorar o ambiente de aprendizado de nossos 
alunos. Continuamos a acreditar que os livros-texto são 
a melhor maneira de apresentar o conhecimento de 
forma conveniente e estável. Os livros-texto necessaria-
mente evoluem em uma escala de tempo relativamente 
lenta. Isso assegura uma certa estabilidade e fornece 
tempo para a análise dos desenvolvimentos na área e 
para avaliar maneiras de apresentação de novas ideias 
aos alunos. Por outro lado, as mudanças na tecnologia de 
software e hardware de computadores ocorrem em uma 
escala de tempo muito mais rápida. As revisões de soft-
ware muitas vezes ocorrem semestralmente, e as veloci-
dades de hardware continuam a aumentar anualmente. 
Isso, juntamente com a disponibilidade da world-wide-
-web, proporciona a oportunidade de atualização mais 
frequente dos componentes interativos
e experimentais 
do ambiente de aprendizado. Por esses motivos, propor-
cionar ambientes separados para a matemática básica e 
os conceitos básicos na forma de livro-texto, e para a ex-
periência interativa e prática, principalmente por meio 
da world-wide-web, parece ser um caminho natural.
Com isso em mente, criamos esta terceira edição 
de Processamento em Tempo Discreto de Sinais, incor-
porando o que acreditamos ser a matemática e os con-
ceitos fundamentais do processamento em tempo dis-
creto de sinais.
O material neste livro está organizado de modo 
a fornecer uma flexibilidade considerável em seu uso 
nos níveis de graduação e pós-graduação. Uma maté-
ria eletiva típica de um semestre em nível de gradua-
ção poderia abranger em profundidade o Capítulo 2, 
seções 2.0-2.9; o Capítulo 3; o Capítulo 4, seções 4.0-4.6; 
o Capítulo 5, seções 5.0-5.3; o Capítulo 6, seções 6.0-
6.5; e o Capítulo 7, seções 7.0-7.3; e uma breve passada 
pelas seções 7.4-7.6. Se os alunos tiverem estudado si-
nais e sistemas de tempo discreto em um curso anterior 
sobre sinais e sistemas, será possível passar mais rapi-
damente pelo material dos capítulos 2, 3 e 4, fazendo 
com que haja mais tempo para abordar o Capítulo 8. No 
primeiro ano do curso de pós-graduação ou um curso 
de especialização poderiam ser incorporados aos tópi-
cos anteriores os tópicos restantes do Capítulo 5, uma 
discussão de processamento multitaxa de sinais (Seção 
4.7), uma exposição a algumas das questões de digita-
lização apresentadas na Seção 4.8 e talvez uma intro-
dução à formatação do ruído em conversores A/D e 
D/A, conforme discutido na Seção 4.9. No primeiro ano 
INI oppen0512_INI BR.indd 16 1/15/13 5:56 PM
Prefácio XVII
do curso de pós-graduação também devem-se incluir a 
exposição a algumas das questões de digitalização tra-
tadas nas seções 6.6-6.9, uma discussão dos filtros FIR 
ideais, conforme incorporados nas seções 7.7-7.9, e um 
tratamento completo da transformada de Fourier dis-
creta (Capítulo 8) e seu cálculo usando a FFT (Capítulo 
9). A discussão da TFD pode ser efetivamente reforça-
da com muitos dos exemplos no Capítulo 10. Em um 
curso de pós-graduação de dois semestres, todo o texto, 
incluindo os novos capítulos sobre modelagem para-
métrica de sinais (Capítulo 11) e o cepstrum (Capítulo 
13), pode ser abordado juntamente com uma série de 
tópicos avançados adicionais. Em todos os casos, os pro-
blemas extraclasse ao final de cada capítulo podem ser 
trabalhados com ou sem o auxílio de um computador, 
e podem ser usados para fortalecer a relação entre a 
teoria e a implementação por computador dos sistemas 
de processamento de sinais.
Concluímos este prefácio com um resumo do con-
teúdo de cada capítulo, destacando as mudanças signifi-
cativas na terceira edição.
No Capítulo 2, apresentamos a aula básica dos si-
nais e sistemas de tempo discreto e definimos as pro-
priedades básicas do sistema, como linearidade, inva-
riância no tempo, estabilidade e causalidade. O foco 
principal do livro está nos sistemas lineares invariantes 
no tempo, devido ao rico conjunto de ferramentas dis-
poníveis para projetar e analisar essa classe de sistemas. 
No Capítulo 2, em particular, desenvolvemos a repre-
sentação no domínio do tempo dos sistemas lineares 
invariantes no tempo através da soma de convolução 
e abordamos a classe de sistemas lineares e invarian-
tes no tempo representados por equações de diferen-
ças lineares com coeficientes constantes. No Capítulo 
6, abordamos essa classe de sistemas em mais detalhes. 
Também no Capítulo 2, abordamos a representação no 
domínio da frequência dos sinais e sistemas de tempo 
discreto por meio da transformada de Fourier de tempo 
discreto. O foco principal do Capítulo 2 está na repre-
sentação das sequências em termos da transformada de 
Fourier de tempo discreto, ou seja, como uma combi-
nação linear de exponenciais complexas, e o desenvol-
vimento das propriedades básicas da transformada de 
Fourier de tempo discreto.
No Capítulo 3, desenvolvemos a transformada z 
como uma generalização da transformada de Fourier. 
Esse capítulo foca o desenvolvimento dos teoremas e 
das propriedades básicas da transformada z e o desen-
volvimento do método da expansão em frações parciais 
para a operação de transformada inversa. Uma nova se-
ção sobre a transformada z unilateral foi acrescentada 
nesta edição. No Capítulo 5, os resultados desenvolvi-
dos nos capítulos 2 e 3 são usados extensivamente em 
uma discussão detalhada da representação e análise 
de sistemas lineares invariantes no tempo. Embora o 
material nos capítulos 2 e 3 possa ser uma revisão para 
muitos alunos, a maior parte dos cursos introdutórios 
sobre sinais e sistemas não terá a profundidade ou a 
abrangência desses capítulos. Além disso, esses capítu-
los estabelecem a notação que será usada ao longo de 
todo o texto. Assim, recomendamos que os capítulos 2 
e 3 sejam estudados tão cuidadosamente quanto neces-
sário para que os alunos se sintam confiantes em seu 
domínio dos fundamentos dos sinais e sistemas de tem-
po discreto.
No Capítulo 4 é feita uma discussão detalhada da 
relação entre os sinais de tempo contínuo e de tempo 
discreto quando os sinais de tempo discreto são obtidos 
com amostragem periódica dos sinais de tempo con-
tínuo. Isso inclui um desenvolvimento do teorema da 
amostragem de Nyquist. Além disso, discutimos a supe-
ramostragem e a subamostragem dos sinais de tempo 
discreto conforme usadas, por exemplo, nos sistemas 
de processamento multitaxas de sinais e na conversão 
da taxa de amostragem. O capítulo conclui com uma 
discussão de algumas das questões práticas encontradas 
na conversão de tempo contínuo para tempo discreto, 
incluindo a pré-filtragem para evitar aliasing, a mode-
lagem dos efeitos da digitalização de amplitude quando 
os sinais de tempo discreto são representados digital-
mente e o uso da sobreamostragem na simplificação 
dos processos de conversão A/D e D/A. Esta terceira 
edição inclui novos exemplos de simulações de ruído 
de digitalização, uma nova discussão dos filtros de in-
terpolação obtidos das splines e novas discussões da 
interpolação de múltiplos estágios e bancos de filtros 
multitaxas em dois canais.
No Capítulo 5, aplicamos os conceitos desenvol-
vidos nos capítulos anteriores a um estudo detalhado 
das propriedades dos sistemas lineares invariantes no 
tempo. Definimos a classe de filtros ideais seletivos em 
frequência e desenvolvemos a função de sistema e re-
presentação de polos e zeros para os sistemas descritos 
por equações de diferenças lineares com coeficientes 
constantes, uma classe de sistemas cuja implementação 
é considerada em detalhes no Capítulo 6. Também no 
Capítulo 5, definimos e discutimos o atraso de grupo, 
a resposta de fase e a distorção de fase, além das rela-
ções entre a resposta de magnitude e a resposta de fase 
dos sistemas, incluindo uma discussão sobre os sistemas 
de fase linear de fase mínima, passa-tudo e sistemas de 
fase linear generalizada. As mudanças da terceira edi-
ção incluem um novo exemplo dos efeitos do atraso de 
grupo e atenuação.
No Capítulo 6, focamos especificamente os siste-
mas descritos por equações de diferenças lineares com 
coeficientes constantes, e desenvolvemos sua represen-
INI oppen0512_INI BR.indd 17 1/24/13 10:05 AM
XVIII Processamento em tempo discreto de sinais
tação em termos de diagrama de blocos e diagrama de 
fluxo de sinais lineares. Grande parte do capítulo trata 
do desenvolvimento de uma variedade de importantes 
estruturas de sistema e da comparação de algumas de 
suas propriedades. A importância dessa discussão e a 
variedade de estruturas de filtro se relacionam ao fato 
de que, em uma implementação prática de um sistema 
de tempo discreto, os efeitos das imprecisões dos coefi-
cientes e erros da aritmética podem depender muito da 
estrutura específica utilizada. Embora essas questões 
básicas sejam similares em implementações digitais e 
analógicas em
tempo discreto, elas serão ilustradas nes-
te capítulo no contexto de uma implementação digital, 
com uma discussão dos efeitos da digitalização dos coe-
ficientes e da aritmética do ruído de arredondamento 
para filtros digitais. Uma nova seção fornece uma dis-
cussão detalhada dos filtros em treliça FIR e IIR para 
a implementação de equações de diferenças lineares 
com coeficientes constantes. Conforme discutido no 
Capítulo 6 e mais adiante no Capítulo 11, essa classe 
de estruturas de filtro se tornou extremamente impor-
tante em muitas aplicações devido a suas propriedades 
desejáveis. Nas discussões sobre filtros em treliça, em 
muitos textos e artigos, é comum associar sua impor-
tância à análise de predição linear e de modelagem de 
sinais. Entretanto, a importância do uso de implemen-
tações em treliça dos filtros FIR e IIR é independente 
de como a equação de diferenças a ser implementada é 
obtida. Por exemplo, a equação de diferenças pode ser 
resultado do uso de técnicas de projeto de filtro, con-
forme abordagem do Capítulo 7, do uso da modelagem 
paramétrica de sinais, conforme abordagem do Capítu-
lo 11, ou resultado de qualquer uma das diversas outras 
formas em que a equação de diferenças a ser implemen-
tada aparece.
Enquanto o Capítulo 6 trata da representação e 
implementação de equações de diferenças lineares com 
coeficientes constantes, o Capítulo 7 trata dos procedi-
mentos para a obtenção dos coeficientes dessa classe de 
equações de diferenças para aproximar uma desejada 
resposta de sistema. As técnicas de projeto são separa-
das naquelas usadas em filtros com resposta ao impul-
so de duração infinita (IIR, do inglês Infinite Impulse 
Response) e naquelas usadas em filtros com resposta ao 
impulso de duração finita (FIR, do inglês Finite Impul-
se Response). Novos exemplos de projeto de filtro IIR 
fornecem noções adicionais sobre as propriedades dos 
diferentes métodos de aproximação. Um novo exemplo 
sobre projeto de filtro para interpolação fornece uma 
estrutura de comparação entre os filtros IIR e FIR em 
uma configuração prática.
Na teoria de sistema linear de tempo contínuo, a 
transformada de Fourier é principalmente uma ferra-
menta analítica para representar sinais e sistemas. Ao 
contrário, no caso do tempo discreto, muitos sistemas 
e algoritmos de processamento de sinais envolvem o 
cálculo explícito da transformada de Fourier. Embora a 
própria transformada de Fourier não possa ser calcula-
da, uma versão amostrada dela, a transformada de Fou-
rier discreta (TFD), pode ser calculada, e para sinais de 
duração finita, a TFD é uma representação de Fourier 
completa do sinal. No Capítulo 8, a TFD é apresentada, 
e suas propriedades e relações com a transformada de 
Fourier de tempo discreto (TFTD) são desenvolvidas 
em detalhes. Neste capítulo, também fornecemos uma 
introdução à transformada de cosseno discreto (TCD), 
que desempenha um papel muito importante em apli-
cações como compactação de áudio e vídeo.
No Capítulo 9, a rica e importante variedade de 
algoritmos para calcular ou gerar a TFD é introduzida e 
discutida, incluindo o algoritmo de Goertzel, os algorit-
mos da transformada de Fourier rápida (FFT, do inglês 
Fast Fourier Transform) e a transformada chirp. Nesta 
terceira edição, as operações básicas de superamostra-
gem e subamostragem, discutidas no Capítulo 4, são 
usadas para oferecer noções adicionais para a dedução 
dos algoritmos de FFT. Conforme também é discutido 
nesse capítulo, a evolução da tecnologia alterou consi-
deravelmente as métricas importantes na avaliação da 
eficiência dos algoritmos de processamento de sinais. 
Na época da publicação de nosso primeiro livro, na dé-
cada de 1970, tanto a memória quanto o custo computa-
cional (multiplicações e também adições de ponto flu-
tuante) eram dispendiosos, e a eficiência dos algoritmos 
muitas vezes era julgada por quanto era exigido desses 
recursos. Atualmente, é comum empregar memória 
adicional para aumentar a velocidade e reduzir os re-
quisitos de potência na implementação de algoritmos 
de processamento de sinais. De uma maneira similar, as 
plataformas multi-core, em alguns contextos, têm resul-
tado no favorecimento da implementação paralela de 
algoritmos, mesmo aumentando o custo computacional. 
Muitas vezes, o número de ciclos de troca de dados, co-
municação em um chip e requisitos de potência agora 
são as principais medidas na escolha da estrutura para 
implementação de um algoritmo. Conforme discutimos 
no Capítulo 9, embora a FFT seja mais eficiente em 
termos das multiplicações exigidas do que o algoritmo 
de Goertzel ou da implementação direta da TFD, ela é 
menos eficiente do que ambos se a métrica dominante 
for ciclos de comunicação, pois a implementação direta 
da TFD ou o algoritmo de Goertzel permitem um para-
lelismo de implementação muito maior do que a FFT.
Com a base desenvolvida nos capítulos anteriores 
e particularmente nos capítulos 2, 3, 5 e 8, no Capítu-
lo 10 focamos a análise de Fourier dos sinais usando 
a TFD. Sem uma compreensão detalhada das questões 
envolvidas e da relação entre a transformada de Fou-
INI oppen0512_INI BR.indd 18 1/15/13 5:56 PM
Prefácio XIX
rier de tempo contínuo, a TFTD e a TFD, o uso da TFD 
na análise prática de sinais muitas vezes pode causar 
confusão e má interpretação. Abordamos uma série 
dessas questões no Capítulo 10. Também consideramos 
com alguns detalhes a análise de Fourier dos sinais com 
características variantes no tempo, por meio da trans-
formada de Fourier dependente do tempo. A novidade 
nesta terceira edição é a abordagem com mais detalhes 
da análise de banco de filtros, incluindo um exemplo de 
banco de filtros MPEG. Também foram incluídos novos 
exemplos de análise de Fourier dependente do tempo 
dos sinais chirp ilustrando o efeito do comprimento da 
janela e simulações mais detalhadas da análise do ruído 
de digitalização.
O Capítulo 11, sobre a modelagem paramétrica de 
sinais, é um capítulo totalmente novo. Começando com 
o conceito básico da representação de um sinal como 
a saída de um sistema LIT, o Capítulo 11 mostra como 
os parâmetros do modelo do sinal podem ser encontra-
dos pela solução de um conjunto de equações lineares. 
Os detalhes dos cálculos envolvidos na preparação e 
na solução das equações são discutidos e ilustrados por 
meio de exemplos. Uma ênfase particular está na solu-
ção com o algoritmo de Levinson–Durbin e nas muitas 
propriedades da solução que são facilmente obtidas a 
partir dos detalhes do algoritmo, como a interpretação 
do filtro em treliça.
O Capítulo 12 trata da transformada de Hilbert 
discreta. Essa transformada surge em diversas aplica-
ções práticas, incluindo filtragem inversa, representa-
ções complexas de sinais reais passa-banda, técnicas de 
modulação em banda lateral única e muitas outras. Com 
o advento do aumento da sofisticação dos sistemas de 
comunicações e da crescente riqueza de métodos para 
amostragem eficiente de sinais de tempo contínuo em 
banda larga e multibanda, o entendimento básico das 
transformadas de Hilbert tem se tornado cada vez mais 
importante. A transformada de Hilbert também desem-
penha um papel importante na discussão do cepstrum 
do Capítulo 13.
Nosso primeiro livro, em 1975, e a primeira edição 
deste livro, em 1989, incluíam um tratamento detalhado 
da classe de técnicas não lineares conhecidas como aná-
lise cepstral e desconvolução homomórfica. Essas técni-
cas têm se tornado cada vez mais importantes, e agora 
são de uso generalizado em aplicações como codifica-
ção de voz, reconhecimento de voz e locução, análise 
de dados de imagens geofísicas e médicas, e em muitas 
outras aplicações em que a desconvolução é um tema 
importante. Consequentemente, nesta edição, introdu-
zimos esses tópicos com discussão e exemplos expan-
didos. O capítulo contém uma discussão detalhada da 
definição e das propriedades do cepstrum e da varieda-
de de formas de calculá-lo, incluindo novos resultados 
sobre