Medidas de Assimetria ou Curtose

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INSTITUTO SUPERIOR E EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E HUMANAS 
LICENCIATUARA EM DIREITO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Assimetria ou Curtose 
 
 
 
 
 
 
Adelaide Júlio Jorge 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Maxixe, 16 de Abril de 2021 
 
 
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 INSTITUTO SUPERIOR DE CIÊNCIAS E EDUCAÇÃO À DISTÂNCIA 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO 
LICENCIATURA EM DIREITO 
 
 
 
 
 
 
 
 Medidas de Assimetria ou Curtose 
 
 
Trabalho de Campo a ser submetido na 
Coordenação do Curso de Licenciatura 
em Direito do ISCED. 
 
 
 
 
 
 
Adelaide Júlio Jorge 
 
 
 
 
 
 
Maxixe, 16 de Abril de 2021 
 
 
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Índice 
CAPÍTULO: INTRODUÇÃO ..................................................................................................... 4 
CAPÍTULO II. DESENVOLVIMENTO ..................................................................................... 5 
2.1.Assimetria ............................................................................................................................. 5 
2.1.1. Distribuição Simétrica ....................................................................................................... 5 
2.1.2.2.Assimétrica Negativa....................................................................................................... 7 
2.1.3. Medidas de assimetria ....................................................................................................... 7 
2.1.3. Coeficiente de Assimetria .................................................................................................. 8 
2.1.4. Coeficiente de Pearson ...................................................................................................... 8 
2.1.5. Coeficiente de Assimetria de Bowley ................................................................................ 8 
2.1.6. Coeficiente de Assimetria de Kelley ................................................................................ 10 
2.1.7. Coeficiente de assimetria de Fisher .................................................................................. 10 
2.2. Curtose ............................................................................................................................... 11 
2.2.1. Coeficiente de Curtose .................................................................................................... 12 
2.2.2. Coeficiente percentil de kurtosis ...................................................................................... 13 
2.2.3. Coeficientes de kurtosis amostral..................................................................................... 14 
Conclusão ................................................................................................................................. 15 
ReferênciasBibliográficas ......................................................................................................... 16 
 
 
 
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CAPÍTULO: INTRODUÇÃO 
As Probabilidades e a Estatística têm vindo a ganhar um peso crescente no nosso quotidiano, 
repleto de informação que é necessário compreender. Empresas, organismos e a própria 
sociedade civil constatam cada vez mais a necessidade da “quantificação” dos mais variadíssimos 
aspectos em se encontram inseridos. As necessidades são cada vez mais claras e exigentes assim 
como as respostas requeridas: Quanto? Onde? Quando? Como? Porquê? Com que impacto? Com 
que incerteza? Cenários possíveis? (Afonso & Nunes, 2019). 
As medidas de assimetria e curtose, assim como as medidas de tendência central e asmedidas de 
dispersão, auxiliam para a descrição e compreensão de distribuição de frequência e são úteis para 
comparar a forma das distribuições das variáveis em análise (Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014). 
A assimetria e curtose complementam as medidas de posição e de dispersão no sentido de 
proporcionar uma descrição e compreensão mais completa das distribuições de frequências. Estas 
distribuições não diferem apenas quanto ao valor médio e à variabilidade, mas também quanto a 
sua forma (assimetria e curtose) (Lopes, 2003). 
O presente trabalho, de revisão bibliográfica, tem como objectivo principal falar dos diferentes 
casos de assimetria e dos graus de achatamento – curtose de uma distribuição. Para estudar as 
medidas de assimetria e curtose, é necessário o conhecimento de certas quantidades, conhecidas 
como momentos.os capítulos subsequentes, é apresentado, em revisão, os conceitos relacionados 
com a Assimetria e Curtose, bem como a sua aplicação na análise e interpretação dos resultados. 
 
Objectivos 
Objectivo Geral 
Falar dos diferentes casos de assimetria e curtose. 
Objectivos específicos 
 Definir a assimetria e seus coeficientes; 
 Descrever curtose e coeficiente de curtose. 
 
 
 
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CAPÍTULO II. DESENVOLVIMENTO 
2.1.Assimetria 
Assimetria denomina-se como o grau de afastamento de uma distribuição da unidade de simetria 
(Correa, 2003). 
Em outras palavras, a assimetria mede o grau de afastamento da simetria da distribuição (Afonso 
& Nunes, 2019). Grau de assimetria de Pearson, grau de assimetria de Bowley, coeficiente de 
assimetria de Fisher e coeficiente de assimetria amostral, são conceitos que serão abordados nos 
capítulos subsequentes. 
A assimetria é definida pela equação: 
𝜇3 = 𝐸{(𝑥 − �̅�)
3} = ∫ 𝑓𝑥(𝑥)(𝑥 − �̅�)
3𝑑𝑥
∞
−∞
 
Assimetria ocorrerá quando a média, mediana e a moda recaírem em pontos diferentes da 
distribuição, sendo o deslocamento dos pontos para a direita ou para a esquerda (Pereira 
&Tanaka, 1990). 
 
2.1.1. Distribuição Simétrica 
Uma distribuição de valores sempre poderá ser representada por uma curva (gráfico). Essa curva, 
conforme a distribuição, pode apresentar várias formas. Se considerarmos o valor da moda da 
distribuição como ponto de referência, vemos que esse ponto sempre corresponde ao valor de 
ordenada máxima, dando-nos o ponto mais alto da curva representativa da distribuição 
considerada, logo a curva será analisada quanto à sua assimetria (Lopes, 2003). 
Nas distribuições unimodais essa investigação permite saber se existe assimetria positiva ou 
negativa, ou seja, se é significativo o alongamento de uma das caudas da distribuição (à direita ou 
à esquerda da média). A assimetria é um exemplo de parâmetro de forma que permite tornar a 
cauda da direita mais ou menos pesada. No caso da assimetria, um coeficiente próximo de zero 
significa simetria, caso contrário, uma tendência à esquerda para números negativos e, à direita 
para números positivos (Moretto, 2008). 
Distribuição Simétrica ⇒ Assimetria (S) = 0 
6 
 
Mo = Me = eQ3 - Me = Me - Q1 
 
Considera-se (Moretto, 2008): 
 Se 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎< 0 a distribuição será assimétrica negativa; 
 Se 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎> 0 a distribuição será assimétrica positiva; 
 Se 𝐴𝑠𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑎 = 0 a distribuição será Simétrica. 
 
Distribuição Simétrica: É aquela que apresenta a �̅�=Mo=Md e os quartis Q1 e Q3equidistantes 
do Q2 (Lopes, 2003). 
A distribuição simétrica ocorre quando existe uma exacta repartição de valores em torno do ponto 
central, ou seja, a média (�̅� ), a mediana (𝑀𝑑) e a moda (𝑀𝑜) coincidem (Araldi, 2004). 
 
�̅� = Mo = Md 
Figura 1 – Distribuição simétrica da curva representativa da distribuição. Fonte: Lopes, 2003. 
2.1.2. Distribuição Assimétrica 
Distribuição assimétrica positiva: é quando predominam os valores mais altos das observações, 
isto é, a distribuição ou a curva de frequência tem uma “cauda” mais longa à direita da ordenada 
(frequência) máxima do que à esquerda. Assim, a mediana será maior do que a moda (𝑀𝑜) e a 
média (�̅� ) maior do que a mediana (𝑀𝑑) (Araldi, 2004). 
2.1.2.1. Assimétrica Positiva 
Distribuição assimétrica Positiva ou enviesada a direita quando os valores se concentram na 
extremidade inferior da escala e se distribuemgradativamente em direcção à extremidade 
superior. 
 
7 
 
 
Mo < 𝑀𝑑 < �̅� 
Figura 9 – Distribuição assimétrica positiva. Fonte: (Lopes, 2003). 
2.1.2.2.Assimétrica Negativa 
Segundo Lopes (2003), podemos medir a assimetria de uma distribuição, calculando os 
coeficientes de assimetria. Sendo o mais utilizado o Coeficiente de Assimetria de Pearson. 
 
 
�̅�< Md< Mo 
Figura 3 – Distribuição assimétrica negativa. Fonte: Lopes, 2003. 
 
2.1.3. Medidas de assimetria 
As medidas de assimetria são expressas em coeficientes, que permitem analisar a forma da 
distribuição de frequência dos dados, calculados com base nas relações entre as medidas de 
moda, média, mediana e demais separatrizes e o desvio-padrão. Assim, pelas medidas de 
assimetria ou também de forma gráfica, pode-se concluir se a distribuição é simétrica, assimétrica 
à direita ou assimétrica à esquerda (Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014). 
As medidas de assimetria permitem medir o grau de afastamento da simetria da distribuição. 
Quando no conjunto de dados predominam os valores menores (maiores) a diz-se que a 
distribuição é assimétrica positiva (negativa) e tem uma “cauda” à direita (esquerda). Caso 
contrário a distribuição é simétrica (Afonso & Nunes, 2019). Vários autores tentaram definir 
8 
 
regras para avaliar a assimetria das distribuições, estabelecendo assim coeficientes de assimetria 
(Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014). 
2.1.3. Coeficiente de Assimetria 
O Coeficiente de Assimetria permite comparar duas ou mais distribuições diferentes e avaliar 
qual delas é mais assimétrica. Quanto maior for o Coeficiente de Assimetria mais assimétrica é a 
curva. 
Dependendo das informações de que se dispõe, pode-se calcular de quatro formas o Coeficiente 
de Assimetria: coeficiente de Pearson, coeficiente deBowley e coeficiente de Kelley. 
2.1.4. Coeficiente de Pearson 
O coeficiente de Assimetria de Pearson mede o afastamento da simetria expressando a diferença 
entre a média e a mediana em relação ao desvio-padrão do grupo de medidas. Para o cálculo 
desse coeficiente, usa-se a seguinte fórmulKelley (Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014). 
Podemos medir a assimetria de uma distribuição, calculando os coeficientes de assimetria. Sendo 
o mais utilizado o Coeficiente de Assimetria de Pearson (Lopes, 2003). 
𝐴𝑆 =
�̅� − 𝑀𝑜
𝑠
 
 Se𝐴𝑆 < 0 =>a distribuição será Assimétrica Negativa; 
 𝐴𝑆 > 0 =>a distribuição será Assimétrica Positiva; 
 𝐴𝑆 = 0 =>a distribuição será Simétrica. 
Observação: O grau de assimetria de Pearson só pode ser utilizado quando a distribuição é 
unimodal, ou seja, só tem uma moda (Afonso & Nunes, 2019). 
2.1.5. Coeficiente de Assimetria de Bowley 
Este coeficiente mede o afastamento da simetria relacionando o 1° Quartil e o 3° Quartil com o 
2° Quartil (ou a mediana) do grupo de medidas. O resultado desse coeficiente é obtido com o uso 
da seguinte fórmula (Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014): 
9 
 
Q3 - Me ≠ Me - Q1⇒ Q3 + Q1 - 2Me ≠ 0 (assimetria absoluta) 
𝐴𝑄 =
𝑄3+𝑄1−2𝑀𝑒𝑑
𝑄3−𝑄1
(assimetria relativa); sendo: -1 ≤ S ≤ 1 
 
Onde: 
𝐴𝑄= Coeficiente de Assimetria de Bowley 
Med= Mediana 
𝑄3= Valor do terceiro quartil 
𝑄1= Valor do primeiro quartil 
Quando a distribuição for simétrica, então Q1 e Q3 serão equidistantes de Q2 ou da mediana, o 
que vale dizer que a soma de Q1 e Q3 é igual a 2 vezes Q2 (ou mediana). Dessa forma, quando a 
distribuição for simétrica, a relação se anula, ou seja, o resultado é igual a zero (Sindelar, De 
Conto &Ahlert, 2014). 
Será Positivo a medida que o terceiro quartil se afasta da mediana, enquanto o primeiro quartil se 
aproxima da mesma, tendo como limite: Q1 = Q2, quando a assimetria assume o valor máximo 
positivo: (S = 1). 
S =
Q3 − Q1
Q3 − Q1
= 1 
Será Negativo a medida que o primeiro quartil afasta-se da mediana, enquanto o terceiro quartil 
aproxima-se da mesma, dando como limite: Q3= Q2, quando a assimetria assume valor máximo 
negativo: 
S =
−Q3 + Q1
Q3 − Q1
= −1 
Observação: O grau de assimetria de Bowley deve ser utilizado quando se desconhece a média e 
o desvio padrão (Afonso & Nunes, 2019). 
- Intensidade da assimetria: 
 
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| 3 | < 0,2  simetria; 
0,2 < |3| < 1,0  assimetria fraca; 
| 3| > 1,0  assimetria forte. 
 
2.1.6. Coeficiente de Assimetria de Kelley 
Esta forma é uma variante da Assimetria de Bowley, substituindo os Quartis por Centis, 
relacionando o 90° Centil e o 10° Centil com o 50° Centil (ou mediana) do grupo de medidas. 
Para obter o resultado desse coeficiente usa-se a seguinte fórmula(Sindelar, De Conto &Ahlert, 
2014): 
𝐴𝐶 =
𝐶90 + 𝐶10 − 2𝑀𝑒𝑑
𝐶90 − 𝐶10
 
onde: 
𝐴𝐶 = Coeficiente de Assimetria de Kelley 
Med = Mediana 
𝐶90 = Valor do nonagésimo centil 
𝐶10 = Valor do décimo centil 
As conclusões são idênticas às demais formas de análise de assimetria das distribuições. Assim, 
também valem as conclusões das formas anteriores, ou seja(Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014): 
𝐴𝐶= 0; a distribuição é simétrica. 
𝐴𝐶> 0; a distribuição é assimétrica positiva. 
𝐴𝐶< 0; a distribuição é assimétrica negativa. 
2.1.7. Coeficiente de assimetria de Fisher 
O coeficiente de Fisher é o coeficiente de assimetria teórico, que representa o verdadeiro valor da 
assimetria da distribuição, e que só deve ser usado quando se conhece toda a população. O grau 
de assimetria de Fisher, 𝜸𝟏, é dado por(Afonso & Nunes, 2019): 
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𝑌1 =
𝜇3
𝜎2′
 
Onde 𝜇3representa o 3º momento teórico. O sinal de 𝛾1 é o sinal da assimetria. 
2.2. Curtose 
A curtose é uma estatística de quarta ordem, é uma medida que caracteriza o achatamento da 
curva da função de distribuição de probabilidade, mostrando até que ponto a curva representativa 
de uma distribuição é mais aguda ou mais achatada do que a curva normal, de altura média 
(Moreto, 2008). 
As Medidas de Curtose ou de Achatamento, que nos mostra até que ponto a curva representativa 
de uma distribuição é a mais aguda ou a mais achatada do que uma curva normal, de altura média 
(Lopes, 2013). 
A curtose permite classificar as distribuições em três tipos (Moreto, 2008): 
 Curva mesocúrtica ou normal: quando o valor da curtose for igual a zero, é considerada 
como curva padrão, pois tem o mesmo achatamento que a distribuição normal ou 
Gaussiana. 
 Curva leptocúrtica: quando o valor da curtose for maior que zero, é a curva mais alta do 
que o normal, apresenta o topo relativamente alto, o que significa que os valores se acham 
mais agrupados em torno da moda. A curva leptocúrtica também possui caudas grossas, 
devido a presença de valores de grande amplitude, com sinal negativo e/ou positivo. 
 Curva platicúrtica: quando o valor da curtose é menor que zero, é uma curva mais baixa 
do que a normal, apresenta o topo achatado, significando que várias classes apresentam 
frequências quase iguais. 
 
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Figura 4 - Distribuição Platicúrticas, Mesocúrticas e Leptocúrticas. Fonte: Lopes, 2003. 
 
Para medir o grau de curtose utiliza-se a seguinte fórmula para calcular o coeficiente de Curtose 
(Sindelar, De Conto &Ahlert, 2014). 
 
2.2.1. Coeficiente de Curtose 
O coeficiente de Kurtosis é o coeficiente de achatamento teórico que representa o verdadeiro 
valor do achatamento da distribuição, pelo que só deve ser usado quando se conhece toda a 
população. O coeficiente percentil de Kurtosis é empírico e tem como principal vantagem a sua 
facilidade de cálculo, hoje em dia ultrapassada pela utilização frequente de programas de 
estatística. De referir que estes coeficientes podem classificar o achatamento dum conjunto de 
dados de forma diferente. Por exemplo, o coeficiente percentil de kurtosis não é sensível à 
existência de valores muito grandes ou muito pequenos no conjunto de dados. 
O coeficiente de achatamento ou kurtosis é definido por (Lopes, 2003): 
𝐾 =
𝑀4
𝑆4
 
Onde: 
𝑀4é o quarto momento central; 
𝑆é o desvio padrão. 
Interpretação(Lopes, 2003): 
 Se 𝐾< 0a distribuição será do tipo curva platicúrtica; 
 Se 𝐾 = 0 será curva mesocúrtica; 
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 Se 𝐾> 0 será curva leptocúrtica. 
A curtose é bastante usada em diversas áreas de aplicação, devido à sua simplicidade e 
propriedades (Moreto, 2008). Ela pode ser definida também pela Equação: 
𝐶𝑢𝑟𝑡𝑜𝑠𝑒(𝑥) = 𝐸{𝑥4} − 3𝐸{𝑥2}2 
É comum calcular a curtose em uma versão normalizada, em que se divide a curtose definida na 
Equação pelo quadrado da variância (Moreto,2008). 
𝐾(𝑥) =
𝐸{𝑥4}
𝐸{𝑥2}2
− 3 
𝐾(𝑥) =
𝜇4
𝜇2
2 − 3 =
𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑥))4
(𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑥))2}2
− 3 
 
Para a distribuição Gaussiana, a curtose normalizada é nula, e na prática, será não-nula para 
distribuições não gaussianas, podendo ser usada com medida de normalidade. O valor da curtose 
poderá ser tanto positivo como negativo. Para positivo não há limite para os valores e pode existir 
curtose infinita, porém para a curtose normalizada negativa, o menor valor possível será −2, 
quando a variância for unitária (Lopes,2003). 
2.2.2. Coeficiente percentil de kurtosis 
O coeficiente percentil de kurtosis, 𝒌𝑷, é dado por (Afonso & Nunes, 2019): 
𝐾𝑝 =
𝑄3 − 𝑄1
2(𝐶90 − 𝐶10)
 
Onde: 
𝐶90= 90º Centil 
𝐶10= 10º Centil 
𝑄3= 3º Quartil 
𝑄1= 1º Quartil 
 
Para 𝑘𝑃< 0,263 a distribuição é leptocúrtica; para 𝑘𝑃 ≈ 0,263 a distribuição é mesocúrtica; para 
𝑘𝑃> 0,263 a distribuição platicúrtica. 
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2.2.3. Coeficientes de kurtosis amostral 
O coeficiente de kurtosis habitualmente utilizado pelos softwares, tais como SPSS, Excel e SAS, 
𝒌𝒂, é dado por (Afonso & Nunes, 2019): 
 
𝐾𝑎 =
𝑛2(𝑛 + 1)𝑚4
(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 3)4
−
3(𝑛 + 1)2
(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)
 
 
Para 𝑘𝑎> 0 a distribuição é leptocúrtica; para 𝑘𝑎 ≈ 0 a distribuição é mesocúrtica; para 𝑘𝑎< 0a 
distribuição é platicúrtica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
Conclusão 
As medidas de assimetria e curtosecontemplam a terceira e quarta ordem, respectivamente, do 
momento central. Essas medidas, são independentes e que não se influenciam mutuamente. 
As medidas de curtose exigem dados referentes aos quartis e centis, enquanto as medidas de 
assimetria podem ser definidas por valores da média, moda, mediana e desvio padrão. 
Na distribuição simétrica, coincidem os valores da média, moda e a mediana, sendo o valor dos 
quartis equidistantes da mediana. A distribuição assimétrica à direita (ou positiva) apresenta a 
moda com menor valor, a média com valor maior e a mediana com valor intermediário. E a 
distribuição assimétrica à esquerda (ou negativa) tem como valor maior a moda, menor a média e 
intermediário a mediana. 
Assim como no cálculo da média aritmética o desvio padrão também depende da forma como os 
dados estão organizados, principalmente para os que se apresentam em distribuições de 
frequências por intervalo de classe. Também falamos sobre assimetria e curtose, bem como a 
relação destas medidas com um conjunto de dados simétricos, isto é: com uma distribuição 
normal. Para analisar e interpretar qualquer conjunto de dados é preciso calcular e saber utilizar 
medidas de tendência central e de dispersão, além das medidas de assimetria e de curtose 
O grau da de achatamento é dado de dado pelo Coeficiente de curtoses. São esses: coeficiente 
percentil de curtoses e coeficiente de curtoses amostral. 
Para medir a semelhança da curva de distribuição com a característica de uma curva mesocúrtica, 
usa-se o coeficiente de curtose. A curva mesocúrtica tem como padrão de curtose o valor de 
0,263. O valor ABAIXO de 0,263 indica que a curva é mais afilada (empinada) que uma curva 
mesocúrtica, sendo chamada de leptocúrtica. E o coeficiente de curtose com valor ACIMA de 
0,263 indica que a curva é mais achatada que uma curva mesocúrtica, sendo chamada de 
platicúrtica. 
 
 
 
 
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ReferênciasBibliográficas 
Afonso, A. & Nunes, C. (2019). Probabilidades e Estatística: Aplicações e Soluções em SPSS. 
Universidade de Évora 
Araldi, A.A.R. (2004).Assimetria e Curtose. Revista Ensino e Informação. CAV-UDESC, 
LAGES-SC. 
Lopes, L.F.D. (2003). Apostila Estatística. Universidade Federal de Santa Maria. Rio Grande do 
Sul. 
Moretto, F. A. L. (2008). Análise de componentes independentes aplicada à separação de sinais 
de áudio por meio de busca de projação. Dissertação de Mestrado em Engenharia Elétrica, , 
Universidade de São Paulo. São Paulo. 
Sindelar, F. C. W., De Conto, S. M., Ahlert, L. (2014). Teoria e prática em estatística para 
cursos de graduação. Centro Universitário UNIVATES 
Vunga, Horácio M. (sd). Módulo: ESTATÍSTICA. Instituto Superior de Ciências e Educação a 
Distância (ISCED), Beira – Moçambique. 
 
	CAPÍTULO: INTRODUÇÃO
	CAPÍTULO II. DESENVOLVIMENTO
	2.1.Assimetria
	2.1.1. Distribuição Simétrica
	2.1.2.2.Assimétrica Negativa
	2.1.3. Medidas de assimetria
	2.1.3. Coeficiente de Assimetria
	2.1.4. Coeficiente de Pearson
	2.1.5. Coeficiente de Assimetria de Bowley
	2.1.6. Coeficiente de Assimetria de Kelley
	2.1.7. Coeficiente de assimetria de Fisher
	2.2. Curtose
	2.2.1. Coeficiente de Curtose
	2.2.2. Coeficiente percentil de kurtosis
	2.2.3. Coeficientes de kurtosis amostral
	ReferênciasBibliográficas