FENOMENOS DE TRANSPORTE

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Fenômenos 
de 
Transporte 
 
 
 
 
 
 
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 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 1 
 
 
 
Disciplina: Fenômenos de Transporte 
Cursos: Engenharia de Controle e Automação 
 Engenharia Elétrica 
Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis 
 1º semestre 2008 
 
 
 
Objetivos: 
- Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de 
Calor; 
- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso; 
- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas; 
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; 
- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido. 
 
Ementa: 
Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e 
Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies 
Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. 
Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de 
Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, 
Aplicações. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 2 
 
 
Índice 
 
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 12 
 1.1. Definição............................................................................................. 12 
 1.2. Objetivo............................................................................................... 12 
 1.3. Aplicação............................................................................................. 12 
2. Definição de um Fluido..................................................................................... 12 
 2.1. Introdução........................................................................................... 12 
 2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 13 
 2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 13 
3. Métodos de Análise........................................................................................... 14 
 3.1. Sistema................................................................................................ 14 
 3.2. Volume de Controle............................................................................ 14 
4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 14 
 4.1. Introdução............................................................................................ 14 
 4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 14 
 4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15 
5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 16 
 5.1. Peso Específico.................................................................................... 16 
 5.2. Volume Específico.............................................................................. 17 
 5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17 
 5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 18 
 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19 
 5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 19 
 5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 19 
 5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19 
6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20 
7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21 
 7.1. Regime Permanente............................................................................. 21 
 7.2. Regime Transiente............................................................................... 21 
 7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21 
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21 
 8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 3 
 
 
 8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22 
 8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23 
 8.4. Campos de Tensão............................................................................... 26 
9. Viscosidade....................................................................................................... 27 
 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 27 
 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 29 
 9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 29 
 9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30 
10. Pressão............................................................................................................ 32 
 10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34 
11. Fluidoestática.................................................................................................. 34 
 11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 35 
 11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 37 
 11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 38 
 11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 38 
 11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 39 
 11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 41 
 11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 41 
 11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 43 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43 
 12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 44 
13. Fluidodinâmica................................................................................................ 47 
 13.1. Sistema.............................................................................................. 47 
 13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48 
 13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para 
Volume de Controle................................................................................... 
48 
 13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um 
Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 
49 
 13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50 
 13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 51 
 13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volume de Controle............. 53 
 13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 55 
 13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 4 
 
 
 13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 57 
 13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 59 
 13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59 
 13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 60 
 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62 
 13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63 
 13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 65 
 13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 68 
 13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 68 
 13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos 
Reais.................................................................................................. 
69 
 13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70 
 13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 70 
 13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74 
 13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 81 
14. Transferência de Calor.................................................................................... 86 
 14.1. Introdução.......................................................................................... 86 
 14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 86 
 14.2.1. Condução............................................................................ 86 
 14.2.2. Convecção.......................................................................... 87 
 14.2.3. Radiação............................................................................. 87 
 14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 88 
 14.3.1. Condução............................................................................ 89 
 14.3.2. Convecção.......................................................................... 92 
 14.3.3. Radiação............................................................................. 93 
15. Condução........................................................................................................ 96 
 15.1. Introdução à Condução...................................................................... 96 
 15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 97 
 15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 98 
 15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 101 
 15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101 
 15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 104 
 15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 104 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 5 
 
 
 15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 105 
 15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 108 
 15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108 
 15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 109 
 15.5.3. Parede Composta................................................................ 113 
 15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 116 
 15.5.5. Resistência de contato........................................................ 116 
 15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas 
Radiais – Cilindro....................................................................................... 
119 
 15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 119 
 15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 122 
 15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 125 
 15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – 
Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 
129 
 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 130 
 15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica -
Parede Plana....................................................................... 
130 
 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – 
Sistemas Radiais................................................................. 
133 
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 134 
 16.1. Introdução.......................................................................................... 134 
 16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136 
 16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 137 
 16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 138 
 16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143 
17. Condução Transiente....................................................................................... 146 
 17.1. Introdução.......................................................................................... 146 
 17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 146 
18. Convecção....................................................................................................... 148 
 18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 148 
 18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 160 
 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 151 
 18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 152 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 6 
 
 
 18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153 
 18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 156 
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 159 
Apêndice A........................................................................................................... 160 
Apêndice B............................................................................................................ 164 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 7 
 
 
Figuras 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 12 
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de 
uma Força de Cisalhamento Constante. 
13 
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 13 
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 14 
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 14 
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 20 
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22 
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 22 
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 28 
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 30 
Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 31 
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33 
Figura 13 – Fluida em Repouso. 34 
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 35 
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 37 
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 38 
Figura 17 – OBarômetro de Mercúrio. 39 
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39 
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 40 
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 41 
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 42 
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 42 
Figura 23 – Tubo de Bourdon. 43 
Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 43 
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 43 
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47 
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 48 
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 48 
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 52 
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 58 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 8 
 
 
Unidimensional em um Duto. 
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes 
Delgadas. 
59 
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o 
volume de controle usado para análise. 
60 
Figura 33 – Tubo de Venturi. 62 
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 63 
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 64 
Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – 
Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. 
66 
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 68 
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido 
Real. 
69 
Figura 39 - Ábaco de Moody. 72 
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 73 
Figura 41 – Valores aproximados de k. 74 
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e 
Aço. 
75 
Figura 43- Redução de Área – Bocal. 77 
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78 
Figura 45 – Válvula de gaveta. 79 
Figura 46 – Válvula Globo. 80 
Figura 47 – Válvula de Retenção. 80 
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 81 
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 83 
Figura 50 - Transferência de calor. 86 
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da 
energia provocada pela atividade molecular. 
87 
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção 
natural. (b) Convecção forçada. 
87 
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88 
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88 
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 89 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 9 
 
 
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 91 
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 94 
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 97 
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102 
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 104 
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 105 
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 108 
Figura 63 – Circuito Térmico. 111 
Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 113 
Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 114 
Figura 66 – Parede Composta. 116 
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116 
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 117 
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 119 
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica 
Composta. 
121 
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124 
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 125 
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 128 
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129 
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor. 
(a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno 
assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário. 
131 
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 134 
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de 
Calor. 
132 
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de 
Calor. 
132 
Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133 
Figura 80 – Configurações de Aletas. 133 
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134 
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 139 
Figura 83 – Eficiência de aletas. 144 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 10 
 
 
Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 146 
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 147 
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a 
diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por 
convecção. 
148 
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 148 
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 149 
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 151 
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 152 
Figura 91 – Camada Limite. 153 
Figura 92 – Camada Limite Térmica. 156 
Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166 
Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 167 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 11 
 
 
Tabelas 
 
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 15 
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16 
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71 
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76 
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 76 
Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 77 
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e 
Conexões 
78 
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 92 
Tabela 9 – Equações de Taxa 96 
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 96 
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob 
condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos 
interfaciais 
118 
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 118 
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 12 
 
 
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 
1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que 
regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso 
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica). 
 
1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o 
meio produtor de trabalho. 
 
1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), 
aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de 
residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, 
etc. 
 
2. Definição de um Fluido 
2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de 
uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). 
Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas 
quais a matéria existe. 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 
 
A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu 
comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado 
entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No 
regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma 
original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente, 
enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b). 
 Fenômenos de Transporte – 01/200813 
 
 
 
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força 
de Cisalhamento Constante. 
 
1a Situação: 
Figura 2a 
Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio 
estático. 
 
2a Situação: 
Figura 2b 
Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de 
equilíbrio estático. 
 
2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem 
o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se 
o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. 
 
2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície 
sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; 
não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3) 
 
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas. 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 14 
 
 
3. Métodos de análise 
3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema 
separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, 
calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 . 
 
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 
 
3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), 
a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5. 
 
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 
 
4. Dimensões e unidades 
4.1. Introdução 
Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias 
(básicas) e secundárias (derivadas)). 
Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 
 
4.2. Sistemas de Dimensões 
Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, 
que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. 
 
Exemplo: 
 200 at2
1Vxx ++= 
( ) ( ) ( ) ( )22 ttL21ttLLL ×+×+= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 15 
 
 
4.3. Sistema de Unidades 
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, 
etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, 
instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram 
definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente 
elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. 
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as 
grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de 
unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, 
temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. 
 
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), 
quantidade de matéria e intensidade luminosa. 
Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). 
 
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 
SISTEMA 
DE 
UNIDADES 
MASSA COMPRI-
MENTO 
TEMPO TEMPE-
RATURA
CORRENTE
ELÉTRICA 
QTE DE 
MATÉRIA 
INTENSI-
DADE 
LUMINOSA
SI Kg m s K A mol cd 
ABSOLUTO g cm s K 
TÉCNICO utm m s K 
INGLÊS slug ft s R 
INGLÊS 
TÉCNICO 
lbm ft s R 
 
Força: 2s
m1kg1N = 
Força: 2s
cm1g1dina = 
Massa 
ft
s1lbf1slug
2
= 
 
No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as 
diferentes grandezas. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 16 
 
 
A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos 
pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. 
 
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 
Fator 
Multiplicativo 
Prefixo Símbolo 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Kilo k 
10-1 Deci d 
10-2 Centi c 
10-3 Mili m 
10-6 Micro µ 
10-9 Nano n 
10-12 Pico p 
 
5. Propriedades físicas dos fluidos 
5.1. Peso especifico: (γ) 
É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. 
 
γ: Peso específico [F/L3] 
∀
=
Wγ W: Peso da substância [F] 
 ][L fluido do Volume: 3∀ 
ggmmg ργ =
∀
=
∀
= 
Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) 
 
DIM: [F / L3] 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 17 
 
 
5.2. Volume específico: (ν) 
Inverso da massa específica. 
 
 υ: Volume específico [L3/M] 
ρ
υ 1=∀=
m
 ρ: Massa específica ou densidade 
absoluta [M/L3] 
 
Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) 
 
DIM: [L3/ M] 
 
5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) 
Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma 
substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o 
ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância 
de referência seja a água. 
 
 δ: Densidade relativa [adimensional] 
ref
SGd
ρ
ρδ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] 
ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da 
substância de referência [M/L3] 
δ=d = SG=
padrãofluido
fluido
 ρ
ρ = 
padraãofluido
fluido
 γ
γ 
 
DIM: [1] 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 18 
 
 
5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) 
Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida 
em uma unidade de volume. 
 ρ: Massa específica [M/L3] 
∀
=
mρ m: Massa do fluido [M] 
 ][L fluido do Volume: 3∀ 
Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) 
 
DIM: [M / L3] 
 
A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua 
temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com 
alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. 
Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns 
fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da 
massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm. 
 
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β) 
Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por 
unidade de volume. 
 β: Módulo de elasticidade volumétrico 
∀∀∆
∆−
=
/
Pβ ∆P: Variação de pressão [F/L2] 
 ][L Volume de Variação:∆ 3∀ 
 ][L Volume: 3∀ 
O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de 
volume. 
Unidades: (N/m2; kgf / m2 ; lbf / ft2) 
 
DIM: [F / L2] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 19 
 
 
Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a 
medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de 
compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, 
o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão. 
 
5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante 
P.V. = constante P1V1 = P2V2 
1
2
2
1
P
P
V
V
= 
P.dV + V.dP = 0 
P.dV = - V.dP 
P
P
dP
V
dV
=
−
=
β
 
 
5.5.2. Condições adiabáticas: 
P.Vk = constante 
k = Cp / Cv 
P1.V1k = P2.V2k 
Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 
P.k.dV + V.dP = 0 
kP
kP
dP
V
dV
=
−
=
β
 
 
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) 
 Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. 
β
1
=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] 
 β: Módulo de elasticidade volumétrico 
[F/L2] 
 
Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) 
 
DIM: [L2/F] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 20 
 
 
6. Campo de velocidade 
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume 
de fluido ∀ mostrado na Fig. 6. 
 
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 
 
A velocidade instantânea do fluido no pontoC é igual à velocidade instantânea do 
volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. 
O campo de velocidade, V
r
, é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa 
representação do campo de velocidades é dada por: 
( )tzyxVV ,,,
rr
= 
 
O vetor velocidade, V
r
, pode ser expresso em termos de suas três componentes 
escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e 
w, o campo de velocidades pode ser escrito como: 
kwjviuV ˆˆˆ ++=
r
, 
onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu === 
 
Exemplo: 
Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine: 
(a) As dimensões de cada campo de velocidade 
(b) Se está em regime permanente ou não 
 
(1) [ ]iaeV bx ˆ−=r 
(2) jbxiaxV ˆˆ2 +=
r
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 21 
 
 
(3) jbxiaxV ˆˆ −=
r
 
(4) ( ) jbyitaxV ˆˆ 2−+=
r
 
(5) ( ) ( )kzyxaV ˆ1 32
122 +=
r
 
 
Resolução: 
 (1) Unidimensional ( ( )xVV
rr
= ), regime permanente ( )tVV
rr
≠ . 
 (2) Unidimensional ( ( )xVV
rr
= ), regime permanente ( )tVV
rr
≠ . 
 (3) Bidimensional ( )yxVV ,
rr
= , regime permanente ( )tVV
rr
≠ . 
 (4) Bidimensional ( )yxVV ,
rr
= , regime não permanente ( )tVV
rr
= . 
 (5) Tridimensional ( )zyxVV ,,
rr
= , regime não permanente ( )tVV
rr
= . 
 
7. Regime permanente e transiente 
7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, 
não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: 
0=
∂
∂
t
η , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido. 
 
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 
7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do 
vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas 
espaciais, através de toda a extensão do campo. 
 
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. 
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o 
número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 
 
8.1. Escoamento unidimensional: 
Exemplo: 
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção 
transversal constante mostrado na Fig. 7. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 22 
 
 
 
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 
 
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela 
equação: 
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
2
max 1 R
ruu 
 
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é 
unidimensional. 
 
8.2. Escoamento bidimensional: 
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o 
canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será 
idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de 
velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, 
portanto, bidimensional. 
 
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 23 
 
 
8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente: 
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter 
uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de 
linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente. 
Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem 
marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta 
linha é chamada de linha de tempo. 
Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em 
movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado 
instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia 
de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula 
é uma trajetória. 
Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e 
identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam 
por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas 
fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado 
por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo 
no espaço, é definida como linha de emissão. 
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, 
num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. 
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, 
não pode haver escoamento através delas. 
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece 
constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um 
instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de 
corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando 
através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, 
subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e 
linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento. 
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for 
transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não 
coincidem. 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 24 
 
 
Exemplo: 
Considere o campo de escoamento 
∧∧→
−= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As 
coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) 
no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. 
Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos 
instantes t = 0, 1 e 3 segundos. 
 
Resolução: 
Partindo do princípio 
dt
dxu = e 
dt
dyv = , então: 
dt
dxaxtu == , ∫∫ =
tx
x
dtat
x
dx
0
.
0
 
2
0 2
1ln at
x
x
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
 e 
2
2
1,02
1
0 3
tat exexx =∴= 
e também, b
dt
dyv == , ∫∫ =
ty
y
bdtdy
00
, tybtyy 310 +=∴+= 
 
ty
ex t
31
3
21,0
+=
= Região a ser plotada no plano xy. 
Temos que 
u
v
dx
dy
s
= . 
Logo:
axt
b
dx
dy
= . 
Aplicando equações diferenciais temos: 
x
dx
at
bdy
x
x
y
y
∫∫ =
00
 ou ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
0
0 ln x
x
at
byy . 
Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
3
ln151 x
t
y . 
Para t=1 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
3
ln151 xy 
 t=2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
3
ln5,71 xy 
 t=3 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
3
ln51 xy 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 25 
 
 
 
 
Exemplo: 
O campo de velocidade 
∧∧→
−= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como 
representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as 
linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro 
quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). 
 
Resolução: 
 
A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: 
u
v
dx
dy
= 
Para 
∧∧→
−= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo: 
xa
yb
u
v
dx
dy
.
.
−== 
Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos: 
∫∫ −= x
dx
a
b
y
dy 
∴+−= cx
a
by lnln c = constante 
∴+=
−
cxy a
b
lnlnln ln c = constante 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 26 
 
 
Portanto: a
b
cxy
−
= 
 
Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente 
são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c. 
 
Como a = b = 1 sec-1, então 1=
b
a , e a equação das linhas de corrente é dada por: 
x
ccxy == −1 ou 
y
cx = 
Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y. 
 
 
• A equação 
x
cy = é a equação dahipérbole. 
 
• As curvas estão mostradas para diferentes valores de c. 
 
 
8.4. Campo de Tensão 
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da 
mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um 
meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e 
distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças 
gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. 
A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ , 
onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da 
gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e 
g por unidade de massa. 
O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as 
forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 27 
 
 
tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de 
toda extensão do material. 
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de 
tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo 
tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um 
tensor de 2ª ordem. 
Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o 
limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão 
mostradas abaixo: 
x
z
x
y
x
x
A
F
A
F
A
F
xxx A
xy
A
xy
A
xx
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δδδ
τττ limlimlim
000 →→→
=∴=∴=
 
Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica 
o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O 
segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma 
convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu 
sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. 
 
 
9. Viscosidade 
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ) 
Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou 
seja, a dificuldade do fluido em escoar. 
 
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior 
move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 28 
 
 
 
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 
 
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: 
dAy
dFx
Ay
Fx
Ayyx
==
→ δ
δτ
δ 0
lim 
A taxa de deformação é igual a: 
 
dt
d
tt
α
δ
δα
δ
=
→0
lim 
 
A distância entre os pontos M e M’é dada por: 
tVl δδδ = (a) 
Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b) 
Igualando-se (a) e (b), 
dy
du
dt
d
y
u
t
=⇒=
α
δ
δ
δ
δα 
Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou: 
dy
du
dy
du
yxyx µττ =⇒∝ . 
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. 
 
DIM: [F.t / L2= M/L.t] 
Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) 
 
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições 
normais. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 29 
 
 
Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, 
glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação 
da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à 
deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. 
 
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O 
comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. 
A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, 
enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. 
 
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν) 
Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. 
 
ν: Viscosidade cinemática [L2/t] 
ρ
µυ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2] 
ρ: Massa específica ou densidade absoluta 
[M/L3] 
DIM: [L2/t] 
 
Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) 
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes = 
1cm2/s. 
 
9.3. Número de Reynolds: (Re) 
Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. 
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. 
 Re: Número de Reynolds [adimensional] 
ρ: Massa específica ou densidade absoluta 
[M/L3] 
µ
ρ **Re LV= V*: Velocidade do fluido [L/t] 
 L*: Comprimento característico [L] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 30 
 
 
 µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2] 
DIM: [1] 
 
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele 
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no 
interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar 
para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-
se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao 
comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a 
velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para 
escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o 
comprimento da placa. 
 
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 
 
Como a viscosidade absoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, 
para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham 
comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina 
deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água. 
 
9.4. Tipos de escoamento: 
- Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ ) 
- Escoamento turbulento (Re > 4000) 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 31 
 
 
 
Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 
 
O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro 
chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do 
escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio. 
 
S
VMa = 
 
Exemplo: 
Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um 
mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo 
com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque 
necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se 
encontra na folga anular, em (Pa.s) 
 Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão 
de cisalhamento: 
dy
du.µτ = 
 
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual 
possamos trabalhar: 
Mecânica 
dos Fluidos 
Fluido não 
viscoso µ = 0 
Fluido viscoso 
 µ ≠ 0 
Compressível Incompressível 
Ma < 0,3 
Laminar 
Re ≤ 2300 
Turbulento 
Re > 4000 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 32 
 
 
s
mru
sradrrot
rrot
rpsW
13,1
/6,125..2.2020
..21
20
max ==
⎩
⎨
⎧
→→
→
=
ω
π
π
 
60
..
230
.
max
max
max
ndu
dnu
ru
ou
π
π
ω
=
=
=
 
 
Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material: 
26
33
10.39,3
10.60.10.18
..
mA
A
LDA
−
−−
=
=
=
π
π
 
Pelo torque, podemos tirar a força: 
NF
F
r
F
rF
4,0
10.9
0036,0
.
3
=
=
=
=
−
τ
τ
 
 Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia 
à força: 
2
3
3
.0208,0
13,1.10.39,3
10.2,0.4,0
m
sN
du
dy
A
F
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
−
µ
µ
µ
, onde 
y
u
dy
du max= 
 
10. Pressão 
Força exercida em uma unidade de área.P: Pressão [F/L2] 
A
FP = F: Força [F] 
 A: Área [L2] 
 
 Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) 
 DIM: [F / L2] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 33 
 
 
A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um 
escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a 
pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: 
TRnP =∀ 
 
Onde: n: quantidade de matéria [mol] 
 R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K 
 DIM: ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
Tkmol
LF
..
. 
 T: temperatura absoluta do gás [T] 
 Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação 
pode ser reescrita na forma: 
mRTP =∀ 
 
Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases 
através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema 
Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns. 
 
MM
RR = 
 
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição 
padrão ou “standard”. 
 
A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser 
calculada da maneira mostrada a seguir: 
 
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 34 
 
 
A pressão na superfície do fluido é igual a P0. 
A força na superfície do fluido é dada por AP0 
A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: 
( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀== 
A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do 
fluido e do peso da coluna de fluido: 
ghAAPF
FFF fluidoerfície
ρ+=
+=
0
sup 
A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base: 
A
FF
A
FP fluidoerfície
+
== sup 
ghP
A
ghAAPP ρρ +=+= 00 
Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes. 
Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h. 
 
10.1. Lei de Pascal: 
“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”. 
 
Figura 13 – Fluido em Repouso. 
 
11. Fluidoestática 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. 
A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um 
problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da 
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 35 
 
 
11.1. A equação básica da estática dos fluidos: 
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças 
de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças 
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o 
caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força 
de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é 
a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas 
fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só 
poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a 
substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força 
de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. 
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 
14. 
dx
dy
dz
y
x
z
 
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 
 
A força total atuando no elemento é dada por: 
SSC FdgdmFdFdFd
rrrrr
+=+= . 
 
A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces 
do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é: 
jdzdxdy
y
PpFd L ˆ.2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
r
 
A força de pressão na face direita é dada por: 
( )jdzdxdy
y
PpFd R ˆ.2
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
+=
r
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 36 
 
 
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do 
elemento, 
( ) jdzdxdy
y
Ppidzdydx
x
Ppidzdydx
x
PpFd S ˆ.2
ˆ.
2
ˆ.
2 ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−=
r
 
 ( ) ( )kdydxdz
z
Ppkdydxdz
z
Ppjdzdxdy
y
Pp ˆ.
2
ˆ.
2
ˆ.
2
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−+−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
++ 
dzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PFd S ..ˆˆˆ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=
r
 
A força total é dada, portanto, por: 
dzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PgdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−+=+=
rrrr 
Como 
dzdydxddm .... ρρ =∀= , 
( ) ∀∇−=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−+= dPgdzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PgdzdydxFd rr
r
...ˆˆˆ..... ρρ 
 
A 2ª Lei de Newton estabelece que: 
admFd r
r
.= 
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas 
as forças deve ser zero. Assim, 
( ) 0. =∇− Pgrρ 
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares, 
 
0=+
∂
∂
− xgx
P ρ 0=+
∂
∂
− ygy
P ρ 0=+
∂
∂
− zgz
P ρ 
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor 
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z 
apontado para cima )ˆ( kgg −=r , as equações podem ser reescritas como: 
0=
∂
∂
x
P 0=
∂
∂
y
P 0=
∂
∂
z
P 
 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois 
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 37 
 
 
Conclusões: 
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, 
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à 
mesma pressão; 
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna 
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 
3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = 
Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da 
orientação (Lei de Pascal). 
 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois 
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles - 
Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15). 
 
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 
 
 
 
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As 
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. 
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. 
Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são 
denominadas pressões manométricas ou efetivas. 
 
11.2. Pressão Manométrica: 
Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). 
Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 
760 mmHg 
ghPP CB ρ+=
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 38 
 
 
A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. 
Se P>Patm, Pman > 0 
Se P<Patm, Pman < 0 
Se P=Patm, Pman = 0 
 
11.3. Pressão Absoluta: 
Pressão medida a partir do zero absoluto. 
manatmabs PPP += 
ou 
atmabsman PPP −= 
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras 
equações de estado é a pressão absoluta. 
 
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 
 
11.4. O Barômetro de Mercúrio: 
 A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor 
de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo épreenchido com um fluido de alto 
peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório 
contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando 
vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 39 
 
 
 
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 
 
hghP
ghP
P
ghPP
PP
PP
atm
A
E
EA
AA
atmA
γρ
ρ
ρ
==∴
=
=
+=
=
=
 vácuo0
repouso) em fluido mesmo no altura (mesma isobáros pontos '
 
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida 
de mercúrio. 
mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒= 
 
11.5. Aplicação para a Manometria: 
( )
γρ
ρ
1212
12
1212
PP
g
PPzz
zzgPP
−
=
−
=−
−=−
 
Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão. 
 
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 40 
 
 
1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ 
2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ 
3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ 
4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ 
Agrupando as equações acima temos: 
( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ 
Exemplo: 
 
1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade 
relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é 
água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera. 
 
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 
 
Resolução: 
Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão 
do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´. 
Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos: 
 1 pol = 25,4 mm 
 36 pol = 0,914 m 
 15 pol = 0,381 m 
 10 pol = 0,254 m 
 5 pol = 0,127 m 
P1
Patm
P2
P336pol
dB=1,20 
 
dA=0,75 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 41 
 
 
Calculamos as diferenças de pressão: 
PaPa
PhgPa
hgPPa
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGP
hgPP
oh
oh
Apadãof
A
Bpadãof
B
atmBpadrãof
atmBatm
81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1
3..
..3
07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63
...23
..32
47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102
...12
..21
60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11
...1
..1
3
34
34
3
32.
32
3
21.
21
3
1.
1
2
2
=+=
+=
=−
=−=
−=
=−
=−=
−=
=−
==
=
=−
−
−
−
−
−
−
−
−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
 
 
Temos então como pressão no ponto “a”´: 
 
PaPa 81,831.7= 
11.6. Tipos de Manômetros: 
 
11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em 
forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, 
utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores 
pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo. 
 
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 42 
 
 
BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh
=
+=
+=
=
ρ
ρ
 
 
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 
 
BbatmB
AaatmA
BA
ghpp
ghpp
pp
ρ
ρ
+=
+=
=
 
 
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 
AaBbmanC
BbatmB
AaCA
BA
ghghp
ghpp
ghpp
pp
ρρ
ρ
ρ
−=
+=
+=
=
,
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 43 
 
 
11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos 
fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que 
cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações 
industriais. 
 
 
 
Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 
 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes 
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de 
uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado. 
As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de 
flutuação de um densímetro. 
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se 
empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em 
repouso. 
 
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 
 
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 44 
 
 
( ) ( )
( ) ∀=−=
+−+=
−=
gddAhhgdF
dAghPdAghPdF
dAPdAPdF
atmatm
ρρ
ρρ
12
12
12
 
O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja, 
∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ 
 
12.1. Princípio de Arquimedes: 
 “Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, por parte do fluido, um 
empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado 
pelo corpo.” 
 
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido. 
 
Corpo Imerso: 
 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
gW
gE
corpocorpo
corpofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
 
 
Corpo Flutuante: 
 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
gW
gE
corpocorpo
deslocadofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 45 
 
 
Situações Possíveis: 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
corpofluido
WE
ρρ =
=
 
 
• Corpo Afunda 
 
fluidocorpo
EW
ρρ >
>
 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
corpofluido
WE
ρρ >
>
 
 
O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C). 
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado. 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 46 
 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Afunda 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo. 
 
Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo 
for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações: 
 
• Corpo imerso 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 47 
 
 
Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova 
posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo 
está em equilíbrio indiferente. 
 
• Corpo flutuante 
 
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 
 
Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de 
fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de 
flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá 
interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro. 
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento 
restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste 
caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável. 
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar 
o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em 
equilíbrio instável. 
 
13. Fluidodinâmica 
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de 
controle, figuras 27 e 28. 
 
13.1. Sistema: 
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou 
móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 48 
 
 
 
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 
 
13.2. Volume de Controle: 
Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do 
volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode 
ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento. 
 
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 
 
13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de 
controle: 
As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre 
quando háuma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos 
problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-
se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite 
que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma 
propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds 
estabelece que: 
∫ ∫
∀
∀==
)( )(sistemamassa sistema
ddmNsistema ηρη 
 
(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa. 
(η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 49 
 
 
∫∫ •+∀∂
∂
=
∀ SCCsistema
AdVd
tdt
dN ηρηρ 
Onde: 
.sist
dt
dN : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do 
sistema. 
∫
∀
∀
∂
∂
C
d
t
ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N), 
dentro do volume de controle. 
η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa). 
∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle. 
∫
∀
∀
C
dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de 
controle. 
∫ •
SC
AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela 
superfície de controle. 
AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad . 
AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad . 
nV r
r
• : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. 
 
13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de 
controle arbitrário: 
Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa, 
MNsistema = 1== dm
dMη 
( )∫∫ •+∀∂
∂
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∀
SC
C
sistema
dAnVd
tdt
dM rrρρ 
Como a massa não varia no interior do sistema, 
0=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
sistemadt
dM 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 50 
 
 
( ) 0=•+∀
∂
∂
∫∫∀
SC
C
dAnVd
t
rr
ρρ 
Onde: 
θcosunV =• r
r
 
 
Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área 
é dado por: 
 
θcos. AdVAdV
rrrr
= , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. 
Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma 
entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0° 
Na entrada de uma tubulação, unV −=• r
r
, e, na saída, unV =• r
r
 
 
Para um volume de controle fixo, 
( ) ∑∑∫ −=•
entradasaídaSC
uAuAdAnV ρρρ r
r
 
Como o volume de controle é fixo, 
0=−+∀⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∑∑∫∀
entradasaída
C
uAuAd
dt
d ρρρ 
ou 
0=−+∀⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ∑∑∫∀
entradasaída
C
mmd
dt
d
&&
ρ 
 
13.4.1. Casos especiais: 
Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa. 
Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do 
escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como: 
0=•∫
SC
AdVρ 
 
Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é 
dada por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 51 
 
 
0=− ∑∑
entradasaída
mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para 
saídas e negativo para entradas. 
 
Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a 
posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como: 
( ) 0=•+∀
∂
∂
∫∫∀
SC
C
dAnVd
t
rr
ρρ 
saídaentrada ρρ = 
A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele 
não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos 
incompressíveis é dada por: 
0=•∫
SC
AdV 
Definindo-se a vazão volumétrica Q por: 
∫ •=
SC
AdVQ 
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas 
e saídas, como: 
0=− ∑∑
entradasaída
QQ 
 
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da 
velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétrica e a área 
da seção, ou: 
∫ •==
SC
AdV
AA
QV 1
r
 
 
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica: 
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por 
apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 52 
 
 
 
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 
 
Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t: 
∀= ρm& 
A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada 
por: 
( )
dt
d
dt
dmm ∀== ρ& 
Aplicando-se a regra da cadeia, 
( )
dt
d
dt
dmm ∀== ρ& 
Mas: 
( ) Au
dt
dsAAs
dt
d
dt
d
===
∀ 
Assim: 
dt
duAm ρρ ∀+=& 
DIM: [M/t] 
Para escoamento incompressível, 0=
dt
dρ . 
uAm ρ=& 
A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por: 
uA
dt
dQ =∀= 
DIM: [L3/t] 
 
A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: 
Qm ρ=& 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 53 
 
 
13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle: 
A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua 
formulação para sistema é: 
..
..
sistsist dt
dEWQ =− 
Onde: 
.
Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A 
convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é 
adicionado ao sistema. 
.
W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio 
sobre o sistema (negativa). 
E: é a energia total do sistema, dada por: 
∫∫
∀
∀==
)()( sistemasistemaM
deedmE ρ 
e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a 
energia potencial do sistema (por unidade de massa). 
ugzVe
UmgzmVE
++=
++=
2
2
1
2
2
 
As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por: 
∫∫ •+∀∂
∂
=
∀ SCCsistema
AdVd
tdt
dN ηρηρ 
∫ ∫
∀ ∀
∀==
C sistema
ddnNsistema
)(
ηρη 
A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da 
termodinâmica, estabelecemos: 
N = E 
N = η. M 
dm
dE
=η 
η=e 
∫∫ •+∀∂
∂
=−
∀ SCC
sistema AdVedet
WQ
r
ρρ
..
 
no instante t0: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 54 
 
 
Csist
WQWQ
∀
−=−
..
.
..
 
O termo 
.
W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume 
de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de 
controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle. 
outroscisalnormaleixo WWWWW
.....
+++= 
∫ •=
SC
normal AdVpW
.
 
∫∫∫ •+∀∂
∂
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++•+−
∀ SCC
outroscisal
SC
eixo AdVede
t
WWAdVpWQ ρρ
....
 
( )∫∫ •++∀∂
∂
=−
∀ SCC
AdVpede
t
WQ
r
ρρ
..
 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
Sendo: 
ρ
υ 1= 
 
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. 
Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos 
sugeridos. Na equação, eixoW
.
é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado 
sobre ou pelo volume de controle, outrosW
.
é qualquer taxa de trabalho não considerada, 
como trabalho produzido por forças eletromagnéticas. 
 
Exemplo: 
Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é 
descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao 
compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência 
de calor. 
 
 Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à 
seguinte fórmula: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 55 
 
 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
 Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime 
permanente: 
( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
++++⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++−=− 1222
2
2
2221111
2
1
111 22
υρυρ pugzVAVpugzVAVWQ && 
 Colocando a vazão mássica em evidência 
( ) ( ) ( )⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+
−
=− 11221212
2
1
2
2
2
υυ ppuuzzgVVmWQ &&& 
 h = entalpia específica = u + pυ 
( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ 
01 =V 21 ZZ = 
OBS.: Cp é tabelado, 
Rlbm
BtuCpar ⋅
⋅= 24,0 e 
Rlbm
ftlbfRar ⋅
⋅
= 3,53 
 
s
ftlbfHP ⋅⋅= 5501 e ftlbfBtu ⋅=
778
1 
 T (ºR) = 460 + T (ºF) 
 
Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos: 
 ( ) WTTCVmQ p &&& +⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅+⋅= 12
2
2
2
 
 ( )
s
BTU,
s
lbm
Rlbm
BTU,
s
ftQ 7122612053995923990
2
500
02
22
−⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−⋅
⋅
⋅+⋅=& 
 
s
BTUQ 6
.
10.49,2−= 
 
13.6. Equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento 
em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com 
apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode 
ser simplificada. 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++∀
∂
∂
=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
(A) 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 56 
 
 
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de 
trabalho realizadas, a equação se reduz a: 
AdVugzVWQ
SC
rr
&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+++=− ∫ ρρυ2
2
 
Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando 
que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se 
alteram, a equação pode ser dada por: 
( )( ) ( ) 11
2
1
22
2
2
22221111
22
22
AdVVAdVVmugzmugzWQ
AA
rrrr
&&&& •⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ 
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. 
( ) 11
2
1
22
2
2
111212
12
22
dAVVdAVVmuugzgzWQ
AA
•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−•⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ &&& 
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que: 
VdAVVdAV
AA
ραρ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
22
22
 
Onde: 
 α: é o fator de correção da energia cinética 
Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta: 
mVVppuugzgzWQ &&& ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212 ααυυ 
Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para 
escoamento em regime laminar, α = 2. 
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212
VVppuugzgz
m
W
m
Q ααυυ
&
&
&
&
 
Reescrevendo-se a equação, 
( )
m
Quu
m
WVpgzVpgz
&
&
&
&
−−+=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ 12
2
2
222
2
1
111 22
αυαυ 
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia 
mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo 
.
m
W
&
 
representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 57 
 
 
(Hs) e o termo 
.
12 )( m
Quu
&
−− representa a conversão irreversível de energia mecânica na 
seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de 
calor. 
 
13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais: 
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos 
de atrito (fluidos ideais), têm que: 
.
12 )( m
Quu
&
=− 
A equação de Bernoulli pode ser dada então por: 
sH
VpgzVpgz =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
22
2
2
222
2
1
111 αυαυ 
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se 
conserva. A equação é dada por: 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
22
2
2
222
2
1
111
VpgzVpgz αυαυ 
==⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++ HVpgz
2
2
αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
 
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível 
em regime permanente é constante. 
 
13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento 
por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem 
dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais 
são: 
:
g
P
ρ
 Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão 
estática local. 
z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 58 
 
 
g
V
2
2
α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão 
dinâmica local. 
H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento. 
 
 Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. 
A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha 
energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de 
Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem 
atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica 
representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A 
diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura 
de carga dinâmica (de velocidade). 
 
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um 
Duto. 
Linha Energética: 
g
V
g
pz
2
2
++
ρ
 
Linha Piezométrica: 
g
Pz
ρ
+ . 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 59 
 
 
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli: 
 
13.6.2.1. Teorema de Torricelli: 
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, 
contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício 
lateral. 
 
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. 
 
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a: 
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P
2
1
1
1
2
2
2
2 ++=++
ρρ
 
Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1 
A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja, 
2211 VAVAQ == 
No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V . 
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 . 
Além disso, hzz =− 21 
Portanto, 
g
Vh
2
2
2= 
ghV 22 = 
 
Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de 
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma 
altura h.”. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 60 
 
 
13.6.2.2. Medidores de vazão: 
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem 
diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em 
duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos 
mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os 
dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma 
corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico. 
 
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de 
controle usado para análise. 
 
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de 
uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A 
corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma 
vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do 
tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. 
 
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da 
equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A 
equação de Bernoulli estabelece que 
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P
22
2
1
11
1
2
2
22
2 α
ρ
α
ρ
++=++ 
Como z1 = z2, a equação se reduz