Aula_05

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ORGANIZAÇÃO DE COMPUTADORES
SIMONE MARKENSON
Rio de Janeiro, maio de 2011

CONTEÚDO DA AULA

REVISÃO

CONCEITOS DE ALGEBRA BOOLEANA

PROPRIEDADES E REGRAS

EXEMPLOS

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Vou a praia se for domingo e estiver sol.

Hoje é domingo e está chovendo
Hoje é segunda e faz sol
Hoje é segunda e está chovendo
Hoje é domingo e faz sol.
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou a praia se for domingo e estiver sol.

Hoje é domingo e está chovendo  FALSO
Hoje é segunda e faz sol
Hoje é segunda e está chovendo
Hoje é domingo e faz sol.
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou a praia se for domingo e estiver sol.

Hoje é domingo e está chovendo  FALSO
Hoje é segunda e faz sol FALSO
Hoje é segunda e está chovendo
Hoje é domingo e faz sol.
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou a praia se for domingo e estiver sol.

Hoje é domingo e está chovendo  FALSO
Hoje é segunda e faz sol FALSO
Hoje é segunda e está chovendo  FALSO
Hoje é domingo e faz sol.
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou a praia se for domingo e estiver sol.

Hoje é domingo e está chovendo  FALSO
Hoje é segunda e faz sol FALSO
Hoje é segunda e está chovendo  FALSO
Hoje é domingo e faz sol  PRAIA!
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou estudar se estiver chovendo canivete ou se a vaca tossir

Está chovendo canivete e a vaca não tossiu

Não está chovendo e a vaca tossiu

Não está chovendo nem a vaca tossiu

Hoje é domingo e faz sol
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Vou estudar se estiver chovendo canivete ou se a vaca tossir

Está chovendo canivete e a vaca não tossiu  ESTUDAR

Não está chovendo e a vaca tossiu  ESTUDAR

Não está chovendo nem a vaca tossiu  FALSO

Hoje é domingo e faz sol  NÂO TEM RELAÇÂO
REVISÃO : Qual será o resultado?

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Não vou sair se não estiver sol

Está sol  SAIR

Não está sol  FALSO

Equivale a: vou sair se estiver sol

A vaca não tossiu  NÂO TEM RELAÇÂO
REVISÃO : Qual será o resultado?

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A Álgebra Booleana é uma área da Matemática que trata de regras e elementos de lógica

A Álgebra Booleana trata de variáveis e de operações com estas variáveis, porém utiliza variáveis binárias em que o valor 1 equivale à condição verdadeira e o valor 0 à condição falsa

Uma expressão lógica pode ser simplificada garantindo, assim, circuitos mais simples e mais baratos de serem produzidos

Essa simplificação é realizada através de 22 regras
ÁLBEGRA BOOLEANA

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1) X + 0 = X
2) X + 1 = 1
3) X + X = X
4) X + X = 1
5) X * 0 = 0
6) X * 1 = X
7) X * X = X
8) X * X = 0

9) X = X
ÁLBEGRA BOOLEANA - REGRAS

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1) X + 0 = X
2) X + 1 = 1
3) X + X = X
4) X + X = 1
5) X * 0 = 0
6) X * 1 = X
7) X * X = X
8) X * X = 0

9) X = X
ÁLBEGRA BOOLEANA - REGRAS
Exemplo: X = 10
X + 0 = X  10 + 00 = 10
X + 1 = 1  10 + 11 = 11
X + X = X  10 + 10 = 10
X + X = 1  10 + 01 = 11
X * 0 = 0  10 * 00 = 00
X * 1 = X  10 * 11 = 10
X * X = X  10 * 10 = 10
X * X = 0  10 * 01 = 00

X = X	  X = 01 X =10

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10) X + Y = Y + X 			Comutativa
11) X  X = 0
12) X * Y = Y * X 			Comutativa
13) X + (Y + Z) = (X + Y) + Z 		Associativa
14) X * (Y * Z) = (X * Y) * Z 		Associativa
15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z 		Distributiva

ÁLBEGRA BOOLEANA - REGRAS

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ÁLBEGRA BOOLEANA - REGRAS

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PROVANDO A REGRA 16
 X + X * Z = X
X + (X * Z) 	= 	X * 1 + X * Z 		(6) X * 1 = X
		= 	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4) X + X = 1
		=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z
		=	(X * Z + X * Z ) + X * Z	(10) X + Y = Y + X
		=	X * Z + X * Z		(3) X + X = X
		=	X * ( Z + Z ) 			(15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z
		=	X * 1			(4) X + X = 1
		=	X				(6) X * 1 = X
					
					
		

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PROVANDO A REGRA 16

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PROVANDO A REGRA 19
 X + X * Z = X + Z
 X + X * Z 	= 	X * 1 + X * Z 		(6) X * 1 = X
		= 	X * (Z + Z) + X * Z	 	(4) X + X = 1
		=	X * Z + X * Z + X * Z 	(15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z
		=	(X * Z + X * Z) + X * Z + X * Z 	(3) X + X = X
		=	X * Z + X * Z + X * Z + X * Z 	(10) x + y = y + x
		=	X * ( Z + Z ) 	+ (X + X) * Z	(15) X * (Y + Z) = X * Y + X * Z
		=	X * 1 + 1 * Z			(4) X + X = 1
		=	X + Z			(6) X * 1 = X
				                  
                                                           				
		

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PROVANDO A Lei de Morgan
 X + Z = X * Z
 ( X + Z ) (X + Z) 	= 	X * Z 	 (X + Z) 	
	 0		= 	X * Z	 (X + Z)		(8) X * X = 0
	 0	=	X * Z * X + X * Z * Z 	Distributiva
	 0	=	0 + 0

Que tal provar que X*Y = X + Y

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SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO...
X =(A + B) * B

A

B

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				X =(A + B) * B

X = (A + B) + B 	(regra 22) (X * Y) = X + Y

SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO

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				X =(A + B) * B

X = (A + B) + B 	(regra 22) (X * Y) = X + Y

X = A * B + B	(regra 21) (X + Y) = X * Y

SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO

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				X =(A + B) * B

X = (A + B) + B 	(regra 22)

X = A * B + B	(regra 21)

X = A * B + B	(regra 9)

SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO

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				X =(A + B) * B

X = (A + B) + B 	(regra 22)

X = A * B + B	(regra 21)

X = A * B + B	(regra 9)

X = A + B		(regra 19)

SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO

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				X =(A + B) * B

X = (A + B) + B 	(regra 22)

X = A * B + B	(regra 21)

X = A * B + B	(regra 9) X = X

X = A + B		(regra 19)

A
B
X
SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO

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SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO E O CIRCUITO
X =(A + B) * B

A

B

X
A
B
A+B

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SIMPLIFICANDO A EXPRESSÃO E O CIRCUITO...
X =(A + B) * B

A

B

 X = A + B

X
A
B
A+B
A
B
X

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